FISA DISCIPLINEI I. UNIVERSITATEA SPIRU HARET FACULTATEA MATEMATICA-INFORMATICA DOMENIUL DE LICENTA

SPECIALIZAREA MATEMATICA si INFORMATICA Anul universitar 2008 - 2009 Forma de invatamant ZI /FR /ID II. DENUMIRE DISCIPLINA

GEOMETRIE ANALITICA III. CODUL DISCIPLINEI IV. Statut disciplina Obligatorie Optionala Facultativa (se marcheaza cu X) X V. Structura disciplinei (nr. ore) Semestrul Curs

(nr. ore/sapt. si total nr.ore/sem.)

Seminar (nr. ore/sapt. si total nr.ore/sem.)

Laborator (nr. ore/sapt. si total nr.ore/sem.)

Lucrari practice (nr. ore/sapt. si total nr.ore/sem.)

Proiecte (nr. ore/sapt. si total nr.ore/sem.)

I 2 ore/sapt 28 ore/sem

3 ore/sapt 28ore/sem

II VI.(ETCS) Semestrul Numar credite I 6 ECTS II VII. OBIECTIVELE DISCIPLINEI Disciplina fundamentala necesara oricarei abordari de specialitate. Prezinta notiunile fundamentale de transformari geometrice cu aplicatii in procesarea de imagini. VIII. CONTINUT TEMATIC

• Vectori liberi • Dreapta in spatiu • Planul in spatiu • Pozitii relative in spatiu • Transformari afine. Aplicatii ale transformarilor geometrice in procesarea de imagini • Conice • Curbe in 2 si 3 dimensiuni • Cuadrice si corpuri de rotatie

IX. TEME SEMINAR Seminarul urmareste tematica cursului X. LUCRARI DE LABORATOR (daca este cazul) XI. LUCRARI PRACTICE (daca este cazul) XII. PROIECTE (daca este cazul) XIII. Forma de evaluare (procent din nota finala) Examen Colocviu Verificare pe

parcurs Lucrari practice

Laborator Proiecte

X XIV. Bibliografie Obligatorie minimala (pag.) Suplimentara Facultativa 1. Duda I, Dunca A,. – Lectii de geometrie analitică, Editura FundaŃiei România de Mâine 2007

1.Teleman K. – Logică şi geometrie, Tipografia UniversităŃii Bucureşti, 1989. 2.Turtoi A. – Geometrie, Tipografia UniversităŃii Bucureşti, 1983.

XV. Metode didactice (clasice/moderne)

1. curs clasic cu exemplificari grafice computerizate 2. seminarii comentate prin sistem e-beam postate pe pagina de internet a facultatii

Data Titular disciplina 15.09.2008

Titlul didactic, Numele si prenumele

Prof.univ.dr. I.Duda

ALGEBRA VECTORIALA (Vezi DUDA I., DUNCA A.« Lectii de geometrie analitica »

Editura Fundatiei Romania de Maine, 2007 [1] Pag. 9-33)

Fie reperul cartezian

( , , , )O i j k� � �

. Fiecarui punct M din spatiu i se asociaza tripletul de numere reale ( , , )x y z , numite coordonate carteziane ortogonale ale punctului M.

Punctului M i se asociaza vectorul ( , , )OM x y z xi y j zk= = + +����� � � �

, numit vector de pozitie

al punctului M iar vectorii ,xOM xi=������ �

yOM y j=������ �

, zOM zk=������ �

reprezinta componentele

vectorului OM�����

in baza ( , , )i j k� � �

, in fapt, OM�����

reprezinta diagonala paralelipipedului

dreptunghic construit pe muchiile [ ] [ ], ,x y zOM OM OM .

Fie ( , , )A A AA x y z si ( , , )B B BB x y z doua puncte dintr-un reper cartezian.

Vectorul ( , , )B A B A B AAB x x y y z z= − − −�

.

