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Tema 1: Señales y Sistemas

1. Introducción.2. Señales continuas y discretas.3. Transformaciones de la variable independiente.4. Características de señales.5. Señales elementales6. Propiedades de los sistemas.

c!Luis Vielva, Grupo de Tratamiento Avanzado de Senal. Dpt. Ingenierıa de Comunicaciones. Universidad de Cantabria. Senales y sistemas. Tema 1: Senales y Sistemas. OpenCourseWare – p. 1/58

1.1 Introducción¿Qué es una señal?Una función (t, x, . . . ) que lleva información acerca delproceso físico o matemático al que representa.Ejemplos de señales:

CD, MP3, ECG, EEG, RNM, PET, TAC {ecg.m}.Tensión de un micrófono {anykey.m}.Señales de radio.Número de manchas solares en un año.Radiación fondo cósmico microondas {cmbr.m}.Cotización acciones {msft.m}


1.1 Introducción (II)

Representación matemática como función de una omás variables independientes.Continua unidimensional: x(t) ! R,C.Discreta unidimensional: x[n]oxn ! R,C.Bidimensionales: x(u, v), x[n,m], xn,m.Función cuyo patrón de variación lleva información.Señales deterministas y aleatorias (ruido).Procesado de señal: representación, transformación ymanipulación de señales y de la información quecontienen.


1.1 Introducción (III)

¿Qué es un sistema?Cualquier dispositivo físico u operador matemático quetransforma señal(es) de entrada en señal(es) de saliday/o algún efecto físico.Un sistema realiza operaciones sobre señales, lasmodifica {riceedge.m}, {eco.m}.Es una abstracción matemática de un sistema físico, unmodelo.Matemáticamente, un operador: x(t) h"# y(t).

x(t)h(·) y(t)


1.2 Señales continuas y discretas

Señales continuas: x(t) o xc(t). Familiaridad porcircuitos eléctricos, mecánica, . . .La secuencia x[n] está definida para n ! Z.Para poder tratar numéricamente una señal en unordenador se necesita muestrear y cuantizar{sampling.m, cuantos.m}Periodo de muestreo T ,

x[n] = x(nT ).

Intervalo de cuantificación !:

x[n] = ! round!x(nT )

!

".


1.2 Señales continuas y discretas (II)

tiempo / amplitud continua discretacontinuo analógica cuantizadadiscreto muestreada digital

Cuatro tipo de señales {contdisc.m}.Cuantificación: la señal e[n] es una secuencia aleatoriaacotada {qnoise.m}.Por defecto, trabajaremos con señales analógicas(continuas) y muestreadas (discretas).


1.3 Transf. de la variable independiente

Pregunta básica:¿Cómo cambia x(t) o x[n] cuando se transforma t o n?Desplazamiento temporal:

x(t) # x(t" t0) {shiftc.m, shiftd.m}.Retrasada si t0 > 0, adelantada si t0 < 0.Ejemplo: y[n] = x[n] + x[n" n0] {eco.m}.Tiempo de propagación.

Inversión temporal: x["n] {back.m}Escalado temporal: x(2t) comprimida, x(t/2) expandida{escala.m}, {cartaesc.m}.¿Somos capaces de reconocer la voz?


1.3 Transf. variable independiente (II)

La transformación y(t) = x(!t+ ") conserva la forma.y(t) = x(!t+ "): y(0) = x("), y(""/!) = x(0).Ejemplo: si x(t) = [|t| < 1], calcular y(t) = x(2t+ 3).Método 1 {orden.m}:i) t # !t: p(t) = x(!t).ii) t # t+ ": q(t) = x(!(t+ ")) = x(!t+ !") $= y(t).iii) t # t+ "/!: r(t) = x(!t+ ") = y(t).Método 2:i) t # t+ "t: u(t) = x(t+ ").ii) t # !t: v(t) = x(!t+ ") = y(t).


1.4 Características de señalesSeñales periódicas.Señales pares e impares.Señales simétricas conjugadas.Energía y potencia de una señal.


