MATEMATIČKI FAKULTET

BEOGRAD

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA SA PRIMENOM

SEMINARSKI RAD

Aleksandra Mitrović 138/97

UVOD U TRIGONOMETRIJU. SINUS I KOSINUS UGLA Trigonometrija je matematička disciplina koja se bavi trigonometrijskim funkcijama i njihovim primenama. Njene korene srećemo još u starom veku ( Egipat, Vavilon ). Reč trigonometrija je sastavljena od grčkih reči TRIGONON (trougao) i METRON (mera), što ukazuje da se ova disciplina u svom početku bavila problemom merenja trougla pomoću dovoljnog broja datih elemenata, što danas spada u domen SINUSNE I KOSINUSNE TEOREME i njihove primene. Da bi se rešio ovaj zadatak, tj. da bi se uspostavile brojne zavisnosti između elemenata trougla (strane i uglova), uvedene su funkcije naročite vrste koje označavamo sa sinx, cosx, tgx, itd., a koje se zovu TRIGONOMETRIJSKIM FUNKCIJAMA. DEFINICIJA SINUSNE I KOSINUSNE FUNKCIJE MA KOG UGLA: Neka je u ravni dat Dekartov pravougli koordinatni sistem xOy i neka je k jedinična kružna linija u toj ravni sa centrom u koordinatnom početku. Uzmimo na trigonometrijskom krugu luk α sa početnom tačkom A i krajnjom tačkom M. Neka je projekcija tačke M na x-osu tačka P, a na y-osu Q. Algebarske vrenosti vektora OP i OQ na svakoj od osa nazivaju se respektivno SINUS I KOSINUS ugla α . cosα = OP sinα =OQ tj. kosinus ugla je apscisa dok je sinus ugla ordinata tačke M, krajnje tačke luka α .

SINUSNA TEOREMA Klasična primena trigonometrije sastoji se u izračunavanju elemenata trougla. Ona u mnogome počiva na sinusnoj teoremi koja opisuje odnose izmedju stranica i uglova trougla. TEOREMA 1: Neka je ABC proizvoljni trougao. Označimo sa , , c dužine njegovih stranica a sa a bα , β ,γ njima odgovarajuće uglove trougla. Tada važi:

γβα sinsinsincba

==

2

DOKAZ 1: Označimo sa D upravnu projekciju tačke C na pravu AB. Moguća su 3 rasporeda tačaka:

Na osnovu definicije sinusa u pravouglom trouglu, prema sl.2a iz ∆ DBC, odnosno ADC⇒ hc = βsin⋅a hc = αsin⋅b odnosno βsin⋅a = αsin⋅b

βα sinsinba

= , α ≠ 0, β ≠ 0.

Prema slici 2b. iz ∆ DAC, odnosno ∆ DBC ⇒hc = sin( π-α )·b = αsin⋅b hc = βsin⋅a

odakle sledi ista relacija βα sinsin

ba= .

Isto tako, prema sl.2c iz ∆ ADC, odnosno ∆ BDC ⇒ hc = αsin⋅b hc = (π-sin⋅a β ) = βsin⋅a , odakle takodje sledi ista relacija.

Na isti način, kada koristimo visinu hb, dobijamo γα sinsin

ca= , tako što iz

∆ ABD’, odnosno ∆BCD’ (sl.2a) ⇒hb = sin⋅a γ

= hb c sin⋅ α , ⇒ sin⋅a γ = c sin⋅ α , ⇒

γα sinsin

ca= , α ≠ 0, γ ≠ 0.

Iz već dokazanih relacija:

βα sinsinba

= i γα sinsin

ca= ⇒

3

γβα sinsinsincba

== tj. rečima

Strane trougla proporcionalne su sinusima naspramnih uglova. Sinusnu teoremu možemo dokazati na drugi način, tj. dokazaćemo da je koeficijent proporcionalnosti odnosa stranice trougla prema sinusu naspramnog ugla jednak prečniku opisanog kruga trougla tj.

