Lyapunov estabilidad

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Este artículo es sobre la estabilidad asintótica de sistemas no lineales. Para la estabilidad de

sistemas lineales, consulte la estabilidad exponencial .

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enlaces externos , pero sus fuentes no están claras, ya que carece de citas en línea

. Por favor, mejorar este artículo introduciendo citas más precisas. (Mayo 2009)

Varios tipos de estabilidad se puede discutir de las soluciones de ecuaciones diferenciales

que describen los sistemas dinámicos . El tipo más importante es el relativo a la estabilidad

de las soluciones cerca de un punto de equilibrio. Esto puede ser discutido por la teoría de

Lyapunov. En términos simples, si todas las soluciones del sistema dinámico que empiezan

cerca de un punto de equilibrio x estar cerca e x e para siempre, entonces x e es Lyapunov

estable. Con más fuerza, si x e es Lyapunov estable y todas las soluciones que empiezan

cerca de x e convergen para x e, entonces x e es asintóticamente estable. La noción de

estabilidad exponencial garantiza una tasa mínima de la decadencia, es decir, una

estimación de la rapidez de las soluciones convergentes. La idea de la estabilidad de

Lyapunov se puede ampliar a dimensiones infinitas variedades, donde se le conoce como la

estabilidad estructural , lo que se refiere al comportamiento de los diferentes, pero "cerca"

las soluciones a las ecuaciones diferenciales. Entrada a la estabilidad del estado (ISS) se

aplica a las nociones de Lyapunov sistemas con entradas.

Contenido

[hide]

1 Historia

2 Definición de sistemas de tiempo continuo

o Segundo método de Lyapunov 2.1 para la estabilidad

3 Definición de sistemas de tiempo discreto

4 de Estabilidad para los modelos lineales de espacio de estado

5 Estabilidad de sistemas con entradas

Ejemplo 6

Lema 7 Barbalat y la estabilidad de variables en el tiempo los sistemas de

8 Referencias

9 Enlaces externos

[ editar ] Historia

La estabilidad de Lyapunov es el nombre de Aleksandr Lyapunov , un matemático ruso que

publicó su libro "El problema general de la estabilidad de movimiento" en 1892. Lyapunov

fue el primero en considerar las modificaciones necesarias en los sistemas no lineales de la

teoría lineal de la estabilidad sobre la base de linealizar cerca de un punto de equilibrio. Su

trabajo, publicado inicialmente en Rusia y luego traducido al francés, recibido poca

atención durante muchos años. Interés en que empezó de repente durante la Guerra Fría

(1953-1962) período en que el llamado "segundo método de Lyapunov" se encontró que era

aplicable a la estabilidad de la industria aeroespacial los sistemas de orientación que

normalmente contienen fuertes no linealidades no tratable por otros métodos. Un gran

número de publicaciones aparecieron entonces y en el control de los sistemas y la literatura.

Más recientemente el concepto de Lyapunov exponente (relacionado con el primer método

de Lyapunov de discutir la estabilidad) ha recibido un gran interés en relación con la teoría

del caos . Métodos de Lyapunov de estabilidad también se han aplicado a la búsqueda de

soluciones de equilibrio en los problemas de asignación de tráfico a partir del trabajo de MJ

Smith y Wisten MB.

[ editar ] Definición de sistemas de tiempo continuo

Considere un sistema dinámico no lineal autónomos

,

donde denota el vector de estado del sistema, un conjunto abierto que

contiene el origen y continua en . Supongamos que f tiene un correo x

equilibrio.

1. El equilibrio del sistema por encima se dice que es Lyapunov estable, si, para cada

, Existe una de tal manera que, si , A

continuación, , Por cada .

2. El equilibrio del sistema por encima se dice que es asintóticamente estable si es

Lyapunov estable y si existe δ> 0 tal que si , A continuación,

.

3. El equilibrio del sistema por encima se dice que es exponencialmente estable si es

asintóticamente estable y si existen α, β, δ> 0 tal que si , A

continuación, , Para .

Conceptualmente, los significados de los términos anteriores son las siguientes:

1. La estabilidad de Lyapunov de un equilibrio significa que las soluciones de partida

"suficientemente cerca" al equilibrio (dentro de una distancia δ de ella) siguen

siendo "bastante cerca" para siempre (a una distancia de la misma). Tenga en

cuenta que esto debe ser cierto para cualquier que uno puede querer elegir.

2. Estabilidad asintótica significa que las soluciones que empiezan cerca no es

suficiente sólo permanecen lo suficientemente cerca, pero también eventualmente

converge al equilibrio.