1.4.1 Señales periódicas

Si existe T > 0 tal que x(t+ T ) = x(t) para todo t.

tT 2T 3T 4T

Se verifica x(t) = x(t+mT ) para todo m ! Z.T0 es el periodo fundamental, excepto si x(t) = cte.x[n+N ] = x[n], N0. N, 2N, 3N, . . . .Frecuencia angular:

Continua: " =2#

Trad/s.

Discreta: $ =2#

Nrad.


1.4.2 Señales pares e impares

Par: x(t) = x("t), x[n] = x["n].Impar: x(t) = "x("t), x[n] = "x["n].Si es impar, x(0) = 0, x[0] = 0.

tt0"t0

x(t0)

tt0

"t0

x(t0)

x("t0)


1.4.2 Señales pares e impares (II)

Toda señal puede ponerse como la suma de una señalpar y otra impar.Si definimos

xe(t) =1

2(x(t) + x("t)),

xo(t) =1

2(x(t)" x("t)).

Entonces, x(t) = xe(t) + xo(t).


1.4.2 Señales pares e impares (II)

Hacer ejercicios 1.34 y 1.37.Ejemplo, descomponer x[n] = [n % 0].

x["n] = ["n % 0] = [n & 0],

xe[n] =1

2([n % 0] + [n & 0])

=1

2([n > 0] + 2[n = 0] + [n < 0]) =

1

2+

1

2[n = 0],

xo[n] =1

2([n > 0]" [n < 0]) =

1

2[n > 0]" 1

2[n < 0].

Mostrar notación convencional.


1.4.3 Señales simétricas conjugadas

Es el criterio de paridad importante para señalescomplejas.x(t) es simétrica conjugada si x("t) = x!(t).Sea x(t) = a(t) + jb(t) simétrica conjugada:

x("t) = a("t) + jb("t)

= a(t)" jb(t).

Por tanto, a(t) es par y b(t) impar.


1.4.4 Energía y potencia de una señal

v(t) i(t)

Potenciap(t) = v(t)i(t) =

1

Rv2(t).

Energía t1 & t & t2:# t2

t1

p(t) dt =

# t2

t1

1

Rv2(t) dt.

Potencia media:

1

t2 " t1

# t2

t1

p(t) dt.


1.4.4 Energía y potencia de una señal (II)

Energía en un intervalo:# t2

t1

|x(t)|2 dt,n2$

n=n1

|x[n]|2.

Potencia media en el intervalo:

1

t2 " t1

# t2

t1

|x(t)|2 dt, 1

n2 " n1 + 1

n2$

n=n1

|x[n]|2.

Integral: área bajo la curva (de |x(·)|2).


1.4.4 Energía y potencia de una señal (III)

Energía:

E" = limT#"

# T

$T|x(t)|2 dt =

# "

$"|x(t)|2 dt,

"$

n=$"|x[n]|2.

Potencia:

P" = limT#"

1

2T

# T

$T|x(t)|2 dt, lim

N#"

1

2N + 1

N$

n=$N

|x[n]|2.


1.4.4 Energía y potencia de una señal (IV)

Señales de energía finitaE" < '.

P" = limT#"E"2T

= 0.

Ej: x(t) = [|t| & 1]: E" = 2, P" = 0.Señales de potencia finita

P" > 0, finita.E" = '.Ej: x[n] = 4: P" = 16, E" = '.

Ejemplo de señal con P" y E" infinitas: x(t) = t.


1.5 Señales elementales

Son importantes porque:Sirven de base para otras.Modelan situaciones reales

1. Señales exponenciales y sinusoidales.(a) Continuas.(b) Discretas.(c) Propiedades de periodicidad.

2. Impulso, escalón y rampa.(a) Discretas.(b) Continuas.


1.5.1.1 Exponenciales continuas

Exponenciales complejas continuas:

x(t) = Ceat, donde a, C ! C.

Exponenciales reales: a, C ! R.Si a <% 0: decreciente, creciente o constante.

ete$t

1


1.5.1.1 Exponenciales continuas (II)

Exponenciales complejas periódicas:

C ! C, C = |C|ej! = Aej!;

a ! I, a = j"0.

x(t) = |C|ej(!0t+!).Periódica si x(t+ T ) = x(t).Período: T = 2"

!0, ya que ej# = ej(#±2"). T |!0

= T |$!0.

