Sistemaa de Numeros Compleos

7/18/2019 Sistemaa de Numeros Compleos

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SISTEMA DE NUMEROSCOMPLEJOS

ALGUNAS DEFINICIONES PREVIAS

UNIDAD IMAGINARIA:

Esta cantidad se representa mediante i! " p#ede

e$presarse mediante: ent%nces &'()NUMERO COMPLEJO: Descri*e +a s#ma de d%s e+ement%sc%m% a,*i d%nde a " * s%n n-mer%s rea+es " +a +etra i. es+a #nidad ima/inaria)



O1SERVACION:

En e+ sistema de n-mer%s c%mp+e2%st%da ec#aci3n c#adr4tica tiene

s%+#ci3n)

L%s n-mer%s 5i " '5i s%n s%+#ci%nes de& '6 p%r c#ant%

&& 67'(8& '6

P%r %tr% +ad%:

&& 67'(8& '6



NOTACION:

Cada n#mer% c%mp+e2% p#ederepresentarse mediante +%s n-mer%s9. . . etc)

POR EJEMPLO: 9&a , *i . en estae$presi3n a! es +a parte rea+ " se escri*ec%m%: a&Re78 " *&Im 78)

DEFINICION: E+ sistema de +%s n-mer%sc%mp+e2%s. 2#nt% c%n +as %peraci%nes*4sicas ;#e c#mp+en ciertas pr%piedades)Sim*3+icamente se escri*e:



C&

E2emp+%:

S%n n-mer%s c%mp+e2%s:

9& 56,5<i = 9&7$ . "8& 756.5<89&'>,6i = 9&7$ . "8& 7'>.68

9& ,i = 9&7$ . "8& 7.8



NOTA:() Si +a parte rea+ de #n n#mer% c%mp+e2% es

cer% n%s enc%ntram%s ante #n n#mer%ima/inari% p#r%)

5) La ra? c#adrada de #n n#mer% ima/inari%p#ede escri*irse c%m%:

& i

DEMOSTRACION: & & &i



E2emp+%s:Determine ana+?tica " /r4@camente. +%sn-mer%s c%mp+e2%s ta+ ;#e eri@;#e:

() Re78&5

5) Im785

B) Re78,Im78&5

S%+#ci3n:

() C%nsidrese 9&7$ . "8. p%r tant% Re78&$.para n#estr% cas% Re78& 5 es #na rectapara+e+a a+ e2e . ;#e pasa p%r e+ p#nt% $&5



Im78

5

Re78



5) Sea &7$."8. ent%nces Im78&" per% c%m%Im88 5. ;#e c%rresp%nde a+ semip+an% ;#ec%ntiene a+ %ri/en . c#"% *%rde es +a recta de +aec#aci3n "&5 ent%nces se tiene ;#e:

Im78

Im785

Re78



B) Sea &7$ . "8. ent%nces Re78& $ . Im78&" per% c%m% Re78,Im78&5 p%r tant% $," &5 ;#e n%s representa +a recta ;#epasa p%r +%s p#nt%s 75.<8 " 7<.58)

Im78

Re78,Im78&5

5

5

Re78



CERO OPUESTO DE UN NUMEROCOMPLEJO

Un n#mer% c%mp+e2% es cer% si tant%

s# parte rea+ c%m% s# parte ima/inarias%n cer%s) Es decir #n n#mer%c%mp+e2% 9&7$. "8 es #n n#mer%c%mp+e2% sii $&< . "&<)

E+ %p#est% de #n n#mer% c%mp+e2%&7a . *8 es de@nid% c%m% s# %p#est%p%r &7'a.'*8



GRAFICAMENTE

*

9

)

'a a

'9 '*



CONJUGADA DE NUMEROSCOMPLEJOS

Si 9& a , es #n n#mer% c%mp+e2%. +a

c%n2#/ada de+ n#mer% c%mp+e2% seden%ta p%r . " se escri*e c%m%:

&a '

E2emp+%s: Si 9& B ,Bi ent%nces s#c%n2#/ada ser4: &B '



IGUALDAD DE NUMEROSCOMPLEJOS

D%s n-mer%s c%mp+e2%s &a ," &c , s%ni/#a+es. es decir: & si s# parte rea+ " s# parte

ima/inaria s%n respectiamente i/#a+es)&= a ,& c , si a&c " * &d

E2emp+%: Determinar +%s a+%res de $ e "sa*iend% ;#e +%s n-mer%s c%mp+e2%s:

&'(< , " &7$'(>8 '



SOLUCION:C%m% +%s n-mer%s s%n i/#a+esent%nces se tiene ;#e: '(<& 7$'(>8" " &'5(

P%r tant%:

&> . "&'B



OPERACIONES SO1RE NUMEROSCOMPLEJOS

L%s n-mer%s c%mp+e2%s se s#man.

se restan. se m#+tip+ican " sediiden)

SUMAR. RESTAR. MULTIPLICAR

DIVIDIR COMPLEJOS SIGNIFICA:



S#ma: 7a , *i8,7c , di8&7a , c8 ,7* , d8iS#me +a parte rea+ de am*%s c%mp+e2%s "+a ima/inaria de +%s d%s c%mp+e2%s)

Resta: 7a , *i8'7c , di8&7a'c8 ,7*'d8i

Reste +as partes rea+es " +a ima/inariasrespectiamente

M#+tip+icaci3n:

7a , *i8)7c , di8&7ac ' *d8,7ad , *c8iM#+tip+i;#e +%s n-mer%s c%mp+e2%s c%m%*in%mi%s. c%n &'()



EHect#ar +as %peraci%nes indicadas ana+?tica "/e%mtricamente)

