Sistem Bilangan Real

Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional

Himpunan bilangan rasional, Q = {x|x = , p dan qZ, dengan q 0} contoh :

Himpunan-himpunan berikut ada didalam himpunan bilangan rasional : * Himpunan bilangan asli, N = {1,2,3,….} * Himpunan bilangan bulat, Z = {…-2,-1,0,1,2,……}

p

q

1 4 57, ,

3 9 1

Himpunan bilangan irasional, iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk }

contoh : , e, log 5, Teorema :

“Jumlah bilangan rasional dan irrasional adalah irrasional” Representasi desimal bilangan rasional adalah berakhir atau berulang dengan pola yang sama :

contohnya : 3/8 = 0.375, atau 0.3750000000…. 13/11 =1.1818181818…

Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal berulang dan sebaliknya

contoh : x = 0.136136136…. y = 0.271271271…..

Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional ! Representasi bilangan irrasional tidak berulang dan sebaliknya, contoh : 0.101001000100001….

p

q2

Garis bilangan

Setiap bilangan real berkorespondensi dengan satu dan hanya satu titik pada sebuah garis bilangan, yang disebut garis bilangan real.

0-1 1 2-4 2 52 3 5

Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan real.

Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi :

* Sifat-sifat aljabar

* Sifat-sifat urutan

* Sifat-sifat kelengkapan

Sistem bilangan real

*Sifat-sifat aljabar bilangan real

Sifat – sifat aljabar menyatakan bahwa 2 bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, dibagi (kecuali dengan 0) untuk memperoleh bilangan real yang baru.

contoh:

2 + 5⅛ = 7⅛

5-0,4 = 4,6

4 x ¾= 1

3 : 4 = ¾

*Sifat-sifat urutan bilangan real

Bilangan real a disebut bilangan positif, jika a nilainya lebih besar dari 0, ditulis a > 0.contoh : 5 adalah bilangan positif, karena 5 > 0

Bilangan real a lebih kecil dari b, ditulis a < b, jika b – a positifcontoh : 2 < 5 karena 5 – 2 = 3 > 0

Untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku sifat urutan berikut:

a < b a + c < b + c a < b a - c < b – c a < b, c > 0 ac < bc a < b, c < 0 ac > bc a > 0

Jika a dan b bertanda sama maka

10

a

1 1 a b

b a

*Sifat kelengkapan bilangan real

Sifat kelengkapan dari himpunan bilangan real secara garis besar menyatakan bahwa terdapat cukup banyak bilangan – bilangan real untuk mengisi garis bilangan real secara lengkap sehingga tidak ada setitikpun celah diantaranya

Contoh :

Nyatakanlah apakah masing-masing yang berikut benar atau salah!

a. -2 < -5

b. 6 34

7 39

Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling sedikit 2 bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang terletak diantara keduanya.

Interval bilangan real

Untuk setiap x, a, b, c R,

1. [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} disebut interval tutup2. [a, b) = {x | a ≤ x < b} disebut interval setengah tertutup

atau terbuka3. (a, b] = {x | a < x ≤ b} disebut interval setengah terbuka

atau tertutup4. (a, b) = {x | a < x < b} disebut interval terbuka

Interval – interval tak hingga

(–∞, b] = {x | x ≤ b} (–∞, b) = {x | x < b} [a, ∞) = {x | x ≥ a} (a, ∞) = {x | x > a} (–∞, ∞) = {x | x R}

Ketidaksamaan Menyelesaikan ketidaksamaan dalam x berarti mencari

interval atau interval-interval dari bilangan yang memenuhi ketidaksamaan tersebut.

Cara menyelesaikan ketidaksamaan :1. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama2. kalikan kedua sisi dengan bilangan positif3. kalikan kedua sisi dengan bilangan negatif, tapi tanda

ketidaksaman berubahContoh:

Selesaikan ketidaksamaan berikut dangambarkanlah kumpulan solusinya pada garis bilangan real!a. 5x – 3 ≤ 7 - 3x

b. c. (x – 1)2 ≤ 4x

x

2

42

Nilai Mutlak

Definisi nilai mutlak :

Jadi |x|≥ 0 untuk setiap bilangan real x dan |x| = 0 jika dan hanya jika x = 0.

|x| dapat juga didefinisikan sebagai:

Secara Geometri: |x| menyatakan jarak dari x ke titik asal. |x – y| = jarak di antara x dan y