Frecuencias negativas: gira en sentido contrario.Cualquier "0 da lugar a una señal periódica."0 = 2#f0, f0 = 1

T .


1.5.1.1 Exponenciales continuas (III)

Si x(t) = Aej(!0t+!), según la regla de Euler:

Re{x(t)} = A cos("0t+ %), Im{x(t)} = A sen("0t+ %).

T

2Tt

A

A

t

"0t

A

"0t


1.5.1.1 Exponenciales continuas (IV)

Señales armónicamente relacionadas,

%k(t) = ejk!0t, k = 0,±1, . . . .

Energía y potencia: sea x(t) = ej!0t,ET0 =

% T0

0 |ej!0t|2 dt = T0,PT0 = 1,E" = ',P" = 1.


1.5.1.1 Exponenciales continuas (V)

Caso general: C = |C|ej#, a = r + j"0.

x(t) = |C|ertej(!0t+#)

= |C|ert cos("0t+ &) + j|C|ert sen("0t+ &).

Envolvente |x(t)| = |C|ert, real e imag, polar.

t

|C|

|C|


1.5.1.2 Exponenciales discretas

Exponenciales complejas discretas,

x[n] = C!n, x[n] = Cean. C,!, a ! C.

Exponenciales reales: C,! ! R {expdisc.m}Si |!| > 1 crece, si |!| < 1 decrece.Si ! > 0 no cambia de signo, si ! < 0 alterna.Si ! = 1, x[n] = cte, si ! = "1, x[n] = C("1)n


1.5.1.2 Exponenciales discretas (II)

Exponenciales complejasSi ! = ea = er+j$, x[n] = ean = ern(cos$n+ j sen$n).Si $ = #, cos$n = ("1)n, sen$n = 0.Si t $! Z, eat ! C. En las continuas no hay unaexponencial real con ! < 0.

Sinusoidales: a ! I # |!| = 1.x[n] = Aej($0n+!).

General: C = |C|ej! = Aej!, ! = |!|ej$0 .x[n] = A|!|nej($0n+!).


1.5.1.3 Propiedades de periodicidad

Continuas, x(t) = ej!0t.1. Cuanto mayor "0, menor T .2. Es periódica para todo "0.

tT 2T 3T 4T


1.5.1.3 Propiedades de periodicidad (II)

Discretas, x[n] = ej$0n {perdisc.m}1. ej($0+2")n = ej$0n "# $0 ( $0 + 2# indistinguibles.

Intervalo frecuencial de 2# ([0, 2#] o ["#,#])T $ ) cuando $0 *, Tmin = T |$0=": ej"n = ("1)n.

2. ej$0(n+N) = ej$0n # ej$0N = 1, por tanto $0N = 2#m,$0 = 2#m

N , $02" ! Q.

$0 es la frecuencia de la envolvente, la frecuenciafundamental $fund es la frecuencia de la secuenciadiscreta.

$0 = 2#m

N# N = m

2#

$0:, N =

2#

$fund# $fund =

$0

m.


1.5.1.3 Propiedades de periodicidad (III)

Hacer ejercicios 1.35 y 1.36.Ejercicio: ¿son periódicas las siguientes señales?Calcular N y $fund. {ejperdis.m}a) x[n] = sen(2n).b) x[n] = cos(0.2#n).c) x[n] = ej6"n.d) x[n] = ej6"n/35


1.5.1.3 Propiedades de periodicidad (IV)

a) Si x[n] = sen(2n): $0 = 2 $= 2#mN : no periódica.

b) Si x[n] = cos(0.2#n):

$0 = 0.2# = 2#1

10, N = 10,$fund = $0.

c) Si x[n] = ej6"n:

$0 = 6# = 2#3

1, N = 1,$fund = $0/3 = 2#.

d) Si x[n] = ej6"n/35:

$0 =6#

35= 2#

3

35, N = 35,$fund = $0/3 = 2#/35.


1.5.1.3 Propiedades de periodicidad (V)

Exponenciales relacionadas armónicamente (periódocomún N )

%k[n] = ejk2!N n, k = 0,±1,±2, . . .

