Sistemas Digitais

12 semestre 2008 pg. 1

Eletrnica de Automao IndustrialProf. Jos Ricardo G. Pinheiro

[email protected]

03 Circuitos Digitais

UNESP - Faculdade de Engenharia de Bauru Departamento de Engenharia Eltrica

Circuitos Digitais

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Circuitos Digitais

1. Circuitos analgicos e circuitos digitais2. Portas lgicas3. Propriedades das funes booleanas4. Tabela verdade e expresses booleanas5. Soma cannica6. Minimizao7. Mapas de Karnaugh

2UNESP - Faculdade de Engenharia de Bauru Departamento de Engenharia Eltrica

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Circuitos analgicos e circuitos digitais

Circuitos analgicos so circuitos eltricos que operam com sinais analgicos, que so sinais que podem assumir infinitos valores dentro de determinados intervalos.

Circuitos digitais so circuitos eletrnicos que baseiam o seu funcionamento na lgica binria, em que toda a informao guardada e processada sob a forma de zeros (0) e uns (1). Esta representao conseguida usando dois nveis discretos de tenso

+5 V

-5 V

t

1

0 t


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Portas lgicas

Em 1854, o matemtico ingls George Boole, atravs da obra intitulada AnInvestigation of the Laws of Thought apresentou um sistema matemtico da anlise lgica conhecido como lgebra de Boole.

O engenheiro americano Claude E, Shannon, em 1938, utilizou as teorias da lgebra de Boole para a soluo de problemas de circuitos de telefonia com rels, tendo publicado um trabalho denominado SymbolicAnalysis of Relay and Switching, praticamente introduzindo na rea tecnolgica o campo da eletrnica digital.

Este ramo da eletrnica emprega em seus sistemas um pequeno grupo de circuitos bsicos padronizados conhecidos por portas lgicas.

Atravs da utilizao conveniente destas portas, podemos implementar todas as expresses geradas pela lgebra de Boole, bem com implementar circuitos sequenciais e de armazenamento de informaes


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Portas lgicas

Neste curso, faremos o estudo das principais funes lgicas que derivam, na realidade, dos postulados da lgebra de Boole, sendo as variveis e expresses envolvidas denominadas de booleanas.

Nas funes lgicas, temos apenas dois estados distintos:

estado 0 (zero) e estado 1 (um).

O estado 0 representar, por exemplo: porto fechado, aparelho desligado, ausncia de tenso, chave aberta, no, etc.

O estado 1 representar, ento: porto aberto, aparelho ligado, presena de tenso, sim, etc.

Note que se representarmos por 0 uma situao, representamos por 1 a situao contrria.


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Portas lgicas

Funo E ou AND Definio:

A funo AND (E) aquela cuja sada ser 1 somente se todas as suas entradas forem igual a 1.

Notao

ou

Tabela verdade: Smbolo: Circuito:

abx = bax =

111001010000

a.bba


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Portas lgicas

Funo OU ou OR Definio:

A funo OR (OU) aquela cuja sada ser 1 se, pelo menos, uma das entradas for igual a 1.

Notao

Tabela verdade: Smbolo: Circuito:

bax +=

111101110000

a+bba


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Portas lgicas

Funo NO ou NOT Definio:

A funo NOT (NO) aquela cuja sada ser 1 se sua entrada for 0 e sua sada ser 0 se sua entrada for 1.

Notao

ou

Tabela verdade: Smbolo:

ax = ax =

0110aa


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Portas lgicas

Funo NO E, ou NAND Definio:

A funo NAND (NO E) aquela cuja sada ser 0 somente se todas as suas entradas forem igual a 1.

Notao

ou


bax = )'( bax =

011101110100

(a.b)ba


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Portas lgicas

Funo NO OU, ou NOR Definio:

A funo NOR (NO OU) aquela cuja sada ser 0 se, pelo menos, uma das entradas for igual a 1.

Notao

ou


bax += )'( bax +=

011001010100

(a+b)ba


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Portas lgicas

Funo OU EXCLUSIVO, EXCLUSIVE OR ou XOR Definio:

A funo XOR ou EXCLUSIVE OR (OU EXCLUSIVO) aquela cuja sada ser 1 se, pelo menos, uma das entradas for igual a 1, ou, a sada ser um se um nmero impar de entradas for 1.

Notao:


bax =

011101110000

a bba


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Portas lgicas

Funo OU EXCLUSIVO, EXCLUSIVE OR ou XOR Definio:

A funo XOR ou EXCLUSIVE OR (OU EXCLUSIVO) aquela cuja sada ser 1 se, pelo menos, uma das entradas for igual a 1, ou, a sada ser um se um nmero impar de entradas for 1.

