Unidad I sistemas de fuerzas, momentos y medicion

Universidad Autónoma de San Luis Potosí Facultad del Hábitat

Licenciado en Edificación y Administrador de Obras Propiedades y Laboratorio de Materiales

Ing. Elma Farías Oliva Junio 2015

UNIDAD I

SISTEMA DE FUERZAS, MOMENTOS Y MEDICIÓN

INTRODUCCIÓN A LA ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES

¿QUE ES LA MECÁNICA?

Rama de la física que puede definirse como la ciencia que describe y predice las

condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas. Se divide en

tres partes:

La mecánica tiene aplicación en múltiples campos profesionales, sobre todo en la

astronomía, en la cual se estudian las leyes de los movimientos de los cuerpos celestes; en

la ingeniería mecánica, eléctrica, electrónica, civil, aeronáutica y del espacio, etc., así

como en todas las obras de arquitectura que para su estabilidad, tanto de los cimientos

como de la construcción en general, requieren de la correcta aplicación de todos los

principios y leyes que rigen a esta rama de la física.

Cuerpos Rígidos

Cuerpos Deformables

Mecánica de Fluidos

(Gas y Líquidos

Estática: cuerpos en reposo

Dinámica: cuerpos en movimiento

Resistencia de Materiales

Incomprensible

Comprensibles

Hidráulica, cuando

se trata del agua.

Mecánica




ESTÁTICA

Estudia los cuerpos en estado de reposo o equilibrio

El concepto de equilibrio o reposo es relativo porque cualquier cuerpo sobre la tierra que

este en tal caso, en realidad está en movimiento debido a la rotación y traslación de

nuestro planeta; sin embrago, con respecto a la tierra si puede estar en reposos y,

precisamente, este es el fenómeno que estudia la estática

RESEÑA HISTÓRICA

Nos remontamos a las primeras nociones que se tienen respecto a la ciencia llamada

estática. Al ilustre matemática y físico Arquímedes (287-212 a.c) se debe el planteamiento

científico del equilibrio y teoría de la palanca.

Fue Leonardo Da Vinci (1452-1519) quien dio un paso adelante en la afirmación de tal

concepto, estableciendo que para las condiciones de equilibrio en la palanca, no es

preciso tener en cuenta solo las longitudes de los brazos, sino las distancias

perpendiculares del punto de apoyo a las rectas, según las cuales actúan las fuerzas.

Galileo Galilei formulo las leyes que rigen la aceleración en la caída de los cuerpos después

de Isaac Newton (1642-1727), con sus famosas leyes de Newton, da a conocer el método

de las tangentes y el cálculo diferencial en sus inicios.

La estática y sus leyes fundamentales tuvieron aplicación práctica hasta fines del siglo

XVIII, ya que solo la conocía un reducido grupo de sabios e investigadores y, como los

constructores desconocían esa ciencia, usaban las formas y materiales tradicionales, como

son la piedra y la madera.

La introducción del acero como material de construcción en la segunda mitad del siglo XIX

adquiere una importancia enorme y permite considerarlo como un nuevo y perfecto

elemento estructural resistente; a partir de ese tiempo comienza en la ingeniería y en la

arquitectura la asimilación de las normas de la Estática.

Con el dominio de las estructuras metálicas florece la estática aplicada y a aquellas se las

considera su principal propulsor al utilizarse en la construcción de todo género de

edificios; posteriormente recibe el apoyo definitivo y decisivo a través del concreto

reforzado. Es importante hacer notar que también la estática aplicada tiene un gran

empleo en el cálculo de cimentaciones, muros, cubiertas, etc., de materiales tales como

tabique, piedra, madera y en general cualquier material de construcción.




RESISTENCIA DE MATERIALES

La resistencia de materiales amplia el estudio de las fuerzas que se inicia en la mecánica,

pero existe una clara diferencia entre ambas materias. El campo de la mecánica abarca

fundamentalmente las relaciones entre las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido.

El contraste con la mecánica, la resistencia de materiales estudia y establece las relaciones

entre las cargas exteriores aplicadas y sus efectos en el interior de los sólidos. Además no

supone que los sólidos son idealmente rígidos, como en la mecánica, sino que las

deformaciones por pequeñas que sean, tienen gran interés. Las propiedades del material

de que se construye una estructura o maquina afectan tanto a su elección como a su

dimensionado, ya que deben de satisfacer ciertas condiciones de resistencia y rigidez.

Las maquinas o estructuras de ingeniería, como automóviles, aeroplanos, puentes,

edificios, generadores eléctricos y turbinas de vapor, se construyen generalmente uniendo

o ensamblando diversos cuerpos, llamados piezas o miembros, de una manera tal que la

estructura, montaje o máquina, desarrolle una función determinada. En muchas de dichas

estructuras, la función principal de un miembro es resistir las fuerzas externas, llamadas

cargas, que le son aplicables.

Frecuentemente se les llama miembros resistentes a las cargas, pues aunque pueden

tener otras funciones en la estructura, la principal condición que deben satisfacer, es que

resistan las cargas sin motivar que la estructura deje de trabajar satisfactoriamente.