Modulul (sau lungimea) vectorului AB�

va fi egala cu

( ) ( ) ( )2 2 2

B A B A B AAB x x y y z z= − + − + −�

Vectorul de lungime egala cu unu se va numi versor. Spunem ca doi vectori u

� si v�

sunt coliniari *α⇔ ∃ ∈ℝ astfel incat u vα=� �

Spunem ca doi vectori u�

si v�

sunt necoliniari 0 0u vα β α β⇔ + = ⇒ = =� � �

Definim produsul scalar a doi vectori 1 1 1 1( , , )v a b c=��

si 2 2 2 2( , , )v a b c=���

ce fac un unghi

[ )0,θ π∈ ca fiind numarul real:

1 2 1 2 cosv v v v θ⋅ =�� ��� �� ���

Daca vectorii 1v��

si 2v���

au in baza canonica {, ,i j k� � �

}scrierile 1 1 1 1( , , )v a b c=��

si

2 2 2 2( , , )v a b c=���

, atunci produsul scalar va avea expresia analitica

1 2 1 2 1 2 1 2v v a a b b c c⋅ = + +�� ���

.

Produsul vectorial a doi vectori 1v��

si 2v���

(notat 1 2v v�� ���

) este un vector d��

cu proprietatile : 1)este perpendicular pe planul determinat de vectorii 1v

�� si 2v���

.

2)sensul vectorului d��

este dat de regula „burghiului”.

3)modulul vectorului d��

este egal cu 1 2 sind v v θ=��

, unde θ este unghiul facut de cei doi

vectori.

Expresia analitica a produsului vectorial a doi vectori 1 1 1 1( , , )v a b c=��

si 2 2 2 2( , , )v a b c=���

este

data de determinantul :

1 2 1 1 1

2 2 2

i j k

v v a b c

a b c

× =

� � �

�� ���

Produsul mixt a trei vectori Fie 1 1 1 1( , , )v a b c=��

, 2 2 2 2( , , )v a b c=���

si 3 3 3 3( , , )v a b c=��

trei vectori liberi.

Se numeste produsul mixt al vectorilor 1 2 3, ,v v v�� ��� ��

, numarul:

( ) ( )1 1 1

1 2 3 1 2 3 2 2 2

3 3 3

, ,

a b c

v v v v v v a b c

a b c

= ⋅ × =�� ��� �� �� ��� ��

Din punct de vedere geometric, valoarea absoluta a produsului mixt a trei vectori

reprezinta volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori 1 2 3, ,v v v�� ��� ��

. Se numeste vector director al unei drepte d , orice vector liber nenul v

� avand directia

dreptei d .

Vectorii necoliniari nenuli ,u v� �

ale caror directii sunt paralele cu planul (P) se numesc vectori directori ai planului ( P). Un vector nenul n

� se numeste vector normal la planul (P) daca un reprezentant al sau are

dreapta suport perpendiculara pe planul (P).

DREAPTA SI PLANUL IN SPATIU TRANSFORMARI AFINE

(Vezi DUDA I., DUNCA A.« Lectii de geometrie analitica » Editura Fundatiei Romania de Maine, 2007 [1]

Pag. 33-98)

Forme ale ecuatiei planului in spatiu

Ecuatia vectoriala a planului care trece prin 0M si care este perpendicular pe n�

este

0( ) 0r r n− =�� ��

, unde r�

este vectorul de pozitie al unui punct curent al planului, 0r��

este

vectorul de pozitie al punctului 0M .

Ecuatia generala a planului intr-un sistem de coordonate carteziane rectangulare este 0ax by cz d+ + + = , unde cel putin unul din coeficientii , ,a b c este diferit de zero.

Ecuatia normala a planului este 0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z− + − + − = , unde ( ), ,n a b c=�

este vectorul normal la plan, iar ( )0 0 0 0, ,M x y z= este un punct apartinand planului.

Ecuatia planului ce contine punctul 0 0 0 0( , , )M x y z si este paralel cu directiile vectorilor

1 1 1 1( , , )v l m n=��

si 2 2 2 2( , , )v l m n=���

(numiti vectori directori ai planului):

0 0 0

1 1 1

2 2 2

0

x x y y z z

l m n

l m n

− − −= .

