1

Voved

Vo matematikata sekoe mno`estvo ravenki na koi treba d aim se najde

zaedni~ko re{enie se vika sistem ravenki.

Sistemite ravenki mo`at da se podelat spored nekolku razli~ni kriteriumi:

-Spored brojot na ravenkite: sistemite mo`e da imaat najmalku dve, a

neograni~eno mnogu ravenki.

-Spored brojot na nepoznatite: sistem so dve ili pove}e nepoznati.

-Spored stepenot na nepoznatata: sistem linearni, sistem kvadratni, kubni

ravenki itn.

-Spored re{enijata: sistem so re{enie i sistem bez re{enie.

Postojat poveke na~ini(metodi) za re{avawe na sistemite. Va`no e {to

site davaat ist rezultat. Na~inot na re{avawe se izbira naj~esto da bide onoj

najkusiot, najisplatliviot I najlesniot {to naj~esto se pravi vo zavisnost od

sistemot. Najpoznati metodi za re{avawe na sistemi se:

-Metod na zamena na promenlivata(nepoznatata)

-Metod na sprotivni koeficienti

-Metod na determinant

-Grafi~ki metod.

2

Definicija 1:Mno`estvo od dve linearni ravenki so dve isti realni

nepoznati se vika sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati.

Re{enie na na sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati e sekoj

podreden par realni broevi (h,y) koj istovremeno e re{enie na sekoja od ravenkite

na sistemot. Mno`estvoto re{enija na sistemot se sostoi vo site podredeni

parovi koi se re{enija na dvete ravenki na sistemot. Poto~no ako so R1 go

ozna~ime mno`estvoto re{enia na ednata ravenka od sistemot, a so R2

mno`estvoto re{enija na drugata ravenka na sistemot, toga{ za mno`estvoto

re{enija na sistemot va`i ravenstvoto R=R1∩R2

Dva sistema so dve linearni ravenki so dve nepoznati se ekvivalentni, ako

imaat ednakvi mno`estva re{enija.

Ako nekoja od ravenkite na daden sistem se zameni so ekvivalentna na nea, se

dobiva sistem ekvivalentin ravenki na dadeniot. Imaj}i vo predvid deka sekoja

linearna ravenka se ekvivalentna so ravenkata od op{t oblik, a1x+b1y=c1 mo`eme

da zaklu~ime deka sekoj sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati e

ekvivalenten so sistemot od op{t oblik:

Primer 1: Sistemot ravenki

e evkivalenten so sistemot ravenki

3

Kako {to spomenavme sistemite ravenki mo`at da se se re{avaat na pove}e

na~ini и toa:

-Grafi~ki metod,

-Metod na zamena na promenlivata,

-Metod na sprotivni koeficienti,

-Metod so pomo{na determinanti.

1. Grafi~ki metod

Za daden sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati, neka r e grafikot a na

prvata, a q grafikot na vtorata ravenka. Ako podredeniot par realni broevi

(m,n) e re{enije na sistemot, toga{ parot (m,n) ke pripa|a na dvata grafika p i q.

Ako graficite p i q se pravi toga{ vo zavisnost od odnosot na tie pravi imame:

Sistemot linearni ravenki so dve nepoznati ima edinstveno re{enie ako

pravite se se~at,

Sistemot linearni ravenki so dve nepoznati nema re{enie ako pravite

nemaat zaedni~ka to~ka t.e tie se paralelni.

Sistemot linearni ravenki so dve nepoznati ima beskone~no mnogu re{enja

ako pravite se sovpa|aat.

Grafi~ki da se re{i sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati,

zna~I da se nacrtaat graficite na dvete linearni ravenki vo eden ist

koordinaten sistem i da se razgleda nivniot odnos.

4

Primer1:Grafi~ki da se re{i sistemot linearni ravenki

Re{enie. Za da go re{ime sistemot grafi~ki, graficite na sekoj od ovie

ravenki ke gi nacrtame vo ist koordinaten sistem. Grafikot na prvata ravenka p

{to minuva niz to~kite A(0,11) i V(5,1), dodeka grafikot na vtorata ravenka e

pravata q {to minuva niz to~kite S(0, -9) I D(3,0). Pravite p i q se se~at vo

to~kata (4,3) od kade {to sleduva deka podredeniot par R(4,3) e edinstvenoto

re{enie na sistemot.

5

Primer 2: Grafi~ki da se re{i sistemot.

