SISTEMAS DE NUMERAÇÃO1. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO1. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO1.1. SISTEMA DE NUMERAÇÃO BINÁRIO 1.1. SISTEMA DE NUMERAÇÃO BINÁRIO 1.2. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO OCTAL E HEXADECIMAL1.2. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO OCTAL E HEXADECIMAL1.3. CONVERSÃO DE BASES NUMÉRICAS1.3. CONVERSÃO DE BASES NUMÉRICAS

1.3.1. CONVERSÃO ENTRE AS BASES POTÊNCIAS DE 21.3.1. CONVERSÃO ENTRE AS BASES POTÊNCIAS DE 21.3.1.1. CONVERSÃO ENTRE A BASE BINÁRIA E A HEXADECIMAL1.3.1.1. CONVERSÃO ENTRE A BASE BINÁRIA E A HEXADECIMAL1.3.1.2. CONVERSÃO ENTRE A BASE HEXADECIMAL E A BINÁRIA1.3.1.2. CONVERSÃO ENTRE A BASE HEXADECIMAL E A BINÁRIA1.3.1.3. CONVERSÃO ENTRE A BASE BINÁRIA E A OCTAL1.3.1.3. CONVERSÃO ENTRE A BASE BINÁRIA E A OCTAL1.3.1.4. CONVERSÃO ENTRE A BASE OCTAL E A BINÁRIA1.3.1.4. CONVERSÃO ENTRE A BASE OCTAL E A BINÁRIA1.3.1.5. CONVERSÃO ENTRE BASES OCTAL E HEXADECIMAL1.3.1.5. CONVERSÃO ENTRE BASES OCTAL E HEXADECIMAL

1.3.2. CONVERSÃO DE UMA BASE QUALQUER PARA BASE DECIMAL1.3.2. CONVERSÃO DE UMA BASE QUALQUER PARA BASE DECIMAL1.3.3. CONVERSÃO DA BASE DECIMAL PARA UMA BASE QUALQUER1.3.3. CONVERSÃO DA BASE DECIMAL PARA UMA BASE QUALQUER1.3.4. CONVERSÃO ENTRE DUAS BASES DISTINTAS QUAISQUER1.3.4. CONVERSÃO ENTRE DUAS BASES DISTINTAS QUAISQUER

1.4. REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS NEGATIVOS1.4. REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS NEGATIVOS1.5. REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS BINÁRIOS NA NOTAÇÃO EM COMPLEMENTO A 21.5. REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS BINÁRIOS NA NOTAÇÃO EM COMPLEMENTO A 21.6. REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS NO FORMATO BINÁRIO (CÓDIGO BCD)1.6. REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS NO FORMATO BINÁRIO (CÓDIGO BCD)

2. ARITMÉTICA BINÁRIA2. ARITMÉTICA BINÁRIA2.1 OPERAÇÕES DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO BINÁRIAS EM COMPLEMENTO PARA 22.1 OPERAÇÕES DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO BINÁRIAS EM COMPLEMENTO PARA 22.2. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO BINÁRIAS COM PALAVRAS DE DIFERENTES TAMANHOS2.2. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO BINÁRIAS COM PALAVRAS DE DIFERENTES TAMANHOS2.3.CONSIDERAÇÕES FINAIS 2.3.CONSIDERAÇÕES FINAIS

1.1. SISTEMAS DE NUMERAÇÃOSISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Em qualquer sistema de numeração (decimal, hexadecimal, octal, Em qualquer sistema de numeração (decimal, hexadecimal, octal, binário, etc...) um número é representado por meio de uma seqüência de dígitos binário, etc...) um número é representado por meio de uma seqüência de dígitos referentes a sua parte inteira, uma outra seqüência que se refere a sua parte referentes a sua parte inteira, uma outra seqüência que se refere a sua parte fracionária e um símbolo de separação entre as duas partes (vírgula ou ponto). fracionária e um símbolo de separação entre as duas partes (vírgula ou ponto). Portanto, um sistema de numeração é composto por:Portanto, um sistema de numeração é composto por:

- Uma base n;- Uma base n;- Conjunto de n símbolos distintos denominados dígitos;- Conjunto de n símbolos distintos denominados dígitos;

- Número – corresponde à uma seqüência de dígitos;- Número – corresponde à uma seqüência de dígitos;- Valor do dígito – determinado em função do dígito e da sua - Valor do dígito – determinado em função do dígito e da sua

posição na seqüência de dígitos.posição na seqüência de dígitos.Assim, o valor de cada dígito corresponde às potências inteiras da base Assim, o valor de cada dígito corresponde às potências inteiras da base

do sistema de numeração;do sistema de numeração;Num sistema de numeração genérico de base r o número N é Num sistema de numeração genérico de base r o número N é

representado da seguinte forma:representado da seguinte forma:

N(r) = dN(r) = djjddj−1j−1...d...d33dd22dd11dd00(,)d(,)d(−1)(−1)dd(−2)(−2)...d...d[−(k−1)][−(k−1)]dd(−k)(−k), ONDE, ONDEN(r) = dN(r) = djj*r*rjj + d + dj-1j-1*r*rj-1j-1 + ...d + ...d11*r*r11 + d + d00*r*r00 + d + d-1-1*r*r-1-1 + ... + d + ... + d[−(k−1)][−(k−1)]*r*r[−(k−1)][−(k−1)]+d+d(−k)(−k)*r*r(−k)(−k)

- N é o número representado.- N é o número representado.- r é a base numérica de representação- r é a base numérica de representação- d- djj e d e d−1−1 são os dígitos mais significativos das partes inteira e fracionária são os dígitos mais significativos das partes inteira e fracionária respectivamente.respectivamente.- d- d00 e d e d−k−k são os dígitos menos significativos das partes inteira e fracionária são os dígitos menos significativos das partes inteira e fracionária respectivamente.respectivamente.- {a- {a00, a, a11, ..., a, ..., an-1n-1} – conjunto de n dígitos da base n} – conjunto de n dígitos da base n

A parte inteira é composta por j +1 dígitos e a parte fracionária é composta por k A parte inteira é composta por j +1 dígitos e a parte fracionária é composta por k dígitos.dígitos.