Ecuatia planului determinat de trei puncte ( , , )A A AA x y z , ( , , )B B BB x y z si ( , , )C C CC x y z necoliniare:

0A A A

B A B A B A

C A C A C A

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

− − −− − − =− − −

.

Ecuatia planului prin taieturi: 1,x y z

a b c+ + = unde , ,a b c ∈ℝ .(Ecuatia planului prin

taieturi poate fi scrisa doar daca planul nu este paralel cu nici o axa de coordonate).

Pozitiile relative ale planelor Fie planele 1 1 1 1 1( ) : 0P a x b y c z d+ + + = si 2 2 2 2 2( ) : 0P a x b y c z d+ + + = .

Spunem ca planele 1( )P si 2( )P sunt perpendiculare daca si numai daca 1 2 1 2 1 2 0aa bb cc+ + = .

Spunem ca planele 1( )P si 2( )P sunt paralele daca si numai daca1 1 1

2 2 2

a b c

a b c= = .

Spunem ca planele 1( )P si 2( )P coincid daca si numai daca 1 1 1 1

2 2 2 2

a b c d

a b c d= = = .

Forme ale ecuatiei dreptei in spatiu.

Ecuatia vectoriala a dreptei d este: 0 ,r r tv t= + ∈�� ��

ℝ , t parametru, r�

este vectorul de

pozitie al unui punct curentM de pe dreapta, iar 0r��

este vectorul de pozitie al punctului

0M .

Ecuatiile parametrice ale dreptei d care trece prin punctul 0 0 0 0( , , )M x y z si are vectorul

director ( , , )v l m n=�

sunt:

0

0

0

x x tl

y y tm

z z tn

= + = + = +

, t parametru real.

Ecuatiile canonice ale dreptei d care trece prin punctul 0 0 0 0( , , )M x y z si are vectorul

director ( , , )v l m n=�

sunt:

0 0 0x x y y z z

l m n

− − −= = .

Ecuatia vectoriala a dreptei determinata de doua puncte 1 2,M M este 1 2 1( ),r r t r r= + −�� �� ���

t

parametru real, unde 1 2,r r�� ��

sunt vectorii de pozitie ai punctelor 1M si respectiv 2M .

Ecuatiile parametrice ale dreptei determinata de doua puncte 1 1 1 1( , , )M x y z si

2 2 2 2( , , )M x y z sunt:

1 2 1

1 2 1

1 2 1

( )

( )

( )

x x t x x

y y t y y

z z t z z

= + − = + − = + −

, t parametru real.

Ecuatiile canonice ale dreptei determinata de doua puncte 1 1 1 1( , , )M x y z si

2 2 2 2( , , )M x y z sunt:

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z z

x x y y z z

− − −= =− − −

.

Observatie: Fie doua plane 1 1 1 1 1( ) : 0P a x b y c z d+ + + = si 2 2 2 2 2( ) : 0P a x b y c z d+ + + = .

Ecuatiile dreptei de intersectie a planelor 1( )P si 2( )P sunt:

1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

a x b y c z d

a x b y c z d

+ + + = + + + =

, unde

2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

0a b a c b c

a b a c b c+ + ≠ .

Pozitiile relative a doua drepte

Spunem ca doua drepte 1( )d si 2( )d sunt paralele daca si numai daca vectorii directori

corespunzatori fiecarei drepte1v��

si 2v���

sunt coliniari⇔ ∃ *α ∈ℝ astfel incat 1 2v vα=�� ���

.