6

Primer 3: Grafi~ki da se re{i sistemot

7

2. Metod na zamena

Ako od ednata ravenka na sisitemot ja izrazime ednata nepoznata preku drugata I

so dobieniot izraz ja zamenime taa nepoznata vo vtorata ravenka, toga{

novodobienata ravenka I prvata ravenka na sistemot obrazuvaat nov sistem

ekvivalenten na dadeniot. Ova postapka za re{avawe sistem linearni ravenki so

dve nepoznati e poznata pod imeto metod na zamena.Za primena na ovoj metod

potrebno e sisitemot da e vo op{t oblik. Metodot na zamena posebno e pogoden

koga koeficientot pred promenlivata e 1 ili -1.

Op{t oblik:

Primer 1: So metod na zamena da se re{i sistemot:

Primer 2:So metod na zamena da se re{i sistemot:

8

Primer 3:So metod na zamena da se re{i sistemot:

3. Metod na sprotivni koeficienti

Ako vo eden sistem ja sobereme ili odzememe levata strana od ednata so levata

strana od drugata и desnata strana od ednata so desnata strana od drugata

ravenka }e dobieme nova ravenka koja zaedno so ednata od dadenite ravenki

obrazuva nov sistem od dve linearni ravenki so dve nepoznati ekvivalenten na

dadeniot.

So drugi zborovi sistemot ravenki: e ekvivalenten so

sistemot kade k e realen broj ili broen izraz

koj ne zavisi od h ili y. Na ovaa svojstvo se bazira poznatiot metod koj se

narekuva metod na sprotivni koeficienti.

Primer 1:Da se re{i sistemot so metod na sprotivni koeficienti

9

Primer 2: Da se re{i sistemot so metod na sprotivni koeficiенти

Primer 3: Da se re{i sisemot so metod na sprotivni koeficenti

10

4. Metod so pomo{ na determinanti

Da go razgledame sistemot od dve linearni ravenki so dve nepoznati:

Ako prvata ravenka na sisitemot ja pomno`ime so b2 vtorata so (-b1) a potoa da gi

soberime soodvetnite strain taka dobienite ravenkin ja dobivame ravekata

(a1b2-a2b1)x=c1b2-c2b1 pod uslov a1b2-a2b1≠0 dobivame

Analogno ako prvata ravenka na sistemot ja pomno`ime so -a2, vtorata so a1 a potoa

gi sobereme soodvetnite strain na taka dobienite ravenki doa|ame do ravenkata

(a1b2-a2b1)y=a1c2-a2c1, povtorno ako a1b2-a2b1≠0 dobivame

Spored toa mo`eme da zaklu~ime deka pri uslov a1b2-a2b1≠0 dobienite vrednosti na

nepoznatite

i

opredeluvaat edinstveno re{enie

11

na sistemot. Zapisot na re{enieto e glomazen i te`ok za pomnewe no lesno se

zabele`uva deka broitelite i imenitelite na izrazite so koi se opredeluvaat x i y

se formira na sli~en na~in. Od tie pri~ini prakti~no se poka`uva voveduvawe na

poimot determinant od vtor red.

Definicija 1:

Izrazot a1b2-a2b1 ozna~en so simbolot

se vika determinanta od vtor red t.e.

Broevite a1, a2, b1, b2, se vikaat elementi na determinantata .Pritoa velime

deka broevite a1 i a2 ja opredeluvaat prvata redica, a broevite b1 i b2 ja

opredeluvaat vtorata redica na determinantata. Prvata kolona ja so~inuvaat

broevite a1 I b1 dodeka vtorata kolona ja so~inuvaat broevite a2 i b2. Glavnata

dijagonala se sostoi od elementite a1i b2 dodeka sporednata dijagonala se sostoi od

elementite a2 i b1. Spored toa vrednosta na determinantata e ednakva na razlikata

od proizvodot na elemnentite od glavnata i sporednata dijagonala.

= glavna determinant

pomo{na determinant

pomo{na determinanta

dodeka

Ovie formuli se vikaat Kramerovi formuli

Sistemot mo`e da bide opredelen ili neopredelen t.e. da ima edinstveno re{enie

ili beskone~no mnogu.

12

Primer 1: Da se re{i sistemot so pomo{ na Kramerovi formuli:

Re{enie:Prvo se opredeluvaat glavnata и sporednite determinant na

sistemot

Re{enie na sistemot e podredeniot par(2,1)

Primer 2: Da se re{i sistemot

x=0 y=0 sistemot e neopredelen

13

5.Dererminanta od tret red

Dererminanta od tret red e kvadratna {ema od broevi(vo op{t slu~aj elementi

broevi, funkcii itn.)