Os sistemas numéricos mais utilizados são os seguintes:Os sistemas numéricos mais utilizados são os seguintes:

Decimal ou de base 10 - r = 10 ; alfabeto d {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}*;∈Decimal ou de base 10 - r = 10 ; alfabeto d {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}*;∈Binário ou de base 2 - base r = 2 ; alfabeto; d {0, 1}*∈Binário ou de base 2 - base r = 2 ; alfabeto; d {0, 1}*∈Hexadecimal ou de base 16 - base r =16 ; d {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, ∈Hexadecimal ou de base 16 - base r =16 ; d {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, ∈D, E, F}*, onde A=10, B=11, C=12; D=13, E=14 e F=15 na base decimal;D, E, F}*, onde A=10, B=11, C=12; D=13, E=14 e F=15 na base decimal;Octal ou de base 8 – base r = 8 ; alfabeto; d {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}*∈Octal ou de base 8 – base r = 8 ; alfabeto; d {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}*∈

* valores na base decimal* valores na base decimal

1.1. SISTEMA DE NUMERAÇÃO BINÁRIO1.1. SISTEMA DE NUMERAÇÃO BINÁRIO

Os atuais sistemas de computação compreendem somente dois Os atuais sistemas de computação compreendem somente dois estados, em razão de suas portas lógicas elementares reconhecerem estados, em razão de suas portas lógicas elementares reconhecerem somente os níveis alto de baixo de tensão que passa por elas.somente os níveis alto de baixo de tensão que passa por elas.

Por este motivo, os computadores não conseguem trabalhar Por este motivo, os computadores não conseguem trabalhar diretamente com sistemas decimais de numeração. Sendo adotado o diretamente com sistemas decimais de numeração. Sendo adotado o sistema de numeração binário.sistema de numeração binário.

O sistema de numeração binário permite representar números O sistema de numeração binário permite representar números utilizando apenas os dois símbolos (dígitos “0” e “1”). A grande utilizando apenas os dois símbolos (dígitos “0” e “1”). A grande vantagem conseguida com a representação de números decimais no vantagem conseguida com a representação de números decimais no sistema binário é justamente adequar-se a limitação existente dos atuais sistema binário é justamente adequar-se a limitação existente dos atuais computadores.computadores.

Como exemplo, o valor do número 1101,101 em base 10 é:Como exemplo, o valor do número 1101,101 em base 10 é: (1101,101)(1101,101)22 = 1x2 = 1x233 + 1x2 + 1x222 + 0x2 + 0x211 + 1x2 + 1x200 + 1x2 + 1x2−1−1 + 0x2 + 0x2−2−2 + 1x2 + 1x2−3−3 =(13,625) =(13,625)10 10

1.2.1.2. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO OCTAL E HEXADECIMALSISTEMAS DE NUMERAÇÃO OCTAL E HEXADECIMAL

Além do sistema binário (base 2), o sistema Além do sistema binário (base 2), o sistema octal (base 8) e o sistema hexadecimal (base 16) são octal (base 8) e o sistema hexadecimal (base 16) são também formas convenientes para representar informação também formas convenientes para representar informação binária, pois permitem representar um determinado valor de binária, pois permitem representar um determinado valor de forma mais compacta que no sistema binário.forma mais compacta que no sistema binário.

Em particular o sistema hexadecimal tem Em particular o sistema hexadecimal tem particular interesse como forma de representação de dados particular interesse como forma de representação de dados binários porque como um dígito hexadecimal representa um binários porque como um dígito hexadecimal representa um conjunto de 4 dígitos binários (notar que 2conjunto de 4 dígitos binários (notar que 244 =16) bastam =16) bastam dois dígitos hexadecimais para representar 1 byte (1 byte dois dígitos hexadecimais para representar 1 byte (1 byte corresponde a uma palavra binária de 8 bits).corresponde a uma palavra binária de 8 bits).

1.3. CONVERSÃO DE BASES NUMÉRICAS1.3. CONVERSÃO DE BASES NUMÉRICAS

1.3.1. CONVERSÃO ENTRE AS BASES POTÊNCIAS DE 21.3.1. CONVERSÃO ENTRE AS BASES POTÊNCIAS DE 2

1.3.1.1. CONVERSÃO ENTRE A BASE BINÁRIA E A HEXADECIMAL1.3.1.1. CONVERSÃO ENTRE A BASE BINÁRIA E A HEXADECIMAL

Para passar um número de binário para hexadecimal, Para passar um número de binário para hexadecimal, agrupam-se os dígitos binários em grupos de quatro a partir vírgula ou ponto que agrupam-se os dígitos binários em grupos de quatro a partir vírgula ou ponto que separa a parte inteira da parte fracionária em ambas as direções. A seguir cada separa a parte inteira da parte fracionária em ambas as direções. A seguir cada grupo é substituído pelo seu equivalente hexadecimal. Relativamente à parte grupo é substituído pelo seu equivalente hexadecimal. Relativamente à parte fracionária, as posições incompletas à direita do algarismo menos significativo fracionária, as posições incompletas à direita do algarismo menos significativo são preenchidas com zeros.são preenchidas com zeros.

Ex: Ex: 1011011100110022 = 5C = 5C1616

01010101 = 5 = 511001100 = C = C

1111,,10111011111122 = 3,BC = 3,BC1616 00110011 = 3 = 310111011 = B = B11001100 = C = C

1.3.1.2. CONVERSÃO ENTRE A BASE HEXADECIMAL E A BINÁRIA1.3.1.2. CONVERSÃO ENTRE A BASE HEXADECIMAL E A BINÁRIA

Para passar da representação em sistema hexadecimal para binário Para passar da representação em sistema hexadecimal para binário cada dígito hexadecimal é substituído pela sua representação binária em quatro cada dígito hexadecimal é substituído pela sua representação binária em quatro bits. Depois da conversão, os zeros à esquerda do algarismo mais significativo bits. Depois da conversão, os zeros à esquerda do algarismo mais significativo da parte inteira são desprezados, assim como os zeros à direita da parte da parte inteira são desprezados, assim como os zeros à direita da parte fracionária não antecedidos por algarismos significativos (diferentes de zero).fracionária não antecedidos por algarismos significativos (diferentes de zero).

