Sistemi uprav aa - University of Belgradeau.mas.bg.ac.rs/cms_upload/fakultet/fajlovi/146_upravljanjasistemi1.pdf · Decimalni broj se stavi u malu zagradu a u doem desnom uglu van

Sistemi upravǉaǌa

Zoran M. Buqevac

Sistemi upravǉaǌa

Beograd, 2012.

Predgovor

iii

iv

Sadr�aj

1 Uvod 11

2 Sistemi brojeva 132.1 Decimalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Binarni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Pretvaraǌa brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Binarno decimalno pretvaraǌe . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Decimalno binarno pretvaraǌe . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Aritmetika u binarnom sistemu brojeva . . . . . . . . . . . 182.4.1 Sabiraǌe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.2 Oduzimaǌe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Binarni kodovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.1 Direktni binarni kod . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.2 8421 BCD kod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.3 ASCII alfanumeriqki kod . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Binarna logika 233.1 Definicija osnovnih logiqkih operacija . . . . . . . . . . 23

3.1.1 Osobine osnovnih logiqkih operacija . . . . . . . . 273.2 Osnovne logiqke funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Tehniqko izvo�eǌe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Slo�ene logiqke funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.1 Kanoniqki oblik logiqke funkcije . . . . . . . . . . 323.4.2 Standardni i nestandardni oblici logiqke funkcije 333.4.3 Logiqki dijagrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.4 Logiqke funkcije jedne i dve nezavisne logiqke

promenǉive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5 Minimizovaǌe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5.1 Grafiqka metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Kombinaciona logiqka kola 414.1 Projektovaǌe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Aritmetiqka logiqka kola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.1 Sabiraqi i oduzimaqi . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 MSI i LSI logiqka kola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

v

vi SADR�AJ

4.3.1 Binarni paralelni sabiraqi . . . . . . . . . . . . . 484.3.2 Upore�ivaq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.3 Dekoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Asinhrona sekvencijalna logiqka kola 535.1 Flip-flopovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.1 SR flip-flop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.2 Pulsni SR flip-flop . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.3 Nepulsni SR flip-flop . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2 Sinteza asinhronih sekvencijalnih logiqkih kola . . . . . 585.2.1 Sinteza asinhronih sekvencijalnih logiqkih kola

s povratnim spregama . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.2 Sinteza asinhronih sekvencijalnih logiqkih kola

s flip-flopovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6 Registri, brojaqi 676.1 Pojam i primeri registara i brojaqa . . . . . . . . . . . . 67

7 Binarni davaqi, tehniqka izvo�eǌa logiqkih elemenata, izvr-xni organi binarnog dejstva 717.1 Razliqita tehniqka izvo�eǌa binarnih davaqa . . . . . . . 72

7.1.1 Elektromehaniqki davaqi . . . . . . . . . . . . . . . 727.1.2 Pneumatski davaqi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.1.3 Induktivni davaqi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.2 Elektromagnetno aktivirani elektriqni prekidaqi . . . . 747.3 Poluprovodniqki logiqki elementi . . . . . . . . . . . . . . 747.4 Pneumatski i hidrauliqki logiqki elementi (razvodnici) 767.5 Fluidiqki logiqki elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.6 Izvrxni organi binarnog dejstva . . . . . . . . . . . . . . . 77

8 Konaqni automat 818.1 Pojam konaqnog automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.2 Kombinacioni konaqni automat . . . . . . . . . . . . . . . . 828.3 Sekvencijalni konaqni automat . . . . . . . . . . . . . . . . 84

9 Programabilni automat 919.1 Tipiqne oblasti primene programabilnog automata . . . . 939.2 Programiraǌe programabilnog automata . . . . . . . . . . 94

10 Sistem automatskog upravǉaǌa (SAU) s upravǉaqkim raqu-narom 10110.1 Diskretni digitalni prenos signala . . . . . . . . . . . . . 10110.2 Definicija SAU s upravǉaqkim raqunarom . . . . . . . . . 103

10.2.1 Sastavni delovi SAU s upravǉaqkim raqunarom . 10510.2.2 Odabiraq i produ�ivaq . . . . . . . . . . . . . . . . 10510.2.3 Kvantovaǌe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10610.2.4 Kodiraǌe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

10.3 Model SAU s procesnim raqunarom . . . . . . . . . . . . . 107

Sadr�aj vii

11 A/D i D/A pretvaraqi 10911.1 Logiqki dijagrami, objaxǌeǌe rada . . . . . . . . . . . . . 109

A Laboratorijske ve�be 113A.1 Laboratorijska ve�ba 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

A.1.1 Minimizovaǌe logiqkih funkcija . . . . . . . . . . 113A.2 Laboratorijska ve�ba 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A.2.1 Realizacija konaqnih automata . . . . . . . . . . . . 118A.3 Laboratorijska ve�ba 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

A.3.1 Rad sa programabilnim automatom . . . . . . . . . . 124

viii Sadr�aj

Poglavǉe 1

Uvod

Posledǌih godina, upravǉaǌe pomo�u digitalnog raqunara postaje svevixe aktuelno i zastupǉeno u skoro svim oblastima primene. Upravl-jaqki sistemi ostvareni putem raqunarskih sistema imaju izuzetne do-bre karakteristike i znatnu prednost u odnosu na klasiqne upravǉaqkesisteme. Da bi se razumeo, pre svega, naqin funkcionisaǌa upravl-jaqkih sistema koji su ostvareni digitalnim raqunarom, neophodno jeupoznati digitalne sisteme u najxirem smislu reqi, ǌihovu prirodu,osnovne sastavne elemente, principe i naqin funkcionisaǌa osnovnihsastavnih elemenata, podsisteme i ǌihovo me�udejstvo. Tako�e je neop-hodno upoznati izuzetne karakteristike upravǉaqkih sistema reali-zovanih putem digitalnog raqunara, koji se tada naziva upravǉaqkiraqunar, i shvatiti odakle potiqu te izuzetne karakteristike. Ovde jeprisutno i jedno i drugo. Prvo su obra�eni digitalni sistemi uopxte,a u drugom delu upravǉaqki raqunari, tj. digitalni raqunari kojipredstavǉaju posebnu kategoriju digitalnih sistema i imaju funkcijuupravǉaqkih sistema.

11

12 POGLAVǈE 1. UVOD

Poglavǉe 2

Sistemi brojeva

Xta je sistem brojeva?Xta znaqi brojati u nekom sistemu brojeva?Da bi se odgovorilo na postavǉena pitaǌa, polazi se od skupa nekih

elemenata, na primer, skupa kuglica. Za oznaqavaǌe razliqitih koliqinakuglica posmatranog skupa neophodno je koristiti neke simbole. Pritome su mogu�a dva pristupa. Jedan pristup je da se za svaku koliqinukuglica posmatranog skupa odredi poseban simbol. Ovakav pristup jenepovoǉan jer je u sluqaju jako velikog skupa kuglica texko prona�i ra-zliqite simbole za svaku drugu koliqinu kuglica. Drugi pristup je dase uvede konaqno mnogo tzv. osnovnih simbola i da se bilo koja koliqinakuglica predstavi nekim od osnovnih simbola ili nekom kombinacijomnekih osnovnih simbola pri qemu se osnovni simboli kombinuju premaunapred utvr�enim pravilima. Na ovaj naqin se izbegava problem ne-dostatka simbola. Oqigledno da je ovaj drugi pristup povoǉniji izbog toga se on i usvaja za navedenu svrhu. Treba primetiti da u ovompoglavǉu jox uvek nije upotrebǉen pojam broj, izuzev na poqetku.

Pod sistemom brojeva1 podrazumeva se skup simbola, takozvanih bro-jeva, koji se koriste da predstave razliqite koliqine elemenata nekogskupa. Pri tome sistem brojeva ima konaqno mnogo osnovnih simbola,tzv. cifara, pomo�u kojih se bilo koja koliqina elemenata posmatranogskupa mo�e predstaviti pojedinaqnim ciframa ili nekom kombinacijomnekih cifara. Za kombinovaǌe cifara postoji unapred utvr�eno prav-ilo.

Oqigledno da mo�e postojati vixe razliqitih sistema brojeva u zav-isnosti od toga koliko taj sistem brojeva ima cifara. Ukupna koliqina,tj. broj cifara nekog sistema brojeva, naziva se baza ili osnova togsistema brojeva.

Pod brojaǌem u nekom sistemu brojeva podrazumeva se uzastopnonizaǌe brojeva tog sistema brojeva, poqev od najmaǌeg broja, pri qemusvaki naredni broj oznaqava prvu slede�u ve�u koliqinu elemenata uodnosu na koliqinu elemenata koja je oznaqena s prethodnim brojem.

1Mo�e da se koristi brojqani sistem ali je pogrexno koristiti brojni sistem.

13

14 POGLAVǈE 2. SISTEMI BROJEVA

Ovde �e biti pomenuta dva sistema brojeva: decimalni i binarni.

2.1 Decimalni brojevi

Kada se ka�e broj, obiqno se misli na broj decimalnog sistema brojeva.To je zbog toga xto se ovaj sistem brojeva skoro iskǉuqivo primeǌujeu praksi. Bez obzira na to xto je decimalni sistem brojeva dobropoznat, ovde �e biti izlo�ene ǌegove osnovne postavke. U tabeli 2.1uporedno su date cifre decimalnog sistema brojeva, ǌihova imena iodogovaraju�e koliqine kuglica koje te cifre predstavǉaju.

Cifra Ime cifre Koliqina kuglica

0 nula1 jedan •2 dva ••3 tri • • •4 qetiri • • ••5 pet • • • • •6 xest • • • • ••7 sedam • • • • • • •8 osam • • • • • • ••9 devet • • • • • • • • •

Tabela 2.1: Cifre decimalnog sistema brojeva, ǌihova imena i odgo-varaju�e koliqine kuglica

Name�e se logiqno pitaǌe: kako oznaqiti koliqinu kuglica ve�u odkoliqine oznaqene s 9, npr. slede�u koliqinu kuglica • • • • • • • • ••.Oqigledno da je ova koliqina ve�a za jednu kuglicu od one oznaqene s9. Ova koliqina kuglica se oznaqava tako xto se drugoj cifri, daklecifri 1, pridru�i prva cifra, dakle cifra 0, tako da se dobije 10.Ovakvom kombinacijom ove dve cifre dobijen je broj koji ima svoje imekoje je dobro poznato a to je deset. Koliqina kuglica koja je ve�a zajednu kuglicu od prethodno navedene koliqine kuglica oznaqava se takoxto se uzme druga cifra, tj. cifra 1, pa joj se pridru�i opet drugacifra, tj. cifra 1, tako da se dobije 11. Dobro nam je poznato daje na ovaj naqin dobijen broj koji ima svoje ime a to je jedanaest. Itako redom, dobijaju se 12 (dvanaest), 13 (trinaest), da bi na krajubile iscrpǉene sve mogu�nosti kombinovaǌem dve cifre – brojem 99(devedeset devet). Slede�a ve�a koliqina kuglica se oznaqava takoxto se uzme druga cifra, tj. cifra 1, pa se ǌoj pridru�i dva putaprva cifra, tj. cifra 0, tako da se dobije 100, a to je broj qije je imesto. I tako redom. Ovo xto je sada opisano jeste brojaǌe u decimalnomsistemu brojeva.

Pod brojaǌem u decimalnom sistemu brojeva podrazumeva se uza-stopno nizaǌe (re�aǌe) decimalnih brojeva, poqev od najmaǌeg, a to jecifra, odnosno broj 0, ka ve�im brojevima, pri qemu svaki slede�i brojoznaqava prvu slede�u ve�u koliqinu elemenata u odnosu na koliqinu

2.2. BINARNI BROJEVI 15

elemenata koja je oznaqena s prethodnim brojem.Oqigledno da decimalni sistem brojeva ima deset cifara tako da je

ǌegova osnova, tj. baza, 10.Umesto ve� prikazanih simbola koji su usvojeni kao cifre deci-

malnog sistema brojeva mogli smo usvojiti i neke drukqije simbole,npr. A, B, C, . . . pri qemu bi A oznaqavalo koliqinu bez kuglice, Bslede�u koliqinu • itd. Va�e�e cifre decimalnog sistema brojeva selako koriste zato xto smo navikli na ǌih i qim vidimo ili izgovorimoneku cifru mi odmah znamo ǌeno znaqeǌe, jer je to znaqeǌe memorisanou ǉudskom mozgu i na taj naqin mi imamo ose�aj za znaqeǌe svake cifrepa i xire tj. ve�ih brojeva. Ako bismo za trenutak zamislili da seumesto va�e�ih cifara decimalnog sistema brojeva uvode drukqiji sim-boli, npr. A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, i izgovorimo ili napixemo cifruG ili pak broj GH mi ne bismo imali ose�aj za znaqeǌe te cifre i togbroja iz prostog razloga xto u naxem mozgu zbog ne korix�eǌa nijememorisano da je G nexto xto odgovara dobro poznatoj cifri 6 niti daje GH nexto xto odgovara dobro poznatom broju 67.

Da bi sa sigurnox�u mogli da znamo da broj pripada decimalnomsistemu brojeva, usvojen je slede�i naqin pisaǌa decimalnih brojeva.Decimalni broj se stavi u malu zagradu a u doǌemdesnom uglu van zagrade, na mestu doǌeg indeksa, napixe se osnova 10decimalnog sistema brojeva. Ovaj naqin pisaǌa decimalnog broja ilus-trovan je u slede�em primeru.

Primer 2.1 (100)10

. Oqigledno da je prikazani broj decimalni broj sto.

Posmatrajmo opxti zapis decimalnog broja (anan−1 · · · a2a1a0)10 priqemu su a0, a1, a2, · · · , an−1, an neke cifre decimalnog sistema brojeva.Dobro je poznato da je koliqina elemenata nekog skupa izra�ena prikaza-nim decimalnim brojem odre�ena slede�im izrazom:

an · 10n + an−1 · 10

n−1 + · · ·+ a2 · 102 + a1 · 10

1 + a0 · 100. (2.1)

Oqigledno da svaka cifra decimalnog broja ima pored svoje cifarskevrednosti i takozvanu mesnu vrednost xto nije nixta drugo do nekistepen osnove decimalnog sistema brojeva tj. broja 10, u zavisnosti odtoga koju poziciju posmatrana cifra zauzima u posmatranom decimalnombroju.

2.2 Binarni brojevi

Kod binarnog sistema brojeva sve je sliqno kao kod decimalnog sistemabrojeva s tom razlikom xto binarni sistem brojeva ima maǌi broj ci-fara, tj. samo dve cifre. U tabeli 2.2 su uporedno prikazane cifre bi-narnog sistema brojeva, ǌihova imena i odgovaraju�e koliqine kuglicakoje te cifre predstavǉaju. Takve su samo dve cifre i one se nazivajubinarne cifre ili bitovi.


Cifra Ime cifre Koliqina kuglica

0 nula1 jedan •

Tabela 2.2: Cifre binarnog sistema brojeva, ǌihova imena i odgo-varaju�e koliqine kuglica

Kao xto se vidi iz tabele 2.2 cifre binarnog sistema brojeva imajuiste simbole kao prve dve cifre decimalnog sistema brojeva. Bilo jemogu�e usvojiti bilo koje simbole, kao, na primer, slova A i B tako dabi A oznaqavalo prazan skup kuglica a B skup koji se sastoji od jednekuglice. Dakle, usvojen je princip da ako neki sistem brojeva ima maǌibroj cifara nego xto je sluqaj kod decimalnog sistema brojeva ondase za cifre tog sistema brojeva pozajmǉuju prve cifre iz decimalnogsistema brojeva.

Sliqno kao kod decimalnog sistema brojeva, postavǉa se pitaǌe kako�e se u binarnom sistemu brojeva predstaviti ve�e koliqine kuglica odone koja je predstavǉena cifrom 1. Na primer, kako �e se predstavitikoliqina od dve kuglice. To se radi tako xto se uzme druga cifra izovog sistema brojeva, a to je 1, i ǌoj se pridru�i prva cifra tako dase dobije 10. Dobijen je broj u binarnom sistemu brojeva koji pred-stavǉa koliqinu od dva elementa (dve kuglice) nekog skupa. Da bi senapravila razlika izme�u ovog broja i broja deset iz decimalnog sis-tema brojeva, poxto su oni formalno identiqni, ovaj broj u binarnomsistemu brojeva se izgovara jedan nula. Koliqina od tri kuglice, a toje koliqina koja ima jednu kuglicu vixe nego prethodno razmatrana, ubinarnom sistemu brojeva predstavǉa se tako xto se uzme druga cifraiz binarnog sistema brojeva, a to je cifra 1, i ǌoj se pridru�i drugacifra iz binarnog sistema brojeva, dakle cifra 1, tako da se konaqnodobije broj u binarnom sistemu brojeva 11, xto se izgovara jedan jedana ne jedanaest kao u decimalnom sistemu brojeva. Na ovaj naqin suiscrpǉene sve mogu�nosti kombinovaǌa cifara binarnog sistema bro-jeva u dvocifrene binarne brojeve. Koliqina kuglica koja je ve�a zajednu kuglicu u odnosu na prethodno razmatranu koliqinu, u binarnomsistemu brojeva, predstavǉa se tako xto se drugoj cifri ovog sistemabrojeva, tj. jedinici, pridru�uje dva puta prva cifra ovog sistemabrojeva, tj. nula, tako da se konaqno dobije binarni broj 100, xto seqita jedan nula nula, a ne sto kao u decimalnom sistemu brojeva.

