skripsi sri.pdf

PENERAPAN DIAGONALISASI MATRIKS DALAM MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

LINIER HOMOGEN ORDE-n

SKRIPSI

Oleh: Sri Rahmah

NIM 01510043

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG 2007

HALAMAN PENGAJUAN



SKRIPSI

Diajukan Kepada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Malang

untuk Memenuhi Salah Satu persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Oleh: Sri Rahmah

NIM 01510043

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG 2007

HALAMAN PERSETUJUAN



SKRIPSI

Oleh: Sri Rahmah

NIM 01510043

Telah disetujui oleh: Pembimbing,

Drs. H. Turmudi. M.Si NIP 150.209.630

Tanggal, 12 Desember 2007

Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi

Sri Harini, M. Si NIP 150.318.321

HALAMAN PENGESAHAN



SKRIPSI

Oleh: Sri Rahmah

NIM 01510043

Telah dipertahankan di depan dewan penguji skripsi dan dinyatakan diterima sebagai salah satu persyaratan untuk memperoleh

Gelar sarjana Sains (S,Si)

Tanggal, 17 Desember 2007

Dewan Penguji: Tanda Tangan

1. Penguji Utama : Sri Harini, M.Si ( ) Nip 150 318 321

2. Ketua penguji : Wahyu H. Irawan, M.Pd ( ) Nip 150 300 415

3. Sekertaris : Drs. H. Turmudi, M.Si ( ) Nip 150 209 630

Mengetahui dan Mengesahkan, a.n. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi

Kepala Jurusan Matematika

Sri Harini, M.Si Nip 150 318 321

PERSEMBAHAN Seiring kebahagiaan dan rasa syukur yang teramat dalam Qpersembahkan karya mungilQ untuk orang-orang tersayang dan tercinta serta orang-orang yang telah mewarnai hidupQ:

Segenap dosen dan staf jurusan matematika Universitas Islam Negeri (UIN) Malang yang selama ini telah memberikan ilmu pengetahuan

dan membagikan pengalamannya selama masa studi penulis. Ayahanda Tajuddin dan Ibunda Nurmi yang kucinta& kuhormati:Tiada terbatas

terima kasih dan syukur ananda atas segala tuntunan, kesabaran dan dukungan serta doa yang selalu menyertai disetiap langkahku, untuk mencapai cita-cita

demi kesuksesan buah hatimu, kepada Allah jualah ananda bermohon semoga ayah dan ibunda senantiasa terlindungi dalam rahmat-Nya Ya robbi, Ampunisegala dosa-dosa-

Nya dan kabulkan Segala doanya serta sayangilah mereka sebagaimanamereka menyayangiku dan toek pak suaib sekeluarga terimakasih tas kasihsayang, perhatian

serta dukungan yang tercurahkan selama ananda dirantauan,toek mas agus,mbak munir thank tas support&bantuannya.Saudara-saudaraku yang kucinta dan kusayang:

Mas nandar berusahalah untuk lebih baik tak ada yang jatuh dari langit dengan cuma-cuma semuanya perlu usaha dan doa, tieni&penokanQ yang lucu makacih telah

menemaniQ disaat suka&duka .Dek ernha yang selalu memberikan dorongan dan support untuk maju terus dalam menggapai cita-cita dengan penuh pengertian, engkau adalah lautan semangat disetiap langkah hidupQ dan qt jadikan pengalaman sebagai motivasi untuk lebih waspada akibatnya. Dek fathir,adam&nuju: Berjuanglah demi masa depan kalian dan jangan lupa untuk senantiasa ibtahal untuk ketenangan hati kalian, ingat!!!

Ayah&bunda menaruh asa yang besar pada kalian.Toek teman-teman yang telah mewarnai hidupku:Rizan teman seperjuanganQ yang tulus menemani dalam tawa dan

air mata, nourul,ekha&yaty thanks tas komputer dan kebersamaannya telah mewarnailorong-lorong hidupQ,cik,benny,ulfa,lya makasih tas support& informasinya, maskur,muys,riama,aedha makasih dah jadi teman curhatQ, ima,fah,fat,atyk,alam,sri,

mut,hasnah,fitri,ani banyak hikmah hidup Qpetik dalam kebersamaan kita meski masih banyak yang belum Qmengerti dan toek orang-orang yang tak mampu Qsebut namanya

disini terimakasih tas segala kebaikan yang pernah kalian berikan,selamanya akan Q ukir dalam hati, tatkala zaman memisahkan kita jangan lupakan aq walaupun panjang

perpisahan itu.

MOTTO

Kegagalan bukanlah akhir dari segalanya,namun kegagalan merupakan

keberhasilan yang tertunda, Jadikan masalalu sebagai pelajaran

untuk lebih waspada akibatnya kesuksesan itu datang sesudah kesabaran, Kelapangan datang sesudah kesempitan,

Dan kemudahan datang sesudah kesulitan, Masa lalu adalah kenangan indah, Masa sekarang perlu dijalani, Dan

Masa depanlah yang perlu diraih dan diwujudkan,

tak ada yang jatuh dari langit dengan percuma

semua perlu upaya dan ibtahal

SURAT PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini adalah saya: Nama : Sri Rahmah NIM : 01510043 Jurusan : Matematika Fakultas : Sains Dan Teknologi

Menyatakan bahwa "Skripsi" saya yang berjudul merupakan hasil karya saya sendiri, Penerapan Diagonalisasi Matriks Dalam Meyelesaikan Persamaan Diferensial Homogen orde-n bukan duplikasi ataupun plagiasi dari karya orang lain.

Selanjutnya apabila di kemudian hari ada gugatan ataupun tuntutan dari pihak lain atas karya saya ini, maka hal itu sepenuhnya menjadi tanggung jawab saya sendiri.

Demikian surat pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya dan tanpa paksaan dari siapapun.

Malang,12 Desember 2007 yang menyatakan,

Sri Rahmah Nim 01510043

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat,

taufik dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaiakan penulisan skripsi ini yang

berjudul penerapan diagonalisasi matriks dalam menyelesaikan persamaan

diferensial linier homogen orde-n

Sholawat dan salam semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita

nabi besar Muhammad SAW. Beserta keluarga dan sahabat-Nya yang telah

mengantarkan kita pada jalan kebenaran.

Suatu kebanggan bagi penulis karena dapat menyelesaikan penyusunan

skripsi ini yang tentunya tidak lepas dari dukungan semangat dan segenap bantuan

dari beberapa pihak, karenanya dalam kesempatan ini penulis menyampaikan

banyak terima kasih yang sebesar-besar-Nya dan penghargaan yang setinggi-

tingginya kepada:

1. Bapak Prof. Dr. H. Imam Suprayogo, selaku rektor Universitas Islam

Negeri Malang.

2. Bapak Prof. Drs. Sutiman Bambang Sumitro, SU. DSC selaku Dekan

Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Malang.

3. Ibu Sri Harini M.Si selaku ketua jurusan Matematika Universitas Islam

Negeri Malang.

4. Bapak Drs.H.Turmudi M.Si selaku dosen pembimbing karena atas

bimbingan dan bantuan serta motivasi yang beliau berikan sehingga

skripsi ini dapat terselesaikan.

5. Segenap dosen dan staf jurusan matematika Universitas Islam Negeri

Malang yang selama ini telah memberikan ilmu pengetahuan kepada

penulis dengan penuh keikhlasan.

6. Ayahanda&Ibunda (Tajuddin&Nurmi) yang telah memberikan dukungan

baik moril maupun materil demi kesuksesan penulis serta doa, perhatian

dan kasihsayang yang selalu menyertai setiap langkahku sehingga

penulisan skripsi ini dapat terselesaikan.

7. Pak suaib sekeluarga&pak tamin,mapak yudy,bu lima,mas agus,mbak

munir,yang telah mensupport dan perhatian serta kasih sayangnya.

8. Kakak dan adek-adek tercinta yang selalu memberikan motivasi dan

support serta doa yang selalu menyertai disetiap langkah penulis sehingga

penulisan skripsi ini dapat terselesaikan.

9. Teman-teman yang telah memberikan dukungan dan semangat serta semua

pihak yang telah membantu penulisan skripsi ini.

Semoga dengan segenap bantuan yang diberikan kepada penulis menjadi

amal sholeh dan semoga Allah memberikan balasan yang sepantasnya. penulis

menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna dan masih

banyak kekurangan, seperti tak ada gading yang tak retak Oleh karena itu,

kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan guna perbaikan kedepan.

Akhirnya, hanya pada Allah SWT, penulis mohon petunjuk dan

pertolongan mudah-mudahan karya ini bermanfaat bagi sekalian amin.