Notao:


bax =

011101110000

a bba


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Propriedades das Funes Booleanas

Complemento

Idempotente

Propriedades do 0

Propriedades do 1

0= aa 1=+ aa

aaa = aaa =+

00 =a aa =+ 0

aa =1 11 =+a

aa =


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Comutativa

Associativa

Distributiva

abba = abba +=+ abba =

cbacba = )()( cbacba ++=++ )()(cbacba = )()(

cabacba +=+ )( )()( cabacba ++=+


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Absoro

Propriedades do EXCLUSIVE OR

Teorema de De Morgan

1= aa 0= aa aa = 0 aa =1

aaba =+ aaba =+ )(

baba +=

baba =+


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Tabela Verdade e Expresses Booleanas

Tabela verdade uma tabela que identifica univocamente uma funo booleana.

Expresses booleanas diferentes podem representar a mesma funo booleana.

11111011110110011110001001000000ycba ( )cbafy ,,=

cbay +=

)( cabbay ++=

cacbcay ++=


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Soma cannica e produto cannico

Existem 3 maneiras possveis de representar uma funo lgica: 1. Atravs de uma tabela de verdade. 2. Atravs de uma soma de MINTERMOS, ou forma cannica de soma

de produtos, ou soma cannica. 3. Atravs de um produto de MAXTERMOS, ou forma cannica de

produto de somas, ou produto cannico.


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Soma cannica

Exemplo: Na tabela ao lado podemos escrever

a sua soma cannica como sendo:

Como os mintermos onde a funo 0 so cancelados, temos:

01111011010110011110001011000000

f(a,b,c)cba

+++= cbacbacbacbaf ),,(

cbacbacbacbacbaf +++=),,(

++++ cbacbacba

cbacba ++

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Soma cannica

Exerccio: O obter a funo da seguinte tabela verdade utilizando-se de soma

cannica:

11111011110100011110101001000000

f(a,b,c)cba

cbacbacbacbacbacbaf ++++=),,(

cba cba

cba cba

cba


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Minimizao

Minimizar obter a equao mais simples possvel. Existem algumas tcnicas de minimizao tais como: Simplificao por lgebra de Boole Mapas de Veitch-Karnaugh Mtodo numrico de Quine-McClusky

Simplificao por lgebra de Boole Seja a equao obtida no quadro anterior:

considerando que , podemos escrever:

colocando em evidncia os termos comuns:

cbacbacbacbacbacbacbaf +++++=),,(

)()()(),,( ccbabbcaccbacbaf +++++=

aaa +=

cbacbacbacbacbacbaf ++++=),,(

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Minimizao

Considerando que e

simplificando novamente teremos:

aa =1

)(),,( aabcacbaf ++=

bacabacbaf ++=),,(

bcacbaf +=),,(

1=+ aa


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Minimizao

Exerccio: Determinar o menor circuito das seguintes tabelas verdades:

11110011010100011110101001000000

f(a,b,c)cba

11110011110110011110001011000000

f(a,b,c)cba

11110011110100011110001011001000

f(a,b,c)cba

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Mapas de Karnaugh

Uma mapa de Karnaugh um diagrama onde se coloca os valores de uma tabela verdade de modo a possibilitar a minimizao de funes de uma maneira grfica.

Baseia-se no princpio que entre clulas adjacentes apenas uma das variveis se altera.

Portanto, ao se agrupar clulas adjacentes, estaremos minimizando atravs do cancelamento da varivel que est mudando.

1

0

10110100bca

cba cba cba

cba

cba

cba cba cba

cba cba cba

cba

cba cba cba


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Mapas de Karnaugh

Exemplo Seja o seguinte mapa de Karnaugh:

Portanto, a funo mnima ser:

11011

00010

10110100bca

cbcbaacbacba =+=+ )(

baccbacbacba =+=+ )(

cbbaf +=

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Mapas de Karnaugh

Alguns exemplos de soluo de Mapas de Karnaugh de 4 variveis:

111101

000011

000010

000000

10110100cdab

dbf =

011001

011011

000010

000000

10110100cdab

baf =


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Mapas de Karnaugh

Alguns exemplos de soluo de Mapas de Karnaugh de 4 variveis:

000001

000011

100110

100100

10110100cdab

dbf =

`100101

100111

000010

000000

10110100cdab

dbf =

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Mapas de Karnaugh

O exemplo a seguir mostra que se deve cercar o maior nmero possvel de clulas, independente do fato delas j terem sido cercadas.

011001

111111

000010

000000

10110100cdab

dba 011001111111

000010

000000

10110100cdab

badbf +=badbaf +=

ba db

ba


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Exercicios

Dar a funo mnima dos seguintes Mapas de Karnaugh

110001

110011

001110

001100

10110100cdab

000001

111111

001110

000000

10110100cdab

111101

111111

100110

100100

10110100cdab

000001

000011

101110

101100

10110100cdab

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Exerccio

Determinar o menor circuito das seguintes tabelas verdades, utilizando-se de Mapas de Karnaugh

1111110111010110001101101001011100110001

11001100c

01100010011010101100100011000000

F(a,b,c,d)dba

1111100111110110001111101101011100110001

11001100c

11100010111000101100100011001000

F(a,b,c,d)dba

1111110111010110001111101101011100110001

11001100c

11100010111000100100100001001000

F(a,b,c,d)dba

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