Sistemas Dinámicos

Una introducción a través de ejercicios

Quinta edición

Eva Sánchez José González Joaquín Gutiérrez

Escuela Técnica Superior de Ingenieros IndustrialesUniversidad Politécnica de Madrid

Sistemas Dinámi os.Una introdu ión a través de ejer i iosE. Sán hez, J. González y J. GutiérrezSe muestran en este do umento algunas páginas del libro, que puede adquirirse enla Se ión de Publi a iones de la Es uela Té ni a Superior de Ingenieros Industrialesde Madrid.

Índi e generalPrólogo 111. Métodos elementales de resolu ión de e ua iones diferen iales or-dinarias 131.1. Deni iones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. E ua iones diferen iales exa tas. Fa tores integrantes . . . . . . . . . 161.2.1. E ua iones diferen iales exa tas . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2. Fa tores integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3. E ua iones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4. E ua iones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5. E ua iones diferen iales lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . 201.5.1. Existen ia y uni idad de solu ión del problema de valor ini ial 201.5.2. Estru tura del onjunto de solu iones . . . . . . . . . . . . . . 211.6. E ua iones de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7. E ua iones de Ri ati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.8. Algunos ejemplos de modelos matemáti osdes ritos por E.D.O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.8.1. Un modelo matemáti o de re imiento de una pobla ión . . . 221.8.2. Una apli a ión geométri a. Traye torias ortogonales . . . . . 241.8.3. Líneas de ampo de un ampo ve torial plano . . . . . . . . . 251.8.4. Curvas de perse u ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.9. Enun iados de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.10. Solu iones de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382. Existen ia, uni idad y prolongabilidad de solu iones 852.1. Existen ia y uni idad de solu ión para el problema de valores ini iales 862.2. Prolonga ión de solu iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.3. Problema de valor ini ial para un sistema diferen ial autónomo . . . . 882.4. Enun iados de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.5. Solu iones de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913. Sistemas diferen iales lineales de primer orden on oe ientes onstantes 953.1. Sistemas homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951

2 3.1.1. Sistemas diagonalizables en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.1.2. Sistemas diferen iales diagonalizables en C . . . . . . . . . . . 973.1.3. El aso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.2. Sistemas diferen iales lineales no homogéneos, on oe ientes ons-tantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.3. Sistemas lineales en diferen ias nitas, on oe ientes onstantes . . 1023.3.1. Matriz A diagonalizable en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.3.2. Matriz A diagonalizable en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.4. Matri es no negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.4.1. Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.4.2. Modelo de Leslie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.5. El espa io de fases de los sistemas lineales en el plano . . . . . . . . 1093.5.1. Una introdu ión al espa io de fases. Ejemplos sen illos . . . . 1093.5.2. Clasi a ión de los sistemas planos . . . . . . . . . . . . . . . 1113.5.3. Representa ión grá a de los sistemas planos en el aso deautovalores reales y distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.5.4. Representa ión grá a de los sistemas planos en el aso deautovalores omplejos onjugados . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.5.5. Representa ión grá a de los sistemas planos en el aso deautovalores reales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.6. Enun iados de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.7. Solu iones de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284. E ua iones lineales de orden n on oe ientes onstantes 1614.1. La e ua ión diferen ial homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.1.1. El sistema diferen ial lineal equivalente . . . . . . . . . . . . . 1614.1.2. Solu ión de la E.D.O. en el aso de sistema diferen ial equi-valente diagonalizable en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.1.3. Solu ión de la E.D.O. en el aso de sistema diferen ial equi-valente diagonalizable en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.1.4. Solu ión de la E.D.O. en el aso general . . . . . . . . . . . . 1634.2. La e ua ión diferen ial no homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.2.1. Método de varia ión de las onstantes . . . . . . . . . . . . . . 1654.2.2. Método de los oe ientes indeterminados . . . . . . . . . . . 1654.3. Apli a ión al ál ulo de la matriz exponen ial . . . . . . . . . . . . . 1664.4. El aso dis reto: E ua iones en diferen ias nitas, lineales y on oe- ientes onstantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.5. Una apli a ión me áni a: Vibra iones de una masa pendiente de unmuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.5.1. Movimiento libre (F (t) = 0), no amortiguado (a = 0) . . . . . 1704.5.2. Movimiento libre (F (t) = 0), amortiguado (a 6= 0) . . . . . . 1714.5.3. Movimiento forzado on amortiguamiento . . . . . . . . . . . 1744.6. Enun iados de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.7. Solu iones de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

35. Sistemas diferen iales lineales no autónomos 2015.1. Sistema diferen ial homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.1.1. Existen ia y uni idad de solu ión . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.1.2. Estru tura del espa io de solu iones . . . . . . . . . . . . . . . 2015.2. Determinante wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2025.2.1. Cara teriza ión de la independen ia lineal de onjuntos defun iones ualesquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2025.2.2. Cara teriza ión de la independen ia lineal para onjuntos desolu iones de sistemas diferen iales . . . . . . . . . . . . . . . 2035.3. Matri es fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.3.1. Rela ión entre las matri es fundamentales . . . . . . . . . . . 2055.3.2. Cambio de variable en un sistema diferen ial . . . . . . . . . . 2055.4. Sistema diferen ial no homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.5. E ua ión diferen ial lineal de orden n y oe ientes variables . . . . . 2075.5.1. Existen ia y uni idad de solu ión del problema de valores ini- iales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.5.2. Wronskiano de un sistema de fun iones es alares . . . . . . . . 2085.5.3. Redu ión del orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.5.4. La e ua ión diferen ial no homogénea . . . . . . . . . . . . . . 2095.6. Enun iados de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.7. Solu iones de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156. Introdu ión a los sistemas dinámi os 2336.1. Sistemas dinámi os o ujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.1.1. Deni ión de ujo o sistema dinámi o . . . . . . . . . . . . . . 2346.1.2. Órbitas o traye torias en un sistema dinámi o . . . . . . . . . 2346.1.3. Grupo uniparamétri o de difeomorsmos . . . . . . . . . . . . 2356.1.4. Campo de velo idades de un sistema dinámi o diferen iable . 2366.2. E ua iones diferen iales y sistemas dinámi os . . . . . . . . . . . . . 2376.2.1. Deni iones sobre e ua iones diferen iales . . . . . . . . . . . 2376.2.2. Rela ión entre sistemas diferen iales y sistemas dinámi os . . 2396.2.3. Ejemplo. Grupos uniparamétri os de difeomorsmos linealesen Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416.3. Integrales primeras de un sistema diferen ial autónomo . . . . . . . . 2416.3.1. Derivada de un ampo es alar respe to de un ampo ve torial 2416.3.2. Integrales primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2426.4. Estabilidad de los puntos de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . 2436.4.1. Estabilidad del origen en los sistemas diferen iales lineales on oe ientes onstantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2456.4.2. Lo aliza ión de las raí es de un polinomio . . . . . . . . . . . 2466.4.3. Puntos de equilibrio hiperbóli os . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.4.4. Estabilidad por el método dire to de Liapunov . . . . . . . . . 2506.5. Solu iones periódi as en sistemas planos . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.6. Sistemas gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