Las teorías de la resistencia de materiales tienen como objetivo establecer los criterios

que nos permitan determinar el material más conveniente, la forma y las dimensiones

más adecuadas que hay que dar a los elementos de una construcción o de una máquina

para que puedan resistir la acción de las fuerzas exteriores que la solicitan, así como

obtener este resultado de la forma más económica posible.

UNIDADES DE MEDICIÓN Y CONVERSIONES

Sistemas de Unidades

Con los cuatros conceptos fundamentales introducidos en la sección anterior se asocian

las llamadas unidades cinéticas, es decir de longitud, tiempo, masa y fuerza. Tres de ellas

pueden definirse arbitrariamente; se les llama unidades básicas. La cuarta unidad, sin

embrago, se identifica como unidad derivada. Se dice que las unidades cinéticas así

seleccionadas forman un sistema congruente de unidades.




El sistema internacional de unidades (SI)

En este sistemas, será de uso universal cuando los Estados Unidos completen su

conversión actual, las unidades básicas son las de longitudes masa y tiempo, y se llaman,

respectivamente, metro /(m), kilogramo (kg) y segundo (s). Las tres están definidas

arbitrariamente. El segundo, que representa la 1/86 400 parte del día solar medio, se

define como la duración de 9 192 631 770 ciclos de la radiación emitida en una transición

especifica del átomo de cesio. El metro, que intento representar una diezmillonésima

parte de la distancia del ecuador al polo, se define ahora como 1 650763.73 longitudes de

onda de la línea naranja roja del criptón 86. El kilogramo, que es aproximadamente igual a

la masa de 0.0001m3 de agua, se define como la masa de un patrón de platino.

El sistema internacional de unidades es en esencia el mismo que se reconoce como

sistema métrico. El comité internacional de pesas y medidas ha establecido siete

cantidades básicas y ha asignado unidades básicas oficiales a cada cantidad.

Cantidad Unidad Símbolo

Longitud Metro M

Masa Kilogramo Kg

Tiempo Segundos S

Corriente eléctrica Ampere A

Temperatura Kelvin K

Intensidad luminosa Candela Cd

Cantidad de sustancia

Mol mol

UNIDADES COMPLEMENTARIAS

Cantidad Unidad Símbolo

Ángulo plano Radian rad

Ángulo solido Estereorradián sr

Cada una de las unidades que aparecen en la tabla tiene una definición medible y

específica que puede ser duplicada en cualquier parte del mundo. De estas unidades

básicas solo una, el kilogramo, se define en general en términos de una muestra física

individual. Esta muestra estándar se guarda en la oficina internacional de pesos y medidas

en Francia.




Es posible medir muchas cantidades tales como volumen, presión, velocidad y

fuerza, que son combinaciones de dos o más cantidades fundamentales. Sin embargo,

nadie ha encontrado jamás una medida que no pueda ser expresada en términos de

longitud, masa, tiempo, corriente eléctrica, temperatura, intensidad luminosa o cantidad

de sustancia. Las combinaciones de estas unidades se denominan cantidades derivadas, y

se miden en unidades derivadas.

Se dice que el sistema internacional de unidades forma un sistema absoluto de unidades:

esto significa que las tres unidades básicas son independientes del lugar en donde se

utilicen las medidas. El metro, el kilogramo y el segundo pueden utilizarse enn cualquier

lugar de la tierra; incluso pueden emplearse en cualquier lugar de la tierra; incluso pueden

emplearse en cualquier planeta y seguirán siendo las mismas.




Principales unidades del SI empleadas en mecánica

Cantidad Unidad Símbolo Fórmula

Aceleración Metro por segundo al cuadrado

m/s2 ---

Angulo Radian rad

Aceleración angular

Radian por segundo al cuadrado

rad/s2

Velocidad angular

Radian por segundo

rad/s ---

Área Metro cuadrado

m2 ---

Densidad Kilogramo por metro cubico

kg/m3 ---

Energía Joule N. m J

Fuerza Newton kg.m/s2 N

Frecuencia Hertz s-1 Hz

Impulso Newton-segundo

Kg.m/s2 ---

Longitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Momento de una fuerza

Newton-metro

N-m ---

Potencia Watt J/s W

Presión Pascal N/m2 Pa

Esfuerzo Pascal N/m2 Pa

Tiempo Segundo s

Velocidad Metro por segundo

m/s ---

Volumen, solidos

Metro cúbico m3 ---

Líquidos Litro 10-3m3 L

Trabajo Joule Nm J

Sistema ingles de uso común en Estados Unidos (UseS)

La mayoría de los ingenieros estadounidenses continúan usando un sistema en el que las

unidades básicas son las unidades de longitud, fuerza y tiempo. Estas unidades son,




respectivamente, el pie* (ft), la libra (lb), y el segundo (s). El segundo (s) es

idéntico a la unidad del SI. El pie se define como 0.3048m. La libra está definida como el

peso de un patrón de platino llamado libra estándar y que está en el National Bureau of

Standards en Washington; su masa es de 0.453 59243 kg. Como el peso de un cuerpo

depende de la atracción gravitacional de la Tierra, la cual varia con la ubicación, se

especifica que la libra estándar debe estar colocada al nivel del mar y a una altura de 45°

para definir correctamente la fuerza de una libra. Estas unidades no forman un sistema de

unidades absoluto: a causa de su dependencia respecto de la atracción terrestre

constituyen un sistema de unidades gravitacional.

