Simulación Final

Dpto. Ingeniera Aeroespacial

Escuela de ingenieros aeroespaciales

Len a 30 de Enero de 2015

Caldern de Miguel, Vctor

Gonzlez Redondo, Diego

Ejercicio 2.3

Mtodo explicito para la ecuacin del calor

Ejercicio Simulacin 2.3

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INDICE:

1. Introduccin.

2. Contextualizacin.

3. Resolucin del problema.

4. Conclusiones

5. Bibliografa y Webgrafa.


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1. Introduccin.

Nos encontramos ante el siguiente problema con condiciones iniciales.

1. Obtener la solucin formal del problema con separacin de variables. Utilizar

MATLAB para calcular los coeficientes de la serie formal.

2. Escribir en MATLAB un programa que aproxime la solucin del problema anterior

mediante el mtodo explcito de diferencias finitas para el paso espacial h=0,2 y

para pasos temporales k=0,01 , k=0,0125 y k=0,2 y que represente, en un mismo

grfico, las curvas solucin para los instantes t=r, t=2r, t=3r, t=4r donde r=k/h^2

(un grfico para cada valor de k), junto con la solucin verdadera

Truncada hasta el sumando n tal que

Este problema trata de la ecuacin del calor, la cual fue propuesta por Fourier en 1807, en su

memoria sobre la propagacin del calor en los cuerpos slidos.

Es un modelo matemtico, que trata de describir la evolucin de la temperatura de un cuerpo

slido, en funcin del tiempo y el espacio.

Nos encontramos ante un prototipo de ecuacin diferencial parablica, la cual se obtiene de

forma genrica mediante una ecuacin de derivadas parciales lineal de segundo orden

(EDP) con 2 variables independientes Y e X y una variable dependiente U, de tal forma

que tenemos:

donde A,B,C,...,G son funciones de x e y.

Cuando G(x,y) = 0, se dice que la ecuacin es homognea; en caso contrario se dice que es

no homognea. En nuestro caso, se trata de una ecuacin homognea.


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De este modo obtenemos la ecuacin lineal del calor:

2. Contexutalizacin

En este apartado nos vamos a centrar en el mtodo utilizado para la resolucin del

ejercicio, el cual se ha realizado por separacin de variables.

A continuacin se muestra cmo resolver la ecuacin de una forma genrica, ms adelante,

la adaptaremos a nuestro caso particular del problema:

Este mtodo busca una solucin particular en forma de un producto de una funcin de x, una funcin de y, como U(x,y)= X(x). Y(y)

En primer lugar vamos a convertir la ecuacin de derivadas parciales con 2 variables en 2

ecuaciones ordinarias del siguiente modo:

De este modo podremos operar ms fcilmente cada una de las ecuaciones ordinarias.

Nos encontramos ante un modelo de variacin de la temperatura u segn la posicin xy, en

un tiempo t, en una varilla de longitud L y de temperatura inicial f(x) que se extiende a lo

largo del eje xy cuyos extremos se mantienen a una temperatura constante de cero grados

en todo instante. En nuestro caso uno de los extremos estar a cero grados y el otro estar a

75 grados, por lo que la ecuacin mostrada a continuacin habr que adaptarla.

Hemos tenido en consideracin las siguientes hiptesis:

El flujo de calor se produce solamente en la direccin del eje x.

No se pierde calor a travs de la superficie lateral de la varilla.

No se genera calor en la varilla.


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la varilla es homognea (densidad constante).

su calor especfico y su conductividad trmica son constantes.

Por lo que podemos decir que la temperatura u(x,t)de la varilla est dada por la solucin

del problema con condiciones iniciales y de contorno.

A continuacin se detallan los primeros pasos comunes a toda ecuacin homognea del

calor. En nuestro caso el valor de K ser 1.

Tiene una solucin de la forma :

Para determinar Xy T, primero se calculan las derivadas parciales de la funcin u

se sustituyen estas expresiones en la ecuacin resultando:

y separando las variables

Observamos ahora que las funciones del primer miembro dependen solamente de t

,mientras que las del segundo miembro dependen solamente de x e y, puesto que xy t son

variables independientes entre s, los dos cocientes deben ser iguales a alguna constante

Por tanto,


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Una vez conseguidas las 2 ecuaciones, tendremos que resolverlas con las condiciones

iniciales dadas, es decir u(0,t)=0 y u(L, t)= 75. En la resolucin del ejercicio se muestra

como continuamos partiendo desde las ecuaciones halladas, hasta la solucin final.