81F81F1616 = 100000011111 = 10000001111122

8 = 10008 = 10001 = 00011 = 0001F = 1111F = 1111

1DBA,81DBA,81616 = 1110110111010,1 = 1110110111010,122

1 = 0001 = 11 = 0001 = 1D =1101D =1101B =1011B =1011A =1010A =10108 =1000 (estes três últimos zeros são ignorados 8 =1000 (estes três últimos zeros são ignorados

por estarem na parte fracionária e não terem nenhum algarismo significativo por estarem na parte fracionária e não terem nenhum algarismo significativo anterior a eles)anterior a eles)

1.3.1.3 CONVERSÃO ENTRE A BASE BINÁRIA E A OCTAL1.3.1.3 CONVERSÃO ENTRE A BASE BINÁRIA E A OCTAL

Para passar um número de binário para octal, agrupam-se os dígitos Para passar um número de binário para octal, agrupam-se os dígitos binários em grupos de três a partir vírgula ou ponto que separa a parte inteira da binários em grupos de três a partir vírgula ou ponto que separa a parte inteira da parte fracionária em ambas as direções. A seguir cada grupo é substituído pelo parte fracionária em ambas as direções. A seguir cada grupo é substituído pelo seu equivalente octal. Relativamente à parte fracionária, as posições incompletas seu equivalente octal. Relativamente à parte fracionária, as posições incompletas à direita do algarismo menos significativo são preenchidas com zeros.à direita do algarismo menos significativo são preenchidas com zeros.

101011111111011022 = 276 = 27688

1010 = 2 = 2111 = 7111 = 7110110 = 6 = 6

11011011111111000000,,0010011122 = 1370,14 = 1370,1488

11 = 1; = 1;011011 = 3; = 3;111111 = 7; = 7;000000 = 0; = 0;001 = 1;001 = 1;100100 = 4; = 4;

1.3.1.4. CONVERSÃO ENTRE A BASE OCTAL E A BINÁRIA1.3.1.4. CONVERSÃO ENTRE A BASE OCTAL E A BINÁRIA

Para passar da representação em sistema octal para binário cada dígito octal é Para passar da representação em sistema octal para binário cada dígito octal é substituído pela sua representação binária em três bits. Depois da conversão, os zeros à substituído pela sua representação binária em três bits. Depois da conversão, os zeros à esquerda do algarismo mais significativo da parte inteira são desprezados, assim como os esquerda do algarismo mais significativo da parte inteira são desprezados, assim como os zeros à direita da parte fracionária não antecedidos por algarismos significativos (diferentes zeros à direita da parte fracionária não antecedidos por algarismos significativos (diferentes de zero).de zero).

1537153788 = 1101011111 = 110101111122;;1 = 001 (estes dois zeros serão ignorados);1 = 001 (estes dois zeros serão ignorados);5 =101;5 =101;3 = 011;3 = 011;7 =1117 =111

2046,162046,1688 = 10000100110,00111 = 10000100110,0011122;;2 = 010 (o zero a esquerda será ignorado);2 = 010 (o zero a esquerda será ignorado);0 = 000;0 = 000;4 =100;4 =100;6 =110;6 =110;1 = 001;1 = 001;6 =110; (o zero a direita será ignorado) 6 =110; (o zero a direita será ignorado)

1.3.1.5. CONVERSÃO ENTRE BASES OCTAL E HEXADECIMAL1.3.1.5. CONVERSÃO ENTRE BASES OCTAL E HEXADECIMAL

A conversão entre a base 8 e a base 16 pode ser conseguida A conversão entre a base 8 e a base 16 pode ser conseguida muito facilmente utilizando uma representação intermédia em base 2 e muito facilmente utilizando uma representação intermédia em base 2 e aplicando as regras descritas acima para converter entre a base 2 e as aplicando as regras descritas acima para converter entre a base 2 e as bases 8 e 16. bases 8 e 16.

FAZER QUESTÕES 1 a 4FAZER QUESTÕES 1 a 4

1.3.2. CONVERSÃO DE UMA BASE QUALQUER PARA BASE DECIMAL1.3.2. CONVERSÃO DE UMA BASE QUALQUER PARA BASE DECIMAL

Deve-se seguir o modelo explanado no slide 2, ou seja, deve-se multiplicar Deve-se seguir o modelo explanado no slide 2, ou seja, deve-se multiplicar cada algarismo significativo por ncada algarismo significativo por npp, onde n é a base do número que se quer converter , onde n é a base do número que se quer converter e p é a posição do dígito no número.e p é a posição do dígito no número.

A posição do algarismo logo a esquerda da vírgula ou ponto que separa a A posição do algarismo logo a esquerda da vírgula ou ponto que separa a parte inteira da parte fracionária vale 0, decrescendo a direita e crescendo a esquerda.parte inteira da parte fracionária vale 0, decrescendo a direita e crescendo a esquerda.

O resultado final da conversão resultará da soma dos valores encontrados O resultado final da conversão resultará da soma dos valores encontrados nas multiplicações acima.nas multiplicações acima.

