TEORA DE NUMEROSIntroduccin

Fue el matemtico griego EUCLIDES el primero en descubrir que los nmeros primos constituyen una serie infinita. Las investigaciones de los matemticos griegos les condujeron rpidamente al concepto de nmero primo, basndose en el cual ERATOSTENES construy su famosa criba para encontrar los nmeros primos en la serie de los nmeros naturales.

Considerando el campo de los nmeros enteros positivos se clasificar de acuerdo a la cantidad de divisores del siguiente modo.

I. Divisor

Se denomina divisor de un nmero a cualquier valor que lo divide exactamente mediante una divisin entera.

Observacin:

Sea N un nmero entero, si d es un divisor de N entonces:

Observacin:

Divisor propio: Es todo aquel divisor de N, menor que dicho nmero.

Ejemplo:

II. Nmero primo

Es aquel nmero que tiene nicamente 2 divisores: el mismo y la unidad.

P: nmero primo (# primo absoluto)Tabla de Nmeros Primos Menores que 200

23571113171923

293137414347535961

67717379838997101103

107109113127131137139149151

157163167179181191193197199

Observacin

1. No existe frmula para hallar todos los nmeros primos.2. La serie de los nmeros primos es ilimitada, es decir que por ms grande que sea un nmero primo, siempre hay otro nmero primo mayor.

3. Si P es un nmero mayor que 2.

4. Si P es un nmero primo mayor que 3.

5. Nmero simple:

6. Nmero compuesto: Es aquel nmero que tiene ms de 2 divisores.

Ejemplo:

7. Todo nmero primo que divide a un producto de varios factores, divide por lo menos a uno de los factores.III. Nmeros primos relativos o primos entre s (PESI)

Son dos o ms nmeros que tienen como nico divisor comn a la unidad.

Ejemplo 1

NmeroDivisores

101 ; 2 ; 5 ; 10

211 ; 3 ; 7 ; 21

( 10 y 21 son PESI

IV. Nmeros primos entre si dos a dos. (PESI 2 a 2)

Un conjunto de nmeros resultar ser PESI 2 a 2 si precisamente al tomarlos en pareja resultan ser primos entre s.

Ejemplo 1

Son 8; 9 y 25 PESI 2 a 2?Solucin:

Observacin Dos nmeros enteros consecutivos siempre son PESI.

Son PESI

Dos nmeros impares consecutivos tambin son PESI

Criterio para reconocer si un nmero entero es primo1) Para saber si un nmero dado es primo o no, se deben seguir los siguientes pasos:

2) Extraer la raz cuadrada, aproximadamente por defecto.

3) Enumerar los nmeros primos menores a esta aproximacin

4) Aplicar las condiciones de divisibilidad del nmero por cada uno de estos nmeros primos.

Si en ninguno de los casos es divisible, se dice que el nmero es primo.

Ejemplo 1

Es 853 nmero primo?

Solucin

a) ( 29,. . .

b) Los nmeros primos menores que: 29,. . .2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29c)

Regla para determinar los divisores de un nmero

a) Se descompone el nmero en factores primos.

b) Se escribe el 1 (que es divisor de todo nmero) y a continuacin se pone las diversas potencias del primer factor primo.

c) Se multiplica los divisores hallados por las diferentes potencias del segundo factor primo.

d) Se multiplica todos los factores hallados anteriormente por las diferentes potencias del tercer factor y as sucesivamente. El ltimo divisor hallado al formar stos productos es el nmero dado.

Tabla de divisores de 240

124816

361224483

5102040805

15306012024035

240 posee 20 divisores de los cuales 3 son divisores primos (2; 3; 5).

Ejemplo:

Sea N un nmero compuesto.

DESCOMPOSICIN CANNICA

(Teorema fundamental de la Aritmtica o Teorema de Gauss)

Todo nmero entero mayor que uno (compuesto) se puede descomponer como el producto de sus factores primos elevados a exponentes enteros positivos, dicha descomposicin es nica.

Sea N el nmero compuesto.

Factores primos.

Exponentes (nmeros enteros positivos)

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NMERO

I. Cantidad de divisores [D(N)]

El nmero total de divisores de un nmero es igual al producto de los exponentes de los factores primos aumentados en 1.

Ejemplo:

720 = 24 x 32 x 51

D(720) = (4+1)(2+1)(1+1)

D(720) = 5 x 3 x 2 = 30

II. Suma de divisores [SD(N)]

Ejemplo:

240 = 24 x 3 x 5

SD(240) = 744

Importante:

Todo nmero que tenga un nmero impar de divisores es un nmero cuadrado perfecto.