Rcba 2sinsinsin

===γβα

DOKAZ 2: Posmatrajmo ∆ABC (sl.3), neka je O centar opisanog kruga a R poluprečnik tog kruga. Ako na stranicu BC = povučemo normalu OM, onda je u pravouglom ∆BOM a

( )BOMRa∠⋅= sin

2

Ako je ugaoα trougla ABC oštar (sl.3a), onda je BOM∠ = α a ako je α tup ugao (sl.3b) onda je:

∠ BOC = 2π - 2α ∠ BOC = ( )BOM∠⋅2

( BOM )∠⋅2 = 2π - 2α BOM∠ = π - α U oba slučaja je sin ( )= sinBOM∠ α , pa je

4

a =2·R·sinα ili αsin

a = 2·R

Isto tako je:

b = 2·R·sinβ ili βsin

b = 2·R

c = 2·R·sinγ ili γsin

c = 2·R

• DOKAZ 2.(da sinusna teorema važi i za tupougle trouglove):

Iz ∆CBD ⇒ BC = DC 1sinα⋅

1sin2 α⋅= Ra a iz tetivnog četvorougla ABCD ⇒

α + 1α = π ⇒

sin 1α = sin( π-α ) = sinα ⇒

αsin2 ⋅= Ra . Prema tome je:

Rcba 2sinsinsin

===γβα

tj. rečima:

Odnos strane i sinusa naspramnog ugla stalna je veličina i jednaka prečniku opisanog kruga oko trougla.

Prečnik 2R naziva se i trouglovom konstantom.

PRIMENA SINUSNE TEOREME

Da bismo rešili trougao, treba da pomoću tri data osnovna elementa odredimo tri preostala osnovna elementa. Za to su nam potrebne veze izmedju tih elemenata:

α + β +γ = π i γβα sinsinsincba

==

Prvi i osnovni sistem veza elemenata, dovoljan je da iz njega odredimo tražene veličine. Sinusna teorema primenjuje se u sledećim slučajevima:

• Data je jedna strana i dva ugla, naprimer a ,β i γ . Iz planimetrije je poznato da je taj zadatak moguće rešiti jednoznačno.

5

REŠENJE: Ugao α nalazimo iz obrasca α = π- ( )γβ + , strane i dobijamo primenom sinusne teoreme iz proporcija:

b c

βα sinsinba

= odakle je αβ

sinsin⋅

=ab i

γα sinsinca

= odakle je αγ

sinsin⋅

=ac .

• Date su dve stranice i ugao naspram jedne od njih. Iz planimetrije je poznato da je taj zadatak rešiv jednoznačno samo u onom slučaju kada je dat ugao naspram veće stranice. To će pokazati sledeća analiza. Ako je dato a , b i α , onda je:

αβ sinsinab

= , γ = π- ( )βα + , ( )αβα

sinsin +⋅= ac .

Dakle, pomoću formule αβ sinsinab

= , izračunavamo ugao β kad znamo

ugaoα . Ako je ugao α tup, tada β mora biti oštar ugao a ako je α oštar, tada ugao β može biti ili tup ili oštar ili pravougli. Stoga ova formula daje za ugao β u prvom slučaju samo jednu vrednost a u drugom slučaju dve vrednosti. To će

potvrditi i ispitivanje izraza αsinab s obzirom na razne vrednosti , i a b α .

Postavićemo pri tom da je ab ≠ .

ba > ( tj. α >β , što znači da dati ugao α leži naspram veće stranice a i da može biti oštar ili tup, dok ugao β - naspram manje stranice- može biti samo oštar).

Tada je ab <1, a kako je αsin <1, to je bez obzira na veličinu ugla α , sinβ <1.

Dobijamo jedno rešenje za ugaoβ (a prema tome i za ostale osnovne elemente γ i c).

a< b ( tj. α < β , što znači da je ugao α , kao ugao naspram manje stranice, oštar). Tada postoje tri mogućnosti:

o αsinab >1, otuda je sinβ >1, što je nemoguće. Zadatak nema rešenja.

o αsinab =1, tj. sinβ =1, otuda je β =90° (trougao je pravougli).

o αsinab <1, tj. sinβ <1. Tada ugao β , koji leži naspram veće stranice,

može biti oštar ili tup. Stoga dobijamo dva rešenja za β , tj. jedan oštar

6

ugao ( 1β ) i jedan tup ugao ( 2β =180°- 1β ) koji se dopunjuju do 180° i po dva rešenja za γ i c.