4 6.7. Sistemas me áni os onservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2546.7.1. El espa io de fases de los sistemas me áni os onservativos . . 2566.7.2. Espa io de fases del péndulo no lineal . . . . . . . . . . . . . . 2576.8. Conserva ión de la energía en ampos de fuerzas onservativos . . . . 2596.9. Enun iados de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.10. Solu iones de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737. Estabilidad de los sistemas dinámi os dis retos 3297.1. Sistemas dinámi os dis retos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3297.2. Un ejemplo de aos: La e ua ión logísti a dis reta . . . . . . . . . . . 3337.2.1. Puntos de equilibrio y su estabilidad . . . . . . . . . . . . . . 3347.2.2. Solu iones periódi as, bifur a ión y aos . . . . . . . . . . . . 3367.3. Enun iados de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3397.4. Solu iones de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3408. La transforma ión de Lapla e 3438.1. Deni ión y existen ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3438.2. Propiedades de la transforma ión de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . 3448.2.1. Deriva ión de la transforma ión de Lapla e . . . . . . . . . . . 3448.2.2. Transforma ión de Lapla e de una derivada . . . . . . . . . . 3458.2.3. Transforma ión de Lapla e de una primitiva . . . . . . . . . . 3458.2.4. Transforma ión de Lapla e de un produ to de onvolu ión . . 3468.2.5. Propiedad de trasla ión de la transforma ión de Lapla e . . . 3478.3. Inversión de la transforma ión de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . 3478.3.1. Obten ión de transformadas inversas . . . . . . . . . . . . . . 3488.4. Apli a iones de la transformada de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . 3508.4.1. Apli a ión de la transforma ión de Lapla e a la resolu ión deproblemas de valor ini ial para E.D.O. . . . . . . . . . . . . . 3508.4.2. El problema de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3518.4.3. Resolu ión de problemas de valor ini ial para e ua iones enderivadas par iales (E.D.P.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3538.5. No iones sobre la distribu ión δ de Dira . . . . . . . . . . . . . . . . 3558.5.1. Distribu iones en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3568.5.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3578.5.3. Derivada de una distribu ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3588.5.4. Transformada de Lapla e de una distribu ión . . . . . . . . . 3598.5.5. Resolu ión de un problema de valores ini iales . . . . . . . . . 3608.6. Enun iados de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3638.7. Solu iones de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3699. Series de Fourier 3939.1. Conjuntos ortonormales de fun iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3939.1.1. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3949.2. Series de Fourier en onjuntos ortonormales de R[a, b] . . . . . . . . . 395

59.2.1. Desigualdad de Bessel e identidad de Parseval . . . . . . . . . 3969.3. Series trigonométri as de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3969.3.1. Convergen ia puntual de la serie trigonométri a de Fourier . . 3979.3.2. Propiedades de los oe ientes de la serie trigonométri a deFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3989.3.3. Desarrollos de medio rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3999.4. Enun iados de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4019.5. Solu iones de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405A. Resultados previos 423A.1. Algunos resultados sobre fun iones trigonométri as . . . . . . . . . . 423Bibliografía 425

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Índi e de guras1.1. Curvas (x− λ)2 + y2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2. Curvas logísti as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3. Explosión de la pobla ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4. Curva de perse u ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5. Curva tra triz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6. Bar a ruzando un río . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7. Traye toria del perro que persigue al onejo . . . . . . . . . . . . . . 351.8. Tubería ilíndri a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.9. Teorema de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.10. Cardioides ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.11. Curva tal que OP = PM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631.12. Aumento del peso de un pez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.13. Depósito en forma de ono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.14. Flujo de alor a través de una tubería, on a grande . . . . . . . . . 761.15. Flujo de alor a través de una tubería, on a pequeño . . . . . . . . 771.16. Altura en un salto de longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.17. Demostra ión del Teorema de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.1. Solu ión del problema x′ = x2, x(0) = x0 . . . . . . . . . . . . . . . . 862.2. Innitas solu iones del problema x′ = x2/3, x(0) = 0 . . . . . . . . . . 922.3. Grá a de la fun ión x = 1/(2− sen t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.4. Grá a de la fun ión x = 1/(1− sen t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.1. Evolu ión de una pobla ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.2. Estudio ualitativo de la e ua ión x′ = ax . . . . . . . . . . . . . . . 1103.3. Autovalores reales distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.4. Autovalores omplejos onjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.5. Autovalor real doble: no genéri o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.6. Nodo inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.7. Nodo estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.8. Puerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.9. Un autovalor nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.10.MJ = JA∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.11. Fo o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.12. Centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167