Spunem ca doua drepte 1( )d si 2( )d sunt concurente daca exista un punct 0 0 0 0( , , )M x y z

care verifica coordonatele fiecareia din ecuatiile celor doua drepte: Mai precis daca:

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

( ) :

x x t l

d y y t m

z z t n

= + = + = +

iar 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

( ) :

x x t l

d y y t m

z z t n

= + = + = +

, unde 1 2,t t ∈ℝ , atunci avem sistemul de

ecuatii in 1t si 2t :

0 1 1 1 2 2 2

0 1 1 1 2 2 2

0 1 1 1 2 2 2

( )

( ) ,

( )

x x t l x t l

y y t m y t m

z z t n z t n

= + = + = + = + = + = +

care trebuie sa aiba solutie, altfel dreptele nu sunt concurente.

Spunem ca doua drepte 1( )d si 2( )d sunt perpendiculare daca si numai daca vectorii

directori sunt ortogonali, deci daca au produsul scalar nul: 1 2 0v v⋅ =�� ���

.

Doua drepte nesituate in acelasi plan care nu sunt nici paralele si nici concurente se numesc drepte oarecare.

Unghiuri si distante

Distanta de la un punct la un plan Fie planul ( ) : 0P ax by cz d+ + + = si 0 0 0( , , )A x y z un punct din spatiu.

Daca ' ( ', ', ')A x y z= este proiectia lui A pe planul ( )P , atunci lungimea segmentului

[ ]'AA este distanta de la A la planul ( )P , notata ( , )d A P si este egala cu

0 0 0

2 2 2( , )

ax by cz dd A P

a b c

+ + +=

+ +

Distanta de la un punct la o dreapta Daca (d) este o dreapta al carei vector director este u

�, iar 0M este un punct dat , atunci

distanta de la punctul 0M la dreapta (d) este data de formula:

d( ) 1 2

0, ( )M M u

M du

×=

������� �

� , unde 1M este un punct aflat pe dreapta (d).

Distanta dintre doua drepte neparalele in spatiu Daca 1( )d si 2( )d sunt doua drepte neparalele care au ecuatiile canonice

1( )d : 1 1 1

1 1 1

x x y y z z

l m n

− − −= =

2( )d : 2 2 2

2 2 2

x x y y z z

l m n

− − −= =

date de vectorii directori 1 1 1 1( , , )v l m n=��

si 2 2 2 2( , , )v l m n=���

si de punctele 1 1 1 1( , , )M x y z si

2 2 2 2( , , )M x y z , atunci distanta dintre dreptele 1( )d si 2( )d (masurata pe perpendiculara

comuna)este data de formula :

( )( )1 2 1 2

1 2

1 2

, ,( ), ( )

M M v vd d

v v=

×

������� ������

���� , unde ( )1 2 1 2, ,M M v v������� ������

reprezinta produsul mixt al vectorilor

1 2 1 2, ,M M v v������� ������

Unghiul a doua drepte Fie dreptele 1( )d si 2( )d de vectori directori 1 1 1 1( , , )u l m n=

��, respectiv 2 2 2 2( , , )u l m n=

���.

Unghiul dreptelor 1( )d si 2( )d este unghiul ascutit 0,2

πϕ ∈ , format de vectorii

directori 1u��

si 2u���

.

Unghiul ϕ se va determina din expresia

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2

cosu u l l m m n n

u u l m n l m nϕ

⋅ + += =⋅ + + ⋅ + +

�� ���

�� ��� , provenita din produsul scalar al

vectorilor 1u��

si 2u���

, si din faptul ca 0,2

πϕ ∈ .

Unghiul unei drepte cu un plan

Este unghiul ϕ facut de o dreapta ( )d cu proiectia ei pe plan, unde 0,2

πϕ ∈ .

In cazul unghiului unei drepte cu un plan, este mai simplu de determinat unghiul

complementar '2

π ϕ ϕ− = format de vectorii n�

( normal la plan) si u�

(vectorul director al

dreptei).

