SISS 2005/2006

MECCANICA

Antonio Ballarin Denti

CINEMATICA

Descrizione geometrica del moto

Studiamo:

1) Moto in una dimensione

2) Moto nel piano

- Moto uniforme

- Moto uniformemente accelerato- Il caso del grave

- Natura vettoriale delle grandezze cinematiche- Moto del proiettile

CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE

Grandezze fondamentali

velocità scalaremedia in (t1, t2)

velocitàscalare

istantanea

accelerazionemedia in (t1, t2)

accelerazioneistantanea

MKS:m/s

MKS: m/s2

Se vm è la stessa per qualunque intervallo di tempo, il moto si dice: uniforme.

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

LEGGIFONDAMENTALI

Se a t = 0, x0 = 0:

Se a t = 0, anche v0 = 0:

Si ricava quindi:

a = cost

Ricapitolando:

a = cost

a = 0

a = costv

t

a = 0

v

t

Area = vt Area=

caduta libera lungo la verticale

Moto uniformemente accelerato

Leggi del moto

Se a t = 0, y0 = h e v0 = 0 :

hy

0

SA

LIT

AD

ISC

ES

A

tempo di salita

tempo di caduta

quota raggiunta

velocità finale> v0

distanza percorsa

v0

Salita e discesa

t1 = t2Da cui si ricava:

MOTO IN DUE DIMENSIONI

Posizione, velocità e accelerazione sono vettori nel piano

Se r e r+dr sono le posizioni a t e t+dt

La v di un corpo nel piano, in un punto P ha modulo uguale alla v scalare e direzione

tangente alla traiettoria in quel punto

r

y

x

P

L’accelerazione è determinata dai cambiamenti di modulo direzione e verso della velocità

a = cost

MOTO DEI PROIETTI

Prima di Galileo: …“teoria dell’impeto”

Galileo: il moto dei proietti si spiega mediante il concetto di inerzia

..la teoria pregalileiana non spiega la forma della traiettoria..

1. Un corpo lanciato cade verticalmente sotto l’azione della forza di gravità

2. L’inerzia lo fa muovere con

velocità costante lungo la verticale

y

x

Foto stroboscopica di due proietti

Risultato della combinazione di due moti: Il corpo descrive una PARABOLA

Calcolo esplicito della traiettoria trascurando gli attriti (proietti lenti)

Condizioni iniziali:

X: il moto è governato dal principio d’inerzia

Y: il moto è governato dall’accelerazione costante verso il basso

Studiamo y = f(x) partendo da y = f(t )

e conoscendo t = g(x)

t = g(x)

y = f(t )

Eliminando t si ottiene la traiettoria y = y(x)

Equazione cartesiana della parabola galileianain assenza di attriti dell’aria.

qual è l’altezza massima ymax?

se è fisso, ymax è funzione della sola v02

vx 0Vy= 0

y

xyma

x

La Gittata R = xmax

dove T è il tempo di volo:

Quando il corpo torna al suolo, lo spazio percorso è:

La gittata è funzione di ed è massima per:

Rmax = sin 2 = 1 ; 2 =90° = 45°

P

Parabola disicurezza

Se vogliamo colpire un punto P (x,y) imponiamo:

, ma:

Sostituendo ho un’equazione di II grado in

(*) ha 2 soluzioni reali se P(x, y) si trova sotto la parabola di sicurezza

(*)

LE LEGGI DI CADUTA DEI GRAVI

Sviluppo storico

In che modo un corpo acquista velocità mentre cade?

Leggi che pongono in relazione spazio di caduta, tempo di caduta, e velocità dei gravi in caduta

secondo due studiosi del XIV secolo Alberto di Sassonia e Nicola di Oresme, secondo Leonardo da

Vinci (1452-1519) e Galileo Galilei (1564-1642)

Necessità di superare una descrizione qualitativa(forma mentis Aristotelica) mediante misurazioni

quantitative (esperimenti) e linguaggio matematico

Confrontiamo le leggi di Leonardo e Galileo…

Siano sP ed st lo spazio incrementale e lo spazio totale percorsi in successive unità di tempo t

Legge degli interi

consecutivi

Legge dei numeri dispari

LEONARDO GALILEO

Quando t = 1, sP = c, quindi c è numericamente uguale allo spazio che qualsiasi grave percorrerà nella 1° unità di tempo

nel suo moto di caduta. Nel SI, c ha un valore di circa 4,9 m/s2 ed ha lo stesso valore per tutti i gravi che cadono nel vuoto in

prossimità della superficie della Terra.

