Sistem Tunggu (Delay System)

  • View
    52

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Sistem Tunggu (Delay System). Problems Involving Delay System Analysis. Problems Involving Delay System Analysis (2). Problems Involving Delay System Analysis (3). Proses trafik selama pembangunan hubungan. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript

  • Sistem Tunggu (Delay System)

  • Problems Involving Delay System Analysis

  • Problems Involving Delay System Analysis (2)

  • Problems Involving Delay System Analysis (3)Proses trafik selama pembangunan hubungan

  • Permintaan panggilan yang datang pada saat peralatan sedang sibuk tidak akan dihilangkan melainkan akan menunggu sampai ada peralatan yang bebas, kemudian didudukiPada umumnya, sistem merupakan kombinasi antara sistem tunggu dan sistem rugiJumlah yang menunggu terbatas sehingga bila melebihi batas akan dihilangkanWaktu tunggu terbatas, sehingga bila menunggu lebih lama dari suatu waktu tertentu, akan dihilangkan

  • Lets revisit some basic concepts

  • Call Origination ProcessRandom origination (dengan kondisi t0)Peluang sebuah panggilan muncul dalam interval (t,t+t] adalah lt (tidak tergantung t) dan l adalah konstanPeluang dua atau lebih panggilan muncul pada selang (t,t+t] adalah nolSetiap panggilan saling bebast0tttnt=t/nSufficiently large

  • Random origination (2)Peluang munculnya k panggilan dalam selang waktu (0,t] : pk(t)

    Ini adalah distribusi Poisson dengan mean lt l adalah arrival rate (laju kedatangan) atau origination rateKonstanTidak tergantung waktuRandom origination disebut juga Poisson Arrival (-call, -input,-origination,-process etc.)Arrival Rate tergantung dari satuan waktu yang digunakanJika digunakan satuan jam, dinyatakan dalam BHCA (Bussy Hour Call Attempt)

  • Random origination (3)Peluang tidak ada panggilan yang muncul (k=0) dalam selang (0,t] adalah :

    Maka interarrival time distribution function (peluang bahwa selang waktu antar kedatangan tidak lebih besar dari t) adalah :

    Ini merupakan distribusi eksponensial dengan mean l-1 distribusi selang waktu kedatangan eksponensial merupakan sifat lain dari random origination

  • Service Time DistributionAsumsi :Sebuah panggilan berakhir secara acakDengan acuan waktu adalah awal munculnya panggilan, maka peluang sebuah panggilan berkahir dalam selang (t,t+t] adalah mt (tidak tergantung t (berdasarkan asumsi panggilan berakhir secara acak )Fungsi distribusi H(t),yaitu peluang waktu pelayanan lebih besar dari t, adalah sama dengan peluang sebuah panggilan tidak berakhir pada selang (0,t]Serupa dengan proses yang dilakukan sebelumnya (selang (0,t] dibagi ke dalam n bagian (n cukup besar) dan membuat agar t=t/n, maka

    Dengan demikian waktu pelayanan (service time) terdistribusi secara eksponensial dengan mean m-1 m adalah laju pelayanan (service rate/termination rate)

  • Beban trafik (intensitas trafik) = l/m

  • Diagram sistem (full availability system)

    Sistem dinyatakan oleh 3 faktor berikut :Call origination process : mennyatakan bentuk kedatangan Service Mechanism : menyatakan jumlah trunk, distribusi waktu pelayanan dsb.Disipilin antrian : FIFO, LIFO, RSO (Random Service Order) dll.Panggilan datangPanggilan meninggalkan sistemTempat menungguServer/pelayan(Call origination process)(Call termination process/Service Mechanism)

  • Untuk mengklasifikasikan sistem (full availability system), digunakan notasi KendallNotasi D.G. Kendall: A/B/CA: pola kedatangan panggilanB: pola waktu pelayananC: Jumlah pelayan (peralatan)Masih dapat ditambahkan keterangan :Kapasitas sistem/jumlah panggilan yang dapat diantrikan/kapasitas buffer/panjang antrian maksimum (tak termasuk yang sedang dalam pelayanan)Jumlah populasi yang ada di dalam sistem