Astfel, obtinem cos 'n u

n uϕ

⋅=� �

� �

Unghiul a doua plane Este unghiul diedru ϕ determinat de intersectia celor doua plane , acelasi cu unghiul determinat de vectorii normali si ai celor doua plane. Astfel daca primul plan are ecuatia 1 1 1 1 1( ) : 0P a x b y c z d+ + + = si vectorul normal

1 1 1 1( , , )n a b c=��

, iar cel de-al doilea plan are ecuatia 2 2 2 2 2( ) : 0P a x b y c z d+ + + = si

vectorul normal 2 2 2 2( , , )n a b c=���

, atunci

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 2 1 1 1 2 2 2

cosn n a a b b c c

n n a b c a b cϕ

⋅ + += =⋅ + + ⋅ + +

�� ���

�� ���

Fascicole de plane

Numim fascicol de plane multimea tuturor planelor care contin o dreapta data (d), numita axa fascicolului. Daca dreapta (d) este definita ca intersectia a doua plane distincte si neparalele , altfel spus

(d): 1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

a x b y c z d

a x b y c z d

+ + + = + + + =

,

atunci ecuatia fascicolului de plane este

1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) 0a x b y c z d a x b y c z dα β+ + + + + + + = , unde ,α β ∈ℝ dar nu simultan nule.

Daca din fascicolul de plane scoatem planul de ecuatie 2 2 2 2 0a x b y c z d+ + + = , atunci

ecuatia fascicolului de plane devine:

1 1 1 1 2 2 2 2( ) 0,a x b y c z d a x b y c z dλ λ+ + + + + + + = ∈ℝ .

CONICE

(Vezi DUDA I., DUNCA A.« Lectii de geometrie analitica » Editura Fundatiei Romania de Maine, 2007 [1]

Pag. 104-114)

CONICE DE ECUATIE REDUSA Elipsa este locul geometric al punctelor care au suma distantelor la doua puncte fixe (numite focare) constanta.

Ecuatia carteziana a elipsei: 2 2

2 21,

x y

a b+ = 2 2 2a c b− =

Unde: A(a,0), A’(-a,0) reprezinta punctele de intersectie ale elipsei cu axa Ox B(0,b),B’(0,-b) reprezinta punctele de intersectie ale elipsei cu axa Oy F(c,0),F’(-c,0) reprezinta focarele elipsei. Hiperbola este locul geometric al punctelor care au modulul diferentei distantelor la doua puncte fixe (numite focare) constant.

Ecuatia carteziana a hiperbolei: 2 2

2 21,

x y

a b− = 2 2 2c a b− =

Unde: A(a,0), A’(-a,0) reprezinta punctele de intersectie ale hiperbolei cu axa Ox B(0,b),B’(0,-b) reprezinta punctele de intersectie ale hiperbolei cu axa Oy F(c,0),F’(-c,0) reprezinta focarele hiperbolei. Parabola este locul geometric al punctelor egal departate de o dreapta fixa(numita directoare) si de un punct fix (numit focar). Ecuatia carteziana a parabolei: 2 2 , 0y px p= ≠ (cu axa de simetrie Ox)

2 2 , 0x py p= ≠ (cu axa de simetrie Oy).

CONICE DE ECUATII GENERALE Definitie: Pentru numerele reale 11 12 22 10 20 00, , , , ,a a a a a a date cu 2 2 2

11 22 12 0a a a+ + ≠ , multimea tuturor

punctelor (x,y) ce satisfac

2 211 12 22 10 20 00( , ) 2 0g x y a x a xy a y a x a y a= + + + + + = (1)

se numeste conica. Relatia (1) se numeste ecuatia generala a unei conice.

Invariantii unei conice:

Se numesc invariantii unei conice numerele reale :

11 12 13

12 22 23

13 23 33

a a a

a a a

a a a

∆ = , 11 12

12 22

a a

a aδ = , 11 22I a a= + .

Natura si tipul unei conice :

Daca 0∆ = conica se numeste degenerata. Daca 0∆ ≠ conica se numeste nedegenerata. Daca 0δ ≠ conica are centru, si in plus, daca 0δ > conica este de tip elipsa iar daca 0δ < conica este de tip hiperbola. Daca 0δ = , conica este fara centru si de tip parabola.

