1 Sistem sistem

Sistem Persamaan Linear dan Matriks

1. PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN CARA

MENYELESAIKANNYA

Secara aljabar sebuah garis pada bidang-dapat dinyatakan oleh sebuah persamaan yang berbentuk

(1.1)

Persamaan ini dinamakan persamaan linear dalam variabel dan .

Secara umum, Persamaan Linear dengan variabel didefinisikan dengan

(1.2)

dengandan adalah konstanta konstanta riil.

Perlu dicatat bahwa sebuah persamaan linear tidak melibatkan sesuatu hasil kali atau akar variabel. Semua variabel hanya terdapat sampai dengan derajat pertama dan tidak muncul sebagai argumen untuk fungsi trigonometri, fungsi logaritma, atau fungsi eksponensial.

Contoh 1.1

Persamaan persamaan berikut ini adalah linear :

sedangkan berikut ini bukanlah persamaan linear :

Menyelesaikan persamaan linear (1.2) adalah upaya mendapatkan bilangan katakan sehingga persamaan (1.2) bernilai benar. Artinya bila disubstitusikan nilai-nilai pada persamaan (1.2) ruas kiri sama dengan ruas kanan. Himpunan semua bilangan dinamakan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear.

Contoh 1.2

Carilah himpunan pemecahan setiap persamaan yang berikut :

(i)

(ii)

Untuk mencari solusi persamaan (i), dapat dilakukan dengan cara menetapkan sembarang nilai untuk . Kemudian dengan nilai tersebut nilai dapat diperoleh. Atau dengan cara sebaliknya. Sebagai ilustrasi cara yang dimaksud, misalkan sebuah nilai yang sembarang untuk, maka diperoleh

(1.3)

Solusi secara khusus dapat diperoleh dengan mensubstitusikan nilai nilai tertentu untuk . Misalnya, jika maka persamaan (1.3) menghasilkan dan jika maka akan diperoleh

Untuk mendapatkan solusi dari persamaan (ii) dapat dilakukan dengan cara yang sama yaitu menetapkan sembarang nilai untuk dua variabel tertentu dan mensubsitusikannya ke persamaan semula untuk mendapatkan nilai variabel ketiga. Sebagai ilustrasi cara yang dimasksud, misalkan ditetapkan nilai nilai dan untuk masing-masing dan yaitu

untuk mendapatkan nilai variabel subsitusikan dan ke persamaan (ii) akan diperoleh

Definisi 1.1 (Sistem Persamaan Linear):

Sebuah himpunan berhingga dari persamaan persamaan linear dalam variabel- variabel dinamakan sebuah sistem persamaan linear atau sebuah sistem linear dan ditulis dalam bentuk

(1.3)

dengan dan yang berindeks bawah menyatakan konstanta konstanta.

Persamaan (1.4) disebut sebuah sistem linear yang terdiri dari persamaan linear dengan bilangan yang tak diketahui.

Berdasarkan definisi di atas sistem linear berikut

(1.4)

mempunyai dua persamaan linear dengan tiga variabel.

Persamaan (1.5) mempunyai solusi karena nilai nilai ini memenuhi kedua dua persamaan. Akan tetapi, bukanlah sebuah solusi karena nilai nilai ini hanya memenuhi persamaan yang pertama dari kedua persamaan di dalam sistem tersebut. Perlu dicatat bahwa tidak semua sistem persamaan linear mempunyai solusi misalnya sistem linear berikut

Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai solusi dikatakan tak konsisten (inconsistent). Sebaliknya sistem yang mempunyai solusi dinamakan konsisten (consistent).

Tinjaulah sebuah sistem umum dari dua persamaan linear dalam bilangan bilangan yang tak diketahui dan :

(1.5)

Kedua persamaan ini memberikan grafik berbentuk garis lurus. Namakan garisgaris tersebut dan . Dari posisi letak kedua garis, ada tiga kemungkinan yang dapat dibuat yaitu kedua garis sejajar atau kedua garis berhimpit/berpotongan di satu titik atau kedua garis berhimpit/berpotongan di banyak titik. Perhatikan Gambar 1.1.

a.

b.

c.

Gambar 1.1

Dari Gambar 1.1

(a) Tidak ada satu titikpun yang yang bersinggungan/berpotongan antara garis dan . Sebagai konsekuensi kondisi ini tidak ada solusi untuk sistem tersebut.