0,

0,

xx

xxx

2x x

Sifat nilai mutlak

|-a| = |a| |ab| = |a||b|

|a + b| ≤ |a| + |b| (disebut ketidakamaan segitiga)

|x|2 = x2

|x| < a jika dan hanya jika - a < x < a |x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a |x| < |y| jika dan hanya jika x2 < y2

aa

b b

Contoh :

Selesaikan persamaan berikut : |2x – 5|=9Tentukan solusi dari ketaksamaan berikut:

a.

b.

x 5 9

5 12 x

SOAL

1. 5 2 6x x

2. 2 11 1x x

3. Berapakah nilai a dan t yang memenuhi persamaan

?t a a t

Fungsi Definisi :

Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi (padanan) yang menghubungkan setiap objek dalam suatu himpunan (disebut daerah asal/domain) dengan sebuah objek tunggal/unik dari suatu himpunan kedua (daerah kawan /kodomain)

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B ditulis sebagai f : A B

Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah asal (Range/Image)

x y

f(x)

f(y)

A B

f

Fungsi

Secara matematis fungsi didefinisikan sebagai berikut :f : A→B fungsi jikka

Definisi yang similar :“f fungsi jikka

Atau

, !x A y B y f x

1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x

1 2 1 2 1 2, ,x x A f x f x x x

Secara konseptual, fungsi terdiri dari 1. Domain2. Codomain C3. Aturan pengawanan yang memetakan setiap elemen di D dengan tepat satu elemen di C

Tidak disyaratkan setiap elemen di C merupakan image suatu elemen di D

Adalah mungkin dua elemen berbeda di D mempunyai image yang sama

Misalkan f : A B

Himpunan D(f) = A disebut domain dari f Himpunan B disebut kodomain dari f Himpunan R(f) = {b B: a A sehingga

f(a) = b} disebut range dari f.

A B A B

Bukan Fungsi

Contoh

Apakah relasi f : A B yang didefinisikan sebagai x2+y2=9 merupakan suatu fungsi?

Tunjukkan bahwa pengaitan f(x) = x2 dengan x R adalah fungsi. Tentukan juga domain dan range dari f.

Grafik Fungsi

Bila Domain dan Range dari suatu fungsi terdiri dari bilangan-bilangan real, maka kita dapat menggambarkan grafik fungsi tersebut pada bidang datar.

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi:1. Tentukan domain 2. Tentukan beberapa titik pada domain dan nilai-nilainya serta susunlah dalam suatu tabel 3. Gambarkan koordinat titik-titik tersebut pada

suatu sistem koordinat kartesius4. Hubungkan koordinat-koordinat titik-titik tersebut

Contoh :

Gambarkan grafik fungsi f(x) = x2 – 3

x y-3 6-2 1-1 -20 -31 -22 13 6

f x x( ) 2 3

Pergeseran grafik fungsi

Bagaimana mengubah suatu persamaan untuk menggeser grafik suatu persamaan kekiri atau kekanan, keatas atau kebawah?

x x

xx

yy

y y

y = f(x) y = f(x - h)

y = f(x) + k y = f(x - h) + k

{

h

{k

Operasi pada fungsi

Jika f dan g adalah dua buah fungsi sembarang maka:

Contoh:

f x x dengan D f( ) , 0

f g x f x g x x D Df g ( ) ( ) ( )

f g x f x g x x D Df g ( ) ( ) ( )

f

gx

f x

g xx D Df g

( )

( )

( )

g x x dengan Dg( ) , 1 1

Misalkan f merupakan korespondesi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B

Invers dari f adalah fungsi yang memasangkan setiap elemen b B ke elemen yang unik a A sehingga f(a) = b

Invers dari f dinyatakan dengan f -1, sehingga f -1(b) = a jika f(a) = b

Misalkan g fungsi dari himpunan A ke himpunan B dan f fungsi dari himpunan B ke himpunan C

Jika R(f)D(g) = B maka komposisi dari fungsi f dan g (dinyatakan dengan f ° g) merupakan fungsi dari A ke C dimana (f ° g)(a) = f(g(a)) ,untuk setiap a A

Invers dan komposisi

Jenis-jenis Fungsi

Jenis-jenis fungsi dibagi berdasarkan: Kesimetrisannya terhadap sumbu y dan

titik 0 Cara pemasangan elemen-elemen domain

dan kodomain Operasi-operasi yang membentuknya

Menurut kesimetrisan terhadap sumbu y dan titik 0 fungsi dibagi menjadi:

1. Fungsi Genap Suatu fungsi f(x) disebut suatu fungsi genap jika f(x) =

f(-x) x D Fungsi genap merupakan fungsi yang simetri terhadap

sumbu y

2. Fungsi GanjilSuatu fungsi f(x) disebut suatu fungsi ganjil jika f(x) = -f(-x) x DFungsi ganjil adalah fungsi yang simetri terhadap titik asal OContoh: Periksa apakah fungsi berikut merupakan fungsi genap, ganjil, atau bukan keduanya.

a. f(x) = x4 + 2x2 + 5 b. g(x) = sin x

Menurut cara pemasangan elemen-elemen domain dengan elemen-elemen pada kodomain maka fungsi dibagi menjadi:

1. Fungsi satu-satu atau injektifSuatu fungsi f disebut satu-satu, atau injektif, jika dan hanya jika f(x) = f(y) mengakibatkan x = y untuk semua x dan y di domain f.

2. Fungsi pada/onto atau surjektif

Suatu fungsi f dari A ke B disebut pada, atau surjektif, jika dan hanya jika untuk setiap elemen b B ada elemen a A dengan f(a) = b.

3. Fungsi satu-satu pada atau bijektifSuatu fungsi f disebut berkorespondensi satu-satu pada, atau bijektif, jika dan hanya jika f satu-satu dan pada.

Contoh: Periksa apakah f(x) = x2 dengan x R merupakan fungsi: a. satu-satu (injektif)b. pada (surjektif)c. berkorespondensi satu-satu pada (bijektif)

Menurut operasi-operasi yang membentuknya fungsi dibagi menjadi:

1. Fungsi AljabarFungsi aljabar adalah fungsi yang dibentuk dari fungsi konstan dan fungsi identitas dengan memakai operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar.Yang termasuk dalam kelompok fungsi aljabar ini adalah fungsi polinomial, fungsi rasional dan fungsi aljabar eksplisit.

2. Fungsi TransendenFungsi transenden adalah fungsi yang tidak dapat dinyatakan sebagai fungsi aljabar.Yang termasuk dalam kelompok ini adalah:a. fungsi trigonometri b. fungsi eksponen c. fungsi logaritma d. fungsi hiperbolikus

Fungsi Eksponen dan Logaritma

Fungsi Eksponeno f(x) = ax, a konstan, xRo f(x) = ex, e = , xR

Fungsi logaritmao f(x) = alog x, a konstan,

xR+

o f(x) = elog x = ln x, iR+

a = e a = 10 a =1.7

Limit Fungsi

Apakah yang disebut limit ?

Misalkan ingin diketahui luas persegi berikut ini:

Untuk menghitung luas persegi adalah dengan mencari panjang sisi persegi danmengkuadratkannya berdasarkan rumus menghitung luas.

Sebagai contoh, jika panjang sisi persegi adalah 4, maka luas persegi adalah 42 =16.

“Bagaimana jika panjang sisi persegi adalah mendekati 4, apakah luas persegi juga akan mendekati 16 ?”

Perhatikan contoh berikut :

Sisi Luas

4.1 16.81

4.01 16.0801

4.001 16.008001

4.0001 16.00080001

4.00001 16.0000800001

Berdasarkan tabel disamping:• Jika panjang sisi semakin

mendekati 4, maka luas persegi semakin mendekati 16

• Jika ingin dibuat luas persegimendekati 16, maka sisi harus semakin mendekati 4

Berdasarkan contoh diatas :“limit luas persegi jika sisi mendekati 4 adalah 16”

Berdasarkan masalah luas persegi tersebut:

x : panjang sisi A(x) : luas persegi = x2

limit dari A(x) pada saat x mendekati 4 adalah 16

Contoh luas

x g(x)

7.1 19.3

7.01 19.03

7.001 19.003

7.0001 19.0003

7.00001 19.00003

Terlihat bahwa jika x mendekati 7, maka g(x) mendekati 19

Misalkan fungsi g(x) = 3x-2. Untuk x =7, g(7)=19. Jika x semakin mendekati 7, apakah g(x) juga mendekati 19 ?

Perhatikan fungsi berikut ini :

Apa yang terjadi jika x mendekati 1 ?