Conversión de un sistema de unidades en otro

Existen muchas situaciones en las que un ingeniero necesita convertir las unidades del SI

un resultado numérico obtenido en las unidades de uso común en Estados Unidos o

viceversa. Como la unidad de tiempo es la misma en ambos sistemas solo se necesita

transformar dos unidades básicas y, puesto que todas las demás unidades cinéticas

pueden derivarse de estas unidades básicas, solo se requiere dos factores de conversión.

Unidades de longitud. Por definición, la unidad de longitud de eso común en Estados

Unidos es

Unidades de fuerza. Si recordamos que la unidad de fuerza de uso común en Estados

Unidos (la libra) está definida como el peso de una libra estándar (de masa 0.4536kg) al

nivel del mar y a una latitud de 45° (donde g= 9.807 m/s2), y usando la ecuación (W= mg),

escribimos

O bien

Se sigue que c1 ft==.3048m

1 mi = 5280 ft = 5280(0.3048m) = 1609m

1 mi = 1609 km

También

O bien

1 in = (1/12)ft = (1/12)0.3048 m = 0.0254m

1 in = 25.4 mm




Unidades de masa. La unidad de masa en el sistema de uso común en Estados Unidos (el

slug) es una unidad derivada. Así, que podemos escribir

Aunque no puede usarse como unidad de masa consistente, recordemos que la masa de la

libra estándar es, por definición

Esta constante puede usarse para determinar la masa en unidades SI (kilogramos) de un

cuerpo que este caracterizado por su peso en el sistema de unidades de uso común en

Estados Unidos (libras).

Para convertir una unidad derivada de uso común en Estados Unidos en una unidad del SI,

simplemente se multiplica o se divide por los factores de conversión apropiados. Por

ejemplo, para convertir al sistema SI el momento de una fuerza de M = 47lb.in, escribimos

M = 47lb.in = 47 (4.448N)(25.4mm) = 5310 N – mm = 5.31 N – m

FUERZAS Y SUS ACCIONES

Concepto de fuerza:

La idea de fuerza es uno de los conceptos fundamentales sobres los que descansa la

mecánica

Fuerza: es la acción que se ejerce sobre un cuerpo, y que cambia o tiende a

cambiar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo libre sobre el que

actúa.

1 lb = 4.448 N

W = mg

1lb = (0.4536kg) (9.807m/s2) = 4.448kg-m/s2

O bien

1 slug = 1 lb.s2/ft = 14.59kg

1 masa de libra = 0.4536kg




Características de una fuerza:

Magnitud

Dirección

Sentido

Posición o punto de aplicación

Una fuerza es un vector:

La posición puede quedar determinada por las coordenadas (x,y) de un punto que

pertenezca a la línea de acción de la fuerza, por la ordenada al origen, b, o por la distancia

al origen p (desde la recta de referencia hasta 0[0.0].

Efectos externos de una fuerza:

Cuando sobre un cuerpo se aplica

una fuerza o un sistema de fuerzas,

estas producen en el cuerpo un

movimiento o una aceleración, pero

si el cuerpo está imposibilitado a

moverse aparecerán ciertas

reacciones que van a equilibrar a las

primeras fuerzas (para que el cuerpo

quede estático). Estas reacciones son los efectos externos que produjeron una fuerza o

cualquier sistema de fuerzas.

Línea de Acción Magnitud

Sentido

Dirección

Ø




Efectos internos de una fuerza:

Cuando se ha aplicado una fuerza sobre un cuerpo y este está imposibilitado para

moverse, el cuerpo sufre ciertas deformaciones en su material; estas deformaciones son

los efectos internos de la fuerza.

El movimiento de un cuerpo lo determina la resultante de las fuerzas que actúan sobre el

mismo. Por consiguiente, para estudiar los movimientos de los cuerpos físicos es preciso

partir del conocimiento de la resultante de los diversos sistemas de fuerzas, y de los

métodos para expresar las características de las resultantes en función de las fuerzas del

sistema.

FUERZAS SOBRE LAS ESTRUCTURAS

Acción de la estructura: Flujo de fuerzas y trasmisión de cargas

Las estructuras naturales y técnicas tienen como misión, no solo soportar el peso propio

de objeto, sino también las cargas adicionales (sobrecargas). Este proceso se describe

como transmisión de fuerzas.

Sin embargo, lo esencial del proceso de transmisión de cargas no es la acción, fácilmente

imaginable, de la recepción de esfuerzos, sino el proceso interno de transmisión de

esfuerzos. Sin la capacidad para transmitir las cargas, un elemento no es estable, ni frente

a su peso propio, ni mucho menos frente a las sobre cargas

Por lo tanto, una estructura trabaja a tres niveles consecutivos:

1. Recepción de cargas

2. Flujo de cargas

3. Transmisión de cargas

Este proceso se describe como FLUJO DE FUERZAS. Es la idea básica para el diseño de

estructuras. A partir del recorrido de las cargas también se puede valorar la rentabilidad

de una estructura.

El flujo de fuerzas no plantea problemas en tanto que la forma del objeto se adapte a la

dirección de las solicitaciones. En el caso de las cargas gravitacionales se daría este caso si

la materia estuviera relacionada de la manera más directa y a la menor distancia posible

con tierra, el punto de descarga de las solicitaciones. Sin embargo, aparece un problema

cuando la transmisión de cargas no se lleva a cabo tan directamente y ha de recorrer

caminos secundarios.

El diseño de estructuras en el campo de la técnica tiene como misión desarrollar un

sistema de flujo de fuerzas que responda a una imagen funcional prefijada, o, como




mínimo, se aproxime mucho a ella. Se trata de transformar la imagen de las

fuerzas actuantes en una nueva imagen de fuerzas con una acción global similar mediante

la materia ya sea transformando la propia forma funcional, reforzando la materia de la

forma o mediante construcciones auxiliares.

Una nueva configuración de fuerzas se crea menos por el cambio dela dimensión de la

fuerza que por la nueva orientación de la dirección de la fuerza en el espacio. Así, esta

última es determinante para la dimensión de los esfuerzos que inciden en el objeto.

El cambio de dirección de los esfuerzos (o fuerzas

que fluyen en el interior de la estructura) es la

premisa mediante la cual se crean nuevas

configuraciones de esfuerzos. Con otras palabras: la

transmisión de los esfuerzos se debe realizar por

nuevas vías, o sea, debe ser desviado. EL DESVIO DE

LOS ESFUERZOS es, por ello, el principio de guiado

del flujo de fuerzas en el objeto.

Como conclusión: el conocimiento de los

mecanismos existentes para desviar las fuerzas en

otra dirección es la premisa fundamental para el

desarrollo de nuevas configuraciones de fuerzas. La

ciencia de las posibilidades del desvió de fuerzas es el

nuevo de las estructuras y el fundamento para un

orden de los sistema estructurales.

Se consideran como cargas muertas los pesos de

todos los elementos constructivos, de los acabados

y de todos los elementos que ocupan posición

permanente y tienen un peso que no cambia

sustancialmente con el tiempo.




Para la evaluación de las cargas muertas se emplearan las dimensiones

especificadas de los elementos constructivos y los pesos unitarios de los materiales. Para

estos últimos se utilizaran valores mínimos probables cuando sea más desfavorable para

la estabilidad de la estructura considerar una carga muerta menor, como en el caso de

volteo, flotación, lastre y succión producida por viento. En otros casos se emplearan

valores máximos probables.

El peso muerto calculado de losas de concreto de peso normal coladas en lugar se

incrementará en 20 kg/m2. Cuando sobre una losa colada en el lugar o pre colada, se

coloque una capa de mortero de peso normal, el peso calculado de esta capa se

incrementara también en 20 kg/m2, de manera que el incremento total será 40 kg/m2.

Tratándose de losas y morteros que poseen pesos volumétricos diferentes del normal,

estos valores se modificaran en proporción a los pesos volumétricos.

Estos aumentos no se aplicaran cuando el efecto de la carga muerta sea favorable a la

estabilidad de la estructura.

Cargas Vivas

Se consideran cargas vivas las fuerzas que se

producen por el uso y ocupación de las

edificaciones y que no tienen carácter

permanente. A que se justifiquen

racionalmente otros valores, estas cargas se

tomaran iguales las especificaciones en el

siguiente párrafo. Las cargas especificadas no

incluyen el peso de muros divisorios de

mampostería o de otros materiales, ni el de

muebles, equipos u objetos de peso fuera de lo

común, como cajas fuertes de gran tamaño,

archivos importantes, libreros pesados o cortinajes en salas de espectáculos. Cuando se

prevean tales cargas deberán cuantificarse y tomarse en cuenta en el diseño en forma

independiente de la carga viva especificada. Los valores adoptados deberán justificarse en

la memoria de cálculo e indicarse en los planos estructurales.




Para la aplicación de las cargas vivas unitarias se deberá tomar en consideración las

siguientes disposiciones:

I. La carga viva máxima Wm se deberá emplear para diseño estructural por fuerzas

gravitacionales y para calcular asentamientos inmediatos en suelos, así como en el

diseño estructural de los cimientos ante cargas gravitacionales;

II. La carga instantánea Wa se deberá usar para diseño sísmico y por viento y cuando

se revisen distribuciones de carga más desfavorables que la uniformemente

repartida sobre todo el área;

III. La carga media W se deberá emplear en el cálculo de asentamientos diferidos y

para el cálculo de flechas diferidas.