Reducerea la forma canonica:

I)Conice cu centru: Ecuatia canonica:

2 21 2 0S X S Y

δ∆+ + = ,

unde 1 2,S S sunt solutiile ecuatiei 2 0S IS δ− + = , iar 1 2S S− are semnul lui 12a .

Centrul conicei ( )0 0,C x y cu 0x si 0y solutii ale sistemului : 11 0 12 0 13

12 0 22 0 23

0

0

a x a y a

a x a y a

+ + = + + =

Unghiul de rotatie :

12

11 22

22 , 0,

2

atg

a a

πα α = ∈ − .

II)Conice fara centru Ecuatia canonica:

2 2 0Y PX± = , unde 3

PI

∆= − .

O metoda alternativa de aducere la forma canonica a unei conice este prezentata in [ 1].

CUADRICE (vezi Duda I., Dunca A. « Lectii de geometrie analitica », Editura Fundatiei Romania

de maine 2007, pag.135-147) Definitie: Cuadricele sunt colectii de puncte de coordonate (x,y,z) ce satisfac o ecuatie carteziana de tipul :

2 2 211 22 33 12 13 23 10 20 30 002 2 2 2 2 2 0a x a y a z a xy a xz a yz a x a y a z a+ + + + + + + + + = ( 1)

Reducerea la forma canonica

Cuadricei i se aplica o rotatie (in spatiu) in raport cu o translatie a reperului nostru. Pentru aflarea rotatiei se calculeaza valorile proprii 1..3( )i iλ = ale matricei A a formei

patratice asociate ecuatiei ( 1).

11 12 13

12 22 23

13 23 33

a a a

A a a a

a a a

=

Valorile proprii sunt solutii ale ecuatiei :

11 12 13

3 12 22 23

13 23 33

det( ) 0

a a a

A I a a a

a a a

λλ λ

λ

−− = − =

−

Apoi, se calculeaza o baza ortonormata orientata pozitiv formata din vectorii proprii

1..3( )i iv = corespunzatori valorilor proprii 1..3( )i iλ = , altfel spus, vectorii 1..3( )i iv = trebuie sa

satisfaca urmatoarele ecuatii :

i i iAv vλ= , sa fie liniar independenti ,unitari, iar 1 2 3det( , , ) 0v v v > .

Cu acesti vectori proprii se construieste matricea R care are pe coloane vectorii 1..3( )i iv = .

Matricea R corespunde rotatiei in spatiu:

'

'

'

x x

y R y

z z

=

si in plus,

1

2

3

0 0

0 0

0 0

tR AR

λλ

λ

=

.

Ecuatia cuadricei in forma matriceala este :

2 0tX AX bX c+ + = ,

unde 10

20 00

30

, ,

x a

X y b a c a

z a

= = =

.

Inlocuind, in ecuatia cuadricei X cu 'X R , unde

'

' '

'

x

X y

z

=

si tinand cont de relatia…,

Rezulta ca ecuatia in coordonatele ', ', 'x y z devine:

2 2 21 2 3x y zλ λ λ+ + +(termeni de ordin 1 sau 0)=0

Exemplu de cuadrice :

Elipsoidul :2 2 2

2 2 21

x y z

a b c+ + = .

Hiperboloidul cu o panza: 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c+ − =

Hiperboloidul cu doua panze : 2 2 2

2 2 21

x y z

a b c+ − = −

Paraboloidul eliptic : 2 2

2 22

x ypz

a b+ =

Paraboloidul hiperbolic : 2 2

2 22

x ypz

a b− =

Pentru note complete privind intreaga tematica a cursului de „Geometrie analitica”, le recomandam studentilor din anul I al Facultatii de Matematica si Informatica din cadrul Universitatii Spiru Haret sa utilizeze cursul tiparit : [1]Duda I., Dunca A.„Lectii de geometrie analitica”, EDITURA FUNDATIEI ROMANIA DE MAINE, Bucuresti 2007

Probleme rezolvate :

1.Sa se calculeze distanta de la originea reperului cartezian la dreapta

1 1 1( ) :

1 1 2

x y zd

− − −= = .