(b) Hanya ada satu titik singgung/potong. Konsekuensi kondisi ini adalah sistem tersebut persis mempunyai satu solusi.

(c) Ada banyak titik singgung/potong yang diberikan kedua garis dan . Di dalam kasus ini maka ada banyak solusi untuk sistem tersebut.

Dari kemungkinan (b) dan (c), titik dikatakan terletak pada garis dan jika dan hanya jika dan memenuhi persamaan-persaman garis pada persamaan (1.6).

Hasil yang sama berlaku untuk sembarang sistem. Singkatnya, ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi di dalam mendapatkan solusi sistem persamaan linear yaitu sistem mempunyai satu solusi, atau banyak solusi, atau tidak ada solusi.

Kembali kepada sistem persamaan linear (1.4). Jika semua suku konstan sama dengan nol yaitu sistem tersebut mempunyai bentuk

(1.6)

maka sistem persamaan linear (1.7) dikatakan sebagai Sistem Persamaan linear Homogen.

Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya bahwa tiaptiap sistem persamaan linear mempunyai satu solusi, atau banyak solusi, atau tidak ada solusi sama sekali.

Berkenaan dengan konsisten atau tidak konsisten, sistem persamaan (1.7) adalah sistem yang konsisten, karena selalu merupakan sebuah solusi. Solusi tersebut dinamakan solusi trival (trival solution). Selanjutnya jika ada solusi lain, maka solusi tersebut dinamakan solusi non-trivial (non-trival solution).

Untuk sebuah sistem persamaan linear homogen salah satu diantara pernyataan berikut bernilai benar.

1. Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial.

2. Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan yang tak trivial sebagai tambahan kepada pemecahan trivial tersebut.

Pada kasus khusus dimana sebuah sistem homogen dipastikan mempunyai solusi non-trivial yaitu ketika sistem tersebut memiliki variabel lebih banyak daripada persamaan yang dilibatkan.

2. PENULISAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DALAM BENTUK MATRIKS

Definisi 1.2 (Matriks}:

Sebuah matriks adalah sebuah susunan segi empat sikusiku dari bilanganbilangan yang disebut entri.

Ukuran sebuah matriks dinyatakan dengan menyatakan baris (arah horisontal) dan banyaknya kolom (arah vertikal) yang terdapat di dalam matriks tersebut. Matriks pertama di dalam Contoh 1.3 mempunyai 3 baris dan 2 kolom sehingga ukurannya dinyatakan dengan "3x2". Angka "3" menunjukan banyaknya baris dan angka "2" menunjukkan banyaknya kolom. Lebih lanjut, pada Contoh 3 matriks yang berikutnya berturut turut berukuran "1x4", "3x3", "2x1", dan "1x1".

Pada konteks matriks umumnya digunakan hurufhuruf bold-uppercase (misalnya, A, B, C, dst) untuk menyatakan suatu matriks dan digunakan hurufhuruf lowercase (a, b, c, dst) untuk menyatakan skalar (kuantitaskuantitas numerik). Sebagai contoh dari ketentuan ini penulisan matriks

adalah dibenarkan. Sebaliknya penulisan matriks sebagai berikut

adalah salah.

Bila digunakan notasi untuk menyatakan entri dengan posisi baris ke- dan kolom ke- dari matriks, maka sebuah matriks A berukuran 3x4 dapat ditulis sebagai

Dengan cara yang sama sebuah matriks B berukuran dengan entri dapat dituliskan sebagai

Tinjau kembali sistem persamaan linear (1.4). Penulisan indeks bawah ganda pada skalar adalah menyatakan posisi di dalam sistem tersebut. Indeks bawah pertama (i) pada skalar menunjukan letak persamaan dimana bilangan tersebut muncul dalam hal ini berada pada persamaan ke-i. Selanjutnya indeks bawah kedua (j) menunjukan koefisien untuk variabel ke-j. Sebagai contoh, skalar terdapat dalam persamaan pertama dan merupakan koefisien dari variabel .

