Sistemas de Control Avanzado - WordPress.comPuntos de equilibrioPlano de faseuncionesF descriptivas Plano de Fase Ciclo límite: Considere el oscilador van der Pol: x (1 x2)_x+ x=

Sistemas de Control AvanzadoNotas de Aula

Juan Carlos Cutipa Luque

Departamento Académico de Ingeniería Electrónica

4 de junio, 2019

Puntos de equilibrio Plano de fase Funciones descriptivas

Introducción

Contenidos:

1 Introducción.

2 Puntos de Equilibrio.

3 Planos de Fase y Funciones Descriptivas.

4 Teoremas de Estabilidad de Lyapunov.

5 Control Backstepping.

6 Control MRAC.

El objetivo del curso es introducir conceptos relacionados al control desistemas no lineales mediante el uso de técnicas de control avanzado

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation


Introducción

Control Avanzado

El control avanzado viene siendo aplicado en diversos campos como en losinformáticos, robóticos, industriales, económicos, biomecánicos, neurocog-nitivos, etc.

Ver aplicaciones:Exoesqueleto: https://www.youtube.com/watch?v=pLmPqRFMQtADemostración de control:https://www.youtube.com/watch?v=j4OmVLc_oDw


https://www.youtube.com/watch?v=pLmPqRFMQtA

https://www.youtube.com/watch?v=j4OmVLc_oDw


Representación en Espacio de Estados

Para el desarrollo de sistemas de control es necesario el conocimiento delespacio de estados del sistema. La �gura muestra:

m: masa del resorte (Kg)

k: constante de rigidez (Kg/s2)

b: constante deamortiguamiento (Kg/s)

Figura: Sistema

masa-amortiguador-resorte

Aplicando la segunda ley de Newton ΣF = ma se obtiene

mx = F − kx− bx, (1)



Representación en espacio de estados

Realizando las transformaciones de variables siguientes:

x1 = x (2)

x2 = x (3)

Se llega a expresar el sistema como:

x1 = x2 (4)

x2 =−kmx1 −

b

mx2 +

1

mF (5)




Organizando (4) y (5) en forma matricial, se obtiene:[x1x2

]=

[0 1− k

m − bm

] [x1x2

]+

[01m

] [F]

(6)

x = Ax+Bu (7)

,Donde

x: Variable de estado o vector de estados,

u: Variable de control o vector de control,

x: derivada de la variable de estados,

A: matriz de estados,

B: matriz de entrada o de control.




Además se pueden obtener las salidas del sistema y. Por ejemplo, laposición del bloque x:[

y]

=[1 0

] [x1x2

]+[0] [F], (8)

y = Cx+Du, (9)

donde:

y: variable de salida o vector de salidas,C: matriz de salidas,D: matriz de transmisión directa.




Se puede extender esta representación para sistemas no linealesinvariantes en el tiempo:

x = f(x, u), (10)

y = g(x, u), (11)

donde f y g son funciones que dependen de x y u de forma explícita edependen intrínsecamente del tiempo. La representación de un sistemavariante en el tiempo sería:

x = f(x, u, t), (12)

y = g(x, u, t). (13)




Para ilustrar un sistema no lineal invariante en el tiempo, se presenta elsistema de un péndulo con fricción y no forzado (u = 0):

mlθ = −mgsenθ − klθ, (14)

donde:

m: masa del péndulo,

l: longitud del péndulo,

θ: ángulo de desplazamiento,

k: coe�ciente de fricción,

g: constante de gravedad.

Figura: Péndulo




El sistema se puede representar por la ecuación (10) como sigue:

x1 = x2, (15)

x2 = −glsenx1 −

k

mx2. (16)

De�nición

Se denomina Sistema Autónomo a un sistema invariante en el tiempo, sealineal o no lineal. De otro lado el sistema es no autónomo o variante en eltiempo.



Puntos de Equilibro

De�nición

Considere un sistema autónomo no forzado

x = f(x), f : D =⇒ IRn, (17)

donde D es un conjunto abierto y conectado de IRn. Se dice que xe es unpunto de equilibrio de (17) tal que:

f(xe) = 0. (18)



Puntos de Equlibrio

De�nición

El punto de equilibrio x = xe del sistema (17) es denominado estable si ysolo si ε > 0,∃δ = δ(ε) > 0

||x(0)− xe|| < δ =⇒ ||x(t)− xe|| < ε ∀t ≥ t0,

En otro caso, el punto de equlibrio es denominado inestable.