Malang, 12 desember 2007

Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...................................................................................... i HALAMAN PENGAJUAN ........................................................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN....................................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................ iv HALAMAN PERNYATAAN........................................................................ v HALAMAN MOTTO .................................................................................... vi HALAMAN PERSEMBAHAN..................................................................... vii KATA PENGANTAR.................................................................................... viii DAFTAR ISI .................................................................................................. x ABSRTAK...................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN A. Latar belakang ............................................................................... 1 B. Rumusan masalah........................................................................... 3 C. Tujuan penelitian............................................................................ 3 D. Manfaat penulisan ......................................................................... 4

E. Batasan masalah ............................................................................. 4

F. Metode penelitian ........................................................................... 5 G. Sistematika pembahasan................................................................. 5

BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Kajian tentang matriks.................................................................... 7

1. Pengertian matriks dan matriks diagonal ................................... 7

2. Determinan dan matriks Jordan................................................ 9 3. Perkalian matriks dan matriks invers......................................... 17 4. Nilai eigen dan vektor eigen ..................................................... 25 5. Diagonalisasi matriks................................................................ 28

B. Kajian tentang persamaan diferensial (PD) biasa .......................... 34 1. Persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien kontan 34 2. Persamaan diferensial linier tak homogen ................................ 35 3. Persamaan diferensial linier homogen orde-n............................ 36

BAB III PEMBAHASAN A. Penerapan diagonalisasi matriks dalam menyelesaikan persamaan

diferensial linier homogen orde-n dengan koefisien konstan. ......... 46 1. Persamaan karakteristik dengan akar-akar real dan berlainan .... 54 2. Persamaan karakteristik dengan akar-akar yang sama ............... 66 3. Akar-akar kompleks dan sekawan............................................. 71

BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan .................................................................................... 80 B. Saran .............................................................................................. 83

DAFTAR PUSTAKA

ABSTRAK

Rahmah, Sri. 2007. Penerapan Diagonalisasi Matriks dalam Menyelesaiakan Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde-n. Skripsi, Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Malang. Dosen Pembimbing Drs.H.Turmudi,M.Si

Kata kunci: Diagonalisasi matriks, Persamaan diferensial linier homogen Orde-n.

Persamaan diferensial linier homogen dapat diselesaikan dengan menggunakan diagonalisasi matriks Dengan diagonalisasi matriks koefisien suatu persamaan dibentuk menjadi matriks diagonal sehingga persamaan yang semula melibatkan banyak fungsi yang tidak diketahui menjadi persamaan yang hanya mempunyai satu fungsi yang tak diketahui sehingga persamaan tersebut mudah untuk dipecahkan.

Tujuan dari penulisan ini adalah: untuk mengetahui cara penggunaan diagonalisasi matriks dalam menyelesaikan persamaan diferensial linier homogen orde-n dengan koefisien konstan.

Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur. Dimana penulis mengumpulkan beberapa buku penunjang yaitu: aljabar linier elementer, persamaan diferensial dan Literatur pendamping lainnya. Dengan cara membaca dan memahami materi yang berkaitan dengan pokok bahasan, kemudian dari buku-buku tersebut digabungkan beberapa teori yang terkait dari satu mata kuliah yang kemudian mengaplikasikannya pada mata kuliah lainnya.

Langkah-langkah menyelesaikan sistem PD dengan cara diagonalisasi matriks adalah. (1) Dengan menyatakan persamaan diferensial di dalam bentuk matriks Y=AY dengan A sebagai matriks koefisien. (2) menentukan nilai-nilai eigen (1, 2,,n) dari (A I)Y=0. (3) menentukan vektor eigen dari matriks A yang yang bersesuaian dengan yaitu p1, p2,,pn dari vektor eigen itu dibentuk sebuah matriks P yang mendiagonalisasi matriks A. (4) dicari matriks invers dari P yaitu P-1. (5) proses diagonalisasi matriks A (D=P-1 AP). (6) proses penyulihan (substitusi) Y=PU dan Y=PU untuk mendapatkan sistem diagonal yang baru U=DU, dengan D=P-1AP, dengan memecahkan U=DU diperoleh penyelesaian dari persamaan diferensial linier homogen orde-n. (7) untuk memperoleh penyelesaian matriks yang baru diperoleh (U) dibentuk ke dalam y = cerx.

Apabila nilai eigen yang diperoleh real dan berlainan (12 n) maka penyelesaian persamaan diferensial linier homogen orde-n: y(x)=c1e1x + c1e2x +.c1e

nx. Apabila nilai eigennya real dan berulang (1 = 2 == n) maka

penyelesaian dapat dilakukan dengan menggunakan matriks Jordan (J) yang tidak lagi berupa matriks diagonal. Sehingga untuk mencari matriks non singular P digunakan persamaan PJ=AP. Karena PJ=AP maka J=P-1 AP dan Y=PU, maka dari Y=PU diperoleh U=JU sebagai pemecahan dari persamaan diferensial. Jadi penyelesaian persamaan diferensial linier homogen orde-n: y(x) = c1ex (c1 + c2x + c3e

2 ++ cnx

n-1). Apabila nilai eigennya bilangan imajiner (1,2 = a bi) maka penyelesaian persamaan diferensial linier homogen orde-n adalah: y(x) = eax (cos bx + sin bx).

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang.

Indonesia merupakan negara yang sedang berkembang (membangun)

untuk itu ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK) sangat dibutuhkan dalam

pelaksanaan pembangunan. Dalam pelaksanaan pembangunan pemerintah

mengadakan usaha-usaha pembangunan di segala bidang, tak terkecuali pada

bidang pendidikan dan pengajaran. Sesuai dengan perkembangan dan kemajuan

teknologi dewasa ini, sangat diperlukan sekali ilmu pengetahuan yang menunjang

kearah perkembangan tersebut. Salah satu ilmu pengetahuan yang diperlukan

tersebut adalah matematika. Matematika ini tidak hanya berperan pada ilmu

eksakta saja, tetapi pada ilmu-ilmu non eksakta. Dari segi perkembangan ilmu

pengetahuan maka terasa kekurangan-kekurangan dalam pendidikan kita

khususnya pada minat belajar matematika.

Dalam kehidupan masyarakat sering kita jumpai suatu anggapan bahwa

matematika adalah pelajaran yang rumit atau sulit dan sebagai akibatnya

penguasaan terhadap matematika itu kurang memuaskan. Padahal dalam

kehidupan sehari-hari kita tidak pernah terlepas dari penggunaan matematika. baik

dalam hal-hal yang paling sederhana sampai paling rumit sekalipun.

Matematika sebagai landasan berpijak perkembangan ilmu pengetahuan

dan teknologi (IPTEK) akan dirasakan peran dan arti pentingnya apabila para

matematikawan itu sendiri dalam berbagai cabang IPTEK mempunyai cakrawala

yang luas, sehingga pada akhirnya nanti matematika akan mampu mengikuti

langkah perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK) yang sudah

makin pesat lajunya. Kehadiran matematika untuk membantu memecahkan

permasalahan seiring dengan semakin kompleksnya problema teknologi. Hal ini

tentunya akan sangat membantu dalam mencapai jalan keluar permasalahan yang

timbul.

Banyak situasi yang tergabung secara alami dan dapat diinterpretasikan

dengan menggunakan teknik-teknik yang terdapat dalam matematika, matematika

sering dijadikan model untuk menyelesaikan masalah-masalah yang

membutuhkan penyelesaian secara tepat dan cepat. Khususnya mengenai

penerapan diagonalisasi matriks dalam menyelesaikan persamaan diferensial linier

homogen orde-n dengan koefisien konstan.

Nilai eigen merupakan salah satu pokok bahasan dalam aljabar linier yang

dapat menyelesaikan berbagai permasalahan umum, antara lain dalam bidang

fisika, kimia, biologi, ekonomi serta dalam matematika sendiri. Salah satu

penerapannya dalam matematika yaitu penerapan pada persamaan diferensial.

(Anton,1997:303).

Persamaan diferensial linier dibagi menjadi dua yaitu persamaan

diferensial linier homogen dan persamaan diferensial linier tak homogen.

persamaan diferensial yang akan dibahas dalam penulisan ini adalah persamaan

diferensial linier homogen orde-n dengan koefisien konstan.

Persamaan diferensial linier homogen dapat diselesaikan dengan

menggunakan beberapa metode salah satunya adalah metode diagonalisasi

matriks. metode diagonalisasi matriks ini diharapkan dapat digunakan sebagai

alternatif lain dalam menyelesaikan persamaan diferensial linier homogen orde-n

dengan koefisien konstan. Dengan metode diagonalisasi matriks koefisien suatu

persamaan dibentuk menjadi matriks diagonal sehingga persamaan yang semula

melibatkan banyak fungsi yang tidak diketahui menjadi persamaan yang hanya

mempunyai satu fungsi yang tak diketahui sehingga persamaan tersebut mudah

untuk dipecahkan. Hal inilah yang menjadi pendorong bagi penulis untuk

mengambil judul Penerapan diagonalisasi matriks dalam menyelesaikan

persamaan diferensial linier homogen orde-n.

B. Rumusan Masalah.

Berdasarkan latar belakang masalah tersebut maka penulis merumuskan

suatu masalah yaitu bagaimana penggunaan diagonalisasi matriks dalam

menyelesaikan persamaan diferensial linier homogen orde-n dengan koefisien

konstan?

C. Tujuan Penelitian.

Berdasarkan rumusan masalah tersebut maka dalam penulisan ini

bertujuan untuk mengetahui penggunaan diagonalisasi matriks dalam


konstan.