Dengan beranggapan bahwa pada sistem persamaan (1.4) tanda "", dan tanda "" sebagai pemisah antar kolom, maka sistem tersebut dapat disingkat dengan hanya menuliskan susunan empat persegi panjang dari skalar-skalarnya:

Dinamakan matriks yang diperbesar (augmented matrix) untuk sistem tersebut. Perlu diingat bahwa anggapan di atas bukanlah alasan matematis untuk menulis matriks augmented tersebut. Alasan yang sebenarnya akan dibicarakan pada bab berikutnya. Untuk sistem persamaan linear berikut

(1.7)

Ide dasar untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear adalah mengganti sistem tersebut dengan sebuah sistem yang baru yang mempunyai himpunan pemecahan yang sama, tetapi lebih mudah untuk diselesaikan. Sistem baru yang dimaksud umumnya diperoleh dengan operasi-operasi:

1. Mengalikan sebuah persamaan dengan sebuah konstanta yang tak sama dengan nol.

2. Mempertukarkan dua persamaan.

3. Menambahkan kelipatan dari satu persamaan kepada yang lainnya.

Operasi operasi ini dinamakan operasi baris elementer. Contoh berikut melukiskan

bagaimana operasi operasi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (disadur dari buku Elementary Linear Algebra by Howard Anton alih bahasa Pantur Silaban, 1981).

Contoh 1.3

Pada kolom sebelah kiri sebuah sistem persamaan linear (persamaan (1.8)) diselesaikan dengan melakukan operasi operasi pada persamaan tersebut. Sedangkan pada kolom sebelah kanan sistem yang sama terlebih dahulu diterjemahkan dalam bentuk matriks yang diperbesar lalu dilakukan operasioperasi pada baris-baris dari matriks tersebut.

Tambahkan 2 kali persamaan per-

Tambahkanlah 2 kali baris

tama kepada persamaan kedua untuk

pertama kepada baris kedua

mendapatkan

untuk mendapatkan

Tambahkanlah 3 kali persamaan per-

Tambahkanlah 3 kali baris

tama kepada persamaan ketiga untuk

pertama kepada baris ketiga

mendapatkan

untuk mendapatkan

Kalikanlah persamaan kedua dengan

Kalikanlah baris kedua deng-

untuk mendapatkan

an untuk mendapatkan

Tambahkanlah 3 kali persamaan ke-

Tambahkanlah 3 kali baris -

dua kepada persamaan ketiga untuk

kedua kepada barais ketiga

mendapatkan

untuk mendapatkan

Kalikanlah persamaan ketiga dengan

Kalikanlah baris ketiga den-

-2 untuk mendapatkan

gan 2 untuk mendapatkan

Tambahkanlah 1 kali persamaan ke-

Tambahkanlah 1 kali baris

dua kepada persamaan pertama untuk

kedua kepada baris pertama

mendapatkan

untuk mendapatkan

Tambahkanlah kali persamaan

Tambahkanlah kali baris

Ketiga kepada persamaan pertama

ketiga kepada baris pertama

dan kali persamaan ketiga persa-

dankali baris ketiga kepada

maan kedua untuk mendapatkan

baris kedua untuk mendapat-

kan

Jadi, solusi sistem persamaan linear (1.9) adalah

Contoh berikut ditujukan kepada sistem persamaan linear homogen. Pada contoh ini akan diperlihatkan bahwa mengapa sistem dengan variabel lebih banyak daripada persamaan memiliki solusi non-trivial.

Contoh 1.4

Selesaikanlah sistem persamaan linear homogen berikut dengan menggunakan operasi baris elementer.

(1.8)

Perhatikan bahwa sistem (1.9) memiliki lima variabel dan empat persamaan.

(1.9)

Dengan memecahkannya untuk variabel variabel utama maka akan menghasilkan

(1.10)

Dengan demikian himpunan penyelesaian sistem (1.10) adalah

(1.11)

Dengan memilih nilai , pemecahan trival dapat diperoleh.

Teorema 1.1. Sebuah sistem persamaan linear homogen dengan bila banyak bilangan yang tak diketahui melebihi banyaknya persamaan selalu mempunyai tak terhingga banyaknya solusi.

3. METODE MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR:

ELIMINASI GAUSS

Metode Eliminasi Gauss didasarkan pada pemikiran untuk mereduksi matriks yang diperbesar menjadi sebuah bentuk yang cukup sederhana sehingga suatu sistem persamaan dapat diselesaikan dengan memeriksa sistem tersebut.