3. Estabilidad exponencial significa que no sólo las soluciones convergen, pero en

realidad convergen más rápido que el o por lo menos tan rápido como una tasa

especial conocido .

La trayectoria de x es (localmente) atractivo si

para para todas las trayectorias que se inician lo suficientemente cerca, y atractivo

a nivel mundial si esta propiedad es válida para todas las trayectorias.

Es decir, si x pertenece al interior de su variedad estable . Es asintóticamente estable si es a

la vez atractivo y estable. (Hay contraejemplos que muestran que sus atractivos no implica

la estabilidad asintótica. Tales ejemplos son fáciles de crear utilizando conexiones

homoclínicas .)

[ editar segundo método] de Lyapunov para la estabilidad

Lyapunov, en su original de 1892 de trabajo propuesto dos métodos para demostrar la

estabilidad. El primer método desarrollado la solución de una serie que se comprobó luego

convergentes dentro de los límites. El segundo método, que es casi todo el mundo utiliza

hoy en día, hace uso de una función de Lyapunov V (x), que tiene una analogía con la

función potencial de la dinámica clásica. Se introduce de la siguiente manera para un

sistema que tiene un punto de equilibrio en x = 0. Considere la posibilidad de una función

de tal manera que

con igualdad si y sólo si x = 0 (definida positiva)

con igualdad si y sólo si x = 0 (negativo definido).

Entonces V (x) se llama una función de Lyapunov candidato y el sistema es asintóticamente

estable en el sentido de Lyapunov (ISL). (Tenga en cuenta que V (0) = 0 es necesario, de lo

contrario, por ejemplo, V (x) = 1 / (1 + | x |) sería "probar" que es localmente

estable. Una condición adicional llamada "adecuación" o "la no acotación radial" es

necesario para concluir estabilidad asintótica global.)

Es más fácil visualizar este método de análisis por el pensamiento de un sistema físico (por

ejemplo, vibración de primavera y de la masa) y teniendo en cuenta la energía de este

sistema. Si el sistema pierde energía a través del tiempo y la energía nunca es restaurado

luego, eventualmente, el sistema debe moler a una parada y llegar a algún estado de reposo

final. Este estado final se denomina atractor . Sin embargo, encontrar una función que da la

energía precisa de un sistema físico puede ser difícil, y para los sistemas matemáticos

abstractos, los sistemas económicos o de sistemas biológicos, el concepto de energía no

pueden ser aplicables.

Realización de Lyapunov es que la estabilidad se puede probar sin necesidad de

conocimientos de la energía física real, siempre una función de Lyapunov se puede

encontrar para satisfacer las limitaciones antes mencionadas.

[ editar ] Definición de sistemas de tiempo discreto

La definición de sistemas de tiempo discreto es casi idéntica a la de los sistemas de tiempo

continuo. La siguiente definición se proporciona esto, utilizando un lenguaje alternativo de

uso común en los textos matemáticos más.

Sea (X, d) un espacio métrico y una función continua . Un punto de se

dice que es Lyapunov estable, si para cada ε> 0, existe un δ> 0 tal que para todo ,

Si

d (x, y) δ <

entonces

para todos los .

Decimos que x es asintóticamente estable si pertenece al interior de su conjunto estable ,

es decir, si existe un δ> 0 tal que

siempre que d (x, y) δ <.

[ editar ] La estabilidad de los modelos lineales de espacio

de estado

Un lineales de espacio de estado modelo

es asintóticamente estable (de hecho, exponencialmente estable ) si todas las partes reales

de los valores propios de A son negativos. Esta condición es equivalente a la siguiente:

A T M + M A + N = 0

tiene una solución en la que N = N T>

0 y M = M T>

0 ( definida positiva matrices). (La

correspondiente función de Lyapunov es V (x) = x T x M).

En consecuencia, un tiempo discreto lineales de espacio de estado modelo

es asintóticamente estable (de hecho, exponencialmente estable ) si todos los valores

propios de A tienen un módulo menor que uno.

Esta última condición se ha generalizado a los sistemas de conmutación: conmutación de

un sistema lineal de tiempo discreto (gobernado por un conjunto de matrices

)

es asintóticamente estable (de hecho, exponencialmente estable ) si el radio espectral de

conjunto de la serie es menor que uno.