D. Manfaat Pembahasan.

Dalam penulisan skripsi tentang Penerapan diagonalisasi matriks dalam


konstan ini dapat berguna bagi:

1. Bagi penulis: Menambah wawasan penulis untuk mengetahui tentang

penerapan diagonalisai matriks dalam menyelesaikan persamaan

diferensial linier homogen orde-n dengan koefisien konstan.

2. Bagi lembaga:

1. Sebagai bahan informasi tentang pembelajaran mata kuliah aljabar

linear elementer, terutama mengenai diagonalisai matriks dalam

menyelesaikan persamaan diferensial linier homogen orde-n dengan

koefisien konstan.

2. Sebagai tambahan bahan kepustakaan.

3. Bagi mahasiswa: Menambah pengetahuan keilmuan mengenai penerapan

diagonalisai matriks dalam menyelesaikan persamaan diferensial linier

homogen orde-n dengan koefisien konstan.

E. Batasan Masalah.

Karean luasnya permasalahan yang berhubungan dengan aplikasi matriks

pada persamaan diferensial, maka dalam penulisan ini dibatasi pada persamaan

diferensial linier homogen orde-n dengan koefisien konstan meliputi: Persamaan

karakteristik dengan akar-akar real dan berlainan, Persamaan karakteristik dengan

akar-akar yang sama, Akar-akar kompleks dan sekawan.

F. Metode Penelitian.

Metode penelitian yang digunakan dalam skripsi ini adalah studi literatur.

Studi literatur adalah penelitian yang dilakukan dengan bantuan bermacam-

macam material yang terdapat di ruangan perpustakaan seperti buku, majalah,

dokumen, catatan kisah-kisah, sejarah dan sebagainya (Madalis, 1989: 28).

Studi literatur berisi satu topik kajian yang di dalamnya memuat beberapa

gagasan atau proposisi yang berkaitan dan harus didukung oleh data yang

diperoleh dari berbagai sumber kepustakaan. Sumber pustaka kajian dapat berupa

jurnal penelitian, tesis, skripsi, laporan penelitian, buku teks, makalah, laporan

seminar, diskusi ilmiah, atau terbitan resmi pemerintah atau lembaga penerbit

swasta. Bahan pustaka harus dibahas secara kritis dan mendalam sehingga

mendukung gagasan proposisi untuk menghasilkan kesimpulan dan saran.

Dalam studi literatur, penulis mengumpulkan beberapa buku penunjang

yaitu: aljabar linier elementer, dasar-dasar aljabar linier, persamaan diferensial,

aljabar linier, persamaan diferensial dan matematika model dan lain sebagainya.

Dengan cara membaca dan memahami materi yang berkaitan dengan pokok

bahasan, kemudian dari buku-buku tersebut digabungkan beberapa teori yang

terkait dari satu mata kuliah yang kemudian mengaplikasikannya pada mata

kuliah lainnya.

G. Sistematika Pembahasan.

Untuk memberikan gambaran yang jelas tentang permasalahan yang dikaji

dalam skripsi ini maka penyusunannya didasarkan atas sistematika sebagai

berikut:

BAB I Pendahuluan, dalam bab ini menjelaskan tentang, latar belakang.

rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat pembahasan, batasan masalah,

metode penelitian dan sistematika pembahasan.

BAB II Kajian Pustaka, dalam bab ini menjelaskan tentang, pengertian

Matriks dan matriks diagonal, determinan dan matriks jordan, perkalian matriks

dan matriks invers, diagonalisasi matriks, nilai eigen dan vektor eigen, persamaan

diferensial linear homogen dengan koefisien konstan, persamaan diferensial linear

tak homogen. persamaan diferensial linear homogen orde-n dengann koefisien

konstan.

BAB III Pembahasan, dalam bab ini menjelaskan, penerapan diagonalisa matriks pada persamaan diferensial linier homogen Orde-n dengan koefisien

konstan meliputi Persamaan karakteristik dengan akar-akar real dan berlainan, Persamaan karakteristik dengan akar-akar yang sama, Akar-akar kompleks dan sekawan

BAB IV merupakan Penutup, dalam bab ini menjelaskan tentang

Kesimpulan dan Saran.

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

A. Kajian Tentang Matriks.

1. Pengertian Matriks dan Matriks Diagonal.

Definisi 1.

Matriks adalah suatu kumpulan dari angka-angka (elemen-elemen) yang disusun

menurut baris dan kolom sehingga berbentuk segi empat siku-siku dengan

panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya baris dan kolom. (budhi,1995:

16).

Apabila suatu matriks A terdiri dari m baris dan n kolom, maka matriks A

bisa ditulis sebagai berikut:

A =

1

21

11

ma

a

a

M

2

22

12

ma

a

a

M

L

L

L

mn

n

n

a

a

a

M

2

1

Bilangan-bilangan a11, a12,, amn yang menyusun matriks A disebut

elemen atau unsur. Di dalam literatur atau buku lain biasanya disebut entri. Untuk

selanjutnya penulis menggunakan entri untuk menyatakan bilangan-bilangan dari

matriks. Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital dan dinyatakan

dengan tanda kurung, yaitu ada yang dalam kurumg siku (backets) [ ], ada yang

dalam kurung biasa (parentheses) ( ) atau dalam garis vertikal yang doubel

(double verticalbar) . Walaupun demikian, umumnya suatu matriks ditulis

dalam tanda kurung siku atau [ ].

Ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris (entri

horisontal) dan banyaknya kolom (entri vertikal) yang terdapat dalam matriks.

Ukuran matriks disebut ordo matriks.

Jika A sebuah matriks, maka aij untuk menyatakan entri yang terdapat di

dalam baris i dan j dari A. jadi sebuah matriks 3x4 yang umum dapat ditulis

sebagai

A =

31

21

11

a

a

a

32

22

12

a

a

a

33

23

13

a

a

a

34

24

14

a

a

a

Contoh 1

A =

31

42

, Matriks A berordor 2x2 C = [ 4 7 8], Matriks C berordor 1x3

B =

23

34

12

, Matriks B berordor 2x3 D =

24

, Matriks berordor 2x1

Matriks yang mempunyai satu baris saja disebut matriks baris dan yang

mempunyai satu kolom disebut matriks kolom, atau disebut juga vektor dalam

bukunya (Budhi 1995: 16). Dengan demikian, matriks C dinamakan matriks

baris/vektor baris, sedangkan matriks D dinamakan matriks kolom/vektor kolom.

Dua matriks A dan B disebut sama jika ukuran kedua matriks adalah sama dan

entri yang seletak juga sama, sehingga dapat ditulis A.

Selanjutnya akan dibahas mengenai matriks diagonal sebagai berikut:

Definisi 2

Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemennya sama

dengan nol kecuali elemen pada diagonal utamanya. (Stroud, 1996: 364)

A =

0

011

M

a

0

0

22a

K

K

K

nna

M

00

Matriks diagonal adalah matriks segitiga atas dan segitiga bawah dan

unsur diagonal utamanya tak nol semua.

Contoh 2:

C =

003

020

700

Unsur-unsur pada matriks C yaitu 3, 2, 7, dinamakan unsur diagonal utama.

2. Determinan dan matriks jordan.

Misalkan A adalah matrik kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan dengan

det, dan kita definisikan det (A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer

bertanda dari A, jumlah det (A) kita namakan determinan A (Anton, 1997: 63).

Rumus dari determinan adalah sebagai berikut:

`

21

11

a

a

22

12

a

a

31

21

11

a

a

a

32

22

12

a

a

a

33

23

13

a

a

a

31

21

11

a

a

a

32

22

12

a

a

a

Gambar (1) Gambar (2)

Gambar 1 dengan mengalikan entri-entri pada panah yang mengarah ke

kanan dan mengurangkan hasil kali entri-entri pada panah yang mengarah ke kiri.

Gambar 2 dengan menyalin kembali kolom pertama dan kolom kedua

kemudian dihitung dengan menjumlahkan hasil kali pada panah-panah yang

mengarah ke kanan dan mengutarakan hasil kali pada panah-panah yang

mengarah ke kiri.

Contoh 3,

Hitunglah determinan dari matriks A =

62

11

B =

62

1

852

764

penyelesaian;

det A =

63

25

, Dengan menggunakan metode dari gambar 1 maka:

det A = (3) (-2) (5) (6) = -6 30 = -36

det B =

62

1

852

764

62

1

852

, Dengan menggunakan metode dari gambar 2

maka:

= (1.5.7) + (2.6.6) + (4.(-2).(-8)) (4.5.6) (1.6.(-8)) (2.(-2).7)

= 35 + 72 + 64 120 - (-48) (-28) = 127

Determinan dari sebuah matriks ordo ke-n A = ija , ditulis A

didefinisikan sebagai bilangan yang dihitung dari jumlah berikut,

A = () a1i a1j . anr

jumlah diambil terhadap semua permutasi dari subkrip kedua. Sebuah unsur diberi

tanda + jika (i, j, . , r) adalah permutasi genap dari (1, 2, , n) dan tanda -

jika permutasi ganjil (Hadley, 1992: 74).