Di dalam langkah terakhir dari Contoh 1.4 diperoleh bentuk matriks berikut ini

Bentuk matriks seperti ini adalah sebuah contoh dari suatu matriks yang dikatakan dalam bentuk eselon baris yang direduksi (reduced row-echelon form).

Perhatikan bentuk-bentuk matriks dalam contoh berikut

Contoh 1.5

Diberikan sejumlah matriks dalam bentuk sebagai berikut

Matriksmatriks tersebut dikatakan berada di dalam bentuk eselon baris yang direduksi.

dikatakan berada dalam bentuk eselon baris.

Dari dua bentuk matriks yang berbeda di atas, suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi bila entri tersusun sebagai berikut

1. Entri pada baris ke-i tidak seluruhnya bernilai nol tetapi bilangan tak nol pertama di dalam baris tersebut untuk urutan kolom ke-j terkecil adalah 1 (baca: 1 utama). Bila kondisi ini terpenuhi maka baris tersebut ditempatkan di baris ke-i terkecil. Hal yang sama dilakukan pada kolom ke-j terkecil berikutnya untuk diletak pada baris ke-i terkecil berikutnya lagi. Demikian untuk seterusnya.

2. Jika ada satu atau lebih baris yang seluruh entri-entrinya bernilai nol, maka baris tersebut ditempatkan di baris-baris akhir matriks.

3. Matriks pada sembarang dua baris yang berturutan yang tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh kekanan dari pada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi.

4. Setiap kolom yang mengandung sebuah 1 utama mempunyai nol ditempat lain.

Sebuah matriks yang mempunyai sifatsifat 1, 2, dan 3, dikatakan berada di dalam bentuk eselon baris (row-echelon form).

Perlu diingat bahwa sebuah matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris ia harus mempunyai nilai nol di bawah setiap 1 utama. Sebaliknya suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris yang direduksi ketika ia mempunyai nilai nol di atas dan di bawah setiap 1 utama.

Suatu sistem persamaan linear yang diterjemahkan ke dalam matriks yang diperbesar yang oleh sebuah urutan operasi baris elementer matriks tersebut berbentuk eselon baris yang direduksi maka solusi untuk sistem tersebut dapat dengan mudah diperoleh. Matriks yang diperbesar berikut merupakan hasil reduksi oleh operasi baris elementer dari suatu sistem persamaan linear menjadi bentuk eselon baris yang direduksi seperti apa yang diberikan.

Penyelesaian:

(a). Sistem persamaan linear yang dimaksud adalah

Dengan pemeriksaan maka,

(b). Sistem persamaan linear yang dimaksud adalah

Karena dan bersesuaian dengan 1 utama di dalam matriks augmented, maka ia dinamakan variabelvariabel utama (leading variabels). Dengan memecahkan variabel variabel utama tersebut dalam diperoleh

(1.12)

Karenadapat diberikan sebarang nilai, katanlah , maka kita mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan. Himpunan pemecahan ini diberikan oleh rumus rumus

(1.13)

(c). Sistem persamaan linear yang dimaksud adalah

(1.14)

Di sini variabelvariabel utama adalah dan. Dengan memecahkan variabel-variabel dalam variabel lainnya maka akan memberikan

(1.15)

Karenadapat diberikan sebarang nilai, dan dapat diberika sebarang nilai, maka akan ada tak terhingga banyaknya pemecahan. Himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus rumus

(1.16)

(d). Persamaan terakhir di dalam sistem persamaan persamaan yang bersangkutan adalah

Karena persamaan ini tidak pernah dapat dipenuhi, maka tidak ada pemecahan untuk sistem tersebut.

Dari uraian di atas, sebuah sistem persamaan linear akan mudah diselesaikan ketika matriks augmented berada dalam bentuk eselon baris yang direduksi. Untuk sampai kepada matriks eselon baris tereduksi ada prosedur yang biasanya dipakai yang dikenal dengan nama eliminasi Gauss-Jordan Prosedur ini dapat digunakan untuk mereduksi sebarang matriks menjadi bentuk eselon baris yang direduksi. Contoh berikut mendemonstrasikan prosedur yang dimaksud.

Langkah 1. Letakkanlah kolom yang paling kiri (garis vertikal) yang tidak terdiri

seluruhnya dari nol.

