SIMULADO_2009 DE MATEMÁTICA APLICADO ÀS TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO ANCHIETA EM

MARÇO DE 2009.

ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

QUESTÕES DE 01 A 08

Identifique as proposições verdadeiras, some os resultados obtidos e marque os resultados na Folha de Respostas:

QUESTÃO 01

Na figura, os círculos de raios R = 6cm e r = 2cm, são tangentes exteriormente, e a reta AC é tangente comum a esses círculos. É verdade que:

(01) CM = 3CP. (02) CP = 4 cm. (04) O ângulo MCA mede 45°. (08) AB = 34 . (16) O comprimento do arco AN de medida menor que 90o é 3 cm. (32) A área do trapézio ABPM é inferior a 90% da área do triângulo ACM. 64) (BC)2 = (CQ).(CP). RESOLUÇÃO:

Os triângulos retângulos CAM e CBP são semelhantes pois P)Cm(BM)Cm(A , logo os lados homólogos

(correspondentes) são proporcionais: 162x6x62

8xx

CP = x = 4 cm. Assim, no triângulo retângulo CBP: x2 = z2 + 4 16 = z2 + 4 BC = z = 3212 cm. Sendo 3 a razão entre os lados correspondentes dos triângulos CAM e CBP, então AC = y = 36 cm.

(01) VERDADEIRA (justificativa acima). (02) VERDADEIRA (Idem). (04) Falsa, pois o triângulo retângulo ACM não é isósceles.

(08) VERDADEIRA.

Pela figura original vê-se que: AB = AC – BC AB = 343236 .

(16) Falsa.

No triângulo retângulo CAM, tem-se 21

126cos = 60°

o comprimento do arco AN é 2)62(61

cm.

(32) VERDADEIRA.

A área do trapézio ABPM é:

S = 3162

34262

ABBPAM

cm2.

A área do triângulo CAM é:

S = 31823126

21sen60MCAM

21

cm2.

98

318316

SS

CAM

ABPM = 0,8888... 89% < 90%.

(64) Falsa.

CM = 12; CQ = CM – PM =12 – (6 + 2) = 4 e CP = 6. (BC)2 = 1232

2 .

(CQ).(CP) = 4 6 = 24. Logo, (BC)2 (CQ).(CP).

QUESTÃO 02 O gráfico ao lado representa um polinômio do terceiro grau e é tangente ao eixo dos x no ponto de abscissa 2. Sabe-se que o resto da divisão de p(x) por (x – 3) é igual a 10. Pode-se afirmar que: 01) O coeficiente do termo em x3 é 1. 02) O resto da divisão de p(x) por (x – 4) é 48. 04) A medida de OA é igual ao termo independente de p(x) e é igual a 16.

08) 05

3p

.

16) p(x) = 2x3 – 4x2 – 8x + 16. 32) A soma das raízes do polinômio q(x) = p(x) + 2x é igual a 3/8. RESOLUÇÃO: Como o gráfico de p(x) corta o eixo Ox no ponto de abscissa – 2 e o tangencia no ponto de abscissa 2, então – 2 é uma raiz simples e 2, uma raiz de multiplicidade 2 desse polinômio, pode-se escrever: p(x) = a (x +2)(x – 2)2. Como o resto da divisão de p(x) por (x – 3) igual a 10: p(3) = a(3 + 2)(3 – 2)2 = 10 5a =10 a = 2 p(x) = 2(x +2)(x – 2)2 = 2x3 – 4x2 – 8x + 16. (01) Falsa. O coeficiente do termo em x3 é 2. (02) VERDADEIRA. p(4) = 2(64) – 4(16) – 8(4) + 16 = 48. (04) VERDADEIRA. Sendo o ponto A = (0, 16) AO = 16. (08) Falsa.

2

25

325

325

3p

.

Sendo positivos os três fatores de

53p , então o produto é maior que zero.

(16) VERDADEIRA. Desenvolvimento inicial da resolução. 32) VERDADEIRA. q(x) = p(x) + 2x = 2x3 – 4x2 – 8x + 16 + 2x = 2x3 – 4x2 – 6x + 16 q(x) = 2x3 – 4x2 – 6x + 16. Então a soma dos inversos de suas raízes é:

83

166

x´x´´x´´´x´x´´x´x´´´x´´x´´´

x´´´1

x´´1

x´1

QUESTÃO 03

Considere as matrizes A =

03x11112x

e B =

103211

2 yy.

