Upload
corbu-cristian
View
63
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Cibernetica
Citation preview
Curs 3SISTEME DINAMICE DISCRETEClasificare:Un sistem dinamic discret este o secven de funcii yt, care sunt definite recursiv, adic exist o regul care leag funciile din secven.Notm secvena:{yt}.
(1)Relaia (1) este ecuaie recursiv.
(2)Relaia (2) este ecuaie cu diferene de ordin unu,poate fi transformat n ecuaie recursiv.
n ecuaia (1) sau n (2), poate fi liniar/neliniar.Discretizarea ecuaiilor difereniale:
Ecuaia dinamic liniar discret de ordinul doi, neomogen, cu coeficieni constani:
Rezolvarea ecuaiilor liniare dinamice discrete cu coeficieni constani:1. Rezolvm ecuaia omogen:
Cutm o soluie de forma :
mprim ecuaia la :
ecuaia caracteristic.Exist trei cazuri:1.Discriminantul
, rdcini reale distincte.Soluia general a ecuaiei omogene are forma:
sunt constante generalizate arbitrare.2. Discriminantul, rdcini reale egale
3. Discriminantul rdcini complexe conjugate.
Forma polar a numerelor complexe:
modulul numrului complex
argumentul numrului complexTeorema lui Moivre:
cu i constante complexe.nlocuind n soluie i fcnd calculele obinem:
cu i constante reale.Soluia particular prin metoda coeficienilor nedeterminai:
se consider d forma termenului liber i se pune condiia ca ea s verifice ecuaia neomogen.
Echilibrul i stabilitatea sistemelor dinamice discrete
Considerm sistemul dinamic discret:
este punct de echilibru/fix dac i numai dac:
Stabilitatea/instabilitatea punctelor fixe:
dac atunci este asimptotic stabil i este punct fix de tip atractor;
dac , atunci este asimptotic instabil i este punct fix de tip repelor;
Sistem stabil, punct fix atractor
Sistem instabil
Punct fix repelor
Punct fix atractor, local asimptotic stabil (numai cnd condiiile iniiale sunt ntr-o vecintate a punctului fix)
Punct fix atractor, global asimptotic stabil, starea iniial se afl oriunde n spaiul strilor.
Exemplul 1:Creterea Malthusian a populaieiIpotez: ntre t i t+1, creterea populaiei este proporional cu nivelul iniial al populaiei, k > 0 este factorul de proporionalitate:
Cu soluia analitic:
Punct fix:
Stabilitatea:
sistem asimptotic instabil, punct fix repelor.
Tem:Considerm datele: k=1,5P0= 1000Calculai populaia pentru t=1-10, facei graficul, calculai punctul fix, analizai stabilitatea.Exemplul 2Modelul Harrod - Domar, varianta discretDiscretizare:
Modelul devine:
Obinem ecuaia cu diferene de ordinul unu:
Cu soluia:
sistemul este stabil,
sistemul este instabil.Punct fix:
Tem:
Scriei traiectoria de evoluie a venitului, calculai punctul fix, analizai stabilitatea (tipul de punct fix), facei graficul traiectoriei pentru t = 1-10
Aproximarea liniar a ecuaiilor neliniare cu difereneForma general a ecuaiei recursive de ordin unu, neliniar:
Considerm forma autonom ( nu depinde explicit de timp).Exist punct fix, dac:
toi t.Aproximarea liniar de ordinul unu:
Ignornd restul, obinem:
Exemplu:
Modelul lui Solow n timp discret
n timp discret avem: venitul la momentul t este produs de combinaia de factori ai anului precedent.
funcia de producie macroeconomic per capita, cu i Discretizare:
Ecuaia investiiilor brute devine:
rata deprecierii capitalului fix,Populaia crete cu o rat constant n:
Economiile sunt o pondere din venit i n echilibru, sunt egale cu investiiile:
De unde:
Ecuaia de evoluie a capitalului:
Determinm ecuaia de evoluie a capitalului per capita, mprim la :
n cazul funciei de producie Cobb-Douglas per capita cu randamente constante la scal:
Ecuaia de dinamic a capitalului per capita:
Sau:
Deci:
Soluia staionar:
Avem dou puncte fixe:
Dezvoltarea Taylor n jurul punctului :Deci:
Tem:Considerm valorile:
a. Scriei modelul lui Solow n mrimi per capita.b. Determinai numeric punctele fixe ale funciei :
c. Scriei ecuaia de dinamic a nzestrrii tehnice a muncii determinat prin aproximare liniar:
Ecuaie liniar, neomogen, de ordinul unu, cu coeficieni constani:
ecuaia omogen.
Facem ipoteza c soluia este de forma
mprim prin .Ecuaia caracteristic este:
Soluia general a ecuaiei omogene:
Soluia particular:
Punem condiia ca soluia particular s verifice ecuaia neomogen:
Constanta generalizat:
Soluia:
Reprezentai grafic n EXCEL soluia obinut.
18