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SISTEMAS DE CONTROL EN BUCLE ABIERTO Y CERRADO
Tema 3
Indice
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle AbiertoFunción de Transferencia de Pulsos en Bucle CerradoTransformada en Z ModificadaSistemas de Control Discreto con Retardo
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto
La función de transferencia de Pulsos permite analizar los sistemas de control muestreados con la transformada en Z, y se define como la relación entre la transformada en Z de la salida en los instantes de muestreo, y la transformada en Z de la entrada muestreada
e t( ) e t* ( )
T1 − −e
s
Ts c t( )G sp ( )
T
c t* ( )E s( ) E s* ( )
C s* ( )
G s( )
1 244444 344444
G ses
G s eG s
s
Ts
pTs p( ) ( ) ( )
( )=
−⋅ = − ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−−1
1
La función de trasnferencia en bucle abierto sera
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto
La transformada de Laplace de la salida es
y muestreando idealmente
y aplicando la periodicidad de la transformada estrellada
C s G s E s( ) ( ) ( )= ⋅ ∗
C s G s E sT
C s j ksk
∗ ∗ ∗
=−∞
∞
= ⋅ = ⋅ +∑( ) [ ( ) ( )] ( )1
ω
C sT
G s j k E s j ks sk
∗ ∗
=−∞
∞
= ⋅ + ⋅ +∑( ) ( ) ( )1
ω ω
C s E sT
G s j k E s G ssk
∗ ∗ ∗ ∗
=−∞
∞
= ⋅ ⋅ + = ⋅∑( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
ω
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto
Aplicando la equivalencia s-z
que es la función de transferencia de pulsos, relación entre C(z) y E(z) en los instantes de muestreo.
Para calcular G(z), suponiendo la descomposición de G(s) en
C s E s G ss
Tz s
Tz s
Tz
∗=
∗=
∗=
= ⋅( ) ( ) ( )ln ln ln
1 1 1
C z E z G z G zC zE z
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
= ⋅ ⇒ =
G s H s F s( ) ( ) ( )= ⋅ ∗
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto
con H(s) función de s y F*(s) función de de la forma
entonces muestreando
eTs
F s f f e f eTs Ts∗ − −= + ⋅ + ⋅ +( ) 0 1 22 K
G s H s F s G z H z F z∗ ∗ ∗= ⋅ ⇒ = ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }H z Z H s( ) ( )=
F z F se zTs( ) ( )= ∗
=
Para obtener se pueden aplicar varios métodos:{ }Z H s( )
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto
1. Expandir H(s) en fracciones simples y aplicar la equivalencia entre tablas s y tablas z para obtener fracciones simples de H(z).
2. Hallar , y evaluar:
Función de Transferencia de Pulsos en Cascada
Se pueden considerar otras configuraciones donde aparecen más de una planta G1(s) y G2(s), que incluyen las funciones de transferencia de los HOLD0.
h t L H s( ) ( ( ))= −1
H z h kT z k
k( ) ( )= ⋅ −
=
∞
∑0
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto
La presencia o ausencia de un muestreador de entrada es esencial para determinar la función de transferencia de pulsos
Configuración 1:
G s1 ( )T
E s( ) E s* ( )G s2 ( )
C s( )
T
A s( ) A s* ( )
C z G z G z E z( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅2 1
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto
Configuración 2:
G s1 ( )T
E s( ) E s* ( )G s2 ( )
C s( )
C s G s G s E s C z G G z E z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅∗1 2 1 2
{ }G G z Z G s G s G z G z1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ≠ ⋅
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto
Configuración 3:
No existe por tanto una función de transferencia de pulsos
G s1 ( )E s( )
G s2 ( )C s( )
T
A s( ) A s* ( )
C s G s A s G z G E z( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ = ⋅ ⋅∗2 2 1
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto
Sistema en Lazo Abierto con Controlador Digital
El esquema incluye un computador que realiza un procesamiento
Se tratará de hallar la función de transferencia de pulsos del sistema, en bucle abierto
con
c t( )G sp ( )
e t( ) e kT( )
TE s( ) E s* ( ) C s( )
1− −es
Ts u t( )
U s( )
m kT( )
M s* ( )
ControladorD z( )
)()()(
zEzCzGBA =
M z D z E z( ) ( ) ( )= ⋅
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto
C s G s U s G ses
M sp p
Ts
( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ = ⋅−
⋅−
∗1
C s G ses
D s E sp
Ts
( ) ( ) ( ) ( )= ⋅−
⋅ ⋅−
∗ ∗1
Aplicando la transformada estrellada
C sG s
se D s E sp Ts∗ −
∗
∗ ∗= ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ ⋅( )
( )( ) ( ) ( )1
( ) )()(1)( zEzD
G(z)
es(s)G
ZzC Tsp ⋅⋅⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
444 3444 21
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto
La función de transferencia de pulsos será
lo cual no modifica el procedimiento de obtención de la función de transferencia de pulsos de G(z)
C zE z
G z D z( )( )
( ) ( )= ⋅
D z( )T
E s( ) E z( )G z( )
C z( )M z( )
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Cerrado
En un sistema muestreado en lazo cerrado, la presencia o ausencia de un muestreador de salida dentro del bucle determina la diferencia de comportamiento del sistema.