Langkah 2. Pertukarkanlah baris atas dengan sebuah baris lain, jika perlu, membawa

sebuah entri tak nol ke atas kolom yang didapatkan di dalam

Langkah 3.Jika entri yang sekarang ada diatas kolom yang didapatka di dalam langkah 1 adalah, kalikanlah baris pertama dengan untuk memperoleh sebuah 1 utama.

Langkah 4. Tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris atas kepada baris baris

yang dibawah sehingga entri di bawah 1 utama menjadi nol.

Langkah 5. Sekarang tutuplah baris atas di dalam matriks tersebut dan mulailah sekali lagi dengan langkah 1 yang dipakaikan kepada submatriks yang masih sisa. Teruskanlah dengan cara ini sampai keseluruhan matriks tersebut berada di dalam bentuk eselon baris

Langkah 6.Dengan memulai dari baris tak nol terakhir dan bekerja kearah atas, tambahkanlah angka pengali yang sesuai dari setiap baris kepada baris baris yang diatas untuk mendapatkan nol diatas 1 utama.

Contoh 1.6

Pecahkanlah dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.

(1.17)

Dengan menambahkan 2 kali baris pertama kepada baris pertama dan keempat. Dengan mengalikan baris kedua dengan 1 dan kemudian menambahkan 5 kali baris kedua kepada baris baris ketiga dan 4 kali baris kedua kepada baris keempat. Dengan mempertukarkan baris ketiga dan baris keempat dan kemudian mengalikan baris ketiga dari matriks yang dihasilkan dengan 1/6 maka akan memberikan bentuk eselon baris mbahkan 3 kali baris ketiga kepada baris kedua dan kemudian menambahkan 2 kali baris kedua dari matriks yang dihasilkan kepada baris pertama maka akan menghasilkan bentuk eselon baris yang direduksi

Sistem persamaan persamaan yang bersangkutan adalah

(Persamaan terakhir, diabaikan karena persamaan tersebut akan secara otomatis dipenuhi oleh pemecahan persamaan lainnya). Dengan memecahkannya untuk variabel variabel utama, maka diperoleh

(1.18)

Jika kita menetapkan nilai nilai sebarang dan berturut turut untuk dan maka himpunan pemecahan tersebut diberikan oleh rumus rumus

(1.19)

Selain metode yang telah dikemukan metode lain yang dapat digunakan adalah metode substitusi balik ( back substitution ). Metode ini bekerja dengan mengubah matriks yang diperbesar ke dalam bentuk eselon baris.Untuk jelasnya berikut diperagakan metode subsitusi balik untuk sistem yang ada

Langkah 1. Selesaikanlah persamaan persamaan tersebut untuk variabel variabel utama yaitu

Langkah 2. Dimulai dengan persamaan terakhir kemudian secara bertahap menuju ke persamaan paling atas, substitusikan berturutturut nilai masing-masing peubah terkait ke setiap persamaan di atasnya.

Dengan mensubstitusikan kedalam persaman kedua maka akan menghasilkan

Dengan mensubstitusikan kedalam persamaan pertama maka akan menghasilkan

Langkah 3. Tetapkanlah nilai nilai sebarang kepada setiap variabel yang tak utama.

Jika nilai nilai sembarang katakanlah dan berturut turut untuk dan , himpunan penyelesaian tersebut diberikan oleh rumus rumus berikut

(1.20)

Bandingkan hasil ini dengan hasil sebelumnya pada Contoh 8.

Pada kedua metode yang telah dibicarakan di atas, upaya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon baris dinamakan Eliminasi Gauss.

Contoh 1.7

Gunakan Eliminasi Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut

(1.21)

Penyelesaian.

Ini adalah sistem di dalam Contoh 1.3. Di dalam contoh tersebut kita mengubah matriks yang diperbesar.menjadi bentuk eselon baris Sistem yang bersesuaian dengan matriks ini adalah

Dengan menyelesaikan sistem di atas untuk peubah-peubah utama diperoleh

Mensubstitusikan persamaan terakhir ke persamaan kedua diperoleh bentuk

Mensubstitusikan persamaan terakhir dan kedua ke persamaan pertama diperoleh

(1.22)

4. OPERASI MATRIKS

Dua matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut mempunyai sama ukuran dan sama nilai entri entrinya di baris-kolom yang bersesuaian dikedua matriks.