Ejemplo:

III. Suma de las inversas de los divisores: [SID(N)]

Ejemplo:

(

IV.Producto de divisores de un nmero [PD(N)]

Ejemplo:

D(720) = 30

(

Cantidad de formas de descomponer N como el producto de 2 factores: F (N)

Ejemplo

F(N) =

Sea: 18 = a x b

3 formas de descomponer 18 como el producto de 2 factores.

Forma prctica:

18 = 21 x 32

D(18) = (1+1) (2+1) = 6

Ejemplo:

De cuntas maneras se puede descomponer 8100 como el producto de 2 factores?

Solucin:

D.C.

= (2+1)(4+1)(2+1) = 45

F(8100) = = 23

(

INDICADOR DE UN NMERO O FUNCIN DE EULER

Notacin:((N) ; ((N) ; ((N)

(PSI)

Es la cantidad de nmeros enteros positivos menores que un nmero dado y primos con l.

Sea N un nmero compuesto.

N = A( x B( x C( (D.C.)

Se calcula:((N) =

((N) = N x

Ejemplo:

Calcular cuntos nmeros menores y PESI con 12 existen?Solucin:

( = 4 nmeros

Forma prctica

Ejemplo:

Cuntos nmeros menores que 20 son PESI con 20?

Solucin:

DESCOMPOSICIN CANNICA DEL FACTORIAL DE UN NMERO

Consideraciones:

0! = 1! = 1

2! = 1 x 2 = 2

3! = 1 x 2 x 3 = 6

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720

7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040

8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40 320

n! = 1 x 2 x 3 x . . . x (n-2)(n-1) x n

Ejemplo:

Hacer la descomposicin cannica de 20!.

Solucin:

20! = 1 x 2 x 3 x . . . x 19 x 20

20! = 2( x 3( x 5( x 7( x 11 x 13 x 17 x 19Clculo de ( :

Clculo de ( :

Clculo de ( :

Clculo de :

Reemplazando:

Observacin:

Si N! est expresado en base n para calcular en cuntos ceros termina solo se necesita calcular el exponente del mayor nmero primo contenido en la base n.

Ejemplo:

Hallar x en:

Solucin:

Base:

2

3

Divisores primos

Clculo de x:

13! en base 12 termina en 5 ceros.

COMPLEMENTOS TERICOS

NMERO PERFECTO

Nmero perfecto es aquel nmero que es igual a la suma de sus divisores propios.

Ejemplos:

6 ( 1, 2 , 3 , 6

De 6: 1; 2; 3

6 = 1 + 2 + 3

NMERO DEFECTUOSO

Nmero defectuoso es aquel nmero cuya suma de sus divisores propios es menor que dicho nmero.

Ejemplo:

Divisores propios: 1; 2

1 + 2 < 4

( 4 es un nmero defectuoso

NMERO ABUNDANTE

Nmero abundante, es aquel nmero cuya suma de sus divisores propios es mayor que dicho nmero.

NMERO MIRP

Son aquellos nmeros primos que al ser invertidos el orden de sus cifras, siguen siendo nmeros primos.

Ejemplo:

11 , 13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , . . .

NMEROS MIRP-NONREP

Son aquellos nmeros MIRP, que tienen cifras diferentes entre s:

Ejemplo:

13, 17, 73, 79,. . .

1. Sean a, b y c nmeros primos, adems, se cumple que y . Hallar .a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 11

2. Cuntos nmeros primos se escriben con cuatro cifras en el sistema ternario?a) 11

b) 12

c) 13

d) 14

e) 15

3. Si tiene 63 divisores compuestos. Calcular X.a) 4

b) 5

c) 6

d) 8

e) 7

4. Hallar x si: tiene 40 divisores.

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 1

5. Si tiene 75 divisores compuestos. Hallar K.

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

6. Hallar el valor de n sabiendo que: tiene divisores.

a) 11

b) 12

c) 13

d) 14

e) 15

7. Cuantos ceros debe tener: para que el resultado tenga 56 divisores?

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

8. Calcular la cantidad de divisores de , si: tiene 28 divisores menos que .

a) 27

b) 36

c) 45d) 63

e) 549. Hallar el valor de n si el nmero de divisores de: es 2/3 del nmero de divisores de:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