Quale formulazione scegliere per descrivere la caduta di un grave?

Quella che non entra in contraddizione con l’esperienza

La fotografia mostra la caduta di una sfera in successivi istanti di tempo (CRONOFOTOGRAFIA).

Con gli orologi moderni possiamo studiare direttamente

la caduta libera e verificare i risultati di Galileo.

Un dispositivo emette lampi di luce a intervalli di temporegolari: è il nostro orologioorologio.Tra ogni coppia di immagini consecutive è trascorso lo stesso intervallo di tempo. Si misurano gli spazi percorsi con una scala graduata.Dati di questo tipo sono ideali per scegliere tra la legge di Leonardo e quella di Galileo per lo spazio percorso in successivi intervalli di tempo.

Scegliamo la legge di Galileo

Spazio percorso tra un lampo ed il consecutivo, sP.

Spazio di caduta

totale st

Spazio di caduta

totale st

GALILEO LEONARDO

cc

3c

5c

7c

9c

11c

….

3c

4c

5c

2c

6c

1) 2)

Sostituendo 1 in 2 si ottiene:

Per h = 0

E quindi per a = cost = 2c:

Questa accelerazione costante è così importante

che la denotiamo con un simbolo proprio:

g = accelerazione di gravità

Legge della caduta

dei gravi

LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE

L’intensità della forza è proporzionale al prodotto delle masse dei punti materiali e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

Ogni corpoOgni corpo esistente nell’universo attira ogni ogni altro altro corpocorpo con una forza gravitazionale. G è la costante di gravitazione universale.costante di gravitazione universale.

Le forze di gravitazione esistenti tra due punti materiali (tra loro opposte per il principio di azione e reazione) hanno come retta di applicazione la retta individuata dalle posizioni dei due punti.

universalità

direzione e verso

intensità

È una legge fondamentale di natura…

Spiega la legge empirica di Keplero che pone in relazione il raggio di un orbita R con il suo periodo T: una Forza che decresce come 1/R2 porta ad orbite che sono sezioni coniche (ellissi, cerchi, parabole e iperboli).

forza gravitazionale in cieloSpiega la legge empirica di Galileo per la caduta libera dei gravi: la terra esercita sopra ogni corpo una forza di attrazione gravitazionale.

forza gravitazionale in terra

La fisica della terra diventa identica alla fisica del cielo

La forza risultante sulla mela si ottiene sommando vettorialmente tutte le forze (F1 , F2 ,…) che si esercitano tra particella della mela e particella della Terra.

Vale il principio di sovrapposizione:

…con il calcolo integrale si dimostra che…

due corpi a simmetria sferica che non si toccano si comportano come se tutta la loro massa fosse concentrata nel centro.

la Terra e la mela si possono trattare come punti materiali.

PROPRIETÀ ESCLUSIVA DELLE LEGGI IN CUI LA FORZA È INVERSAMENTE PROPORZIONALE

AL QUADRATO DELLA DISTANZA.

In entrambi i casi il numero di linee di

forza che attraversano la

superficie sferica si conserva.

L’intensità della forza esercitata da una sorgente sferica:

RAPPRESENTAZIONE DELL’ INTENSITÀ DEL CAMPO GRAVITAZIONALE CON LE LINEE DI FORZA

(a) (b)

Linee di forza dovute ad una massa puntiforme (a) nel centro di una sfera di osservazione e (b) in un punto decentrato:

(*)

(d)(c)

Linee di forza dovute (c) ad una distribuzione a simmetria sferica di masse puntiformi mi e (d) alla

stessa massa totale di (c) concentrata nel centro.

In entrambi i casi il numero di linee di

forza che attraversano la superficie sferica è

direttamente proporzionale alla massa totale della

sorgente.

(a), (b), (c), (d) rappresentano la (*)

Determinazione della forza che si esercita su una massa puntiforme (punto materiale), situata all’interno di uno strato sferico.