8 3.13. Autovalor real doble: matriz diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . 1173.14. Autovalor doble: matriz no diagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . 1183.15. Autovalor doble nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.16. Con entra ión de sal en tres depósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.17. Con entra ión de sal en tres depósitos iguales . . . . . . . . . . . . . 1233.18. Temperaturas de una barra unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . 1253.19. ¾Existen estos sistemas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.20. Autovalores λ, µ del mismo signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.21. Autovalores λ, µ de signo distinto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.22. El primer sistema no existe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584.1. Vibra iones de una masa pendiente de un muelle . . . . . . . . . . . . 1694.2. Movimiento armóni o simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.3. Amortiguamiento super ríti o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.4. Movimiento os ilatorio amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.5. Amortiguamiento ríti o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.6. Amortiguamiento ríti o, on t1, t2 < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.7. Amortiguamiento ríti o on t1 < 0, t2 > 0 . . . . . . . . . . . . . . . 1744.8. Amortiguamiento ríti o on t1, t2 > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.9. Amplitud de xP en fun ión de la pulsa ión ω0 de la fuerza exterior . . 1754.10. Amplitud de xP para valores del amortiguamiento a→ 0 . . . . . . . 1764.11. Resonan ia sin amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.12. Modelo e onómi o de Samuelson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.13. Regiones de estabilidad e inestabilidad de la e onomía . . . . . . . . . 1944.14. Diagrama de fases del muelle: amortiguamiento super ríti o . . . . . 1974.15. Diagrama de fases del muelle: sin amortiguamiento . . . . . . . . . . 1974.16. Diagrama de fases del muelle: movimiento os ilatorio amortiguado . . 1984.17. Diagrama de fases del muelle: amortiguamiento ríti o . . . . . . . . 1985.1. Apli a ión aso iada al sistema en el intervalo (t0, t1) . . . . . . . . . . 2046.1. Rela ión entre sistemas dinámi os y sistemas diferen iales . . . . . . . 2406.2. Estabilidad de un punto de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2446.3. Punto de equilibrio atra tivo pero inestable . . . . . . . . . . . . . . . 2446.4. Fun ión de Liapunov V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2506.5. Posibles onjuntos ω-límite si O+(x0) es un onjunto a otado . . . . . 2526.6. Sistema me áni o onservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2576.7. Curvas de nivel de la energía total del péndulo . . . . . . . . . . . . . 2586.8. Diagrama de fases del péndulo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 2596.9. Folium de Des artes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2686.10. Tasa de re imiento x′/x de una pobla ión . . . . . . . . . . . . . . . 2706.11. Curva de nivel x2 + y2 − x2y2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2746.12. Diagrama de fases del sistema x′ = x2y − y, y′ = x− xy2 . . . . . . . 2756.13. Diagrama de fases del sistema x′ = x2 + y − 1, y′ = −2xy . . . . . . . 2776.14. Diagrama de fases del sistema x′ = xy2 − x, y′ = x2y − y . . . . . . . 278

96.15. Curva de nivel y2 = (x2 − a)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2796.16. Diagrama de fases del sistema x′ = y, y′ = 2x3 − 2ax . . . . . . . . . 2806.17. Diagrama de fases del sistema x′ = −xy2, y′ = −x2y . . . . . . . . . . 2826.18. Modelo de espe ies en ompeti ión, dependiente de un parámetro a . 2836.19. Diagrama de la evolu ión de una batalla . . . . . . . . . . . . . . . . 2846.20. Batalla ganada por el ejér ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2856.21. Batalla ganada por la guerrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2866.22. Determinar quién gana la batalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2876.23. Estrategia (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2886.24. Diagrama de fases del sistema x′ = 2xy, y′ = y2 − x2 . . . . . . . . . 2906.25. Curvas de nivel y(1 + x2) = C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2906.26. Espa io de fases del sistema x′ = −x(1 + x2), y′ = 2x2y . . . . . . . . 2916.27. Modelo de espe ies en ompeti ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2946.28. Diagrama del sistema x′ = y + xy, y′ = −x+ y2 . . . . . . . . . . . . 2986.29. Diagrama de fases del sistema x′ = x(b− ax) + y, y′ = (c− ax+ b)y . 2996.30. Diagrama de fases del sistema x′ = x2 − y, y′ = 1− y . . . . . . . . . 3006.31. Iso linas del sistema x′ = −x2 + 2x+ y, y′ = y − xy . . . . . . . . . . 3026.32. Diagrama de fases del sistema x′ = −x2 + 2x+ y, y′ = y − xy . . . . 3036.33. Curvas de nivel x2 + y2 + 9 = −10x/λ . . . . . . . . . . . . . . . . . 3046.34. Las órbitas en el eje OY al anzan la frontera de los ompa tos . . . . 3056.35. Diagrama de fases del sistema x′ = 2xy, y′ = 9− x2 + y2 . . . . . . . 3056.36. Diagrama de fases del sistema x′ = y − y3, y′ = x− x3 . . . . . . . . 3066.37. Diagrama de fases del sistema x′ = x− y2, y′ = x2 − y . . . . . . . . 3086.38. Diagrama de fases del sistema x′ = x(x2 − 1), y′ = y(1− y2) . . . . . 3106.39. Diagrama de fases del sistema r′ = r(r2 − 1), θ′ = r2 . . . . . . . . . . 3126.40. Diagrama de fases del sistema ρ′ = −ρ(ρ2 + b2), θ′ = 1 . . . . . . . . 3136.41. Diagrama de fases del sistema ρ′ = −ρ(ρ2 − b2), θ′ = 1 . . . . . . . . 3146.42. Dinámi a de una pobla ión animal (modelo logísti o) . . . . . . . . . 3156.43. Espa io de fases para la densidad de una pobla ión . . . . . . . . . . 3166.44. Curvas integrales que muestran la evolu ión de una pobla ión . . . . 3166.45. Sistema S ′ = −aSE, E ′ = aSE − bE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3176.46. Propaga ión de una enfermedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3186.47. Diagrama de fases del sistema x′ = x+ y−xy− y2, y′ = xy+x2−x− y3206.48. Movimiento de un uerpo eleste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3226.49. Sistema aso iado al ampo de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3246.50. Sistema me áni o onservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3256.51. Depósito on un ori io en el fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3277.1. Puntos de equilibrio de un sistema dinámi o dis reto . . . . . . . . . 3307.2. Puntos de equilibrio del sistema denido por T (x) = 1− 2|x− 1/2| . 3317.3. Puntos de equilibrio de los sistemas denidos por T 2 y T 3 . . . . . . . 3327.4. Diagrama obweb de un sistema dinámi o dis reto . . . . . . . . . . . 3327.5. Diagrama obweb de la e ua ión logísti a para µ = 1/2 . . . . . . . . 3357.6. Diagrama obweb de la e ua ión logísti a para µ = 2 . . . . . . . . . 335