Da bi se sa sigurnox�u znalo da je neki broj binarni, usvojeno jepisaǌe binarnih brojeva u malu zagradu a van zagrade u doǌi desniugao, na mestu doǌeg indeksa, pixe se osnova 2 binarnog sistema bro-jeva. Ovaj naqin pisaǌa binarnog broja se ilustruje u slede�em primeru.

Primer 2.2 (100)2. Oqigledno da je prikazani broj binarni broj jedan nula

nula.

Posmatrajmo uopxteni zapis binarnog broja (anan−1 · · · a2a1a0)2 priqemu su a0, a1, a2, · · · , an−1, an neke cifre binarnog sistema brojeva. Koli-

2.3. PRETVARAǋA BROJEVA 17

qina elemenata nekog skupa izra�ena prikazanim binarnim brojem odre-�ena je, sliqno kao i u sluqaju decimalnog broja, slede�im izrazom:

an · 2n + an−1 · 2

n−1 + · · ·+ a2 · 22 + a1 · 2

1 + a0 · 20. (2.2)

Sliqno kao kod decimalnih brojeva i kod binarnih brojeva svaka cifraima pored svoje cifarske vrednosti i mesnu vrednost koja je neki stepenosnove binarnog sistema brojeva, tj. stepen broja 2, u zavisnosti odpozicije te cifre u posmatranom binarnom broju.

2.3 Pretvaraǌa brojeva

Mogu�e je pretvaraǌe brojeva iz jednog sistema brojeva u drugi sis-tem brojeva, tj. ako imamo broj iz jednog sistema brojeva mogu�e ga jepretvoriti u odgovaraju�i broj iz drugog sistema brojeva, tako da obabroja predstavǉaju istu koliqinu elemenata nekog skupa. Tako mogu�eje npr. pretvoriti broj iz binarnog sistema brojeva, tj. binarni broj,u broj iz decimalnog sistema brojeva, tj. odgovaraju�i decimalni broj,i obrnuto.

2.3.1 Binarno decimalno pretvaraǌe

Binarno decimalno pretvaraǌe je vrlo jednostavno a odre�eno je izra-zom 2.2. Ilustrova�emo postupak slede�im primerom.

Primer 2.3 (1010)2

= 1 · 23 + 1 · 21 = (10)10

.

2.3.2 Decimalno binarno pretvaraǌe

Decimalno binarno pretvaraǌe, tj. pretvaraǌe posmatranog decimalnogbroja u odgovaraju�i binarni broj, nexto je komplikovanije nego xto jebio prethodno opisani postupak, binarno decimalnog pretvaraǌa. Ovopretvaraǌe se zasniva na uzastopnom deǉeǌu, osnovom binarnog sistemabrojeva, tj. brojem 2, najpre samog decimalnog broja koji se pretvara, apotom celobrojnih koliqnika koji su nastali u prethodnom deǉeǌu, svedotle dok koliqnik ne postane nula. Tra�eni binarni ekvivalent pos-matranog decimalnog broja se formira od ostataka dobijenih prilikomtih deǉeǌa, tako xto se ostaci re�aju obrnutim redosledom od ǌi-hovog nastajaǌa, i to sleva na desno, da bi se dobio tra�eni binarnibroj. Da bi procedura bila jasnija, ovaj postupak �emo ilustrovatislede�im primerom.

Primer 2.4 Potrebno je pretvoriti decimalni broj (41)10

u odgovaraju�ibinarni broj. Prema prethodno opisanoj proceduri, taj decimalni brojpretvara se tako xto se deli sa osnovom binarnog sistema brojeva, tj.brojem 2, i dobijaju se celobrojni deo koliqnika 20 i ostatak 1. Celobro-jni deo koliqnika deli se sa 2 i dobijaju se celobrojni deo koliqnika 10 iostatak 0. Taj postupak deǉeǌa traje sve dok celobrojni deo koliqnika


ne bude nula. Tra�eni binarni broj se formira od ostataka nastalihpri deǉeǌu, i to ostaci se re�aju sleva na desno, poqev od ostatka do-bijenog posledǌim deǉeǌem, uzimaju�i ih u smeru suprotnom od ǌihovognastajaǌa. Navedena deǉeǌa, celobrojni koliqnici i ostaci tih deǉeǌasu prikazani u tabeli 2.3. Tra�eni binarni ekvivalent decimalnog broja(41)

10je (101001)

2.

Deǉeǌa sa 2, celobrojni koliqnici, ostaci

41 : 2 = 20 + 120 : 2 = 10 + 010 : 2 = 5 + 05 : 2 = 2 + 12 : 2 = 1 + 01 : 2 = 0 + 1

Tabela 2.3: Pretvaraǌe decimalnog broja (41)10

u binarni ekvivalent

2.4 Aritmetika u binarnom sistemu brojeva

U binarnom sistemu brojeva qetiri aritmetiqke operacije – sabiraǌe,oduzimaǌe, mno�eǌe i deǉeǌe, izvode se analogno operacijama u deci-malnom sistemu brojeva.

2.4.1 Sabiraǌe

Da bi bilo mogu�e izvoditi aritmetiqku operaciju sabiraǌa u bina-rnom sistemu brojeva, prvo se daju osnovni sluqajevi sabiraǌa u tomsistemu brojeva, a to su: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 10 i1 + 1 + 1 = 11. Pomenutu aritmetiqku operaciju u binarnom sistemubrojeva ilustruje slede�i primer.

Primer 2.5 Pri izvo�eǌu aritmetiqke operacije sabiraǌa u binarnomsistemu brojeva, sliqno kao i u decimalnom sistemu brojeva, sabirci sepotpisuju jedan ispod drugog i sabiraju se po razredima, i to zdesna ulevo.Ako je zbir cifara pri sabiraǌu u nekom razredu jednocifreni binarni broj,tj. 0 ili 1, onda se taj zbir potpisuje taqno ispod cifara razreda u komese sabiraǌe obavǉa. Ako je zbir cifara pri sabiraǌu u nekom razredu dvo-cifreni binarni broj, onda se desna cifra tog zbira potpisuje taqno is-pod cifara razreda u kome se sabiraǌe izvodi a leva cifra koja je jedinicaprenosi se u naredni razred, tj. tretira se kao jedan od sabiraka u nared-nom vixem razredu

Sabiraǌe101101 ← Sabirak

+ 100111 ← Sabirak1010100 ← Zbir

2.5. BINARNI KODOVI 19

2.4.2 Oduzimaǌe

Da bi bilo mogu�e izvoditi aritmetiqku operaciju oduzimaǌa u bi-narnom sistemu brojeva, prvo se daju osnovni sluqajevi oduzimaǌa utom sistemu brojeva, a to su: 0 − 0 = 0, 1 − 0 = 1, 1 − 1 = 0, 10 − 1 = 1.Izvo�eǌe pomenute aritmetiqke operacije u binarnom sistemu brojevase ilustruje slede�im primerom.

Primer 2.6 Pri izvo�eǌu aritmetiqke operacije oduzimaǌa, umaǌenik iumaǌilac se potpisuju jedan ispod drugog, sliqno kao kod decimalnog sis-tema brojeva. Oduzimaǌe se izvodi po razredima, i to zdesna ulevo. Priizvo�eǌu oduzimaǌa u okviru jednog razreda mogu�e je da je cifra umaǌenikave�a ili jednaka cifri umaǌioca i tada se razlika potpisuje taqno ispodcifara tog razreda. Druga mogu�nost je da cifra umaǌenika bude maǌa odcifre umaǌioca i tada je neophodno da se iz prvog slede�eg, vixeg razredaumaǌenika pozajmi jedinica tako da se praktiqno oduzima cifra umaǌioca,a to je cifra 1, od binarnog broja 10. Pozajmǉena cifra 1 iz narednog, vixegrazreda se mora uzeti u obzir prilikom oduzimaǌa u tom razredu, tj. tapozajmǉena cifra 1 �e imati ulogu jox jenog umaǌioca.

Oduzimaǌe101101 ← Umaǌenik

− 100111 ← Umaǌilac000110 ← Razlika

2.5 Binarni kodovi

Gotovo da nema nikoga ko nije quo ili ne zna xta se podrazumeva pod po-jmom digitalni kompjuter ili kra�e – kompjuter, pri qemu je navedenipojam nastao od engleskih reqi ,,digit“ xto znaqi cifra i ,,computer“xto znaqi raqunar. Isti pojam na naxem jeziku je cifarski raqunar ilikra�e – raqunar, a pod tim pojmom se obiqno misli na personalni, tjliqni, raqunar koji pripada posledǌoj generaciji ovih raqunara. Podraqunarom, u prethodno navedenom smislu, podrazumeva se ure�aj kojiautomatski, prevashodno, izvrxava aritmetiqke operacije tj. raquna.Otuda u ǌegovom nazivu req raqunar. Osnovna karakteristika ovog ure-�aja je da se u ǌegovoj unutraxǌosti iskǉuqivo prenose signali2 kojimogu da imaju samo dve vrednosti, dva nivoa. Fiziqka promenǉiva kojakod digitalnih raqunara ima ulogu signala je napon i on u raqunarumo�e da ima samo dve vrednosti – 0 V i 5 V. Poxto ih je samo dve, onese matematiqki predstavǉaju binarnim ciframa tj. bitovima. Nizaknivo, tj. 0 V se predstavǉa binarnom nulom, a visok nivo, tj. 5 V sepredstavǉa binarnom jedinicom. Kroz raqunar se kao signali jedinoprenose bitovi, tj. binarne cifre, pa otuda u nazivu ovog ure�aja pos-toji req cifarski ili digitalni. Prethodno opisani naqin prenosa

2Pod signalom se podrazumeva fiziqka promenǉiva koja je nosilac odre�ene in-formacije.


signala je karakteristiqan za sve ure�aje digitalnog tipa, tj. digi-talni ure�aj je xiri pojam od digitalnog raqunara, odnosno digitalniraqunar obuhva�en je pojmom digitalni ure�aj. Izumiteǉi digitalnograqunara su se odluqili za ovakav prenos signala kroz raqunar samoiz praktiqnih razloga jer je mnogo jednostavnije raqunar napraviti odelemenata koji imaju samo dva stabilna staǌa, sa samo dve vrednostifiziqke promenǉive, nego od elemenata sa vixe stabilnih staǌa. Sobzirom na to da raqunar ne operixe samo s binarnim brojevima ve� is decimalnim brojevima, slovima, specijalnim znacima i sl. Imaju�iu vidu da raqunar prenosi samo signale koji su u suxtini nule i je-dinice, da bi raqunar primio, prenosio i obra�ivao informaciju odecimalnim brojevima, slovima i specijalnim znacima, neophodno je daoni budu iskazani, tj. kodirani, pomo�u binarnih cifara 0 i 1, tj.bitova. Postavǉa se pitaǌe, koliko ure�eni skup nula i jedinica morada sadr�i bitova da bi se pomo�u ǌega mogao kodirati odre�eni brojrazliqitih elemenata. Tako, pomo�u ure�enog skupa nula i jedinicaod n bitova, mogu�e je kodirati 2n razliqitih elemenata, zbog togaxto se skup od n bitova mo�e urediti na 2n razliqitih naqina. Ovde�e biti izlo�eni kodovi pomo�u kojih se kodiraju decimalni brojevi,takozvani BCD kodovi, xto je skra�enica od engleskog naziva za bina-rni kod decimalnih cifara. S obzirom na to da decimalnih cifara imaukupno deset, BCD kod mora da bude najmaǌe qetvorobitni, jer skupod tri bita mo�e da se uredi na 23 = 8 razliqitih naqina xto je ne-dovoǉno za kodiraǌe deset decimalnih cifara, tj. trobitni binarnikod je nedovoǉan za kodiraǌe decimalnih cifara. Pored toga, skupod qetiri bita mo�e da se uredi na 24 = 16 razliqitih naqina xtoznaqi da prilikom qetvorobitnog kodiraǌa decimalnih cifara ostajui neiskorix�eni skupovi. Ovo daje mogu�nost da postoji vixe razliqi-tih BCD kodova u zavisnosti od toga za kojih se deset ure�enih skupova,izme�u xesnaest postoje�ih, neko opredeli. Najpoznatiji od svih BCDkodova je 8421 BCD kod. Kodovi koji slu�e istovremeno za kodiraǌedecimalnih cifara, slova engleskog alfabeta i specijalnih znakovanazivaju se alfanumeriqki kodovi. Za sluqaj da se pri kodiraǌu slovanekim ovakvim kodom ne pravi razlika izme�u velikih i malih slovaukupan broj elemenata (cifre decimalnog sistema brojeva + slova en-gleskog alfabeta + specijalni znaci) koje treba kodirati je 47 takoda alfanumeriqki kod mora da bude najmaǌe xestobitni, 25 < 47 < 26.Ovde �e biti izlo�en ASCII alfanumeriqki kod koji je sedmobitni.

2.5.1 Direktni binarni kod

Pod direktnim binarnim kodom decimalnih brojeva podrazumeva se ek-vivalentan binarni broj, koji se dobija na opisan naqin, kada se za-dati decimalni broj kojeg treba kodirati u direktnom binarnom kodupretvori u odgovaraju�i binarni broj.

2.5. BINARNI KODOVI 21

2.5.2 8421 BCD kod

8421 BCD kod je prikazan u tabeli 2.4.

Decimalne cifre 8421 BCD kod

0 00001 00012 00103 00114 01005 01016 01107 01118 10009 1001

Tabela 2.4: 8421 BCD kod

Iz tabele se vidi da je, zakǉuqno sa decimalnom cifrom 9, direk-tni binarni kod jednak 8421 BCD kodu. Po tome je ovaj BCD kod idobio ime 8421 BCD kod, jer direktni binarni kod, kao xto se zna,ima karakteristiku da ǌegove cifre imaju pored cifarske vrednostii mesnu vrednost. 8, 4, 2, 1 su mesne vrednosti, tj. takozvane te�ine,cifara ovog qetvorobitnog koda, gledano sleva udesno. Zbog toga ovajkod pripada takozvanim te�inskim kodovima. Bez obzira na to xto BCDkodova ima veoma mnogo, kad se ka�e BCD kod, onda se misli na 8421BCD kod. Za decimalne brojeve ve�e nego xto je cifra 9 direktni bina-rni kod se razlikuje od 8421 BCD koda. Postupak je takav da se umestocifara decimalnog broja uzima ǌihov qetvorobitni 8421 BCD kod. Ovoje ilustrovano slede�im primerom.

Primer 2.7 Decimalni broj 98 kodirati direktnim binarnim kodom i8421 BCD kodom. Rexeǌe je prikazano u tabeli 2.5.

Decimalni broj Direktni binarni kod 8421 BCD kod

98 1100010 1001 1000

Tabela 2.5: Direktni binarni i 8421 BCD kod decimalnog broja 98

2.5.3 ASCII alfanumeriqki kod

ASCII alfanumeriqki kod dat je u tabeli 2.6. Ovaj kod se ovde daje zbogǌegove va�nosti, xto potvr�uje ǌegovo qesto pomiǌaǌe i korix�eǌe upraksi, u vezi s primenama vezanim za personalne digitalne raqunare.


Znak Kod Znak Kod Znak Kod

A 100 0001 Q 101 0001 6 011 0110B 100 0010 R 101 0010 7 011 0111C 100 0011 S 101 0011 8 011 1000D 100 0100 T 101 0100 9 011 1001E 100 0101 U 101 0101 010 0000F 100 0110 V 101 0110 • 010 1110G 100 0111 W 101 0111 ( 010 1000H 100 1000 X 101 1000 + 010 1011I 100 1001 Y 101 1001 $ 010 0100J 100 1010 Z 101 1010 * 010 1010K 100 1011 0 011 0000 ) 010 1001L 100 1100 1 011 0001 - 010 1101M 100 1101 2 011 0010 / 010 1111N 100 1110 3 011 0011 , 010 1100O 100 1111 4 011 0100 = 011 1101P 101 0000 5 011 0101

Tabela 2.6: ASCII alfanumeriqki kod

Poglavǉe 3

Binarna logika

U obiqnom �ivotu vrlo qesto smo u situaciji da damo odgovor napitaǌe da li je neki postupak ispravan ili pogrexan, da li je nekizakǉuqak taqan ili netaqan i sl. Odgovori na ovakva dvovrednosna pi-taǌa s dva mogu�a opreqna ishoda, treba da budu rezultat tzv. logiqkograzmixǉaǌa. Ova dvovrednosna priroda logike navela je jox Aris-totela da razvije neku vrstu metode za otkrivaǌe istine na osnovu is-tinitih pretpostavki. Logika je u proxlosti stalno privlaqila matem-atiqare koji su ose�ali da se u procesu logiqkog razmixǉaǌa skrivai odvija neka vrsta algebarskog procesa. Me�utim, prvi koji je uspeo,tek u devetnaestom veku, da uspostavi vezu izme�u logike i matematikeje bio engleski matematiqar �or Bul, koji je uspostavio novu vrstudvovrednosne algebre tzv. Bulovu algebru. Engleski nauqnik Xenon jetek u dvadesetom veku primenio Bulovu algebru u prouqavaǌu digital-nih sistema, tako da ona danas predstavǉa osnovni matematiqki aparatkoji se koristi za opisivaǌe procesa obrade binarnih informacija.Ranije je ve� reqeno da su binarne informacije, tj. binarni signali,zastupǉeni u digitalnim sistemima samo iz praktiqnih razloga – jed-nostavne fiziqke realizacije. Ovde se ne�e prouqavati Bulova algebrazbog ǌene strogo matematiqke formalnosti, ve� �e se prouqavati tzv.binarna logika koja mnogo jednostavnije i matematiqki maǌe formalno,na neformalan naqin, uvodi Bulovu algebru.

