IGUALDADES, IDENTIDADES Y ECUACIONES

TRIGONOMETRACSAR H. AGUILAR RAMOS

En geometra plana, un ngulo se define generalmente como la figura geomtrica determinada por dos rayos que parten de un punto, en Trigonometra es comn considerar que un ngulo es generado por un rayo que gira alrededor de su eje que se considera fijo.

1. ANGULO TRIGONOMTRICOLa magnitud de un ngulo trigonomtrico viene dada por la rotacin de un rayo (Lado inicial) alrededor de su extremo hasta su posicin Terminal (Lado final).

Se dice que un ngulo es positivo si la rotacin es antihoraria y negativo si es horaria. Del grfico podemos afirmar que es un ngulo positivo y es un ngulo negativo.Una flecha curva indicar el sentido de la rotacin y adems la magnitud de un ngulo trigonomtrico.

De la definicin podemos deducir que un ngulo trigonomtrico no tiene lmites con respecto a su magnitud

Puede ser representado por cualquier nmero Real.

2. SISTEMAS DE MEDIDA ANGULARI. SISTEMA SEXAGESIMAL (Sistema Ingls) ( S )En este sistema consideramos al ngulo de una vuelta dividido en 360 partes iguales y a cada parte se le denomina un GRADO SEXAGESIMAL, a cada grado se le divide en 60 partes iguales y a cada parte se le denomina MINUTO SEXAGESIMAL, a su vez cada minuto se le divide en 60 partes iguales y a cada parte se le denomina SEGUNDO SEXAGESIMAL.NOTACINEQUIVALENCIAS

1 Grado Sexagesimal : 1

1 Minuto Sexagesimal : 1

1 Segundo Sexagesimal: 1 1 = 60= 3 600

1= 60

II. SISTEMA CENTECIMAL (Sistema Francs) ( C )En este sistema consideramos al ngulo de una vuelta dividido en 400 partes iguales y a cada parte se le denomina un GRADO CENTESIMAL, a cada grado se le divide en 100 partes iguales y a cada parte se le denomina MINUTO CENTESIMAL, a su vez cada minuto se le divide en 100 partes iguales y a cada parte se le denomina SEGUNDO CENTESIMAL.NOTACINEQUIVALENCIAS

1 Grado Centesimal : 1 g 1 Minuto Centesimal : 1 m

1 Segundo Centesimal: 1 s 1 g = 100 m = 10 000 s 1 m = 100 s

III. SISTEMA RADIAL (Sistema Circular) ( R )En este sistema la unidad angular es el radin. Un radin se define como la medida del ngulo central que subtiende en cualquier circunferencia un arco de longitud igual al radio. (En la figura adjunta el ngulo mide un radin).

Analizamos que:

A 1 rad le corresponde un arco de longitud r

A 1 v le corresponde la circunferencia de longitud

Angulo Longitud

1 radian ----------------------- r

1 vuelta ----------------------

Entonces:

En este sistema el ngulo de una vuelta mide radianes.

Con frecuencia, un ngulo en radianes se expresa como fraccin de ; adems si la unidad de medida de un ngulo no se estipula, se sobreentiende que es el radin as:

; ;

Aproximaciones de : ;

3. RELACIN DE CONVERSIN DE LOS TRES SISTEMAS

Sean Y los nmeros que representan la medida de un ngulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente.Sabemos que:

Entonces se cumple:

simplificando:

Frmula o relacin de conversin

( ( (

Equivalentemente:

( ( (

CONVERSIN DE UNIDADES ANGULARES1. De un sistema a otroSe utiliza las siguientes igualdades:

( ( (

A la medida angular que se va a convertir se le multiplica por una fraccin de la forma.

Unidad que se quiere

Unidad que se tiene

Ejemplo:

Convertir a grados sexagesimales:

2. En un sistemaEn un sistema de medicin dado, para pasar de unidad superior a una inferior se MULTIPLICA por la equivalencia respectiva. Para pasar de una unidad superior se DIVIDE entre la equivalencia respectiva.