É verdade que: (01) Se A é inversível, então x = 2

3 .

(02) Se detA = 2 e detB = –3, então 1301211y2y

03x12x111

.

(04) 6detB203431

2y6y .

(08) Se a matriz A não é inversível então det(4A) = 96. (16) Se

21Bdet 1 , então y = 4.

(32) (A + I)2 = A2 A2 + 2AI + I2 = A2 A = 2I

.

RESOLUÇÃO: (01) Falsa.

Se A é inversível, então detA 0 03x11112x

= 3 + 2x – x – 3x 0

2x 3 x 23 .

(02) Falsa.

Sendo detA = 2 03x11112x

= 2 3 – 2x = 2 2x = 1 x = 1/2.

Sendo detB = –3 3103211y2y

y + 12 – 3y – 2 = – 3 2y = 13 y = 13/2.

Desenvolvendo a igualdade: 1301211y2y

03x12x111

3yx62y2x152y2x16y43y32xx3x .

Substituindo, na última igualdade, x por 1/2 e y por 13/2: x + y = 72

1321

(04) VERDADEIRA.

6detB103211y2y

32203431

2y6y .

(08) Falsa. Se a matriz A de ordem 3 não é inversível, então seu determinante é nulo e então det(4A) = 43detA = 640 = 0. (16) VERDADEIRA.

detB = 10 – 2y 4y82y2y10221

2y101Bdet 1

.

(32) VERDADEIRA.

(A + I)2 = A2 A2 + 2AI + I2 = A2 2A + I = 0 2A = –I A = 2I

.

QUESTÃO 04

Sobre determinantes e matrizes é verdade que:

01) A soma dos elementos da matriz X solução da equação AX = B, onde A =

2111 e

B =

44 é igual a 4.

02) O sistema homogêneo

000

zyx

a30122212

é indeterminado se a = 2.

04) O sistema

121

zyx

031132211

equivale ao sistema escalonado

201

zyx

400310

211.

08) (, – 1, – 1); , é solução geral do sistema

2zyx0zyx .

16) O sistema

2ayx1yax é determinado a .

32) Se A e B são matrizes inversíveis e A é simétrica, então (AtB– 1) – 1 = BA– 1. RESOLUÇÃO: 01) VERDADEIRA.

AX = B A– 1AX = A– 1B X = A– 1B X = 1

1112

X = 0444

1112

cuja soma dos elementos é igual a 4.

02) Falsa. Um sistema homogêneo é indeterminado quando além da solução trivial apresenta outras infinitas soluções, isto é, quando o determinante da matriz formada pelos coeficientes das suas variáveis é nulo.

Assim 3a62a02a6124a0a30122212

.

04) Falsa.

Escalonando o sistema:

121

zyx

031132211

Substituindo a linha 2 por – 2L1 + L2 e a linha 3 por – L1 + L3 tem-se:

001

zyx

220310

211.

Nesta última matriz substituindo a linha 3 por: – 2L2 + L3 tem-se o sistema:

001

zyx

400310

211.

(08) VERDADEIRA.

No sistema

2zyx0zyx

,repetindo L1 e substituindo L2 por –L1 + L2:

1y0zyx

20y200zyx

. Fazendo x = :

1z1y

x

1y0zy

S = (, – 1, – 1); . (16) VERDADEIRA.

Para o sistema

2ayx1yax

ser determinado, a , 01a0a11a 2

que é

verdadeiro para a . (32) VERDADEIRA. Se A e B são matrizes inversíveis e A é simétrica, então (AtB– 1) – 1 = BA– 1.

Sendo A uma matriz simétrica, At = A, então (AtB– 1) = (A B– 1) (AtB– 1) – 1 = (A B– 1) – 1 . Como a matriz (M N ) – 1 = N – 1M – 1, então (A B– 1) – 1 = (B– 1) – 1 A– 1 = BA– 1.

