Sistemi ottici - Lenti sottili

Immagine di un oggetto puntiforme data da un sistema stigmatico: puntiforme reale o virtuale

Lente semplice: materiale trasparente delimitato da due superfici sferiche

Se , distanza tra i vertici delle due superfici, è piccola la lente si dice sottile, altrimenti si ha una lente spessa

( )1Rnn

in

on

112

12

11 −

=+

( )2Rnn

Rnn

in

on

212

221

21

22 −

−=−

=+

I1 C1 C2 V1 V2 I

P P'

O

o1 i1

o2 i2

n1 n1 n2

Equazione del primo diottro

Equazione del secondo diottro

12 io −= Poiché dal sistema si ricava i2, nota o1

Per una lente sottile, = 0, la (2) diventa

212

21

12

Rnn

in

in −

−=+−

Sommandola membro a membro con la (1) ⇒

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=+

2112

21

11

R1

R1 nn

in

on

Nella lente sottile CVV 21 ≅=O I

o i

C

o, i distanze dell’oggetto e dell’immagine da C

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=+

2112

11R1

R1 nn

in

on

Proprietà di C: ogni raggio che, rifratto dalla prima superficie passa per C, viene rifratto dal secondo diottro in direzione parallela a quella incidente

C1 C2 C P P'

un raggio passante per C non viene deviato

Posizione dei fuochi

F1 primo fuoco = posizione di un oggetto la cui immagine si formi all’infinito (i = ∞) F2 secondo fuoco = punto immagine di un oggetto posto all’infinito (o = ∞)

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=+

2112

11R1

R1 nn

in

onDa

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−===

21112

21 R1

R1

nnn

f1

f1

f1

ponendo o = ∞ ed i = ∞

f1

i1

o1

=+ equazione degli ottici

F1

f1

F2

f2

==f1D potere diottrico della lente

D si misura in diottrie se f è espressa in metri

econvergentlente0f >

divergentelente0f <

F1 F2

F1

f1

F2

f2

Lente convergente biconvessa

Lente divergente biconcava

L’immagine di un oggetto reale è sempre virtuale

L’immagine di un oggetto reale è reale o virtuale a seconda che

o > f oppure o < f

lente piano-convessa convergente

lente piano-concava divergente

In aria

Lenti convergenti più spesse al centro che al bordo Lenti divergenti più sottili al centro che ai bordi

Per n1 > n2 la situazione si inverte

Immagine di un oggetto esteso

O

P I

P' o i

F1 F2 C

Q

immagine reale capovolta

O

P

I

P'

F1 F2 C

immagine virtuale, diritta ed ingrandita

o > f

o < f

P

F1 F2 O I P' immagine virtuale

diritta e rimpicciolita

y'ym =

Ingrandimento trasversale

Lente = sistema costituito da due diottri ⇒

211

111

mmyy

yy

yy

yy

yym ====

'''

m1 ed m2 ingrandimenti dei due diottri

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−==

12

1211

12

2211

21

nn

ii

nn

oi

nn

oi

nn

oimmm

oim −=

Graficamente

Triangoli OPC e IPC O

P I

P' o i

F1 F2 C

Q α

α

α⋅= tgoyα⋅−= tgiy'

oi

yym −=='

π1 primo piano focale

i raggi provenienti da un oggetto O emergono lungo direzioni parallele al raggio OC

Ο ∈ π1

S fronte d’onda piano

π1 F1 F2

C O S

π2

F1 I F2

C

S'

π2 secondo piano focale

I immagine si trova sul piano π2

O posto a distanza infinita fuori dall’asse

I cammini ottici che vanno da O ai punti di S sono uguali fra loro

S’ fronte d’onda piano I cammini ottici che vanno dai punti di S’ ad I sono uguali fra loro

Aberrazione sferica, coma

raggi rossi parassiali convergono in F2 raggio nero non parassiale interseca l’asse ottico in A e π2 in B

O oggetto puntiforme lontano, posto sull’asse ottico

Lunghezza di AF2 = aberrazione sferica longitudinale

F2

B A F1

Lunghezza di BF2 = aberrazione sferica trasversale L’immagine è una macchia luminosa circondata da un alone Se l’oggetto non è posto sull’asse ottico l’immagine è allungata come una cometa (coma)