IV. Cuando el efecto de la carga viva sea favorable para la estabilidad de la estructura

como en el caso de problemas de flotación, volteo y de succión por viento, su

intensidad se considerara nula sobre toda el área, a menos que pueda justificarse

otro valor acorde con la definición del artículo 187 de este Reglamento, y

V. Las cargas uniformes de la tabla que se muestra a continuación, se considerarán

distribuidas sobre el área tributaria de cada elemento.




Tabla B. de cargas vivas unitarias, en kg/m2




Observaciones a la tabla de cargas vivas unitarias:

1. Para elementos con área tributaria mayor de 36m2 , Wm podrá reducirse,

tomándola igual a 100 + 420 A (-1/2) (A es el área tributaria en m2). Cuando sea

más desfavorable se considerara en lugar de Wm, una carga de 500kg aplicada

sobre un área de 50x50 cm en la posición más crítica.

Para sistemas de pisos ligeros con cubierta rigidizante, se considerara en lugar de

Wm, cuando sea más desfavorable, una carga concentrada de 250Kg para el baño

de los elementos de soporte y de 100kg para el diseño de la cubierta, en ambos

casos ubicadas en la posición más desfavorable.

Se consideraran sistemas de piso ligero aquellos formados por tres o más

miembros aproximadamente paralelos y deparados entre si no más de 80 cm y

unidos con una cubierta de madera contrachapada, de duelas de madera bien

clavadas u otro material que proporcione una rigidez equivalente.

2. Para elementos con área tributaria mayor de 36m2 , Wm podrá reducirse,

tomándola igual a 180+420 A (-1/2) (A es el área tributaria en m2). Cuando se más

desfavorable se considerara en lugar de Wm, cuando sea más desfavorable, una

carga concentrada de 500kg, para el diseño delos elementos de soporte y de 150kg

para el diseño de la cubierta, ubicadas en la posición desfavorable.

3. En áreas de comunicación de casas de habitación y edificios de departamentos se

considerara la misma carga viva en el caso de la tabla B

4. Para el diseño de los pretiles y barandales en escaleras, rampas, pasillos y

balcones, se deberá fijar una carga por metro lineal no menor de 100kg/ml

actuando al nivel de pasamanos y en la dirección más desfavorable.

5. En estos casos deberá presentarse particular atención a revisión de los estados

límite de servicio relativos a vibraciones

6. Atendiendo al destino del piso se determinará con los criterios siguientes, la carga

unitaria, Wm, que no será inferior a 350kg/m2 , deberá especificarse en los planos

estructurales y en placas colocadas en lugares fácilmente visibles de la edificación

7. Las cargas vivas especificadas para cubiertas y azoteas no incluyen las cargas

producidas por tinacos y anuncios, ni las que se deben a equipos u objetos pesados

que puedan apoyarse en o colgarse del techo. Estas cargas deben preverse por

separado y especificarse en los planos estructurales. Adicionalmente, los

elementos de las cubiertas y azoteas, deberán revisarse con una carga concentrada

de 100kg en la posición más crítica.

8. Además, en el fondo de los valles de techos inclinados se considerará una carga,

debida al granizo de 30kg por cada metro cuadrado de proyección horizontal del

techo que desagüe hacia el valle. Esta carga se considerará como una acción




accidental para fines e revisión de la seguridad y se le aplicaran los factores de

cargos correspondientes.

9. Más una concentración de 100kg, en el lugar más desfavorable del miembro

estructural de que se trate.

Se han incrementado notablemente los valores de las cargas vivas en Oficinas,

estacionamientos y lugares de reunión.

Durante el proceso de edificación deberán considerarse las cargas vivas transitorias que

puedan producirse; estas incluirán el peso de los materiales que se almacenes

temporalmente, el de los vehículos y equipo, el de colado plantas superiores que se

apoyen en la planta que se analiza y del personal necesario, no siendo este último peso

menor que 150kg/m2. Se considerara además una concentración de 150 kg en el lugar más

desfavorable.

El propietario o poseedor será responsable de los prejuicios que ocasione el cambio de

uso de una edificación, cuando produzca cargas muertas o vivas mayores o con una

distribución más desfavorable que las del diseño aprobado.

El propietario, deberá vigilar las cargas a las que se someta su propiedad por terceros, de

modificarse éstas, el D.R.0., y sus Corresponsables en su caso no tendrán, ninguna

responsabilidad en caso de falla de la estructura, el D.R.0., deberá hacer notar al

Departamento si las cargas, han sido modificadas por los arrendatarios o el propietario

para deslindar su responsabilidad.

FUERZAS COLINEALES

Las fuerzas colineales son aquellas que trabajan sobre la misma línea de acción, es decir

que siguen la misma trayectoria. Ejemplo:

Se tiene una familia que pasea una bicicleta múltiple como se muestra en la figura:

De izquierda a derecha tenemos que la niña coopera con un impulso de 6kg, el jovencito

coopera con 8kg, la esposa coopera con 10kg y al frente el papá coopera con 12kg. Cada

uno de estos impulsos para mover la bicicleta son ejemplos de fuerzas coplanares, porque

todas coinciden con la misma línea de acción.




