Siruri - criterii de convergenta

5/7/2018 Siruri - criterii de convergenta - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/siruri-criterii-de-convergenta 1/8

Siruri de numere reale

In cadrul acestui prim material referitor la sirurile de numere reale, vomprezenta cateva dintre criteriile de convergenta de baza, urmate de exercitiirezolvate cu ajutorul acestora. Urmatoarele materiale vor trata:

- calculul limitelor de siruri definite prin termenul general;- siruri definite prin recurenta.

A) Teorema cu ε (definitia convergentei)

1) Sirul ( )0n n

a≥

este convergent catre numarul real a daca pentru orice

0ε > exista N ε

∈¥astfel incat pentru orice n N ε

≥ sa avem

na a ε− < . Numarul real a se numeste limita sirului ( )0n n

a≥

.

Aceasta este de fapt o exprimare formala a definitiei cu vecinatatiprezentate in manual.

2) Sirul ( )0n n

a≥

are limita +∞ (respectiv −∞ ) daca pentru orice

0ε > exista N ε

∈¥astfel incat pentru orice n N ε

≥ sa avem

na ε> (respectiv n

a ε< − ).

Ex. rezolvat 1. Sa se arate, folosind definitia, ca:

a)( )2 3 3

lim 04

nn

nn→∞

⋅ + −=

b)2 2lim

1n

n

n→∞+ = ∞+

Solutie. a) Trebuie sa aratam ca:

( )2 3 30, astfel incat ,

4

nn

n N n N

ε εε ε

⋅ + −∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ <¥

Avem insa( ) ( )2 3 32 3 3 3 3 3

34 4 4 4

nnn nn n

n n n

⋅ + −⋅ + − ⋅ ≤ = = ⋅

Rezulta ca, atunci cand ( )2 3 333 , avem si

4 4

nn n

nε ε⋅ + − ⋅ < <

.

Inegalitatea3

34

n

ε ⋅ <

devine:

3

4

3log

4 3 3

n

nε ε < ⇒ >

(atentie la monotonia functiei exponentiale

3

4

x

x →

). Putem deci alege 3

4

log 13

N ε

ε = +

.

b) Trebuie sa aratam ca:



2 20, astfel incat ,

1

n N n N

nε ε

ε ε+

∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ >+

¥ . Aceasta inegalitate

devine:

( )2 22 2 0n n n nε ε ε ε+ > + ⇔ − + − > ∗

Se calculeaza discriminantul trinomului de gradul al II-lea:( ) 2 4 8ε ε ε∆ = + −

Acesta este la randul sau un trinom de gradul al II-lea in ε ,

avand discriminantul 16 32 48δ = + = . Radacinile ecuatiei ( ) 0ε∆ = sunt

deci 1,2 2 2 3ε = − ± . Ne intereseaza semnul trinomului ( )ε∆ pentru

0ε > .

Pentru ( ) ( )0;2 3 2 avem 0ε ε∈ − ∆ < . Inecuatia ( )∗ este

verificata de orice valoare a lui n ∈¥ . Se poate alege in acest caz

0 N ε

= .

Daca insa ( )2 3 2 avem 0ε ε≥ − ∆ ≥ . Inecuatia ( )∗ este

verificata cand( ) ( )

; ;2 2

nε ε ε ε − ∆ + ∆

∈ −∞ ∪ ∞

. Se poate alege

2 4 81

2 N

ε

ε ε ε + + −= +

.

Rezulta2

0, daca 2 3 2

4 81 , daca 2 3 22

N ε

ε

ε ε ε ε

< −

= + + −+ ≥ −

; in

consecinta,2 2

lim1n

n

n→∞

+= ∞

+.

Observatie. Acest criteriu ne permite sa stabilim daca un sir cutermenul general specificat tinde sau nu la o limita de asemenea precizata.Nu putem determina efectiv valoarea limitei recurgand la acest criteriu.

B) Criteriul majorarii.

1) Daca sirul ( )0n n

b≥

cu teremenii pozitivi este convergent la zero si are loc

inegalitatea:

, , fixatn na l b n k k − ≤ ∀ ≥ ∈¥

atunci sirul ( )0n n

a≥

este convergent la l .

2) Daca avem si ,n n nb a b n k → ∞ ≥ ∀ ≥ , atunci na → ∞

3) Daca avem si ,n n nb a b n k → −∞ ≤ ∀ ≥ , atunci na → −∞ .



Ex. rezolvat 2. Utilizand criteriul majorarii, sa se arate ca:

a)2cos

lim 0n

n

n→∞=

b) lim 1n

nn

→∞=

Solutie. a) Avem2cos 1

, 1n

nn n

≤ ∀ ≥ . Cum21 cos

lim 0 lim 0n n

n

n n→∞ →∞= ⇒ =

b) Fie ( ) ( )2

, 1 1 1nn n

n n n nnu u n u n u n

≥= − ⇒ + = ⇒ + = . Dezvoltam ( )1

n

nu+ cu

binomul lui Newton:

( ) 1 2 21 1 ...

n

n n n n nu C u C u n+ = + ⋅ + ⋅ + =

Insa toti termenii care apar in dezvoltare sunt pozitivi, deoarece 0nu > . Suma

tuturor termenilor fiind n, fiecare dintre acestia trebuie sa fie mai mic decat n.

Scriem aceasta pentru termenul al treilea:( )2 2 2 21 2 2

, 22 1 1

n n n n n

n nC u n u n u u n

n n

−⋅ < ⇔ ⋅ < ⇔ < ⇒ < ∀ ≥

− −

Cum2

lim 0 lim 0 lim 11

nn

n n nu n

n→∞ →∞ →∞= ⇒ = ⇒ =

−

Ex. rezolvat 3. Fie sirul cu termenul general( )

1! 2! ... !

2 !n

na

n

+ + += . Sa se

calculeze limn

na

→∞.

Solutie. Avem( ) ( )( )

! 1, 2

2 ! 1 2 ...(2 ) 2n n

n n na a n

n n n n n

⋅< = ⇒ < ∀ ≥

+ + +. Cum

1lim 0 lim 0

2n

n na

n→∞ →∞= ⇒ =

+

C) Criteriul clestelui

Fie trei siruri ( ) ( ) ( )0 0 0

, ,n n nn n n

a b c≥ ≥ ≥

astfel incat:

, , fixat si lim limn n n n nn n

a b c n k k a c a→∞ →∞

≤ ≤ ∀ ≥ ∈ = =¥

Atunci limn

nb a

→∞= .

Ex. rezolvat 4. Sa se calculeze:2 2 2

1 1 1lim ...

1 2n n n n n→∞

+ + +

+ + +

Solutie. Fie2 2 2 2

1

1 1 1 1...

1 2

n

n

k

an k n n n n=

= = + + ++ + + +

∑ . Evident ca nu

putem calcula na sub o forma mai simpla. Observam insa ca:



2 2 2

1 1 1, 1,

1k n

n n n k n≤ ≤ ∀ =

+ + +. Rezulta de aici:

2 2 21

2 2

11

1

1

n

k

n

n nn

n n n k n

n nan n n

=

≤ ≤ ∀ ≥ ⇔+ + +

⇔ ≤ ≤+ +

∑

Se observa acum ca2 2

lim lim 11n n

n n

n n n→∞ →∞= =

+ +. Conform criteriului clestelui,

rezulta ca lim 1nn

a→∞

= .

Observatie. Criteriul majorarii si cel al clestelui ne scot oarecum dinincertitudine; ele permit calculul limitelor unor siruri pentru care putem stabiliinegalitati in raport cu siruri cu limite cunoscute.

D) Marginit × convergent la zero

Acest criteriu este inclus ca exercitiu in manualul clasic (editiile 1979-2000).Utilitatea sa iese in special in evidenta la stabilirea existentei unor limite de

functii “ciudate”, cum ar fi0

1lim sin x

x x→

.

Fie sirurile ( ) ( )0 0, , 0n n nn n

a b a≥ ≥

→ , iar sirul ( )0n n

b≥

fiind marginit. Sa se arate ca

sirul-produs ( )0n n n

a b≥

este convergent la zero.

Demonstratie. ( )0n n

b≥

marginit è exista numarul real 0 M > astfel incat

,nb M n≤ ∀ ∈¥ .

Dar 0 0,na N ε

ε→ ⇒ ∀ > ∃ ∈¥ astfel incat , nn N a

M ε

ε∀ ≥ < . Rezulta ca

n N ε

∀ ≥ avem ( ) 0n n n na b M a b M

εε< ⋅ = ⇒ → .

Ex. rezolvat 5. Sa sa arate ca

2cos

lim 0n

n

n→∞ =

Solutie. Avem 2 1cos 1 si lim 0

nn

n→∞≤ = . Conform criteriului precedent, rezulta ca

2coslim 0n

n

n→∞= .

E) Criteriul subsirurilor

Acest criteriu este cel mai adesea utilizat pentru a demonstra ca un sir dateste divergent. Exemple tipice de astfel de siruri sunt cele care contin in

expresia termenului general ( )1 ,sin etc.2

n nπ−



1) Daca doua subsiruri distincte ale unui sir dat au limite diferite (sau

sirul dat contine un subsir a carui limita nu exista), atunci sirul datnu are limita.

2) Daca un sir dat este acoperit de subsiruri avand o limita comuna.

Intreg sirul tinde spre acea limita (nu am vorbit de convergenta,pentru a include si cazul in care limita comuna este ±∞ ).

Observatie. Prin “acoperit” intelegem ca subsirurile respective cuprind toti

termenii sirului. Spre exemplu, subsirurile ( ) ( )2 2 1sin nn na a + acopera un sir dat,

in timp ce subsirurile ( ) ( )3 3 1sin nn na a + nu il acopera.

Ex. rezolvat 6. Sa se studieze convergenta sirurilor cu termenii generali:

a) ( )1 cos1

n

na n

nπ= + ⋅

+

b) ( )4 1sin2

n

na

π

+=

Solutie. a) Sirul dat contine subsirurile:

2

22 2

2 1n

na

n= ⋅ →

+si 2 1 0na + = . Prin urmare, sirul dat este divergent.

b) Avem 1,na n= ∀ ∈¥ . Rezulta ca sirul este convergent la 1.

F) Monotonie + marginire.

Acesta este criteriul “clasic” al lui Weierstrass, aplicabil atat pentru siruri

definite prin termenul general, cat si pentru siruri definite prin relatii derecurenta. Nu il mai amintim aici, deoarece este prezentat in toate manualele.

Ex. rezolvat 7. Fie ( )1n n

a≥

un sir cu proprietatile 2 2

1 10 si , 1n n n na a a a n+ +< + < ∀ ≥ .

Sa se arate ca sirul ( )1n n

a≥

este convergent.

Solutie. Ce apare oarecum dificil aici este ca sirul implicat nu este definitstrict prin formula termenului general sau relatie de recurenta. Sirul estecaracterizat numai prin doua inegalitati, din care trebuie sa rezulteconvergenta.

( ) ( )2 2 2 2

1 1 1 10 0n n n n n n n na a a a a a a a+ + + +< ⇔ − < ⇔ − + < Tinem cont ca 1 0n na a+ + > si rezulta 1 10n n n na a a a+ +− < ⇔ < ⇒sirul

( )1n n

a≥

este strict descrescator.

1

1

00 2 0, 1

n n

n n

n n

a aa a n

a a

+

+

< + ⇒ < ⇒ > ∀ ≥ ⇒ <

sirul ( )1n n

a≥

este marginit

inferior de 0. Conform criteriului lui Weierstrass, rezulta ca sirul esteconvergent.



Ex. rezolvat 8. Fie sirul ( )1

8 3,

8 1n nn

nu u

n≥

−=

+. Se defineste sirul

( ) 1 21, ...n n nn

a a u u u≥

= . Sa se arate ca sirul ( )1n n

a≥

este strict monoton si ca

5

8 5na

n< +. Sa se calculeze lim

nna

→∞.

Solutie. Sigur ca prima idee care vine in minte este ca in produsul

1

n

n k

k

a u=

= ∏ s-ar simplifica niste factori, obtinandu-se o expresie mai simpla

pentru na . Din nefericire, simplificarea nu iese. Ce-i de facut ?

O prima observatie este ca 0 0, 1n nu a n> ⇒ > ∀ ≥ (sirurile date sunt

pozitiv definite). Mai mult, se vede imediat ca 1, 1nu n< ∀ ≥ . Cum insa

1

1 11

n

n n nn

au a a

a

+

+ += < ⇒ < ⇒ sirul ( ) 1n na

≥ este strict descrescator.

Pentru stabilirea inegalitatii5

8 5na

n<

+, recurgem la metoda inductiei

matematice. Mai intai, se vede ca 1 1

5 5 25 565 81

9 13 81 13a u= = < ⇔ < ⇔ < ;

inegalitatea se verifica asadar prin calcul direct pentru 1n = . Presupunem

acum pentru 1n ≥ ca ( )5

8 5na

n< ∗

+. Trebuie demonstrat ca pentru ( )1n +

avem inegalitatea ( )1 58 13

nan

+ < ∗∗+. Se inmulteste inegalitatea ( )∗ cu

1

8 5

8 9n

nu

n+

+=

+si rezulta:

( )1

5 8 55 8 5

8 9 8 98 5n n

nna u

n nn+

++⋅ < ⋅ =

+ ++

Pentru a deduce de aici inegalitatea ( )∗∗ este suficient sa aratam ca:

( )( ) ( )

( )( ) ( )2 2 2

5 8 5 58 5 8 13 8 9

8 9 8 138 5 8 13 8 9 64 144 65 64 144 81

nn n n

n nn n n n n n n

+< ⇔ + + < + ⇔

+ +⇔ + + < + ⇔ + + < + +

care este evidenta. Rezulta deci5

18 5

na nn

< ∀ ≥+

Cum5

lim 0 lim 08 5

nn n

an→∞ →∞

= ⇒ =+

, conform criteriului majorarii.

Despre studiul convergentei sirurilor definite recurent vom vorbi pe largintr-un alt material.



Exercitii propuse

1) Utilizand teorema cu ε (‘de caracterizare a limitei unui sir’), sa se arateca:

a) 4 1 4lim5 1 5n

n

n→∞+ =−

b) ( )lim 1 0n

n n→∞

+ − =

2) Fie sirul ( )2

21

1,

1n nn

na a

n≥

−=

+. Sa se arate ca lim 1n

na

→∞= si sa se determine

rangul incepand de la care toti termenii sirului difera de 1 cu mai putin

de1

100.

3) Sa se arate ca lim 1 2 ... lim 1 2 ...n ne e e

n n

n nπ π π

→∞ →∞

+ + + = + + + (indicatie: nu

incercati sa calculati sumele de sub radicali).

4) Sa se arate ca sirul ( ) 5

1, sin

2n nn

na a n

π

≥= ⋅ este nemarginit, dar nu tinde

spre +∞ .

5) Fie sirul ( )2

311

,n

n nnk

k k a a

n k ≥=

+=

+∑ . Sa se calculeze lim nn

a→∞

(vezi indicatia de

la ex. 3)6) Se considera sirul cu termenul general:

1 1 1... , 0, 2,

2n p p p p p pS a p p

n a n a n na= + + + > ≥ ∈+ + +¥ .

Sa se arate ca sirul este convergent si sa se calculeze lim nn

S→∞

.

7) Se considera sirul ( ) 2

21,

2

n

nn n nn

C a a

≥=

a) Sa se arate ca sirul este monoton si marginit;

b) Sa se demonstreze ca2 1

, 12

n

na n

n

−< ∀ ≥ si sa se calculeze

lim nn

a→∞

.

8) Fie numerele reale pozitive 1 2, ,..., na a a astfel incat 1 2 ... 1na a a+ + + = . Sase calculeze:

1 2

2

4 1 4 1 ... 4 1lim

n

n

a a a

n→∞

+ + + + + +

(indicatie: utilizati inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz)

9) Se stie ca sirul ( ) 211

1,

n

n nnk

a ak ≥

=

= ∑ este convergent si are limita

2

6

π(stabilirea acestui rezultat cam sare dincolo de programa de liceu).



Sa se arate ca sirul ( )( )

211

1,

2 1

n

n nnk

b bk

≥=

=−

∑ este convergent si sa i se

calculeze limita.

10) Fie ( )1n n

x≥

un sir de numere reale pozitive, astfel incat

( ) 11 0, 1n nn x nx n++ − < ∀ ≥


x≥

este convergent si sa se calculeze lim nn

x→∞

.

11) Fie sirul ( )1n n

x≥

definit prin relatia: ( )( )1 11, 1 1 , 1n n n x n x x x n+= + − ≥ + ∀ ≥ .


x≥

este nemarginit. (indicatie: aratati ca n x n≥ )

12) Termenii sirului ( )0n n

x≥

verifica relatiile:

( ) ( )2

10; si ,4

n n n

a x a x a x n+∈ − > ∀ ∈¥ , unde 0a > este dat.

Sa se arate ca sirul( ) 0n n

x≥

este convergent si sa se calculeze limnn

x→∞

.

13) Sa se studieze convergenta sirurilor ( ) ( )1

1, 1 1

10

n

n nn

na a

n≥

+= + − ⋅ si

( ) ( )21

1, 1 1

10

n

n nn

nb b

n≥

+= + − ⋅

14) Fie ( )1n n

x≥

un sir astfel incat ( )1lim 0n nn

x x+→∞− = . Este sirul ( )

1n n x

≥

convergent ?15) Sa se studieze convergenta sirului

( ) 2 2 21

sin1 sin 2 sin, ...

1 2

n nn

na a

n n n n

≥= + + +

+ + +

16) Fie matricea 2 2, , , 1a b

A a b a bb a

= ∈ + < −

¡ . Sa se arate ca

n nn

n n

a b A

b a

= −

, iar lim lim 0n nn n

a b→∞ →∞

= = .

17) Se considera sirurile ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0, , ,n n n nn n n n

a b c d ≥ ≥ ≥ ≥

astfel incat:

2 2 2 24 2 6 14 ,n n n n n n na b c a b c d n+ + − + − + = ∀ ∈¥

Stiind ca sirul ( )0n n

d ≥

este convergent la zero, sa se arate ca si celelalte

trei siruri sunt convergente si sa se calculeze limitele lor.

Documents

Siruri - criterii de convergenta