Sistemas de Controle de Aeronaves II

Sistemas de Controle de Aeronaves II

Introdução ao Matlab e Equacionamento longitudinal

de uma aeronave

2012

Eduardo Morgado BeloMateus Moreira de Souza

Parte 1Introdução ao MATLAB

Manipulação de MatrizesManipulação de Gráficos

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Command Window Workspace

Command History

Manipulação de Matrizes no MATLAB

• Criando uma matriz▫ Envolva os elementos da matriz

com [ ].▫ Separe os elementos de uma

linha usando espaços ou vírgula (,).

▫ Use o ponto e vírgula (;) para indicar o final de uma linha.

• A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1]

• A = [16,3,2,13;5,10,11,8;9,6,7,12;4,15,14,1]


• Utilizando elementos de uma matriz.▫ Matriz (linha ,coluna )

• A( 2 , 1 )

• Para selecionar mais de um elemento da matriz.▫ Matriz ( [ linhas ],[ colunas ])

• A( [1 2] , [1 3 4] )


• Usando os dois pontos ( : ).▫ Pode gerar vários elementos

com passo unitário.▫ Valor inicial : Valor final

• 1:10

▫ Pode gerar vários elementos com passo escolhido.

▫ Valor inicial : Passo : Valor final

• 1:2:10


• Usando os dois pontos com matrizes▫ Pode ser utilizado para

selecionar vários elementos de uma matriz.

• A ( 1 : 3 , 1)• A ( 3 , 2 : 2 : 4 )• A ( 2 : 4 , 1 : 2 : 3 )

▫ Pode ser utilizado para selecionar uma linha ou coluna de uma matriz

• A ( : , 1 )• A ( 2 , : )• A ( : , : )


• Operadores▫ + Soma▫ - Subtração▫ * Multiplicação▫ / Divisão▫ ^ Potenciação▫ ‘ Transposta de

matriz e conjugado de número imaginário

▫ ( ) Índice


• Comandos para matrizes▫ zeros (a,b) = Cria uma matriz a x b de 0.▫ ones (a,b) = Cria uma matriz a x b de 1.▫ eye (n) = Cria a matriz identidade de ordem n▫ A (end, : ) = Apresenta a ultima linha de A.▫ sum (A) = Soma dos valores de cada coluna de A.▫ diag(A) = Cria um vetor com os elementos da diagonal de A.▫ transpose(A) = Cria a matriz transposta de A.▫ det (A) = Retorna o determinante de A.▫ rank(A) = Retorna o número de linhas independentes de A. ▫ inv(A) = Cria a matriz inversa de A.▫ eig(A) = Cria um vetor com os autovalores de A.▫ [V,D]=eig(A) = Cria uma matriz D com os autovalores de A e

uma matriz V com os respectivos autovetores.▫ poly(A) = Cria um vetor com os elementos da equação

característica de A.

Exemplo

•Usar os comando para a matriz A:•A=[15 12 4 1; 4 2 9 0; 5 1 0 0; 3 0 0 0];

•Comandos:•A (end, : ) , A (: , end ) , sum (A) , diag(A),

transpose(A) , det (A) , rank(A) , inv(A) , [V,D]=eig(A) , poly(A).

Manipulação de Gráficos no MATLAB

• Criando um gráfico ▫ O comando plot (x,y) cria

um gráfico 2D.• t=0:0.1:2*pi ;• y=sin(t) ;• plot(t,y)

▫ O comando plot(x,y,’prop’) cria um gráfico com as propriedades atribuídas à linha.

• plot(t,y,’r--+’)



• Múltiplos gráficos▫ Usando apenas um comando plot.

• plot(x1,y1,’prop1’,x2,y2,’prop2’)

▫ Usando hold on , hold off.• plot(x1,y1,’prop1’); hold on ; plot(x2,y2,’prop2’); hold off.