Definisi 3.

sebuah permutasi dinamakan genap (even) jika invers seluruhnya adalah sebuah

bilangan bulat yang genap dan dinamakan ganjil (odd) jika jumlah invers

seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang ganjil (Anton, 1987: 61)

Definisi umum dari suatu determinan adalah

Jika A adalah suatu matriks berordo nxn, maka submatriks (n-1) x (n-1) yang

diperoleh dari A dengan menghapus baris ke i dan kolom ke j dinamakan minor

unsur (i.j) dari matriks A dan dilambangkan dengan Mij atau Mij (A). (Cullen;

1993: 106).

Definisi 4.

Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh mij dan

didefinisikan menjadi determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i dan

kolom ke-j dicoret dari A. bilangan (-1)i+j Mij yang di namakan kofaktor entri aij

(Anton, 1997:77).

kofaktor dan minor entri ajj hanya berbeda dalam tandanya, yakni Cij =

Mij. Cara untuk menentukan apakah Cij = Mij atau Cij = -Mij adalah dengan

menggunakan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij dalam baris ke-i dan kolom

ke-j dari susunan berikut

+

+

M

M

+

M

+

+

M

L

L

L

sehingga C11 = M11, C21 = -K21, C12 = - M12, C22 = M22 dan seterusnya. Jadi,

jika i + j adalah genap, maka Cij = Mij dan jika i + j adalah ganjil, maka Cij = -Mij.

Bentuk umum matriks 3 x 3 adalah sebagai berikut:

A =

31

21

11

a

a

a

32

22

12

a

a

a

33

23

13

a

a

a

Berdasarkan definisi determinan, maka

Det (A) = (a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13) - (a31a22a13 + a32a23a11 + a21a12a33).

= a11(a22a33 - a23a32) + a21(a13 a32 - a12a33) + a31(a12 a23 - a13 a22)

karena pernyataan-pernyataan dalam kurung adalah kofaktor-kofaktor dari C11,

C21, C31, maka diperoleh

det (A) = a11C11 + a21C21 + a31C31 (2.1)

Persamaan (2.1) memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung dengan

mengalikan entri-entri dalam kolom pertama dari A dengan kofaktor-kofaktornya,

dan menambahkan hasil perkalian yang dihasilkan. Metode menghitung

determinan seperti ini dinamakan ekspansi kofaktor pada kolom pertama dari A

(Anton, 1997: 78).

Contoh 4.

A=

213

462

03

1 maka

Minor entri a11adalah M11 = 46

03

= 0-(-12) = 12

dan kofaktor entri a11 adalah C11 = (-1)1+1 = (1) 12 = 12 Minor entri a13adalah M13 = 2

1

46

= -4 -12 = -16

dan kofaktor entri a13 adalah C13 = (-1)1+3 = (1) -16 = -16 Minor entri a21adalah M21 = 4

2

01

= 0 - 4 = 4

dan kofaktor entri a21 adalah C21 = (-1)2+1 = (1) 4 = 4

Minor entri a22adalah M22 = 23

01

= 0 - 2 = 2

dan kofaktor entri a22 adalah C22 = (-1)2+2 = (1) 2 = 2 Minor entri a31adalah M31 = 6

2

31

= 6-(-6) = 12

dan kofaktor entri a31 adalah C31 = (-1)3+1 = (1) 12 = 12 minor entri a32 adalah M32 = 1

3

22

12

a

a = 9 (-1) = -10

dan kofaktor entri a32 adalah C32 = (-1)3+2M32 = -M32 = -10

Kofaktor A adalah C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16

C21 = 4 C22 = -2 C23 = 16

C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16

sehingga matriks kofaktor

12412

1026

1616

16, dan Adj (A) =

16612

162

4

1616

12

Sifat-sifat determinan.

1. Matriks persegi yang salah satu vektor barisnya (kolomnya) unsur-unsurnya

nol maka nilai determinannya sama dengan nol.

2. Determinan traspos suatu matriks sama dengan matriks itu sendiri (det Ai = det

A)

3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris atau kolom

dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A.

4. Determinaan suatu baris yang salah satu baris atau kolomnya ditukar dengan

baris atau kolom yang lain maka nilai determinan matriks tersebut menjadi

negatif dari determinan semula.

5. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah dua baris atau kolom yang

sama adalah sama dengan nol.

6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu baris atau kolomnya

merupakan kelipatan dari baris atau kolom yang adalah sama dengan nol.

7. Determinan dari matriks persegi A = [aij] berdimensi n yang baris ke i atau

kolom ke j terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua

binomium, maka determinannya sama dengan A yang baris ke i atau kolom ke

j diganti oleh satu binomium persegi tidak berubah nilainya jika salah satu

baris atau kolom diganti dengan suku yang kedua.

8. Determinan dari suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu

baris atau kolom ditambah dengan kelipatan baris atau kolom yang lainnya.

Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-

elemen diagonalnya (Ayres, 2000:20)

Selanjutnya akan dibahas Matriks Jordan.

Di dalam penerapannya, ada kalanya suatu matriks tidak dapat

didiagonalkan. Untuk matriks yang tidak dapat didiagonalkan, selalu dapat dibuat

menjadi similar dengan matriks yang hampir diagonal yang disebut sebagai

bentuk normal Jordan, yaitu matriks segi tiga atas atau bawah yang lebih khusus

lagi. (budhi, 1995:301).

Misalkan diketahui matriks 2x2 dengan dua nilai eigen yang sama. Jika

matriks tersebut mempunyai dua vektor eigen yeng bebas linier, maka matriks

tersebut similar dengan matriks diagonal. Tetapi dalam hal matriks hanya

mempunyai sebuah nilai eigen, maka matriks tersebut similar dengan bentuk

normal Jordan.

0

1

matriks tersebut hanya mempunyai satu nilai eigen sebab jika mempunyai dua

nilai eigen maka matriks tersebut dapat didiagonalkan.

Ada dua kasus bentuk Jordan untuk matriks berordo 3x3, yaitu matriks

yang mempunyai dua nilai eigen (berbeda) atau hanya satu nilai eigen. Untuk satu

nilai, ada dua kasus yaitu tergantung dari banyaknya vektor eigen yeng bebas

linier. Matriks berikut merupakan contoh matriks dengan satu nilai eigen yang

masing-masing mempunyai satu dan dua vektor eigen yeng bebas linier.

00

0

1

10

00

0

1

00

sedangkan untuk dua nilai eigen , mempunyai bentuk normal Jordan sebagai

berikut

00

0

1

10

Matriks di atas mempunyai dua vektor eigen yang bebas linier, atau satu vektor

eigen bebas linier yang berkaitan dengan nilai eigen ganda. Jadi jika matriks 3x3

mempunyai tiga vektor eigen yang bebas linier, matriks tersebut dapat

didiagonalkan.

Definisi 5

Matriks A berordo nxn mempunyai vektor eigen v1, v2,,vs bebas linier,

matriks tersebut similar dengan matriks diagonal dalam bentuk normal Jordan.

0

01

M

J

0

0

2

M

J

L

L

L

.

sJM

00

Dimana setiap sub matriks J1 adalah blok dangan bentuk

Ji =

0

00

M

i

0

0

0

M

i

0

00

M

i

L

O

L

L

L

iM

000

Dengan 1 adalah nilai eigen dari A dan bersesuaian dengan vektor eigen v1

(Edwards 2001:453)

Definisi 6

Jika A dan B adalah matriks nxn, dan terdapat P matriks nxn yang non singular,

sehingga B = P -1AP, maka B dikatakan serupa dengan A. (baker, 1990:216)

Contoh 5.

Diketahui A =

600

12

0

411

, B =

001

02

0

300

,

dan matriks non singular P =

111

e

c

a

fdb

. Jika B serupa dengan A,

maka tentukanlah matriks non singular P

Penyelesaian,

P non singular berarti martiks P mempunyai invers (devinisi 8) yaitu P-1.

B serupa dengan A sehingga B = P-1A P.

PB = AP

111

e

c

a

fdb

.

001

02

0

12

0

=

600

12

0

411

111

e

c

a

fdb

Sehingga diperoleh a = 1, b =1, c = -2, d = -3, e = -4 dan f = 9

jadi matriks non singular P =

111

42

1

93

1

3. Perkalian matriks dan matriks invers.

Definisi 7.

Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil AB adalah m x

n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut: untuk mencari entri dalam baris i

dan kolom j dari matriks AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari

matriks B. kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut

bersama-sama dan kemudian tambahkan hasil kali yang dihasilkan. (Anton,1997:

25)

Contoh 6;

A =

41

13

69

B =

546

302

618

64

3

Maka, AB =

41

13

69

546

302

618

64

3

=

++

++

30.42445126

18082702

+

++

364325438

++

++

+

3641218123

=

1863

1029

065

49

Karena A adalah matriks 2x3 dan B adalah matriks 3x4 maka hasil kali AB adalah

matriks 2x4.

Definisi 8

Jika A adalah matriks bujur sangkar, dan jika dapat dicari matriks B sehingga

AB=BA=I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertable) dan B dinamakan balikan

(Inverse) dari A. (Anton, 1997: 34).

