Upload
riyanny-wiwied-pratiwi
View
243
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
1/28
MATEMATIKA IV
Pengajar : Riyanny Pratiwi
Program Studi Teknik Sipil ; Fakultas Teknik ; Univ. Tanjungpur
Materi 2 : SISTEM PERSAMAAN LINIER
Pertemuan 1
Kompetensi :
Mampu menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar da
pemecahan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan lin
1
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
2/28
Siste
m
Persa
ma
an
Li
nier
SPL adalah suatu sistem yang terdiri atas dua atau lebih persdimana semua persamaan digambarkan dalam satu diagram
Tujuan SPL adalah untuk mencari nilai koordinat 2 persamaan linier salin
(mempunyai nilai koordinat yang sama).• Untuk mencari nilai pertemuan dari dua persamaan linier adalah dapat me
metode Substitusi dan metode eliminasi• Jika sebuah sistem persamaan linier digambarkan dalam sebuah diagram
nilai sistem persamaan linier adalah merupakan pertemuan dari dua garlinier tersebut.
• Apabila variabel lebih banyak dari persamaan, seperti dalam perancangaumumnya diperoleh jawaban yang tak hingga banyaknya.
Bentuk umum : dimana :x1, x2, . . . , xn variabe
aij , bi, (i = 1, 2, . . , m; j =
2
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
3/28
SistemPersamaan Linier
Homogen Non Homogen
MempunyPemecah
Tidak MempunyaiPemecahan
PemecahTak-Hingg
PemecahanTunggal
PemecahanNon - Trivial
PemecahanTrivial
Selalu Ada
Pemecahan
SKEM
A
SPL
3
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
4/28
Mempunyai penyelesaiandisebut KONSISTEN
Tidak mempunyai pedisebut TIDAK KONSIS
TUNGGAL BANYAK
Siste
m
Persa
ma
an
Li
nier
SPLEliminasi
Subtitusi
Eliminasi d
GrafikSPLDV
SPL homogen
SPLTV
4
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
5/28
SPLDV
Bentuk Persamaan Bentuk Grafik
MetodePenyelesaian
Eliminasi
Grafik Subtitusi dan Eli
0 c y x
Sistem persamaan linear dua variabeladalah suatu sistem persamaan lineardengan dua variabel, masing-masing
variabel berpangkat satu.
SPL
D
ua
Va
ria
bel
S
PLDV
5
X dan y disebut variabelc = konstanta
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
6/28
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
7/28
7
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
8/28
Menggambar garis garis atau bidang planar yang merupaka
dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut
kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan
GRAF
IK
Persamaan Linier Simultan atau SPL mempunyai kemungkinan sol
Tidak mempunyai solusi
Tepat satu solusi
Banyak solusi
8
S
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
9/28
9
SPL
T
ig
a
Var
ia
bel
S
PLTV
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang te
variabel, dengan masing-masing variabel bederajat satu.
Bentuk Umum SPLTV:
Penyelesaian SPLTV merupakan susunan terurut tripel bilangan (x,y,z) yanpersamaan tersebut.
3333
2322
1111
d zc yb xa
d zc yb xa
d zc yb xa
Metode substitusiMetode gabungan
Metode matriks adj
Metode OBE
Aturan cramer
Penelesaian SPLTV
S
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
10/28
SOLUS
IM
ENGGU
NA
KANMA
TRIK
Ax = b Matrik
SPL
dibentuk
maa
aa
aa
...
1
21
11
matrikperluadengavectoterakhditulisk
Aug
STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:
mengganti SPL menjadi MATRIKS yang mempunyaipenyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam
bentuk yang lebih sederhana.
10
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
11/28
S
OL
USI
SPLTV
11Metode gabungan
1. Eliminasi salah satu peubah dengan menggunakan 2 PLTV.
2. Lakukan kembali eliminasi terhadap peubah yang sama dengan pe
dieliminasi di atas, tetapi untuk 2 persamaan linier yang berbeda.
3. Eliminasi salah satu peubah dari persamaan yang diperoleh dari hasi
langkah 1 dan 2.
4. Substitusi peubah yang diperoleh dari hasil eliminasi langkah 3 untuk
salah satu persamaan linier 2 peubah.