▫ Usando subplot.• subplot(2,1,1); plot(x1,y1,’prop1’);• subplot(2,1,2); plot(x2,y2,’prop2’);

▫ Usando figure.• figure(1); plot(x1,y1,’prop1’)• figure(2); plot(x2,y2,’prop2’)


• Utilizando t=0:0.1:2*pi; x=sin(t);y=cos(t);

plot(t,x,’b’,t,y,’r’)

plot(t,x,’g’) ; hold onplot(t,x,’k’) ; hold off

subplot(1,2,1) ; plot(t,x,’b’)subplot(1,2,2) ; plot(t,y,’r’)

figure(1) plot(t,x,’b’)figure(2) plot(t,y,’r’)


•Comandos de edição do gráfico▫ legend(‘x1’, ‘x2’ , ...) = Insere a legenda

de x1, x2, ...▫ title(‘texto’) = Insere o título no

gráfico.▫ xlabel(‘x’) , ylabel(‘y’) , zlabel(‘z’) = Nomeia os eixos x, y

e z respectivamente.▫ axis([xmin xmax ymin ymax]) = Limita a área

apresentada pelo gráfico.▫ axis equal = o incremento nos eixos x e y ficam iguais.▫ grid on = cria uma malha no gráfico.

Exemplo

•t=0:0.1:2*pi; x=sin(t);y=cos(t);•plot(t,x,'r',t,y,'b')•title('Funções seno e cosseno')•xlabel('t')•ylabel('sin(t) e cos(t)')•axis([0 2*pi -1 1])•axis equal•grid on•legend('sin(t)','cos(t)')

Parte 2Sistemas Dinâmicos

Sistemas dinâmicos

•Sistema massa, mola, amortecedor.▫Forma diferencial.

▫Transformada de Laplace.

Sistemas dinâmicos

•Sistema massa, mola, amortecedor.▫Espaço de Estados

▫Função transferência

Sistemas dinâmicos•Comandos de MATLAB para sistemas

dinâmicos▫ SYS = ss(A,B,C,D) = Cria um sistema no espaço de estados.▫ set(SYSEE, 'inputname', {‘u‘ }, 'outputname', {‘y'},... 'statename', {'x‘ }); = Configura o nome das entradas e saídas

do sistema.▫ [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) = Gera o numerador e denominador

da função transferência do sistema no espaço de estados.▫ SYS=tf(num,den) = Cria a função transferência do sistema.▫ roots(den) = Retorna as raízes do polinômio den.▫ step(SYS) = Cria gráficos com a resposta degrau de todas as

entradas para todas as saídas do sistema SYS.▫ impulse(SYS) = Cria gráficos com a resposta impulso de todas

as entradas para todas as saídas do sistema SYS.

Sistemas dinâmicos

•Exemplo▫Escrever o sistema no espaço de estados

•M=2Kg;B=16Ns/m;K=8N/m;▫Obter a função transferência.▫Obter a equação característica.▫Obter as raízes da equação característica▫Resposta a entrada degrau▫Resposta ao impulso

Trabalho

•Escrever um M.file contendo:▫A equações da dinâmica de vôo do Boeing

747 no espaço de estados.▫A função transferência θ/δE.▫A equação característica.▫As raízes da equação característica.▫A resposta de θ à entrada degrau de δE.

▫A resposta de θ à entrada impulso de δE.

Equações do vôo longitudinal

Condição de vôo B747 M=0.8 Altitude=40000 ft

X(N) Z(N) M(m*N)

u (m/s) -1.982*103 -2.595*104 1.593*104

w (m/s) 4.025*103 -9.030*104 -1.563*104

q (rad/s)

0 -4.524*105 -1.521*107

dw/dt (m/s2) 0 1.909*103 -1.702*104

δE (rad)

-54.23 -5.181*106 -1.707*106

W (N) S (m2 ) c (m) b (m) Ix

(Kg*m2)Iy

(Kg*m2)

2.8317*106

511 8.324 59.64 0.247*108 0.449*108

Iz (Kg*m2)

Izx Kg*m2)

u0 (m) ρ (Kg/m3) CL0 CD0

0.673*108 -0.212*107

235.9 0.3045 0.654 0.0430

Referências

•Help MATLAB•Etkin, B. . ’Dynamics of flight : stability

and control’, 3ª ed.. Wiley.

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