3. Resolucin del problema

Para el primer apartado, nos hemos basado a partir de la obtencin de las ecuaciones

anteriores y hemos aplicado las condiciones de contorno dadas. Para la resolucin del

mismo, hemos optado por resolverlo a mano y escanearlo, dado que hay un gran nmero

de ecuaciones.

A continuacin se muestra la imagen con la resolucin hecha a mano para la obtencin

de la solucin formal del problema.


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4. Para la resolucin del siguiente apartado, nos hemos guiado por los ejercicios hechos

en Excel, por lo que de igual modo hemos creado celdas ficticias (matriz de ceros) y

las hemos ido rellenando segn las condiciones iniciales o utilizando el Stencil

correspondiente segn corresponda.

A continuacin se muestra el cdigo utilizado para la creacin de las grficas de

MATLAB.

%EJERCICIO 2.3

clear all %Borra todo lo anterior para no tener error

h=0.2;%En primer lugar definimos el paso para la longitud de

la cuerda

L=0:h:5;%variacin de x de 0 a 5 con paso h

k=0.01;%Definimos la k con el valor del problema para el

calculo del tiempo

T=0:k:90;%Variacin del tiempo desde 0 hasta un nmero bastante

grande con paso k (para representar todo. Luego podremos

ajustarlo en funcin del r mximo

r=k/(h^2);

%Creamos una matriz de ceros con longitud T y L para poder

seleccionar las

%condiciones iniciales.

A=zeros(length(T),length(L)+1);

%Modificamos de la matriz los elementos correspondientes a las

condiciones

%iniciales, para ello seleccionamos columna o fila segn

corresponda.

A(:,1)=0; %Es matriz de zeros por lo que no es necesario.

A(1,:)=75; %Condicin inicial del extremo de la barra.

%Para rellenar el resto de la matriz voy a utilizar el Stencil

del mtodo

%explcito, explicado en las transparencias de clase.

for i=2:length(T)%Rellenamos desde 2 porque no queremos

cambiar las condiciones iniciales.

for j=2:length(L) %Del mismo modo hacemos desde la

"casilla" 2 hasta la longitud dada.

A(i,j)=(1-2*r)*(A(i-1,j))+r*(A(i-1,j+1))+ r*(A(i-

1,j-1)); %Stencil para mtodo explcito de la ecuacin del

calor.

end %Terminamos de rellenar la matriz--> hacen falta

representar los puntos fantasma aadidos,


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%Para ello, la penltima columna ser igual a la de los

puntos

%fantasma, de tal modo que:

A(i,length(L)+1)=A(i,(length(L)-1));

end %Matriz terminada de escribir (igual que en excel

%Vamos a representar la funcin obtenida.

%Nos da el siguiente problema Vectors must be the same lengths.

por lo que

%hay que hacer otra matriz para representarla

F=zeros(length(T),length(L)); %Creamos una matriz Final para

representarla

for i=1:length(T)%Con los bucles la rellenamos con los datos

anteriormente obtenidos.

for j=1:(length(L))

F(i,j)=A(i,j);

end

end

subplot(1,3,1);%Nos piden que representemos en diferentes

grficas los valores de k por lo que realizaremos 3

%Representamos las grficas con colorines.

hold on; %para fijar los grficos y no sobreescribir uno tras

otro.

plot(L,F((fix((r/k))),:),'blue');

plot(L,F((fix(2*(r/k))),:),'yellow');%No se ve muy bien pero

no deja ms colores

plot(L,F((fix(3*(r/k))),:),'black');

plot(L,F((fix(4*(r/k))),:),'red');

title('0.01');

xlabel('Longitud');

ylabel('Temperatura');

legend('t=r','t=2r','t=3r','t=4r') %Leyenda del grafico

hold off;

%Realizamos exactamente los mismos pasos pero cambiando los

valores de k.

%Los comentarios sern los mismos dado que es "copy-paste".