10. Hallar K sabiendo que: tiene 291 divisores que no son primos.

a) 3

b) 4

c) 2

d) 5

e) 1

11. Hallar n para que el nmero: tenga 33 divisores ms que 2448.a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

12. Sabiendo que tiene divisores. Cuntos divisores tendr ?

a) 238

b) 272

c) 298d) 294

e) 29613. Cul es el menor nmero por el que se debe multiplicar a 648 para obtener 40 divisores?

a) 5

b) 7

c) 8

d) 16

e) 12

14. Si N tiene 21 divisores y es de tres cifras, entonces la suma de sus cifras es:a) 12

b) 16

c) 18

d) 14

e) 15

15. Si: tiene 77 divisores. Hallar .

a) 6

b) 8

c) 10

d) 12

e) 14

16. Cuntos nmeros de la forma tienen 8 divisores?

a) 4

b) 5

c) 8

d) 6

e) 3

17. Al dividir el mayor nmero de la forma , que tiene 12 divisores, entre 5, se obtiene como residuo:a) 1

b) 4

c) 3

d) 6

e) 2

18. Sabiendo que: tiene el doble de la cantidad de divisores de . Hallar el valor de n.a) 3

b) 4

c) 7

d) 5

e) 6

19. Cuantos nmeros primos absolutos de 2 cifras existen en el sistema quinario?

a) 4

b) 6

c) 7

d) 5

e) 3

20. Cuntos nmeros positivos de tres cifras tienen exactamente 3 divisores?a) 6

b) 7

c) 15

d) 20

e) 22

21. Hallar un nmero primo mayor que tres tal que su cuadrado, disminuido en la unidad, dividido por 8, da por cociente un nmero primo.a) 13

b) 11

c) 5

d) 7

e) 17

22. Si tiene 65 divisores. Cuntos divisores tiene ?

a) 42

b) 35

c) 68

d) 63

e) 28

23. Si el nmero tiene divisores compuestos. Hallar: .a) 12

b) 10

c) 11d) 14

e) 1324. Si tiene 30 divisores ms que . Cuntos divisores tiene ?

a) 15

b) 16

c) 18

d) 19

e) 21

25. Si est descompuesto cannicamente y adems tiene divisores. Hallar: .

a) 15

b) 13

c) 12

d) 14

e) 11

26. Al multiplicar por 33 al numeral se duplica su cantidad de divisores. Hallar: .a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

27. Si el nmero de divisores de es 14. Hallar .

a) 8

b) 9

c) 12

d) 11

e) 10

28. Si tiene p divisores. Cuntos divisores tiene ?a)

b)

c)

d)

e)

29. Si tiene 114 divisores compuestos. Hallar k.a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

30. Hallar a si tiene 60 divisores.a) 8

b) 6

c) 7

d) 3

e) 9

31. Hallar n si el nmero tiene 80 divisores.a) 2

b) 4

c) 5

d) 3

e) 6

32. Cuntos nmeros de 3 cifras tienen 14 divisores?a) 2

b) 1

c) 4

d) 4

e) 6

33. Cuntos divisores de 1176 tienen 2 cifras?a) 10

b) 8

c) 12

d) 9

e) 7

34. Cuntos divisores tiene si es primo?a) 12

b) 4

c) 6

d) 9

e) 1035. Cul es el menor nmero que tiene 15 divisores?

a) 120

b) 36

c) 18

d) 148

e) 144

36. Hallar el valor de a si el nmero es divisible por 30 nmeros pares.

a) 4/3

b) 2

c) 3

d) 7

e) 9/2

37. Si P es un numero primo absoluto. Cul es el nico nmero cuadrado perfecto cuya diferencia con P es otro cuadrado perfecto?

a)

b)

c)

d)

e)

38. Cuntos primos absolutos existen entre 339 y 361?a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

39. Cuntos divisores tiene como mnimo?a) 24

b) 16

c) 64

d) 8

e) 32

40. Hallar a sabiendo que el nmero de divisores de es el doble del nmero de divisores de .a) 6

b) 9

c) 7

d) 5

e) 1141. Al multiplicar por 27 su nmero de divisores aumenta en 90.

a) 3

b) 4

c) 6

d) 5

e) 7

42. Cuantos divisores tiene si el cuadrado de este posee 37 divisores ms.a) 12

b) 18

c) 28

d) 20

e) 24

43. Cuntos divisores tendr?

a)

b)

c)

d)

e)