Contoh 7

B =

13

25

adalah invers dari A =

12

35

karena,

AB =

12

35

13

25

=

01

10

= I dan

BA =

13

25

12

35

=

01

10

= I

Sifat-sifat perkalian matriks:

1. AB BA (tidak komutatif)

2. (AB) C = A (BC) (sifat assosiatif)

3. A (B+C) = AB + AC (sifat distribusi).

Contoh 8:

A =

32

01

24

B =

423

21

5 Maka

AB =

32

01

24

423

21

5

=

++

++

4.22.03.34.42.13.2

++

++

2.2)1.(05.32.4)1.(15.2

=

124

1117

BA =

423

21

5

32

01

24

=

+

6834156

040203

+

+

+

+

+

416281012

=

27

9

423

20622

Karena A matriks 2x3 dan B matriks 3x2, maka hasil kali AB adalah matriks 2x2.

Karena B matriks 3x2 dan A matriks 2x3, maka hasil kali BA adalah matriks 3x3

Jadi tebukti bahwa perkalian matriks tidak bersifat komutatif atau AB BA

Sedangkan sifat-sifat matriks invers adalah.

1. Invers hasil kali dua buah matriks A dan B sama dengan hasil kali invers

masing-masing matriks dengan urutan yang barlainan.

Jadi, (AB)-1 = B-1. A-1 (Subagio Suharti: 1986: 4.8).

Bukti: telah diketahui bahwa AA-1 = A-1A = I dan BB-1 = B-1B = I

begitu pula (AB) (AB)-1 = (AB)-1 (AB) = I

(AB) (B-1 A-1 ) = A (BB-1) A-1 assosiatif

= A I A karena BB-1 = I

= AA-1 = I

(B-1 A-1 ) (AB) = B-1 (A-1A) B assosiatif

= B-1 I B karena A-1 A = I

= B-1 B = I

Jadi (AB)-1 = B-1A-1

Contoh 9 : Jika A =

12

23

dan B =

53

42

,tunjukan bahwa (AB)-1= B-1A-1

Penyelesaian: jika A =

12

23

, maka A-1=

12

23

jika B =

53

42

, maka B-1= 21

54

32

B-1A-1 = 21

54

32

12

23

=

21

1310

2116

=

213

5

221

8

AB =

12

23

53

42

=

1321

1016

(AB)-1= 208210

1

1310

2116

=

21

1310

2116

=

213

5

221

8

Jadi (A)-1 = B-1 A-1

2. Jika A matriks non singular maka invers dari invers A adalah A.

jadi (A-1)-1 = A (Subagio Suharti: 1986: 4.9).

Bukti: A-1 invers dari A. jadi, AA-1 = A-1A = I atau A-1A = AA-1 = I

dengan A matriks yang telah diketahui maka A-1 invers dari A,

jika A-1A = AA-1 = I dengan A-1 matriks yang telah diketahui

maka A adalah invers dari A-1 yang dinyatakan dengan A = (A-1)-1.

Contoh 10: jika A

35

34

, tunjukan bahwa invers dari invers A adalah A

atau (A-1)-1 = A.

Penyelesaian: jika

35

34

maka A-1 31

33

54

atau

1

1

35

34

jika A-1 =

1

1

35

34

maka (A-1) = 34

35

1

135

134

=

311

135

134

= 3

135

134

=

35

14

pada (A-1) = A

Sedangkan cara mencari Matriks Invers sebagai berikut:

Jika P =

c

a

db

untuk mendapatkan matriks P, dipergunakan perkalian matriks

dan kesamaan dua buah matriks sebagai berikut:

Misalkan P-1 =

z

x

u

y dan P.P-1 = I jadi

c

a

db

z

x

u

y =

01

10

+

+

dzcxbzax

+

+

ducybuay

=

01

10

a) ax + bz = 1 b) ay + bu = 0

cx + dz = 0 cy + du = 1

penyelesaiaan sistem persamaan ini adalah

a) ax + bz = 1

cx + dz = 0 jika persamaan pertama dikalikan dengan d dan

persamaan kedua dikalikan dengan b diperoleh

adx + bdx = d

bcx + bdx = 0 _

(ad - bc) x = d atau x = bcad

d

b) ay + bu = 0

cy + du = 1, jika persamaan pertama dikalikan dengan d dan

persamaan kedua dikalikan dengan b diperoleh

ady + bdu = 0

bcy + bdu = -b _

(ad - bc) x = d atau y = bcad

b

dengan substitusi diperoleh bu ay atau u = bcad

a

nilai x, y, z, dan u ada apabila ad o

jadi P-1 =

bcadc

bcadd

bcada

bcadb

atau P-1 bcad

1

c

d

a

b

dengan ad - bc 0

Contoh 11:

Tentukan matriks invers P =

35

46

Penyelesaian:

jika P =

c

a

db

maka P-1 = bcad

1

c

d

a

b

jadi P-1 = 1820

1

34

56

=

21

34

56

=

23

2

25

3

Teorema 1.

Jika A adalah matrik yang dapat dibalik, maka:

A-1 = )(.)det(1 Aadj

A (Anton, 1997: 82)

Bukti;

Akan dibuktikan A adj (A) = (A) I

A adj (A) =

1

1

21

11

n

i

a

a

a

a

M

M

2

2

22

12

n

i

a

a

a

a

M

M

L

M

L

M

L

L

nn

in

n

n

a

a

a

a

M

M

2

1

nC

CC

1

12

11

M

nC

CC

2

22

21

M

L

M

L

L

jn

j

j

C

CC

M

2

1

L

M

L

L

nn

n

n

C

CC

M

2

1

Entri-entri baris ke-i dan kolom ke-j dari A adj (A) adalah

ai1Cj1 + ai2Cj2 + + ainCjn ..(3.1)

jika i = j maka (3.1) adalah ekspansi kofaktor dari det (A) pada baris ke-i dari A.

sebaliknya jika i j, maka koefisien-koefisien a dan faktor-faktor berasal dari

baris-baris A yang berbeda, sehingga nilai (3.1) sama dengan nol. Maka:

A adj (A) =

0

0)det(

M

A

0

)det(0

M

A

L

M

L

L

)det(

00

AM

= det (A) I (3.2)

Karena A dapat dibalik maka det (A) 0. jadi persamaan (2) dapat ditulis

[ ] IAAadjA

=)()det(1

A IAadjA

=

)()det(1

Dengan mengalikan kedua ruas dari kiri dengan A-1 maka menghasilkan

A-1 = )()det(1 Aadj

A

Jadi terbukti A-1 = )()det(1 Aadj

A

Contoh 12;

Carilah invers matriks A =

213

462

03

1

Penyelesaian.

Untuk mencari invers matriks A, maka

Det A =42

6123

042361

23

Det A = (3.6.0) + (2.3.2) + (-1.1.-4) (-1.6.2) - (3.3.-4) (2.1.0)

= (0+12+4) (-12+ -36 + 0)

= 16 (-48) = 64

Jadi Det A = 64 dan dari contoh 4 adj A =

16612

1624

1610

12

A-1 = )()det(1 Aadj

A

A-1 = 641

16612

1624

1610

12 =

641664

664

12

6416

642

644

6416

641064

12

4. Nilai eigen dan vektor eigen.

Kata vektor eigen adalah ramuan bahasa jerman dan inggris. Dalam

bahasa jerman eigen dapat diterjemahkan sebagai sebenarnya atau

karakteristik oleh karena itu, nilai eigen dapat juga dinamakan nilai sebenarnya

atau nilai karakteristik, dalam literatur lama kadang-kadang dinamakan akar-

latent.

Dalam penerapan matriks, sering di jumpai persamaan dalam bentuk A.X

= X, Dengan A=(aij) adalah matriks bujur-sangkar dan adalah bilangan

(skalar). Untuk solusi non-trivial, yaitu x 0, harga yang memenuhi

persamaan itu disebut dengan nilai eigen, atau nilai karakteristik, atau latar laternt

dari matriks A dan solusi yang bersesuai dengan persamaan yang diberikan

AX= X dibentuk vektor eigen atau vektor karakteristik dari A.

Persamaan AX = X dapat dinyatakan dalam bentuk:

1

21

11

ma

a

a

M

2

22

12

ma

a

a

M

L

L

L

mn

n

n

a

a

a

M

2

1

.

nx

x

x

M

2

1

=

nx

x

x

M

2

1

yaitu

11

121

111

xa

xa

xa

m

M

+

+

+

22

222

212

xa

xa

xa

m+

+

+

nmn

nn

nn

xa

xa

xa

M

2

1

=

=

=

nx

x

x

2

1

bila ruas kanan dipindahkan keruas kiri, persamaan menjadi

111 )( xa L+ + nn xa1 = 0 121xa L+ + nn xa2 = 0 M M M

11xam L+ + nmn xa )( = 0

yaitu

( )

1

21

11

na

a

a

M

2

22

21

)(

na

a

a

M

L

M

L

L

)(

2

1

nn

n

n

a

a

a

M.

nx

x

x

M

2

1

=

0

00

M

A .X = X menjadi A .X - X = 0

Atau (A I)X = 0

Agar sistem persamaan linier homogen ini mempunyai solusi non trivial,

maka haruslah IA = 0

IA =

1

21

11 )(

na

a

a

M

2

22

21

)(

na

a

a

M

L

M

L

L

)(

2

1

nn

n

n

a

a

a

M = 0

IA disebut determinan karakteristik dari A dan IA =0 disebut persamaan

karakteristik.