Vrednosta na determinantite od tret red mo`e da se presmeta so:

1. Sarusovo pravilo

Priemer

2. So razvivawe po redici(koloni)

Primer

=

Primer 1

Neka e daden sistemot od tri linearni ravenki so tri nepoznati

Od nego mo`e da se formiraat slednite determinanti

14

sostaven od koeficienti pred nepoznatite

vo determinantata elementite od prvata se

zamenuvaat so slobodnite koeficitent vo sistemot

vo determinantata elementite od vtorata kolona se

zamenuvaat so slobodnite koeficienti od sistemot

vo determinantata od tretata kolona se zamenuvaat

so slobodnite koeficienti od sistemot

2. Primena na sistemite linearni ravenki

Mnogu problem od naukata tehnikata i sekojdevniot `ivot voop{to se

sveduvaat na sostavuvawe I re{avawe na opredelen sistem od dve linearni

ravenki so dve nepoznati.

Primer 1:

Nina kupila 12 kilogrami limon po cena od 60 denari za kilogram.

Kupenoto koli~estvo sodr`I dva vida na limon edna po cena od 40 denari, a

druga po cena od 70 denari po kilogram. Kolkavo koli~estvo od sekoj vid

kupila.

15

Re{enie:

Primer 2:

Ivan vlo`il suma od 12000 denari vo dve razl~ni banki so godi{na kamatna

stapka od 9% vo prvata, i 11% vo vtorata banka. Ako za edna godina dobil kamata

od 1180 denari , po kolku pari vlo`il vo sekoja od bankite.

Re{enie:

Neka vo prvata banka Ivan vlo`il h denari, a vo vtorata y denari, toga{ od

uslovite vo primerot go dobivame sistemot:

Primer 3:

Eden avion, vo vetrovito vreme, preletal 20000 kilometri za vreme od 4 ~asa

I 24 minuti. Na vra}awe, istoto rastojanie go preletal za 4 ~asa. Da se opredelat

brzinata na dvi`ewe na avionot I brzinata na veterot, ako se znae deka tie bile

konsatanti.

16

Re{enie:

Neka avionot se dvi`el so brzina h kilometri na ~as, dodeka duval veterot

so brzina od kilometri na ~as. Toga{ brzinata na dvi`ewe na avionot vo

nasproti veterot iznesuva dodeka brzinata na dvi`ewe na avionot vo pravec

na veterot bila Taka koriste}i ja formulate odnosno patot e

proizvod od brzinata I vremeto, doa|ame do sistemot linearni ravenki.

Spored toa

zaklu~uvame deka avionot se dvi`el so brzina od kilometri na ~as, a veterot

duval so brzinaod kilometri na ~as

3. Sistem linearni neravenki so edna nepoznata Definicija 1:

Mno`estvo od dve ili pove}e linearni neravenki so edna ista nepoznata se

vika sistem linearni neravenki so edna nepoznata.

Re{enie na sistem linerani neravenki so edna nepoznata e sekoj realen broj

h za koj site neravenki od sistemot preminuvaat vo to~ni brojni neravenki.

Mno`estvoton re{enija na sistem linearni neravenki so edna nepoznata se

sostoi od site realni broevi koi se re{enja na sistemot odnosno prestavuvaat

presek na mno`estvo re{enija na sekoja od neravenkite na sistemot. Da se re{i

sistem linearni neravenki zna~i da se opredeli negovoto mno`estvo re{enija.

Dva sistema linearni neravenki se ekvivalentni ako imaat ednakvi mno`estva

re{enija. Ako nekoja od neravenkite na sistemot se zameni so ekvivalentna

neravenka na nea toga{ dobiniot sistem e ekvivalenten na dadeniot. Spored

toa za da se re{i sistemot linearni neravenki so edna nepoznata, dovolno e da

se re{i sekoja od neravenkite poodelno a potoa da se opredeli presekot od

mno`estvatta na nivnote re{enija. Vo slu~aj koga ovoj presek e prazno

mno`estvo velime deka sistemot e protivre~en.

17

Primer 1:

Da se re{i sistemot linearni neravenki

Neravenki {to se sveduvaat na sistem neravenki

1.

2.

Sistemot nema re{enie

3 8 x

18

3.

- Re{enie na sistemot 1 - Re{enie na sistemot 2

4.

5.

6.

7.

19

Primer 1:

20

ZAKLU^OK:

So dadenata sodr`ina se zaklu~uva deka so sistemite linearni

ravenki so dve nepoznati i so sistemite linearni neravenki so edna nepoznata se

re{avaat dosta problemi kako od oblasta na matematikata taka i od oblasta na

sekojdenvniot `ivot od naukata, tehnikata i red drugi raboti koi se sveduvaat na

re{avawe na sistem linearni ravenki so dve nepoznati i sitem linearni

neravenki so edna nepoznata