SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Sean las Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden: X ' 1 ( t ) =a 11 X 1 ( t ) +a 12 X 2 ( t ) +… +a 1n X n ( t ) +f 1 ( t) X ' 2 ( t ) =a 21 X 1 ( t ) +a 22 X 2 ( t ) +… +a 2n X n ( t ) +f 2 ( t) ⋮ Este sistema de EDL se puede transformar a un sistema matricial de EDL: X ' ( t) = AX ( t) +f ( t) … ( II) Donde: X ( t )= [ X 1( t) ,X 2 (t ) ,…,X n (t ) ] T f ( t) = [ f 1( t) ,f 2( t) ,…,f n( t) ] T X ' ( t) = [ X' 1( t) ,X' 2 (t ) ,…,X' n ( t) ] T A =( a ij ) nxn ;i,j=1,2 ,…,n Teorema : Toda familia { ϕ 1 ( t) ,ϕ 2 (t ) ,…,ϕ n( t) } de soluciones del sistema (I), admite un vector solución ϕ ( t) el sistema (II) y viceversa de tal manera que: a ¿ ϕ i( t) es declase C +¿¿ b ¿ ϕ' i( t) = ∑ j=i n a ij ϕ j ( t ) + f i ( t) ;∀i=1,2 ,…,n Conceptos fundamentales: De (II): 1. Si: f ( t ) =0 →X ' ( t )= AX ( t ) ( Sistema matricial homogeneo) 2. Si: f ( t ) ≠ 0 →X ' ( t) =AX ( t) + f( t)( Sistemamatricial no homogeneo ) 3. La solución general de un sistema matricial no homogéneo X ' ( t) = AX ( t) +f ( t) Es: X ( t )= X h ( t ) ⏟ Solución homogénea + X P ( t) ⏟ Solución nohomogénea SISTEMAS HOMOGÉNEOS
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales LinealesSistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
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SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESSean las Ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden:
Este sistema de EDL se puede transformar a un sistema matricial
de EDL:
Donde:
Teorema:Toda familia de soluciones del sistema (I), admite un
vector solucin el sistema (II) y viceversa de tal manera que:
Conceptos fundamentales: De (II):1. Si: 2. Si: 3. La solucin
general de un sistema matricial no homogneo Es: SISTEMAS
HOMOGNEOSSea el sistema:
Donde es una matriz fundamental del sistema, es aquella matriz
en la cual sus vectores columna son soluciones linealmente
independientes de.Si Luego: Adems cada vector solucin es de la
forma: Donde: es un valor propio de . es un vector propio de .
