Simulación Dr. Ignacio Ponzoni Clase X: Sistemas de Colas Departamento de Ciencias e Ingeniería de la Computación Universidad Nacional del Sur

Simulación Dr. Ignacio Ponzoni

Clase X: Sistemas de Colas

Departamento de Ciencias e Ingeniería de la Computación

Universidad Nacional del Sur

Simulación 2 Prof. Dr. Ignacio Ponzoni

Modelos para Sistemas de Colas

La simulación es frecuentemente utilizada para analizar modelos de colas.

En estos sistemas, típicamente hay un conjunto de entidades que arriban a una o más colas del sistema y uno o más servidores que atienden a dichas entidades.

En general, este tipo de modelos resulta muy útil para estudiar sistemas de servicio, en donde el interés está en estimar distintas medidas de desempeño tales como tiempos de espera promedio, tiempos de servicio promedio, etc.


Técnicas para Analizar Sistemas de Colas

Los modelos de colas pueden ser estudiados a través de métodos matemáticos basados en teoría de colas o empleando simulación.

Para sistemas relativamente simples, las medidas de desempeño del sistema pueden ser computadas más eficientemente usando modelos matemáticos. Sin embargo, para sistemas complejos, la simulación constituye la mejor alternativa.


Características de los Sistemas de Colas

Clientes y Servidores

Los modelos de colas se centran en las nociones de: “Clientes”, entidades que arriban al sistema, puede referir a

personas, máquinas, camiones, pacientes, aviones, e-mails, facturas, llamadas telefónicas, etc.

“Servidores”, son recursos del sistema que se encargan de atender a los clientes, pueden referirse a recepcionistas, mecánicos, personal médico, etc.

Población de Potenciales

Clientes

Población de Potenciales

Clientes

Cola de Espera de Clientes

ServidorClientes


En general, las entidades de la población arriban a la cola en forma aleatoria.

Las entidades avanzan en la cola hasta eventualmente ser atendidas por el servidor.

Las entidades son atendidas usualmente en el orden en que arriban a la cola.

Los tiempos de servicio son usualmente aleatorios y siguen una distribución probabilística que no cambia en el tiempo.

Los arribos y servicios son definidos mediante una distribución de tiempo entre arribos y tiempos de servicios respectivamente.

Características de los Sistemas de Colas Funcionamiento



Modelado del transcurso del Tiempo

Conceptos claves: Estado del sistema: determinado por el número

de entidades que están circulando por el sistema y el estado del servidor (ocioso u ocupado).

Evento: es un conjunto de circunstancias que causan un cambio instantáneo en el estado del sistema.

Reloj de la simulación: es utilizado para marcar el progreso del tiempo en la simulación.



Eventos: Arribos y Partidas (o Fin de Servicio)

Arribo

Entidad entra a Servicio

Entidad entra a la Cola de espera

¿Servidor Ocupado?

SiNo

Evento ARRIBO Evento PARTIDA

Partida

Remover la entidad al frente de la Cola

¿Hay entidades en la Cola de espera?

Comienza el tiempo ocioso del servidor

Comienza un nuevo tiempo de servicio

No Si



Población de Potenciales Clientes La población de potenciales clientes puede ser finita o infinita. En general,

para problemas con una población muy grande, se asume que esta es infinita.

La principal diferencia entre un modelo de población infinita y uno de población finita está en como se define la tasa de arribos:

Con población infinita, la tasa de arribos es el número promedio de arribos por unidad de tiempo (por ejemplo, 8 arribos por minuto), y es independiente del número de clientes que ya estén en la cola o que ya hayan dejado la cola. Además, si el proceso de arribos es homogéneo, entonces la tasa de arribos se asume constante, es decir, en cada unidad de tiempo arriba aproximadamente igual cantidad de clientes.

Con población finita, la tasa de arribos depende de la cantidad de clientes que se encuentran en la cola y los clientes que ya han sido atendidos. En estos casos, la tasa de arribo varia a lo largo de la simulación en función del estado del sistema.



Capacidad del Sistema

En muchos sistemas existe una cantidad límite de clientes que pueden esperar en la cola. Esta limitación está generalmente relacionada con la capacidad de la cola en el sistema real que se está modelando.

Por ejemplo, la cola de clientes en un cine puede continuar en la vereda de las calles que lo circundan, luego está cola tiene una capacidad “potencialmente” infinita.

En cambio, la máxima cantidad de programas esperando ejecución en un buffer de memoria de una computadora depende de la capacidad de dicho buffer.



Proceso de Arribos

Los procesos de arribos para modelos de población infinita están usualmente caracterizados por los tiempos entre arribos de los sucesivos clientes.

Los arribos pueden ocurrir en forma planificada o aleatoriamente.

Cuando los arribos se producen en forma aleatoria, estos siguen alguna distribución de probabilidades.

Además, los clientes pueden arribar en forma individual o en grupos. El tamaño de dichos grupos puede ser una constante o un valor aleatorio.



Procesos de Arribos de Poisson

El proceso de arribos de Poisson es uno de los más empleados en problemas de colas.

Si el tiempo entre arribos An representa el tiempo en el arribo del cliente n-1 y el cliente n, luego, por tratarse de un proceso de Poisson, An está distribuido exponencialmente con media 1/ unidades de tiempo, es decir, arriban clientes por unidad de tiempo.

El número de arribos en un lapso de tiempo t, es decir N(t), tendrá distribución de Poisson con media t clientes.

Los procesos de Poisson se han utilizado con éxito en el modelado de arribos a colas de Bancos, Restaurantes y otros problemas de servicios tales como arribos de llamadas a centrales telefónicas.



Otros Procesos de Arribos Una categoría importante de arribos está formada por los arribos

planificados. Por ejemplo, los arribos a un consultorio médico o los arribos al check-in de una aerolínea en un aeropuerto.

En este tipo de modelos los tiempos entre arribos son constantes pero afectados por la suma o resta de un tiempo de “adelanto” o “demora” obtenido en forma aleatoria. Estos tiempos representan los arribos tempranos y tardíos a las colas de los sistemas.

Otra situación especial es cuando se asume que siempre hay al menos un cliente en la cola, con lo cual el servidor nunca está ocioso. Por ejemplo, la producción en serie de automóviles o el procesamiento de embotellado de gaseosas.



Arribos en Modelos de Población Finita

En los modelos de población finita los arribos son caracterizados en forma completamente diferente:

Se define un cliente como “pendiente” cuando es miembro de la potencial población de clientes y está afuera del sistema de colas.

El cliente deja estar “pendiente” mientras está en el sistema de colas.

En general, en estos sistemas un mismo cliente arriba y sale de la cola varias veces a lo largo de la simulación.

En estos modelos se denomina tiempo de corrida al lapso de tiempo transcurrido entre que un cliente deja la cola y vuelve a arribar a la misma.

Este tipo de modelos es utilizado en problemas de reparación de máquinas, donde un arribo corresponde al momento en que falla una máquina y una partida al momento en que es reparada.


Características de los Sistemas de Colas Comportamiento de Colas

El comportamiento de una cola refiere a las acciones que llevan adelante los clientes mientras esperan en la cola.

Existen distintos tipos de comportamiento, por ejemplo: cuando un cliente llega a una cola demasiado larga puede decidir

abandonar la cola inmediatamente,

otra alternativa es que un cliente decida irse luego de esperar un tiempo en la cola y observar que esta se mueve muy lentamente,

otra situación es cuando un cliente cambia de una cola a otra en función de cómo avanza cada una.


Características de los Sistemas de Colas Disciplina de Colas

La disciplina refiere al orden lógico en que los clientes se sitúan dentro de la cola y a la política seguida para determinar que cliente tomar de la cola.

Existen distintas alternativas:

FIFO: el primero en entrar es el primero en ser atendido.

LIFO: el último en entrar es el primero en ser atendido.

SIRO: servicio en orden aleatorio.

SPT: procesar primero al cliente con menor tiempo de servicio.

PR: servir según distintos órdenes de prioridad.



Tiempos de Servicio

Los tiempos de servicio para sucesivos arribos se denotan como S1, S2, S3, ..., y pueden ser constantes o aleatorios.

Si son aleatorios, en general la secuencia de tiempos es caracterizada mediante una secuencia de valores aleatorios independientes e igualmente distribuidos.

Las distribuciones más empleadas son: exponencial, Weibull, gama, lognormal y normal truncada.

Algunas veces, los tiempos de servicio pueden seguir distintas distribuciones en función del tipo de cliente, la hora del día que se está simulando, la longitud de la cola de espera, etc.



Mecanismos de Servicio

En general, un sistema de colas consiste de un número de centros de servicios y colas interconectadas.

Cada centro de servicio consiste de cierto número de servidores, c, trabajando en paralelo:

Si c = 1, es un sistema de un servidor. Si 0 < c < , es un sistema multiple servidor. Si c = , es un sistema con cantidad de servidores no

limitada (por ejemplo los sistemas de autoservicio).


Notación para Sistemas de Colas

Los sistemas de colas pueden ser denotados con el formato: A / B / c / N / K

Donde A representa la distribución entre arribos B representa la distribución para tiempos de servicio c representa el número de servidores paralelos N representa la capacidad del sistema K representa el tamaño de la potencial población de clientes

Para denotar las distribuciones en A y B, existen varios símbolos:

– M, exponencial o Markov

– D, constantes determinísticas

– Ek, Erlang de orden k

– G, arbitraria o general



Otros aspectos de los sistemas de colas se denotan como sigue:

Pn, probabilidad en estado estacionario de tener n clientes en el sistema.

Pn(t), probabilidad de tener n clientes en el sistema en el instante de tiempo t.

, tasa de arribos.

e, tasa efectiva de arribos.

, tasa de servicio.

, utilización del servidor.

An, tiempo entre el arribo del n-1-ésimo cliente y el n-ésimo cliente.

Sn, tiempo de servicio del n-ésimo cliente.



Wn, tiempo total que el n-ésimo cliente estuvo en el sistema.

WnQ, tiempo total de espera en la cola del n-ésimo cliente.

L(t), número de clientes en el sistema en el instante t.

LQ(t), número de clientes en la cola en el instante t.

L, número promedio de clientes en el sistema a lo largo de la corrida de la simulación.

LQ, número promedio de clientes en la cola del sistema a lo largo de la corrida de la simulación.

w, cantidad de tiempo promedio que los clientes estuvieron en el sistema a lo largo de la simulación.

wQ, cantidad de tiempo promedio que los clientes estuvieron en la cola a lo largo de la simulación.


Medidas para Análisis de Desempeño

en Sistemas de Colas Las principales medidas de desempeño de sistemas de colas son:

L, número promedio de clientes en el sistema a lo largo de la corrida de la simulación.

LQ, número promedio de clientes en la cola del sistema a lo largo de la corrida de la simulación.

w, cantidad de tiempo promedio que los clientes estuvieron en el sistema a lo largo de la simulación.

wQ, cantidad de tiempo promedio que los clientes estuvieron en la cola a lo largo de la simulación.

, utilización del servidor.

Para estás medidas pueden ser calculadas analíticamente (para algunos sistemas) o estimadas a través de una simulación.

Existen dos tipos de estimadores: promedios ordinarios o ponderados.


Medidas de DesempeñoEstimación de L

Sea T la cantidad total de tiempo que dura la simulación, y Ti la cantidad total de tiempo que el sistema contiene i clientes en el sistema a lo largo de toda la simulación, luego:

Este constituye un ejemplo de estimador de promedio ponderado.

00

)(1ˆ

i

i

ii T

TiTi

TL

TdttL

TL

0).(

1ˆ

Discreta Continua


Medidas de DesempeñoEstimación de LQ

Sea T la cantidad total de tiempo que dura la simulación, y Ti

Q la cantidad total de tiempo en que hay exactamente i clientes esperando en la cola a lo largo de la simulación, luego:

Este constituye otro ejemplo de estimador de promedio ponderado.

Discreta Continua

00

)(1ˆ

i

Qi

i

QiQ T

TiTi

TL

T

QQ dttLT

L0

).(1ˆ


Ejemplo: Planificación de Eventos

Estimación de L(t) y LQ(t)

Número deEvento

Tipo deEvento

Reloj deSimulación

Nº de Clientesen el Sistema

Nº Clientesen la Cola

EstadoServidor

TiempoOcioso

Servidor

1 Arribo 0 1 0 Ocupado 0


3 F. Serv. 2 1 0 Ocupado 0










Tiempo ocioso acumulado = 0


Ejemplo: Gráfico L(t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16t

L

1

2

3


Ejemplo: Gráfico LQ(t)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16t

LQ

1

2

3


Medidas de DesempeñoEstimación de w

Si simulamos un sistema de colas durante un período T, luego podemos registrar el tiempo que cada cliente paso en el sistema.