() 7B . 68 ,7 .58

5) 76 . '58 , 75 . 68

PROPIEDADES:Sean . . C ent%nces se c#mp+e ;#e:

B) Pr%piedad de c+a#s#ra

6) Pr%piedad c%nm#tatia

)Pr%piedad as%ciatia es decir:7,8,&,7,) E$istencia de+ ne#tr% aditi% KC , K&. C " ;#eindicarem%s p%r K&7< . <8

) E$istencia de+ iners% aditi%: Para c#a+;#ier C. e$iste%tr% e+ement% ;#e se den%ta p%r ta+ ;#e ,7'8&7<.<8



SUSTRACCION DE NUMEROS COMPLEJOSSean & 7 a . *8 " &7 c . d8 d%s n-mer%sc%mp+e2%. se de@ne +a diHerencia de " p%r: & 8% +% ;#e es +% mism%:

&7a . *8 7c . d8&7a'c. *'d8E2emp+%s:

EHect#ar ana+itica " /e%metricamente +as%peraci%nes:

() 7 . '58 7 5 . '8

5) 7. (8' 76 . '58

B) 75 .B8 76 . '58



RAICES CUADRADAS DE NUMEROS

NEGATIVOSSi r es ne/ati% ent%nces +a ra? c#adradaprincipa+ de r esta dada p%r: & i)

P%r tant% +as d%s ra?ces c#adradas de r s%n:

i " 'i)E2emp+% (: P%r +% /enera+ se escri*e i en+#/ar de para eitar c%nH#si3n de i)

&i&i&6i

&i



MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS

Sean & 7 a . *8 " &7 c . d8 d%s n#mer%sc%mp+e2%s. a+ pr%d#ct% de " se de@ne c%m%:

&7 a . *8)7 c . d8 &7ac ' *d . ad , *c8E2emp+%:

Sean &75 . B8 " &7( . 8 ent%nces:

&75 . B8)7( . 8&75'(. (<,B8&7'(B. (B8



PROPIEDADESSean ..C

P(: Pr%piedad de c+a#s#ra C

P5: Pr%piedad c%nm#tatia: &)

PB: Pr%piedad as%ciatia: &

P6: Pr%piedad distri*#tia: 8&

P: Pr%piedad de e$istencia " #nicidad de+

ne#tr% m#+'tip+icati%) ( c%mp+e2% ta+ ;#e #&9. . siend%

&7(.<8



P: Pr%piedad de +a e$istencia " #nicidad de+

iners% m#+tip+icati%) Para cada c%mp+e2% 7< .<8 C ta+ ;#e & siend% " &7 ( . <8

DEMOSTRACION:

Sea &7a . *8 7< .<8 c%n a <. si s#p%nem%s ;#e

&7$ ."8 ta+ ;#e & . siend% &7 ( . <8 es decir :7a .*87$ ."8&7( .<8ent%nces: 7a$ ' *". a" ,*$8&7( .<8

L#e/% p%r de@nici%n de i/#a+dad se tiene ;#e:

a$'*"&(

*$,a"&<



#e si se res#e+e e+ sistema se tiene ;#e:& . &

Se p#ede %*serar ;#e si: 7a . *87<.<8e;#ia+edecir ;#e a < "% * < p%r tant% , < p%r tant% :

&7$ . "8&7 . 8



E2emp+%5:

Ea+-e 7'87B,8

7'87B,8&7'i87B,i8

&75'i87B,i

&7,58,i75)5'B8

&>,i



DIVISION DE NUMEROSCOMPLEJOS

Para simp+i@car e+ c%ciente de

ent%nces se m#+tip+ica e+n#merad%r " e+ den%minad%r p%re+ c%mp+e2% c%n2#/ad% de+

den%minad%r)&&



Para n% aprender de mem%ria. es masH4ci+ rec%rdar e+ primer pas% " +#e/%m#+tip+icar e+ n#merad%r "

den%minad%r de +a manera ;#ec%n%cem%s)

E2emp+%: E$prese +% si/#iente en +aH%rma rectan/#+ar:&&,i



&7878&i

RAICES COMPLEJAS DE ECUACIONESCUADRATICAS)

&Si '6ac<. ;#iere decir ;#e n% tiene s%+#ci3n en e+camp% de +%s n-mer%s rea+es. per% en e+ sistema de+%s n-mer%s c%mp+e2%s. esta ec#aci3n siempretendr4 s%+#ci%nes. p#es +%s n-mer%s ne/ati%stienen ra?ces c#adradas en este ent%rn% e$pandid%)



PRO1LEMAS

Res%+er +a ec#aci3n: ,&<

&

&&

Res%+er +a ec#aci3n: ,6$,&<

& &&&&&'5



COMPLEJOS CONJUGADOS COMOSOLUCIONES DE ECUACIONES CUADRATICAS

Dem#estre ;#e +as s%+#ci%nes de +a ec#aci3ns%n c%mp+e2%s c%n2#/ad%s entre si)

6'56$,B&<

&&&&Bi



MODULO DE UN NUMERO COMPLEJO

E+ m%d#+% de #n n#mer% c%mp+e2%. es #nn#mer% rea+ p%siti% de@nid% p%r:&

PROPIEDADES

() Si 7<.<8 ent%nces: <5) &< Sii &7 <. <8

B) & &

6) &)

) ,) R78. Im78



DeH?nase +%s n-mer%s c%mp+e2%s en /enera+

c%m%:&7,878&7,87,8

&,,,

&,,,

& , 5Re78,

, 5,

&, 5,

&P%r c%nsi/#iente:

,



Dem%strar ;#e & si & d%nde a es rea+)

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