En la siguiente figura tenemos la representación gráfica del sistema de fuerzas a

escala:

FUERZAS CONCURRENTES

La resultante de un sistema de fuerzas cuyas líneas de acción se intersecan en un punto

(fuerzas concurrentes) se define como la fuerza única que reemplazara completamente

todas las fuerzas originales.

Esto son las fuerzas concurrentes, fuerzas que tienen un punto de concurrencia en común

donde al mostrarse gráficamente se intersectan en un punto.

P4

1.5cm 2 cm 2.5 cm 3 cm

P1 P2 P3

a b c d e




FUERZAS COPLANARES Y NO COPLANARES

Los sistemas de fuerzas que se estudiaran pueden clasificarse de la siguiente manera:

Las fuerzas coplanares son las que están contenidas en un solo plano, en este caso los

sistemas de dos o más fuerzas solo serán coplanares si se encuentran localizadas en un

mismo plano; de lo contrario, será un sistema de fuerzas no coplanares.

Coplanares

No Coplanares

Colineales

Concurrentes

Paralelas

Ni paralelas ni concurrentes

Colineales

Concurrentes

Paralelas

Ni paralelas ni

concurrentes

Sistemas

de Fuerzas




COPLANARES

Colineales:

Todas las fuerzas están sobre una misma línea de acción

Concurrentes:

Todas las líneas de acción concurren en un mismo punto

Paralelas:

Las líneas de acción de todas las fuerzas son paralelas




Ni paralelas ni concurrentes

Las líneas de acción de todas las fuerzas no son ni concurrentes ni paralelas

FUERZAS NO COPLANARES

Las líneas de acción de las fuerzas están en planos diversos

Concurrentes:

Las líneas de acción están en varios planos diversos y concurren en un mismo plano




Paralelas:

Las líneas de acción de las fuerzas son paralelas y están en varios planos

Ni paralelas ni concurrentes (caso general)

Estando en diversos planos, las líneas de acción de las fuerzas no son ni paralelas ni

concurrentes




PRINCIPIOS DE LA ESTÁTICA

El célebre matemático, físico y astrónomo ingles Sir Issac Newton (1642-1727), fue un

genio que dio a la humanidad notables descubrimientos, fue profesor de matemáticas de

la universidad de Cambridge y miembro de la Royal Society, de la que fue presiente.

A fines del siglo XVII formulo tres leyes conocidas como las tres leyes de Newton, que son

la piedra angular, básica y fundamental de la mecánica y que describimos a continuación.

Primera Ley de Newton

“Un cuerpo se encuentra en estado de movimiento uniforme o en estado de reposo,

permanecerá siempre en ese estado a menos que se le aplique una fuerza”

Segunda Ley de Newton

“Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo rígido en estado de reposo, el movimiento que

sufre este es proporcional a la fuerza aplicada y se efectúa en la dirección en que actúa la

mencionada fuerza”

Tercera Ley de Newton

“A toda acción corresponde una reacción de igual intensidad pero en sentido contrario”

La solución a los problemas que se presentan en la estática aplicada, se encuentra a través

de los axiomas conocidos como principios de la estática; que son:




Ley del Paralelogramo

Esta ley fue enunciada por Stevin en 1586 y dice: “si dos fuerzas P y Q actúan sobre un

mismo punto material, sus acciones y efectos son equivalentes a una tercera fuerza R, que

es la diagonal al paralelogramo construido o trazado tomando en cuenta como lados los

vectores P y Q.

Como consecuencia de la ley del paralelogramo se puede establecer que: “La resultante

de dos fuerzas que se aplican en un mismo punto de un cuerpo, es el tercer lado de un

Primer principio: “Ley del Paralelogramo”

Segundo principio: “De los dos sistemas nulos”

Tercer principio: “Adición de sistemas nulos”

Cuarto principio: “Acción y reacción”




triángulo cuyos otros dos lados son las fuerzas o vectores aplicados sobre dicho

cuerpo.” A esto se le llama ley del triángulo.

Los vectores se colocan uno a uno a continuación del otro de tal manera que donde

termine uno, comience el otro y la resultante principia en el inicio de la primera fuerza y

termina en el final de la segunda, formándose así el triángulo de fuerzas.

Ley de los sistemas nulos

Para que dos fuerzas se equilibren es necesario que sean opuestas, de igual intensidad y

que estén contenidas en la misma línea de acción, cuando esto ocurre, se dice que es un

sistema de fuerzas nulo.

En la figura en la parte I tenemos dos fuerzas F1 y F2 , ambas con una magnitud de 50

kilogramos; a su vez están contenidas en una misma línea de acción con dirección de 30º ,

como ambas fuerzas son iguales y colineales, se contrarrestan y no provocan movimiento

alguno, provocando con esto un sistema de fuerzas nulo.

Ahora en la figura, en la parte 2 se han hecho coincidir el punto B de la fuerza F1, con el C

de la fuerza F2 logrando con esto que ambas fuerzas tengan un punto de aplicación común

el cual permanecerá inmóvil, o sea en estado de reposo, originando con esto un sistema

de fuerzas nulo.