10 7.7. Diagrama obweb de la e ua ión logísti a para µ = 4 . . . . . . . . . 3367.8. Las solu iones periódi as de periodo 2 existen para µ > 3 . . . . . . . 3367.9. E ua ión logísti a para µ = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3377.10. Pre io de equilibrio asintóti amente estable . . . . . . . . . . . . . . . 3417.11. Pre io de equilibrio estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3417.12. Pre io de equilibrio inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3428.1. Dominio t ≥ 0, t ≥ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3468.2. Su esión de fun iones que tienden a la δ de Dira . . . . . . . . . . 3568.3. Integrales de las fun iones que tienden a la δ . . . . . . . . . . . . . . 3568.4. Cir uito elé tri o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3668.5. Cir uito en el plano omplejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3778.6. Cir uito re tangular en el plano omplejo . . . . . . . . . . . . . . . . 3788.7. Intensidad en un ir uito elé tri o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3838.8. Solu ión de un problema de uerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . 3898.9. Fenómeno de resonan ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3929.1. Desarrollo par ial m-ésimo de Fourier de la fun ión f(x) = x en [−π, π]4089.2. Desarrollo de una fun ión par en [−4, 4] . . . . . . . . . . . . . . . . . 4179.3. Fun ión cosπx en [1, 2] extendida por periodi idad a R . . . . . . . . 4209.4. Desarrollo par ial m-ésimo en senos de f(x) = cos πx en [1, 2] . . . . 421

PrólogoLa presente ole ión de ejer i ios ha sido reda tada on la inten ión de ayudaren el estudio a aquellos alumnos que se enfrentan por vez primera a un urso deE ua iones Diferen iales Ordinarias.Hemos puesto el énfasis en el estudio ualitativo de las e ua iones diferen ialesy los sistemas dinámi os, omo herramienta importante para la omprensión del omportamiento de pro esos de evolu ión. Este es un enfoque moderno y en ontinuodesarrollo por su gran interés desde el punto de vista de las apli a iones, omopuede omprobarse on una revisión de la bibliografía extensísima y en ontinuaexpansión que a tualmente se dedi a a los sistemas dinámi os y sus apli a iones endiversos ampos de la ien ia, omo son la Físi a, la Biología o la E onomía. Somos ons ientes de la aren ia que supone el no in luir aspe tos de ál ulo numéri o, queno solo son indispensables en un estudio más profundo, sino que a laran e impulsanel desarrollo de multitud de aspe tos.Sin embargo, razones de espa io y tiempo disponibles para efe tuar una pro-grama ión de ontenidos oherente y realista on las posibilidades de asimila iónen un urso de un semestre, nos han obligado a efe tuar una ele ión, que siempre onlleva una renun ia. No hemos de o ultar que han inuido en ella, además del onven imiento de la importan ia y a tualidad del estudio ualitativo de las e ua- iones diferen iales, nuestras preferen ias personales. Por otra parte, des arga algonuestra inquietud la seguridad de que los estudiantes tienen múltiples o asiones deen ontrarse on el Cál ulo Numéri o en sus diferentes aspe tos.Dedi amos un primer apítulo a los métodos de resolu ión elemental de e ua- iones diferen iales ordinarias. Comenzar el estudio aprendiendo gran variedad deté ni as de integra ión puede ondu ir a la impresión errónea de que la resolu iónexplí ita de las e ua iones diferen iales de primer orden es tan solo un problema dehabilidad y experien ia en el manejo de ál ulos ompli ados. Nada más lejos de larealidad, ya que el ole tivo de e ua iones diferen iales ordinarias que admiten reso-lu ión explí ita es muy redu ido. Por ello, en la apli a ión a problemas prá ti os, losmétodos aproximados para un análisis uantitativo de las solu iones y los métodos ualitativos son esen iales. Sin embargo, es ne esario adquirir alguna experien ia enla obten ión de solu iones, por lo que animamos al le tor a resolver los ejer i iosque se proponen en este primer apítulo.Nuestra inten ión no ha sido es ribir un libro teóri o sobre e ua iones diferen- iales, porque ya existe muy variada bibliografía es rita por autores de gran ompe-ten ia en el tema, que ubre ualquier aspe to que se desee, numéri o o ualitativo.11

12 Sin embargo, no hemos dudado en introdu ir la teoría ne esaria, sin efe tuar asi nun a demostra iones, que pueda ayudar a onseguir una mejor omprensiónde los métodos expuestos. Al mismo tiempo, hemos pro urado que el texto seaautosu iente, de manera que el le tor que solo desee aprender a manejar iertasté ni as, pueda lograrlo. Hemos pro urado que los enun iados de los teoremas sean laros y pre isos, aunque no aparez a su demostra ión en la mayoría de los asos.Estas notas están dedi adas a estudiantes que no tienen una base matemáti amuy avanzada, on la inten ión de que puedan adentrarse en el ampo de las apli a- iones sin perderse en desarrollos matemáti os de un nivel superior al suyo. Hemoshe ho hin apié en onseguir una presenta ión lara de iertos on eptos té ni os,rela ionados prin ipalmente on la teoría de la estabilidad de los sistemas dinámi osy sus apli a iones, aun a osta de pres indir del formalismo y del rigor extremo.Creemos que el interés y la originalidad que puedan aportar estas notas se debenesen ialmente al riterio de sele ión de los ejer i ios y a su presenta ión, orientadaa la modela ión de pro esos físi os y naturales y, en esta línea, esperamos que sirvande ayuda para la utiliza ión posterior de textos espe ializados. La mayor parte delos ejer i ios y de las ideas que subya en en las apli a iones se han tomado de otrostextos, artí ulos y exámenes propuestos en entros universitarios.Se in luye al nal una breve lista de referen ias bibliográ as, on los prin ipalestextos que hemos utilizado en la reda ión de este trabajo.Agrade emos al Profesor Bernardo de la Calle la le tura uidadosa que ha efe -tuado de este texto así omo las modi a iones que ha sugerido.Madrid, O tubre de 2012Primera edi ión: Enero de 1999Segunda edi ión: Noviembre de 2003Ter era edi ión: Enero de 2006Cuarta edi ión: Marzo de 2010

Capítulo 1Métodos elementales de resolu iónde e ua iones diferen iales ordinarias1.1. Deni iones y ejemplosUna e ua ión diferen ial ordinaria (E.D.O.) es una expresión de la forma:

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0 (1.1)en la que F es una fun ión es alar de n+2 variables, denida en un dominio (abiertoy onexo) Ω ⊆ Rn+2, x es la variable independiente, la fun ión in ógnita es y = y(x),siendo y′, y′′, . . . , y(n) sus derivadas su esivas.Re ibe el adjetivo de ordinaria para distinguirla de las e ua iones diferen ialesen derivadas par iales (E.D.P.), que son aquellas en las que la fun ión in ógnitadepende de varias variables independientes, por lo que guran en la e ua ión algunasde sus derivadas par iales.Se llama orden de una E.D.O. al orden máximo de deriva ión de la fun iónin ógnita que gura en la e ua ión. Si la e ua ión es algebrai a en esta derivada deorden máximo, se llama grado de la E.D.O. al mayor exponente que afe te a esaderivada.Si una E.D.O. de orden n está es rita en la formay(n) = f