En el caso continuo, todas las %k(t) = ejk2!T t son

distintas, en el discreto no:

%k+N [n] = ej(k+N) 2!N n = ej(k2!N n+2"n) = %k[n],

Sólo hay N distintas de periodo N :

%0[n] = 1,%1[n] = ej2!N n, . . . ,%N$1,%N = %0.


1.5.1.3 Propiedades de periodicidad (VI)

Ejemplo: {ejh16.m}a) Si x1[n] = sen(5#n) y x2[n] =

+3 cos(5#n), calcular N .

b) Evaluar amplitud y fase de y[n] = x1[n] + x2[n].

a) Como $0 = 5# = 2# 52 , N = 2, $fund = 5"

5 = #.b) y[n] = A cos($0n+ %) = A cos$0n cos%" A sen$0n sen%.

&A cos% =

+3,

A sen% = "1A2 = 4 : A = 2, sen% = "1

2: % = "#

6.

Por tanto, y[n] = 2 cos(5#n" #/6).


1.5.2.1 Impulso, escalón y rampa

Caso discretoImpulso unitario o muestra unitaria {deltad.m},

'[n] =

&0, n $= 0,

1, n = 0,= [n = 0].

Propiedad de muestreo:

x[n]'[n] = x[0]'[n] $= x[0],

x[n]'[n" n0] = x[n0]'[n" n0].


1.5.2.1 Impulso, escalón y rampa (II)

Escalón unitario {ud.m}:

u[n] =

&0, n < 0,

1, n % 0,= [n % 0].

'[n] = u[n]" u[n" 1].

u[n] =n'

m=$"'[m] (ver para n = 0, 1, . . . ).

m = n" k # u[n] ="'k=0

'[n" k].

Dibujar con eje abscisas k y de n . Superposición.


1.5.2.1 Impulso, escalón y rampa (III)

Rampa, r[n] = nu[n] {rampa.m}:

r[n] =

&0, n < 0,

n, n % 0,= n[n % 0].

Ejemplo: expresar x[n] = [0 & n & 9] en función de u[n]y de '[n].

x[n] =9$

k=0

'[n" k],

x[n] = u[n]" u[n" 10].


1.5.2.2 Impulso, escalón y rampa (I)

Caso continuoEscalón unitario, discontinuo en t = 0:

t

u(t) =

&0, t < 0,

1, t > 0,

u[n] =n$

m=$"'[m] ,# u(t) =

# t

$"'(() d(,

'[n] = u[n]" u[n" 1] ,# '(t) =du(t)

dt: problema formal.


1.5.2.2 Impulso, escalón y rampa (II)

Definimos

u"(t) =t

![0 & t < !] + [t > !],

lim"#0

u"(t) = u(t),

'"(t) =du"(t)

dt=

1

![0 & t < !];

t!!%

u"(t)

t!!%

'"(t)


1.5.2.2 Impulso, escalón y rampa (III)

Área de '"(t) = 1.

'(t) = lim"#0

'"(t).

Delta de Dirac.Distribución.Representación:

t

1'(t)


1.5.2.2 Impulso, escalón y rampa (IV)

Interpretación: u(t) =% t$" '(() d( .

'(()

(t < 0 :

%= 0

t > 0 :%= 1

Si hacemos ( = t" ), ) = t" ( , d) = "d( ;u(t) =

% 0" '(t" )) ("d)) =

%"0 '(t" () d( .

'(t" ()

(

t < 0 :%= 0

'(t" ()

t > 0 :%= 1


1.5.2.2 Impulso, escalón y rampa (V)

'(t) también tiene una propiedad de muestreo.Si '(t) = lim"#0 '"(t), sea x"(t) = x(t)'"(t).Si x(t) es continua, en el origen x(t)'"(t) - x(0)'"(t).Límite: x(t)'(t) = x(0)'(t) y x(t)'(t" t0) = x(t0)'(t" t0).Definición: '(t) = 0 para t $= 0 e

%"$" '(() d( = 1.

Propiedad de selección# "

$"x(t)'(t" t0) dt = x(t0)

# "

$"'(t" t0) dt = x(t0).


1.5.2.2 Impulso, escalón y rampa (VI)

Función rampa

r(t) =

&0, t < 0,

t, t % 0,u(t) =

dr(t)

dt.