En la �gura se muestra un punto deequilibrio estable donde la norma||.|| entre x0 y xe recae en lacircunferencia de radio δ y en elfuturo t ≥ t0, la norma entre xt y xedebe permanecer dentro de lacircunferencia de radio ε.

Figura: Ejemplo de punto de equilibro

estable



Puntos de Equilibrio

De�nición

El punto de equilibrio xe es denominado convergente si y solo si existe unδ1 > 0 tal que:

||x(0)− xe|| < δ1 =⇒ lımt→∞

x(t) = xe

De�nición

Un punto de equilibrio xe es denominado asintóticamente estable si cumplelas condiciones de estabilidad y convergencia




Ejemplo:

Considere el sistema masa-resorte-amortiguador en forma vertical y bajola acción de la gravedad, como se muestra en la �gura:

De las ecuaciones físicas se obtienela expresión:

my + by + ky = mg (19)

La ecuación (19) se puede expresaren la forma de espacio de estados:

x1 = x2, (20)

x2 = − kmx1 −

b

mx2 + g (21) Figura: Sistema

massa-amortiguador-resorte vertical




Aplicando (18) se obtiene que el único punto de equilibrio xe = (mgk , 0).

Se traslada este punto al origen mediante:

z1 = x1 −mg

k, (22)

z2 = x2, (23)

y sus respectivas derivadas:z1 = x1, (24)

z2 = x2. (25)

De modo que el sistema representado por (20) y (21) queda como:

z1 = z2, (26)

z2 = − kmz1 −

b

mz2, (27)

Cuyos puntos de equilibrio ze recaen en el origen (z1, z2) = (0, 0)




Ejercicio:

Determine los puntos de equilibrio para el péndulo expresado por las ecua-ciones (15) y (16).



Plano de fase

El comportamiento de un sistema de segundo orden puede visualizarsemediante diagramas de plano de fase. En un sistema de segundo orden:

x1 = f1(x1, x2), (28)

x2 = f2(x1, x2), (29)

donde:

x1 y x2 son estados del sistema,

f1 y f2 son funciones no lineales.

La solución de este sistema x1(t) y x2(t) (dada una condición inicialx1(0) y x2(0)) forma una trayectoria que se puede representar en unplano de coordenadas x1 y x2, denominado trayectoria de plano de fase.



Plano de Fase

Ejemplo

Considere el sistema dinámico masa resorte con m=1 kg y k=1 kg/s:

x+ x = 0. (30)

La solución de la EDO es:

x1(t) = x1(0)cos(t), (31)

x2(t) = −x1(0)sen(t), (32)

Para una condición inicial (x(0), 0) yelevando al cuadrado las soluciones(31) y (32) se tiene:

x1(t)2 + x2(t)2 = x1(0)2. (33)

Figura: Sistema masa-resorte



Plano de Fase

Siendo un plano con coordenadas x1 y x2 que forma trayectoriascirculares de radio x1(0). A medida que la condición aumenta odisminuye lo hace también la trayectoria como se aprecia en la �gura.

Figura: Trayectoria de Plano de Fase

Para este ejemplo, el método analítico consiste en eliminar la variable detiempo y expresar x1 y x2 en la relación:

g(x1, x2, c) = 0,

Donde c representa el efecto de la condición inicial.Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation


Plano de Fase

Método de Isoclinas: la inclinación de las tangentes a la trayectoria delplano de fase puede ser determinada por:

dx2dx1

=f2(x1, x2)

f1(x1, x2). (34)

Una isoclina es de�nida en lugar de los puntos formados por dichastangentes a las trayectorias



Plano de Fase

Ejemplo

Para el sistema masa-resorte dibujer las isoclinas

x1 = x2x2 = −x1

}=⇒ dx2

dx1= −x1

x2o α = −x1

x2,

Por tanto la ecuación de la isoclina con inclinación α es:

x1 + αx2 = 0.