(x, y, y′, . . . , y(n−1)

),diremos que está es rita en forma normal o anóni a.Deni ión 1.1 (solu ión de una E.D.O.) Se di e que y = ϕ(x), x ∈]a, b[ , esuna solu ión de la E.D.O. (1.1) si satisfa e las ondi iones siguientes:(a) ϕ es derivable hasta el orden n en el intervalo ]a, b[ .(b) Para todo x ∈]a, b[ , el punto (x, ϕ(x), ϕ′(x), . . . , ϕ(n)(x)) pertene e al dominio

Ω de deni ión de la fun ión F . 13

14 E ua iones Diferen iales( ) Para todo x ∈]a, b[ , se veri a que F (x, ϕ(x), ϕ′(x), . . . , ϕ(n)(x)) = 0.Se denomina urva integral de una E.D.O. a la representa ión grá a de unasolu ión. En iertas o asiones, una e ua ión del tipo G(x, y) = 0 dene implí ita-mente una solu ión de la E.D.O. en un ierto intervalo, por lo que, en tal aso,esta expresión re ibe también el nombre de solu ión de la E.D.O., aun a riesgo de ometer alguna impre isión. En estos asos, llamaremos a la grá a de G(x, y) = 0 urva solu ión, porque tal urva en su totalidad puede ser la grá a de varias urvasintegrales.Ejemplo 1.1. Por sustitu ión dire ta en la E.D.O. yy′ = 1/2, se omprueba quelas fun iones y = +√x, y = −√

x son solu ión suya en el intervalo ]0,+∞[ .Por lo tanto, la e ua ión y2 = x dene implí itamente en ]0,+∞[ dos solu ionesde la E.D.O. La parábola y2 = x es una urva solu ión, formada por dos urvasintegrales que orresponden a las representa iones grá as de y = +√x, y = −√

x.Un ejemplo tan sen illo omo la E.D.O. y′ = y, que admite omo solu ión ual-quier fun ión de la forma y = kex on k ∈ R, nos sugiere que, usualmente, las E.D.O.tienen solu iones que ontienen onstantes arbitrarias. En general, una E.D.O. deorden n tiene solu iones que ontienen exa tamente n onstantes arbitrarias esen- iales. Pre isaremos que las onstantes que apare en en una expresión se denominanesen iales si su número no puede redu irse por medio de manipula iones algebrai as.Hay sin embargo ex ep iones a la regla general anterior. Así por ejemplo, la E.D.O.|y′|+ |y| = 0 úni amente admite la solu ión y = 0.En lo que sigue, vamos a tratar on E.D.O. que están en la primera situa ión delas des ritas, por lo que es onveniente introdu ir las siguientes deni iones:Solu ión general de una E.D.O. de orden n. Es una familia n-paramétri ade solu iones de la E.D.O.Solu ión parti ular. Es una solu ión obtenida a partir de la solu ión general,asignando valores numéri os a las onstantes que guran en di ha solu ióngeneral.Solu ión singular. Es una solu ión de la E.D.O. que no está englobada en lasolu ión general.Ejemplos 1.2. (a) La E.D.O. y′ = y tiene omo solu ión general y = kex. Conel n de omprobar que esta solu ión general des ribe al onjunto de todas lassolu iones de la E.D.O., supongamos que u(x) es una solu ión. Derivamos la fun iónauxiliar f(x) = u(x)e−x, teniendo en uenta que u′(x) = u(x):

f ′(x) = u′(x)e−x − u(x)e−x = u(x)e−x − u(x)e−x = 0.Puesto que f está denida en todo R, on luimos que f(x) ≡ k, lo que impli ainmediatamente que u(x) = kex. Así pues, la E.D.O. anterior no tiene solu ionessingulares.

1. Métodos Elementales 15x

y

1

0

Figura 1.1: Curvas (x− λ)2 + y2 = 1(b) Consideremos la familia de ir unferen ias de radio 1, entradas en el eje OX(Figura 1.1).La e ua ión de esta familia es(x− λ)2 + y2 = 1. (1.2)Con el n de obtener una E.D.O. uya solu ión general sea (1.2), derivamos en lae ua ión de la familia respe to de x:2(x− λ) + 2yy′ = 0.Esta e ua ión permite obtener λ = x+yy′ que, sustituido en (1.2), propor iona parala familia la E.D.O.:y2(1 + y′

2)= 1.Esta E.D.O. admite las solu iones singulares y = 1, y = −1, que son la envolventede la familia de ir unferen ias.Sea una familia n-paramétri a de urvas planas:

f(x, y, c1, c2, . . . , cn) = 0en donde ci (i = 1, . . . , n) son n onstantes arbitrarias esen iales. Derivando nve es en esta e ua ión y efe tuando manipula iones algebrai as, es posible, al menosteóri amente, eliminar las onstantes, onsiguiéndose una E.D.O. de orden n sa-tisfe ha por di ha familia de urvas planas. Es de ir, uando una E.D.O. se haobtenido por un pro eso de elimina ión a partir de una familia n-paramétri a de urvas planas, es evidente que di ha E.D.O. admite una solu ión general que dependede n onstantes arbitrarias.Pero lo que no es evidente (ni ierto), es que ualquier E.D.O. de orden n puedaobtenerse por este pro edimiento, a partir de una familia n-paramétri a de urvasplanas, así que no se puede asegurar a priori que tal E.D.O. posea una solu ióngeneral, en el sentido de la deni ión anterior.Para obtener una E.D.O. a partir de una familia de urvas dada, es ne esariosuponer ondi iones de ontinuidad y derivabilidad hasta un ierto orden a las fun- iones impli adas. Por las mismas razones, en el problema inverso, es de ir, en el