QUESTÃO 05

O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

(01) Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com representantes de 7 países diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3 da América do Sul, 2 da América Central e 2 do Caribe. (02) Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central participantes dos Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos 3 países da América Central é inferior a 180.

(04) Considerando-se que, no judô, havia exatamente 1 atleta de cada país da América do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois atletas desse continente competirem entre si é igual a 66.

(08) Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de classificação no 1o, 2o e 3o lugares foi igual a 6. (16) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as lado a lado verticalmente na entrada de um estádio para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas. RESOLUÇÃO: (01) Falsa. Na formação das equipes desse item, a ordem dos elementos não é importante, mas apenas a natureza dos elementos, portanto: n = 30096017128220

121819

1278

123101112

2,192,83,12

CCC .

(02) Falsa.

4341682105631236783

12345678

123678

2,33,81,34,85,8

CCCCC .

(04) VERDADEIRA.

66121112

2,12

C .

(08) VERDADEIRA. O número de possibilidades diferentes de classificação no 1o, 2o e 3o lugares é determinado por A3,3 ou P3 = 3! = 3 2 1 = 6.

(16) VERDADEIRA. Se 3 das 7 faixas são verdes e indistinguíveis e outras 3 são amarelas e indistinguíveis, e somente uma delas é branca então o decorador o decorador conseguirá produzir, no máximo, n = 140

234567

! 3! 3! 7

PPP

33

7

formas diferentes com essas faixas.

QUESTÃO 06

Foram colocadas numa caixa 9 bolas brancas, numeradas de 1 a 9; 9 bolas vermelhas, numeradas de 1 a 9 e 9 bolas azuis, numeradas de 1 a 9.

Podemos afirmar: (01) A probabilidade de, sorteando-se uma bola desta caixa, encontrarmos uma bola

ímpar é 95 .

(02) A probabilidade de, sorteando-se uma bola desta caixa, encontrarmos a bola

branca de número 7 é 91 .

(04) A probabilidade de, sorteando-se uma bola desta caixa, encontrarmos 1 bola par ou vermelha é

97 .

(08) A probabilidade de, sorteando-se três bolas desta caixa, encontrarmos uma bola de

cada cor é 32581 .

(16) A probabilidade de, sorteando-se três bolas brancas desta caixa, encontrarmos três números cuja soma seja ímpar é

2111 .

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA. Na caixa existem 27 bolas numeradas, 12 com números pares (2, 4, 6, 8) e 15 com números ímpares (1, 3, 5, 7, 9), logo a probabilidade de sorteando-se 1 bola desta caixa, encontrarmos 1 bola ímpar é p =

95

2715

.

(02) Falsa. A probabilidade de, sorteando-se 1 bola desta caixa, encontrarmos a bola branca de

número 7 é 271 .

(04) Falsa.

A probabilidade de, sorteando-se 1 bola desta caixa, encontrarmos 1 bola par ou vermelha é:

2717

274

2712

279B)p(Ap(B)p(A)B)p(A

(08) VERDADEIRA.

32581

259

139

259

269

279!3

.

(16) Falsa.

Para que a soma de três números inteiros seja ímpar é necessário que os três sejam ímpares ou então que dois sejam pares e um ímpar.

P P I P I P I P P I I I

75

83

94

73

85

94

73

84

95

73

84

95

2110

4220

425

425

425

425

QUESTÃO 07

Sobre o desenvolvimento do binômio 6

2x2 x

, segundo as potências decrescentes

de x, podemos afirmar que:

(01) Apresenta sete termos. (02) A soma dos coeficientes é 64. (04) Os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos são iguais.

(08) O termo médio é 3

160x

.

(16) O termo independente é 60. RESOLUÇÃO: (01) VERDADEIRA. Pois 6 + 1 = 7. (02) Falsa.

A soma dos coeficientes de p(x) = 6

2x2

x é p(1) = 1

12 1

6

2

.

(04) Falsa. No exemplo em questão é falso pois somente são iguais os coeficientes

polinomiais dos termos equidistantes dos extremos são iguais.

Por exemplo: T2 = T1+1 = 3161

2 12xxx2

16

e

T6 = T5+1 = -9565

2 192xxx2

56

.

(08) VERDADEIRA.

