SISTEMA

BINARIO

HISTORIA

El antiguo matemático hindú Píngala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era, lo cual coincidió con su descubrimiento del concepto del número cero

Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bit) y números binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto clásico del I Ching. Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizadas en sistemas de adivinación tradicionales africanos, como el Ifá, así como en la geomancia medieval occidental.

Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo fue desarrollado por el erudito y filósofo Chino Shao Yong en el siglo XI.

En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, las cuales podrían ser codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.

El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglo XVII, en su artículo "Explication de l'Arithmétique Binaire". En él se mencionan los símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz utilizó el 0 y el 1, al igual que el sistema de numeración binario actual.

En 1854, el matemático británico George Boole publicó un artículo que marcó un antes y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra de Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.

DEFINICION

El Sistema Binario es el sistema de numeración que utilizan internamente los circuitos digitales que configuran el hardware de las computadoras actuales.Utiliza como base el 2, que corresponde al número de símbolos que comprende para la representación de cantidades; estos símbolos (también denominados dígitos) son: 0 y 1.

Los números binarios se escriben A menudo con subíndices, prefijos O sufijos para indicar su base. Las notaciones siguientes son equivalentes:•100101 binario (declaración explícita de formato)•100101b (un sufijo que indica formato binario)•100101B (un sufijo que indica formato binario)•bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)•1001012 (un subíndice que indica base 2 (binaria) notación)

•% 100101 (un prefijo que indica formato binario)•0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de programación)

FORMAS DE REPRESENTACIÓN

BINARIA

CÓDIGO BINARIO SIN SIGNOLas cantidades se representan de izquierda a derecha (el bit más significativo a la izquierda y el menos significativo a la derecha) como en el sistema de representación decimal. Los bits se representan por ceros y unos; cero es ausencia de valor, uno es valor. Por ejemplo, la representación del decimal 33 es 100001.

Ante la necesidad de tener que representar enteros negativos, se decidió reservar un bit para representar el signo. Es tradición destinar a este efecto el bit más significativo (izquierdo); este bit es 0 para valores positivos y 1 para los negativos. Por ejemplo, la representación de 33 y -33 sería:

+ 33 -> 0010 0001 - 33 -> 1010 0001

CÓDIGO BINARIO CON SIGNO

CÓDIGO BINARIO EN COMPLEMENTO A UNO

CÓDIGO BINARIO EN COMPLEMENTO A DOS

En este sistema los números positivos se representan como en el sistema binario en magnitud y signo, es decir, siguiendo el sistema tradicional, aunque reservando el bit más significativo, que debe ser cero. Para los números negativos se utiliza el complemento a uno, que consiste en tomar la representación del correspondiente número positivo y cambiar los bits 0 por 1 y viceversa (el bit más significativo del número positivo, que es cero, pasa ahora a ser 1).Como puede verse, en este sistema, el bit más significativo sigue representando el signo, y es siempre 1 para los números negativos. Por ejemplo, la representación de 33 y -33 sería:

+33 - > 0010 0001-33 - > 1101 1110

En este sistema, los números positivos se representan como en el anterior, reservando también el bit más significativo (que debe ser cero) para el signo. Para los números negativos, se utiliza un sistema distinto, denominado complemento a dos, en el que se cambian los bits que serían 0 por 1 y viceversa, y al resultado se le suma uno.Este sistema sigue reservando el bit más significativo para el signo, que sigue siendo 1 en los negativos. Por ejemplo, la representación de 33 y -33 sería:

+33 - > 0010 0001 -33 - > 1101 1110 + 0000 0001 - > 1101 1111

NÚMEROS FRACCIONARIOS

NÚMEROS FRACCIONARIOSNOTACIÓN CIENTÍFICA

En ciencias puras y aplicadas, es frecuente tener que utilizar números muy grandes y muy pequeños. Para facilitar su representación, se desarrolló la denominada notación científica (también denominada engineering notation en la literatura inglesa) en la que el número es representado mediante dos cantidades, la mantisa y la característica, separadas por la letra E/e.

La mantisa es la parte significativa del número (las cifras significativas que se conocen ). La característica es un número entero con signo, que indica el número de posiciones que hay que desplazar a la derecha o a la izquierda el punto decimal (explícito o implícito). Por la razón señalada (que la característica indica la posición del punto decimal), esta representación es también conocida como de "punto flotante".

La característica puede ser interpretada también como la potencia de 10 por la que hay que multiplicar la mantisa para obtener el número. Es decir: si V es el número, m la mantisa, y c la característica, resulta: V = m . 10c. Esta notación (matemática tradicional) es equivalente a V = mec = mEc en notación científicaEjemplos:

Expresión Valor 23.45e6 23.45 10^6 == 23450000 -2e-5 -2.0 10^-5 == -0.00002 3E+10 3.0 10^10 == 30000000000 -.09E34 -0.09 10^34 == -900000000000000000000000000000000

NOTACIÓN NORMALIZADAPuede verse que la notación científica permite varias formas para un mismo número. Por ejemplo, para el número 12.31 serían, entre otras:

12.31e01231e-2123.1e-11.231e10.1231e20.01231e3

La representación de números fraccionarios que necesita de una menor cantidad de dígitos en notación científica, es aquella que utiliza un punto decimal después de la primera cifra significativa de la mantisa. Esta forma de representación se denomina normalizada (el resto de formas posibles se denominan subnormales). En el caso del número anterior, la notación normalizada sería: 1.231e1.