16 E ua iones Diferen ialesproblema de obtener la solu ión general a partir de la E.D.O., es ne esario exigir aesta alguna regularidad. Desde un punto de vista teóri o, el primer problema que sepresenta es el de onseguir un onjunto de ondi iones, lo más sen illo posible, demodo que pueda asegurarse la existen ia de solu ión que umpla tales ondi iones.En su momento, se estable erá un teorema de existen ia y uni idad de solu ión queasegurará la existen ia de solu ión de la E.D.O. que satisfa e n ondi iones ini ialesprejadas. Por lo tanto, en las ondi iones de regularidad de tal teorema, la solu iónde una E.D.O. de orden n depende de n onstantes arbitrarias, lo que justi a ladeni ión anterior de solu ión general.1.2. E ua iones diferen iales exa tas. Fa tores inte-grantes1.2.1. E ua iones diferen iales exa tasConsideremos una e ua ión diferen ial de la formaP (x, y) +Q(x, y)y′ = 0 (1.3)en la que y = y(x) es la fun ión in ógnita, y P , Q son fun iones de lase C1 denidasen un dominio abierto Ω ⊆ R2.Diremos que esta E.D.O. es exa ta si existe una fun ión es alar U : Ω → R talque, para todo (x, y) ∈ Ω,

∂U

∂x(x, y) = P (x, y) ,

∂U

∂y(x, y) = Q(x, y).La fun ión U se denomina fun ión poten ial de la e ua ión diferen ial.Teorema 1.2 La solu ión general de la e ua ión (1.3) es

U(x, y) = C (1.4)siendo U la fun ión poten ial y C una onstante arbitraria.Pre isando, esto signi a que la fun ión y = ϕ(x) denida implí itamente por lae ua ión (1.4) para ada valor admisible de la onstante C, on x pertene iendo aun ierto intervalo I ⊆ R, satisfa e la E.D.O. (1.3).Se plantea de manera natural el problema de re ono er si una e ua ión diferen ialdel aspe to (1.3) es exa ta o no. En realidad, se trata de bus ar un riterio que nospermita asegurar la existen ia de un ampo es alar U tal que∀(x, y) ∈ Ω , ∇U(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), donde ∇U =

(∂U

∂x,∂U

∂y

).

1. Métodos Elementales 17Un resultado ono ido del Análisis Matemáti o asegura que si Ω es un sub onjuntoabierto y simplemente onexo de R2, la fun ión U existe si y solo si∀(x, y) ∈ Ω ,

∂P

∂y(x, y) =

∂Q

∂x(x, y).Una vez asegurada la existen ia de U , puede pro ederse a su ál ulo por ualquiermétodo de determina ión de fun ión poten ial de un ampo ve torial (P,Q). Unmétodo sen illo es el siguiente:Puesto que P = ∂U/∂x, será:

U(x, y) =

∫P (x, y) dx+ ϕ(y)en donde la fun ión ϕ se determina por la ondi ión:

∂U

∂y(x, y) = Q(x, y).Es evidente que los ál ulos pueden también efe tuarse de la manera siguiente:

U(x, y) =

∫Q(x, y) dy + ψ(x) ;

∂U

∂x(x, y) = P (x, y).1.2.2. Fa tores integrantesLlamaremos fa tor integrante de una e ua ión (1.3) que no sea exa ta, a unafun ión µ(x, y) denida en Ω y tal que la E.D.O.

µP + µQy′ = 0sea exa ta. Suponiendo que Ω sea un sub onjunto abierto y simplemente onexo delplano, el fa tor integrante µ debe satisfa er la ondi ión∂

∂y(µP ) =

∂

∂x(µQ),que da lugar a la E.D.P.:

µ∂P

∂y+ P

∂µ

∂y= µ

∂Q

∂x+Q

∂µ

∂x uya resolu ión es posible en algunos asos, si se ono e alguna ondi ión suplemen-taria sobre µ.Por ejemplo, si se sabe que el fa tor integrante depende solo de la variable x,µ = µ(x), la e ua ión anterior se redu e a una E.D.O.:

µ(x)∂P

∂y(x, y) = µ′(x)Q(x, y) + µ(x)

∂Q

∂x(x, y)

18 E ua iones Diferen ialeso bienµ′(x)

µ(x)=

(∂P/∂y)(x, y)− (∂Q/∂x)(x, y)

Q(x, y)(1.5)en donde el segundo miembro dependerá úni amente de la variable x.El fa tor integrante será:

µ(x) = exp

(∫∂P/∂y − ∂Q/∂x

Qdx

).De lo anterior resulta que un riterio para determinar si una E.D.O. admite unfa tor integrante dependiente solo de la variable x es que la expresión que gura enel segundo miembro de (1.5) dependa úni amente de di ha variable x.Análogamente se razona que la E.D.O. admite un fa tor integrante dependientede la variable y si solo gura tal variable en la expresión:

(∂Q/∂x)(x, y)− (∂P/∂y)(x, y)

P (x, y).En tal aso, el fa tor integrante es:

µ(y) = exp

(∫∂Q/∂x − ∂P/∂y

Pdy

).Puede probarse que si de una E.D.O. no exa ta se ono en dos fa tores integran-tes fun ionalmente independientes µ, ν, enton es la solu ión general de la E.D.O.es:

µ(x, y)

ν(x, y)= C.Nota. Re ordamos que dos fun iones f(x, y), g(x, y) se di en fun ionalmente in-dependientes en Ω ⊆ R2 si, para todo (x, y) ∈ Ω, su determinante ja obiano veri a

∣∣∣∣∣∣∣∣

∂f

∂x

∂f

∂y∂g

∂x

∂g

∂y

∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0.1.3. E ua iones de variables separablesSon E.D.O. de la forma:

X1(x)Y1(y) +X2(x)Y2(y)y′ = 0en las que suponemos que las fun iones X1, X2 son de lase C1 en un intervalo

I1 ⊆ R, las fun iones Y1, Y2 son de lase C1 en un intervalo I2 ⊆ R, y el produ toX2(x)Y1(y) no se anula en ningún punto de I1 × I2.