Contoh 1.11

Perhatikan tiga matriks berikut

Di sini karena dan tidak mempunyai ukuran yang sama. Karena alasan yang sama maka . Juga, karena tidak semua entri yang bersangkutan sama.

Definisi 1.3 (Pejumlahan Dua Matriks):Jika dan adalah matriks yang berukuran sama, maka jumlah kedua matriks () adalah matriks baru yang diperoleh dari menambahkan nilai-nilai entri pada baris-kolom yang bersesuaian. Matriks matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan.

Contoh 1.8

Tinjaulah matriks matriks

Maka

sedanngkan dan tidak didefinisikan.

Definisi 1.4 (Perkalian Matriks dengan sebuah Skalar/Konstanta):

Jika adalah suatu matriks dan adalah suatu skalar/konstanta, maka hasil kali matriks dengan kalar/konstanta tersebut () adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri dari dengan sklar .

Contoh 1.13

Jika adalah matriks

maka

Catatlah bahwa jika adalah sembarang matriks, maka akan menyatakan dan jika dan adalah dua matriks yang ukurannya sama, maka didefinisikan sebagai jumlah

Contoh 1.14

Diberikan matriks-matriks dan sebagai berikut

Dari catatan di atas maka

dan

atau

Definisi 1.5 (Perkalian Dua Matriks):

Pertimbangkan dan adalah dua buah matriks yang berukuran masing-masing dan yaitu

dan

Perhatikan .

Hasil kali dengan (katakanlah ) yaitu adalah matriks baru yang didefinisikan sebagai

Untuk pemahaman sederhana, misalkan ingin diketahui entri dari matriks yaitu

sebagai ilustrasi dengan bentuk matriks adalah sebagai berikut

Contoh 1.9

Tinjaulah matriks matriks

Di sini berukuran 2x3 dan berukuran 3x4, maka hasil kali berukuran 2x4. Pada , misalnya entir di dalam baris 1 dan kolom 3 dengan cara sebagai berikut

Dengan cara yang sama akan diperoleh hasil sebagai mana ditunjukkan berikut ini

Secara keseluruhan hasil dalam bentuk matriks ditulis sebagai

(yang diberi tanda bujur sangkar) merupakan hasil kali untuk entri .

Definisi perkalian matriks mengharuskan banyaknya kolom dari sama dengan banyaknya baris dari supaya membentuk hasil perkalian . Jika kondisi ini tidak dipenuhi, maka hasil perkalian tersebut tidak didefinisikan.

Contoh 1.10

Misalkan adalah matriks berukuran 3x4, adalah matriks berukuran 4x7, dan adalah sebuah matriks 7x3. Maka didefinisikan sebagai matriks 3x7; didefinisikan sebagai matriks 7x4; didefinisikan sebagai matriks 4x3. Hasil hasil perkalian,, dan semuanya tidak didefinisikan.

Perkalian matriks mempunyai sebuah pemakaian penting kepada sistem sistem persamaan linear. Tinjaulah suatu sistem yang terdiri dari persamaan linear di dalam bilangan yang tak diketahui.

(1.23)

Karena dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika entri entri yang bersangkutan sama, maka kita dapat menggantikan persamaandi dalam sistem ini dengan sebuah persamaan matriks tunggal

