Vilnius | 2016

Viktor Novičenko

Sinchronizacija ir jos valdymas netiesinių

osciliatorių sistemose

Osciliatoriai konservatyviose sistemose: Osciliatoriai disipatyviose sistemose:

Uždaviniai iškyla sprendžiant planetų

judėjimą.

Nagrinėjami kelis tūkstantmečius.

Sutinkami elektronikoje, robototechnikoje,

lazeriuose, cheminėse reakcijose,

biologinėse sistemose bei ekonominiuose

modeliuose.

Nagrinėjami pastarąjį šimtmetį.

Didelis susidomėjimas ribinio ciklo osciliatoriais yra pastarąjį dvidešimtmetį, pradėjus

sparčiai vystytis neuromokslui.

Netiesinis osciliatorius – sistema vaizduojanti periodinį sprendinį, aprašoma

netiesinėmis diferencialinėmis lygtimis.

Paprasčiausias pavyzdys yra Žemės-Saulės sistema.

Netiesinės dinamikos moksle dažniausiai stengiamasi „ištiesinti” netiesinę lygtį

konkretaus sprendinio aplinkoje.

Už „ištiesinimą” periodinio sprendinio aplinkoje atsako Floke teorija, suformuluota

XIX a. pabaigoje.

xfx Tarkim sistema turi periodinį sprendinį Ttt ξξ

Lygtis dėl be galo mažo trikdžio yra tiesinė lygtis su periodiniais

koeficientais:

ttt ξxx

xξfx tD

Pakanka turėti evoliucijos matricą suskaičiuotą per vieną periodą

ΦξfΦ tD su pradine sąlyga 1Φ 0

tΦ Tt ;0

07.07.3 xΦΦΦΦx TTTTT

TΦ - Monodromio matrica

0lim xΦ n

nT

Kas bus su trikdžiu po be galo daug periodu?

N ,...,, 21Monodromio matricos tikrinės vertės (Floke daugikliai) parodo

periodinio sprendinio stabilumą.

Re

Im

Tii exp

i - Floke eksponentė

Ribinis ciklas yra stabilus, jei

,1i Ni ...,3,2

Fazinė redukcija – teorinės analizės metodas, leidžiantis nagrinėti vieno

skaliarinio kintamojo dinamiką, vietoje visų ribinį ciklą aprašančių kintamųjų

dinamikos.

Fazinės redukcijos tyrimo objektas: silpnai perturbuotas ribinis ciklas arba

osciliatoriai sujungti silpnu ryšiu.

Fazės dinamika neperturbuotai sistemai: 1

)(...)()()( 21 ABBB ξxxx

Silpnai perturbuota sistema )()( tgxfx

Kaip atrodo perturbuotos sistemos fazės dinamika?

2.0, TΦMonodromio matricos

dešinieji tikriniai vektoriai:

iiiT RRΦ 2.0,

NNcct RRg ...11

Fazės perturbaciją nulems

koeficientas 1c

2.0, TΦMonodromio matricos

kairieji tikriniai vektoriai:

iii T LΦL 2.0,

Dešinieji ir kairieji tikriniai vektoriai yra bi-ortogonalus

todėl pakanka suskaičiuoti ijji RL

11 ct gL

TzL 1

Fazės atsako funkcija:

)(1 )()( tt Tgzgxfx

Čia yra periodinė vektorinė funkcija – fazės atsako funkcija (FAF). z

FAF yra periodinis sprendinys jungtinės lygties: zξfzT

D )(

Tenkinantis pradines sąlygas: 1)0()0( ξz T

iyxzzzziz kur 12

Landau-Stuart osciliatorius

t

tt

sin

cosξ

cos

sinz

Hindmarsh-Rose neurono modelis:

zxxsrz

ybxy

Izxaxyx

R

2

32

1

V. Novičenko, K. Pyragas, Nonlinear. Dyn. 67, 517–526 (2012)

Ką galima paskaičiuoti naudojant fazinę redukciją

1) Perturbuoto osciliatoriaus periodą

T

TT dT0

1 )(T )(1 )()( ξgzξgzxgxfx

kl

lkklkk

T

k

kl

lkklkkkk ),()(1 ),()()( ξξgξfzxxgxfxfx

Pašalinam trivialų fazės augimą ttt kk

l

klklkk H ,kur

dssssT

H

dsssT

T

kl

T

kl

T

k

T

k

0

0

,1

1

ξξgz

ξfz

3) Sinchronizacija su išoriniu periodiniu signalu ir optimizacijos uždaviniai:

T

dsTTsgszT

HfTtgz0

1

1Hkur , 1

1Ttgtg

0 kai , min/

0 kai , max/

fHfT

fHfTth

2) Beveik identiškų osciliatorių, sujungtu silpnu ryšiu, analizė:

Lygtis dėl fazės: tTgz 1

ttttt TTTBzAzzJungtinė lygtis FAF rasti:

čia

)(),(

)(),(

2

1

ttDt

ttDt

ξξfB

ξξfA

Pradinės sąlygos:

0

1)()0(0

dssssTTξBzξz

Fazinę redukcija galima atlikti osciliatoriams aprašomiems lygtimis su delsa:

ttt gxxfx ,

Laisvo osciliatoriaus

dinamika

Uždelsto grįžtamojo

ryšio jėga

tTt xxKxfx KB

KξfA

t

tDt

FAF tenkina jungtinę lygtį:

ξfzz DTT FAF forma nepriklauso nuo valdymo matricos K

V. Novičenko, K. Pyragas, Physica D 241, 1090–1098 (2012)

K. Kotani et al, Phys. Rev. Lett. 109, 044101 (2012)

V. Novičenko, Phys. Rev. E 92, 022919 (2015)

Sinchronizacijos valdymas silpnai sujungtų osciliatorių tinkle, naudojant uždelsto

grįžtamojo ryšio jėgą

tta iii

j

jiijiiii xxKxxgxfxfx ),()()(

1ir kur , effeffeffeff

KK

T

Tha ii

ii

j

ijijii

KC

K

1

1

FitzHugh-Nagumo neuronų tinklas

V. Novičenko, Phys. Rev. E 92, 022919 (2015)

01

1

eff

KK

T

T

T

T iiii

iii

Kartais reikia, kad ne vien dažniai bet ir fazės būtų vienodos:

const...21 ttt n

j

ijijii ha effeff

t

t

n

1

φ φLφ 0'eff h

Jei , tai sprendinys prie bet kokios tinklo topologijos yra

stabilus.

0φ 00' h

Giluminė smegenų stimuliacija (deep brain stimulation) – procedūrą taikoma

Parkinsono liga sergantiems žmonėms, kai tam tikra smegenų sritis

stimuliuojama aukšto dažnio (120-180 Hz) elektros srove. Ji taikoma tada, kai

nepavyksta sumažinti raumenų nevalingus judesius naudojant cheminius

preparatus.

Mes nagrinėjame atvejį, kai stimuliavimo srovės amplitudė

tiesiškai priklauso nuo dažnio: AI 1

wgw

w

,

cos, 1

v

tIvfv

AvAv

AvfAvfv

,,,sin

,,,sin

1

1

wgwgw

ww

Vidurkinta dinamika aprašoma:

2

1 /200 cmAI

01 I

2

1 /300 cmAI

2

1 /400 cmAI

K. Pyragas, V. Novičenko, P. A. Tass, Biol. Cyber. 107, 669-684 (2013)

K. Pyragas, V. Novičenko, P. A. Tass, Biol. Cyber. 107, 669-684 (2013)

Benabid AL et al, Lancet 337 403 (1991)

Stimuliuojant skirtingus neuronų pogrupius su pastumtomis laike gaubtinėmis

galima sumažinti bendrą neuronų kuriamą vidutinį lauką

K. Pyragas, V. Novičenko, Phys. Rev. E 92, 012910 (2015)

Fazinė redukcija osciliatoriams perturbuotiems stipria aukšto dažnio jėga su lėtai

kintančia gaubtine

ttK )(xfx AK

Įvedam naują kintamąjį ttAtt xy

Lygtis suvidurkintam per aukšto dažnio periodą yra: ty

Efektyvinė FAF Landau-Stuart

osciliatoriui:

2sin2eff z

Efektyvinė FAF Morris-Lecar neuronui:

2

1

2T

eff2

eff2

2

22

21

22

kur , 2

1 2

ξfz

yfyfy ztzAtA

y

Optimizacijos uždaviniai su ribojimais (parkavimo uždavinys)

tuv

vx

bau , Kraštinės sąlygos

0 ,00

,00

Tvv

ATxx

Sistemos Hamiltonianas

1,,,, 2121 upvpuvxppH

Norime minimizuoti laiką T

Lygtis dėl jungtinių kintamųjų12

1 0

pvHp

xHp

Jei spręstume be ribojimų, tai ant optimalios trajektorijos 0 0 0 12 ppdu

dH

Negauname jokios informacijos apie optimalius tvtxtu *** ir ,

Pontriagino maksimumo principas – ant optimalios trajektorijos Hamiltonianas

pasiekia maksimalią įmanomą vertę, net tada kai bau ,

Optimali gaubtinės forma norint pasiekti sinchronizaciją minimalia galia

K. Pyragas, V. Novičenko, Phys. Rev. E 92, 012910 (2015)

0 duos 0 2

2

eff

2

22

td

dH

TpzApH

Optimali gaubtinės forma FitzHugh-Nagumo neuronui

PABAIGA