Ex: 1Ex: 155887.7.446699 = 1*9 = 1*933 + 5*9 + 5*922 + 8*9 + 8*911 + 7*9 + 7*900 + + 44*9*9-1-1 + + 66*9*9-2-2 = 1213.518518 = 1213.5185181010

(na verdade, o valor encontrado foi uma dizima, que foi truncada na 6ª casa decimal)(na verdade, o valor encontrado foi uma dizima, que foi truncada na 6ª casa decimal)

1.3.3. CONVERSÃO DE UMA BASE DECIMAL PARA UMA BASE QUALQUER 1.3.3. CONVERSÃO DE UMA BASE DECIMAL PARA UMA BASE QUALQUER

Nos pontos anteriores foi descrito o processo de conversão de quantidades expressas em bases quaisquer para Nos pontos anteriores foi descrito o processo de conversão de quantidades expressas em bases quaisquer para base 10. A conversão de um número na base 10 para uma base diferente realiza-se em duas etapas:base 10. A conversão de um número na base 10 para uma base diferente realiza-se em duas etapas:

(1) A parte inteira é convertida segundo o método das divisões sucessivas.(1) A parte inteira é convertida segundo o método das divisões sucessivas.(2) A parte fracionária é convertida segundo o método das multiplicações sucessivas.(2) A parte fracionária é convertida segundo o método das multiplicações sucessivas.

(1) Dividi-se o valor sucessivamente pelo valor da base que se deseja converter o número, o número convertido (1) Dividi-se o valor sucessivamente pelo valor da base que se deseja converter o número, o número convertido será formado pelos restos das divisões efetuadas, onde o algarismo menos significativo é o obtido na primeira será formado pelos restos das divisões efetuadas, onde o algarismo menos significativo é o obtido na primeira divisão, decrescendo a posição do algarismo nas divisões seguintes e com o algarismo mais significativo sendo divisão, decrescendo a posição do algarismo nas divisões seguintes e com o algarismo mais significativo sendo o o quocientequociente da última divisão. da última divisão.Conversão de 8304Conversão de 83041010 para base 9: 8304 para base 9: 83041010 = 12346 = 1234699

Os zeros à esquerda (caso existam) não são considerados.Os zeros à esquerda (caso existam) não são considerados.8304 / 9 = 922 8304 / 9 = 922 resto 6resto 6922 / 9 = 102 922 / 9 = 102 resto 4resto 4102 / 9 = 11 102 / 9 = 11 resto 3resto 311 / 9 = 111 / 9 = 1 resto 2resto 2

(2) Multiplica-se o valor sucessivamente pelo valor da base que se deseja converter o número, o número (2) Multiplica-se o valor sucessivamente pelo valor da base que se deseja converter o número, o número convertido será formado pelas partes inteiras das multiplicações efetuadas, onde o algarismo mais significativo é convertido será formado pelas partes inteiras das multiplicações efetuadas, onde o algarismo mais significativo é o obtido na primeira multiplicação, decrescendo a posição do algarismo nas multiplicações seguintes.o obtido na primeira multiplicação, decrescendo a posição do algarismo nas multiplicações seguintes.Conversão de 0,354 para hexadecimalConversão de 0,354 para hexadecimal

0,354 * 16 = 0,354 * 16 = 55,664,6640,664 * 16 = 0,664 * 16 = 1010,624 (10,624 (101010 = A = A1616))0,624 * 16 = 0,624 * 16 = 99,984,984......

0,3540,3541010 = 0,5A9... = 0,5A9...1616

1.3.4. CONVERSÃO ENTRE DUAS BASES DISTINTAS QUAISQUER1.3.4. CONVERSÃO ENTRE DUAS BASES DISTINTAS QUAISQUER

A conversão de uma quantidade numérica expressa em A conversão de uma quantidade numérica expressa em base r (com r ≠ 10) para uma base genérica s segue o seguinte base r (com r ≠ 10) para uma base genérica s segue o seguinte raciocínio (quer para a parte inteira quer para a parte raciocínio (quer para a parte inteira quer para a parte fracionária):fracionária):

NNrr − > N − > N1010 − > N − > Nss - ou seja: primeiro faz-se a conversão - ou seja: primeiro faz-se a conversão da base r de origem para decimal e depois para a base s da base r de origem para decimal e depois para a base s pretendida (itens 1.3.2 e 1.3.3 respectivamente).pretendida (itens 1.3.2 e 1.3.3 respectivamente).

Os casos particulares de conversão octal para binário (e Os casos particulares de conversão octal para binário (e vice-versa) e de hexadecimal para binário (e vice-versa) já vice-versa) e de hexadecimal para binário (e vice-versa) já foram descritos anteriormente.foram descritos anteriormente.

FAZER QUESTÕES 5 a 12FAZER QUESTÕES 5 a 12

1.4. REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS NEGATIVOS1.4. REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS NEGATIVOS

No sistema de numeração decimal que utilizamos correntemente representamos No sistema de numeração decimal que utilizamos correntemente representamos números negativos precedendo o seu valor de um sinal menos (-) e números positivos pelo seu números negativos precedendo o seu valor de um sinal menos (-) e números positivos pelo seu valor ou precedendo-o de um sinal (+). A esta forma de representação chamamos sinal e valor ou precedendo-o de um sinal (+). A esta forma de representação chamamos sinal e grandeza ou sinal e magnitude e podemos utilizá-la naturalmente para representação de grandeza ou sinal e magnitude e podemos utilizá-la naturalmente para representação de grandezas negativas em qualquer sistema de numeração.grandezas negativas em qualquer sistema de numeração.

No caso particular do sistema binário, o sinal é representado por um bit adicional que No caso particular do sistema binário, o sinal é representado por um bit adicional que é o “1” lógico para representar grandezas negativas e o “0” lógico para representar grandezas é o “1” lógico para representar grandezas negativas e o “0” lógico para representar grandezas positivas. No sistema binário o bit de sinal de uma palavra binária é o bit mais significativo da positivas. No sistema binário o bit de sinal de uma palavra binária é o bit mais significativo da palavra.palavra.