Hacer el ejercicio 1.38.'(t) es una función par: '(t) = '("t) ('(t) = 0, t $= 0).Escalado: '(at) = 1

a'(t), si a > 0.


1.6 Propiedades de los sistemas

Estabilidad BIBO:toda entrada acotada produce una salida acotada.y(t) = H(x(t)).El operador es BIBO-estable si cuando|x(t)| & Mx < ' para todo t, entonces|y(t)| & My < ' para todo t.

Ejercicio: demostrar que el MA3 es estable.Ejercicio: ver qué ocurre con y[n] = rnx[n].


1.6 Propiedades de los sistemas (II)

Memoria:Un sistema no tiene memoria si la salida en cadainstante depende sólo de la entrada en ese instante.Si y(t) depende de valores pasados o futuros dex(t), tiene memoria.¿Tienen memoria los circuitos con R, C, L?.¿Tiene memoria el sistema MA3?

Causalidad:Es causal si la salida depende sólo de valorespasados o presentes de la entrada.Cuando t no es el tiempo, o está grabada.Aproximaciones del operador derivada.


1.6 Propiedades de los sistemas (III)

InvertibilidadUn sistema es invertible si se puede recuperar laentrada a partir de la salida.

x(t)H(·) y(t) ? x(t)

Operador inverso, operador identidad.

H$1{y(t)} = H$1{H{x(t)}} # H$1H = I.

Cada entrada debe proporcionar una salida distinta.¿Es invertible el sistema y(t) = x2(t)?Diagrama de Veen


1.6 Propiedades de los sistemas (IV)

Invarianza temporal:Un sistema es TI si para toda entrada x(t) con saliday(t), la salida de x(t" t0) es y(t" t0).Operador desplazamiento: x(t" t0) = St0{x(t)}.Para un sistema H, y(t) = H{x(t)}.

yi(t) = H{x(t" t0)} = H{St0{x(t)}} = HSt0{x(t)},

y(t" t0) = St0{y(t)} = St0{H{x(t)}} = St0H{x(t)}.

H es TI si yi(t) = y(t" t0).H es TI si conmunta con S: HSt0 = St0H para todot0.


1.6 Propiedades de los sistemas (V)

Linealidad:Un sistemas es L si satisface el principio desuperposición.La salida a la entrada xi(t) es yi(t) = H{xi(t)}.Sea x(t) =

'Ni=1 aixi(t).

y(t) = H{x(t)} = H

&N$

i=1

aixi(t)

(,

y(t) =N$

i=1

aiH{xi(t)}.

H es L si conmuta con el operador suma.


1.6 Propiedades de los sistemas (VI)

Ejemplo: ¿es lineal el sistema y[n] = nx[n]?La salida asociada a la entrada xi[n] es yi[n] = nxi[n].

Dada la entrada x[n] ='N

i=1 aixi[n],su salida es

y[n] = nN$

i=1

aixi[n] =N$

i=1

ainxi[n] =N$

i=1

aiyi[n].

El sistema es lineal


1.6 Propiedades de los sistemas (VII)

Ejemplo: ¿es lineal el sistema y(t) = x(t)x(t" 1)?La salida de xi(t) es yi(t) = xi(t)xi(t" 1).Dada la entrada x(t) = x1(t) + x2(t),la salida es

y(t) = (x1(t) + x2(t))(x1(t" 1) + x2(t" 1))

= x1(t)x1(t" 1) + x2(t)x2(t" 1)

+ x1(t)x2(t" 1) + x2(t)x1(t" 1)

= y1(t) + y2(t) + x1(t)x2(t" 1) + x2(t)x1(t" 1).

No es lineal


Ejercicio 1.34

Características de señales pares e impares(a) Demostrar que si x[n] es impar, entonces

"$

n=$"x[n] = 0.

$

n

x[n] =$

n<0

x[n] + x[0] +$

n>0

x[n]

=$

n>0

x["n] +$

n>0

x[n]

= "$

n>0

x[n] +$

n>0

x[n] = 0.


Ejercicio 1.34 (II)

(b) Demostrar que si x1[n] es impar y x2[n] es par, entoncesy[n] = x1[n]x2[n] es impar.

y["n] = x1["n]x2["n] = "x1[n]x2[n] = "y[n].