Prema tome, ako se znaju dve stranice kosouglog trougla i ugao naspram veće od njih, drugi ugao je oštar i odredjuje se jednoznačno, a ako se znaju dve stranice i ugao naspram manje od njih, dobijaju se dva rešenja za drugi ugao, jer ovaj može biti oštar ili tup. PRIMER 1: Veštački satelit kreće se po kružnoj putanji oko Zemlje na visini iznad Zemlje. Prošao je kroz zenit Zemljine tačke A i posle t sekundi opažen je iz tačke A pod uglom

h

α prema horizontu. Odrediti vreme jednog punog obilaska satelita oko Zemlje. REŠENJE: Neka je C središte Zemlje a S položaj satelita u trenutku t (sl.4). U ∆ACS je AC=R SC= R+ h

∠ASC=δ ∠CAS= απ+

2

Prema sinusnoj teoremi dobija se

hα

RR

hRR

+=⎜

⎝⎛

+=

πδ cos2

sinsin ⎟⎠⎞+α

δαπγ −−=∠2

Vreme punog obilaska satelita oko Zemlje dobija se iz formule za ugaonu brzinu:

Tπω 2

= , pa je

γπ tT ⋅⋅

=2 , odnosno

hR +⋅R

tT−−

⋅⋅=

ααππ

cosarcsin2

2

slika 4

PRIMER 2: Osnova piramide je jednakokraki trougao čiji je krak a, a ugao pri vrhu α . Sve bočne ivice piramide su nagnute na ravan osnove pod uglom β . Izračunati zapreminu piramide.

7

REŠENJE: Ako sa S obeležimo vrh piramide i S’ presek normale povučene kroz tačku S i osnove, tada su trouglovi ASS’, BSS’, CSS’ podudarni (sl.5) pa je AS’=BS’=CS’ tj. S’ je centar opisanog kruga oko osnove. Prema sinusnoj teoremi, za poluprečnik tog kruga važi:

2cos2

22sin2

2sin2

ααπαπ ⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅=

aaaR

Visina piramide je βtgRH ⋅=

Površina osnove αsin21 2 ⋅= aB

Zapremina piramide

6sin

3

2 βα tgRaHBV ⋅⋅⋅=

⋅=

⇒ 62

sin

62

cos2sin

3

2

βαβ

αα

tgatgaa

V⋅

=⋅

⋅⋅

=

slika 5

PRIMER 3: U pravouglom trouglu ABC čija je hipotenuza AB=2, središta kateta M i N i tačke A i B pripadaju jednom krugu. Izračinati poluprečnik tog kruga. REŠENJE: Četvorougao ABNM (sl.6) je tetivni trapez, pa je =+ηα 180° i β +η =180°, odakle je α =β . Pošto su α i β oštri uglovi pravouglog trougla, to je α =β =45° i AC=BC= 2 . Sada dobijamo:

BM=25

21222 =+=+CMBC

Pa iz sinusne teoreme za trougao BMA nalazimo

2R= 5

2125

sin==

αBM R=⇒

25

slika 6

8

KOSINUSNA TEOREMA Sinusna teorema rešava direktno ali ne može da se primeni na slučaj kada su poznate sve strane. Zato ćemo se upoznati sa teoremom koja ove slučajeve rešava tj. sa kosinusnom teoremom. TEOREMA 2: Neka su a, b, c dužina stranica i α , β , γ veličine odgovarajućih unutršnjih uglova trougla ABC. Tada važi:

αcos2222 ⋅⋅⋅−+= cbcba βcos2222 ⋅⋅⋅−+= cacab γcos2222 ⋅⋅⋅−+= babac

a) b)

slika 7 DOKAZ 3: Iz temena C spustimo na stranu AB visinu CD. Ako su dva ugla α i β oštra, tačka D će pasti između tačaka A i B (sl.7a); ako je jedan od njih, npr. α , tup (sl.7b) ona će pasti na podnožje stranice AB. Po Pitagorinoj teoremi iz pravouglog trougla ADC (sl.7a) sledi