Adición de los sistemas nulos

El efecto de un sistema de fuerzas dado sobre un cuerpo rígido no se modifica, si a dicho

sistema se agrega o quita un sistema de fuerzas nulo

En la figura tenemos dos fuerzas con los datos siguientes:




Fuerza Magnitud Dirección Sentido

F1 20kg 45° Izquierda a derecha (AB)

F2 20kg 135° Derecha a izquierda (AC)

Al aplicar el primer principio de la estática se puede ver que la resultante (siguiendo la

escala 1cm=5 kg. R tiene los valores siguientes:

R = 28.3 Kg. 90° de abajo hacia arriba. (AD)

En la siguiente figura tenemos un par de fuerzas que forman un sistema de fuerzas nulo,

con los datos siguientes: (se usa la misma escala)

F3 15 kg 0° De izquierda a derecha (AE)

F4 15 kg 180° De derecha a izquierda (AF)

Si ahora hacemos coincidir el punto A del primer sistema con el punto a del segundo,

podremos constar que el sistema original de fuerzas no se altera si le sumamos un sistema

de fuerzas nulo.




PRINCIPIOS DE ACCIÓN Y REACCIÓN

Toda acción implica la existencia de una reacción de igual intensidad y de sentido

contrario.




RESULTANTE DE SISTEMAS DE FUERZAS CONCURRENTES

La resultante de un sistema de fuerzas cuya líneas de acción se intersectan en un punto

(fuerzas concurrentes) se define como una fuerza única que reemplazara completamente

todas las fuerzas originales.

APLICACIONES DE LA LEY DEL PARALELOGRAMO

Mediante el método de la ley del paralelogramo sumar en un plano una fuerza de 120 Kg

a 30° con una fuerza de – 100kg a 90° (ver figura)

Dibujar un esquema del problema, no necesariamente a escala. El signo negativo indica

que la fuerza de 100Kg actúa a lo largo de la recta de 90° pero hacia abajo. Esta fuerza es

equivalente a otra positiva de 100Kg dirigida a lo largo de la línea de 270°, de acuerdo con

el principio de transmisibilidad. Como se presenta en la siguiente figura , se colocan los

dos extremos posteriores en un punto común, se dibujan los vectores a escala adecuada y

se completa el paralelogramo. La resultante R mide en la escala utilizada en este caso

111Kg. Mediante un transportador se ve que forma con el eje de las x un ángulo de 339°.

30°

120kg 100kg

90° x

100Kg

30° x

y

339°




LEY DEL TRIANGULO

Ahora aplicamos la ley del triángulo al problema anterior por lo tanto volvemos a usar la

misma figura:

Solución:

Carece de importancia el vector que se escoge primero. En este caso se tomó primero el

vector de 120Kg. En su extremo anterior se coloca el posterior de la fuerza de 100Kg. Se

dibuja la resultante desde el origen de la fuerza de 120Kg hasta la punta de la fuerza de

100Kg. Cuando se mide su valor con la escala seleccionad, y se determina su dirección se

tienen los mismos resultados que en el método de la ley del paralelogramo, es decir 111

Kg a 339°.

POLIGONO VECTORIAL

Primeramente se trazan las fuerzas y a este diagrama se le llama diagrama de espacios; a

los espacios entre fuerza y fuerza se les designa con una letra mayúscula, comenzando con

A,B,C, etc., después se traza el diagrama conocido como polígono vectorial, comenzando

por trazar a escala con la misma magnitud, dirección y sentido a la fuerza F1 partiendo del

punto a y terminando en el punto b, después partiendo de b, trasladamos a la fuerza F2,

que terminara en el punto c y así sucesivamente como se muestra en la figura.

120kg 100kg

90° x

30°kg

100kg

x

y

Ɵ°




Para encontrar la resultante del sistema basta con unir por medio de una línea recta el

punto inicial a con el punto final, esta representa a un vector que equivale a la magnitud,

dirección y sentido a la resultante.

Al tomar medidas tenemos que la resultante R vale 3.1 ton y la dirección 161°.

Si desea puede trasladar la resultante al diagrama de espacios, haciendo coincidir al punto

a con el punto de donde parten todas las fuerzas, ya que es un sistema de fuerzas

coplanares concurrentes.

A lo anteriormente descrito también se le conoce como notación de Bow.

Ahora, en un sistema de fuerzas concurrentes, los pasos para la solución de un problema

mediante el uso del polígono vectorial se enlistan a continuación:

A

B C

D

E

60°

60° 150°

90° F1

F2

F3

F4

a b

c

d

e

161°

F1

F2

F3 F4




Se trazan las fuerzas del sistema a una escala previamente escogida y con

las direcciones y sentidos indicados.

Se transporta a escala y con la misma dirección, la fuerza F1 (ab), donde termina iniciamos,

de la misma forma, el trazo de la fuerza F2 (bc). El vector que parte de a hacia c es la

resultante R del sistema. Después elegimos un punto O en forma arbitraria a la derecha

del polígono vectorial, y unimos por medio de líneas rectas O con a, O con b y O con c,

denotando a estas rectas con los números 1,2 y 3 respectivamente.