Pod binarnom logikom podrazumevaju se logiqke operacije I, ILIi NE koje su definisane promenǉivim oznaqenim slovima npr. x, y, z · · · ,pri qemu ove promenǉive mogu imati samo dve vrednosti 0 i 1.

3.1 Definicija osnovnih logiqkih operacija

Logiqka operacija I oznaqava se taqkom ili ǌe nema, npr. x · y = z ilixy = z, qita se x I y = z, a znaqi da je z = 1 jedino ako je x = 1 i y = 1u isto vreme, u protivnom je z = 0.

ILI logiqka operacija se oznaqava sa +, npr. x + y = z, qita se xILI y = z i znaqi da je z = 0 jedino ako je x = 0 i y = 0 u isto vreme,

23

24 POGLAVǈE 3. BINARNA LOGIKA

u protivnom je z = 1.Definicije logiqkih operacija I i ILI mogu biti prikazane i

tabelarno, tako xto se u ǌoj, svakoj mogu�nosti u pogledu vrednostipromenǉivih x i y, pridru�uju odgovaraju�e vrednosti promenǉive zi za jednu i za drugu logiqku operaciju. U tabeli 3.1 su prikazanedefinicije logiqkih operacija I i ILI.

I i ILI logiqke operacije

x y x · y = z x + y = z

0 0 0 00 1 0 11 0 0 11 1 1 1

Tabela 3.1: Definicija logiqkih operacija I i ILI

NE logiqka operacija se oznaqava sa x = z, qita se NE x = z, a znaqida je z = 1 ako je x = 0 i da je z = 0 ako je x = 1. U tabeli 3.2 je prikazanadefinicija NE logiqke operacije.

NE logiqka operacija

x x = z

0 11 0

Tabela 3.2: Definicija NE logiqke operacije

Ranije je objaxǌeno zaxto su kod digitalnih sistema zastupǉenibinarni signali, koji su, oqigledno, po svojoj prirodi diskretni, usmislu, da mogu da imaju samo dve unapred odre�ene vrednosti, koje sukodirane sa 0 i 1, i nijednu drugu vrednost. Tako�e, ve� je reqeno, dasu s tim u vezi digitalni sistemi izgra�eni od elemenata koji moguda imaju samo dva razliqita staǌa, dok je prelaz izme�u ta dva staǌakratkotrajan i mo�e se zanemariti, tj. taj prelaz idealno posmatranoje beskonaqno kratak. Element, koji se upravo ponaxa na opisani naqin,i koji mo�e da poslu�i da se pomo�u ǌega fiziqki interpretiraju nave-dene logiqke operacije, kako bi se lakxe shvatilo ǌihovo znaqeǌe, jetzv. kontakt ili prekidaq. Na slici 3.1 je prikazan simbol prekidaqa,koji oqigledno pokazuje da prekidaq mo�e da ima samo dva stabilnastaǌa, tj. da je otvoren ili da je zatvoren, s tim da je prelaz izme�u ovadva staǌa vrlo kratkotrajan, idealno posmatrano, beskonaqno kratak.

Slika 3.1: Simbol prekidaqa

Postoje razliqiti prekidaqi, ali se ovde misli prevashodno na elek-triqni prekidaq, koji �e se ovde koristiti u elektriqnim kolima pomo�u

3.1. DEFINICIJA OSNOVNIH LOGIQKIH OPERACIJA 25

kojih �e se fiziqki interpretirati navedene logiqke operacije. Preki-daq se zatvara i otvara tzv. aktiviraǌem pomo�u binarnog signala,koji ima samo dve vrednosti oznaqene s 1 i 0, tako da se prekidaqzatvori kad je signal za aktiviraǌe jednak 1, a otvori kad je taj signaljednak 0. S jedne strane binarni signal za aktiviraǌe prekidaqa jebinarna promenǉiva, npr. x, a s druge strane binarna priroda preki-daqa omogu�ava da se i pomo�u ǌega fiziqki realizuje neka binarnapromenǉiva. Binarna promenǉiva koja se fiziqki realizuje pomo�uprikazanog prekidaqa ima vrednost 0 kada je prekidaq otvoren i vred-nost 1 kada je prekidaq zatvoren. Oqigledno, binarna promenǉiva kojase ostvaruje pomo�u prekidaqa ima iste vrednosti kao i promenǉivax za aktiviraǌe prekidaqa, tako da se ista ta promenǉiva x ostvarujepomo�u prekidaqa. Zbog toga se promenǉiva x pixe pored simbola zaprikazani prekidaq qime se simboliqno pokazuje da se ta promenǉivafiziqki realizuje pomo�u tog prekidaqa. Prikazani prekidaq se nazivanormalno otvoren ili radni prekidaq. Na slici 3.2a je prikazano stru-jno kolo s dva prekidaqa i sijalicom vezanim redno, pri qemu ovo stru-jno kolo fiziqki interpretira I logiqku operaciju.

Slika 3.2: Fiziqka interpretacija logiqkih operacija I i ILIpomo�u strujnog kola

Sliqno kao xto prekidaqi realizuju binarne promenǉive tako i si-jalica realizuje binarnu promenǉivu qija je vrednost jednaka 1 kadasijalica svetli i 0 kada sijalica ne svetli. Oqigledno, sijalica �eda svetli kada su oba prekidaqa u isto vreme zatvorena, a u svimdrugim sluqajevima sijalica ne�e da svetli. Drugim reqima, bina-rna promenǉiva z, koja se fiziqki realizuje pomo�u sijalice, ima�evrednost 1 jedino kada binarne promenǉive x i y, fiziqki realizo-vane pomo�u prekidaqa, imaju obe u isto vreme vrednost 1, a u svimdrugim sluqajevima promenǉiva z �e biti jednaka 0. To nije nixtadrugo do logiqka operacija I qime je razjaxǌeno kakvo je ǌeno fiziqkotumaqeǌe.

Na slici 3.2b je prikazano tako�e strujno kolo, s dva prekidaqa, alivezana paralelno i sijalicom vezanom redno s pomenutom paralelnomspregom prekidaqa.


Oqigledno, sijalica ne�e da svetli kada su oba prekidaqa otvorena,a u svim drugim sluqajevima sijalica �e da svetli. Drugim reqima, bi-narna promenǉiva z ima�e vrednost 0 jedino kada binarne promenǉivex i y imaju vrednost 0, obe u isto vreme, a u svim drugim sluqajevimapromenǉiva z �e biti jednaka 1. To nije nixta drugo do logiqka op-eracija ILI qime je razjaxǌeno kakvo je ǌeno fiziqko tumaqeǌe.

Za razliku od do sada pomiǌanog prekidaqa, na slici 3.3 je prikazansimbol takozvanog normalno zatvorenog ili mirnog prekidaqa.

Slika 3.3: Simbol normalno zatvorenog ili mirnog prekidaqa

Ovaj prekidaq je zatvoren kada nije aktiviran i obrnuto – otvorenkada je aktiviran, tako da radi inverzno u odnosu na normalno otvoreniprekidaq. To znaqi da kada je promenǉiva x za aktiviraǌe prekidaqajednaka nuli, tj. kad prekidaq nije aktiviran, onda binarna promenǉivakoja se realizuje pomo�u prekidaqa ima vrednost 1 i obrnuto kada jepromenǉiva x jednaka 1 binarna promenǉiva koja se realizuje pomo�uprekidaqa ima vrednost 0. Oqigledno su vrednosti promenǉive x ipromenǉive koja se realizuje pomo�u prekidaqa suprotne tako da jepromenǉiva koja se ostvaruje pomo�u prekidaqa takozvana negacija ilikomplement promenǉive x u oznaci x. Pored ovog prekidaqa pixe se xxto simboliqno oznaqava da se bax ta binarna promenǉiva ostvarujepomo�u ovog prekidaqa. Na slici 3.4 je prikazano strujno kolo u kojemje normalno zatvoren prekidaq vezan na red sa sijalicom tako da ovostrujno kolo fiziqki realizuje NE logiqku operaciju.

Slika 3.4: Fiziqka realizacija NE logiqke operacije pomo�u strujnogkola

Oqigledno da �e sijalica da svetli kada prekidaq nije aktiviran,tj. kada je prekidaq zatvoren i obrnuto sijalica ne�e da svetli kada jeprekidaq aktiviran tj. otvoren. Drukqije iskazano, z �e imati vred-nost 1 kada je x = 0 tj. kada je x = 1 i obrnuto z �e imati vrednost 0 kadaje x = 1 tj. kada je x = 0. To je logiqka operacija NE qije je fiziqkotumaqeǌe na ovaj naqin dato. Vidi se da je negacija, odnosno komple-ment, binarne promenǉive rezultat primene NE logiqke operacije nad

3.1. DEFINICIJA OSNOVNIH LOGIQKIH OPERACIJA 27

tom promenǉivom.

3.1.1 Osobine osnovnih logiqkih operacija

Za logiqke operacije I i ILI va�i:

x · 1 = x (3.1)

i

x + 0 = x. (3.2)

Na slici 3.5a prikazana je fiziqka interpretacija izraza 3.1, pomo�ukontakata. U strujnom kolu na slici 3.5a vezana su na red dva kontakta,od kojih je jedan normalno otvoren, a drugi je stalno zatvoren tako dafiziqki realizuje logiqku jedinicu, i oni su na red vezani sa sijali-com. Kontakt koji je stalno zatvoren ne utiqe na rad sijalice, tj. samoutiqe normalno otvoren kontakt.

Slika 3.5: Fiziqka interpretacija logiqkih izraza x · 1 = x i x + 0 = x

Na slici 3.5b prikazana je fiziqka interpretacija izraza 3.2, pomo�ukontakata. U strujnom kolu na slici 3.5b paralelno su vezana dva kon-takta, od kojih je jedan normalno otvoren, a drugi je stalno otvorentako da fiziqki realizuje logiqku nulu i ǌihova paralelna veza jeredno vezana sa sijalicom. Kontakt koji je stalno otvoren oqigledno neutiqe na rad sijalice, tj. samo utiqe normalno otvoreni kontakt.

Logiqka operacija I je distributivna u odnosu na logiqku operacijuILI, tj.

x · (y + z) = x · y + x · z. (3.3)

Napomena 3.1 Ovde z oznaqava binarnu promenǉivu uopxte, a ne kao pri-likom definisaǌa logiqkih operacija I i ILI kada je z oznaqavalo bina-rnu promenǉivu koja je rezultat primene logiqkih operacija I i ILI nadbinarnim promenǉivim x i y.


Logiqka operacija ILI distributivna je u odnosu na logiqku op-eraciju I, tj.

x + (y · z) = (x + y) · (x + z) . (3.4)

I ovde va�i napomena 3.1.Za neku binarnu promenǉivu x i ǌen komplement x va�i:

x + x = 1 (3.5)

i

x · x = 0. (3.6)

Na slici 3.6a data je fiziqka interpretacija izraza 3.5 pomo�u kon-takata. Oqigledno je da �e sijalica na slici 3.6a uvek da svetli. Jedanod dva prekidaqa koji su vezani paralelno, ili normalno otvoreni, ilinormalno zatvoreni, je uvek zatvoren poxto se za ǌihovo aktiviraǌekoristi isti signal.

Slika 3.6: Fiziqka interpretacija logiqkih izraza x + x = 1 i x · x = 0

Slika 3.6b predstavǉa fiziqku interpretaciju izraza 3.6 pomo�ukontakata. Oqigledno da sijalica na slici 3.6b ne�e nikada da svetli.Jedan od dva prekidaqa koji su vezani redno, ili normalno otvoren, ilinormalno zatvoren je uvek otvoren jer se za ǌihovo aktiviraǌe koristiisti signal.

Teorema 3.2 (De Morganova). – a) Komplement zbira je jednak proizvodukomplemenata sabiraka, tj.

x + y = x · y. (3.7)

b) Komplement proizvoda je jednak zbiru komplemenata qinilaca, tj.

x · y = x + y. (3.8)

Tabela 3.3 je tabela vrednosti koja pokazuje da jednakosti 3.7 i 3.8va�e.

3.2. OSNOVNE LOGIQKE FUNKCIJE 29

x y x + y x · y x · y x + y

0 0 1 1 1 10 1 0 0 1 11 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0

Tabela 3.3: Tabela vrednosti za izraze iz jednakosti 3.7 i 3.8

3.2 Osnovne logiqke funkcije

Na logiqke operacije i promenǉive koje uqestvuju u ǌima mo�e sei drukqije gledati. Promenǉive x i y u logiqkim operacijama I iILI i promenǉiva x u logiqkoj operaciji NE se mogu smatrati neza-visnim logiqkim promenǉivim a promenǉiva z se mo�e smatrati zav-isnom logiqkom promenǉivom, odnosno logiqkom funkcijom. Ovde pos-toji analogija sa svim drugim vrstama funkcija u smislu postojaǌazavisnosti izme�u nezavisnih promenǉivih i zavisnih promenǉivih, stim xto je ta zavisnost ovde logiqka. Logiqke operacije odre�uju tzv.osnovne logiqke funkcije. Logiqka operacija I odre�uje I logiqkufunkciju koja se drukqije naziva logiqko mno�eǌe.

Logiqka operacija ILI odre�uje ILI logiqku funkciju koja sedrukqije naziva logiqko sabiraǌe.

Logiqka operacija NE odre�uje NE logiqku funkciju.

Logiqki simboli za ove osnovne logiqke funkcije su prikazani naslici 3.7.

Slika 3.7: Logiqki simboli za logiqke funkcije I, ILI i NE

Prikazani simboli pretstavǉaju nove simbole, definisane standar-dom, ali se i stari simboli jox uvek javǉaju u literaturi, bilo da seradi o starijim izdaǌima kada su va�ili stari simboli, ili da se unovim izdaǌima koriste stari simboli. Da bi se omogu�ilo uspexnokorix�eǌe literature, na slici 3.8 su dati i stari simboli za osnovnelogiqke funkcije.

Slika 3.8: Stari simboli za logiqke funkcije I, ILI i NE

Logiqke operacije I i ILI, tj. logiqke funkcije I i ILI mogubiti definisane i za vixe od dve nezavisne promenǉive. ǋihovi logiqkisimboli su potpuno isti kao i oni za dve nezavisne promenǉive, s tom


razlikom xto broj ulaza u logiqki simbol odgovara novom broju neza-visnih promenǉivih.

3.3 Tehniqko izvo�eǌe

Osnovne logiqke funkcije se realizuju pomo�u osnovnih logiqkih el-emenata koji mogu biti fiziqki i tehniqki realizovani na razliqitenaqine.

Pneumatsko izvo�eǌe mo�e da bude pomo�u tzv. razvodnika. Naslici 3.9 prikazani su popreqni presek i standardom definisan sim-bol pneumatskog, monostabilnog, pneumatski aktiviranog 3/2 klipnograzvodnika.

Slika 3.9: Xema popreqnog preseka i simbol 3/2 razvodnika

Sam naziv i popreqni presek prikazan na slici 3.9 pokazuju da jerazvodnik ure�aj koji slu�i za razvo�eǌe, tj. usmeravaǌe, toka fluida(vazduha). Unutar razvodnika se nalazi pokretni klip koji mo�e da imasamo dva razliqita radna polo�aja, krajǌi levi i krajǌi desni. Radnipolo�aji klipa definixu takozvane polo�aje ukǉuqivaǌa razvodnika.U krajǌi levi polo�aj, nasuprot dejstvu sile opruge, klip dolazi poddejstvom vazduha pod pritiskom koji se dovodi na poseban prikǉuqaknameǌen za tzv. aktiviraǌe razvodnika. Ovaj polo�aj ukǉuqivaǌa jenestabilan zbog toga xto po prestanku dejstva signala za aktiviraǌeklip se, pod dejstvom opruge, vra�a u krajǌi desni polo�aj, koji je sta-bilan. Otuda je naziv monostabilan, jer ovaj razvodnik ima samo jedanstabilan radni polo�aj klipa. Prelaz iz jednog u drugi radni polo�aj,klip ostvaruje za veoma kratko vreme, idealno posmatrano – trenutno.U oznaci 3/2, 3 oznaqava ukupan broj prikǉuqaka razvodnika, ne raqu-naju�i prikǉuqak za aktiviraǌe, a 2 oznaqava broj radnih polo�ajaklipa, tj. polo�aja ukǉuqivaǌa.

Simbol razvodnika sastoji se od dva kvadrata pri qemu svaki odǌih oznaqava po jedan polo�aj ukǉuqivaǌa. Prikǉuqci razvodnika sunaspram levog kvadrata u neaktiviranom staǌu razvodnika i tada jelevi kvadrat va�e�i. Formalno se smatra da su prikǉuqci nepomiqnia da se pri aktiviraǌu razvodnika ceo simbol pomera zdesna ulevo, svedok desni kvadrat ne do�e naspram prikǉuqaka i tada je desni kvadratva�e�i.

Na slici 3.10 prikazano je ostvarivaǌe osnovnih logiqkih funkcijapomo�u razvodnika 3/2.