  • Ada yang menggunakan notasi : A/B/C/D/ED : kapasitas (panjang) buffer (antrian)E : Disiplin antrianBila D dan E tidak dimunculkan berarti :D tak terhingga dan E berarti FIFONotasi untuk pola kedatangan dan waktu pendudukanM: Distribusi Poisson (M=Markovian)D: Distribusi tetap (Deterministik)G: Distribusi umum (general)

  • Beberapa masalah mendasarMarkov PropertyPikirkan suatu durasi waktu selama X dari suatu fenomena (misalnya fenomena waktu pelayanan), lalu ambil titik nol sebagai saat awal dari fenomena tersebut

    Jika X terdistribusi eksponensial dengan mean m-1, maka peluang fenomena itu berlangsung terus setelah suatu saat tertentu (x) dinyatakan oleh : P{X>x} = e-mx

    Xtxx+t0

  • Markov property (2)Maka peluang bersyarat bahwa fenomena terus berlangsung selama perioda t, bila diketahui (dengan syarat) bahwa fenomena sudah berlangsung selama x, dinyatakan oleh :

    Perhatikan bahwa peluang yang terakhir tidak tergantung xIni mengandung makna bahwa perilaku stokastik dari fenomena setelah waktu x (future) hanya tergantung pada kondisi pada saat x (sekarang/present) dan tidak tergantung pada proses sebelum waktu x (past)Karakteristik ini disebut Markov Property atau Memoryless PropertyHanya distribusi eksponensial yang memiliki sifat memorylessSuatu model yang memiliki waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan terdistribusi eksponensial disebut model Markovian Model (sebaliknya disebut non-Markovian Model)

  • Rumus J.D.LittleL=lWL=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam sisteml=laju rata-rata kedatangan pelanggan ke dalam sistemW=waktu rata-rata lamanya pelanggan di dalam sistem

  • Rumus J.D.Little (2)PenurunanMisalnya diamati suatu proses kedatangan panggilan dan panggilan meninggalkan sistemtJumlah kedatangana(to)d(to)g(to)

  • Rumus J.D.Little (3)a(t): Jumlah kedatangan ke dalam sistem di dalam selang waktu (0,t) (fungsi jumlah kedatangan terhadap waktu)d(t): Jumlah kedatangan yang berakhir/meninggalkan sistem di dalam selang waktu (0,t) (fungsi jumlah yang berakhir terhadap waktu)g(t): Luas total antara kedua kurva sampai dengan waktu t (merupakan jumlah total waktu semua pelanggan berada di dalam sistem sampai dengan waktu t (dalam satuan pelanggan-detik)l(t):harga rata-rata laju kedatangan panggilan dalam selang waktu (0,t)

  • Rumus J.D.Little (4) lt=a(t)/tBila Tt merupakan harga rata-rata waktu lamanya setiap pelanggan berada di dalam sistem dalam selang waktu (0,t), makaTt=g(t)/a(t) [pelanggan-detik/pelanggan]Harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam sistem antrian selama waktu (0,t) adalah :Nt=g(t)/t = [a(t)/a(t)]xTt/(1/lt) = ltTt

  • Rumus J.D.Little (5)Bila sistem mencapai keadaan setimbang pada waktu t , maka lt l, Tt T dan Nt N, sehinggaN= lTHal tersebut menyatakan jumlah pelanggan di dalam sistem antrian=harga rata-rata laju kedatangan panggilan x harga rata-rata lamanya waktu pelanggan berada dalam sistem

  • Rumus J.D.Little (6)Catatan untuk rumus J.D LittleDistribusi kedatangan dan waktu pelayanan adalah sembarangJumlah pelayan adalah sembarangDapat diterapkan hanya terhadap yang antri atau yang dalam pelayanan saja atau kedua-duanyaLq=l.WqLq=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam antrianWq=harga rata-rata waktu tunggu di dalam antrianLp=l.WpLp=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam pelayananWq=harga rata-rata waktu lamanya pelanggan dalam pelayanan