Contoh 13:

Carilah nilai eigen dari matriks A =

24

11

Penyelesaian:

AX = X yaitu ( I-A)X = 0

Determinan karakteristik: IA = 2

)4( )1(

1

Persamaan karakteristik: IA = 0

( )4 ( )1 + 2 = 0 4 5 + 2 + 2 = 0

2 - 5 + 6 = 0

( )2 ( )3 = 0 1 = 2 dan 2 = 3

Untuk setiap nilai eigen yang diperoleh terdapat solusi-solusi yang

bersesuaian dengannya, yang disebut dengan vektor eigen. Dalam bahasa matriks,

istilah vektor menyatakan matriks baris dan matriks kolom. Vektor eigen yang

bersesuaian dengan adalah vektor tak nol dalam ruang pemecahan dari

(A- I)X = 0. Ruang pemecahan ini di kenal sebagai ruang eigen (eigenspace)

dari A yang bersesuai dengan .

Contoh 14:

Carilah basis-basis ruang eigen dari A=

023

032

500

Penyelesaian:

Persamaan dari karakteristik dari A adalah - 3 + 11 2 35 + 25 = 0 difaktorkan

menjadi ( - 1) ( - 5)2 = 0 sehingga nilai eigen A adalah = 1 dan = 5. jadi

diperoleh dua ruang eigen dari A.

5. Diagonalisasi matriks.

Definisi 9.

Matriks kuadrat A dinamakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks P yang

dibalik sehingga P-1AP diagonal, matriks P dikatakan mendiagonalisasi A (Anton,

1997: 284)

Teorema 2.

Jika A adalah matriks n x n maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu

sama lain.

(a) A dapat didiagonalisasi.

(b) A mempunyai n vektor eigen bebas linier (Anton, 1997: 285).

Bukti:

(a) (b), karena A dianggap dapat didiagonalisasi, maka terdapat matriks yang

dapat dibalik.

P =

1

22

11

nP

PP

M

2

22

12

nP

PP

M

L

L

L

nn

n

n

P

PP

M

2

1

, Maka P-1 AP diagonal jika P-1AP = D, sehingga

D =

0

01

M

0

0

2

M

L

L

L

nM

00

, Maka AP = PD; yakni

AP =

1

22

11

nP

PP

M

2

22

12

nP

PP

M

L

L

L

nn

n

n

P

PP

M

2

1

0

01

M

0

0

2

M

L

L

L

nM

00

=

11

22

111

1

nP

PP

M

22

222

122

nP

PP

M

L

L

L

nnn

nn

nn

P

PP

M

2

1

(5.1)

Jika dimisalkan P11, P21, , Pn1 menyatakan vektor kolom P, maka bentuk (5.1)

kolom-kolom AP yang berurutan adalah 1212111 ....,, nP atau kolom-kolom AP

bisa berupa AP11, AP21, , APn1. jadi akan diperoleh

AP11 = 111P , AP21 = 212 , , APn1 = 1nn P .(5.2)

Karena P dapat dibalik, maka vektor-vektor kolom semuanya tak nol, jadi

menurut (5.2) 1 , 2 , , n adalah nilai-nilai eigen A dan P11, P21, ,Pn1 bebas

linier. Jadi A mempunyai n vektor eigen bebas linier.

(b) (a) anggaplah bahwa A mempunyai n vektor eigen bebas linier, maka P11,

P21, , Pn1 dengan nilai eigen yang bersesuaian 1 , 2 , , n , dan misalkan

P =

1

22

11

nP

PP

M

2

22

12

nP

PP

M

L

L

L

nn

n

n

P

PP

M

2

1

adalah matriks yang vektor kolomnya adalah P11, P21, , Pn1 sehingga hasil kali

AP adalah AP1,A P2, , APn, Tetapi AP1 = 111P , A P2 = 22 P ,APn = nn P

Sehingga AP =

11

22

111

1

nP

PP

M

22

222

122

nP

PP

M

L

L

L

nnn

nn

nn

P

PP

M

2

1

=

1

22

11

nP

PP

M

2

22

12

nP

PP

M

L

L

L

nn

n

n

P

PP

M

2

1

0

01

M

0

0

2

M

L

L

L

nM

00

= PD .(5.3)

dengan D adalah matriks diagonal yang mempunyai nilai eigen 1 , 2 , , n

pada diagonal utama karena vektor-vektor kolom dari P bebas linier, maka P dapat

dibalik jadi, (5.3) dapat ditulis P-1AP = D, yakni A terdiagonalisasi. Untuk lebih

jelasnya dapat dilihat pada contoh 14 yaitu P-1AP = D, yakni A terdiagonalisasi.

Dari 5.3 adalah diagonal tetapi bagaimana kita menangani sistem

Y = AY

Yang ternyata matrik A-nya tidak diagonal gagasannya sederhana saja cobalah

membuat penyulihan untuk Y yang akan menghasilkan sebuah sistem baru dengan

sebuah matriks koefisien diagonal, pecahkanlah sistem baru yang lebih sederhana

ini, dan kemudian gunakanlah pemecahan tersebut untuk menetukan sistem

aslinya.

Tipe penyulihan adalah

y1 = p11u1 + p12u2 + .... + p1nun

y1 = p11u1 + p12u2 + .... + p1nun

M M M M

y1 = p11u1 + p12u2 + .... + p1nun

atau pada notasi matriks

ny

yy

M

2

1

=

1

22

11

nP

PP

M

2

22

12

nP

PP

M

L

L

L

nn

n

n

P

PP

M

2

1

nu

u

u

M

2

1

Atau dengan lebih singkat

Y = PU ..........................................................(3.6)

Pada penyulihan ini fungsi Pij adalah konstanta-konstanta yang akan ditentukan

sedemikian rupa sehingga sistem baru yang melibatkan fungsi-fungsi u1, u2, .....un

yang tak diketahui mempunyai matrik koefisien diagonal.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa

Y = PU.........................................................(3.7)

Jika kita membuat penyulihan (substitusi).

Maka dari D=P1 dan Y=PU sehingga Y=PU yang menggunakan sistem diagonal

baru (u) dan jika P dapat dibalik,maka dari Y = AY diperoleh

Y = PU

= AY

= A (PU)

U = P-1 [A (PU)]

= [P-1 AP] U

= DU, dengan D matriks diagonal.....................(3.8)

Teorema 3.

Jika matrik A berukuran nxn mempunyai nilai eigen yang berbeda, matriks A

dapat didiagonalisasi (Anton,1997 :289).

Bukti.

Jika v1, v2, ,vn adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai

eigen yang berbeda 1 , 2 , , n maka menurut teorema v1, v2, ,vn bebas

linier. Jadi, A dapat didiagonalisasi oleh teorema 3.

Jika suatu matriks hanya mempunyai k < n buah nilai eigen tidak berarti bahwa

matriks tersebut tidak dapat didiagonalisasikan.dalam hal ini nilai eigen hanya

layak k buah yang berbeda. Langkah berikut harus diambil untuk menentukan A

dapat didiagonalisasikan atau tidak.

1. Cari basis p dari tiap ruang eigen yang berkaitan dengan nilai eigen .

2. Bentuk himpunan p yang merupakan gabungan dari p1, p2, ,pk.

3. Jika p terdiri dari n vektor dan basis linier, maka A dapat didiagonalkan.

Berikut langkah-langkah mendiagonalisasikan matriks A yang berukuran n x n:

Langkah 1. Carilah n vektor bebas linier. A, p1, p2, ,pn..

Langkah 2. Bentukkanlah matriks p yang mempunyai p1, p2, ,pn sebagai vektor

kolom.

Langkah 3. Matriks P-1AP akan diagonal dengan 1 , 2 , , n sebagai entri

entri diagonalnya yang berukuran, dimana i adalah nilai eigen yang

bersesuaian dengan Pi, i = 1,2,..,n (Anton,1997:286)

Contoh 15:

Carilah matriks P yang mendiagonalkan

A =

02

3

03

2

500

Penyelesaian:

Diperoleh nilai-nilai eigen dari A yaitu = 1 dan = 5 maka vektor eigen

P1 =

01

1,

P2 =

100

P3 =

011

Karena { P1, P2, P3}bebas linier, sehingga P =

01

1

100

011

Akan mendiagonalkan matriks A.