STRATI SFERICI

La forza gravitazionale dovuta a una massa distribuita simmetricamente su uno strato sferico è:

uguale a quella che si avrebbe se tutta la massa fosse concentrata nel centro;

nulla ovunque all’interno dello strato.

Una retta che interseca una sfera forma lo stesso angolo rispetto alla normale alla sfera in entrambi i punti di intersezione.

Diagramma del modulo della forza gravitazionale in funzione della distanza dal centro della Terra nell’ipotesi di massa volumica mv uniforme.

APPLICAZIONE

Qual è la forza gravitazionale che si esercita su un corpo posto

ad una distanza r dal centro della Terra?

La forza che cerchiamo è dovuta unicamente allo materia contenuta in una sfera di raggio r. Lo strato di materia situato all’esterno del corpo non esercita forza.

orientata radialmente. diretta verso il centro della Terra.

F(r)

r

Line

are proporzionale

a r -2

ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ SULLA TERRA

MT

Legge di gravitazione universale+

Secondo principio della dinamicaLegge di Galileo

…da cui: costante!

In prossimità della Terra tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione costante indipendente dalla massa del corpo.

… C.V.D

Le traiettorie di un sasso lanciato orizzontalmente con differenti

velocità da un monte conducono al moto orbitale. (Principia)

IN CONSEGUENZA ALLA FORZA GRAVITAZIONALELA LUNA È IN CADUTA LIBERA SULLA TERRA….

La luna ha la velocità giusta per

ruotare intorno alla Terra: cade continuamente, ma in virtù della curvatura della

Terra, non la raggiunge mai.

Una mela in caduta libera sulla Terra percorre 4,9 m in 1 s; nello stesso tempo la Luna in caduta libera percorre 0,14 cm.

>

Previsione di Newton sullo

spazio di caduta

della luna in 1 s

Previsione..

Geometria per determinare lo

spazio di caduta della Luna in

un tempo di caduta di 1 s.d = spazio orizzontale che la

Luna percorre in 1 s.

verifica: MOTO REALE DELLA LUNA

Per Pitagora:

Ottimo accordo con il valore previsto teoricamente:

un’esperienza eseguita sulla Terra rivela le leggi del cielo.

SATELLITI ARTIFICIALI IN ORBITE CIRCOLARI

Moto circolare uniforme: accelerazione centripeta di modulo costante v 2/r.

Sul satellite agisce la forza gravitazionale:

Tale F impartisce al un’accelerazione centripeta:

l’orbita del satellite è un cerchio.

v

r

MT

ms

at Grandezze pertinenti al moto orbitale dei

satelliti

Velocità alla quale la forza gravitazionale terrestre fa sì che lo spazio che il satellite percorre cadendo sia tale da mantenerlo

nella sua orbita.

Relazione tra il periodo T ed il

raggio dell’orbita: caso particolare della 3° legge di

Keplero.

FORZA CENTRIFUGA

a0 : è l’accelerazione centripeta (segno -) rispetto

al sistema di riferimento inerzialer : distanza dall’asse di rotazione: velocità angolare del sistema di riferimentov = r: velocità del punto

fC cresce al crescere di r ed è diretta

verso l’esterno: FORZA CENTRIFUGA

Nei sistemi di riferimento che ruotano di moto circolare uniforme rispetto

ad un sistema di riferimento inerziale è presente una forza fC data da:

Esempio:Moto circolare uniforme di un corpo vincolato ad un palo da una fune:

m

m

1) Nel sistema di riferimento inerziale:

Diagramma delle forze:

T = mv2 / r

2) Nel sistema di riferimento in rotazione:

T = mv2 / r fc = mv2 / r

Applicazione: CENTRIFUGHE

Per separare le particelle solide in un liquido,fc ha un’azione più efficace della sola gravità

R

m2R

mgFRIS

mg

Assecentrifuga

…la rotazione genera fc orizzontale…

Sulla particella agisce quindi:

FRIS = m 2 R + m g = gravità efficace

AUMENTA LA VELOCITÀ DI DERIVA

centrifugaultracentrifuga

30103

1886,28 103

1010

3604 105

3,6 105

4 108

PROPRIETÀ (S-1) R(cm) 2 R 2 R/g

Studiamo la velocità di deriva

Forza su particella solida di massa m in

liquido di massa m0 e viscosità

Gravità efficacecorretta per Archimede

Forzaviscosaresistiva

All’equilibrio FRIS = 0, v = vD

Per una particella sferica di raggio r

K = 6 r

Velocità Deriva

cresce con r2

(corpi grandi!)