6. Sistemas Dinámi os 2616.9. Enun iados de problemas6.1. Se onsidera el sistema de e ua iones diferen ialesx′ = x2y − y ; y′ = x− xy2.Se pide:1) Puntos de equilibrio y estudio de su estabilidad mediante la linealiza ión.Determinar los puntos de equilibrio uya estabilidad no puede de idirse linealizando.2) Determinar una onstante a tal que la fun iónf(x, y) = x2 + y2 + ax2y2sea una integral primera del sistema. Dibujar la urva de nivel f(x, y) = 1 y re-presentar el ampo ve torial aso iado al sistema sobre los puntos de esa urva denivel.3) Estudiar la estabilidad de los puntos de equilibrio no resueltos en el primerapartado, tratando de en ontrar apropiadas fun iones de Liapunov.4) Determinar y dibujar en el plano el onjunto de puntos (a, b) que, tomados omo ondi ión ini ial para t = 0, determinan semitraye torias a otadas para t ≥

0. Apli ando el teorema de Poin aré-Bendixson, estudiar la posible existen ia deórbitas erradas.5) Ha er un dibujo uidadoso de las distintas órbitas en el espa io de fases.6.2. Se onsidera el sistema de e ua iones diferen ialesx′ = x2 + y − 1 , y′ = −2xy.Se pide:1) Puntos de equilibrio y estudio de su estabilidad por linealiza ión. Determinarlos puntos de equilibrio uya estabilidad no se puede de idir por linealiza ión.2) Determinar una onstante a para que la fun ión

f(x, y) = ax2y + y2 − ayresulte ser una integral primera del sistema. Dibujar la urva de nivel f(x, y) = 0 yrepresentar el ampo ve torial aso iado al sistema sobre los puntos de esa urva denivel.3) Estudiar la estabilidad de los puntos de equilibrio no resueltos en el primerapartado, tratando de en ontrar ade uadas fun iones de Liapunov.4) Obtener y dis utir las onse uen ias que en este sistema se dedu en de losteoremas de Bendixson, Poin aré y Poin aré-Bendixson.5) Ha er un dibujo uidadoso de las distintas órbitas en el espa io de fases.6.3. Se onsidera el sistema de e ua iones diferen ialesx′ = xy2 − x , y′ = x2y − y.

262 E ua iones Diferen ialesSe pide:1) Demostrar que es un sistema gradiente. Cal ular la fun ión poten ial.2) Determinar los puntos de equilibrio. Estudiar su estabilidad y su estabilidadasintóti a.3) Ha er un dibujo uidadoso de las distintas órbitas en el plano de fases.6.4. Se onsidera la e ua ión diferen ial de segundo ordenx′′ + 2ax− 2x3 = 0donde a es un parámetro real. Se pide:1) Es ribir por el pro edimiento usual un sistema diferen ial en las in ógnitas

x1(t), x2(t), equivalente a la e ua ión diferen ial anterior. Determinar los puntos deequilibrio de di ho sistema.2) Determinar b de manera que la fun iónf(x1, x2) = (x2 − x21 + b)(x2 + x21 − b)sea una integral primera del sistema obtenido. Dibujar la urva de nivel 0 de di hafun ión.3) Estudiar la estabilidad según Liapunov de los puntos de equilibrio.4) Dis utir la posible existen ia y lo aliza ión de órbitas erradas, estudiando las onse uen ias que pueden dedu irse de la apli a ión de los teoremas de Bendixson,Poin aré y Poin aré-Bendixson.5) Ha er un dibujo uidadoso de las órbitas en el espa io de fases.Nota. Seguramente será ne esario distinguir diferentes asos (genéri os y no ge-néri os) según los valores del parámetro a.6.5. La fun ión f(x, y) = 2x− 4 arc tgx− y2 es una integral primera del sistemadiferen ial autónomo plano

x′ = x2y + y , y′ = v(x, y).Determinar los puntos de equilibrio del sistema y estudiar su estabilidad en el sentidode Liapunov.6.6. Dos espe ies en ompeti ión, de pobla iones respe tivas x(t), y(t) (x ≥ 0, y ≥0), disminuyen sus pobla iones de manera que la velo idad de disminu ión de adapobla ión es propor ional a la propia pobla ión on oe iente de propor ionalidadigual al uadrado de la pobla ión ontraria.Se pide:1) Formular un modelo matemáti o de la dinámi a de las pobla iones onsistenteen un sistema de e ua iones diferen iales de primer orden.2) En ontrar una integral primera del sistema. Determinar el espa io de fases.Dibujar las órbitas en el espa io de fases. Indi ar en el dibujo los puntos de equilibrioy estudiar su estabilidad.

6. Sistemas Dinámi os 2736.10. Solu iones de los problemasProblema 6.1.• 1) Los puntos de equilibrio son las solu iones del sistema no lineal:

x2y − y = 0 , x− xy2 = 0,es de ir, los in o puntos(0, 0) , (1, 1) , (−1, 1) , (1,−1) , (−1,−1).Sea v(x, y) el ampo ve torial aso iado al sistema diferen ial. Con el n de estudiarla estabilidad de los puntos de equilibrio por linealiza ión, al ulamos la matrizja obiana de di ho ampo ve torial:

Dv(x, y) =

[2xy x2 − 1

1− y2 −2xy

].La matriz del sistema linealizado en el punto (0, 0) es:

Dv(0, 0) =

[0 −11 0

],que tiene los valores propios ±i. Ambos autovalores tienen su parte real nula, porlo que no puede determinarse la estabilidad del punto (0, 0) por linealiza ión.Las matri es de los sistemas linealizados aso iados a ada uno de los restantespuntos de equilibrio son:

Dv(1, 1) =

[2 00 −2

]; Dv(1,−1) =

[−2 00 2

]

Dv(−1, 1) =

[−2 00 2

]; Dv(−1,−1) =

[2 00 −2

].Todas estas matri es tienen los mismos autovalores, ±2, lo que nos permite on luirque los uatro puntos de equilibrio son puertos y, por lo tanto, inestables.

• 2) Utilizando la nota ión v(x, y) = (v1(x, y), v2(x, y)), la ondi ión que debe satis-fa er f para ser una integral primera del sistema es:0 ≡ ∂f

∂xv1 +

∂f

∂yv2

≡ (2x+ 2axy2)(x2y − y) + (2y + 2ax2y)(x− xy2)

≡ 2xy(x2 − y2)(1 + a),de donde se obtiene a = −1. Por lo tanto, el sistema diferen ial tiene la integralprimeraf(x, y) = x2 + y2 − x2y2.

274 E ua iones Diferen ialesObsérvese que, para este sistema diferen ial, la integral primera podría haberse al ulado dire tamente ya que, a lo largo de las traye torias, se tiene:y′(x) =

y′(t)

x′(t)=x(1− y2)

y(x2 − 1),que es una E.D.O. de primer orden de variables separables, uya solu ión general espre isamente

x2 + y2 − x2y2 = C.La urva de nivel f(x, y) = 1 es1 = x2 + y2 − x2y2 =⇒ (1− x2)(1− y2) = 0,que está formada por las uatro re tas x = ±1, y = ±1. En la Figura 6.11 serepresenta esta urva de nivel junto on el ampo ve torial denido por el sistemasobre ella.

x0

y

Figura 6.11: Curva de nivel x2 + y2 − x2y2 = 1

• 3) La integral primera f es un andidato a fun ión de Liapunov no estri ta parael punto (0, 0), que es el úni o punto de equilibrio uya estabilidad aún no se hadeterminado. Ello se debe a que satisfa e la ondi iónLvf(x, y) = 0.Puesto que f(0, 0) = 0 y el origen es un mínimo relativo estri to para f , on luimosque efe tivamente la integral primera satisfa e las ondi iones exigidas omo fun iónde Liapunov en (0, 0). Por lo tanto, el origen es un punto de equilibrio estable.No es asintóti amente estable, porque la integral primera no es onstante en unentorno del origen.