[ editar ] Estabilidad de sistemas con entradas

Un sistema con los insumos (o controles) tiene la forma

donde la entrada (por lo general en función del tiempo) u (t) puede ser visto como un

control de entrada externa, el estímulo, la perturbación o función forzada. El estudio de

estos sistemas es el tema de la teoría de control y se aplica en la ingeniería de control . Para

los sistemas con los insumos, se debe cuantificar el efecto de los insumos en la estabilidad

del sistema. Los dos principales enfoques de este análisis son la estabilidad BIBO (para

sistemas lineales ) y la entrada a estado (ISS) estabilidad (para sistemas no lineales )

[ editar ] Ejemplo

Considere la posibilidad de una ecuación, en comparación con el oscilador de Van der Pol

ecuación se cambia el término de fricción:

El equilibrio se encuentra en:

Aquí está un buen ejemplo de un intento fallido de encontrar una función de Lyapunov que

demuestra la estabilidad:

Dejar

para que el sistema correspondiente

Elijamos como una función de Lyapunov

que es claramente definida positiva . Su derivada es

Parece que si el parámetro es positivo, la estabilidad es asintótica para Pero esto

es erróneo, ya que no depende de x 1, y será del 0 por todas partes en el eje x 1.

[ editar lema] Barbalat y la estabilidad de variables en el

tiempo los sistemas de

Supongamos que f es función del tiempo solamente.

Después de haber no implica que f (t) tiene un límite en . Por

ejemplo, .

Tener f (t) acercarse a un límite no implica que . Por ejemplo,

.

Tener f (t) más bajos limitada y decreciente ( ) Implica que converge a un

límite. Pero no dice si o no como .

Barbalat es el lema dice:

Si f (t) tiene un límite finito cuando y si es uniformemente continua (o

está limitado), entonces como .

Por lo general, es difícil analizar la estabilidad asintótica de variables en el tiempo los

sistemas, ya que es muy difícil de encontrar funciones de Lyapunov con un derivado

definida negativa.

Sabemos que en el caso de los autónomos (invariante en el tiempo) los sistemas, si es

negativo semi-definida (NSD), entonces también es posible conocer el comportamiento

asintótico invocando invariante conjunto de teoremas. Sin embargo, esta flexibilidad no

está disponible para los sistemas variables en el tiempo. Aquí es donde "lema Barbalat de"

entra en el cuadro. Dice así:

Si V (x, t) satisface las siguientes condiciones:

1. V (x, t) es menor limitada

2. es negativo semi-definida (NSD)

3. es uniformemente continua en el tiempo (satisfecho si es finito)

entonces como .

El siguiente ejemplo es tomado de la página 125 del libro de Li Slotine y Aplicadas de

control no lineal.

Considere un sistema que no es autónoma

Esto no es autónoma porque la w de entrada es una función del tiempo. Supongamos que la

entrada de w (t) es acotado.

Tomando V = e 2 + g

2 da

Esto nos dice que V (t) <= V (0) por las dos primeras condiciones y por lo tanto, E y G son

limitadas. Pero no dice nada acerca de la convergencia de correo a cero. Por otra parte, el

teorema de conjunto invariante no se puede aplicar, porque la dinámica no es autónomo.

Usando el lema de Barbalat:

.

Esto es limitada porque e, g y w están limitadas. Esto implica como y por

lo tanto . Esto demuestra que el error converge.

[ editar ] Referencias

Lyapunov AM El problema general de la estabilidad del movimiento (en ruso),

Tesis doctoral, Universidad. Jarkov 1892 traducciones Inglés: (1) estabilidad del

movimiento, Academic Press, Nueva York y Londres, 1966 (2) El problema general

de la estabilidad del movimiento, (AT Fuller trans.) Taylor & Francis, Londres

1992. Se incluye una biografía de Smirnov y una extensa bibliografía de los trabajos

de Lyapunov.

Letov AM Estabilidad de los sistemas de control no lineal (en ruso) Moscú 1955

(Gostekhizdat); Inglés tr. Princeton 1961

RE Kalman y JF Bertram: Análisis y Diseño de Sistema de Control a través del

segundo método de Lyapunov, J. básica Engrg vol.88 1960 pp.371, 394

JP LaSalle y Lefschetz S: Estabilidad por el método de Lyapunov En segundo

lugar, con aplicaciones, Nueva York 1961 (Académico)

Parques PC: método de Liapunov en la teoría de control automático, control de E

11 1962 12 1962 II

RE Kalman funciones de Lyapunov para el problema de Lurie en control

automático, Proc Nat. Acad.Sci EE.UU., febrero 1963, 49, no.2, 201 -.