Simulacao numerica 2D e 3D de escoamentos com tensaosuperficial

Felipe Montefuscolo, Fabrıcio Simeoni de Sousa,Instituto de Ciencias Matematicas e de Computacao, USP,

13560-970, Sao Carlos, SP

E-mail: felipemt@icmc.usp.br, fsimeoni@icmc.usp.br,

Palavras-chave: elementos finitos, tensao superficial, formulacao variacional, ALE, potenciavirtual

Resumo: O fenomeno de molhamento, estudo de como um lıquido se deposita em um solido,apresenta problemas ainda em aberto tanto do ponto de vista da modelagem fısica como no da si-mulacao numerica. Neste trabalho, sao discutidos metodos numericos para a simulacao de linhasde contato dinamicas formadas da interacao fluido-fluido-estrutura. Os efeitos da tensao super-ficial sao estudados com a abordagem do princıpio do trabalho virtual, o qual leva o problemaa equacoes na formulacao variacional, linguagem natural para o tratamento numerico com ometodo dos elementos finitos (MEF). Sao apresentados resultados preliminares de aproximacoescalculadas atraves do metodo de elementos finitos (formulacao ALE-FEM) para problemas en-volvendo tensao superficial, bem como aspectos teoricos da modelagem de linhas trıplices nasequacoes de Navier-Stokes.

1 Introducao

A compreensao dos fenomenos de tensao superficial, capilaridade e molhamento sao pertinentesa inumeras areas industriais como na fabricacao de veıculos, industria de alimentos, vidros e,mais recentemente, na fabricacao dos Lab-On-a-Chip, microdispositivos que englobam, entreoutros, os dispositivos microfluıdicos.

2 Formulacao variacional para tensao superficial

A formulacao variacional do problema de escoamentos com tensao superficial, confinadas emum domınio Ω ⊂ Rd e na ausencia de forcas de campo, e expressa como: encontrar u(x, t) ∈W×]0, T ] e p(x, t) ∈ Q×]0, T ] tal que, para todas as velocidades cinematicamente admissıveis

w (x) ∈W ⊂(H1 (Ω)

)de para todas as funcoes admissıveis q (x) ∈ Q .

= L2 (Ω),

ˆΩ

(∂tu + (u ·∇)u) ·w +

ˆΩν∇w :

(∇u + ∇Tu

)−ˆ

Ω

p

ρ∇ ·w = PΓ (w) (1)

ˆΩq∇ · u = 0 (2)

onde u e a velocidade e p a pressao. A massa especıfica ρ, viscosidade cinematica ν e a tensaosuperficial γ sao supostas constantes. O termo PΓ(w) e linear em w, e corresponde a potenciavirtual associada as forcas na superfıcie Γ = ∂Ω. Uma expressao para PΓ(w), assumindo que

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nao ha dissipacao local de energia em Γ, pode ser obtida pelo negativo da taxa de variacao daenergia E associada a superfıcie fechada Γ sob uma velocidade virtual w, isto e,

PΓ(w) = − d

dεE(Γ + εw)|ε=0 , (3)

onde Γ + εw =y ∈ Rd;y = x + εw(x), com x ∈ Γ

. Considerando a interface homogenea, a

energia pode ser escrita, na forma mais simples possıvel, como

E(Γ) =

ˆΓγ dΓ.

Para calcular a potencia em (3), onde e necessario computar derivadas em superfıcies cujasconfiguracoes mudam de acordo com a velocidade, pode-se recorrer a elementos de geometriadiferencial que sao revistos em [3]. Assim como e demonstrado por esse autor, a formula dapotencia e escrita como

PΓ(w) = −ˆ

Γγκn, (4)

onde κ(x).= ∇Γ · n e a curvatura media, n a normal que aponta para fora da superfıcie e ∇Γ

um operador tangencial (o gradiente de superfıcie). Este operador, aplicado a uma funcao f queesteja definida em Γ e em uma vizinhanca desta, e definido por

∇Γf.= ∇f − (n ·∇f)n , (5)

e aplicado a uma funcao g definida somente em Γ, obtem-se

∇Γg = ∇g , (6)

onde g(x) e uma funcao que estende os valores de g para uma vizinhanca de Γ, ou seja, g(x) =g(x − αn), sendo α e n um escalar e um vetor unitario, respectivamente, tais que o ponto(x− αn) ∈ Γ seja o mais proximo de x. O operador ∆Γ

.=∇Γ ·∇Γ, o laplaciano de superfıcie,

e conhecido na literatura como operador Laplace-Beltrami [3]. A expressao em (4) exige que acurvatura κ seja calculada explicitamente, entretanto, e possıvel obter uma forma equivalentepara esta expressao muito conveniente para discretizacoes com o metodo dos elementos finitos,dada por

PΓ(w) = −ˆ

Γγ(I − n⊗ n) : ∇w . (7)

Nessa forma, nao ha calculo da curvatura de Γ, e sim do vetor normal n.