Como o desenvolvimento de 6

2x2 x

tem 7 termos, o termo médio é o de ordem

42

17

, logo, T4 = T3+1 =

36

363

2 xx820x

x2

36

3x160 .

(16) VERDADEIRA.

Tp+1 = p62ppp6p

2 xx2p6

xx2

p6

é o termo geral do desenvolvimento de

6

2x2 x

.

No termo independente de x, 2p0p62pxxx 0p62p .

Assim o termo independente é T2+1 = 60415226 2

QUESTÃO 08

Sejam e dois planos perpendiculares e r = a reta de interseção desses planos. É verdade que: (01) Se uma reta é paralela ao plano , então é paralela ao plano . (02) Se t // ( ) , t , t , então t // e t // . (04) Se A e B , então a reta definida pelos pontos A e B é reversa à reta r = .

(08) Se s , s , então s // . (16) Se P e as retas distintas s e t possuem o ponto P e são paralelas ao plano , então o plano definido por essas retas é perpendicular ao plano . (32) Se o plano é paralelo à reta r = , então as retas e são paralelas.

RESOLUÇÃO: (01) Falsa. A reta s ( figura ao lado) é paralela ao plano , mas é concorrente com o plano .

(02) VERDADEIRA. t // r = ( ) , t , t , e t // e t // .

(04) Falsa. A e B , mas a reta definida pelos pontos A e B (figura ao lado) é concorrente à reta r = no ponto B.

(08) VERDADEIRA. A reta s é concorrente à reta u no ponto P; s t , s u , , s , então s // .

(16) VERDADEIRA. P e as retas distintas s e t possuem o ponto P e são paralelas ao plano , logo o plano definido por essas retas é paralelo ao plano e portanto é perpendicular ao plano .

(32) Falsa.

FIGURA 1

FIGURA 2

FIGURA 3

FIGURA 1: // r = , mas = , pois //; (contra-exemplo) FIGURA 2: // r = , mas = , pois //; (contra-exemplo) FIGURA 3: // r = e s = e t = são paralelas. (exemplo)

QUESTÃO 09

Considere as matrizes

263x0421121x

C e 111012113

B ,2101211xx

A .

Sabendo que a matriz 2AB– 1Ct não tem inversa, calcule o quádruplo do produto dos possíveis valores de x. RESOLUÇÃO: Se a matriz 2AB– 1Ct não tem inversa, então det(2AB– 1Ct) = 0. det(2AB– 1Ct) = det(2A)det(B– 1)det Ct = 23 detAdet(B– 1)det C = 0.

detA = 1x2xx14x2101211xx

,

detB = 22123111012113

det(B– 1) = 21 .

det C = 24x81212844x68x263042121

26x04112x

263x0421121x

23 detAdet(B– 1)det C = 0 8 (x+1) 21 (4x+2) = 0 (x+1)((2x+1) = 0

x’ = – 21 ou x’’ = – 1 4x’. x’’ = 2.

RESPOSTA: 2

QUESTÃO 10 Uma pessoa aplica 40% de seu capital, na data de hoje, a uma taxa de juros simples de 30% ao ano, durante 6 meses. Aplica o restante, na mesma data, à taxa de juros compostos de 10% ao trimestre, durante 1 semestre. Sabendo-se que a soma dos montantes obtidos através destas duas operações é igual a R$ 65.230,00, calcule o valor do capital inicial total que esta pessoa possui na data de hoje, em milhares de reais. RESOLUÇÃO: Na primeira informação, como o capital foi aplicado a uma taxa de juros simples anual e por 6 meses, o montante será então calculado por uma das seguintes relações:

6CimCM ou

2CisCM .

Na segunda informação, como o capital foi aplicado a uma taxa de juros compostos trimestral por 6 meses, o montante será calculado pela relação:

ti1CM . CAPITAL De 0,4C aplicado a juros simples 0,6C aplicado a juros compostos MONTANTE M1 = 0,4C + 0,4C (0,3/12) 6 M2 = 0,6C 1,12

0,4C + 0,4C0,0256 + 0,6C1,21 = 65230 55000 RESPOSTA: O capital inicial total foi de R$55 000,00, portanto 55 milhares de reais.