  • Contoh-contohBila rata-rata terdapat 10 panggilan per jam yang datang secara acak, hitungPeluang terdapat dua atau lebih panggilan dalam waktu 12 menitPeluang waktu antar kedatangan tidak lebih dari 6 menitJawabArrival rate = 10 call/jam = 1/6 per menitPeluang tidak ada panggilan dalam waktu 12 menit =p0(t)=e-lt = e-12/6= e-2 Peluang muncul 1 panggilan dalam waktu 12 menit =

    Maka peluang muncul 2 panggilan atau lebih dalam waktu 12 menit adalah = 1-(p0(t)+p1(t)) = 1-(e-2+2e-2) =1-3e-2= 0,5940Peluang waktu kedatangan tidak lebih dari 6 menit = A(t) = 1- e-lt = 1 e-6/6 =1- e-1 = 0,6231

  • Contoh-contoh (2)Misalnya waktu pelayanan terdistribusi secara eksponensial dengan rata-rata 3 menit, hitung peluang bahwa waktu pelayanan melebihi 6 menitJawab :Service rate = 1/3 call per menitPeluang waktu pelayanan melebihi t = H(t) = e-mtMaka peluang waktu pelayanan melebihi 6 menit adalah = e-(1/3)x6 = e-2 =0,1353

  • Contoh-contoh (3)Pada suatu wartel yang terdiri dari lebih 2 pesawat telepon, diketahui 50 pelanggan melakukan panggilan di dalam satu jamnya dengan rata-rata waktu pemakaian 3 menit. Hitung :Jumlah telepon rata-rata yang digunakanWaktu tunggu rata-rata jika terdapat rata-rata 1,2 pelanggan yang menunggu JawabArrival rate = l =50/jam = 50/60 = 5/6 call per menitService rate = m = 1/3Traffic load = l/m = (5/6)x3 = 2,5 ErlangIni berarti jumlah rata-rata telepon yang digunakan adalah 2,5Waktu tunggu rata-rata dicari menggunakan rumus LittleDiketahui L=1,2 maka W=L/l =1,2/(5/6)=1,44 menit

  • Sistem M/M/S/0 (Markovian Loss System)Ini model untuk jaringan teleponMenghasilkan Distribusi ErlangsArrival Rate lJumlah server sService rate m

  • Sistem Antrian M/M/1Kedatangan panggilan : Poisson arrivalService time : exponentially distributedJumlah server : 1Panjang antrian : tak terhinggaDiagram transisi kondisi012NllllmNm1N+1llmN+1perhatikanm2m3

  • Sistem Antrian M/M/1 (2)Dalam kondisi stabil, persamaan transisi kondisi dinyatakan oleh hukum konservasi dari aliran peluang :l0 P0 = m1 P1untuk k=0

    (lk + mk)Pk = lk-1Pk-1 + mk+1Pk+1untuk k 1Aliran meninggalkan kondisi k bila sistem dalam kondisi k dengan peluang PkAliran menuju kondisi k, baik yang berasaldari kondisi k-1 maupun dari kondisi k+1

  • Sistem Antrian M/M/1 (3)Aliran kesetimbangan antara dua kondisi yang berdekatan dapat ditulis sbb :lk-1Pk-1 = mk PklkPk = mk+1 Pk+1

    Persamaan di atas disebut local balance equationsKita akan memanfaatkan local balance equations untuk memperoleh peluang kondisi k (Pk)

  • Sistem Antrian M/M/1 (4)Dari local balance equations kita peroleh :l0P0 = m1 P1, l1P1 = m2 P2,,lkPk = mk+1 Pk+1, dan

    Karena, maka

  • Sistem Antrian M/M/1 (5)Jika laju kedatangan dan pelayanan tidak tergantung kondisi k (ini berarti lk=l dan mk=m), maka Pk dapat dinyatakan sbb :

    Dimana

  • Sistem Antrian M/M/1 (6)Beberapa paramater ha