En la �gura se muestran 4 isoclinaspara α =∞, α = −1, α=0 y α = 1.Se asume que las inclinacionestangentes son localmenteconstantes.

Figura: Isoclinas



Plano de Fase

Método usando software computacional: es su�ciente realizar unalgoritmo de integración numérico Runge-Kutta y realizar simulacionespara diferentes condiciones iniciales. Luego plotear en el plano cartesianodichas trayectorias. Las funciones que usa MATLAB y Gnu Octave sonode45 y plot.



Plano de Fase

Plano de fase de sistemas lineales:Sea el sistema LIT:

x = Ax, A ∈ IR2x2

cuya solución está bien establecida:

x(t) = eAtx0.

Los autovalores de A brindan información respecto a las trayectorias defase

Autovalores λ1, λ2 Punto de equilibrioreal y negativo nodo establereal y positivo nodo inestable

real, signos opuestos sillacomplejo con parte real negativa foco establecomplejo con parte real positiva foco inestable

imaginario centro


Figura: Plano de fase de LIT.


Plano de Fase

Ejercicios

Determine la trayectoria del plano de fase e indique si el punto de equilibrioes foco, modo, silla o centro.

a)

A =

[−1 20 −2

]b)

A =

[1 30 2

]c)

A =

[−1 30 2

]

d)

A =

[−2 10 −2

]e)

A =

[0 −31 −0

]



Plano de Fase

Ciclo límite:Considere el oscilador van der Pol:

x− µ(1− x2)x+ x = 0, µ > 0

El plano de fase muestra que elsistema tiene un nodo inestable en elorigen. Las trayectorias tienden a lacurva cerrada lo que se conoce comoCiclo límite.

Estable si las trayectoriasconvergen hacia él.

Inestable si las trayectoriasdivergen de él.

Figura: Ciclo límite



Plano de Fase

Ejercicios

Usando software diseñe los planos de fase de (SLOTINE)

a)

x1 = x2 − x1(x21 + x22 − 1)

x2 = −x1 − x2(x21 + x22 − 1)

b)

x1 = x2 + x1(x21 + x22 − 1)

x2 = −x1 + x2(x21 + x22 − 1)

c)

x1 = x2 − x1(x21 + x22 − 1)2

x2 = −x1 − x2(x21 + x22 − 1)2



Plano de Fase

Caos: un sistema es considerado caótico si las trayectorias presentancomportamiento aperiódico y son bastantes sensibles a las condicionesiniciales.Comportamiento aperiódico: indica que las trayectorias no se orientan apuntos u órbitas �jas. Sensibilidad: indica que muy pequeñas variacionesde las condiciones iniciales pueden llevar a trayectorias que se desvíanrápidamente y exponencialmente unas de otras.Ambas características de un sistema caótico se aprecian en el sistema deLorentz:

x = σ(y − x)

y = rx− y − xzz = xy − bz, σ, r, b > 0

El teorema de Poincaré-Bendixson establece que el comportamientocaótico se da en sistemas de dimensión mayor a 3.



Funciones Descriptivas

Consideremos la representación de la ecuación de Vander P.L.

Figura: Diagrama de bloques de la ecuación de Vander P.L.

De la ecuación:

x+ αx2x− αx+ x = 0

x− αx+ x

α= −xx2 = v.




Se asume que existe un ciclo limite de amplitud A y frecuencia ω,además que la oscilación de la señal x es de la forma:

x(t) = Asenωt,

x(t) = Aωcosωt.

Por lo tanto la salida del bloque elemento no lineal es:

v = −xx2 = −AωcosωtA2sen2(ωt)

= −A3ω

2(1− cos(2ωt))cos(ωt)

= −A3ω

4(cos(ωt)− cos(3ωt))




El tercer armónico de v (cos(3ωt)) será atenuado por el elemento lineal.De manera que se puede aproximar:

v = −A3ω

4cosωt =

A2

4

d

dt{−Asen(ωt)} =

A2

4(−x),

v = N(A,ω)(−x).

Donde N(A,ω) es la función de aproximación y los bloques resultan:

Figura: Diagrama de bloques resultante




La ecuación característica del diagrama de bloques es:

1 +A2s

4.