P-1AP =

21

21

0

21

21

0

010

02

3

03

2

500

01

1

100

011

=

005

050

100

Karena entri diagonal ke-i dari P-1AP adalah nilai eigen untuk vektor kolom ke-i

dari P, maka dengan mengubah ukuran kolom-kolom P hanya merubah ukuran

nilai-nilai eigen pada diagonal P-1AP (Anton, 1997: 287)

Jadi seandainya ditulis P =

01

1

100

011

Maka akan memperoleh:P-1AP =

005

050

100

B. Kajian Tentang Persamaan Diferensial

1. Persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstan.

Bentuk umum persamaan homogen:

a0 n

n

dxyd

+ a1 1

1

n

n

dxyd

+ a2 2

2

n

n

dxyd

+..........+ an-1 dxdy

+ any = 0 .........(1.1)

dengan a0, a1, a2 ........, an adalah konstanta (Sudaryat, 1986: 3.2)

persamaan diferensial di atas dapat diselesaikan dengan substitusi y = emx, dengan

ini akan ditentukan bilangan tetap m sehingga emx (1.1)

y = emx, maka dxdy

= memx, 2

2

dxyd

= m2 emx, ...........,

n

n

dxyd

= mn emx

selanjutnya subtitusikan ke dalam persamaan (1.1) untuk mendapat suatu

persamaan dalam m, didapat:

a0 mn emx + a1 m

n-1 emx + a2 m

n-2 emx + ... + an-1 me

mx + an e

mx = 0 atau

emx (a0 mn + a1 mn-1 emx + a2 mn-2 + ... + an-1 m + an) = 0

fungsi eksponen tidak pernah bernilai nol. Jadi, agar y = emx dapat menjadi

penyelesaian persamaan diferensial di atas maka m merupakan akar polinom.

a0 mn + a1 m

n-1 emx + a2 m

n-2 + ... + an-1 m + an = 0

dan disebut persamaan karakteristik dari persamaan diferensial linear homogen

(1.1), sedangkan akar-akar persamaan karakteristik disebut akar-akar

karakteristik.

Dalam menentukan penyelesaian umum dari persamaan diferensial linear

homogen dengan koefisien konstantan, akan didapat tiga kemungkinan

pertimbangan pemecahan, apakah akar-akar dari persamaan karakteristik yang

diperoleh berupa bilangan real dan berlainan, bilangan real dan sama atau

bilangan imajiner saling konjugate (bilangan kompleks sekawan).

2. Persamaan diferensial linear tak homogen.

Bentuk umum persamaan diferensial liniear tak homogen

a0 n

n

dxyd

+ a1 1

1

n

n

dxyd

+ a2 2

2

n

n

dxyd

+..........+ an-1 dxdy

+ any = f (x)............... (2.1)

atau (y) = f(x) dimana operator = a0 nn

dxyd

+ a1 1

1

n

n

dxyd

+ ........+ an, f(x) suatu

fungsi dari x (sudaryat, 1986:29)

Definisi

Jika n fungsi-fungsi y1, y2, ....,yn membentuk sistem fundamental penyelesaian

untuk persamaan diferensial homogen, maka fungsi yh yang ditentukan oleh

yh = c1y1 + c2y2 + ... + cnyn

dengan konstanta c1,c2,...,cn merupakan penyelesaian homogen untuk persamaan

(2.1). Teorema: jika y1, y2,....,yn membentuk sistem fundamental penyelesaian

untuk persamaan diferensial homogen dan jika yp suatu penyelesaian khusus dari

persamaan (2.1), maka penyelesaian umum dari persamaan (2.1) dapat ditulis

dalam bentuk:

y = yh + yp = c1y1 + c2y2 + ...... + cnyn + yp (Finizio,1988: 109)

Jadi untuk mencari penyelesaian bagi persamaan diferensial linear tak

homogen, harus ditentukan terlebih dahulu penyelesaian homogen dari persamaan

diferensial linear tak homogen yang diberikan dan kemudian akan ditentukan

penyelesaian khususnya. Penggabungan antara penyelesaian homogen dan

penyelesaian khusus inilah yang merupakan penyelesaian umum dari persamaan

diferensial tak homogen.

3. Persamaan diferensial linier homogen tingkat/orde-n.

Persamaan diferensial (PD) ialah persamaan yang memuat hubungan

antara x, suatu fungsi y dari x dan turunannya.

Jika y = f (x) atau suatu fungsi yang mengandung hanya satu peubah bebas

maka disebut suatu persamaan diferensial biasa. Sedangkan jika z = f(x,y) atau

suatu fungsi yang membuat lebih satu variabel bebas maka disebut persamaan

diferensial parsial.

Contoh persamaan diferensial biasa. Dan Contoh persamaan diferensial parsial

1) ( ) 0222 =++ xyyy && 1). + 22

dxz

2

2

dyz

= 0

2). 0222

=++ xydxdy

dxyd

2). +x

z xy = 0

Orde dari persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dari

turunan-turunan yang terdapat di dalamnya, sedangkan derajat dari persamaan

diferensial ditentukan oleh pangkat tertinggi dari orde turunan tertinggi.

Contoh.

1) ( ) 0222 =++ xyyy && persamaan diferensial orde 1 derajat 2

2). 0222

=++ xydxdy

dxyd

persamaan diferensial orde 2 derajat 1

Penyelesaian dari suatu persamaan diferensial adalah suatu

fungsi/keluarga fungsi yang memenuhi persamaan diferensial tersebut. Keluarga

fungsi dalam persamaan diferensial memuat penyelesaian umum jika memuat

konstanta sebarang. Sebagai contoh: y=cx (c=konstanta) dan persamaan

diferensial disebut penyelesaian khusus jika tidak memuat konstanta sembarang

sebagai contoh y=2x (disebut penyelesaian khusus memuat bilangan real). Untuk

lebih jelasnya dapat dilihat contoh pada halaman berikutnya.

Bentuk umum persamaan diferensial linear homogen orde-n

a0 n

n

dxyd

+ a1 1

1

n

n

dxyd

+ a2 2

2

n

n

dxyd

+........+ an-1 dxdy

+ any = Q (x) .........(3.1)

dengan a0 0, a1, a2 ........, an adalah konstanta dan q(x) merupakan fungsi dari x.

Untuk mempermudah mencari penyelesaiaan umum bagi persamaan diferensial

linear homogen dengan koefisien konstan dapat digunakan operator D, dengan D

adalah notasi diferensial operator dari

dxd

= D dan dxdy

= Dy, 22

dxyd

= D2y.... n

n

dxyd

= Dny

sehingga persamaan (3.1) dapat ditulis sebagai

(a0 Dn + a1 Dn-1 emx + a2 Dn-2 + ... + an-1 D + an) y = Q

Persamaan diferensial linier homogen orde-n dengan koefisien konstan dapat juga

ditulis sebagai

Any(n) +an-1y(n-1) +.....a2y +a1 y = a0 y = 0...................(3.2)

Jika

k

k

dxd

(erx) = rk erx

Maka y = erx disubstitusikan ke persamaan (3.2) diperoleh

anrnerx + an-1r

(n-1)erx + ... + a2r2erx + a1re

rx + a0rerx

= 0

sehingga

erx(anr(n) + an-1r(n-1) + ......... + a2r2 + a1r + a0) = 0

Dan y = erx adalah penyelesaian dari persamaan diferensial homogen.

Misalnya satu persamaan diferensial homogen orde-2

ay+by+cy = 0. ......... .......................................(3.3)

Dengan a,b dan c koefisien konstan, Untuk mencari solusi tunggal dari persamaan

(3.3)

Perhatikan

(erx) = erx dan (erx) = r2erx,

Maka turunan erx adalah perkalian berulang pada konstanta r dari e rx. Karena jika

y=e rx disubstitusi ke persamaan 3.3 , dengan bergantung koefisien konstanta pada

r dan koefisien a, b, c, maka ditemukan nilai r sedemikian hingga erx akan

mempunyai penjumlahan nol. jadi y = erx merupakan solusi dari persamaan 3. 3.

Contoh:

jika y = erx disubstitusi ke dalam persamaan.

Y-5y + 6y = 0,

Diperoleh

r2 erx - 5 rerx + 6erx = 0,

maka

(r2 + 5r + 6) erx = 0

(r-2) (r-3) erx = 0.

Karena y=erx akan menjadi solusi jika r=2 atau r=3. maka di dalam mencari solusi

ditemukan 2 solusi : y1 (x) = e 2x dan y2 = e3x.

Ada 3 kemungkinan akar-akar karakteristik bagi penyelesaian persamaan

diferensial linear orde-n:

Kasus 1 persamaan karakteristik dengan akar-akar real dan berlainan

Telah diuraikan pada bagian bahwa persamaan diferensial linier homogen

an y(n) + an-1y(n-1) + ....... + a2y + a1y + a0y = 0

Dimisalkan persamaan polinomial dalam r, yaitu:

an rn + an-1yn-1 + ....... + a2r2 + a1r + a0 = 0

Persamaan ini dinamakan persamaan bantu dan sering pula disebut persamaan

karakteristik dari persamaan diferensial diatas.

Jika y=erx adalah penyelesaian dari persamaan tersebut, maka dapat dilihat bahwa

konstanta r memenuhi persamaan karakteristik di atas, persamaan karakteristik ini

digunakan untuk mencari nilai r. Nilai r yang diperoleh memberikan penyelesaian

pada persamaan diferensial linier homogen.

