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aplicado para control
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1
Capítulo 2
Sistemas Lineales Y Funciones de Transferencia
2
Linealización
Aunque casi todo sistema real tiene características no lineales, muchos sistemas pueden describirse razonablemente por modelos lineales – al menos dentro de ciertos rangos de operación.Como normalmente un sistema de control opera en las cercanías de un equilibrio, se hace una linealización alrededor de este equilibrio. El resultado es un modelo lineal, mucho más simple, pero adecuado para el diseño de control.Para un mismo sistema no lineal, la linealización alrededor de distintos puntos de equilibrio dará, en general, distintos modelos linealizados.
3
Linealización...
Dada una función f(x), podemos expandirla, alrededor de algún punto de operación x0 como en una serie de polinomios infinita usando la expansión en Series de Taylor
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )K+
−′′+−′+=!2
20
0000xxxfxxxfxfxf
4
Ejemplo: Expandir f(x) = e-x, alrededor del punto x = -2.0
Evaluando las derivadas en el punto x = -2.0 para formar la serie
MM=−=′′′
=′′
−=′
−
−
−
x
x
x
efefef
( ) ( ) ( ) ( ) K++−+++−== − 32
22
22 26
22
2 xexexeeexf x
5
Expansión cerca de cero
Del ejemplo anterior, la expansión de e-x alrededor del punto x0 = 0 es
( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′+=!2
0002xfxffxf
( ) K++−== − 2
211 xxexf x
6
Expansión en Series de Taylor a funciones de varias Variables.La función f(x,y) expandida alrededor de los puntos x0, y0, es
Expansión alrededor de cero (para todas las variables)
7
Pasos para Linealizar un sistema dinámico
1. Resolver para el conjunto de ecuaciones en estado estable fijando todos los términos derivativos a cero, y reemplazando todas las variables restantes con sus valores nominales (e.g. xo, yo, uo). Estas ecuaciones se usarán después.
2. Rescribir las ecuaciones dinámicas originales reemplazando todas las variables con la suma de la cantidad nominal más la perturbada.(ejemplo: x = xo + Δx, y = yo + Δy , u = uo + Δu )
Observe que cualquier derivada en el tiempo de los valores nominales son cero (puesto que los valores nominales son constantes).
3. Expandir cualquier término no lineal en las variables Δ usando series de Taylor o binomiales manteniendo solo términos de primer orden.
4. Use las relaciones en el paso 1 para eliminar algunos términos.
8
Ejemplo 4: Nivel de Líquido
wPgAq orΔ
= 2
liquidoatm PPP +=
t
tliquido A
hwAPP ===Δ tanquedel árealiquido del peso
ghAq or 2=
qqq ineto −=
( )qqAA
qh itt
neto −==1&
( )ghAqA
h orit
21−=&
9
Ejemplo 5: Levitación magnética
( ) ( )
( ) ( ) ( )dt
tdiLtRite
txtiMg
dttxdM
+=
−=)(2
22
Las ecuaciones de movimiento son:
e(t) : Voltaje de entradax(t) : posición de la bolai(t) : corriente del bobinadoR : resistencia del bobinadoL : inductancia del bobinadoM : masa de la bolag : aceleración de la gravedad
Donde:
10
Transformadas de Laplace y Funciones de Transferencia
Proporciona un conocimiento profundo de la dinámica del proceso y la dinámica de los sistemas realimentados.Proporciona una porción mayor de la terminología de la industria de control de procesos.NO se usa en general en forma directa en la práctica de control de procesos.
11
Transformadas de Laplace
[ ] ∫∞ − ==
0)()()( sFdtetftf stL
Útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales. La técnica es aplicar la transformada de Laplace a la ecuación diferencial. Luego algebraicamente resolver para Y(s). Finalmente, aplicar la transformada inversa de Laplacepara determinar directamente y(t).Se disponen de tablas de transformadas de Laplace.
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Método para Resolver ODE’s Lineales usando Transformada de Laplace
Dominio de Laplace
Dominio del Tiempo
dy/dt = f(t,y)
sY(s) - y(0) =F(s,Y) Y(s) = H(s)
y(t) = h(t)
13
Transformada de Laplace - Idea Principal
14
Algunas Transformadas de LaplaceUsadas Comúnmente
2222
22
2
1
)()sin()sin(
)0()0()()(1
)0()()(!