Solución Matemática

Se puede determinar la resultante de dos fuerzas concurrentes analíticamente, como

aplicación de la ley de paralelogramo (por lo tanto también de la ley del triángulo). Sean

fuerzas P y Q concurrentes en un punto y R su resultante:

Escala 1cm: 1kg

A B

C F1

F2

4cm

60° 90°

6.8

cm

R b

a

c

1

2

3

0

F1

F2

A B

α Ɵ

R

C O

D

P E

α







Ejemplo:

Se tienen dos fuerzas concurrentes P y Q de 40T y 30 T respectivamente, y describen

entre ellas un ángulo de 60º.

Encontrar el valor de la resultante y el ángulo que define la dirección de su linea de acción.

RESULTANTE DE SISTEMAS DE FUERZAS CONCURRENTES

Un sistema de fuerzas no concurrentes es un sistema donde, como ya se mencionó

anteriormente, las fuerzas no se entrecruzan en ningún punto del plano o del espacio, es

decir no concurren en un punto en específico.

POLIGONO VECTORIAL Y FUNICULAR

El polígono funicular es un método efectivo para encontrar la resultante de un sistema de

fuerzas no concurrentes.




A continuación se muestra como trazarlo mediante un ejemplo:

Se traza sobre un diagrama de cuerpo libre dos fuerzas:

Trazamos un polígono vectorial de la forma ya estudiada o sea, trasladando las fuerzas

una seguida de la otra, y uniendo el punto a con el punto c determinamos el valor de R; en

magnitud, dirección y sentido, después localizamos en forma arbitraria un punto O, el cual

unimos con los puntos a, b y c por medio de líneas rectas que llamamos rayos 1,2 y 3

Por último se traza un polígono funicular trasladando dos líneas punteadas las líneas de

acción de cada fuerza hacia abajo, para después trasladar por medio de líneas paralelas

los rayos 1,2, coincidiendo con el punto I (este punto se puede localizar de manera

arbitraria, pero siempre sobre la línea de acción de la fuerza P1)

P1

R=?

P2

a

c

P1

b

P2

1

0

3

2 R




Después de trazar los rayos 1 y 2, localizamos un punto donde cruce el rayo 2 a la línea de

acción de la fuerza P2; desde este punto II iniciamos el trazo del rayo 3 hasta cruzar el

rayo 1 en un punto que llamamos III; a partir de este punto subimos una línea vectorial

sobre la que localizamos la resultante R del sistema.

SOLUCIÓN MATEMÁTICA

La solución matemática de este tema se incluye junto con la gráfica, la mejor manera de

resolver este tipo de problemas es por la manera antes mencionada.

MOMENTOS DE PRIMER ORDEN

En la estática, la resistencia de materiales y en el campo de las estructuras, es primordial

el cálculo de los momentos de primer orden, también conocidos como momento de giro o

simplemente momento.

Las fuerzas que actúan sobre los cuerpos, frecuentemente tienden a girar originando con

ello momentos y como las estructuras deben ser cuerpos estáticos, dentro de las mismas

se originan momentos contrarios a los que provocan las fuerzas conocidos como

momentos resistentes. Más adelante se habla a detalle de los momentos.

EL MOMENTO DE UNA FUERZA

El momento de una fuerza con respecto a un punto es una tendencia al giro de dicha

fuerza en torno a un punto cualquiera al cual está ligada, es decir que para definir el

momento de una fuerza es necesario tener definidas la fuerza y el punto.

El momento de una fuerza es igual al producto de la fuerza por su distancia al punto.

MAF = F X d; esto se lee: el momento, con respecto al punto A de una fuerza F, es igual a la

fuerza por su distancia al punto A.

F

d

A




El momento se expresa en unidades tales como:

Toneladas – metro

Kilogramos – metro

Kilogramo – centímetro

En virtud de que representan fuerza por distancia.

SIGNOS DE GIRO

La convención de signos para el giro de los momentos; es positivo (+) en el sentido

contrario a las manecillas del reloj y negativo (-) en el sentido del giro de las manecillas del

reloj.

MOMENTO DE UN PAR

Se conoce como momento de un par o par de fuerzas, al sistema formado por dos fuerzas

de igual magnitud, paralelas y de sentido contrario. Si observamos las siguientes figuras,

tenemos dos fuerzas de igual magnitud, paralelas y de sentido contrario, equidistantes de

un eje de rotación que pasa por A; por lo tanto las distancias 1 y 2 son iguales y como las

distancia 3 representa la suma de la distancia 1 y la distancia 2 tenemos:

d3 = d1 + d2

- +




TEOREMA DE VARIGNON

El objetivo de esta sección es aprender a calcular el momento de varias fuerzas mediante

el teorema de varignon, según los datos que se proporcionan.

“El momento producido por dos o más fuerzas con respecto a un punto, es igual al de su

resultante por la distancia al punto de referencia.”

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Unidad I sistemas de fuerzas, momentos y medicion