44. Si Ud. Multiplica los 200 primeros nmeros primos y el resultado obtenido lo divide entre 4. Cul ser el residuo?a) 2

b) 0

c) 1

d) 3

e) 4

45. Cuntos nmeros de la forma existen tales que posean 6 divisores?

a) 2

b) 5

c) 1

d) 3

e) 4

46. Si: tiene 40 divisores mltiplos de 9 y 30 divisores mltiplos de 2. Hallar .a) 8

b) 7

c) 5

d) 10

e) 9

47. Si: (a, b nmeros primos) y . Hallar n.

a) 3

b) 4

c) 5

d) 7

e) 6

48. Si , tiene n divisores. Cuntos divisores tiene ?

a)

b)

c)

d)

e)

49. Si el nmero tiene 54 divisores y n es un nmero primo, decir en cuntos ceros termino N?a) 2

b) 5

c) 3

d) 4

e) 6

50. Un numero natural N admite 2 factores primos que son a la vez 2 nmeros consecutivos. Si N posee 5 divisores impares y 15 divisores . Hallar la suma de sus cifras.a) 9

b) 17

c) 19

d) 18

e) 16

51. Hallar el menos nmero que pasea 31 divisores compuestos y 4 primos.a) 6942

b) 6912

c) 6412

d) 6712

e) 6914

52. Un nmero divisible por 15 que tiene 6 divisores cumple que la media aritmtica de sus divisores es . Cul es la suma de las cifras del complemento aritmtico del nmero?

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

53. Se tiene el nmero y la suma de sus divisores es 720. Hallar a.

a) 2

b) 1

c) 4

d) 3

e) 5

54. Hallar n si: , tiene 120 divisores que no son mltiplos de 21.

a) 7

b) 6

c) 4

d) 3

e) 5

55. Hallar el valor de a si se sabe que el nmero tiene 133 divisores.

a) 6

b) 9

c) 15

d) 22

e) 7

56. Determinar n, si tiene 28 divisores diferentes de mltiplos de 6.

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

57. Cuantos divisores de 900 son mltiplos de 2 3 pero no de los dos juntos?a) 10

b) 11

c) 13

d) 14

e) 12

58. Hallar si: tiene 325 divisores y n es primo con 14 y adems el menor posible.

a) 16

b) 17

c) 18

d) 15

e) 19

59. Si: tiene 3 divisores. Cuntos divisores tiene ?

a) 2

b) 4

c) 5

d) 6

e) 10

60. Dados:

Donde la suma de los nmeros de sus divisores es 96. Hallar n.a) 3

b) 2

c) 8

d) 5

e) 4

61. Hallar un nmero N de 16 divisores, que dividido entre 43 da un cociente primo y un resto igual a la unidad. Luego la suma de los divisores del nmero N es:a) 600

b) 120

c) 500

d) 450

e) 400

62. Indicar la suma de cifras del nmero que tiene 14 divisores y es mltiplo de 24.

a) 10

b) 11

c) 12

d) 14

e) 13

63. Hallar del menor nmero de la forma: tal que tenga 128 divisores ms que el nmero que es mltiplo de 99.

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

64. La diferencia de es un nmero que posee 24 divisores. Hallar .

a) 8

b) 9

c) 11

d) 12

e) 10

65. Hallar un nmero N sabiendo que tiene 6 mltiplos menores que 400 y 11 divisores menores que l.a) 40

b) 50

c) 60

d) 70

e) 10

66. Calcular P si: tiene 88 divisores divisibles por 8 pero no por 5.a) 3

b) 5

c) 4

d) 2

e) 1

67. Un numero entero N posee 2 factores primos, adems se sabe que el nmero de divisores compuestos de su raz cuadrada es 53 y el nmero de divisores propios de su cuadrado es 724. Hallar cuantos divisores tiene el producto de los exponentes en la descomposicin cannica de N.a) 15

b) 16

c) 17

d) 14

e) 18

68. Sea: la descomposicin cannica de un nmero. Si la cantidad de divisores mltiplos de 6 y primos entre s con 91 de este nmero es 216. Hallar:

a) 18

b) 16

c) 17

d) 19

e) 20

69. De los divisores de 3600. Cuntos divisores son mltiplos de 3 pero no de 5?

a) 12

b) 11

c) 9

d) 10

e) 13

70. Siendo a, b y c nmeros primos absolutos. Cuntos mltiplos de contiene el numero ?a) 18

b) 12

c) 37

d) 36

e) 44

71. Hallar el menor mltiplo de 6, sabiendo que tiene 15 divisores menos que 1800. Dar como respuesta la suma de sus cifras.a) 15

b) 18

c) 19

d) 21

e) 17

72. El nmero: . tiene divisores. Hallar n si n y p son primos.a) 2

b) 3

c) 5

d) 7

e) 11

73. Encontrar un nmero N que tenga solo a 2, 3 y 5 como factores primos tal que 125N tenga el doble nmero de divisores, 81N tenga el triple y 4096N tenga el cudruple.