Rezolvare :

Scriind ecuatiile parametrice ale dreptei (d) avem

1

1 ,

1 2

x t

y t t

z t

= + = + ∈ = +

ℝ .

Determinam doua valori ale dreptei dand lui t doua valori . Pentru t=0 rezulta A(1,1,1), iar pentru t=1 avem B(2,2,3).

Determinam acum aria triunghiului OAB dupa formula 1

2OABS OA OB= ���� ����

, astfel

2

2OABS = .

Pe de alta parte, OABS =1

2 OAB h⋅ , cu AB= 6 , iar Oh inaltimea dusa din O (altfel spus

distanta cautata).

Egaland cele doua formule ale ariei triunghiului OAB obtinem 3

3Oh = .

2.Sa se scrie ecuatia carteziana a unui plan care trece prin punctul A(1,-1,2) si are ca

vectori directori (1, 1,0), (2,1, 1)u v= − = −� �

. Rezolvare : Ecuatia planului este data de determinantul :

1 1 2

1 1 0 0

2 1 1

x y z− + −− =

−,

de unde obtinem planul de ecuatie 3 6 0x y z+ + − = . 3.Determinati unghiul ϕ facut dintre planele de

1

2

( ) : 0

( ) : 2 1 0

P x y

P x y z

− =− + − =

.

Rezolvare :

Vectorii normali ai celor doua plane sunt 1 (1, 1,0)n = −��

si 2 (1, 2,1)n = −���

pentru care

1 22, 6n n= =��

si 1 2 3n n⋅ =�� ���

.

Deci 3

cos2

ϕ = , si deci .6

πϕ =

4.Sa se arate ca dreapta

1 2

( ) : 2 3 ,

5

x t

d y t t

z t

= + = − ∈ =

ℝ este paralela cu planul

( ) : 2 3 1 0P x y z+ + − = .

Rezolvare :

Vectorul director al dreptei (d) este (2, 3,5),v = −�

iar vectorul normal al planului este

(2,3,1)n =�

.

Cum 2 2 3 3 5 1 0n v⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ =� �

, rezulta ca n v⊥� �

, de unde obtinem (d) ( )P� . 5.Aratati ca dreptele date prin ecuatiile canonice

1

1

2 3 4( ) :

1 2 13 4

( ) :1 2 1

x y zd

x y zd

+ − −= =−

− −= =− −

sunt paralele.

Rezolvare: Vectorii directori ai celor doua drepte sunt (1,2, 1)v = −�

si ( 1, 2,1)u = − −�.

Din v u= −� �

rezulta coliniaritatea celor doi vectori si deci paralelismul dreptelor.

6.Sa se scrie ecuatia planului ce trece prin dreapta de ecuatie 15 10 4 0

:2 3 1 0

x yd

x z

+ − =− + + =

si este

paralel cu dreapta de ecuatie25 2 0

:3 5 0

x yd

x z

− + + =− + − =

.

Rezolvare :

Ducem un plan prin prima dreapta :

1 : 5 10 4 ( 2 3 1) 0d x y x zλ+ − + − + + = .

Normala acestui plan este (5 2 ,10,3 )n λ λ= −�

.

Pentru determinarea parametrilor dreptei a doua, renuntam la termenii liberi si o scriem

2 : ,1 35

y zd x = =

deci are parametrii (1,1

,35

) sau echivalent (5,1,15).

Normala planului este perpendiculara pe dreapta a doua daca

5(5 2 ) 1 10 45 0,λ λ− + ⋅ + = , si deci 1λ = − .

In consecinta, planul cautat are ecuatia 7 10 3 5 0x y z+ − − = .

7.Sa se afle distanta dintre dreptele 1

2 0:

1 0

x yd

z

− = − =

si 2

1 0:

2 0

x zd

y

+ + = − =

.

Rezolvare :

Ducem prin dreapta 1d un plan (P) paralel cu dreapta 2d .

Acest plan va avea ecuatia de forma :

( ) : 2 ( 1) 0P x y zλ− + − = ,

iar dreapta 2d are parametrii 1,0,-1.