Se tratará de hallar la función de transferencia de pulsos del sistema, en bucle cerrado
G s( ) T
E s( ) E z( )
H s( )
C z( )R s( ) +
- T
)()()(
zRzCzGBC =
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Cerrado
Tomando el error
por tanto
E s R s H s G s E s( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − ⋅ ⋅ ∗
E s R s GH s E s∗ ∗ ∗ ∗= − ⋅( ) ( ) ( ) ( )
E sR sGH s
∗∗
∗=+
( )( )
( )1
C s G s E sG s R s
GH s∗ ∗ ∗
∗ ∗
∗= ⋅ =⋅
+( ) ( ) ( )
( ) ( )( )1
C zR z
G zGH z
( )( )
( )( )
=+1
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Cerrado
Configuración 1:
G s( )T
E s( ) E z( )
H s( )
C z( )R s( ) +
- T
C zR z
G zG z H z
( )( )
( )( ) ( )
=+ ⋅1
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Cerrado
Configuración 2:
T
E s( ) E z( )
H s( )
R s( ) +
-
C z( )G s1 ( )
TG s2 ( )
T
C zR z
G z G zG z G H z
( )( )
( ) ( )( ) ( )
=⋅
+ ⋅1 2
1 21
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Cerrado
Hay otras configuraciones en las cuales no es posible separar de la dinámica del sistema, y no es posible definir GBC(z)
E s( )
H s( )
R s( ) +
-G s1 ( ) T
G s2 ( )C z( )
T
G s( )
T
E s( )
H s( )
C z( )R s( ) +
- T
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Cerrado
Se tratará de hallar la función de transferencia de pulsos del sistema, en bucle cerrado cuando se incluye un controlador
c t( )G sp( )
e t( ) e kT( )
TE s( ) E s*( ) C s( )1− −e
s
Ts u t( )
U s( )
m kT( )
M s*( )
ControladorD z( )
r t( )
R s( )
+
-
G s( )
1 244444 344444
C s G s D s E s( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅∗ ∗
Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Cerrado
Aplicando la transformada estrellada a C(s)
)()()()( sEsDsGsC ∗∗∗∗ ⋅⋅=
))()(()()()()()()( ******** sCsRsDsGsCsCsRsE −⋅⋅=⇒−=
)()(1)()(
)()(
**
**
*
*
sGsDsGsD
sRsC
⋅+⋅
=
)()(1)()(
)()(
zGzDzGzD
zRzC
⋅+⋅
=
Transformada en Z Modificada
El análisis de sistemas en lazo abierto desarrollado no es válido cuando el sistema presenta retardos. Es necesario definir la Z de una función con retardo, que va a llamarse Z modificada.
Sea una señal retardada con )()( TtuTte e ∆−⋅∆−
{ } { } ),()()()()(1
∆=⋅∆−=⋅=∆−⋅∆− −∞
=
∆− ∑ zEzTnTeesEZTtuTteZ n
n
Tse
,10 ≤∆≤
t
e t( )
0
1
t
e t T( )− ∆
0
1
∆T T 2T
Transformada en Z Modificada
La transformada en Z modificada se define a partir de E(z,∆), cambiando , y viene dada por
La Z modificada cumple dos propiedades:
1.
2.
∆ → − ≤ ≤1 0 1m m,
E z m E z e mT z e m T z e m T zm( , ) ( , ) ( ) (( ) ) (( ) )= = ⋅ + + ⋅ + + ⋅ += −
− − −∆∆ 1
1 2 31 2 K
{ }E z m Z E s e Z E sTsm
( , ) ( ) [ ( )]mod= ⋅ =−
= −
∆
∆ 1
E z E z e( , ) ( ) ( )1 0= −
E z z E z( , ) ( )0 1= ⋅−
Transformada en Z Modificada
Sistemas de Control Discreto con Retardo
La transformada modificada se utiliza para determinar la función de transferencia de pulsos de sistemas muestreados con retraso
Haciendo
T
1− −es
Ts)(sG
E s( ) E s* ( ) C s( )stoe−
C s G s e E st s( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅− ∗0
{ }C z Z G s e E zt s( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅− 0
t lT T l0 0 1= + < < ∈∆ ∆ Ζ, ,
Sistemas de Control Discreto con Retardo
{ }C z Z G s e e E zlTs Ts( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ ⋅− −∆
{ }C z z Z G s e E zl Ts( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ ⋅− −∆
La respuesta se obtiene según
C z z G z m E z ml( ) ( , ) ( ),= ⋅ ⋅ = −− 1 ∆