Sendo assim, com N bits podemos representar números positivos e negativos no Sendo assim, com N bits podemos representar números positivos e negativos no intervalo [−(2intervalo [−(2N−1N−1 −1), 2 −1), 2N−1N−1 −1]. Por exemplo, com 8 bits podemos representar números na notação −1]. Por exemplo, com 8 bits podemos representar números na notação sinal e magnitude compreendidos no intervalo [−127,+127]sinal e magnitude compreendidos no intervalo [−127,+127]Exemplos:Exemplos: + 85+ 851010 = 01010101 = 0101010122

− − 85851010 = 11010101 = 1101010122

+ 0+ 010 10 = 00000000= 0000000022 * *− − 001010 = 10000000 = 1000000022 * *

* Nesta notação o zero tem duas formas de representação possíveis, o que é * Nesta notação o zero tem duas formas de representação possíveis, o que é extremamente inconveniente. extremamente inconveniente.

1.5. REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS BINÁRIOS NA NOTAÇÃO EM 1.5. REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS BINÁRIOS NA NOTAÇÃO EM COMPLEMENTO A 2COMPLEMENTO A 2

Complemento para 2 é uma forma de representação de números negativos Complemento para 2 é uma forma de representação de números negativos representados no sistema binário ou de base 2, e consiste em representar valores representados no sistema binário ou de base 2, e consiste em representar valores negativos como complementos de valores positivos de mesmo módulo.negativos como complementos de valores positivos de mesmo módulo.

Primeiramente, é necessário estabelecer o número de bits da palavra binária Primeiramente, é necessário estabelecer o número de bits da palavra binária utilizada para representação da informação (1 bit para o sinal e os demais para a utilizada para representação da informação (1 bit para o sinal e os demais para a mantissa). Uma vez estabelecido o tamanho da palavra em bits, qualquer transporte mantissa). Uma vez estabelecido o tamanho da palavra em bits, qualquer transporte resultante da soma ou subtração aritméticas dos bits mais significativos de duas resultante da soma ou subtração aritméticas dos bits mais significativos de duas palavras binárias são desprezados.palavras binárias são desprezados.

Na notação em complemento para 2, a gama de representação possível para Na notação em complemento para 2, a gama de representação possível para uma palavra binária com N bits é a seguinte [−2uma palavra binária com N bits é a seguinte [−2N−1N−1 ,+2 ,+2N−1N−1 −1] (1 valor a mais que na −1] (1 valor a mais que na notação sinal e magnitude comparando palavras que utilizam a mesma quantidade de notação sinal e magnitude comparando palavras que utilizam a mesma quantidade de bits).bits).

Exemplos:Exemplos:Num microprocessador com registros de 8 bits, cada registro apenas poderá Num microprocessador com registros de 8 bits, cada registro apenas poderá

armazenar números compreendidos obrigatoriamente entre [−128,+127], (ou em armazenar números compreendidos obrigatoriamente entre [−128,+127], (ou em binário [10000000,01111111]). Qualquer resultado superior a 127 ou inferior a -128 binário [10000000,01111111]). Qualquer resultado superior a 127 ou inferior a -128 resulta numa condição de resulta numa condição de overflowoverflow (erro por limitação da capacidade de (erro por limitação da capacidade de armazenamento da informação binária)armazenamento da informação binária)..

Num microprocessador com registros de 16 bits o resultado da operação de soma ou Num microprocessador com registros de 16 bits o resultado da operação de soma ou subtração aritméticas (binária) de duas variáveis A e B deverá ser um número compreendido subtração aritméticas (binária) de duas variáveis A e B deverá ser um número compreendido obrigatoriamente entre [−32768,+32767], (ou em binário [10000000 00000000, 01111111 obrigatoriamente entre [−32768,+32767], (ou em binário [10000000 00000000, 01111111 11111111]). Qualquer resultado superior a 32767 ou inferior a -32768 resulta numa condição de 11111111]). Qualquer resultado superior a 32767 ou inferior a -32768 resulta numa condição de overflowoverflow..

Na notação em complemento para 2 é fundamental ter em atenção os seguintes Na notação em complemento para 2 é fundamental ter em atenção os seguintes pressupostos:pressupostos:

1. O tamanho da palavra binária utilizada para na representação da informação.1. O tamanho da palavra binária utilizada para na representação da informação.2. O bit mais significativo (MSB em inglês) é o bit de sinal. Se este bit vale “1” então 2. O bit mais significativo (MSB em inglês) é o bit de sinal. Se este bit vale “1” então

a grandeza é negativa, enquanto que se vale “0” então a grandeza é positiva.a grandeza é negativa, enquanto que se vale “0” então a grandeza é positiva.3. O complemento para 2 de um número binário positivo X resulta no seu valor 3. O complemento para 2 de um número binário positivo X resulta no seu valor

negativo −X (MSB é invertido passando a “1”). Da mesma forma, o complemento para 2 de um negativo −X (MSB é invertido passando a “1”). Da mesma forma, o complemento para 2 de um número binário negativo − X (MSB está a “1”) resulta no seu valor positivo X (MSB é invertido número binário negativo − X (MSB está a “1”) resulta no seu valor positivo X (MSB é invertido passando a “0”). Ou seja, o número binário mantém a mesma magnitude (ou grandeza), mas o bit passando a “0”). Ou seja, o número binário mantém a mesma magnitude (ou grandeza), mas o bit de sinal é invertido.de sinal é invertido.

4. O MSB indica o sinal, mas, em valores negativos, a mantissa não informa 4. O MSB indica o sinal, mas, em valores negativos, a mantissa não informa diretamente o valor absoluto da grandezadiretamente o valor absoluto da grandeza

Exemplo:Exemplo:+ 85+ 851010 = 01010101 = 0101010122 (representação sinal e magnitude) (representação sinal e magnitude)− − 85851010 = 11010101 = 1101010122 (representação sinal e magnitude) (representação sinal e magnitude)

Nestes casos, o MSB representa o sinal e os outros bits representam a grandezaNestes casos, o MSB representa o sinal e os outros bits representam a grandeza+ 85+ 851010 = 01010101 = 0101010122 (representação complemento a base) (representação complemento a base)− − 85851010 = 10101011 = 1010101122 (representação complemento a base) (representação complemento a base)

Nestes casos o MSB continua representando o sinal, em +85Nestes casos o MSB continua representando o sinal, em +851010, os outros , os outros bits representam a grandeza 85, porém em -85, temos 0101011 = 43 (128-85)bits representam a grandeza 85, porém em -85, temos 0101011 = 43 (128-85)

Existem duas formas possíveis de se determinar o complemento para 2 de Existem duas formas possíveis de se determinar o complemento para 2 de um número binário com o tamanho de N bits:um número binário com o tamanho de N bits:

1. Complementa-se (inverte-se) cada bit da palavra binária a partir do bit 1. Complementa-se (inverte-se) cada bit da palavra binária a partir do bit menos significativo (LSB em inglês) em direção ao bit mais significativo (MSB). Em menos significativo (LSB em inglês) em direção ao bit mais significativo (MSB). Em seguida adiciona-se 1 ao resultado obtido.seguida adiciona-se 1 ao resultado obtido.

2. Partindo do bit menos significativo (LSB) mantêm-se os valores dos bits 2. Partindo do bit menos significativo (LSB) mantêm-se os valores dos bits da palavra binária até que o primeiro 1 seja encontrado. A partir da posição seguinte a da palavra binária até que o primeiro 1 seja encontrado. A partir da posição seguinte a esta, os restantes bits são complementados em direção ao bit mais significativo esta, os restantes bits são complementados em direção ao bit mais significativo (MSB).(MSB).

Exemplos:Exemplos:Determinar o complemento para 2 de + 127 = 01111111.Determinar o complemento para 2 de + 127 = 01111111.1. Complementando cada bit da palavra a partir do LSB obtemos 10000000. 1. Complementando cada bit da palavra a partir do LSB obtemos 10000000.

Em seguida somamos 1 ao LSB de 10000000 e obtemos 10000001 = −127 na notação Em seguida somamos 1 ao LSB de 10000000 e obtemos 10000001 = −127 na notação em complemento para 2 para palavras binárias de 8 bits. Notar que o MSB é igual a 1, em complemento para 2 para palavras binárias de 8 bits. Notar que o MSB é igual a 1, logo o número é negativo.logo o número é negativo.

2. Partindo do LSB da palavra binária +127 = 01111111 mantemos os 2. Partindo do LSB da palavra binária +127 = 01111111 mantemos os valores dos bits da palavra até encontrar o primeiro 1 que neste exemplo é o próprio valores dos bits da palavra até encontrar o primeiro 1 que neste exemplo é o próprio LSB. A partir da posição seguinte complementamos os demais bits em direção ao LSB. A partir da posição seguinte complementamos os demais bits em direção ao MSB. −127 =1000 0001.MSB. −127 =1000 0001.

Outros exemplos (em complemento para 2 e para palavras com um byte de Outros exemplos (em complemento para 2 e para palavras com um byte de tamanho):tamanho):

+31 = 0001 1111 -> −31 =1110 0001;+31 = 0001 1111 -> −31 =1110 0001;+3 = 0000 0011 -> − 3 =1111 1101;+3 = 0000 0011 -> − 3 =1111 1101;+0 = 0000 0000 -> − 0 = (1)0000 0000.+0 = 0000 0000 -> − 0 = (1)0000 0000.

Na notação em complemento para 2 o zero apenas tem uma Na notação em complemento para 2 o zero apenas tem uma representação possível, sendo que o bit de transporte resultante desta representação possível, sendo que o bit de transporte resultante desta operação é desprezado uma vez que a representação é em oito bits. Não operação é desprezado uma vez que a representação é em oito bits. Não existe existe overflowoverflow porque o bit de sinal (na oitava posição e ao lado do bit porque o bit de sinal (na oitava posição e ao lado do bit desprezado) é igual a 0.desprezado) é igual a 0.

−−128 = 1000 0000 -> + 128 ≠ 0000 0000 . Não podemos calcular o 128 = 1000 0000 -> + 128 ≠ 0000 0000 . Não podemos calcular o complemento para 2 de -128 porque o número 128 não pode ser representado complemento para 2 de -128 porque o número 128 não pode ser representado em complemento para 2 com palavras de comprimento igual a 8 bits.em complemento para 2 com palavras de comprimento igual a 8 bits.

FAZER QUESTÕES 13 a 17FAZER QUESTÕES 13 a 17

1.6. Representação de números decimais no formato binário (código BCD)1.6. Representação de números decimais no formato binário (código BCD)

A forma mais comum de representar valores numéricos em sistemas digitais consiste A forma mais comum de representar valores numéricos em sistemas digitais consiste na utilização do sistema de numeração binário já apresentado. A utilização deste sistema é na utilização do sistema de numeração binário já apresentado. A utilização deste sistema é vantajosa porque permite utilizar de forma eficiente os diferentes códigos representados por um vantajosa porque permite utilizar de forma eficiente os diferentes códigos representados por um determinado número de bits. No entanto, quando valores numéricos são apresentados em alguns determinado número de bits. No entanto, quando valores numéricos são apresentados em alguns dispositivos de saída para serem percebidos por um ser humano, devem ser mostrados em dispositivos de saída para serem percebidos por um ser humano, devem ser mostrados em formato decimal por ser este o sistema de numeração a que estamos habituados a lidar.formato decimal por ser este o sistema de numeração a que estamos habituados a lidar.

O processo necessário para determinação dos dígitos decimais que formam um O processo necessário para determinação dos dígitos decimais que formam um determinado valor requer a realização de uma série de divisões por 10 que são bastante mais determinado valor requer a realização de uma série de divisões por 10 que são bastante mais complexas que os somadores ou subtratores binários.complexas que os somadores ou subtratores binários.

Outra forma de representação de números usando o sistema binário consiste em Outra forma de representação de números usando o sistema binário consiste em representá-los como uma série de dígitos decimais, cada um representado como um valor de 4 representá-los como uma série de dígitos decimais, cada um representado como um valor de 4 bits (entre 0 e 9). Por exemplo, o número decimal 1234 pode escrever-se como uma seqüência de bits (entre 0 e 9). Por exemplo, o número decimal 1234 pode escrever-se como uma seqüência de grupos de 4 bits, formando uma palavra binária com tamanho total igual a 16 bits, onde cada grupos de 4 bits, formando uma palavra binária com tamanho total igual a 16 bits, onde cada grupo de 4 bits codifica um dígito decimal:grupo de 4 bits codifica um dígito decimal:

123412341010 = 0001 0010 0011 0100 BCD = 0001 0010 0011 0100 BCD

111010 = 0001 = 000122

221010 = 0010 = 001022

331010 = 0011 = 001122

441010 = 0100 = 010022

Este formato particular de representação de números decimais no sistema Este formato particular de representação de números decimais no sistema binário é conhecido por Decimal Codificado em Binário, ou como é vulgarmente binário é conhecido por Decimal Codificado em Binário, ou como é vulgarmente conhecido BCD (do inglês Binary-Coded Decimal).conhecido BCD (do inglês Binary-Coded Decimal).

O código BCD é um código ponderado (pesos 8, 4, 2 e 1), codificado em O código BCD é um código ponderado (pesos 8, 4, 2 e 1), codificado em palavras binárias de 4 bits.palavras binárias de 4 bits.

A principal vantagem deste código é que as conversões entre decimal e A principal vantagem deste código é que as conversões entre decimal e BCD são fáceis de se realizar, uma vez que um número decimal de BCD são fáceis de se realizar, uma vez que um número decimal de n n dígitos pode ser dígitos pode ser automaticamente representado em BCD através da substituição de cada dígito pelo automaticamente representado em BCD através da substituição de cada dígito pelo seu valor binário em 4 bits, ou seja, cada byte de informação codifica dois dígitos seu valor binário em 4 bits, ou seja, cada byte de informação codifica dois dígitos decimais.decimais.

Uma das desvantagens do formato BCD é a má utilização dos bits Uma das desvantagens do formato BCD é a má utilização dos bits empreguados na representação de um número decimal. Com 16 bits o sistema de empreguados na representação de um número decimal. Com 16 bits o sistema de numeração binário permite representar números decimais sem sinal entre 0 e 65535, numeração binário permite representar números decimais sem sinal entre 0 e 65535, mas no formato BCD apenas é possível representar valores entre 0 e 9999, já que nos mas no formato BCD apenas é possível representar valores entre 0 e 9999, já que nos 4 bits que representam cada dígito decimal não são utilizados os códigos entre 1010 4 bits que representam cada dígito decimal não são utilizados os códigos entre 1010 (10) e 1111 (15).(10) e 1111 (15).

A representação de números com sinal no formato BCD pode ser feita A representação de números com sinal no formato BCD pode ser feita usando uma notação sinal e grandeza ou então a notação em complemento para 10.usando uma notação sinal e grandeza ou então a notação em complemento para 10.

Outros exemplos:Outros exemplos: 23 – 0010 0011 (0010 -> 2 e 0011 - > 3)23 – 0010 0011 (0010 -> 2 e 0011 - > 3)78 – 0111 1000 (0111 -> 7 e 1000 -> 8)78 – 0111 1000 (0111 -> 7 e 1000 -> 8)

Fazer questão 18Fazer questão 18

2. ARITMÉTICA BINÁRIA2. ARITMÉTICA BINÁRIA2.1 OPERAÇÕES DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO BINÁRIAS EM COMPLEMENTO PARA 22.1 OPERAÇÕES DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO BINÁRIAS EM COMPLEMENTO PARA 2

A representação de valores com sinal em complemento para dois, bem como o armazenamento A representação de valores com sinal em complemento para dois, bem como o armazenamento dos resultados obtidos a partir das operações aritméticas pressupõe um número de bits dos resultados obtidos a partir das operações aritméticas pressupõe um número de bits determinados para a sua representação e deve ser ignorado o transporte que é gerado para além do determinados para a sua representação e deve ser ignorado o transporte que é gerado para além do bit mais significativo.bit mais significativo.A partir da representação de números binários na notação em complemento a 2 é possível realizar A partir da representação de números binários na notação em complemento a 2 é possível realizar as operações aritméticas da soma e da subtração binárias com dois módulos básicos apenas: um as operações aritméticas da soma e da subtração binárias com dois módulos básicos apenas: um “somador” e um “inversor”. Isto porque A − B = A + (−B) , ou seja, na subtração basta calcular o “somador” e um “inversor”. Isto porque A − B = A + (−B) , ou seja, na subtração basta calcular o complemento a 2 de B.complemento a 2 de B.Em complemento a 2 os números em formato binário podem ser somados digito a digito, tal como Em complemento a 2 os números em formato binário podem ser somados digito a digito, tal como na aritmética decimal. O bit de transporte à esquerda do bit mais significativo (MSB) corresponde na aritmética decimal. O bit de transporte à esquerda do bit mais significativo (MSB) corresponde à posição 8 (0,1,2,...,8) numa soma de palavras com um comprimento igual a 1 byte. Para à posição 8 (0,1,2,...,8) numa soma de palavras com um comprimento igual a 1 byte. Para palavras binárias com este tamanho o resultado obtido estará correto partindo do princípio que é palavras binárias com este tamanho o resultado obtido estará correto partindo do princípio que é um número compreendido entre +127 e -128. Caso contrário corresponde a uma situação de um número compreendido entre +127 e -128. Caso contrário corresponde a uma situação de overflowoverflow, não tendo significado., não tendo significado. Exemplo 1: + 58Exemplo 1: + 581010 + 32 + 321010 = +90 = +901010 >>>>>> 0011 1010 + 0010 0000 = 0101 10100011 1010 + 0010 0000 = 0101 1010

Exemplo 2: + 97Exemplo 2: + 971010 − 72 − 721010 = 97 = 971010 + (−72) + (−72)1010 = 25 = 251010..