a) 500

b) 400

c) 800

d) 650

e) 600

74. Cuntos divisores mltiplos de 24 que no sean mltiplos de 25 tiene el numero 5940000?

a) 60

b) 54

c) 40

d) 35

e) 32

75. Determinar un nmero de tres cifras que admita 9 divisores, que si se les divide entre 39 se obtiene uno por residuo y un cociente primo.a) 60

b) 54

c) 40

d) 35

e) 32

76. Si tiene 84 divisores pares. Cuntos divisores mltiplos de 5 tiene N?a) 92

b) 72

c) 51

d) 84

e) 86

77. El nmero tiene 20 divisores. Cuntos divisores ms tiene que ?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 1

e) 5

78. Cuntos divisores de terminan en 1, 3, 7 9?a) 3273

b) 1120

c) 3571

d) 3751

e) 3753

79. Si: tiene 8 divisores. Cuntos valores puede adoptar ?a) 7

b) 6

c) 8

d) 9

e) 4

80. Se sabe que tiene tantos divisores compuestos como mltiplos de 3 tiene . Hallar .

a) 27

b) 9

c) 4

d) 16

e) 625

81. Un nmero posee 12 divisores y tiene como factores primos solamente a sus cifras. Indicar la suma de cifras de dicho nmero.a) 12

b) 13

c) 14

d) 15

e) 16

82. Se tiene un numero N que tiene 16 divisores, si dichos divisores se ordenan de menor a mayor se observa que en el cuarto divisor por el dcimo divisor por el treceavo divisor es 560. Hallar N.

a) 320

b) 240

c) 290

d) 270

e) 280

83. Cuntos divisores de 39600 terminan en 0, 2, 4, 6 8?a) 82

b) 83

c) 84

d) 85

e) 81

84. Un nmero entero admite 2 factores primos nicamente; tiene 4 divisores y la suma de estos es 48. Indicar la suma de cifras del mayor nmero obtenido.

a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 6

85. Un nmero entero contiene 2 divisores primos y 12 divisores compuestos. Si la suma de todos sus divisores es 403. Determinar la suma de las inversas de sus divisores.

a) 2,6

b) 2,5

c) 2,8

d) 2,9

e) 2,7

86. Si a y b son nmeros primos y la suma de los divisores del nmero es los 85/28 del nmero en mencin. Hallar .a) 10

b) 8

c) 12

d) 14

e) 16

87. Calcular el nmero de la forma que es igual a 5/13 de la suma de sus divisores, siendo a un nmero primo.a) 45

b) 135

c) 180

d) 90

e) 360

88. Hallar el menor nmero que posee 2 divisores primos y que el producto de sus divisores sea un nmero que tenga 65 divisores.a) 24

b) 72

c) 48

d) 12

e) 36

89. Hallar un nmero mltiplo de 15, que tenga 6 divisores y que la suma de estos sea 124. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 9

b) 15

c) 14

d) 12

e) 10

90. La suma de los divisores de N es 244 veces la suma de los divisores de M. hallar a si:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

91. Si: tiene n divisores. Cuntos divisores tiene 64N?a)

b)

c)

d)

e)

92. Hallar si la suma de divisores del menor nmero N sea el triple de N.

a) 6

b) 8

c) 9

d) 7

e) 10

93. Al producto de dos nmeros primos mayores que 11 se le resta 73 y se obtiene un nmero que tiene 16 divisores. Hallar la diferencia de dichos nmeros, si su producto es menor que 1100.a) 6

b) 12

c) 8

d) 10

e) 14

94. Sea la descomposicin cannica del nmero , sabiendo que 5N y 8N tienen 8 y 18 divisores ms que N respectivamente. Hallar Na) 5040

b) 5200

c) 72000

d) 3600

e) 1400

95. Si la descomposicin cannica de un nmero es: . Calcular la suma de divisores compuestos.a) 33872

b) 33871c) 33427

d) 33877

e) 33867

96. Cuantos divisores compuestos tiene , si del numeral , se sabe que la suma del nmero de divisores impares y el nmero de divisores PESI con 10 es 54?a) 2

b) 3

c) 5

d) 4

e) 7

EMBED Equation.DSMT4

Ejercicios de Aplicacin

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