Ejercicio 1.34 (III)

(c) Si xp[n] = Par{x[n]} y xi[n] = Imp{x[n]}, demostrar$

n

x2[n] =$

n

x2p[n] +$

n

x2i [n].

Si x[n] = xp[n] + xi[n],

x2[n] = x2p[n] + x2i [n] + 2xp[n]xi[n].

Por tanto,$

n

x2[n] =$

n

x2p[n] +$

n

x2i [n] + 2$

n

xp[n]xi[n].

El último sumando vale 0. La E. de una señal es igual ala suma de las E. de sus componentes par e impar.


Ejercicio 1.34 (IV)

(c) También para continuas. Demostrar# "

$"x2(t) dt =

# "

$"x2p(t) dt+

# "

$"x2i (t) dt.

Repetiremos los tres pasos del caso discreto. Six(t) = "x("t), entonces

# "

$"x(t) dt =

# 0

$"x(t) dt+

# "

0x(t) dt

= "# 0

"x("t) dt+

# "

0x(t) dt

=

# "

0x("t) dt+

# "

0x(t) dt = 0.


Ejercicio 1.34 (V)

Si x1(t) es par y x2(t) impar, entonces x(t) = x1(t)x2(t) esimpar, ya que

x("t) = x1("t)x2("t) = "x1(t)x2(t) = "x(t).

Por último,# "

$"x2(t) dt =

# "

$"(x2p(t) + x2i (t) + 2xp(t)xi(t)) dt

=

# "

$"x2p(t) dt+

# "

$"x2i (t) dt.


Ejercicio 1.35

x[n] = ejm2!N n, $0 =

2#

Nm = 2#

m

N.

Sea N = N0 gcd(N,m), m = m0 gcd(N,m), entonces

$0 = 2#m0 gcd(N,m)

N0 gcd(N,m)= 2#

m0

N0.


Ejercicio 1.36

Sea x(t) = ej$0t de $fund $0 y periodo T0 =2"$0. Sea

x[n] = x(nT ) = ej$0nT .a Demostrar que x[n] es periódica sii T

T0! Q.

$0T

!$0 =

2#

T0

"= 2#

m

N# T

T0=

m

N! Q.

b Suponer TT0

= pq ( m

N . ¿Cuáles son el periodofundamental y la frecuencia fundamental de x[n]?Periodo fundamental: N/ gcd(N,m) ( N . Frecuenciafundamental: $fund = $0T/m.

c TT0

= pq ( m

N . ¿Cuántos periodos de x(t) se necesitan paraobtener las muestras que forman un periodo de x[n]?TN = mT0: m periodos de x(t).


Ejercicio 1.36 (II)

T0 = 5;t=linspace(0, 30, 1000);x=cos(2*pi*t/T0);plot(t, x);hold on;T=2;n=[0:t(end)/T];stem(n*T, cos(2*pi*n*T/T0), ’r’);T=exp(1);n=[0:t(end)/T];stem(n*T, cos(2*pi*n*T/T0), ’r’);


Ejercicio 1.37

Si se define la correlación entre x(t) e y(t) como

%xy(t) =

# "

$"x(t+ ()y(() d(.

(a) ¿Qué relación hay entre %xy(t) y %yx(t)?

%yx(t) =

# "

$"y(t+ ()x(() d( =

# "

$"y())x() " t) d)

=

# "

$"x(( " t)y(() d( = %xy("t).

(b) Calcular la parte impar de %xx(t). Si %xy("t) = %xy(t),entonces %xx("t) = %xx(t) (par).


Ejercicio 1.37 (II)

(c) Si y(t) = x(t+ T ), expresar %xy(t) y %yy(t) en términosde %xx(t)

%xy(t) =

# "

$"x(t+ ()y(() d( =

# "

$"x(t+ ()x(( + t) d(

= (( + T = ))

# "

$"x(t" T + ))x()) d) = %xx(t" T ).

%yy(t) =

# "

$"y(t+ ()y(() d( =

# "

$"x(t+ T + ()x(T + () d(

= (( + T = ))

# "

$"x() + t)x()) d) = %xx(t).


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