3 Metodos numericos

O problema discreto das equacoes (1) e (2) no contexto de elementos finitos, discretizado tambemno tempo, fica: encontrar un+1

h (x) ∈ W h e pn+1h (x) ∈ Qh tal que, para todas as velocidades

cinematicamente admissıveis wh (x) ∈W h e para todas as funcoes admissıveis qh (x) ∈ Qh,

ˆΩ

(δnt uh +

(un+βh ·∇

)un+θh

)·wh +

ˆΩν∇wh :

(∇uh + ∇Tuh

)n+θ −

−ˆ

Ω

pn+1h

ρ∇ ·wh = PΓ (wh) (8)

ˆΩq∇ · un+1

h = 0 (9)

onde δnt uh =(un+1h − unh

)/∆t e un+θ

h = θun+1h + (1 − θ)unh. Para usar a discretizacao de

Galerkin convencional, e bem conhecido que os espacos W h e Qh devem satisfazer a condicao

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inf-sup de Babuska-Brezzi (ver, e.g., [2]). Serao adotados aqui os espacos correspondentes aomini-elemento P+

1 -P1, onde a pressao e interpolada por funcoes lineares por partes e a velocidadepor funcoes lineares por partes enriquecidas com uma funcao bolha em cada elemento:

u(n+1)h (x) =

nnos∑k=1

ukhNk(x) +

nelem∑e=1

vehψe(x),

p(n+1)h (x) =

nnos∑k=1

pkhNk(x),

onde ukh e pkh sao os valores nodais da velocidade e pressao, respectivamente, e veh e o coeficienteda funcao bolha ψe, associado ao elemento e. Com a velocidade escrita dessa forma, e possıvelreduzir o metodo de Newton correspondente as equacoes nao lineares em (8) e (9) para[

A+B G+ CD +H E

]k [∆uN∆p

]= −

[Fu(unN , p

n)Fp(u

nN , p

n)

], (10)

onde o ındice inferior N denota os coeficientes da velocidade nos nos, e as matrizes B, C, H,e E sao matrizes que vem da eliminacao dos coeficientes das bolhas da velocidade. Deve serobservado ainda que, para que no resıduo em (10) nao seja necessario computar os coeficientesdas bolhas, e suficiente aproximar a velocidade convectiva por

u(n+1)h,convec(x) =

nnos∑k=1

ukhNk(x) .

Os testes numericos mostram que essa aproximacao nao traz nenhuma penalidade para o metodo.Neste trabalho, a descricao do movimento e feita na formulacao Lagrangeana-Euleriana Ar-

bitraria (ALE - Arbitrary Lagrangian-Eulerian, em ingles). Essa formulacao consiste em con-siderar um terceiro domınio alem do material (agregado ao fluido) e o espacial: o domıno damalha [4, 7]. Nesse contexto, a velocidade convectiva presente na equacao (8) e trocada peladiferenca entre a velocidade do fluido e a velocidade da malha, ou seja,(

un+βh ·∇

)un+θh →

[(un+βh − un+β

malha

)·∇]un+θh .

Como a velocidade da malha un+βmalha pode depender de uma maneira nao trivial de un+β

h e daposicao dos nos da malha no tempo n + β, e interessante considerar β = 0, ou seja, tratar avelocidade convectiva como puramente explıcita.

4 Resultados numericos

Neste trabalho, a descricao do movimento e feita na formulacao ALE. As interfaces entre duasfases de fluidos sao conformes com a malha, ou seja, sao representadas explicitamente por meiode arestas (em 2D) e faces (em 3D). Sao adotadas malhas simpliciais onde a estrutura de dadosutilizada para representa-las no computador e uma variante da proposta em [1]. Duas formasde estabilizacao da pressao sao adotadas: utilizando a combinacao de espacos P+

1 -P1, ondeos coeficientes da velocidade referentes as bolhas sao condensadas estaticamente, reduzindo onumero de incognitas a serem resolvidas no sistema; e utilizando a combinacao P1-P1 com aformulcao Galerkin/Least-Square (GLS).

A simulacao ilustrada na figura (2) e de uma gota de raio R = 1, livre de forcas de campo,com uma perturbacao no instante inicial. A gota tem viscosidade ν = 0.01 e tensao superficialγ = 1. A pressao e a viscosidade externas a gota sao nulas. A solucao numerica e comparadacom uma solucao analıtica valida para pequenas oscilacoes.

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(a) (b) (c) (d) (e)

0.5 1.0 1.5

Figura 1: Perfil do campo de pressao da gota em varios instantes durante meio perıodo deoscilacao; nesta simulacao foi usado o mini elemento em uma descricao Lagrangeana.

5 Conclusao

Foram apresentados aspectos teoricos da inclusao da tensao superficial na formulacao variaci-onal das equacoes de Navier-Stokes em uma abordagem do princıpio do trabalho virtual. Aformulacao variacional obtida, combinada com elementos de geometria diferencial, permitemque seja natural a traducao do problema para o computador por meio do metodo de elementosfinitos.

Um programa 2D/3D foi elaborado para resolver escoamentos com tensao superficial naformulacao ALE, onde e possıvel escolher entre dois tipos de estabilizacoes diferentes: por mini-elemento com condensacao estatica das bolhas ou pela formulacao GLS. Como trabalho futuro,serao concluıdos alguns testes para a validacao e verificacao da precisao do calculo da curvaturapelo operador Laplace-Beltrami. Serao estudadas estrategias de movimentacao da malha paragarantir a precisao do metodo, como exemplo, a viabilidade do tratamento implıcito do termoconvectivo na formulacao ALE. Serao implementados tambem modelos para as linhas de contatodinamicas.

Referencias

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[7] G. Scovazzi e T. J. Hughes, Lecture Notes on Continuum Mechanics on Arbitrary MovingDomains, 2007.

[8] F.S. Sousa e N. Mangiavacchi, A Lagrangian level-set approach for the simulation of incom-pressible two-fluid flows, International Journal for Numerical Methods in Fluids, 47 (2005)1393-1401.

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