SISTEM PERSAMAAN LINIER

OLEH :NURUL SAILA

PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRIFAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS PANCA

MARGA28 DESEMBER 2011

Definisi: Persamaan linier adalah suatu persamaan

yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu.

Persamaan linier dalam n variable x1, x2, …, xn adalah sebuah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = bdimana a1, a2, …, an, b adalah konstanta-konstanta riil.

“Persamaan Linier”

Pemecahan persamaan linier:a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubstitusikan x1= s1, x2 = s2, …, xn = sn.

Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya.

“Menyelesaikan Pers. Linier”

contoh:Tentukan selesaian dari persamaan-persamaan berikut:

1. 2x + 3 = -72. 2x + 3y -2 = 103. 2x + 3y + 5z + 10 = 15

Sebuah himpunan berhingga dari persamaan linier dalam variable-variabel x1, x2, …, xn dinamakan sebuah system persamaan linier atau sebuah system linier.

Sistem persamaan linier yang terdiri dari m persamaan dalam n variable adalah:

“Sistem Persamaan Linier”

൞

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2⋮𝑎𝑚1𝑥1 +𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

Sebuah urutan bilangan-bilangan s1, s2, …, sn dinamakan sebuah pemecahan system tersebut jika x1= s1, x2 = s2, …, xn = sn.adalah sebuah pemecahan dari tiap-tiap persamaan di dalam system tersebut.

Contoh:Perhatikan sistem persamaan linier berikut:

2x + 3y – 5z = -8-x –y + 15z = 425x -2y + z = 11Hp: {(x, y, z)/ x = 2, y = 1, z = 3}

Ada beberapa cara menentukan pemecahan system persamaan linier, yaitu:(1) Eliminasi Gauss Jordan(2) Perkalian Matrik dan(3) Kaidah Cramer

“Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier”

Langkah-langkah yang ditempuh, yaitu:1. Mengubah system persamaan linier ke

bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya adalah koefisien dari variable dan konstanta dari persamaan dalam system;

2. Dengan menggunakan OBE, mengubah bentuk matriks yang diperbesar menjadi matriks bentuk eselon baris yang direduksi (reduced row-echelon form)

“Eliminasi Gauss Jordan”

Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris yang direduksi adalah sebagai berikut:

1. Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama).

2. Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari 0, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.

3. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan, yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi.

4. Setiap kolom yang mengandung sebuah 1 utama mempunyai 0 ditempat lain.

Contoh:Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi Gauss Jordan.

൝2𝑥−3𝑦+𝑧= 16−4𝑥+2𝑦−3𝑧= −633𝑥−𝑦+5𝑧= 80

Menyelesaikan system persamaan linier dengan ‘Perkalian Matrik’ adalah:

1. Mengubah system persamaan menjadi bentuk perkalian matriks

2. Menyelesaikan perkalian matriks dengan menentukan invers matriks koefisien system persamaan

“Perkalian Matrik”

Contoh:Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan perkalian matrik.

൝2𝑥−3𝑦+𝑧= 16−4𝑥+2𝑦−3𝑧= −633𝑥−𝑦+5𝑧= 80

Teorema (Kaidah Cramer):Jika AX = B adalah sebuah system yang terdiri dari n persamaan linier di dalam n bilangan yang tdk diketahui, sehingga det(A) 0 , maka system tersebut mempunyai sebuah pemecahan yang unik.

“Kaidah Cramer”

Pemecahan ini adalah:

Dimana Aj adalah matriks yang di dapatkan dengan menggantikan entri-entri di dalam kolom ke j dari A dengan entri-entri di dalam matriks,

𝑥1 = det (𝐴1)det (𝐴) , 𝑥2 = det (𝐴2)det (𝐴) , … , 𝑥𝑛 = det (𝐴𝑛)det (𝐴)

B = ൦

𝑏1𝑏2⋮𝑏𝑛൪

Contoh:Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan kaidah cramer.

൝2𝑥−3𝑦+𝑧= 16−4𝑥+2𝑦−3𝑧= −633𝑥−𝑦+5𝑧= 80

TERIMAKASIHTELAH MENGIKUTI PERKULIAHAN

INI DENGAN BAIK

SELAMAT BELAJARSEMOGA SUKSES

:

NURUL SAILA