Para una mejor comprensin seguir el siguiente esquema, en el cual el significado de las flechas es el siguiente:

Equivalencias Usuales:

RELACIN ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y CENTECIMALSabemos que: ; Simplificando se obtiene:

OBSERVACIONES:1) 1 radin = 57 17 44 = 63 g 66 m 19,77 s 2) 1 radin > 1 > 1 g 1 > 1 m 1 > 1 s3) Para todo ngulo positivo: C > S > R

1. Convertir 36 a ( g )2. Convertir 120 a ( g )

3. Convertir 15 a (rad)4. Convertir rad a ( )5. Convertir 80 g a (rad)6. Convertir rad a ( g )7. Convertir 81 a ()8. Convertir9. Convertir 10. Convertir11. Simplificar 12. aso13. Si14. Sea: calcus del rango.15. Dado:16. or.17. El nmero de grados sexagesimales de u ngulo ms el nmero de grados centesimales del mismo ngulo es igual a 76. Calcular la medida de dicho ngulo en grados sexagesimales.A) B) C) D) E)

18. El nmero de grados centesimales de un ngulo menos el nmero de grados sexagesimales del mismo ngulo es igual a 4, calcular la medida de dicho ngulo. A) B) C) D) E)

19. Hallar R en S + C + R = 380 +

A) B) C) D) E)

20. Simplificar la expresin:

A) B) C) D) E)

21. Hallar en:

A) B) C) D) E)

22. Hallar en

A) B) C) D) E)

23. Hallar en:

A) B) C) D) E)

1. De las grficas siguientes Cules no corresponden a una funcin? I IIA) I, III Y IV B) Slo IV C) V y VI D) IV y V E) I, V y VI

2. Cules de las relaciones (diagramas) si representan funciones? Por qu? f g

A) F y H B) F y G C) F, H y G D) f, G, g y h E) todas3. De las siguientes relaciones. Cules no son funciones?I.

II.

III.

IV.

V.

A) I y II B) II y III C) III, IV y V D) III y V E) Slo III

4. Determine el valor de si la relacin: Es una funcinA) 0 B) 11 C) -7 D) 19 E) 18

5. Sabiendo que: es una funcin, calcular

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. Calcule la suma de valores de X tal que la relacin: no sea una funcinA) 8 B) 13 C) 7 D) 20 E) 11

7. Sea:

A) B) C) D) E)

8. En los siguientes diagramas cual es una funcin:A) Slo III B) I, II y III C) II y III D) I y II E) I y III

9. Dada la grfica de la funcin. Hallar el dominio y rango de f.A) B) C) D) E)

10. Sea f una funcin real, tal que: ; El rango de f es:A) B) C) D) E)

11. Dada la funcin: cuya grfica es:A) 11 B) -13 C) -15 D) -10 E) -8

12. Para que: sea una funcin, calcular A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

13. Si: {ab} R y

es una funcin, calcule el valor de a 2 A) 7/4 B) 16/49 C) 4/7 D) 49/16 E) 9/4

14. Hallar el dominio de la funcin: A) B) C) { } D) E)

15. Si: es el rango de la funcin calcular:

A) 30/31 B) -2 C) -30/31 D) 1/2 E) 4

16. Dada la funcin: hallar el rango de la funcin:A) B) {2} C) {-2} D) E) {-2;2}

17. Sea F una funcin definida por la ecuacin: . Hallar

A) 3p+11 B) 3p+15 C) 3p+22 D) 3p-22 E) 3p-1518. Sea la funcin: si: , entonces es verdad que:A) A + B + 4C = 0 B) -4 A = 3B - C C) -4 A - 3B = - C D) 4A +3B + C = 0 E) 4A + B + 3C = 019. Dada la funcin real de variable real definida as: , su dominio es:A) B) C) D) E)

20. Hallar el rango de la funcin:

A) B) C) D) E)

EMBED Equation.3

sexagesimal

centesimal

Grados minutos

Minutos

segundos

Grados segundos

S : Numero de Grados Sexagesimales

C : Numero de Grados Centesimales

m : Numero de minutos Sexagesimales

n : Numero de minutos Centesimales

p : Numero de segundos Sexagesimales

q : Numero de segundos Centesimales

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Pg. 3

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