)()(/1
ωωω
ωωω
θ θ
++⇔
+⇔
′−−⇔+
⇔
−⇔⇔
⇔−⇔
−
−
+
−
aste
st
ffssFsdt
tfdas
e
fsFsdt
tfdsnt
esFtfsEscalón
at
at
nn
s
Unitario
15
Teorema del Valor Final
[ ] [ ])(lim)(lim 0 sFstf st →∞→ =
Permite utilizar la transformada de Laplace de una función para determinar el valor en estado estable de la función.
16
Teorema del Valor Inicial
[ ] [ ])(lim)(lim 0 sFstf st ∞→→ =
Permite utilizar la transformada de Laplace de una función para determinar la condición inicial de la función.
17
Expansión en Fracciones Parciales
32)3()2(1
++
+=
+++
sB
sA
sss Expandir en términos de cada
factor del denominador.
Recombinar RHS.
Igualar términos en s y términos constantes. Resolver.
Cada término esta en una forma tal que se puede aplicar la transformada inversa de Laplace.
( ))3()2(
2)3()3()2
1++(
+++=
+++
sssBsA
sss
32
21
)3()2(1
++
+−
=++
+ssss
s
1=+ BA 123 =+ BA
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Ejemplo de Solución de una ODE
0)0(')0(2862
2
===++ yyydtdy
dtyd ODE s/condiciones iniciales
Aplicar la Transformada de Laplace a cada término
Resolver para Y(s)
Aplicar expansión en fracciones parciales
Aplicar transformada inversa de Laplace a cada término
ssYsYssYs /2)(8)(6)(2 =++
)4()2(2)(
++=
ssssY
)4(41
)2(21
41)(
++
+−
+=sss
sY
4241)(
42 tt eety−−
+−=
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Aplicando el Teorema del Valor Inicial y Final a este Ejemplo
Transformada de Laplace de la Función.
Aplicando el teorema del valor final
Aplicando el teorema del valor inicial
)4()2(2)(
++=
ssssY
[ ]41
)40()20()0()0(2)(lim =
++=∞→ tft
[ ] 0)4()2()(
)(2)(lim 0 =+∞+∞∞
∞=→ tft
20
Función de TransferenciaEcuaciones diferenciales lineales con una función general de forzamiento (entrada)
1er Orden2do Orden
etc.
Podemos resolver la ecuación para una función de forzamiento específica, pero también podemos hacerlo en general y tomar la transformada de Laplace (con condiciones iniciales cero) para llegar a una relación general entre la salida y la entrada.
Con la función de transferencia, se puede calcular convenientemente la respuesta de la salida para cualquier entrada por multiplicación.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )tkutydt
tdyadt
tydb
tkutydt
tdya
=++
=+
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUasbs
ksYsUas
ksY1
;1 2 ++
=+
=
( ) ( ) ( )sUsGsY =
21
Funciones de Transferencia...
Definida como G(s) = Y(s)/U(s)Representa un modelo normalizado de un proceso, i.e., se puede usar con cualquier entrada.Y(s) y U(s) se escriben ambas en la forma de desviación de variables.La forma de la función de transferencia indica el comportamiento dinámico del proceso.
22
Derivación de la Función de Transferencia
23
Ejemplo 1:
24
Ejemplo 2:
25
Diagrama de Bloques
26
Álgebra de Bloques
27
Álgebra de Bloques...
28
Ejemplo 1:
29
30
Ejemplo 2:
31
32
Función de Transferencia
Generalización
33
Forma General de la Función de Transferencia
• Raices del polinomio del denominador D(s) (las cuales sonp1,...,pn) se llaman “polos” de la función de transferencia.
• Raices del polinomio del numerador N(s) (las cuales sonz1,...,zn) se llaman “ceros” de la función de transferencia
( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )m
ms
pspspszszszse
sDsNsG
sUsY
−−−−−−
=== −
L
L
21
21γθ
( ) ( )
( )2
312
411, ;3
5
,1,3 ;34
12
212
21
1212
jppss
sG
zppss
ssG
±=
−±=
+−=
−=−=−=++
+=
Polinomios de s
34
Análisis “Rápido”
Dada una función de transferencia G(s), qué puede decir “rápidamente”(sin hacer ningún cálculo) acerca de la dinámica que representa la función de transferencia?
