SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRATSoal No. 1Diberikan dua buah persamaan yaitu persamaan linear dua variable dan kuadrat sebagai berikut:(i) y = 2x + 3(ii) y = x2 − 4x + 8

Tentukan himpunan penyelesaian (Hp) dari kedua persamaan tersebut di atas!PembahasanSubstitusikan y dari persamaan (i) ke y pada persamaan (ii), atau sebaliknya dari (ii) ke (i), lanjutkan dengan operasi aljabar. x2 − 4x + 8 = 2x + 3 x2 − 4x + 8 − 2x − 3 = 0x2 − 6x + 5 = 0

Berikutnya faktorkan:x2 − 6x + 5 = 0(x − 1)(x − 5) = 0

Dapatkan nilai x yang pertama:x − 1 = 0 x = 1

Dapatkan nilai x yang kedua:x − 5 = 0 x = 5

Berikutnya mencari nilai-nilai dari y dengan substitusi nilai x ke persamaan (i):Untuk x = 1 makay = 2x + 3y = 2(1) + 3y = 2 + 3y = 5

Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (1, 5)

Untuk x = 5 makay = 2x + 3y = 2(5) + 3y = 10 + 3y = 13

Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (5, 13)

Sehingga himpunan penyelesaiannya Hp :{(1, 5), (5, 13)}

Jika lupa bagaimana cara memfaktorkan, bisa dibaca lagi.

Soal No. 2Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut:(i) y = 5x + 4(ii) y = x2 + 13x − 16

Pembahasanx2 + 13x − 16 = 5x + 4x2 + 13x − 16 − 5x − 4 = 0x2 + 8x − 20 = 0(x + 10)(x − 2) = 0

Nilai x yang pertamax + 10 = 0x = − 10

Nilai x yang keduax − 2 = 0x = 2

Nilai-nilai y, dari persamaan pertama:Untuk x = − 10 didapat nilai yy = 5x + 4y = 5(−10) + 4 = − 46

Untuk x = 2, didapat nilai yy = 5x + 4y = 5(2) + 4 = 14

Hp : {(− 10, − 46), (2, 14)}

Bagaimana jika SPLK bagian kuadratnya mengandung bentuk implisit yang dapat difaktorkan? Seperti contoh berikutnya.

Soal No. 3Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut:(i) x − y = 5

(ii) x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di atas!

Pembahasan(i) x − y = 5(ii) x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0

Terlebih dahulu faktorkan persamaan kuadratnya, ada beberapa cara untuk memfaktorkan bentuk "kuadrat dalam kuadrat" seperti bentuk di atas, salah satunya sebagai berikut:

Ingat kembali bentuk ax2 + bc + c = 0 . Jika diterapkan pada persamaan (ii) maka didapat nilai a, b dan c sebagai berikut:x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0a = 1b = − 6yc = 9y2 − 9

Sehingga:x2 − 6yx + 9y2 − 9 = 0(x − 3y − 3)(x − 3y + 3) = 0

Dari pemfaktoran ini kita dapat dua persamaan baru yaitu:x − 3y − 3 = 0 .....(iii)x − 3y + 3 = 0 .....(iv)

Dari persamaan (ii) dan (iii)x − y = 5x − 3y = 3_________   _2y = 2y = 1

x − y = 5x − 1 = 5x = 6Dari persamaan (ii) dan (iv)x − y = 5x − 3y = − 3___________   _2y = 8

y = 4

x − y = 5x − 4 = 5x = 9

Sehingga penyelesaiannya adalah {(6, 1), (9, 4)}

SOAL 4Tentukan himpunan penyelesaian dari : y = 2x² – 4x + 7 y = 2x + 3Jawab :Substitusikan y = 2x + 3 ke persamaan kuadrat y = 2x² – 4x + 7 y = 2x² – 4x + 72x + 3 = 2x² – 4x + 70 = 2x² – 4x + 7 – 2x – 30 = 2x² – 6x + 4 2x² – 6x + 4 = 0 x² – 3x + 2 = 0( x – 2 ) ( x – 1 ) = 0x = 2 atau x = 1 Substitusikan x = 2 ke y = 2x + 3y = 2( 2 ) + 3y = 7 Substitusikan x = 1 ke y = 2x + 3y = 2( 1 ) + 3y = 5 Jadi himpunan penyelesaiannya { ( 2 , 7 ) , ( 1 , 5 ) } SOAL 5Tentukanlah batas – batas nilai a agar persamaan :y = x² – 3x + 4y = 2x² + ax + 5 Jawab :

Substitusikan persamaan y = x² – 3x + 4 ke persamaan y = 2x² + ax + 5 didapatx² – 3x + 4 = 2x² + ax + 5 x² – 3x + 4 – 2x² – ax – 5 = 0– x² – 3x – ax – 1 = 0– x² – ( 3 + a )x – 1 = 0x² + ( 3 + a )x + 1 = 0agar dapat diselesaikan nilai diskriminanD ≥ 0b² – 4ac ≥ 0( a + 3 )² – 4 . 1 . 1 ≥ 0a² + 6a + 9 – 4 ≥ 0a² + 6a + 5 ≥ 0( a + 5 ) ( a + 1 ) ≥ 0 Benar Salah Benar _________0______________ 0______________ – 5 – 1 0 Jadi batas – batas nilai a adalah : a ≤ – 5 atau a ≥ -1

SISTEM PERSAMAAN KUADRAT DUA VARIABLESOAL 1Tentukan HP dari persamaan linear berikut dengan metode substitusi ! 3x + 4y = 11 … persamaan (1)

x + 7y = 15 … persamaan (2)

Penyelesaian:Dari pers.(2) didapat : x = 15 – 7y … persamaan (3)

Kemudian substitusikan pers.(3) ke pers.(1) :

3x + 4y = 11

⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11

⇔ 45 – 21y + 4y = 11

⇔ - 21y + 4y = 11 – 45

⇔ - 17y = - 34 ⇔ y = 2 Nilai y = 2 lalu substitusikan y ke pers (3)

x = 15 – 7y x = 15 – 7(2)

x = 15 – 14

x = 1

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya = {(1, 2)}