Din conditia de paralelism ne da 1λ = , si deci

( ) : 2 1 0P x y z− + − = .

Distanta dintre drepte este distanta de la un punct oarecare al dreptei 2d , de exemplu

(0,2, 1)A − la planul (P) :

2 2 2

0 2 2 1 1( ,( )) 6

1 ( 2) 1d A P

− ⋅ − −= =

+ − +.

8.Sa se afle distanta de la punctul A(3,0,6) la dreapta 2 1 0

:3 2 7 0

x yd

x z

+ − = − − =

.

Rezolvare :

Dreapta d are parametrii 1 3

1, ,2 2

−

sau ( )2, 1,3− .

Scriem ecuatia planului care trece prin A, perpendicular pe dreapta d.

2( 3) 3( 6) 0,x y z− − + − =

2 3 24 0x y z− + − = .

Aflam intersectia acestui plan cu dreapta d, rezolvand sistemul format din ecuatiile dreptei si cea a planului.

2 1 0

3 2 7 0

2 3 24 0

x y

x z

x y z

+ − = − − = − + − =

.

Obtinem B(5,-2,4).

Distanta cautata este AB=2 3.

9.Sa se precizeze natura conicei si sa se scrie ecuatia canonica a urmatoarei conice :

2 225 14 25 64 64 224 0x xy y x y− + + − − = .

Rezolvare :

25 7 32

7 25 32 165888

32 32 224

−∆ = − − = −

− −,

25 7576

7 25δ

−= =

−,

25 25 50I = + =

Cum 0∆ ≠ , conica este nedegenerata, δ >0 , conica este cu centru si de tip elipsa.

Ecuatia in S : 2 0,S IS δ− + = deci 2 50 576 0,S S− + = de unde 1 218, 32S S= = .

Ecuatia canonica (redusa) a conicei este :

2 21 2 0S X S Y

δ∆+ + = devine:

2 218 32 288 0X Y+ − = sau

2 2

116 9

X Y+ =

10.Sa se precizeze natura cuadricei 22 2 4 0xy y z− + = .

Rezolvare :

Avem 8,∆ = iar 0δ = .Cuadrica este un paraboloid.

Exemplu de test grila:

____ 1. Sa se determine distanta dintre dreptele:

a. 7 c. 10 b. 9 d. 3

____ 2. Sa se scrie ecuatiile canonice ale dreptei (d) ce trece prin punctul A(-1,2,3) si este paralela cu

dreapta :

a.

c.

b.

d.

____ 3. Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta (d): si trece prin punctul M(1,-

2,3). a. 2x+5y+7z+9=0 c. 12x+15y+7z+7=0 b. 2x+5y+7z=0 d. 2x+15y+7z+7=0

____ 4. Fie vectorii si , .

Determinati . astfel incat vectorii si sa fie coliniari . a. c. b. d.

____ 5. Se dau vectorii avand lungimile respectiv . Sa se

calculeze

a. 22 c. 20 b. d.

____ 6. Sa se determine descompunerea vectorului dupa directiile vectorilor

si .

a. c. b. d.

____ 7. Sa se reduca la forma canonica conica

a.

b.

c.

____ 8. Sa se reduca la forma canonica conica, si sa se precizeze centrul ei

a.

,

b.

c.

____ 9. Sa se reduca la forma canonica cuadrica si sa se specifice tipul ei:

a. , hiperboloid cu doua panze b. ,elipsoid c. , hiperboloid cu o panza d. ,hiperboloid cu o panza

____ 10. Fie punctele A(-1,2,0), B(3,1,-2),C(0,-3,4),

Sa se calculeze modulul produsului vectorial a.

c.

b.

d.

Pentru alte detalii legate de cursul de GEOMETRIE ANALITICA: Prof. univ. dr. Gheorghe Duda g.duda.mi[at]spiruharet.ro Asist. univ. drd. Sterian Alexandru a.sterian.mi[at]spiruharet.ro