Pri tome je za realizaciju logiqkih funkcija I i ILI korix�entzv. normalno zatvoren a za logiqku funkciju NE – normalno otvoren

3.4. SLO�ENE LOGIQKE FUNKCIJE 31

Slika 3.10: Realizacija osnovnih logiqkih funkcija pomo�urazvodnika 3/2

razvodnik. Simboli normalno zatvorenog i normalno otvorenog razvod-nika se razlikuju utoliko xto su kod normalno otvorenog, kvadrati,koji qine simbol normalno zatvorenog razvodnika, zamenili mesta. Sux-tinski radi se o konstrukcijskoj razlici, tako da je u neaktiviranomstaǌu s istog prikǉuqka strujni tok fluida ka izlazu, kod normalnozatvorenog razvodnika prekinut, a kod normalno otvorenog – uspostavl-jen.

3.4 Slo�ene logiqke funkcije

Pomo�u osnovnih logiqkih operacija mogu biti iskazane i slo�enijelogiqke funkcije, u odnosu na osnovne logiqke funkcije, koje u op-xtem sluqaju mogu da imaju n nezavisnih logiqkih promenǉivih kojese obiqno obele�avaju sa x1, x2, · · · , xn. Logiqka funkcija y od n neza-visnih logiqkih promenǉivih mo�e se uopxteno analitiqki iskazatikao xto sledi:

y = f (x1, x2, · · · , xn) . (3.9)

Vidi se da se taj analitiqki prikaz formalno ne razlikuje od analitiq-kog prikaza bilo koje druge funkcije, pri qemu se iz konteksta mo�e za-kǉuqiti da se radi o logiqkoj funkciji. Logiqka funkcija se prikazujena drugi naqin tabelarno. Ta tabela u svom levom delu sadr�i izlis-tane ure�ene skupove vrednosti nezavisnih promenǉivih, kojih je za nnezavisnih logiqkih promenǉivih 2n. Ovo listaǌe se jednostavno do-bija brojaǌem od 0 do 2n−1 u binarnom sistemu brojeva. Naspram svakogure�enog skupa vrednosti nezavisnih logiqkih promenǉivih, u desnomdelu tabele, upisuje se odgovaraju�a vrednost logiqke funkcije, kojamo�e biti samo 0 ili 1. U slede�em primeru se daje tabelarni prikazproizvoǉne logiqke funkcije od tri nezavisne logiqke promenǉive.

Primer 3.1 U tabeli 3.4 je prikazana proizvoǉna logiqka funkcija od trinezavisne logiqke promenǉive.

Oqigledno u tabeli 3.4 ima 23 = 8 ure�enih skupova vrednosti neza-visnih promenǉivih i oni se listaju tako xto se broji u binarnom sis-temu brojeva od 0 do 7. Prikazana funkcija je primer za tzv. potpune


x1 x2 x3 y

0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 01 1 1 0

Tabela 3.4: Tabelarni prikaz proizvoǉne logiqke funkcije od tri neza-visne promenǉive

funkcije, koje su definisane za sve ure�ene skupove vrednosti nezavis-nih promenǉivih, nasuprot nepotpunim funkcijama.

3.4.1 Kanoniqki oblik logiqke funkcije

Da bi se definisao kanoniqki oblik logiqke funkcije, neophodno jeuvesti pojam potpunog proizvoda ili minterma. Pod mintermom se po-drazumeva logiqki proizvod svih nezavisnih logiqkih promenǉivih priqemu su promenǉive u negaciji ili nisu. Za one promenǉive koje nisu unegaciji ka�e se da su u afirmaciji. Logiqka funkcija od n nezavisnihlogiqkih promenǉivih ima ukupno 2n mintermova koji se jednostavno do-bijaju na osnovu tabelarnog prikaza logiqke funkcije, i to ǌenog levogdela. Svakom ure�enom skupu vrednosti nezavisnih promenǉivih odgo-vara po jedan minterm i dobija se tako xto se logiqki izmno�e sve neza-visne promenǉive, i to tamo gde je 0 uzima se odgovaraju�a promenǉivau negaciji a tamo gde je 1 uzima se odgovaraju�a promenǉiva u afirma-ciji.

U tabeli 3.5 su prikazani svi mintermovi za logiqku funkciju odtri nezavisne logiqke promenǉive.

x1 x2 x3 Mintermovi

0 0 0 x1x2x3

0 0 1 x1x2x3

0 1 0 x1x2x3

0 1 1 x1x2x3

1 0 0 x1x2x3

1 0 1 x1x2x3

1 1 0 x1x2x3

1 1 1 x1x2x3

Tabela 3.5: Mintermovi za logiqku funkciju od tri nezavisne logiqkepromenǉive

Kanoniqki oblik logiqke funkcije je logiqki zbir onih mintermovakojima odgovara vrednost 1 posmatrane logiqke funkcije. Za logiqkufunkciju iz tabele 3.4 kanoniqki oblik je:

3.4. SLO�ENE LOGIQKE FUNKCIJE 33

y = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3. (3.10)

Analitiqki algebarski izraz za neku logiqku funkciju nije jedin-stven ve� za istu logiqku funkciju mo�e da postoji vixe razliqitihoblika.

3.4.2 Standardni i nestandardni oblici logiqke funkcije

Standardni oblik logiqke funkcije je, za razliku od kanoniqkog, logiqkasuma nepotpunih logiqkih proizvoda. Nestandardni oblik logiqke funkcijeje onaj oblik koji nije ni kanoniqki ni standardni. Za logiqku funkcijuprikazanu u tabeli 3.4 standardni oblik logiqke funkcije u oblikusume nepotpunih logiqkih proizvoda glasi:

y = x1x2 + x2x3 + x1x2x3. (3.11)

Jedan od nestandardnih oblika iste logiqke funkcije je:

y = x2 (x1 + x3) + x1x2x3. (3.12)

Kasnije �e biti pokazano kako se doxlo do svakog od ovih oblikaiste logiqke funkcije.

3.4.3 Logiqki dijagrami

Pomo�u logiqkih simbola za osnovne logiqke operacije, tj. logiqkefunkcije, mogu�e je odrediti tzv. logiqki dijagram za neku logiqkufunkciju u bilo kom obliku.

Primer 3.2 Ovde se daje logiqki dijagram, slika 3.11, za ve� prikazanulogiqku funkciju, i to ǌen kanoniqki oblik 3.10. Ovaj dijagram je dobijentako xto je svaki logiqki proizvod realizovan pomo�u jednog I logiqkogelementa qiji su izlazi logiqki sabrani pomo�u jednog ILI logiqkog ele-menta. Ulazi I logiqkih elemenata su same nezavisne logiqke promenǉiveu afirmaciji ili negaciji. Negacija nezavisnih logiqkih promenǉivih sedobija pomo�u NE logiqkih elemenata.

Na sliqan naqin se dobijaju logiqki dijagrami i za standardne inestandardne oblike logiqke funkcije.

3.4.4 Logiqke funkcije jedne i dve nezavisne logiqkepromenǉive

Ako se posmatra tabelarni prikaz neke logiqke funkcije od n nezavis-nih logiqkih promenǉivih, u desnom delu tabele su vrednosti logiqkefunkcije i ukupno ih ima 2n. Te vrednosti se tako�e mogu smatrati ure-�enim skupom nula i jedinica, i postavǉa se pitaǌe na koliko razliqi-tih naqina se mo�e urediti taj skup od 2n nula i jedinica. Po analogiji


Slika 3.11: Logiqki dijagram za kanoniqki oblik 3.10 logiqke funkcijey

s odre�ivaǌem broja razliqito ure�enih skupova vrednosti nezavis-nih promenǉivih ovde se dobija da je taj broj 22

n

, xto predstavǉaukupan broj razliqitih logiqkih funkcija od n nezavisnih logiqkihpromenǉivih.

Tako, ukupan broj razliqitih logiqkih funkcija od 1 nezavisne logiqke

promenǉive iznosi 221

= 4, a ukupan broj razliqitih logiqkih funkcija

od 2 nezavisne logiqe promenǉive iznosi 222

= 16.Ovde se daju dve logiqke funkcije od jedne nezavisne logiqke promenǉive,

logiqka funkcija DA i logiqka funkcija NE, koje su prikazane su utabeli 3.6.

DA NE

x y y

0 0 11 1 0

Tabela 3.6: Logiqke funkcije DA i NE, od jedne nezavisne promenǉive

Od svih xesnaest logiqkih funkcija od dve nezavisne logiqke promenǉivedve logiqke funkcije su ve� pomiǌane, a to su I i ILI logiqke funkcije.Od preostalih qetrnaest ovde �e biti navedeno samo jox nekoliko na-jva�nijih a to su logiqke funkcije NI, NILI, ISKǈUQNO ILI iEKVIVALENCIJA. Ove logiqke funkcije su prikazane u tabeli 3.7.

Logiqka funkcija NI ima suprotne vrednosti od logiqke funkcijeI pa je po tome i dobila ime NE–I ili kra�e NI. Ona se oznaqava ver-tikalnom strelicom okrenutom na gore izme�u nezavisnih promenǉivih,tj. z = x ↑ y. Sliqno, logiqka funkcija NILI ima suprotne vrednostiu odnosu na logiqku funkciju ILI pa je po tome dobila ime NE–ILIili kra�e NILI. Ona se oznaqava vertikalnom strelicom okrenutomnadole izme�u nezavisnih logiqkih promenǉivih, tj. z = x ↓ y. Logiqka

3.5. MINIMIZOVAǋE 35

NI NILI ISKǈUQNO ILI EKVIVALENCIJA

x y z z z z

0 0 1 1 0 10 1 1 0 1 01 0 1 0 1 01 1 0 0 0 1

Tabela 3.7: Logiqke funkcije NI, NILI, ISKǈUQNO ILI iEKVIVALENCIJA

funkcija ISKǈUQNO ILI ima iste vrednosti kao logiqka funkcijaILI izuzev za xy = 11, kada ova funkcija ima vrednost 0. Po tome jei dobila ime, tj. to je funkcija kod koje postoji razlika, iskǉuqenaje jednakost, s logiqkom funkcijom ILI samo na jednom mestu, a toje za xy = 11. Ova logiqka funkcija se oznaqava zaokru�enim znakomplus izme�u nezavisnih logiqkih promenǉivih, tj. z = x ⊕ y. Logiqkafunkcija EKVIVALENCIJA ima vrednost 1 kadgod nezavisne logiqkepromenǉive imaju jednake vrednosti i obrnuto, vrednost 0 kadgod neza-visne logiqke promenǉive imaju razliqite vrednosti. Ova logiqkafunkcija se oznaqava zaokru�enom taqkom izme�u nezavisnih logiqkihpromenǉivih, tj. z = x� y.

Na slici 3.12 dati su novi, standardni, a na slici 3.13 stari logiqkisimboli za logiqke funkcije NI, NILI, ISKǈUQNO ILI i EKVI-VALENCIJU.

Slika 3.12: Novi logiqki simboli za logiqke funkcije NI, NILI,ISKǈUQNO ILI i EKVIVALENCIJU

Slika 3.13: Stari logiqki simboli za logiqke funkcije NI, NILI,ISKǈUQNO ILI i EKVIVALENCIJA

3.5 Minimizovaǌe

Imaju�i u vidu navedenu qiǌenicu da jedna ista logiqka funkcija mo�eda ima razliqite oblike, name�e se logiqno pitaǌe koji od svih tihoblika je optimalan sa stanovixta ekonomiqne fiziqke realizacije ikako se dobija. Takav oblik logiqke funkcije se naziva minimalnim, anajqex�e korix�eni kriterijum minimalnosti je broj slovnih oznakaza nezavisne logiqke promenǉive, bez obzira na to da li su one u afir-maciji ili negaciji. Minimalni oblik neke logiqke funkcije u nave-


denom smislu se dobija postupkom takozvanog minimizovaǌa. Postojerazne metode minimizovaǌa logiqkih funkcija. Neke od ǌih su nedo-voǉno egzaktne ali maǌe komplikovane, a druge potpuno egzaktne alivrlo komplikovane. Ovde �e biti izlo�ena samo jedna metoda koja nijepotpuno egzaktna ali je vrlo pogodna za primenu, naroqito za logiqkefunkcije s maǌim brojem nezavisnih promenǉivih, najvixe se koristi upraksi i najpopularnija je. To je takozvana grafiqka metoda ili metodaVeiq-Karno nazvana prema imenima nauqnika koji su ovu metodu dali uskoro istovetnoj formi.

3.5.1 Grafiqka metoda

Ova metoda se sprovodi i zasniva na korix�eǌu tabela, takozvanihmapa Veiq-Karno. Mapa Veiq-Karno se sastoji od poǉa, tj. kvadrataili pravougaonika, koji su raspore�eni u odre�eni broj vrsta i kolona,tako da se svakom poǉu mape pridru�uje jedan minterm logiqke funkcije.Sledi da je ukupan broj poǉa mape Veiq-Karno jednak ukupnom brojumintermova logiqke funkcije, xto znaqi da mape imaju razliqit oblikza logiqke funkcije s razliqitim brojem nezavisnih logiqkih promenǉivih.Mintermovi su raspore�eni u mapi na unapred propisani naqin, pogo-dan sa stanovixta ǌene primene. Tabela 3.8 pretstavǉa mapu Veiq-Karno za logiqku funkciju od dve nezavisne promenǉive.

x1

x2

0 10 x1x2 x1x2

1 x1x2 x1x2

Tabela 3.8: Mapa Veiq-Karno za logiqku funkciju od dve nezavisnepromenǉive

Tabela 3.9 pretstavǉa mapu Veiq-Karno za logiqku funkciju od trinezavisne promenǉive.

x1

x2x3

00 01 11 100 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3

1 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3

Tabela 3.9: Mapa Veiq-Karno za logiqku funkciju sa tri nezavisnelogiqke promenǉive

U poǉa prikazanih mapa Veiq-Karno uneti su odgovaraju�i minter-movi xto se pri primeni mapa ne qini. To je ovde ura�eno samo zbog togada bi se pokazalo kako je izvrxeno pridru�ivaǌe mintermova poǉimamapa. Veiq-Karno mape imaju oznake pripadnosti mintermova pojedinimpoǉima, tj. u zaglavǉu vrsta i kolona se nalaze binarni brojevi kojipredstavǉaju te oznake. Zdru�ivaǌem binarnog broja iz zaglavǉa neke


vrste i iz zaglavǉa neke kolone dobija se binarni broj qiji decimalniekvivalent odre�uje minterm, koji odgovara poǉu mape Veiq-Karno upreseku posmatrane vrste i posmatrane kolone. Drukqije iskazano,svaka cifra pomenutih binaranih brojeva koji su u zaglavǉima vrsta ikolona odgovara jednoj nezavisnoj logiqkoj promenǉivoj, tako da tamogde je 0 odgovaraju�a promenǉiva je u negaciji u svim poǉima vrsteili kolone u qijem zaglavǉu je ta 0. Sliqno, tamo gde je jedinica odgo-varaju�a promenǉiva je u afirmaciji u svim poǉima vrste ili kolone uqijem zaglavǉu se nalazi ta jedinica. Sleve i gorǌe strane mape Veiq-Karno naznaqene su promenǉive koje odgovaraju binarnim ciframa uzaglavǉima vrsta i zaglavǉima kolona. Mapa se popuǌava tako xtose u ǌena poǉa upisuju vrednosti posmatrane logiqke funkcije, i tojedinice u ona poǉa qiji mintermovi uqestvuju u izgradǌi pomenutelogiqke funkcije i obrnuto, nule u ona poǉa qiji mintermovi ne uq-estvuju u izgradǌi posmatrane logiqke funkcije. Mintermovi su ras-pore�eni u mapama Veiq-Karno tako da susednim poǉima odgovarajulogiqki susedni mintermovi, tj. oni mintermovi koji se razlikujusamo u pogledu jedne nezavisne promenǉive, koja je kod jednog mintermau afirmaciji a kod drugog u negaciji, dok su sve ostale promenǉiveidentiqne kod oba minterma. Uz korix�eǌe izraza 3.3, 3.5 i 3.1, zbirtakva dva minterma se svodi na nepotpuni proizvod nezavisnih logiqkihpromenǉivih, u kome nedostaje promenǉiva po kojoj su se razlikovalimintermovi sabirci. Ka�e se da je izvrxeno sa�imaǌe pomenutih minter-mova.

Primer 3.3 Tabela 3.10 oqigledno je mapa Veiq-Karno za logiqku funkcijuod tri nezavisne logiqke promenǉive u kojoj su prikazana samo dva mintermakoji su fiziqki i logiqki susedni. ǋihovim sa�imaǌem se dobija nepot-puni proizvod x2x3 tj. x1x2x3 + x1x2x3 = x2x3 (x1 + x1) = x2x3 · 1 = x2x3.

x1

x2x3

00 01 11 100 x1x2x3

1 x1x2x3

Tabela 3.10: Fiziqki i logiqki susedni dva minterma u mapi Veiq--Karno za logiqke funkcije od dve nezavisne promenǉive

Kod mape Veiq-Karno za logiqku funkciju od tri nezavisne logiqkepromenǉive smatra se da su leva i desna ivica mape preklopǉene takoda je mapa savijena u cilindriqnu povrxinu, a poǉa koja su uz levuivicu mape su do poǉa koja su uz desnu ivicu.

Sa�imaǌe dva susedna minterma nije jedina mogu�nost. Sa�iman-jem qetiri susedna minterma dobija se jedan nepotpun proizvod u komenedostaju dve nezavisne logiqke promenǉive.