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%Tambin habr que cambiar el valor del sublpot a (1,3,2)


la cuerda


k=0.0125;%CAMBIAMOS

T=0:k:500;%Variacin del tiempo desde 0 hasta un nmero

bastante grande con paso k (para representar todo. Luego

podremos ajustarlo en funcin del r mximo

r=k/(h^2);


seleccionar las




condiciones


corresponda.




del mtodo






A(i,j)=r*(A(i-1,j-1))+(1-2*r)*(A(i-1,j))+r*(A(i-

1,j+1)); %Stencil para mtodo explcito de la ecuacin del

calor.




puntos






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por lo que



representarla



for j=1:(length(L))

F(i,j)=A(i,j);

end

end

subplot(1,3,2);%CAMBIAMOS


otro.



no deja ms colores



title('0.0125');

xlabel('Longitud');


legend('r','2*r','3*r','4*r') %Leyenda del grafico

hold off;

%Ultima representacin con valores de k=0.2


la cuerda


k=0.02;%CAMBIAMOS

T=0:k:500;%Variacin del tiempo desde 0 hasta un nmero

bastante grande con paso k (para representar todo. Luego

podremos ajustarlo en funcin del r mximo

r=k/(h^2);


seleccionar las


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condiciones


corresponda.




del mtodo






A(i,j)=r*(A(i-1,j-1))+(1-2*r)*(A(i-1,j))+r*(A(i-

1,j+1)); %Stencil para mtodo explcito de la ecuacin del

calor.




puntos






por lo que



representarla



for j=1:(length(L))

F(i,j)=A(i,j);

end

end

subplot(1,3,3);%CAMBIAMOS


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otro.



no deja ms colores



title('0.02');

xlabel('Longitud');



hold off;

Como se ve, el cdigo est explicado para una mejor interpretacin dado que es difcil su

comprensin.

En el siguiente grfico se muestran exclusivamente las representaciones mediante el mtodo

explcito. A continuacin se realizar una modificacin y adicin de cdigo para la representacin

en otros sub-grficos las representaciones totales, llegando a crear un total de 6 sub-grficos.

REAL


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Para hallar el grfico de la solucin verdadera necesitamos la solucin verdadera de la ecuacin del

calor. Una vez la tengamos, realizaremos una matriz de ceros igual que anteriormente donde

tendremos en cuenta la longitud y los tiempos.

Una vez la tengamos, simplemente tendremos que sustituir cada casilla por la solucin verdadera y

multiplicar por los valores correspondientes. Habra que realizar el siguiente cdigo con su k

correspondiente en cada uno de los 3 apartados (k=0,01 , k=0,0125 y k=0,2) y con h=0.2

El cdigo MATLAB utilizado para cada k correspondiente ser el siguiente:

B=zeros(length(T),length(L));

%Creamos una matriz B en la que horizontalmente estarn

representados los valores desde 0 hasta L con el paso

correspondiente.

%En este caso no hay que sumar 1 puesto que no tenemos puntos

fantasma y tampoco hay que aplicar problemas de contorno.

for i=1:length(T)

for j=1:length(L) %En este caso al no haber condiciones de

contorno empezamos desde la coordenada 1,1.

B(i,j)= u(L,T); %Frmula de la solucin verdadera.

end

end %Ya tendramos completa la matriz con los valores reales,

ahora hace falta representarla, para ello, igual que

anteriormente utilizaremos hold on y hold off.


otro.

plot(L,B((fix((r/k))),:),'blue');

plot(L,B((fix(2*(r/k))),:),'yellow');

plot(L,B((fix(3*(r/k))),:),'black');

plot(L,B((fix(4*(r/k))),:),'red');

title('SOLUCION REAL k correspondiente');

xlabel('Longitud');

ylabel('C');


hold off;

Cabe destacar que tendramos que cambiar los valores de todos los subplot, quedando del siguiente

modo:

subplot(1,6,1); %Este subplot ser el correspondiente a k=0.01

subplot(1,6,2); %Este subplot corresponde con el grfico real de

K=0.1


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subplot(1,6,3); %Subplot que correspondera con el grfico k=0.0125

subplot(1,6,4); %Corresponde al subgrfico del resultado real

k=0.0125

subplot(1,6,5); %Subgrfico que corresponde a k=0.2

subplot(1,6,6); %Grfico que corresponde a la solucin real con

k=0.2.

BIBLIOGRAFA Y WEBGRAFA

-Advanced Engineering Mathematics Dennis G. Zill - Warren S. Wright.

-Apuntes de clase

http://148.204.64.201/paginas%20anexas/voz/articulos%20interesantes/coclea/matlab/mm

2-1.pdf

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/pangulo/edpan/cap6.pdf

http://mygnet.net/codigos/matlab/graficacion/la_ecuacion_del_calor.3282

http://personal.us.es/niejimjim/tema08.pdf

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ireneo/libro.pdf

www.icmc.usp.br/CMS/Arquivos/.../BIBLIOTECA_113_RT_327.pdf

www.upv.es/mattel/asig/numerico2/edps/edp.pp

www.uv.es/qf/04007

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/pangulo/edpan/cap3.pdf

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