222 ADbCD −= a iz trougla DBC

( ) 22222222 2 ADADccaADcaBDaCD −⋅+−=−−=−=22222 2 ADbADADcca −=−⋅+−

ADccba ⋅⋅−+= 2222

Kako je b

AD=αcos ⇒

αcos2222 ⋅⋅⋅−+= cbcba

Kod tupouglog trougla (sl.7b) iz trougla ACD sledi 222 ADbCD −=

a iz trougla BCD 222 ( ) 22222 2 ADADccaADcaBDaCD −⋅⋅−−=+−=−=

22222 2 ADbADADcca −=−⋅⋅−−

9

ADccb ⋅⋅++= 2222 a

kako je ( ) ααπ coscos −==−b

AD

dobijamoća jednakost kosinusne teoreme se dobijaju cikličnom izmenom oznaka za

Kvadrat jedne strane trougla jednak je zbiru kvadrata dveju strana

Ovo je kosinusna ili Karnotova (Carnot) teorema. Može se nazvati i uopštena

m su sinusna i

OKAZ 4:

rema slici 2a sledi

αcos2222 ⋅⋅⋅−+= cbcba Druga i trestranice i uglove trougla. umanjenom za dvostruki proizvod tih dveju strana i kosinusa ugla koji zahvataju. Pitagorina teorema, naime kada je jedan ugao u trouglu prav, biće kosinus ovog ugla nula, te dobijamo Pitagorinu teoremu kao specijalan slučaj kosinusne. Kosinusna teorema je posledica teorema o projekcijama, sa kojokosinusna teorema u tesnoj vezi čineći međusobno ekvivalentne iskaze. Tako kosinusnu teoremu možemo dokazati i preko teoreme o projekcijama na sledeći način: D P

aBD

=βcos , b

AD= ,cosβ⋅= aBD αcos⋅= bAD αcos ; tj.

Sabiranjem poslednje dve jednačine dobijamo αβ coscos ⋅+⋅==+ bacADBD

Prema slici 2b sledi

aBD

=βcos , ( )απ −=AD ,cosβ⋅= aBD αcos⋅−= bAD cosb

; tj.

Oduzimanje o m dobijamαβcos +⋅==− acADBD cos⋅b

Analogno se može izvesti za strane i b .Tako dolazimo do tri formule: aβγ coscos ⋅+⋅= cba γα coscos ⋅+⋅= acb αβ coscos ⋅+⋅= bac

Ovo je teorema o projekcijama strana. Pomnožimo li prvu formulu sa a, drugu sa –b. Treću sa –c i saberemo tako dobijene tri jednakosti dobijamo:

( ) ( ) ( )αβγαβγ coscoscoscos222 ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅=−− cacbcbacba coscos ba αβγααγ coscoscoscoscoscos222 ⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=−− cbcabacbcabacba ⋅

odnosno okazana prva jednakost ko nusne teoreme. Ostale jednakosti se dokazuju

αcos2222 ⋅⋅⋅−=−− cbcb aαcos2222 ⋅⋅⋅−+= cbcba

čime je d sianalogno. Kosinusna teorema je osnovna teorema kosouglog trougla, jer iz nje proizilaze sve formule ravne trigonometrije i sva svojstva ravnog trougla. Tako na primer:

( )222222 2cos2 cbcbcbcbcba +=⋅⋅++<⋅⋅⋅−+= α ⇒ cba +<

10

čime smo izveli jedno od osnovnih svojstava trougla:

će stranice.

plan 00 g.p.n.e.) dok u današ etrije Vieta

dnakosti:

čine drugi osnovni sistem veza elemenata trougla, koji je dovoljan da se iz datih osnovnih elemenata izračunaju preostali osnovni elementi.

ćeni ugao. Ovaj zadatak je rešiv

zbir dve stranice u trouglu uvek je veći od tre

Kao imetrijski iskaz, kosinusna teorema se nalazila kod Euklida (3njem trigonometrijskom smislu potiče od osnivača goniom

(1540-1603).