Primer 3.4 Tabela 3.11 je mapa Veiq-Karno za logiqke funkcije od trinezavisne logiqke promenǉive u kojoj su prikazana samo qetiri susedna


minterma. ǋihovim sa�imaǌem se dobija nepotpuni proizvod x3, tj.x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 = x2x3 (x1 + x1) + x2x3 (x1 + x1) = x2x3 ·1 + x2x3 · 1 = x2x3 + x2x3 = x3 (x2 + x2) = x3 · 1 = x3.

x1

x2x3

00 01 11 100 x1x2x3 x1x2x3

1 x1x2x3 x1x2x3

Tabela 3.11: Qetiri fiziqki i logiqki susedna minterma u mapi Veiq-Karno

Tako�e, sa�imaǌem osam mintermova dobija se nepotpun proizvodu kome nedostaju tri nezavisne promenǉive itd. Ova metoda se zas-niva na opisanom postupku sa�imaǌa, i to tako xto se u mapu Veiq-Karno ucrtavaju zatvorene konture koje treba da obuhvataju xto ve�ibroj susednih jediniqnih poǉa, pri qemu taj broj mora da bude ste-pen broja 2. Pri ucrtavaǌu kontura, sva jediniqna poǉa moraju bitiobuhva�ena nekom od kontura, a dozvoǉeno je da se konture preklapaju.Svakoj konturi odgovara po jedan nepotpun proizvod koji treba da budedeo, u ranije navedenom smislu, minimalnog standardnog oblika logiqkefunkcije. Opisani postupak je ǌegov formalni prikaz. Suxtina ovogpostupka je sa�imaǌe mintermova koji grade kanoniqki oblik logiqkefunkcije. Postupak oqigledno nije egzaktan i pri ǌegovoj primenitreba, pored svega ve� navedenog, te�iti da bude xto maǌi ukupan brojkontura. Nepotpuni proizvod koji odgovara nekoj konturi sadr�i samoone promenǉive koje imaju konstantnu vrednost na svim obuhva�enimpoǉima, bilo 0, bilo 1. Ako promenǉiva ima vrednost nula na svimobuhva�enim poǉima, ona u nepotpuni proizvod ulazi u negaciji i obr-nuto, ako promenǉiva ima vrednost jedan, ona u nepotpuni proizvodulazi u afirmaciji. Primena ove metode bi�e objaxǌena u slede�emprimeru.

Primer 3.5 Za logiqku funkciju od tri nezavisne logiqke promenǉivena slici 3.14 je prikazana zadata mapa Veiq-Karno zajedno s ucrtanimkonturama. Kontura u drugoj koloni mape obuhvata dva jediniqna poǉa,xto znaqi da �e u odgovaraju�em nepotpunom proizvodu nedostajati jednapromenǉiva, tj. nepotpuni proizvod �e imati dve promenǉive, i to onekoje ne meǌaju vrednost na oba poǉa. To su promenǉiva x2 koja na oba poǉaima vrednost 0 tako da ona ulazi u nepotpun proizvod kao x2 i promenǉivax3 koja na oba poǉa ima vrednost 1 tako da ulazi u nepotpuni proizvodkao x3. Jediniqna poǉa obuhva�ena konturom koja je prikazana u dva dela,su susedna po osnovu preklapaǌa leve i desne ivice mape. Na sliqan naqinse odre�uju i druga dva nepotpuna proizvoda tako da je minimalni stan-dardni oblik zadate logiqke funkcije:


y = x1x3 + x2x3 + x1x3. (3.13)

Slika 3.14: Popuǌena mapa Veiq-Karno iz primera 3.5


Poglavǉe 4

Kombinaciona logiqkakola

Osnovne logiqke funkcije se realizuju pomo�u logiqkih elemenata.Povezivaǌem vixe logiqkih elemenata dobijaju se takozvana logiqkakola. Logiqka kola mogu biti razliqitih tipova, slo�enosti i namene.Najjednostavniji tip logiqkih kola su kombinaciona logiqka kola.

Pod kombinacionim logiqkim kolom se podrazumeva logiqko kolo kojejednoznaqno uspostavǉa vezu izme�u vrednosti ǌegovih binarnih ulazai binarnih izlaza. To znaqi da jedan isti ure�eni skup vrednostiulaznih veliqina, kad god se pojavi na ulazu kombinacionog logiqkogkola, na izlazu uslovǉava pojavu jedinstvenog ure�enog skupa vrednostiizlaznih promenǉivih. Ovo logiqko kolo u opxtem sluqaju mo�e da imavixe ulaza, npr. n i vixe izlaza, npr. m. Dijagram kombinacionoglogiqkog kola prikazan je na slici 4.1.

Slika 4.1: Dijagram kombinacionog logiqkog kola

Kombinaciono logiqko kolo se mo�e logiqki opisati sa m logiqkihfunkcija od n nezavisnih logiqkih promenǉivih:

41

42 POGLAVǈE 4. KOMBINACIONA LOGIQKA KOLA

f1 = f1 (x1, x2, · · · , xn)

f2 = f2 (x1, x2, · · · , xn)

... (4.1)

fm = fm (x1, x2, · · · , xn) .

Prikazano kombinaciono logiqko kolo, koje ima n ulaza, na svojimulazima mo�e da ima 2n razliqito ure�enih skupova vrednosti ulaznihveliqina.

4.1 Projektovaǌe

Postupak projektovaǌa kombinacionog logiqkog kola poqiǌe tekstu-alnim definisaǌem ǌegovog naqina rada, a zavrxava se odre�ivaǌemlogiqkih funkcija koje opisuju rad tog kola, tj. odre�ivaǌem odgo-varaju�eg logiqkog dijagrama. Na bazi tekstualno definisanog naqinarada kombinacionog logiqkog kola identifikuju se ulazne i izlazneveliqine tog kola i uvode se ǌihove oznake. Zahtevani odnos izme�uvrednosti ulaznih i izlaznih veliqina se prikazuje tabelarno. Imaju�iu vidu da su ulazne veliqine nezavisne logiqke promenǉive, a izlazneveliqine – logiqke funkcije, ovo je tabelarni prikaz logiqkih funkcijakoje opisuju rad kombinacionog logiqkog kola. Tabelarni prikaz seodre�uje na opisani naqin, kao i za svaku logiqku funkciju, s timxto se ovde vrednosti logiqkih funkcija identifikuju na osnovu tek-stualnog definisaǌa rada kola. Posle dobijaǌa tabelarnog prikazalogiqkih funkcija, vrxi se minimizovaǌe logiqkih funkcija i dobijajuse ǌihovi minimalni oblici. Na osnovu minimalnih oblika logiqkihfunkcija odre�uje se odgovaraju�i logiqki dijagram, na osnovu kojegse realizuje tra�eno kombinaciono logiqko kolo, koje ispuǌava uslovfinansijske ekonomiqnosti.

Primer 4.1 Projektovati kombinaciono logiqko kolo koje ima tri ulazai jedan izlaz. Izlazna veliqina ovog logiqkog kola ima vrednost 1 kada:sve ulazne veliqine na svim ǌegovim ulazima imaju vrednost 1, ili kadasve ulazne veliqine na svim ǌegovim ulazima imaju vrednost 0, ili kadaneparan broj ulaznih veliqina na neparnom broju ǌegovih ulaza ima vred-nost 1. U svim ostalim sluqajevima izlazna veliqina ovog logiqkog kolaima vrednost 0. Ulazne veliqine se oznaqavaju s x1, x2 i x3, a izlaznaveliqina se oznaqava s , ”y”. Tabela 4.1 je tabela vrednosti za logiqkufunkciju , ”y”, dobijena na osnovu tekstualno definisanog naqina radakombinacionog kola. Na slici 4.2a prikazana je popuǌena mapa Veiq-Karnoza navedeno kombinaciono logiqko kolo, u koju su unete sve konture, takoda se na bazi te mape i unetih kontura dobija minimalni oblik logiqkefunkcije , ”y” dat izrazom 4.2. Na slici 4.2b prikazan je odgovaraju�ilogiqki dijagram koji je dobijen na osnovu minimalnog oblika 4.2 logiqkefunkcije, ”y”.

4.2. ARITMETIQKA LOGIQKA KOLA 43

y = x1x2 + x2x3 + x1x3 + x1x2x3 (4.2)

x1 x2 x3 y

0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Tabela 4.1: Tabela vrednosti za izlaznu veliqinu zadatogkombinacionog logiqkog kola

Slika 4.2: Mapa Veiq-Karno i minimalni logiqki dijagram zarazmatrano kombinaciono logiqko kolo

4.2 Aritmetiqka logiqka kola

Samo ime ka�e da aritmetiqka logiqka kola slu�e za izvo�eǌe ar-itmetiqkih operacija. Ovde �e biti razmatrana samo logiqka kola zaizvo�eǌe aritmetiqkih operacija sabiraǌa i oduzimaǌa, jer se u dig-italnim sistemima, tj. digitalnim raqunarima, sve aritmetiqke op-eracije izvode pomo�u ove dve navedene operacije.

4.2.1 Sabiraqi i oduzimaqi

Ranije je pokazano da pri sabiraǌu dva jednocifrena binarna brojarezultat mo�e da bude jednocifren ili dvocifren. Kada je zbir dvo-cifren, cifra 1 koja je vixeg ranga, tj. koja se nalazi u vixem razredu,naziva se cifra za prenos. Pri sabiraǌu dva vixecifrena binarna


broja, sabira se po razredima. U okviru jednog razreda se obiqno sabi-raju dva jednocifrena binarna broja. Me�utim, kada se pri sabiraǌuu okviru jednog razreda pojavi cifra 1 za prenos, ona se prenosi unaredni vixi razred, tako da se u narednom vixem razredu sabirajutri jednocifrena broja. Za sabiraǌe dva jednocifrena binarna brojakoristi se tzv. polusabiraq, a za sabiraǌe tri jednocifrena bina-rna broja – tzv. potpuni sabiraq. Oba pomenuta sabiraqa su po svojojprirodi kombinaciona logiqka kola.

S obzirom na to da polusabiraq ostvaruje slede�e sluqajeve sabi-raǌa 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 10, jasno je da je to logiqkokolo koje ima dva ulaza i dva izlaza. Ulazi su binarne promenǉivex1 i x2 kojima odgovaraju jednocifreni sabirci, a izlazi su binarnepromenǉive S i C kojima odgovaraju cifra zbira i cifra za prenos.Tabelarni prikaz logiqkih funkcija S i C, koje su dobile ime na os-novu engleskih reqi za zbir i prenos, dat je u tabeli 4.2.

x1 x2 C S

0 0 0 00 1 0 11 0 0 11 1 1 0

Tabela 4.2: Tabela vrednosti za logiqke funkcije S i C

Na osnovu tabelarnog prikaza 4.2 dobijaju se kanoniqki oblici 4.3i 4.4, logiqkih funkcija S i C, koji u ovom konkretnom sluqaju pred-stavǉaju i ǌihove minimalne oblike, tj. ovde nije mogu�e postupkomminimizovaǌa do�i do minimalnijih, jednostavnijih oblika.

S = x1x2 + x1x2 (4.3)

C = x1x2 (4.4)

Pored toga, iz tabelarnog prikaza 4.2 oqigledno je da je S ISKǈUQNOILI logiqka funkcija, koja je u 4.3 izra�ena pomo�u osnovnih logiqkihfunkcija. Na osnovu do sada izlo�ene materije moglo se zakǉuqiti daje ovo osobina svih logiqkih funkcija, tj. da se one mogu iskazati samopomo�u osnovnih logiqkih funkcija. Na slici 4.3a prikazan je logiqkidijagram polusabiraqa dobijen na osnovu izraza 4.3 i 4.4, a na slici4.3b je prikazan logiqki dijagram polusabiraqa, uzimaju�i u obzir daje S ISKǈUQNO ILI logiqka funkcija.

Potpuni sabiraq je logiqko kolo koje ima tri ulaza i dva izlaza.Dva ulaza su binarne promenǉive x1 i x2 kojima odgovaraju jednocif-reni sabirci, tre�i ulaz je binarna promenǉiva x3 kojoj odgovara cifraza prenos nastala sabiraǌem u prethodnom razredu, a izlazi su binarnepromenǉive S i C kojima odgovaraju cifra zbira i cifra za prenos unaredni vixi razred. Tabelarni prikaz logiqkih funkcija S i C datje u tabeli 4.3.


Slika 4.3: Logiqki dijagram polusabiraqa prema 4.3 i 4.4 i na osnovuS = x1 ⊕ x2

x1 x2 x3 C S

0 0 0 0 00 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 1 01 1 0 1 01 1 1 1 1

Tabela 4.3: Tabelarni prikaz logiqkih funkcija S i C

Na slici 4.4a prikazana je mapa Veiq-Karno za logiqku funkciju S,a na slici 4.4b mapa Veiq-Karno za logiqku funkciju C.

Oqigledno da se logiqka funkcija S ne mo�e minimizovati, ve� jeǌen kanoniqki oblik istovremeno i minimalni, a logiqka funkcija Cje minimizovana ucrtavaǌem tri konture u odgovaraju�u mapu Veiq-Karno, tako da se dobija ǌen standardni oblik:

S = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 (4.5)

C = x1x2 + x1x3 + x2x3. (4.6)

Izraz 4.5 za logiqku funkciju S mo�e se lako transformisati u oblikizra�en preko logiqke funkcije ISKǈUQNO ILI:

S = x3 ⊕ (x1 ⊕ x2) . (4.7)

Na slici 4.5a prikazan je logiqki dijagram potpunog sabiraqa dobijenna osnovu izraza 4.5 i 4.6, a na slici 4.5b na osnovu izraza 4.7 i 4.6.

Kao xto postoji polusabiraq i potpuni sabiraq, tako po-stoji i poluoduzimaq i potpuni oduzimaq. Poluoduzimaq slu�i za oduz-imaǌe dva jednocifrena binarna broja. Pri oduzimaǌu vixecifrenihbinarnih brojeva oduzimaǌe se sprovodi po razredima. Kada je pri


Slika 4.4: Mape Veiq-Karno za logiqke funkcije S i C potpunogsabiraqa

Slika 4.5: Logiqki dijagram potpunog sabiraqa (a) na osnovu kanon-iqkog i standardnog oblika funkcija S i C (b) na osnovu ISKǈUQNOILI oblika funkcije S i standardnog oblika funkcije C

oduzimaǌu u okviru jednog razreda umaǌenik maǌi od umaǌioca, ondase iz narenog vixeg razreda pozajmǉuje cifra 1. Kada se oduzimaǌesprovodi u razredu u kome je prethodno izvrxeno pozajmǉivaǌe, morase uzeti u obzir i pozajmǉena cifra, tako da u tom postupku uqestvujutri cifre. Potpuni oduzimaq slu�i za izvo�eǌe postupka oduzimaǌau kome uqestvuju tri jednocifrena binarna broja. Oba pomenuta oduz-imaqa su po svojoj prirodi kombinaciona logiqka kola.

Poluoduzimaq je logiqko kolo koje ima dva ulaza i dva izlaza. Ulazisu binarne promenǉive x1 i x2 kojima odgovaraju jednocifreni uma-ǌenik i umaǌilac, a izlazi su binarne promenǉive D i B, kojima odgo-varaju cifra razlike i cifra koja se pozajmǉuje iz narednog vixegrazreda. U sluqaju kada se radi o oduzimaǌu vixecifrenih binarnihbrojeva, binarna promenǉiva B se koristi pri oduzimaǌu u nared-nom vixem razredu kao dodatni umaǌilac. Tabelarni prikaz logiqkihfunkcija D i B, koje su dobile ime na osnovu engleskih reqi za razlikui pozajmǉivaǌe, dat je u tabeli 4.4.

Minimizovaǌem se dobijaju minimalni oblici logiqkih funkcija Di B:


x1 x2 B D

0 0 0 00 1 1 11 0 0 11 1 0 0

Tabela 4.4: Tabelarni prikaz logiqkih funkcija D i B

D = x1x2 + x1x2 (4.8)

B = x1x2. (4.9)

Vidi se da je D ISKǈUQNO ILI logiqka funkcija, tj. D = x1 ⊕ x2 ida je jednaka logiqkoj funkciji S kod polusabiraqa.

Potpuni oduzimaq je logiqko kolo koje ima tri ulaza i dva izlaza.Dva ulaza su binarne promenǉive x1 i x2 kojima odgovaraju cifra uma-ǌenik i cifra umaǌilac, tre�i ulaz je binarna promenǉiva x3 kojojodgovara cifra pozajmǉena iz tog razreda pri oduzimaǌu u prethodnomrazredu tako da i ona ima ulogu cifre umaǌioca. Izlazi su binarnepromenǉive D i B kojima odgovaraju cifra razlike i cifra pozajmǉenaiz narednog vixeg razreda. Tabelarni prikaz logiqkih funkcija D i Bdat je u tabeli 4.5.

x1 x2 x3 B D

0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 1 1

Tabela 4.5: Tabela vrednosti za logiqke funkcije D i B potpunog oduz-imaqa

Mape Veiq-Karno za logiqke funkcije D i B potpunog oduzimaqa suprikazane na slikama 4.6a i 4.6b.

Oqigledno da se funkcija D ne mo�e minimizovati i da je ǌen kanon-iqki oblik istovremeno i minimalni, a funkcija B se minimizuje ucr-tavaǌem tri konture prema slici 4.6b, tako da se dobija ǌen standardnioblik:

D = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 (4.10)

B = x1x2 + x1x3 + x2x3. (4.11)

I ovde se vidi da je logiqka funkcija D jednaka logiqkoj funkciji S, zapotpuni sabiraq, tj. da se kao i u sluqaju ove funkcije S, mo�e izraz-


Slika 4.6: Mape Veiq-Karno za logiqke funkcije D i B potpunogoduzimaqa

iti pomo�u ISKǈUQNO ILI logiqke funkcije, D = x3 ⊕ (x1 ⊕ x2).Logiqki dijagrami se ovde ne daju s obzirom da se oni neznatno raz-likuju od logiqkih dijagrama potpunog sabiraqa.