α

s2 − αs+ 1= 0

y las entradas:

λ1,2 = −1

8α(A2 − 4)± j

√1

64α2(A2 − 4)2 − 1

El ciclo límite existe con una amplitud A=2 (ya que λ1,2 = ±j) y a unafrecuencia de ω=1 rad/s independientemente del parámetro α. N(A,ω)es llamada función descriptiva del elemento no lineal y será usado aseguir.




Las funciones descriptivas se aplican en un sistema de control real debidoa que existen componentes internos no lineales:

Figura: Diagrama de Bloques

En algunos casos, como el oscilador electrónico, el ciclo límite esdeseable. En la gran mayoría de casos es indeseable por:

1 Es camino a la inestabilidad y degrada el control.2 Dicha oscilación puede causar daño en los componentes físicos del

sistema de control.3 Puede causar efectos indeseables como desconfort en la tripulación

de una aeronave.Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation



Saturación:

Figura: SaturaciónFigura: Saturación

v(t) =

{kAsen(ωt), 0 ≤ ωt < γka, γ < ωt ≤ π/2

La función descriptiva es:

N(A) =2k

π

(sen−1

a

A+a

A

√1− a2

A2

).




Relay:

Figura: Relay

En el caso anterior con a −→ y, k −→∞ y ka = M . Por lo tanto lafunción descriptiva es:

N(A) =4M

πA




Tiempo Muerto:

Figura: Tiempo Muerto

Ancho del tiempo muerto 2δ, inclinación de k A ≥ δ. Bajo esascondiciones la función descriptiva es:

N(A) =2k

π

(π

2− sen−1

(δ

A

)− δ

A

√1− δ2

A2

).




La función descriptiva es expresadaen amplitud y fase:

|N(A)| = 1

A

√a21 + b21

∠N(A) = tg−1(a1/b1),

Figura: Backlash

donde:

a1 =4kb

π

(b

A− 1

),

b1 =Ak

π

π2− sen−1

(2b

A− 1

)−(

2b

A− 1

)√1−

(2b

A− 1

)2 .




Extensión del criterio de Nyquist:Sea la ecuación característica de un sistema de control realimentado.

F (s) = 1 + L(s) = 0

Sea un contorno cerrado Γs en el plano que envuelve Z ceros y P polosde F (s) en sentido horario:

N = Z − P

Figura: Transformación de planos para evaluar el criterio de Nyquist

Podemos trasladar la envolvente del origen del plano F (s) para elenvolvente del punto -1 del plano L(s).




Ejemplo

Para el caso Z = 0 y P = 0 −→ N = 0 (No debería haber ningúnenvolvente)

.F (s) = 1 +KL(s) = 0. Donde K esconstante.

El grá�co de Nyquist

L(s) = −1/KFigura: Diagrama de bloques

Figura: Grá�co de Nyquist




Para el caso de la existencia del ciclo límite, se considera el diagramasiguiente:

Figura: Diagrama de bloques

F (s) = 1 +G(s)N(A,ω) = 0,

L(jω) = G(jω)N(A,ω),

G(jω) = − 1

N(A).




Para el caso de que N(A,ω) no depende de ω, o sea N(A) y

G(jω) = − 1

N(A,ω)

El ciclo límite se encuentra en la interesección de G(jω) y −1/N(A).





Criterio de ciclo límite

Cada punto de intersección entre las curvasG(jω) y−1/N(A) correspondea un ciclo límite. Si los puntos cercan las curvas G(jω) y a lo largo delincremento de A de la curva −1/N(A) no son envueltos por la curvaG(jω), entonces el ciclo límite es estable, de otro nodo es inestable.




Ejemplo

Determine la estabilidad, frecuencia y amplitud de oscilación del ciclo límite(si existe).

Figura: Diagrama de bloques

La función de aproximación es:

N(A) =4M

πA=

4

πA





Como la planta G(jω) tiene 3 polos, entonces:

− s− s+ 1− s+ 2 = −π

−π/2− tg−1ω − tg−1ω2

= −π

Donde ω = 1,41rad/s O sea, G(jω) cruza el eje real en ω=1.41rad/s. Laamplitud A equivale a la amplitud de −1/N(A).

|G(jω)|ω=1,41rad/s =1

N(A),

k(0,167) =1

4/πA,

de donde:

A =4

π0,167k.


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