Occhio umano = sistema ottico complesso

umor vitreo nervo ottico

muscolo ciliare

umor acqueo

cornea

cristallino

iride

retina pupilla

cornea membrana trasparente ≅ superficie rifrangente sferica (R ≅ 8mm ) che separa l’aria dall’umor acqueo (n1=1.34)

cristallino ≅ lente biconvessa (n2=1.44 )

retina = pellicola formata da cellule sensibili alla luce trasmette le sensazioni al cervello tramite il nervo ottico

cornea + umor acqueo + cristallino + umor vitreo = sistema ottico

umor vitreo ≅ regione oltre il cristallino

umor vitreo nervo ottico

muscolo ciliare

umor acqueo

cornea

cristallino

iride

retina pupilla

Sulla retina si formano le immagini reali degli oggetti

Al variare della distanza dell’oggetto i muscoli ciliari fanno variare la curvatura del cristallino per ottenere l’immagine sempre sulla retina (processo di accomodamento)

L’occhio normale mette a fuoco sulla retina le immagini di oggetti che si trovano tra l’infinito (punto remoto) e il punto prossimo

d0 ≈ 25 cm = distanza del punto prossimo dall’occhio

00 d

ytgθ =θ0, massimo angolo di visione, è dato da

Lente di ingrandimento o microscopio semplice

Lente sottile convergente avente distanza focale f < d0

θ' F1 y

f

y'

o

o < f

y' dimensione dell’immagine virtuale, diritta ed ingrandita

y dimensione dell’oggetto

Se o ≅ f ⇒ i ≅ ∞ y

f θ'

fytgθ =' angolo sotto il quale è visto l’oggetto

fcm 25

fd

yd

fy

tgθtgθM 00

0====

' ingrandimento angolare

Microscopio composto sistema ottico costituito da due lenti convergenti

Serve per osservare oggetti vicini di piccole dimensioni

y' F1 F2

O I'

F'1 I

obiettivo

oculare

s θ y

L’obiettivo ha una distanza focale f1 piccola O oggetto: o > f1 I' immagine reale, capovolta ed ingrandita I′ oggetto per l’oculare: oculare lente di ingrandimento I' posto tra l’oculare ed F'1

I immagine finale deve essere >> I'

I' deve essere posto tra l’oculare ed F'1

Ingrandimento angolare del microscopio

0tgθtgθM =

ocoboc00

oc0Mm

fd

yy

yd

fy

tgθtgθM =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

''

θ angolo sotto cui è vista l’immagine finale I′ θ0 angolo sotto cui è visto ad occhio nudo l’oggetto posto nel punto prossimo (o =d0)

Telescopio astronomico o Kepleriano

θ F1

F2 ≡ F'1 y' F'2

obiettivo

oculare

θ θ'

fob foc

Consente di osservare oggetti lontani, visti sotto angoli molto piccoli

L’obiettivo, lente con una grande distanza focale, dà una immagine reale e capovolta che si forma in F2 ≡ F'1

oob = ∞ ⇒ iob = f ooc = iob = foc ⇒ ioc= ∞

L’immagine finale è virtuale, capovolta e si forma all’infinito

Poiché ooc = iob = foc ⇒ ioc= ∞

M ingrandimento angolare del telescopio

tgθtgθM '

=

θ' angolo sotto cui è vista l’immagine finale θ angolo sotto cui è visto l’oggetto lontano

obfytg '

=θ

ocfytg '' −=θ

y' dimensione dell’immagine data dall’obiettivo

ocob

ff M −=

Affinché si abbia un buon ingrandimento fob deve essere molto grande foc deve essere molto piccola

L’immagine finale è capovolta Per ottenere un’immagine diritta si può utilizzare una terza lente convergente tra l’obiettivo e l’oculare, tale da capovolgere l’immagine I’ intermedia senza alterarne le dimensioni

La difficoltà di costruire lenti di grandi dimensioni si supera con i telescopi a riflessione che utilizzano come obiettivo uno specchio concavo, eliminando l’aberrazione cromatica

Per osservare oggetti celesti poco luminosi occorre utilizzare telescopi con obiettivi di grandi dimensioni per raccogliere energia luminosa sufficiente

Si utilizza per deviare un fascio di luce Prisma

B θi

α

δ

α θ'i

A

C

θr' θ'r' γ1 γ2

θθα ir' '+=

( ) ( ) α−+=−+−=γ+γ= '' ''' riirr'i21 θθθθθθδ

'''' ri

risenθ senθ nsenθ nsenθ

=

=

È possibile calcolare per via numerica i valori di n, θr', θ'i e θ'r' in funzione di α, δ e θi