4.3 MSI i LSI logiqka kola

Klasiqnom naqinu projektovaǌa kombinacionih logiqkih kola al-ternativa je projektovaǌe pomo�u elektronskih digitalnih integrisanihkola sredǌeg (MSI logiqkih kola) i velikog (LSI logiqkih kola) ste-pena integracije. Skra�enice MSI i LSI dolaze od poqetnih slova en-gleskih naziva za kako je ve� reqeno, sredǌi i veliki stepen inte-gracije. Ve�ini je poznat pojam integrisanog kola1. To je posebnomtehnologijom izra�en, od tzv. poluprovodniqkih materijala (npr. ger-manijum), mali kompaktan kristal koji u sebi sadr�i elektronske kom-ponente, kao xto su tranzistori, diode, otpornici, kondenzatori med-jusobno povezane u slo�enija elektronska kola. Kristal je zatopǉenu plastiqnu masu pri qemu je pristup ovom elektronskom kolu mogu�jedino preko veza izvedenih spoǉa. Poxto su sva integrisana kolaspoǉa gledano identiqna ili vrlo sliqna nemogu�e ih je razlikovatibez oznake koja se nalazi na ǌima. Osnovne komponente sadr�ane u in-tegrisanom kolu nisu razdvojive. MSI digitalna integrisana kola usebi sadr�e, u ǌih je ukǉuqeno, integrisano, od 10 do 100 logiqkihelemenata, a LSI integrisana logiqka kola su sa preko 100 logiqkih el-emenata. Najdominantnije dobre osobine ovih logiqkih kola su: mini-jaturne dimenzije u pore�eǌu s brojem ostvarenih logiqkih elemenata,velika brzina rada i pouzdanost, mala potroxǌa energije i mala cena.

4.3.1 Binarni paralelni sabiraqi

Sam naziv govori da se ovde radi o sabiraqu pomo�u koga se u opxtemsluqaju sabiraju vixecifreni binarni brojevi. Druga ǌegova osnovna

1Uobiqajen naziv je QIP, xto potiqe od engleskog naziva.

4.3. MSI I LSI LOGIQKA KOLA 49

karakteristika je da se sabirci u istom trenutku dovode na ulaz ovakvogsabiraqa i onda se ka�e da se radi o paralelnom puǌeǌu sabiraqa,tj. paralelnom sabiraqu. U opxtem sluqaju, kad god se na ulaz nekoglogiqkog kola dovode svi bitovi vixecifrenog binarnog ulaza u istomtrenutku, ka�e se da se to logiqko kolo puni paralelno. Nasuprot tome,postoji i serijski sabiraq kojem se na ulaz dovodi par po par cifarasabiraka i oni se sabiraju.

Binarni paralelni sabiraq se sastoji od potpunih sabiraqa vezanihredno i kojih ima onoliko koliko ima cifara u sabircima, tj. svakomrazredu sabiraka odgovara po jedan potpuni sabiraq. Na slici 4.7prikazan je qetvorobitni binarni paralelni sabiraq koji slu�i zasabiraǌe dva qetvorobitna binarna broja.

Slika 4.7: Qetvorobitni binarni paralelni sabiraq

PPS oznaqava potpuni sabiraq. Na ulaz svakog potpunog sabiraqadovodi se po jedan par cifara sabiraka, koji pripada jednom razredu icifra za prenos iz prethodnog razreda, a na ǌegovom izlazu se dobijacifra zbira posmatranog razreda i cifra za prenos u naredni razred.Na primer, na ulaz i-tog potpunog sabiraqa se dovode cifre xi i yi

koje pripadaju i-tom razredu sabiraka i cifra za prenos iz prethodnograzreda Ci, a na ǌegovom izlazu se dobija cifra zbira Si i cifraza prenos u naredni vixi razred Ci+1. Kod ovog sabiraqa oqiglednoi uzima vrednosti od 1 do 4. Binarni paralelni sabiraq je dobi-jen tako xto se izlazni kanal za cifru za prenos potpunog sabiraqajednog razreda povezuje s ulaznim kanalom za cifru za prenos potpunogsabiraqa narednog razreda. Ovakav sabiraq se izra�uje kao integrisanoelektronsko kolo. Simbol ovog sabiraqa prikazan je na slici 4.8.

Kao xto se vidi sa slike 4.8, ovo integrisano kolo ima qetiriulazna kanala za jedan sabirak, qetiri ulazna kanala za drugi sabirak,jedan ulazni kanal za ulaznu cifru za prenos, qetiri izlazna kanalaza zbir i jedan izlazni kanal za izlaznu cifru za prenos. U sluqajuda je potrebno sabirati sabirke s vixe od qetiri cifre, vixe ovakvihsabiraqa mo�e da se redno povezuje.

4.3.2 Upore�ivaq

Pri pore�eǌu dva vixecifrena binarna broja A i B mogu da nas-tanu tri mogu�nosti, da je A = B, A > B i A < B. Upore�ivaq vred-nosti dva vixecifrena binarna broja je kombinaciono logiqko kolo,koje ima dva vixekanalna ulaza, za brojeve koji se porede i tri izlaza


Slika 4.8: Simbol 4-bitnog binarnog paralelnog sabiraqa uelektronskom integrisanom izvo�eǌu

qije binarne promenǉive slu�e kao indikatori tri prethodno navedenemogu�nosti, tj jediniqna vrednost neke izlazne promenǉive je pokaza-teǉ odgovaraju�eg odnosa brojeva koji se porede. Pretpostavimo da subrojevi A i B dvocifreni i da su predstavǉeni sa A2A1 i B2B1, gdesu A1, A2, B1 i B2 ǌihove cifre. Da bi ova dva broja bila jednaka,neophodno je da su parovi cifara u svim ǌihovim razredima jednaki,tj. da je istovremeno A1 = B1 i A2 = B2. Logiqka funkcija koja jepokazateǉ jednakosti ili nejednakosti cifara u istom razredu je EK-VIVALENCIJA tj.:

xi = AiBi + AiBi, i = 1, 2. (4.12)

Neka je izlazna logiqka promenǉiva koja je pokazateǉ jednakostibrojeva A i B oznaqena s (A = B) , onda se ona mo�e kao logiqka funkcijaizraziti na slede�i naqin:

(A = B) = x1x2. (4.13)

Oqigledno (A = B) jednako je 1 kada su u isto vreme x1 jednako 1 i x2

jednako 1, tj. kada su parovi cifara po svim razredima jednaki u istovreme, xto znaqi da su brojevi A i B jednaki.

Izlazna logiqka promenǉiva koja slu�i kao pokazateǉ da je A > Boznaqava se sa (A > B) i jednaka je:

(A > B) = A2B2 + x2A1B1. (4.14)

Sliqno izlazna logiqka promenǉiva koja slu�i kao pokazateǉ da jeA < B iznaqava se sa (A < B) i jednaka je:

(A < B) = A2B2 + x2A1B1. (4.15)

4.3. MSI I LSI LOGIQKA KOLA 51

Na slici 4.9 prikazan je logiqki dijagram upore�ivaqa vrednostidva dvocifrena binarna broja.

Slika 4.9: Logiqki dijagram upore�ivaqa vrednosti

4.3.3 Dekoder

Dekoder je kombinaciono logiqko kolo na qiji se ulaz dovodi n-bitni direktni binarni kod, tj. n-bitni binarni broj, a na qijem izlazuse dobija 2n binarnih signala koji nastaju kao rezultat pretvaraǌadirektnog binarnog koda s ǌegovog ulaza. Oqigledno ovo logiqko koloima n ulaznih kanala i 2n izlaznih kanala.

Drukqije iskazano, izlazne binarne promenǉive ovog logiqkog kolasu logiqke funkcije koje se sastoje samo od po jednog minterma za n neza-visnih logiqkih promenǉivih. Kao primer ovde se razmatra dekoderkoji ima dva ulaza i qetiri izlaza, za koji se ka�e da je 2× 4 dekoder,tj. koji ima dva ulaza i qetiri izlaza. Tabela 4.6 je tabela vrednostiza ovaj dekoder.

x1 x2 D0 D1 D2 D3

0 0 1 0 0 00 1 0 1 0 01 0 0 0 1 01 1 0 0 0 1

Tabela 4.6: Tabela vrednosti 2× 4 dekodera

Na slici 4.10 prikazan je logiqki dijagram ovog dekodera.Oqigledno, dekoder mo�e da se koristi za realizaciju bilo koje

funkcije tako xto se na ǌegovom izlazu doda jedan ili vixe ILIlogiqkih elemenata, za svaku logiqku funkciju po jedan. Pomo�u ILIlogiqkih elemenata sabiraju se oni mintermovi koji uqestvuju u iz-gradǌi razmatrane funkcije.

Primer 4.2 Realizovati polusabiraq pomo�u 2 × 4 dekodera i dva ILIlogiqka elementa. Treba se podsetiti logiqkih funkcija koje ostvaruje


Slika 4.10: Logiqki dijagram 2× 4 dekodera

polusabiraq, a to su cifra zbira S = x1x2 + x1x2 i cifra za prenos C =x1x2. To znaqi da je na izlazu ovog dekodera potrebno dodati jedan ILIlogiqki elemenat i pomo�u ǌega sabrati mintermove x1x2 i x1x2, od kojihse svaki ostvaruje na po jednom izlazu dekodera. Logiqka funkcija C je ve�raspolo�iva na izlazu dekodera. Na slici 4.11 prikazan je logiqki dija-gram polusabiraqa koji je realizovan pomo�u pomenutog dekodera i jednogILI logiqkog elementa.

декодер

2 4´x

1

x2

S

C

>1

Slika 4.11: Logiqki dijagram polusabiraqa realizovanog pomo�u 2× 4dekodera

Poglavǉe 5

Asinhrona sekvencijalnalogiqka kola

Strukturni dijagram asinhronih sekvencijalnih logiqkih kola prikazanje na slici 5.1.

Slika 5.1: Strukturni dijagram asinhronog sekvencijalnog logiqkogkola

Kao xto se sa slike vidi, ovo logiqko kolo se sastoji iz dva bloka,kombinacionog logiqkog kola i bloka tzv. memorijskih elemenata, kojise nalazi u povratnoj grani povratne sprege. Memorijski element jeskladixte jednobitne binarne informacije (0 ili 1) u kojem ona mo�eda bude neograniqeno dugo sve dok se pod spoǉaxǌim uticajem ǌe-gov sadr�aj ne promeni. Binarne promenǉive x1, x2, · · · , xn su ulaznepromenǉive ili primarne promenǉive. Binarne promenǉive z1, z2, · · · , zm

su izlazne promenǉive. Sadr�aj memorijskih elemenata odre�uje tzv.

53

54 POGLAVǈE 5. ASINHRONA SEKVENCIJALNA LOGIQKA KOLA

staǌe sekvencijalnog logiqkog kola. Binarne promenǉive y1, y2, · · · , yk

su promenǉive tzv. sadaxǌeg staǌa, tj. vrednosti tih promenǉivihu sadaxǌem trenutku, u trenutku posmatraǌa, predstavǉaju binarnisadr�aj memorijskih elemenata u istom tom trenutku. Ove promenǉivese drukqije nazivaju sekundarne promenǉive. Binarne promenǉive Y1, Y2, · · · , Yk

su promenǉive tzv. narednog staǌa, tj. vrednosti tih promenǉivih �epredstavǉati naredni binarni sadr�aj memorijskih elemenata. Izlazovih logiqkih kola je odre�en ulazom i sadaxǌim staǌem, tj. izlazje logiqka funkcija ulaza i sadaxǌeg staǌa. Tako�e, ulaz i sadaxǌestaǌe odre�uju promenu staǌa ovog logiqkog kola, tj. naredno staǌe jelogiqka funkcija ulaza i sadaxǌeg staǌa. Na osnovu izlo�enog jasnose mo�e uoqiti razlika izme�u ovih i kombinacionih logiqkih kola.Asinhrono sekvencijalno logiqko kolo ne uspostavǉa jednoznaqnu vezuizme�u vrednosti ǌegovih binarnih ulaza i binarnih izlaza, tj. jedanisti ulaz u razliqitim trenucima mo�e da izazove razliqite izlazexto nije bio sluqaj kod kombinacionih logiqkih kola.

Memorijski elementi kod asinhronih sekvencijalnih logiqkih kolamogu biti tzv. flip-flopovi ili elementi kaxǌeǌa. Elementi kaxǌeǌa,samo ime ka�e, prenose vrednost binarnog signala sa svog ulaza na izlazs odre�enim vremenskim kaxǌeǌem.

Osnovna karakteristika asinhronih sekvencijalnih logiqkih kolaje da se kod ǌih promena staǌa izaziva promenom vrednosti ulaznihpromenǉivih. Pri promeni vrednosti neke ulazne promenǉive, sekun-darne promenǉive se ne meǌaju trenutno, ve� je potrebno odre�enovreme da se uspostave nove vrednosti pobudnih promenǉivih, koje posleprenoxeǌa kroz npr. elemente kaxǌeǌa, posle isteka vremena kax-ǌeǌa, postaju nove vrednosti sekundarnih promenǉivih i odre�uju novosadaxǌe staǌe. Posmatrano u trenutku kada se jox nisu uspostavilenove vrednosti sekundarnih promenǉivih, a ve� su se uspostavile novevrednosti pobudnih promenǉivih, te vrednosti pobudnih promenǉivihodre�uju naredno staǌe, tj. one �e biti uskladixtene u memorijske el-emente posle onih vrednosti koje u tom trenutku karakterixu sadaxǌestaǌe. Period od kada se promeni vrednost neke ulazne promenǉivedo uspostavǉaǌa novih vrednosti sekundardnih promenǉivih je tzv.prelazni period i u ǌemu se vrednosti sekundarnih i pobudnih promen-ǉivih razlikuju, tj. yi 6= Yi. To je period potreban da logiqko kolopre�e iz jednog staǌa u drugo. Po zavrxetku tog perioda sve promenǉiveimaju ustaǉene vrednosti i tada su vrednosti sekundarnih promenǉivihi pobudnih promenǉivih jednake, tj. yi = Yi. Ono xto je u toku prelaznogperioda naredno staǌe to je posle zavrxetka prelaznog perioda sadax-ǌe staǌe. Promenu staǌa ovih logiqkih kola izaziva promena vred-nosti ulaznih promenǉivih, te je ǌihova nova promena dozvoǉena tekposle uspostavǉaǌa ustaǉenih vrednosti svih promenǉivih, tj. novogstaǌa. Poxto nije mogu�e promeniti vrednosti dve ili vixe ulaznihpromenǉivih, taqno u istom trenutku, uvek �e vrednost neke promenǉiveda se promeni prva, a potom i ostalih, i to nepredvidǉivim redosledom.Namera i pokuxaj da se to ostvari je izrazito nepovoǉna sa stanovixta

5.1. FLIP-FLOPOVI 55

prethodne analize i ustanovǉenog pravila da je slede�a promena vred-nosti ulaznih promenǉivih dozvoǉena tek poxto se uspostavi novo sta-ǌe, koje je uslovǉeno tom promenom vrednosti ulaznih promenǉivih.Pri pokuxaju da se promene vrednosti, npr. dve ulazne promenǉive uisto vreme, prvo �e se promeniti vrednost jedne ulazne promenǉive,ali se ne zna koje. Promena staǌa koja bi trebalo da bude uslovǉenapromenom vrednosti te ulazne promenǉive ne�e biti ostvarena i zavr-xena, a ve� �e se promeniti vrednost druge ulazne promenǉive qijapromena neznatno kasni u odnosu na prvu promenǉivu.

Zbog svega navedenog, dozvoǉena je promena vrednosti samo jedneulazne promenǉive, jednoga puta i do slede�e promene vrednosti, opetsamo jedne ulazne promenǉive, treba da protekne vixe vremena negoxto je potrebno da se uspostavi novo staǌe. Zakǉuqak je da se promenastaǌa kod asinhronih sekvencijalnih logiqkih kola izaziva promenomvrednosti samo jedne ulazne promenǉive.

5.1 Flip-flopovi

Flip-flop je binarna �elija koja skladixti, memorixe, jedan bit (0ili 1). On ima dva izlaza od kojih je jedan normalan i daje onu binarnuvrednost koja je uskladixtena u flip-flopu, a drugi daje komplementuskladixtene binarne vrednosti. Od broja ulaza flip-flopa zavisitip flip-flopa, odnosno zavisi naqin na koji se meǌa ǌegov sadr�aj.Ovde se samo prikazuje SR flip-flop.

5.1.1 SR flip-flop

Logiqki dijagram SR flip-flopa prikazan je na slici 5.2.