Conversión Decimal a Binario

Método Divisiones Sucesivas1.Dividir el número decimal entre 2. Guardar cociente y el residuo.

2.Tomar cociente anterior y repetir paso 1 hasta que el cociente sea menor que la base.

3.Escribir (concatenar) el último cociente y los residuos empezando por el último.

2512 2

63

1

10

01

22

2

11 0 0 12

Método por Descomposición y Residuos

1. Se tiene en cuenta si el número es par o impar, colocando 1 si es impar o 0 si es par.

2. Se halla la mitad el número, luego se repiten estos pasos hasta que el resultante sea menor que la base

251263 1

100

11 1 0 0 12

Método Potencia Cercana

1. Se busca la potencia más cercana al número y se le resta.

2.Se repite el procedimiento hasta que el resultante sea menor que la base.

3.Cada potencia representa los bits significativos del número.

25-16

9- 8

1

24 =

23 =20 =

1 1 0 0 12

24 23 22 21 20

Conversión Binario a Decimal

Método Multiplicaciones Sucesivas

Según el Esquema de Horner, es:

n

i 0 zi BiND =

Z: Digito del númeroB: Basei: Posición

1 1 0 0 12

24 23 22 21 20

1 x 20 = 10 x 21 = 00 x 21 = 01 x 23 = 81 x 24 = 16

25La sumatoria de cada digito multiplicado por la base elevada a la posición del mismo.

Método Sumas Sucesivas

1. Se multiplica el dígito por el valor de la base (de izquierda a derecha), sumando el resultado al siguiente dígito.

2. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por la base y sumar al siguiente dígito.

1 1 0 0 12

+23 25

+66

+1212

+24

Conversión de Fracciones Decimales a Binario

Para convertir una fracción decimal a binario, esta fracción debe ser multiplicada por dos y tomamos la parte entera del resultado.

Número 0,875

0,875 X 2 = 1,75

0,75 X 2 = 1,5

0,5 X 2 = 1

= 0,1 1 1

Suma Binaria

1. Para sumar números binarios, seguimos las reglas utilizadas para la suma de números decimales. La única diferencia es que, como el sistema binario consta de dos caracteres, la reagrupación de los números es más corta.

Existen cuatro posibles combinaciones en la suma de binarios:

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10*

*Esta suma conlleva reagrupación ya que ha alcanzado el  primer punto de rompimiento.

1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 0 1

+ 1 1 1 1 1

1

00

1

01

1

1

1

1

1

11

0

1

1

1 0

1. Si la cantidad de unos es par el resultado es 0 y se lleva un 1.

2. La cantidad de unos a llevar debe corresponder a los pares de unos sumados.

1

Resta Binaria

Para restar números binarios, se tiene en cuenta la siguiente tabla:

Cuando se presenta una resta 0-1, se presta del primer dígito no-cero a la izquierda, donde cada cero que interviene se convierte en 10, donde: 10-1=1

0 - 0 = 01 - 0 = 11 - 1 = 00 - 1 = 1*

*prestando 1 de la siguiente columna.

1 1 0 0 0 1

- 1 0 0 1 1

0

0 11

0

1

10

1

1

1111

011

Método Estándar

1. Se elige el sustraendo y se halla el complemento (invertir los unos por ceros)

Minuendo

Sustraendo 2. Luego se suma ese

complemento al Minuendo

Método de Complemento a uno

1 1 0 0 0 1

- 1 0 0 1 1

1 1 0 0 0 1

+ 00110

1011113. A ese resultado se le suma

1, sin tener en cuenta el primer digito de la izquierda.

+ 1

01111

1. Se elige el sustraendo y se halla el complemento a dos (invertir los unos por ceros y sumarle uno)

Minuendo

Sustraendo 2. Luego se suma ese

complemento al Minuendo

Método de Complemento a dos

1 1 0 0 0 1

- 1 0 0 1 1

1 1 0 0 0 1

+ 10110

0111113. A ese resultado no se te tiene en cuenta el primer digito de la izquierda.

Multiplicación Binaria

1. Se multiplica cada digito del multiplicador por el multiplicando.

2. Luego se suman los resultados.

1 1 1 0 1

* 1 0 1

0 0 0 0 0

+ 1 1 1 0 1

10111

10001001

Multiplicando

Multiplicador

División Binaria

1110111 1001

Dividendo Divisor

-1001

0101

-1001

0010

-1001

0010

1. Se resta el divisor de la misma cantidad de cifras del Dividendo

2. Por cada resta se adiciona un uno al Cociente y se baja la siguiente cifra del dividendo.

3. Si no es posible la resta se coloca un cero en el cociente y se baja la siguiente cifra en el Dividendo.

Cociente

Residuo

1 1

1

1

1

0

1

GRACIAS