A operação de subtração binária é transformada numa operação de adição de um número positivo A operação de subtração binária é transformada numa operação de adição de um número positivo 97 = 01110111 com um número negativo −72 = 1010 0010 , ambos representados em 97 = 01110111 com um número negativo −72 = 1010 0010 , ambos representados em complemento para 2.complemento para 2.+97+971010 − 72 − 721010 = 0110 0001 = 0110 000122 – 0100 1000 – 0100 100022

+97+971010 + (-72) + (-72)1010 = 0110 0001 = 0110 000122 + 1011 1000 + 1011 100022 (complemento a base 2 de 0100 1000 (complemento a base 2 de 0100 100022))+97+971010 + (-72) + (-72)1010 = *(1)0001 1001 = 0001 1001 = +25 = *(1)0001 1001 = 0001 1001 = +25* o 1 entre parenteses, por estar a esquerda do MSB será desprezado* o 1 entre parenteses, por estar a esquerda do MSB será desprezado

Exemplo 3: Exemplo 3: - 25- 251010 – 32 – 321010 = (-25) = (-25)1010 + (-32) + (-32)1010 = -57 = -571010

- 0001 1001 – 0010 0000- 0001 1001 – 0010 00001110 0111 + 1110 0000 (nesta linha, calculamos o complemento a 2 dos dois valores negativos)1110 0111 + 1110 0000 (nesta linha, calculamos o complemento a 2 dos dois valores negativos)*(1)1100 0111 = 1100 0111 = -57*(1)1100 0111 = 1100 0111 = -571010

Uma situação de Uma situação de overflowoverflow ocorre se o ocorre se o resultado da soma de dois números positivos resultado da soma de dois números positivos resultar um valor de sinal negativo ou quando a resultar um valor de sinal negativo ou quando a soma de dois números negativos resultar um valor soma de dois números negativos resultar um valor de sinal positivo, ou seja: sempre que há troca de de sinal positivo, ou seja: sempre que há troca de sinal na soma de dois números com o mesmo sinal.sinal na soma de dois números com o mesmo sinal.

FAZER QUESTÕES 19 a 25FAZER QUESTÕES 19 a 25

2.2. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ARITMÉTICAS (BINÁRIAS) COM PALAVRAS DE DIFERENTES 2.2. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ARITMÉTICAS (BINÁRIAS) COM PALAVRAS DE DIFERENTES TAMANHOSTAMANHOS

Quando se efetua a adição binária de dois números representados em complemento para dois, os Quando se efetua a adição binária de dois números representados em complemento para dois, os dois operandos e o resultado devem ter o mesmo número de bits. Se os valores a somar tiverem números dois operandos e o resultado devem ter o mesmo número de bits. Se os valores a somar tiverem números diferentes de bits então o resultado terá no máximo o maior número de bits entre os dois operandos. Neste diferentes de bits então o resultado terá no máximo o maior número de bits entre os dois operandos. Neste caso é necessário representar o menor operando com o mesmo numero de bits do maior operando. Se o valor é caso é necessário representar o menor operando com o mesmo numero de bits do maior operando. Se o valor é positivo então basta acrescentar zeros à esquerda mantendo o valor do seu bit de sinal. No entanto, se esse positivo então basta acrescentar zeros à esquerda mantendo o valor do seu bit de sinal. No entanto, se esse valor é negativo o seu bit mais significativo é “1” e é necessário acrescentar “1s” à esquerda por forma a valor é negativo o seu bit mais significativo é “1” e é necessário acrescentar “1s” à esquerda por forma a preservar o seu sinal. A esta operação dá-se o nome de preservar o seu sinal. A esta operação dá-se o nome de extensão de sinalextensão de sinal já que consiste em estender o bit de já que consiste em estender o bit de sinal de um número para completar o número de bits requeridos para a realização de uma operação aritméticasinal de um número para completar o número de bits requeridos para a realização de uma operação aritmética

ExemplosExemplosAdicionar x = 1001 com y = 110000, representados em complemento para 2 com 4 e 6 bits, respectivamente.Adicionar x = 1001 com y = 110000, representados em complemento para 2 com 4 e 6 bits, respectivamente.

1001 + 11 00001001 + 11 00001111 1101 + 11 0000 = (1) 10 1101 (resultado com 6 bits)1101 + 11 0000 = (1) 10 1101 (resultado com 6 bits)extensão do sinal de xextensão do sinal de x

Adicionar x = 0 1010 com y = 1000 0000 , representados em complemento para 2 com 4 e 8 bitsAdicionar x = 0 1010 com y = 1000 0000 , representados em complemento para 2 com 4 e 8 bitsrespectivamente.respectivamente.

0 1010 + 1000 00000 1010 + 1000 00000000000 1010 + 1000 0000 = 1000 1010 (resultado de 8 bits)0 1010 + 1000 0000 = 1000 1010 (resultado de 8 bits)extensão do sinal de xextensão do sinal de x

CONSIDERAÇÕES FINAISCONSIDERAÇÕES FINAIS

Concluindo o trabalho sobre aritmética binária, alguns pontos Concluindo o trabalho sobre aritmética binária, alguns pontos são especialmente importantes.são especialmente importantes.

1. Os operandos devem ser escritos com o mesmo número de 1. Os operandos devem ser escritos com o mesmo número de bits (caso não sejam, deve haver a extensão de sinal esplanada bits (caso não sejam, deve haver a extensão de sinal esplanada acima)acima)2. o bit a esquerda do bit de sinal é sempre desprezado2. o bit a esquerda do bit de sinal é sempre desprezado3. Uma subtração sempre será tratada como uma “soma de 3. Uma subtração sempre será tratada como uma “soma de inversos”inversos”4. O overflow ocorre quando a soma de valores de mesmo sinal 4. O overflow ocorre quando a soma de valores de mesmo sinal resulta um valor com sinal diferente dos operandosresulta um valor com sinal diferente dos operandos