5. Substitusi 2 nilai peubah yang diperoleh dari langkah 3 dan 4 pada s
pada soal.
Metode matriks adjoint
A . x = b
A-1 . A . x = b . A-1
I . x = b . A-1
x = b . A-1
a. Mencari de
b. Mencari kof
c. Mencari ad
d. Mencari inv
e. Mencari ha
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
12/28
12
O
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
13/28
TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN
PENYELESAIAN SPLSPL
1. Mengalikan suatu persamaandengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua
persamaan sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatupersamaan ke persamaan
lainnya.
MATRIKS
1. Mengalikan suatu barisdengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua barissebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu
baris ke baris lainnya.
Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (O
SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sed
hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu ba
OPERA
SI
BARI
S
ELEME
NTE
R
13
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
14/28
CONTOH
DIKETAHUI
kalikan pers (i)
dengan (-2), kemu-
dian tambahkan ke
pers (ii).
kalikan baris
dengan (-2),
tambahkan ke
baris (ii).
…………(i)
…………(ii)
…………(iii)
kalikan pers (i)
dengan (-3), kemu-dian tambahkan ke
pers (iii).
k
dta
b
kalikan pers (ii)
dengan (1/2).
k
d
14
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
15/28
kalikan pers (iii)dengan (-2).
kalikan brs (iii)dengan (-2).
LANJUTAN CONTOH
kalikan pers (ii)
dengan (1/2).
kalikan baris
dengan (1/2)
kalikan pers (ii)
dengan (-3), lalu
tambahkan ke pers
(iii).
kalikan brs (ii)
dengan (-3),
lalu tambahkan
ke brs (iii).
kalikan pers (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke pers
(i).
kalikan brs (ii)
dengan (-1), la
tambahkan ke
(i).
15
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
16/28
Lanjutan CONTOH
kalikan pers (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke pers
(i).
kalikan brs (i
dengan (-1),
tambahkan ke(i).
kalikan pers (iii)
dengan (-11/2), lalu
tambahkan ke pers (i)
dan kalikan pers (ii) dg
(7/2), lalu tambahkan
ke pers (ii)
kalikan brs (iii)
dengan (-11/2),
tambahkan ke b
dan kalikan brs (
(7/2), lalu tamb
ke brs (ii)
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapa
kaitan menarik antara bentuk SPL dan representas
matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan
METODA ELIMINASI GAUSS.
16
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
17/28
BENTUK ECHELON-BARIS
Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:
maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.
Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:
1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen
tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.
2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah.
3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading
1 baris berikut.
4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.
17
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
18/28
Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi
Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut
bentuk echelon-baris.
CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:
CONTOH bentuk echelon-baris:
18
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
19/28
Bentuk umum echelon-baris
dimana lambang ∗ dapat diisi bilangan real sebarang.
19
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
20/28
Bentuk umum echelon-baris teredu
dimana lambang ∗ dapat diisi bilangan real sebarang.
20
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
21/28
Penyelesaian SPL melalui bentuk echelon-baris
Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb:
Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di at
21
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
22/28
METODA GAUSS-JORDAN
Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah
matriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksi.CONTOH: Diberikan SPL berikut.
Bentuk matriks SPL ini adalah:
22
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
23/28
-2B1 + B2 B2
5B2+B3
6 18 0 8 4 0 0
0 0 0 0 0 0 0
1- 3- 0 2- 1- 0 0
0 0 2 0 2- 3 1B4 B4+4B2
B3 ⇄ B4 B3 B3/3
-3B3+B2B2
2B2+B1B1
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
24/28
Akhirnya diperoleh:
Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka dipero
penyelesaian:
dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai
berhingga banyak penyelesaian.
24
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
25/28
METODA SUBSTITUSI MUNDUR
Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:
Bentuk ini ekuivalen dengan:
LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:
LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh
25
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
26/28
LANJUTAN SUBSTITUSI MUNDURLANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:
LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker
jaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah padametoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:
26
Eli i i G i
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
27/28
Eliminasi Gaussian
Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kem
menggunakan substitusi mundur.
CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian
PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:
Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk echelon-baris berikut:
27
8/18/2019 sistem persamaan linier (awal)
28/28
28