Sistemas de Numeração

Prof. Thober Detofeno, Ms.Departamento de Ciência da Computação – DCC

Centro de Ciências Tecnológicas – CCTUniversidade do Estado de Santa Catarina – UDESC

Joinville, SC

Introdução

Um sistema de numeração é um sistema que permite a representação de números através da utilização de certos símbolos (algarismos/dígitos).

Algarismos Arábicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Os sistemas de numeração são úteis aos sistemas computacionais, servindo para questões de representação de endereçamento, armazenamento, processamento e transmissão de dados.

Bit (simplificação para dígito binário, "BInary digiT" em inglês) – menor unidade de dados que um computador pode processar, armazenar ou transmitir.

0 ou 1

Nibble – conjunto de 4 bits

Byte – conjunto de 8 bits.

Algumas BasesBinária (2)

0, 1Octal (8)

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7Decimal (10)

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Hexadecimal (16)

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão, e o sistema de numeração binário é adequado para representá-los.

As bases Octal e Hexadecimal (múltiplos de 2 e… 8) são também especialmente interessantes aos Sistemas Computacionais, pois permitem uma representação mais compacta dos números tratados.

1011012 - 101101 na base 2 (binária)

7528 - 752 na base 8 (octal)651 - 651 na base 10 (decimal)

Quando não é indicada a base, a base é decimal. Mas poderia ser representado como: 65110

42316 - 423 na base 16 (hexadecimal)

Representação nas bases

74847484 = 7 x 1000 + 4 x 100 + 8 x 10 + 47484 = 7 X 103 + 4 X 102 + 8 X 101 + 4 X 100

Representação em polinômio genéricoNúmero = dn10n + dn-110n-1 + ... d1101 + d0100

Base Decimal (10)

Representação de binário na base 10 11010012

11010012 = 1 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 +

0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20

11010012 = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 111010012 = 10510

Representação em polinômio genéricoNúmero = bn2n + bn-12n-1 + ... b121 + b020

Base Binária (2)

Representação de octal na base 10 546218

546218 = 5 x 84 + 4 x 83 + 6 x 82 + 2 x 81 +

1 x 80

546218 = 20480 + 2048 + 384 + 16 + 1546218 = 2292910

Representação em polinômio genéricoNúmero = on8n + on-18n-1 + ... o181 + o080

Base Octal (8)

Representação de hexadecimal na base 10 3974116

3974116 = 3 x 164 + 9 x 163 + 7 x 162 + 4 x 161 +

1 x 160

3974116 = 196608 + 36864 + 1792 + 64 + 13974116 = 23532910

Representação em polinômio genéricoNúmero = hn16n + hn-116n-1 + ... h1161 + h0160

Base Hexadecimal (16)

715 |_2_ 1 357 |_2_ 1 178 |_2_ 0 89 |_2_ 1 44 |_2_ 0 22 |_2_ 0 11 |_2_ 1 5 |_2_ 1 2 |_2_ 0 1 |_2_

1 0

715 = 10110010112

Conversão Decimal Binário

715 |_8_

3 89 |_8_

1 11 |_8_

3 1 |_8_

1 0

715 = 13138

Conversão Decimal Octal

715 |_16_

11 44 |_16_

12 2 |_16_

2 0

715 = 2CB16

Hexadecimal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

A=10 , B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15

Conversão Decimal Hexadecimal

10110010112

1 x 20 = 1 1 x 21 = 2

0 x 22 = 0 1 x 23 = 8

0 x 24 = 0 0 x 25 = 0 1 x 26 = 64 1 x 27 = 128 0 x 28 = 0 1 x 29 = 512

= 1+2+0+8+0+0+64+128+0+512 = 715

Conversão Binário Decimal

13138

3 x 80 = 3

1 x 81 = 8

3 x 82 = 192

1 x 83 = 512

= 3+8+192+512 = 715

Conversão Octal Decimal

2CB16

B x 160 = 11 x 160 = 11

C x 161 = 12 x 161 = 192

2 x 162 = 512

= 11+192+512 = 715

Conversão Hexadecimal Decimal

Outras Conversões

Binário Octal;Binário Hexadecimal;Octal Binário;Hexadecimal Binário;Octal Hexadecimal;Hexadecimal Octal.

1 011 001 0112

Conversão Binário Octal

1 x 20 = 11 x 21 = 2

0 x 22 = 0

10110010112

1 x 20 = 10 x 21 = 00 x 22 = 0

1 x 20 = 11 x 21 = 20 x 22 = 0

1 x 20 = 1

1 + 2 + 0 = 3

1 + 2 + 0 = 1

1 + 2 + 0 = 3

1 + 0+ 0 = 1

13138

Conversão Binário Hexadecimal

Segue o mesmo princípio da conversão de binário para octal, só que agora agrupando de quatro em quatro bits.

10110010112

10 1100 1011

8 + 0 + 2 + 1 = 118 + 4 + 0 +0 = 120 + 0 + 2 + 0 = 2

2 C B16

Conversão Octal Binário

Simplesmente pega-se cada algarismo na base Octal e converte-se seu valor decimal para a base Binária, representado-se cada um dos algarismos da base Octal com três bits, mantendo-se a ordem original (operação inversa à conversão de Binário para Octal):

13138 1 011 001 0112

Conversão Hexadecimal Binário

Da mesma forma, simplesmente pega-se cada algarismo na base Hexadecimal e converte-se seu valor decimal para a base Binária, só que agora representado-os com quatro bits (operação inversa à conversão de Binário para Hexadecimal):

2CB16 10 1100 10112

Demais Conversões

Octal Hexadecimal;Hexadecimal Octal.

Fica como Exercício…

Dica: é necessária a conversão intermediária para uma base comum, binária, ou decimal… Escolha a mais simples…

Exercícios