Slika 5.2: Logiqki dijagram SR flip-flopa

Po svojoj prirodi ovaj flip-flop pripada asinhronim sekvencijal-nim logiqkim kolima, i to zbog postojaǌa povratnih sprega. Flip-flop ima dva izlaza oznaqena sa Q i Q i dva ulaza oznaqena sa R iS. Da bi se objasnilo kako ovaj flip-flop radi, polazi se od toga daje S = 1 i R = 0 xto uslovǉava da je Q = 1 i Q = 0. Ako je posleovakve situacije S = 0 i R = 0, izlazi ostaju nepromeǌeni u odnosu naprethodnu situaciju, tj. Q = 1 i Q = 0. Ako sada ulazi postanu S = 0 iR = 1, to uslovǉava Q = 0 i Q = 1. Ako je posle ovakve situacije S = 0


i R = 0, izlazi ostaju nepromeǌeni u odnosu na prethodnu situaciju,tj. Q = 0 i Q = 1. Najzad, ako je S = 1 i R = 1, onda to uslovǉavada je Q = 0 i Q = 0, xto nije u regularnom radu flip-flopa dozvol-jeno. Na taj naqin se obezbe�uje da su na izlazima Q i Q uvek komple-mentarne vrednosti, tj. kada je Q = 1 onda je Q = 0 i obrnuto, xtoje u skladu i s oznakama izlaza. Vrednost normalnog izlaza Q odre-�uje staǌe flip-flopa, tj. ka�e se da je flip-flop u staǌu 1 kada jeQ = 1 i da je u staǌu 0 kada je Q = 0. Na osnovu opisa rada SR flip--flopa mo�e se zakǉuqiti da se flip-flop postavǉa u staǌe 1, ili akoje ve� bio u staǌu 1 on i daǉe ostaje u staǌu 1, kada je S = 1 i R = 0i da se postavǉa u staǌe 0, ili ako je ve� bio u staǌu 0 on i daǉeostaje u staǌu 0, kada je S = 0 i R = 1. S = 0 i R = 0 ne utiqe nastaǌe flip-flopa. Ovo je uslovilo da SR flip-flop radi tako xto jena ǌegovom ulazu skoro stalno S = 0 i R = 0, a kada je potrebno da seflip-flop prebaci u staǌe 1 ili 0 onda se na ǌegov S ulaz, odnosno Rulaz dovede kratkotrajan jediniqni puls, tj. S, odnosno R kratkotrajnodobije vrednost 1. U sluqaju da do�e do zabraǌene situacije S = 1 iR = 1, posle povratka na S = 0 i R = 0, bila bi neodre�ena situacija,tj. flip-flop bi bio postavǉen ili u staǌe 1 ili 0, u zavisnosti dali je jediniqni puls du�e trajao na S ili R ulazu. Tabela 5.1 je tzv.karakteristiqna tabela SR flip-flopa koja tabelarno opisuje ǌegovrad.

U ovoj tabeli Q oznaqava sadaxǌe staǌe flip-flopa a Q (t + 1) oz-naqava ǌegovo naredno staǌe. Na slici 5.3 prikazana je mapa Veiq-Karno za ovaj flip-flop, koja je popuǌena na osnovu karakteristiqnetabele. Na mestu neodre�enih vrednosti usvojene su jedinice, jer onenemaju znaqaja, poxto S = 1 i R = 1 se nikada ne�e desiti, a te usvojenejedinice vode ka jednostavnijem izrazu za Q (t + 1).

Q S R Q (t + 1)

0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 neodre�eno1 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 neodre�eno

Tabela 5.1: Karakteristiqna tabela SR flip-flopa

Na osnovu mape Veiq-Karno dobija se takozvana karakteristiqna jed-naqina SR flip-flopa koja analitiqki opisuje ǌegov rad:

Q (t + 1) = S + RQ (5.1)

SR = 0. (5.2)

Izraz 5.2 je dodatni uslov koji znaqi zabranu S =1 i R =1. Simbol

5.1. FLIP-FLOPOVI 57

Slika 5.3: Mapa Veiq-Karno za SR flip-flop

SR flip-flopa je prikazan na slici 5.4.

Slika 5.4: Simbol SR flip-flopa

5.1.2 Pulsni SR flip-flop

Pulsni SR flip-flop ima jox jedan dodatni ulaz na koji se dovode peri-odiqni jediniqni pulsevi, takozvani sinhronizacioni pulsevi, tako daflip-flop mo�e da promeni staǌe pod uticajem ǌegovih glavnih ulazajedino kada se na ovom dodatnom ulazu nalazi jediniqni puls. U pro-tivnom, nezavisno od vrednosti glavnih ulaza, staǌe flip-flopa ostajenepromeǌeno. Sinhronizacioni pulsevi se proizvode u digitalnom sis-temu na jednom mestu, pomo�u takozvanog generatora sinhronizacionihpulseva1, tako da se dodatni ulaz za sinhronizacione pulseve oznaqavasa CP, xto je skra�enica od engleskog naziva za pulseve proizvedenepomo�u generatora sinhronizacionih pulseva. Na slici 5.5 prikazan jelogiqki dijagram i simbol pulsnog SR flip-flopa.

Slika 5.5: Logiqki dijagram i simbol pulsnog SR flip-flopa

Karakteristiqna tabela, mapa Veiq-Karno i karakteristiqna jed-naqina ovog flip-flopa su iste kao one koje su ve� ranije date u sluqaju

1Naziv na engleskom jeziku je clock.


kada ne postoji dodatni ulaz za sinhronizacione pulseve.

5.1.3 Nepulsni SR flip-flop

Nepulsni SR flip-flop ve� je prikazan na poqetku izlagaǌa o flip-flopovima. Ovaj flip-flop se koristi kao memorijski element kod as-inhronih sekvencijalnih logiqkih kola.

5.2 Sinteza asinhronih sekvencijalnih logiqkihkola

Sinteza, odnosno projektovaǌe asinhronih sekvencijalnih logiqkih kolaje postupak odre�ivaǌa ǌihovog logiqkog dijagrama na osnovu tekstu-alnog opisa rada zahtevanog logiqkog kola. Posle odre�ivaǌa odgo-varaju�eg logiqkog dijagrama ostaje samo jox jedan korak do fiziqkerealizacije, koji po pravilu predstavǉa rutinski deo posla. Postupaksinteze se pokazuje na slede�em primeru.

Primer 5.1 Potrebno je projektovati logiqko kolo koje ima dva ulaza Gi D i jedan izlaz Q. Zabraǌena je jediniqna vrednost binarnih signala naoba ulaza u isto vreme, tj. G = 1 i D = 1 kao i jednovremena promenavrednosti signala na oba ulaza, tj. sa G = 1 i D = 0 na G = 0 i D =1. Jediniqna vrednost binarnog signala na G ulazu uslovǉava jediniqnuvrednost na Q izlazu, tj. G = 1 uslovǉava Q = 1. Pri promeni signalana G ulazu sa 1 na 0 na izlazu Q ostaje signal koji je bio u trenutku togprelaza, dakle Q = 1. Ponovna promena signala na G ulazu, ali sada sa 0 na1, dozvoǉena je jedino ako je pre toga doxlo do promene vrednosti signalana D ulazu tj. da je D = 1. Jediniqna vrednost binarnog signala na Dulazu uslovǉava nultu vrednost na Q izlazu, tj. D = 1 uslovǉava Q = 0.Pri promeni signala na D ulazu sa 1 na 0 na izlazu Q ostaje signal kojije bio u trenutku tog prelaza, dakle Q = 0. Ponovna promena signala naD ulazu, ali sada sa 0 na 1, dozvoǉena je jedino ako je pre toga doxlo dopromene vrednosti signala na G ulazu tj. da je G = 1.

Prvi korak u postupku projektovaǌa je identifikovaǌe svih staǌalogiqkog kola, koja se u ovoj fazi obiqno oznaqavaju slovima. To su tzv.stabilna staǌa koja odgovaraju ustaǉenim vrednostima sekundarnih ipobudnih promenǉivih, tj. kada je yi = Yi, i = 1, · · · , k.

U tabeli 5.2 prikazana su sva staǌa koja su identifikovana na os-novu tekstualnog opisa rada zahtevanog logiqkog kola u primeru 5.1.

Logiqko kolo je u staǌu a kada su ulazi D = 0 i G = 1 i kada je izlazQ = 1, zbog toga xto je Q = 1 kada je G = 1 a tada mora da bude D = 0zbog zabrane da u isto vreme budu i G = 1 i D = 1. Sliqno, logiqkokolo je u staǌu c kada su ulazi D = 1 i G = 0 i kada je izlaz Q = 0, zbogtoga xto je Q = 0 kada je D = 1 a tada mora da bude G = 0 zbog zabraneda u isto vreme budu i G = 1 i D = 1. Logiqko kolo dolazi u staǌe bkada, dok je u staǌu a, do�e do promene vrednosti signala na ulazu G s1 na 0, a istovremena promena signala na D je zabraǌena tako da tada

5.2. SINTEZA ASINHRONIH SEKVENCIJALNIH LOGIQKIH KOLA 59

Staǌe Ulazi Izlaz KomentarD G Q

a 0 1 1 Q = 1 zbog G = 1

b 0 0 1 Posle staǌa a

c 1 0 0 Q = 0 zbog D = 1

d 0 0 0 Posle staǌa c

Tabela 5.2: Staǌa logiqkog kola iz primera 5.1

ostaje D = 0. Tada izlaz Q zadr�ava vrednost 1 koju je imao u trenutkuopisanog prelaza. Logiqko kolo dolazi u staǌe c posle staǌa b zbogzabrane da tada do�e do promene vrednosti ulaza G s 0 na 1, tj. da seiz b ostvaruje prelaz u a pre nego se ostvari prelaz iz b u c. U staǌuc dolazi do promene vrednosti izlaza na Q = 0. Logiqko kolo dolazi ustaǌe d kada, dok je u staǌu c, do�e do promene vrednosti signala naulazu D s 1 na 0, a istovremena promena signala na G je zabraǌena takoda tada ostaje G = 0. Tada izlaz Q zadr�ava vrednost 0 koju je imao utrenutku opisanog prelaza. Logiqko kolo dolazi u staǌe a posle staǌad zbog zabrane da tada do�e do promene vrednosti ulaza D s 0 na 1, tj.da se iz d ostvaruje prelaz u c pre nego se ostvari prelaz iz d u a. Ustaǌu a dolazi do promene vrednosti izlaza na Q = 1.

Posle identifikovaǌa svih staǌa na osnovu tekstualnog opisa radazahtevanog logiqkog kola, formira se i popuǌava tzv. Primitivnatabela toka. Ova primitivna tabela toka nije nixta drugo do tabelarniprikaz zavisnosti izlaza i narednog staǌa od ulaza i sadaxǌeg staǌa.Primitivna tabela toka ima onoliko vrsta koliko ima ukupno stabil-nih staǌa, tj. svakom stabilnom staǌu odgovara po jedna vrsta ovetabele. U zaglavǉu kolona ove tabele unose se vrednosti signala naulazima, i to ima onoliko kolona koliko ima razliqitih ure�enihskupova vrednosti ulaza. Primitivna tabela toka se najpre popun-java sa stabilnim staǌima, i to u odgovaraju�u vrstu i kolonu, kojaodgovara vrednostima ulaza, karakteristiqnim za posmatrano stabilnostaǌe. To stabilno staǌe se oznaqava odgovaraju�im slovom koje jezaokru�eno. Pored ove oznake za stabilno staǌe upisuje se vrednostizlaza karakteristiqna za to staǌe i ona je odvojena zarezom od oz-nake za staǌe. Posle popuǌavaǌa svih stabilnih staǌa, u primitivnutabelu toka se upisuju tzv. prelazna ili nestabilna staǌa, koja se oz-naqavaju tako�e slovima, ali nezaokru�enim i pored ǌih se ne upisujenikakva vrednost izlaza ve� se upisuje samo crtica, xto simboliqnooznaqava neodre�enu vrednost koja mo�e da bude ili 0 ili 1 i xto�e u kasnijim fazama projektovaǌa biti definisano. Prelazno staǌe,kao xto i sam naziv ka�e, mo�e da se shvati kao me�ustaǌe na prelazuizme�u dva staǌa, pri qemu je taj prelaz prouzrokovan promenom vred-nosti samo jedne ulazne promenǉive, kao xto je to ranije istaknuto.Dakle, prelazno staǌe odgovara situaciji kada se pod uticajem promenevrednosti samo jedne ulazne promenǉive meǌaju pobudne promenǉive,


ali ne i sekundarne promenǉive, tj. yi 6= Yi, i = 1, · · · , k. U kolonamakojima odgovara promena vrednosti dve ili vixe ulaznih promenǉivihse upisuju crtice i na mesto staǌa i na mesto vrednosti izlaza, xtoopet simboliqno oznaqava neodre�ene vrednosti, jer su to, kao xto sezna, nedozvoǉene situacije.

Na slici 5.6 prikazana je primitivna tabela toka za zahtevano logiqkokolo iz primera 5.1.

a

d

c, -

d ,0

b, -

-, -

b b ,1

a, -

c c ,0 -, -

-, -

-, -

-, -

-, - -, -

-, -

d, -

00 01 11 10

a ,1

GD

Slika 5.6: Primitivna tabela toka za logiqko kolo iz primera 5.1

U prvoj vrsti i qetvrtoj koloni ove tabele uneto je stabilno staǌe a,tj. a zaokru�eno i binarna vrednost izlaza 1 koja je karakteristiqna zato staǌe. Vrednosti ulaznih promenǉivih koje odgovaraju ovoj kolonisu GD = 10, a to su upravo vrednosti ulaznih promenǉivih koje odred-juju staǌe a. U prvu vrstu i prvu kolonu, kojoj odgovaraju vrednostiulaznih promenǉivih GD = 00, se unosi prelazno, nestabilno staǌeb (nezaokru�eno b) i neodre�ena vrednost za izlaz. To je zbog togaxto promena vrednosti ulaznih promenǉivih s GD = 10 na GD = 00prouzrokuje prelaz iz staǌa a u staǌe b. Treba uoqiti da je tom pri-likom doxlo do promene vrednosti samo jedne ulazne promenǉive. Uprvu vrstu i drugu i tre�u kolonu se upisuju neodre�ene vrednostii za staǌe i za izlaz, zbog toga xto nije dozvoǉena promena vred-nosti ulaznih promenǉivih s GD = 10 na GD = 01 kao i zbog toga xtonije dozvoǉeno da oba ulaza u isto vreme imaju jediniqnu vrednost, tj.GD = 11. Na sliqan naqin se popuǌavaju i ostale vrste primitivnetabele toka.

Sa stanovixta ekonomiqnosti fiziqke realizacije bilo bi veoma ko-risno smaǌiti broj staǌa, jer bi na taj naqin potencijalno, mada neobavezno, moglo da do�e do smaǌeǌa broja memorijskih elemenata. Me-�utim, smaǌeǌe broja staǌa je dozvoǉeno jedino pod uslovom da se nenaruxi zahtevani naqin funkcionisaǌa logiqkog kola koje se projek-tuje. Ustanovǉeno je da ovo smaǌeǌe mo�e i sme da nastane primenomprincipa zamene dva ili vixe tzv. saglasnih staǌa jednim staǌem.

Ako posmatramo prvu i drugu vrstu primitivne tabele toka iz primera5.1 kojima odgovaraju staǌa a i b, vidimo da ulaz GD = 00 uslovl-java iz staǌa a prelaz u staǌe b, dok iz staǌa b ne uslovǉava nikakavprelaz poxto su te vrednosti ulaza upravo karakteristiqne za staǌe b.Sliqno, ulaz GD = 01 uslovǉava prelaz iz staǌa b u staǌe c dok za isti


ulaz prelaz iz staǌa a nije definisan. Vrednosti izlaza za bilo kojiure�eni skup vrednosti ulaznih promenǉivih su ili definisane samoza jedno staǌe a za drugo ne ili nisu definisane ni za jedno staǌe.Zbog toga nema kolizije u pogledu vrednosti izlazne veliqine za bilokoji ure�eni skup vrednosti ulaza. Vidi se da ovde nema smisla zahtevza jednakox�u narednih staǌa, tako da ova dva staǌa imaju skoro iden-tiqne osobine i da ne postoji nikakva prepreka ni u pogledu vrednostiizlaza ni u pogledu narednih staǌa da se ova dva staǌa zamene s jednimstaǌem. Ka�e se da su ova dva staǌa saglasna.

Sliqna situacija je sa staǌima c i d, tj. tre�om i qetvrtom vrstomprimitivne tabele toka, tako�e iz primera 5.1. Za ulaz GD = 00 izstaǌa c se ostvaruje prelaz u staǌe d dok isti ulaz iz staǌa d neuslovǉava nikakav prelaz poxto su te vrednosti ulaza upravo karak-teristiqne za staǌe d. Za ulaz GD = 10 iz staǌa d se ostvaruje prelazu staǌe a, dok za isti ulaz iz staǌa c nije definisan prelaz. Vidi seda ovde nema smisla zahtev za jednakox�u narednih staǌa. Poxto nemani kolizije vrednosti izlaza i ova dva staǌa su saglasna, tj. mogu sezameniti jednim staǌem.

Formalno, radi se o tzv. sa�imaǌu dve ili vixe vrsta primitivnetabele toka u jednu, pri qemu se tim postupkom ostvaruje tzv. reduk-cija primitivne tabele toka u tabelu toka. U tabeli toka, za raz-liku od primitivne tabele toka, u jednoj vrsti mogu da se na�u dvaili vixe stabilnih staǌa, xto znaqi da mo�e da do�e do promene vred-nosti ulaznih promenǉivih a da to ne dovede do promene niti vrednostisekundarnih promenǉivih niti vrednosti izlaza. Drugim reqima, tastaǌa su u stvari jedno te isto staǌe. Ako dva staǌa imaju jednakevrednosti izlaza, tamo gde su one definisane, za sve vrednosti ulaznihpromenǉivih i ako su im naredna staǌa, tamo gde su definisana, jed-naka ili saglasna, onda su ta dva staǌa saglasna i mogu se zamenitijednim staǌem. Naime, dve vrste je mogu�e sa�eti ako su u svakoj ǌi-hovoj koloni oznake istih ili saglasnih staǌa i nema kolizije u pogleduvrednosti izlaza. U novu vrstu se unosi oznaka nestabilnog staǌa kaoprioritetnija u odnosu na neodre�enu vrednost, odnosno oznaka sta-bilnog staǌa kao najprioritetnija.