Estabilidad: La entrada retorna a su valor de equilibrio original (después de alguna excursión) → La salida regresará eventualmente a su valor original de equilibrio?Ganancia: Cambio de Salida/Cambio de EntradaSobreamortiguado o subamortiguado? Sí es subamortiguado, frecuencia de oscilación?Cualquier respuesta inversa o sobreimpulso?Velocidad de respuesta general (e.g. tiempo de establecimiento).
35
Estabilidad
Sí todos los polos tienen parte real negativa, la dinámica es estable.Sí cualquier polo tiene parte real positiva o cero, la dinámica es inestable.
Para sistemas lineales, lo mismo como “entrada acotada→salida acotada?”
36
Ejemplos
( )( )
( )
( )( )tt
t
tt
BeAess
BeAss
BeAess
52
5
5
Estable 52
1
Inestable 5
1
Inestable 51
1
−−
−
−
+++
++
++−
Función de Transferencia Estabilidad Respuesta Impulsiva
37
Ganancia del Sistema
( )( )∞′∞′
==uy
Entrada laen CambioSalida laen CambioGanancia
Cambio de escalón en la entrada de tamaño M? Respuesta final en y?
( ) ( ) ( ) ( )MsGlims
MsGslimslimsYysss 0
escalón al respuesta
00 →→→=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==∞′
43421
( )( )
( )( )sGlim
M
MsGlim
uy
s
s
0
0Ganancia→
→ ==∞′∞′
=
G(0) es la ganancia! Sin embargo, esto trabaja solo cuando la dinámicaes estable. Para dinámicas inestables, la ganancia es ∞.
Teorema del valor Final
38
Ejemplos
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ∞=−=+−
=
==+++
+=
==++
=
Ganancia pero 1010
521
3520Ganancia
5277625
1010Ganancia
521
2
Gss
sG
Gsss
ssG
Gss
sG
Inestable
39
Amortiguamiento
Dinámica Subamortiguada:Entrada no oscilatoria → Respuesta oscilatoria
Sí los polos son números complejos (c/ parte imaginaria no cero), la dinámica es subamortiguada.La parte imaginaria del polo es la frecuencia de oscilación (rad/tiempo).
( )
( )
( ) estable iguado,Sobreamort 1,3 ;34
1
inestable uado,Subamortig 21, ;52
1
estable uado,Subamortig 21, ;52
1
212
212
212
−=−=++
=
±=+−
=
±−=++
=
ppss
sG
jppss
sG
jppss
sG
40
Sobreimpulso y Respuesta Inversa
La existencia de sobreimpulso y respuesta inversa se puede determinar de los ceros de la función de transferencia.
Un cero en el semiplano izquierdo (negativo) cercano al origen más que el polo dominante (el polo que esta más cercano al origen) → SobreimpulsoUn cero en el semiplano derecho (positivo) → Respuesta inversa (fase no mínima)Sí el cero en el semiplano derecho esta más cercano al origen, más pronunciada será la respuesta inversa.
41
Ejemplos
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( ) mayor inversa Respuesta cero, LHP
101z,
21,
31 ;
1213110
inversa Respuesta cero, RHP 2.51z,
21,
31 ;
121315.2
soSobreimpulSin cero, LHP 2.51-z,
21,
31 ;
121315.2
soSobreimpul cero, LHP 101-z,
21,
31 ;
1213110
121
121
121
121
=−=−=++
+−=
=−=−=++
+−=
=−=−=++
+=
=−=−=++
+=
ppss
ssG
ppss
ssG
ppss
ssG
ppss
ssG
polo dominante cercano al origen más que elpolo dominante
42
Velocidad de Respuesta
La velocidad de respuesta es determinada aproximadamente por el polo dominante (el polo que esta más cercano al origen), el cual corresponde a la constante “más lenta” de tiempo.
Tiempo de establecimiento ≈ 3-5 veces (1/polo dominante)
constante de tiempo dominante
La velocidad de todo el ensamble es gobernada por la persona más lentaen la línea
43
Resumen - Efecto de la Ubicación del Polo
44
Resumen - Efecto de la Ubicación del Cero