:

energia meccanica

energia elettrica

Trasformazione

“l’energia di un corpo è la misura del lavoro che esso può compiere in virtù del particolare stato in cui si trova”

L’Energia

“nella mutevolezza delle forme e degli scambi di energia, l’energia totale di un sistema (isolato) si

conserva.”

Caratteristica fondamentale di questa grandezza è che ad essa è associato un principio di conservazione :

L’esistenza di principi di conservazione è una delle principali scoperte in fisica e rimane inalterata anche

nella fisica moderna. Accrescono la nostra comprensione della dinamica e ne semplificano l’analisi.

L’Energia presenta una molteplicità di forme e di processi di scambio: lavoro meccanico, energia cinetica, energia potenziale, calore….

Il lavoro rappresenta l’energia impressa ad un corpo da una forza esterna. Una forza compie lavoro ogni volta che produce uno spostamento del corpo su cui agisce.

Nel caso di FORZA COSTANTE:

Il lavoro fatto da una F costante è dato dal prodotto dell’intensità della F per la proiezione dello spostamento subito dal suo

punto di applicazione nella direzione della F .

Nel caso di FORZA VARIABILE:

Il lavoro fatto da una F variabile quando il suo punto di applicazione si sposta da A a B lungo una curva è dato da:

F

Fds

P1 P2ds

l’unita di misuraè il Joule

Energia cinetica

Interpretiamo Ecin come: energia associata al moto.

Il lavoro compiuto dalla F modifica l’ Ecin

Se un corpo di muove sotto l’azione di più forze di risultante F :

Grandezza scalareUnità di misura: JouleDipende da m e dallo stato di moto istantaneo di un corpo (v)

…per uno spostamento finito si ottiene:

TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA:

(1° risultato verso l’individuazione di un

principio di conservazione…)

L’ Ecin di un corpo può essere modificata

(aumentata E > 0,

diminuita E > 0) quando una forza compie un

lavoro L 0

e si ha: L = Ecin

Energia potenziale U

Interpretiamo U come l’energia associata alla posizione.

È la misura del lavoro che un corpo può compiere in virtù della sua posizione in

un campo di forze conservativo.

Tale lavoro non dipende dal percorso per andare dal punto A al punto B, ma solo dalla posizione di A e B.

U è definita a meno di una costante:

è possibile fissare arbitrariamente lo zero dell'energia potenziale senza ambiguità, poiché il lavoro è definito in termini di variazioni di U e la forza come gradiente.

e vale:

A

BI

II

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA TOTALE

L’ENERGIA MECCANICA TOTALE DI UN SISTEMA È UNA COSTANTE DEL MOTO

SE IL SISTEMA È ISOLATO E GLI OGGETTI CHE LO COMPONGONO

INTERAGISCONO SOLO MEDIANTE FORZE CONSERVATIVE

lllllllllllllll

Si definisce Energia Meccanica la quantità:

Etot = Ecin + U

Legge fondamentale di natura: più efficace e profonda del metodo newtoniano

Applicazione: il piano inclinato

Galileo solleva la sfera alla quota h dotandola di energia potenziale U. Lasciata libera la sfera

acquista velocità v. Durante il moto vale:

θ

mghr

Etot = U = mgh v = 0

Trovo la costante ponendomi in z = h. Vale:

per z

hz

E = mgh

E = mgz + ½ mv²

Si definisce il sistema da studiare.

Si sceglie una posizione di riferimento per U=0 e la si usa coerentemente.

Si scrive l’energia totale del sistema nel punto, per esempio A, in cui si vuole determinare una certa quantità incognita (come la velocità o la quota);

EA = UA + KA.

Si trova un altro punto, per esempio il punto B, in cui si conosce tutto riguardo al moto del corpo e si scrive l’energia totale in quel

punto: EB = UB + KB .

La conservazione dell’energia implica che EA

= EB; si eguagliano le due energie e si risolve

rispetto alla quantità incognita.

PROCEDIMENTO GENERALE

IMPORTANTE:

Il procedimento vale anche per forze continuamente variabili