Ako je u grupi staǌa svako staǌe saglasno sa svakim staǌem, onda svata staǌa predstavǉaju xiru grupu saglasnih staǌa i mogu se zamenitisamo s jednim staǌem. Naime, vixe vrsta primitivne tabele toka kojeodgovaraju ovakvim staǌima se sa�ima u jednu vrstu. Tako se redukujebroj vrsta u primitivnoj tabeli toka i dobija se tabela toka.

Ispitivaǌem saglasnosti svih parova staǌa iz primitivne tabeletoka u primeru 5.1 utvr�uje se da su slede�i parovi staǌa saglasni:(a, b), (c, d) tako da se svaki par mo�e zameniti sa po jednim staǌem.Na slici 5.7 prikazane su dve grupe od po dve vrste primitivne tabeletoka, iz primera 5.1, koje odgovaraju staǌima a, b i c, d.

Na slici 5.8 prikazana je odgovaraju�a tabela toka koja je nastalaredukcijom broja vrsta primitivne tabele toka na dve vrste i tabelatoka u kojoj su redefinisana staǌa. Poxto staǌa a, i b posle sa�imaǌa


a

c, -

b, -

b b ,1

-, -

-, - -, -

-, -

00 01 11 10

a ,1

GD

d d ,0 -, - a, -

c c ,0 -, -

-, -

-, -d, -

00 01 11 10

GD

Slika 5.7: a, b i c, d grupe vrsta primitivne tabele toka iz primera5.1

predstavǉaju jedno te isto staǌe ona se redefinixu u staǌe a. Sliqnostaǌa c, i d se redefinixu u staǌe b.

a,b a ,1

d ,0 c ,0

a b, - a ,1a ,1

00 01 11 10

c,d,

b ,1

a, -

c, -

b b ,0 a, -b ,0

00 01 11 10

-, - -, -

-, --, -

GD GD

Slika 5.8: Redukovana tabela toka iz primera 5.1 s originalnim i re-definisanim staǌima

Posle redukovaǌa broja vrsta primitivne tabele toka i redefi-nisaǌa staǌa vrxi se tzv. binarno definisaǌe staǌa, tj. slovne oznakestaǌa se zameǌuju ure�enim skupovima bitova. Za binarno definisaǌeukupno 2k staǌa neophodno je da bude k bitova koji nisu nixta drugodo vrednosti k sekundarnih promenǉivih. Kada se u tabeli toka slovneoznake staǌa zamene ǌihovim binarnim ekvivalentima, onda se dobijatakozvana tabela prelaza. Tabela prelaza u sebi ne sadr�i vrednostiizlaza ve� se one unose u posebnu tabelu koja se naziva tabela izlaza.

5.2.1 Sinteza asinhronih sekvencijalnih logiqkih kolas povratnim spregama

Pri projektovaǌu asinhronih sekvencijalnih logiqkih kola samo s pov-ratnim spregama tabela prelaza i tabela izlaza se tretiraju kao mapeVeiq-Karno koje su popuǌene vrednostima pobudnih i izlaznih promen-ǉivih. Posle postupka minimizovaǌa dobijaju se minimalni algebarskiizrazi za pobudne promenǉive i izlazne promenǉive u funkciji ulaznihi sekundarnih promenǉivih. U tabeli izlaza neodre�ene vrednostiizlaza u nestabilnim, tj. prelaznim staǌima se popuǌavaju dvojako.Ako se pri prelazu iz jednog stabilnog staǌa u drugo ne meǌa vrednostizlaza, onda se u prelaznom staǌu izme�u ova dva stabilna staǌa usvajaista vrednost izlaza koja je karakteristiqna za oba stabilna staǌa.Na taj naqin se vrednost izlaza, pri prelazu izme�u ta dva stabilnastaǌa, ne�e kratkotrajno promeniti ve� �e sve vreme ostati postojana.Ako se pri prelazu iz jednog stabilnog staǌa u drugo meǌa vrednostizlaza, onda se u prelaznom staǌu mo�e usvojiti vrednost izlaza 0 ili


1, u zavisnosti od toga xta je povoǉnije sa stanovixta minimizovaǌagrafiqkom metodom.

Na slici 5.9 su za logiqko kolo iz primera 5.1 prikazane tabelaprelaza i tabela izlaza s ucrtanim konturama za minimizovaǌe grafiq-kom metodom.

0 1 00

00 01 11 10

1 11 0

y0

0

11

00 01 11 10

1 0 00

111

1

y

GD GD

Slika 5.9: abela prelaza i tabela izlaza za logiqko kolo iz primera5.1

Minimalni algebarski izrazi za pobudnu promenǉivu i izlaz su:

Y = Gy + D (5.3)

Q = y. (5.4)

Na bazi izraza 5.3 i 5.4 dobija se logiqki dijagram projektovanog logiqkogkola, prikazan na slici 5.10.

cm

&

D

Q

G 1

1

1 Y

y

Slika 5.10: Logiqki dijagram logiqkog kola iz primera 5.1 samo spovratnim spregama

5.2.2 Sinteza asinhronih sekvencijalnih logiqkih kolas flip-flopovima

Pri projektovaǌu asinhronih sekvencijalnih logiqkih kola s flip-flopovima tabela prelaza definixe prelaze staǌa koje treba da ost-vare flip-flopovi izabranog tipa. Vrednost ulaznih signala flip-flopova, koje obezbe�uju zahtevane prelaze staǌa, odre�uju se pomo�utzv. pobudne tabele za izabrani tip flip-flopa. Pobudna tabela flip-flopa u stvari je malo drukqije organizovana karakteristiqna tabela.U pobudnoj tabeli flip-flopa dato je kako treba pobuditi flip-flopda bi se ostvario zahtevani prelaz ǌegovog staǌa. Pobudna tavela zaSR flip-flop je data u tabeli 5.3.

Treba uoqiti da je u pobudnoj tabeli SR flip-flopa sadaxǌe staǌeoznaqeno sa y a naredno staǌe sa Y, za razliku od karakteristiqne


y Y S R

0 0 0 -0 1 1 01 0 0 -1 1 - 0

Tabela 5.3: Pobudna tabela za SR flip-flop

tabele u kojoj su korix�ene oznake Q i Q (t + 1). Oznake y i Y sukorix�ene u kontekstu asinhronih sekvencijalnih logiqkih kola.

Na osnovu tabele prelaza formiraju se tabele koje se popuǌavajuvrednostima ulaza flip-flopova, koje obezbe�uju zahtevane prelaze sta-ǌa, i to za svaki ulaz posebna tabela. Dobijene tabele se smatrajumapama Veiq-Karno i posle postupka minimizovaǌa dobijaju se mini-malni oblici algebarskih izraza, koji definixu ulaze flip-flopova, ufunkciji spoǉaxǌih ulaza i sekundarnih promenǉivih. Tabela izlazase uzima na isti naqin kao pri projektovaǌu asinhronih sekvencijalnihlogiqkih kola samo s povratnim spregama.

Za razmatrano logiqko kolo iz primera 5.1 usvaja se korix�eǌe SRflip-flopa. Na slici 5.11 prikazane su S i R tabele popuǌene vred-nostima odgovaraju�ih ulaza koje se mogu uzimati kao mape Veiq-Karnoi u koje su ucrtane konture za minimizovaǌe.

0 1 1 00

00 01 11 10

GD

1 110 0

y0 0 10

00 01 11 10

GD

1 00 10

0y

Slika 5.11: S i R tabele za logiqko kolo iz primera 5.1

Na osnovu prikazanih mapa Veiq-Karno na slici 5.11 dobijaju seminimalni izrazi za S i R ulaze SR flip-flopa:

S = D (5.5)

R = GD. (5.6)

Pri ucrtavaǌu kontura vo�eno je raquna da konture u ovim dvema tabela-ma ne pokrivaju ista poǉa da bi bio ispoxtovan uslov SR = 0, odnosnoda oba ulaza u SR flip-flop ne smeju da budu u isto vreme jednaka1. Na slici 5.12 prikazan je logiqki dijagram projektovanog logiqkogkola, gde je logiqki dijagram SR flip-flopa prikazan malo drugaqijenego ranije, da bi se jasno videla unutraxǌa povratna sprega koju ovajflip-flop sadr�i, poxto ovo asinhrono sekvencijalno logiqko kolo sflip-flopovima nema spoǉaxǌu povratnu spregu.


&

S

Y

y

R

D

G

1

11

Slika 5.12: Logiqki dijagram logiqkog kola iz primera 5.1sa SR flip-flopovima


Poglavǉe 6

Registri, brojaqi

Registri i brojaqi su logiqka kola koja pripadaju takozvanim sinhronimsekvencijalnim logiqkim kolima. Iako se po svojoj strukturi sinhronasekvencijalna logiqka kola ne razlikuju od asinhronih sekvencijalnihlogiqkih kola, ipak postoji jedna bitna razlika izme�u ǌih. Memo-rijski elementi kod sinhronih sekvencijalnih logiqkih kola su pul-sni flip-flopovi i u skladu s onim xto je ve� reqeno o ovim flip-flopovima, sinhrona sekvencijalna logiqka kola mogu da meǌaju staǌejedino u vreme, ve� pomiǌanih, sinhronizacionih jediniqnih periodiq-nih pulseva. Zato se i nazivaju sinhrona sekvencijalna logiqka kola.

6.1 Pojam i primeri registara i brojaqa

Registar je logiqko kolo koje se sastoji od odre�enog broja pulsnihflip-flopova u koje se smexta binarna informacija sastavǉena od ono-liko bitova koliko ima flip-flopova.

Prenos novih podataka u registar oznaqava se kao ǌegovo puǌeǌe.Ako se svi bitovi informacije istovremeno unose u registar, onda seka�e da je puǌeǌe paralelno.

Na slici 6.1 prikazan je qetvorobitni registar s paralelnim pun-jeǌem, koji se sastoji od SR flip-flopova i kod koga se radom registraupravǉa preko S i R ulaza flip-flopova.

Pomo�u signala brisaǌe, svi flip-flopovi registra se istovremenoasinhrono dovode u nulto staǌe, xto znaqi pre poqetka pulsnog re�i-ma rada registra. To se posti�e pomo�u signala brisaǌe kada je ǌe-gova vrednost 0, dok je uobiqajena vrednost tog signala 1 i ona tadanema nikakvog uticaja. Brisaǌe sadr�aja flip-flopova se ostvarujepreko posebnog ulaza u flip-flop, gde se, na logiqkom dijagramu nasimbolu flip-flopa, nalazi mali kru�i�, koji simboliqno oznaqavanegaciju. Kada ovaj signal ima uobiqajenu vrednost 1, onda pri de-jstvu na flip-flop, prvo do�e do ǌegove negacije, tj. on postaje 0i pri tome nema uticaja na flip-flop, odnosno ǌegov sadr�aj se nebrixe. Kada vrednost ovog signala kratkotrajno postane 0, pri ǌe-

67

68 POGLAVǈE 6. REGISTRI, BROJAQI

Slika 6.1: Qetvorobitni registar sa paralelnim puǌeǌem sastavǉenod SR flip-flopova

govom dejstvu na flip-flop, prvo dolazi do ǌegove negacije, tj. ondobija vednost 1 i tada se ostvaruje uticaj na flip-flop, odnosno ǌe-gov sadr�aj se brixe, tj. postavǉa se u staǌe 0. Puǌeǌe registra jejedino mogu�e kada signal puǌeǌe ima vrednost 1. Jediniqna vrednostovog signala, logiqki se mno�i, s bitovima binarne informacije kojase unosi u registar i ti logiqki proizvodi se vode na S ulaze flip--flopova i s negacijama bitova binarne informacije, koja se unosi uregistar, i ti logiqki proizvodi se vode na R ulaze flip--flopova. Zbog toga, kada je bit, informacije koja se unosi u regis-tar, 1 onda je na S ulazu signal 1 a na R ulazu signal 0, odnosnoflip-flop se postavǉa u staǌe 1, tj. vrednost ulaznog signala 1 sesmexta u flip-flop i obrnuto, kada je bit, informacije koja se un-osi u registar, 0 onda je na S ulazu signal 0, a na R ulazu signal 1,odnosno flip-flop se postavǉa u staǌe 0, tj. vrednost ulaznog signala0 se smexta u flip-flop. Uticaji preko ulaza S i R su jedino mogu�iu vreme kada su sinhronizacioni pulsevi, koji se dovode na posebneulaze flip-flopova, jediniqne vrednosti. Poxto su sinhronizacionijediniqni pulsevi periodiqni, to se unos binarne informacije s ulazaregistra ostvaruje periodiqno, i to jedino kada je signal puǌeǌe = 1.

Brojaqi su sinhrona sekvencijalna logiqka kola kod kojih nema spol-jaxǌih ulaza i spoǉaxǌih izlaza i koja pod uticajem sinhronizacionihpulseva prolaze kroz niz propisanih staǌa, xto predstavǉa brojaǌe,jer je svako od tih staǌa u stvari jedan odbrojani broj. Svaki putkada nai�e sinhronizacioni puls, flip-flopovi ovog logiqkog kola,pa samim tim i celo logiqko kolo, meǌa staǌe, xto predstvaǉa jedanodbrojani broj u nizu propisanih brojeva, tj. staǌa. Na slici 6.2prikazan je logiqki dijagram qetvorobitnog binarnog brojaqa, koji brojiunapred, a to znaqi da brojaǌe poqiǌe od broja (staǌa) 0000 i zavrxavase brojem 1111, posle qega brojaq ponovo poqiǌe da broji od poqetka.

Zbog postojaǌa kru�i�a na ulazima za sinhronizacione pulseve, ovaj

6.1. POJAM I PRIMERI REGISTARA I BROJAQA 69

CPSR

QQ

&

&&

&&

&&

&

SR

QQ

SR

QQ

SR

QQ

Бројање

Каследећемнивоу

A1

A2

A3

A4

Slika 6.2: Logiqki dijagram qetvorobitnog binarnog brojaqa unapred

brojaq meǌa staǌa za vreme nultih, tj. negativnih pulseva. Pret-postavimo da su svi flip-flopovi ovog brojaqa u staǌu 0, tj. brojaq jeu staǌu 0000. Kada signal brojaǌe postane 1, S i R ulaz krajǌeg desnogflip-flopa prvo postaju 1 i 0 sledstveno, tako da tada pri nailaskusinhronizacionog pulsa dolazi do promene staǌa tog flip-flopa, s 0 na1, posle qega S i R ulaz postaju 0 i 1 sledstveno, tako da pri nailaskuslede�eg sinhronizacionog pulsa dolazi do promene staǌa tog flip-flopa, ali ovoga puta s 1 na 0 i tako redom, ulazi ovog flip-flopa sunaizmeniqno SR = 10 i SR = 01 a staǌa su naizmeniqno 1 i 0. Staǌaostalih flip-flopova se meǌaju onda kada je ǌihov S ulaz jednak 1 iliR ulaz jednak 1, tj. kada je izlaz iz gorǌeg I logiqkog elementa odnosnodoǌeg I logiqkog elementa, koji gledaju�i zdesna ulevo prethode tomflip-flopu, jednak 1, sledstveno. Ovo se dexava, kada je staǌe flip-flopa, koji gledaju�i zdesna ulevo prethodi posmatranom flip-flopujednako 1 i kada je izlaz iz gorǌeg prethodnog I logiqkog elementa jed-nak 1, tako�e, kada je staǌe flip-flopa, koji gledaju�i zdesna ulevoprethodi posmatranom flip-flopu jednako 0 i kada je izlaz iz doǌegprethodnog I logiqkog elementa jednak 1. Na primer, posle odbrojanogbroja 0011, pri nailasku prvog slede�eg sinhronizacionog pulsa, izlaziz krajǌeg doǌeg I logiqkog elementa je 1 tako da krajǌi desni flip-flop meǌa vrednost s 1 na 0. Izlaz iz pretposledǌeg doǌeg desnogI logiqkog elementa je tako�e jednak 1, tako da meǌa staǌe i slede�iflip-flop, idu�i zdesna ulevo, tako�e sa 1 na 0. Izlaz iz gorǌeg tre�egpo redu, idu�i zdesna ulevo, I logiqkog elementa je tako�e 1, tako dameǌa staǌe i slede�i flip-flop u nizu, gledaju�i zdesna ulevo, i to s 0na 1. Posledǌi, qetvrti flip-flop ne meǌa staǌe, tako da je odbrojanibroj 0100. Poxto se ovakav brojaq izvodi kao integrisano elektronskokolo, u sluqaju da je potrebno imati binarni brojaq koji ima vixe ci-fara od qetiri, na red se vezuju dva ili vixe ovakvih qetvorobitnih

70 POGLAVǈE 6. REGISTRI, BROJAQI

binarnih brojaqa, tako xto se izvod oznaqen s ,,Ka slede�em nivou“jednog qetvorobitnog binaranog brojaqa povezuje s izvodom oznaqenim s,,brojaǌe“ narednog.

Documents

Sistemi uprav aa - University of Belgradeau.mas.bg.ac.rs/cms_upload/fakultet/fajlovi/146_upravljanjasistemi1.pdf · Decimalni broj se stavi u malu zagradu a u doem desnom uglu van