2 1

1

xf x

x

x f(x)

1.1 2.1

1.01 2.01

1.001 2.001

1.0001 2.0001

1.00001 2.00001

Terlihat bahwa limit dari f(x) pada saat x mendekati 1 adalah 2, tetapi f(1) tidak terdefinisi.

Jadi diperlukan tambahan syarat bahwa pada saat x semakin mendekati 1dan x tidak sama dengan 1

Limit FungsiJika dikatakan L adalah limit dari f(x) untuk x mendekati c (x c), maka secara intuisi kita tahu bahwa nilai-nilai f(x) akan mendekati L bila nilai-nilai x mendekati c, baik dari arah kanan c (x > c) atau dari arah kiri c (x < c). Dalam matematik ditulis lim ( )

x cf x L

.

Perlu diperhatikan ialah bahwa nilai limit fungsi f(x) pada titik x = c tidak tergantung pada ada tidaknya nilai f(c).

Definisi secara intuisi limit fungsi f(x) pada titik x = c:

Definisi 1. lim ( )x c

f x L

artinya jika x mendekati c, tetapi x c maka

f(x) akan medekati L

Ilustrasi

x f(x)

0.9 2.71

0.99 2.9701

0.999 2.997001

1 (tdk terdefinisi)

1.001 3.003001

1.01 3.0301

1.1 3.31

Contoh 1. Menghitung limx

x

x

1

3 1

1

3 1( )

1

xf x

x

Contoh

Contoh 2. Cari lim ( )x

f x 0

dari f xx

x( )

,

,

2 0

1 0.

x

y

0

(0) 1

lim ( ) 2x

f

f x

Bilamana nilai lim ( )x a

f x

tidak ada?

lim ( )x a

f x

tidak ada bila:

1. Nilai f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan berbeda dengan nilai f(x) untuk x mendekati a dari arah kiri.

2. f(x) mengalami banyak goyangan pada saat x mendekati a

Limit Kiri – Limit Kanan

Definisi 2. lim ( )x a

f x L

bila x dekat dengan a dari sebelah kanan

a x a( ) maka f(x) akan dekat dengan L. lim ( )x a

f x L

bila x dekat dengan a dari arah kiri a x a( )

maka f(x) akan dekat dengan L. Teorema 1. lim ( )x a

f x L

jikka lim ( )x a

f x L

dan lim ( )x a

f x L

Jawab:

lim ( )x

f x

0

2

x

y

Jad i

lim ( )x

f x

0

1

lim ( )x

f x 0

tid ak ad a

Contoh 3. Cari lim ( )x

f x 0

dari f xx

x( )

,

,

1 0

2 0

Pengertian Limit Fungsi (Secara Matematis)

Definisi 3. Dikatakan lim ( )

x cf x L

artinya 0 bagaimanapun

kecilnya 0 jika 0 x c f x L ( ) .

x

f x( )

L

0

C x

f x( )

L

0

C

x

f x( )

L

Jika 0 x c

Cc c x

f x( )

LL

L

f x L( )

Cc c

Contoh:

2lim 2 2 4x

x

Limit Fungsi

Teorema 2. Sifat-sifat limit fungsi

Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta dan lim ( )x c

f x L

serta lim ( )x c

g x M

maka

a. limx c

k k

e. lim ( ) ( )x c

f x g x L M

b. limx c

x c

f. lim( )

( ),

x c

f x

g x

L

MM

0

c. lim ( )x c

k f x k L

g. lim ( ( ))x c

n nf x L

d. lim ( ( ) ( ))x c

f x g x L M

h. lim ( )x c

n nf x L

Kontinuitas Fungsi

x

f x( )

a

gambar 1

x

f x( )

a

gambar 2

f a( )

x

f x( )

a

gambar 3

f a( )

gambar 4

Definisi 4. ( Kekontinuan Fungsi pada Sebuah Titik)

Fungsi f yang terdefinisi pada sebuah interval buka yang

mengandung c adalah kontinu di c jika lim ( ) ( )x c

f x f c

Contoh:

f(x) = 2x + 2 kontinu dititik x = 2?

Jawab :

f(2) = 4 dan

Karena

Maka f(x) = 2x + 2 kontinu dititik x = 2

2lim 2 2 4x

x

2lim 2 2 (2)x

x f

Sifat Fungsi Kontinu

Jika f dan g merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada titik x c maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu pada titik x c .

a. k f d. fg dengan g c( ) 0

b. f g e. f n

c. f g f. fn dengan f c( ) 0 jika n genap

:

: