SISTEMAS DE NUMERACIONLossistemasde numeracin son las distintas formas de representar lainformacinnumrica. Se nombran haciendo referencia a la base, que representa el nmero de dgitos diferentes para representar todos los nmeros.Elsistemahabitual de numeracin para las personas es el Decimal, cuya base es diez y corresponde a los distintos dedos de la mano, mientras que elmtodohabitualmente utilizado por los sistemas electrnicos digitales es el Binario, que utiliza nicamente dos cifras para representar la informacin: el 0 y el 1.Otros sistemas como el Octal (base 8) y el Hexadecimal (base 16) son utilizados en lascomputadoras.NUMERACIN DECIMAL Y BINARIACuando en una numeracin se usan diezsmbolosdiversos, a sta se la denominanumeracin decimalo en base 10. Elvalorde cada cifra es elproductode la misma por unapotenciaa 10 (la base), cuyo exponente es igual a la posicin 0, las decenas la 1 y as sucesivamente.Por ejemplo, 327 se puede descomponer en:3 . 10 + 2 . 10 + 7 . 10 = 300 + 20 + 7 = 327Siguiendo con el mismo razonamiento, podemos definir unanumeracin binariao en base 2, donde los smbolos 0 y 1 vistos anteriormente asumen el valor numrico 0 y 1. As, el nmero 10110 escrito en base 2 o binaria equivale al siguiente nmero en base 10 o decimal:1 . 24 + 0 . 2 + 1 . 2 + 1 . 2 + 0 . 2 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = (22)10En el sistema binario:- Con 1 bit el valor ms alto que se puede expresar es el 1.- Con 2 bits el valor ms alto que se puede expresar es el 3.- Connbits el valor ms alto que se puede expresar es el 2 1.Cada bit, segn la posicin que ocupa dentro del conjunto de un nmero binario, tiene un peso o un valor determinado en el sistema decimal.Como vemos, elsistema binarioemplea muchas cifras para representar una informacin. Parapodertrabajar con ms comodidad, los programadores emplean los sistemas octal y hexadecimal, que permiten operar con muchas menos cifras.SISTEMA NUMRICO BINARIOLoscircuitosdigitales internos que componen las computadoras utilizan el sistema de numeracin Binario para lainterpretacinde la informacin ycodificacinde la misma.El sistema decimal de numeracin que usamos en la vida diaria es de difcilempleoen las computadoras, ya que para representar los nmeros y trabajar con ellos son necesarios diez smbolos:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Los circuitos de unacomputadoraque trabajara con el sistema decimal deberan ser capaces de distinguir entre diezvaloreso posiciones de funcionamiento distintas. Esto exigira una precisin difcil de conseguir, por lo que se ha elegido un sistema de numeracin que simplifica mucho eldiseode los circuitos, porque exige slo dos estados o posiciones de funcionamiento.El sistema binario utiliza slo dossignos:0 1Estos son mucho ms fciles de representar en el interior de una computadora, donde estas dos cifras se pueden asociar perfectamente a los dos posibles estados que pueden adoptar los circuitos o componentes electrnicos: apagado y encendido. La presencia de una corriente elctrica = 1 (encendido) y la ausencia = 0 (apagado). Cuando lacorriente elctricapasa a travs de la computadora, sta lee un 1 cuando percibe la corriente elctrica y un 0 cuando no hay corriente elctrica.A las cifras o smbolos binarios les denominaremos, por convencin,bits.bit cero = 0bit uno = 1La palabra bit es una contraccin de las palabras inglesasbinary digit,dgito binario.El bit es la unidad ms pequea de informacin. Aislado, nos permite distinguir slo entre dos posibilidades: s-no, blanco-negro, abierto-cerrado, positivo-negativo. Permite slo dar dos respuestas a una pregunta, sin matices.La combinacin de estos dos smbolos un determinado nmero de veces permite la codificacin de toda la informacin posible. Si codificamos una serie de bits dndole a cada uno un significado segn nuestro deseo, el cojunto de bits representa un conjunto de informacin.Por consiguiente, si sustituimos el valor dado a cada bit por otro, tendremos que una misma combinacin de bits queda modificada en cuanto al significado:- Con un solo bit, se representan dos informaciones o estados (2).- Con dos bits (2), obtenemos cuatro combinaciones de informacin.- Con tres bits (2), ocho combinaciones de informacin.- Con cuatro bits (24), diecisis combinaciones de informacin.- Connbits, (2n) combinaciones de informacin.Si deseamos representar cada letra del alfabeto mediante una combinacin de bits, necesitamos que cada letra est representada por lo menos por 5 bits (25 = 32). Si, adems, deseamos abarcar todos los signosgrficosy las letras, tanto minsculas como maysculas, necesitaremos una combinacin de 7 bits (27 = 128).TRANSFORMACIN DE DECIMAL A BINARIOPara cambiar un nmero decimal a nmero binario, se divide el nmero entre dos. Se escribe el cociente y el residuo. Si el cociente es mayor que uno, se divide el cociente entre dos. Se vuelve a escribir el cociente y el residuo. Esteprocesose sigue realizando hasta que el cociente sea uno. Cuando el cociente es uno, se escribe el cociente y el residuo. Para obtener el nmero binario, una vez llegados al 1 indivisible, se cuentan el ltimo cociente, es decir el uno final (todo nmero binario excepto el 0 empieza por uno), seguido de los residuos de las divisiones subsiguientes. Del ms reciente hasta el primero que result. Este nmero ser el binario que buscamos. A continuacin analizaremos dos ejemplos de nmeros decimales transformados al sistema binario:NMERO DECIMAL 26 TRANSFORMADO AL SISTEMA BINARIO

NMERO DECIMAL 8 TRANSFORMADO AL SISTEMA BINARIO

Recordemos que se comienza a contar desde el cociente 1 hasta el primer residuo que nos result. Sin embargo, existe otra manera de hacerlo y es dividir el cociente 1 entre 2, escribimos 0 como cociente, posteriormente multiplicamos 2 por 0 (que es cero) y ese resultado se lo restamos al ltimo residuo que tenamos (que ser 1) y tendremos como residuo 1. De esta forma comenzaremos la cuenta para obtener el valor binario desde el ltimo residuo obtenido (que es siempre 1, excepto en el caso del nmero 0) hasta el primero. Podemos utilizar cualquiera de los dosmtodosy ambos son correctos y presentan el ltimo resultado, tal como veremos en los ejemplos a continuacin.Ahora veremos tres nuevos ejemplos de transformacin de un nmero del sistema decimal al sistema binario:

TRANSFORMACIN DE BINARIO A DECIMALPara cambiar un nmero binario a nmero decimal se multiplica cada dgito binario por la potencia y se suman. Para conseguir el valor de la potencia, usamos, dondees la base yes el exponente. Como estamos cambiando de binario a decimal, usamos la base 2. El exponente nos indica la posicin del dgito. A continuacin se transformar el nmero binario 11010 a decimal:

Para la transformacin de binarios a decimales estaremos siempre utilizando potencias a las cuales ser elevado el nmero 2. El siguiente listado nos presenta progresivamente las primeras 20 potencias con base 2:LISTA DE POTENCIACIN DEL 1 AL 20 CON BASE 2

Veamos tres nuevos ejemplos de transformacin de un nmero del sistema decimal al sistema binario:

NMEROS DECIMALES DEL 0 AL 10 Y SUS EQUIVALENTES EN BINARIO

SUMA DE NMEROS BINARIOSEs similar a la suma decimal excepto que se manejan slo dos dgitos (0 y 1).Las sumas bsicas son:

Por ejemplo, sumemos 100110101 + 11010101:

Operamos como en decimal: comenzamos a sumar desde la izquierda. En el ejemplo 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 y "llevamos" 1. Se suma este 1 a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas las columnas (exactamente como en decimal).Ahora presentamos 3 nuevos ejemplos de suma de nmeros binarios en los cuales podremos apreciar al lado de dichasoperaciones, el equivalente de esa suma en el sistema decimal para facilitar la comprensin:

CUATRO EJERCICIOS DE SUMA DE NMEROS BINARIOS1. Dados los nmeros 30, 35 y 22 en sistema decimal, efectuar la suma y expresar el resultado en el sistema de numeracin binaria.a) Conversin de 30 a binario.Divisin Cociente Residuo30 / 2 = 15 015 / 2 = 7 17 / 2 = 3 13 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Entonces 30 en el sistema decimal equivale a 11110 en el sistema binario.b) Conversin de 35 a binario.Divisin Cociente Residuo35 / 2 = 15 017 / 2 = 8 18 / 2 = 3 14 / 2 = 1 12 / 2 = 0 11 / 2 = 0 1Entonces 35 en el sistema decimal equivale a 100011 en el sistema binario.c) Conversin de 22 a binario.Divisin Cociente Residuo22 / 2 = 11 011 / 2 = 5 15 / 2 = 2 12 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 22 en el sistema decimal equivale a 10110 en el sistema binario.d) Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos.Decimal Binario30+ 11110+35 10001122= 10110=87 10101112. Sumar los nmeros decimales 100 y 51, expresando la operacin y el resultado en nmeros binarios.a) Conversin de 100 a binario.Divisin Cociente Residuo100 / 2 = 50 050 / 2 = 25 025 / 2 = 12 112 / 2 = 6 06 / 2 = 3 03 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Entonces 100 en el sistema decimal equivale a 1100100 en el sistema binario.b) Conversin de 51 a binario.Divisin Cociente Residuo51 / 2 = 25 125 / 2 = 12 112 / 2 = 6 06 / 2 = 3 03 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Entonces 51 en el sistema decimal equivale a 110011 en el sistema binario.c) Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos.Decimal Binario100+ 1100100+51= 110011=151 100101113. Teniendolos valores42, 6 y 8 en sistema decimal, transformarlos y expresarlos en nmeros binarios.a) Conversin de 42 a binario.Divisin Cociente Residuo42 / 2 = 21 021 / 2 = 10 110 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 42 en el sistema decimal equivale a 101010 en el sistema binario.b) Conversin de 6 a binario.Divisin Cociente Residuo6 / 2 = 3 03 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Entonces 6 en el sistema decimal equivale a 110 en el sistema binario.c) Conversin de 8 a binario.Divisin Cociente Residuo8 / 2 = 4 04 / 2 = 2 02 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.d) Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos.Decimal Binario42+ 101010+6 1108= 1000=56 1110004. Sumar los nmeros decimales 8, 17, 60, 40 y 30, convirtindolos y expresando la operacin y resultado de la suma en nmeros binarios.a) Conversin de 8 a binario.Divisin Cociente Residuo8 / 2 = 4 04 / 2 = 2 02 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.b) Conversin de 17 a binario.Divisin Cociente Residuo17 / 2 = 8 18 / 2 = 3 14 / 2 = 1 12 / 2 = 0 11 / 2 = 0 1Entonces 17 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.c) Conversin de 60 a binario.Divisin Cociente Residuo60 / 2 = 30 030 / 2 = 15 015 / 2 = 7 17 / 2 = 3 13 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Entonces 60 en el sistema decimal equivale a 111100 en el sistema binario.d) Conversin de 40 a binario.Divisin Cociente Residuo40 / 2 = 20 020 / 2 = 10 010 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 40 en el sistema decimal equivale a 101000 en el sistema binario.e) Conversin de 30 a binario.Divisin Cociente Residuo30 / 2 = 15 015 / 2 = 7 17 / 2 = 3 13 / 2 = 1 11 / 2 = 1 1Entonces 30 en el sistema decimal equivale a 11110 en el sistema binario.f) Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos.Decimal Binario8+ 1000+17 1000160 11110040 10100030= 11110=155 10011011GUA DE DIEZ EJERCICIOS DE SUMA DE NMEROS BINARIOSINDICACIN: Dados los siguientes valores del sistema numrico decimal, convertir cada uno de ellos a nmeros binarios y luego sumarlos, expresando la respuesta en el sistema numrico binario.1. Sumar 4 + 5 +10.2. Sumar 40 + 91.3. Sumar 1203 + 101.4. Sumar 59 + 21.5. Sumar 5 + 2 + 6.6. Sumar 25 + 31.7. Sumar 40 + 31 + 20 + 49.8. Sumar 8 + 9 + 98 + 45 + 11 + 3.9. Sumar 7 + 16 + 1.10. Sumar 27 + 8 + 31.SOLUCIN DE LA GUA DE EJERCICIOS1. Sumar 4 + 5 + 10.a) Conversin de 4 a binario.Divisin Cociente Residuo4 / 2 = 2 02 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 4 en el sistema decimal equivale a 100 en el sistema binario.b) Conversin de 5 a binario.Divisin Cociente Residuo5 / 2 = 2 12 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 5 en el sistema decimal equivale a 101 en el sistema binario.c) Conversin de 10 a binario.Divisin Cociente Residuo10 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 10 en el sistema decimal equivale a 1010 en el sistema binario.d) Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos.Decimal Binario4+ 100+5 10110= 1010=19 100112. Sumar 40 + 91.a) Conversin de 40 a binario.Divisin Cociente Residuo40 / 2 = 20 020 / 2 = 10 010 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 40 en el sistema decimal equivale a 101000 en el sistema binario.b) Conversin de 91 a binario.Divisin Cociente Residuo91 / 2 = 45 145 / 2 = 22 122 / 2 = 11 011 / 2 = 5 15 / 2 = 2 12 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 91 en el sistema decimal equivale a 1011011 en el sistema binario.c) Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos.Decimal Binario40+ 101000+91= 1011011=131 100000113. Sumar 1203 + 101.a) Conversin de 1203 a binario.Divisin Cociente Residuo1203 / 2 = 601 1601 / 2 = 300 1300 / 2 = 150 0150 / 2 = 75 075 / 2 = 37 137 / 2 = 18 118 / 2 = 9 09 / 2 = 4 14 / 2 = 2 02 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 1203 en el sistema decimal equivale a 10010110011 en el sistema binario.b) Conversin de 101 a binario.Divisin Cociente Residuo101 / 2 = 50 150 / 2 = 25 025 / 2 = 12 112 / 2 = 6 06 / 2 = 3 03 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Entonces 101 en el sistema decimal equivale a 1100101 en el sistema binario.c) Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos.Decimal Binario1203+ 10010110011+101= 1100101=1304 101000110004. Sumar 59 + 21.a) Conversin de 59 a binario.Divisin Cociente Residuo59 / 2 = 29 129 / 2 = 14 114 / 2 = 7 07 / 2 = 3 13 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Entonces 59 en el sistema decimal equivale a 111011 en el sistema binario.b) Conversin de 21 a binario.Divisin Cociente Residuo21 / 2 = 10 110 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 21 en el sistema decimal equivale a 10101 en el sistema binario.c) Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos.Decimal Binario59+ 111011+21= 10101=80 10100005. Sumar 5 + 2 + 6.a) Conversin de 5 a binario.Divisin Cociente Residuo5 / 2 = 2 12 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 5 en el sistema decimal equivale a 101 en el sistema binario.b) Conversin de 2 a binario.Divisin Cociente Residuo2 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 2 en el sistema decimal equivale a 10 en el sistema binario.c) Conversin de 6 a binario.Divisin Cociente Residuo6 / 2 = 3 03 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Entonces 6 en el sistema decimal equivale a 110 en el sistema binario.d) Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos.Decimal Binario5+ 100+2 1016= 1010=13 11016. Sumar 25 + 31.a) Conversin de 25 a binario.Divisin Cociente Residuo25 / 2 = 12 112 / 2 = 6 06 / 2 = 3 03 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Entonces 25 en el sistema decimal equivale a 11001 en el sistema binario.b) Conversin de 31 a binario.Divisin Cociente Residuo31 / 2 = 15 115 / 2 = 7 17 / 2 = 3 13 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Entonces 21 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.c) Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos.Decimal Binario25+ 11001+31= 11111=56 1110007. Sumar 40 + 31 + 20 + 49.a) Conversin de 40 a binario.Divisin Cociente Residuo40 / 2 = 20 020 / 2 = 10 110 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 40 en el sistema decimal equivale a 101010 en el sistema binario.b) Conversin de 31 a binario.Divisin Cociente Residuo31 / 2 = 15 115 / 2 = 7 17 / 2 = 3 13 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Entonces 31 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.c) Conversin de 20 a binario.Divisin Cociente Residuo20 / 2 = 10 010 / 2 = 5 05 / 2 = 2 12 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 20 en el sistema decimal equivale a 10100 en el sistema binario.d) Conversin de 49 a binario.Divisin Cociente Residuo49 / 2 = 24 124 / 2 = 12 012 / 2 = 6 06 / 2 = 3 03 / 2 = 1 1Entonces 49 en el sistema decimal equivale a 10001 en el sistema binario.e) Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos.Decimal Binario40+ 101000+31 1111120 1010049= 110001=140 100011008. Sumar 8 + 9 + 98 + 45 + 11 + 3.a) Conversin de 8 a binario.Divisin Cociente Residuo8 / 2 = 4 04 / 2 = 2 02 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.b) Conversin de 8 a binario.Divisin Cociente Residuo9 / 2 = 4 14 / 2 = 2 02 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 9 en el sistema decimal equivale a 1001 en el sistema binario.c) Conversin de 98 a binario.Divisin Cociente Residuo98 / 2 = 49 049 / 2 = 24 124 / 2 = 12 012 / 2 = 6 06 / 2 = 3 03 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Entonces 98 en el sistema decimal equivale a 1100010 en el sistema binario.d) Conversin de 45 a binario.Divisin Cociente Residuo45 / 2 = 22 122 / 2 = 11 011 / 2 = 5 15 / 2 = 2 12 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 45 en el sistema decimal equivale a 101101 en el sistema binario.e) Conversin de 11 a binario.Divisin Cociente Residuo11 / 2 = 5 15 / 2 = 2 12 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 11 en el sistema decimal equivale a 1011 en el sistema binario.f) Conversin de 33 a binario.Divisin Cociente Residuo3 / 2 = 1 11 / 2 = 1 1Entonces 3 en el sistema decimal equivale a 11 en el sistema binario.g) Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos.Decimal Binario8+ 1000+9 100198 110001045 10110111 10113= 11=174 101011109. Sumar 7 + 16 + 1.a) Conversin de 7 a binario.Divisin Cociente Residuo7 / 2 = 3 13 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Entonces 7 en el sistema decimal equivale a 111 en el sistema binario.b) Conversin de 16 a binario.Divisin Cociente Residuo16 / 2 = 8 08 / 2 = 4 04 / 2 = 2 02 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 16 en el sistema decimal equivale a 10000 en el sistema binario.c) Conversin de 1 a binario.Divisin Cociente Residuo1 / 2 = 0 1Entonces 1 en el sistema decimal equivale a 1 en el sistema binario.e) Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos.Decimal Binario7+ 101000+16 111111= 110001=24 1100010. Sumar 27 + 8 + 31.a) Conversin de 27 a binario.Divisin Cociente Residuo27 / 2 = 13 113 / 2 = 6 16 / 2 = 3 03 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Entonces 27 en el sistema decimal equivale a 11011 en el sistema binario.b) Conversin de 8 a binario.Divisin Cociente Residuo8 / 2 = 4 04 / 2 = 2 02 / 2 = 1 01 / 2 = 0 1Entonces 8 en el sistema decimal equivale a 1000 en el sistema binario.c) Conversin de 31 a binario.Divisin Cociente Residuo31 / 2 = 15 115 / 2 = 7 17 / 2 = 3 13 / 2 = 1 11 / 2 = 0 1Entonces 31 en el sistema decimal equivale a 11111 en el sistema binario.e) Efectuar la suma de los nmeros binarios obtenidos.Decimal Binario27+ 11011+8 100031= 1000111=66 1000010