_743875392.unknown

_745635864.unknown

_746685704.unknown

_747206472.unknown

_747289272.unknown

_747700424.unknown

_747796812.unknown

_747827936.unknown

_747829728.unknown

_747736416.unknown

_747768804.unknown

_747794772.unknown

_747715408.unknown

_747491728.unknown

_747617920.unknown

_747663840.unknown

_747465236.unknown

_747489436.unknown

_747320132.unknown

_747422824.unknown

_747319916.unknown

_747233952.unknown

_747288920.unknown

_747281228.unknown

_747232680.unknown

_747223432.unknown

_746915056.unknown

_746960152.unknown

_747041844.unknown

_747204516.unknown

_747052780.unknown

_746961300.unknown

_746925560.unknown

_746959220.unknown

_746955692.unknown

_746921420.unknown

_746770416.unknown

_746828912.unknown

_746875592.unknown

_746779216.unknown

_746798292.unknown

_746694944.unknown

_746768312.unknown

_746271160.unknown

_746454584.unknown

_746649320.unknown

_746665472.unknown

_746510608.unknown

_746587860.unknown

_746618188.unknown

_746512972.unknown

_746481068.unknown

_746485304.unknown

_746405856.unknown

_746425912.unknown

_746438564.unknown

_746444380.unknown

_746413412.unknown

_746412228.unknown

_746374596.unknown

_746397180.unknown

_746271904.unknown

_745790308.unknown

_746007368.unknown

_746139720.unknown

_746172660.unknown

_746058788.unknown

_746007016.unknown

_745660048.unknown

_745692756.unknown

_745659512.unknown

_745651324.unknown

_745386968.unknown

_745504404.unknown

_745607336.unknown

_745609232.unknown

_745633384.unknown

_745607888.unknown

_745532740.unknown

_745506616.unknown

_745390008.unknown

_745496896.unknown

_745388736.unknown

_745388384.unknown

_744896352.unknown

_745043204.unknown

_745223784.unknown

_745368900.unknown

_745379324.unknown

_745175240.unknown

_745177168.unknown

_745090396.unknown

_745131180.unknown

_744926156.unknown

_745041200.unknown

_744910380.unknown

_744923744.unknown

_744898688.unknown

_744899760.unknown

_744618372.unknown

_744724940.unknown

_744781824.unknown

_744793708.unknown

_744852336.unknown

_744785276.unknown

_744728480.unknown

_744618852.unknown

_744396172.unknown

_744488480.unknown

_744579868.unknown

_744610708.unknown

_744579416.unknown

_744404484.unknown

_744450460.unknown

_744396436.unknown

_744099496.unknown

_744306892.unknown

_743885584.unknown

_741912696.unknown

_743137440.unknown

_743633056.unknown

_743693272.unknown

_743746776.unknown

_743833756.unknown

_743835360.unknown

_743756528.unknown

_743736788.unknown

_743738196.unknown

_743735080.unknown

_743684568.unknown

_743688480.unknown

_743647452.unknown

_743643292.unknown

_743530300.unknown

_743561896.unknown

_743623532.unknown

_743573716.unknown

_743534612.unknown

_743553656.unknown

_743405532.unknown

_743529948.unknown

_743186592.unknown

_742224640.unknown

_742746148.unknown

_742882632.unknown

_743132028.unknown

_743111024.unknown

_742747528.unknown

_742448384.unknown

_742571864.unknown

_742325296.unknown

_742411124.unknown

_742237296.unknown

_741999336.unknown

_742130912.unknown

_742141852.unknown

_742175044.unknown

_742148356.unknown

_742141196.unknown

_742043136.unknown

_742058412.unknown

_742128196.unknown

_742000568.unknown

_742036428.unknown

_741966264.unknown

_741966616.unknown

_741950604.unknown

_741962068.unknown

_741963132.unknown

_741960820.unknown

_741926632.unknown

_740829128.unknown

_741118180.unknown

_741484504.unknown

_741516052.unknown

_741520148.unknown

_741526100.unknown

_741499472.unknown

_741442500.unknown

_741481360.unknown

_741481816.unknown

_741190568.unknown

_741424584.unknown

_741188628.unknown

_740909016.unknown

_740987104.unknown

_741101092.unknown

_741014100.unknown

_740911612.unknown

_740829568.unknown

_740841108.unknown

_697553192.unknown

_740725432.unknown

_740795052.unknown

_740796368.unknown

_740753768.unknown

_740754112.unknown

_740734188.unknown

_740747176.unknown

_740732356.unknown

_740295012.unknown

_740545248.unknown

_740709688.unknown

_740713364.unknown

_740498244.unknown

_740544348.unknown

_740125368.unknown

_740281040.unknown

_740267372.unknown

_740124728.unknown

_78020776.unknown

_534009300.unknown

_694124824.unknown

_694911088.unknown

_697537740.unknown

_694046428.unknown

_694073956.unknown

_693863508.unknown

_78060124.unknown

_533988976.unknown

_77908768.unknown

_77924700.unknown

_77984256.unknown

_77924180.unknown

_71467476.unknown

_75880728.unknown

_77869664.unknown

_75847764.unknown

_67109052.unknown