PRIMENA KOSINUSNE TEOREME Je

αcos2222 ⋅⋅⋅−+= cbcba βcos2222 ⋅⋅⋅−+= cacab γcos2222 ⋅⋅⋅−+= babac

Kosinusna teorema primenjuje se u dva slučaja:

1. Poznate su dve stranice trougla i zahvajednoznačno, npr. ako je dato a, b i γ .

REŠENJE:

odredjujemo samo jedno rešenje c. Ugao Iz jednačine γcos2222 ⋅⋅⋅−+= babac α

odredjujemo iz f αcos2 ⋅⋅⋅ cb , gde je ormule 222 −+= cbacb ⋅⋅

=2

cosα

ugao 180=

acb −+ 222

a

β °- ( )γα +

2. Poznate su tri stranice trougla. Ovaj zadatak je rešiv jednoznačno, kao što je to poznato iz planimetrije.

sinusne teoreme dobijamo za uglove

REŠENJE: Primenom ko α , β , γ jednakosti:

cb ⋅⋅=

2cosα acb −+ 222

ca ⋅⋅=

2cosβ bca −+ 222

koje odredjuju svaka samo po jednu vrednost za uglove α i β , a γ =180°- ( )βα +

rata stranica trougla ako su mu poznate težišne duži.

PRIMER 4: Naći zbir kvad

11

REŠENJE:

τcos2

22

btctba ⋅⋅−⎟⎠

⎜⎝

+= 2

22 b ⎞⎛

( )τπ −⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= cos

22

2

222 btbbtbc

22

2222 btbca +⋅=+

slika 8

( )απ −⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= cos

22

222 ctcctca

2

αcos2

22

222 ctcctcb ⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

22

2222 ctcba +⋅=+

ϕcos2

22

222 ataatab ⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

( )ϕπ −⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= cos

22

2

222 ataatac

22

2222 atacb +⋅=+

( ) ( ) ( )222222222

2122 cbatctbtacba +++++=++

( )222222

32 tctbtacba ++=++

PRIMER 5:

1F i 2FSile deluju na čvrsto telo u tački A i njihovi pravci zaklapaju ugao α . Izračunati rezultantu tih sila u funkciji ovih sila i ugla α . REŠENJE: Primenom kosinusne teoreme na

ougao ABC (sl.9) dobijamo trβcos21221 222 ⋅⋅−+= FFFFR

Zamenom ( ) ααβ cos180coscos −=−= o

u prethodnu relaciju, dobijamo

αco21221 222 ⋅⋅++= FFFFR s

slika 9

12

• Ako je α =0°, onda je R=F1+F2, pa rezultanta ima pravac i smer datih sila. • Za α =90° sledi da je 22 21 FFR += • Ako je α =180°, onda je reultanta jednaka razlici sila F1 i F2 i ima smer sile

g paralelepipeda je paralelogram sa stranicama a i b i oštrim uglom

većeg inteziteta. PRIMER 6: Osnova pravo α . Manja dijagonala paralelepipeda jednaka je većoj dijagonali osnove. Izračunati

=B·H B=a·h

zapreminu paralelepipeda. REŠENJE:

21 dD = V

sinα =bh ⇒ h=b·sinα

21

22 dDH 1 −=

( )απ −⋅⋅−+== cos22221

22 babaDd

αcos22221 babad ⋅⋅−+=

⇒ αcos42 baH ⋅⋅= αcos2 baH ⋅= B=a·h=a·b·sinα

αα cos2sin ⋅⋅⋅⋅⋅= aV bab

slika 10

13

14

LITERATURA

• Dr. Đorđe Dugošija, Dr. Lazar Milin, Živorad Ivanović- «Trigonometrija»

vnini»

Ognjanović-«Matematika 2»- za drugi razred srednje škole

nometrija»

Trigonometrija»-za srednje škole

k za tehničke škole

• Mirko Stojanović-«Trigonometrija» • Zenon Handžak-«Trigonometrija u ra • Vladimir Mićić, Živorad Ivanović, Srđan

• Ratomir Stefanović-«Trigo

• Milica Ilić-Dajović-«Trigonometrija»

• Desanka Cvetković i Katarina Kostić-«

• Radmilo Dimitrijević i Milivoje Bojanić-«Trigonometrija»-udžbeni