• 4) A la vista de la grá a de la urva de nivel 1 de la integral primera, el onjuntopedido es el uadrado ompa to |x| ≤ 1, |y| ≤ 1. Este onjunto es también posi-tivamente invariante, puesto que su frontera está formada por órbitas del sistemadinámi o.

6. Sistemas Dinámi os 275Como la integral primera no es onstante en ningún sub onjunto abierto delplano, el sistema no tiene i los límite estables o inestables, ni tampo o es posible laarma ión ( ) del Teorema 6.30 de Poin aré-Bendixson. Ninguna traye toria tiendeal origen; en efe to, si alguna lo hi iera, omo f es ontinua, debería ser f ≡ 0 sobrela traye toria, lo que ontradi e el he ho de ser el origen un mínimo relativo estri topara f .En onse uen ia, el teorema de Poin aré-Bendixson impli a que todas las tra-ye torias ontenidas en el uadrado |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 son erradas.Di ho uadrado es la úni a región del plano de fases que puede ontener órbi-tas erradas ya que, según el teorema de Poin aré, toda traye toria errada debe ontener en su interior un punto de equilibrio. Por lo tanto, no pueden en ontrarserodeando a los puntos de equilibrio distintos del origen, ya que enton es ortarían alas traye torias ontenidas en las re tas x = ±1, y = ±1.• 5) El diagrama de fases se representa en la Figura 6.12.

x0

y

Figura 6.12: Diagrama de fases del sistema x′ = x2y − y, y′ = x− xy2Problema 6.2.• 1) Los puntos de equilibrio son las solu iones del sistema

x2 + y − 1 = 0 , xy = 0,es de ir,(0, 1) , (1, 0) , (−1, 0).Utilizaremos la nota ión v = (v1, v2) para representar el ampo ve torial aso iadoal sistema diferen ial. Con el n de estudiar la estabilidad por linealiza ión de lospuntos de equilibrio del sistema, al ulamos la matriz ja obiana del ampo ve torial:Dv(x, y) =

[2x 1

−2y −2x

].

276 E ua iones Diferen ialesLas matri es de los respe tivos sistemas linealizados en los puntos de equilibrio son:Dv(0, 1) =

[0 1

−2 0

], Dv(1, 0) =

[2 10 −2

], Dv(−1, 0) =

[−2 10 2

].Los sistemas linealizados aso iados a los puntos de equilibrio (1, 0), (−1, 0) tienenlos autovalores ±2, por lo que ambos puntos son puertos, luego son inestables. Elsistema linealizado aso iado al punto (0, 1) tiene ambos autovalores on parte realnula, por lo que su estabilidad no puede de idirse por linealiza ión.

• 2) La fun ión f ha de satisfa er la ondi ión:0 ≡ ∂f

∂xv1 +

∂f

∂yv2 ≡ 2axy(x2 + y − 1) + (ax2 + 2y − a)(−2xy) ≡ 2xy2(a− 2),de la que se obtiene a = 2. Por tanto, una integral primera es

f(x, y) = 2x2y + y2 − 2y.También podía haberse hallado dire tamente esta integral primera ya que, a lolargo de una traye toria, se tienedy

dx=

−2xy

x2 + y − 1,E.D.O. exa ta, que tiene omo solu ión general 2x2y + y2 − 2y = C.La urva de nivel ero de la integral primera es

2x2y + y2 − 2y = 0,que se ompone de la re ta y = 0 y la parábola y = 2 − 2x2. El ampo ve torialsobre esa urva de nivel queda representado en la Figura 6.13.• 3) El úni o punto de equilibrio uya estabilidad queda por determinar es el punto(0, 1). La integral primera satisfa e todas las ondi iones exigidas a una fun ión deLiapunov no estri ta, por lo que di ho punto de equilibrio es estable.No es asintóti amente estable porque la integral primera no es onstante en unentorno del punto de equilibrio.• 4) Según el teorema de Poin aré, las órbitas erradas rodean a los puntos deequilibrio. Puesto que las traye torias no pueden ortarse, se dedu e del aspe to dela urva de nivel ero de la integral primera que solo puede haber órbitas erradasen el dominio ompa to limitado por la parábola y = 2− 2x2 y la re ta y = 0.El mismo razonamiento del Problema 6.1 permite on luir que, en el interior deese ompa to, todas las traye torias son erradas.• 5) Se representa el diagrama de fases en la Figura 6.13.

6. Sistemas Dinámi os 2771 1

1

x

y

0

Figura 6.13: Diagrama de fases del sistema x′ = x2 + y − 1, y′ = −2xyProblema 6.3.• 1) Denotaremos por v = (v1, v2) el ampo ve torial aso iado al sistema diferen- ial. Este ampo ve torial está denido en todo el plano y, puesto que satisfa e la ondi ión

∂v1∂y

= 2xy =∂v2∂x

,es un ampo onservativo. Equivalentemente, el sistema diferen ial propuesto es unsistema gradiente.El poten ial es alar del ampo ve torial se al ula por los métodos des ritos enel apartado 1.2.1, resultando en este aso:U(x, y) = −1

2(x2y2 − x2 − y2).Se onviene en es ribir el sistema diferen ial en la forma (x′, y′) = − gradV (x, y),por lo que denominaremos en lo que sigue fun ión poten ial del sistema diferen iala V = −U .Ya sabemos, por lo tanto, que este sistema no tiene órbitas erradas.

• 2) Los puntos de equilibrio son solu ión del sistema:x(y2 − 1) = 0 , y(x2 − 1) = 0.Resultan los in o puntos

(0, 0) , (1, 1) , (1,−1) , (−1, 1) , (−1,−1).La matriz ja obiana del ampo ve torial esDv(x, y) =

[y2 − 1 2xy2xy x2 − 1

].

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