Sea Wi el tiempo que el i-ésimo cliente estuvo en el sistema, y sea N la cantidad de clientes que arribaron al sistema durante el período T, luego:

Este es un ejemplo de estimador de promedio ordinario.

N

iiW

Nw

1

1ˆ


Medidas de DesempeñoEstimación de wQ

Si simulamos un sistema de colas durante un período T, luego podemos registrar el tiempo que cada cliente paso en la cola del sistema.

Sea Wi Q el tiempo de espera en la cola del i-ésimo cliente, y sea N la cantidad de clientes que arribaron al sistema durante el período T, luego:

Este es otro ejemplo de estimador de promedio ordinario.

N

i

QiQ W

Nw

1

1ˆ


Medidas de DesempeñoEcuación de Conservación

La ecuación de la conservación es una propiedad que poseen la mayoría de los sistemas de colas.

Esta propiedad establece que la cantidad promedio de clientes en el sistema en un instante de tiempo t es igual a la cantidad promedio de arribos en una unidad de tiempo multiplicada por el tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema.

En nuestra notación esto implica que:

L = .w


Medidas de DesempeñoEstimación de la utilización del

Servidor

Este medida establece la proporción de tiempo que el servidor estuvo ocupado y se denota como .

Utilización del servidor en sistemas de colas G/G/1//

Utilización del servidor en sistemas de colas G/G/c//

donde c es la cantidad de servidores.

1

1.

c


Medidas de DesempeñoCostos en Problemas de Colas

En varias situaciones existen costos asociados con los distintos elementos que conforman un sistema de colas.

Por ejemplo, si tenemos un costo de $x por cada unidad de tiempo que un cliente pasa en la cola, luego el costo promedio

por cliente es:

Por otra parte, si tenemos un costo de $x por cada unidad de tiempo que el servidor está ocupado, luego el costo en un sistema de colas multiservidor por unidad de tiempo será:

Qwx ˆ.$

..$ cx


Redes de Colas

Todos los modelos que hemos considerado hasta ahora tienen una única cola de clientes.

No obstante, existen varios modelos para sistemas de múltiples colas en donde un cliente va pasando a través de distintas colas.

Un caso particular está formado por los sistemas denominados estables con población y capacidad infinita.


Propiedades de las Redes de Colas Estables con Población y Capacidad

Infinita

Previendo que ningún cliente puede ser creado o destruido en la cola, luego, la tasa de partidas efectiva de clientes de una cola es igual a la tasa de arribos efectivos de clientes en la cola al finalizar la corrida.

Si los clientes arriban a la i-ésima cola con una tasa i , y una fracción pij ,0 < pij< 1, de ellos son ruteados a la cola j después de partir de la cola i, luego, la tasa de arribos a la cola j desde la cola i al finalizar la corrida es i .pij.

La tasa de arribo total en la cola j, j, será la suma de las tasas de arribo provenientes de las otras colas más los arribos provenientes del exterior del sistema, los cuales denotamos como aj:

)( ijiall

ijj pa


Propiedades de las Redes de Colas Estables con Población y Capacidad

Infinita

Si la cola j tiene cj< servidores paralelos, con tasa de servicio j , luego la utilización de cada servidor es:

y j < 1 es requerido para que la cola sea estable.

Si, para cada cola j, los arribos desde el exterior de la red forman un proceso de Poisson con tasa aj , y hay cj servidores idénticos con tiempos de servicio distribuidos exponencialmente con media 1/j, luego cada cola j en estado estacionario se comporta como un sistema M/M/cj con tasa de arribos igual a:

jj

jj c

)( ijiall

ijj pa


Recomendaciones

Lectura sugerida: Capítulo 6 (excluidas las secciones 6.4 y

6.5) del libro Discrete-Event System Simulation de Banks y co.

Ejercitación recomendada: Trabajo Práctico 7: Conceptos Básicos de

Simulación de Sistemas de Colas.

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