Misalkan r1, r2, ...., rn merupakan akar-akar persamaan karakteristik yang

termasuk bilangan real berlainan. Dari hasil perolehan r ini dapat diperoleh

penyelesaian

y = c1er1x + c2er2x + .... + cnernx (Kusumah, 1989: 271)

sebagai contoh, selesaikanlah persaman diferensial

dxdy

dxyd

+2

2

- 6y = 0

Persamaan polinomial dari persamaan ini dengan Substitusi y = erx adalah

erx (r2 + r - 6) = 0

akar-akar persamaan kuadratnya (persamaan karakteristiknya) adalah

r2 + r - 6 = 0

atau (r + 3), (r - 2) = 0 atau r = -3, r = 2

jadi akar persamaan ini adalah r = -3 dan r = 2,

maka penyelesaian adalah

y = c1e-3x + c2e2x

Kasus 2 Persamaan karakteristik dengan akar-akar yang sama.

Persamaan diferensial linier homogen orde-n

Any(n) + an-1y(n-1) + ....... + a2y + a1y + a0y = 0

Jika dibentuk dalam persamaan operator Ly=0 dengan L adalah sebagai operator,

sehingga

L an nn

dxd

+ an-1 1

1

n

n

dxd

... + a2 2

2

dxd

+ a1 dxd

+ a0

D = dxd

adalah operasi diferensial pada x, maka

Dy = y, D2y =y, D3 = y(3)

dan seterusnya. persamaan operator L dapat pula ditulis sebagai

L = an Dn + an-1 Dn-1 + .... + a2 D2 + a1D + a0

Persamaan ini dikenal sebagai polinomial derajat n pada variabel D atau disebut

juga polinomial operator (Edwards, 2001: 302)

Polinomial operator derajat satu mempunyai bentuk Da dimana a adalah

bilangan real, dengan y = y (x) sehingga

(D-a) y = Dy ay = y ay.

Untuk polinomial derajat dua

(D - a) (D - b)y = (D - b) (D - a)y

dengan dua kali pendiferensial fungsi y = y(x), sehingga

(D - a) (D - b)y = (D - a) (y- by)

= D (y- by) a (y - by)

= y (b + a) y + aby

= y (a + b) y + bay

= D (y - ay) b (y - ay)

= (D - b) (y - ay)

= (D - b) (D - a) y

persamaan karakteristik

anrn + an-1r

n-1 + .... + a2r

2 + a1r

2 + a1r + a0 = 0 ....... (*)

mempunyai akar-akar sama. Sebagai contoh misalkan persamaan (*) mempunyai

dua akar berlainan r0 dan r1.

sehingga

(r r1)k (r r0) = (r r1) (r r1) = 0

similar dengan operator L, maka

L = (D r1)k (D r0) = (D r1) (D r1)k

Dua penyelesaian dalam persamaan diferensial Ly=0 adalah y0=er0x dan y1=er0x

Hal ini masih belum cukup, dibutuhkan k+1 solusi bebas linier untuk membentuk

penyelesaian umum, karena persamaan tersebut berorde k+1.

Ly = (D r0) [(D r1)ky] = 0

Sebagai konsekuensi tiap-tiap solusi persamaan orde-k

(D r1)ky = 0 ...........(**)

akan menjadi solusi persamaan Ly = 0

diketahui y1 = er1x adalah satu solusi dari (**), sehingga

Y (x) = u(x) y1 (x) = u (x) er1x

Dimana u (x) adalah fungsi determinan. Amatilah

(D r1) [uer1x] = (Du) er1x + r1 e r1x - r1u e r1x

maka

(D r1)k [uer1x] = (Dk u) e r1x

untuk fungsi u(x). Karena y=ue r1x akan merupakan suatu solusi dari persamaan

(**) jika dan hanya jika Dku=u(k)=0 tetapi ini akan menjadi

u (x) = c1 + c2x + c3x2 + ... + ckek-1

suatu polinomial derajat k1. karenanya solusi diinginkan pada persamaan (**)

adalah

y(x) = uer1x = (c1 + c2x + c3x2 + .... + ckek-1).

Khususnya, dapat dilihat xer1x, x2er1x, ...., xk-1 er1x adalah penyelesaian persamaan

diferensial Ly = 0

Kasus 3. akar-akar kompleks dan sekawan

Ingatlah kembali fungsi eksponensial deret taylor pada kalkulus, yakni

Et = .......!3!2

1!

32

0++++=

=

ttt

n

t

n

n

Jika t = ix disubsitusikan kepersamaan tersebut diperoleh

eix = ( )

=0 !n

n

n

ix

= 1 + ix - ..........!5!4!3!2

5432

++ixxixx

=

+ ..........

!4!21

42 xx+ i

+ .........

!5!3

53 xxx

Padahal cos x =

++ ..........

!6!4!21

642 xxx dan sin x

++ .........

!7!5!3

753 xxxx

ini berarti

eix = cos x + i sin x

Untuk mencari penyelesaian khusus (yk) dari persamaan diferensial

tersebut adalah dengan menggunakan metode koefisien tak tentu. sedangkan

aturan model koefisien tak tentu adalah

1. Bila Q (x) memuat di u dan u juga termuat dalam yh sebanyak r kali, maka

yk yang dicoba adalah xru dan ditambah dengan suku-suku yang muncul

dari diferensialnya. Sebagai contoh:

(D - 2)3 y = e2x

Yh = e2x (c3x2 + c2x + c1)

Karena e2x atau r = 3 berulng sebanyak tiga kali maka

Yk = Ax3e2x + Bx2e2x + Cxe2x + De2x .... dst

2. Bila Q (x) = xru dan u juga termuat dalam yh sebanyak 5 kali maka yk

yang dicoba = xr+5 u dan ditambah dengan suku-suku yang muncul dari

diferensialnya sebagai contoh

(D - 2)3 y = x2 e2x

Yh = e2x (c3x2 + c2x + c1)

Karena e2x berulng sebanyak lima kali maka

Yk = Ax2+3e2x + Bx2+2e2x + Cx2+1 e2x + Dx2 e2x +Exe2x + Fe2x

= Ax5 e2x + Bx4 e2x + Cx3 e2x + Dx2 e2x +Exe2x + Fe2x

Contoh :

1. Tentukan penyelesaian dari persamaan y + 7y + 12y = 0

Bentuk operator D

(D2 + 7D + 12) y = 0

Persamaan karakteristik (bantu)

r2 + 7r + 12 = 0

(r + 3) (r + 4) = 0

r1 = -3, r2 = -4

maka penyelesaian umum adalah

y = c1e-3x + c2e-4x

Contoh:

2. Tentukan penyelesaian dari y 4y = 16x2

Persamaan diferensial linear

y 4y = 0

(D2 - 4) y = 0

Persamaan karakteristik

r2 4 = 0

(r + 2) (r - 2) = 0

r1 = -2, r2 = 2

penyelesaian umum

y = c1e-2x + c2e2x

yk yang dicoba

yk = Ax2 + Bx + C,

yk = 2Ax + B,

yk = 2A

substitusi ke y 4y = 16x2

2A 4 (Ax2 + Bx + C) = 16x2

2A 4Ax2 Bx 4c = 16x2

-4Ax2 Bx + 2A 4c = 16x2

-4Ax2 = 16x2 -Bx = 0

-4A = 16 2A 4C = 0

A = -4 2(-4) 4C = 0

-4C = 8

C = -2

Sehingga yk = -4x2 + 2

PUPD Y = c1e-2x + c2e2x 4x2 2

BAB III

PEMBAHASAN

Pada dasarnya untuk menentukan persamaan diferensial linier homogen

dapat diselesaikan dengan menggunakan diagonalisasi matriks, diagonalisasi

matriks ini diharapkan dapat digunakan sebagai alternatif lain dalam


konstan. Dengan diagonalisasi matriks koefisien suatu persamaan dibentuk

menjadi matriks diagonal sehingga persamaan yang semula melibatkan banyak

fungsi yang tidak diketahui menjadi persamaan yang hanya mempunyai satu

fungsi yang tak diketahui sehingga persamaan tersebut mudah untuk dipecahkan.

Dalam bab III ini akan dibahas (A) Penerapan diagonalisasi matriks dalam

menyelesaikan persamaan diferensial linier homogen orde-n meliputi tiga bagian

yang sangan penting yaitu: (1) persamaan karakteristik dengan akar-akar real dan

berlainan. (2) persamaan karakteristik dengan akar-akar yang sama. (3) persamaan

karakteristik akar-akar kompleks dan sekawan.

A. Penerapan diagonalisasi matriks dalam menyelesaikan persamaan

diferensial linier homogen orde-n.

Pada bab sebelumnya definisi 8 dijelaskan bahwa matriks kuadrat A dapat

didiagonalisasi (diagonalizable) jika terdapat matriks P yang dapat dibalik

sehingga P-1 AP diagonal, matriks P dikatakan mendiagonalisasi A (Anton, 1997:

284).

46

Adapun untuk mendiagonalkan matrik A yang berordo nxn adalah: (1).

Carilah n vektor eigen bebas linier P1, P2, ,Pn. (2) Bentuklah matriks P yang

mempunyai P1, P2,,Pn sebagai vektor-vektor kolom. Dan (3) Matriks P-1AP akan

diagonal dengan 1, 2,. n, sebagai entri-entri diagonalnya yang berurutan,

dengan

1 adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan pi, i = 1, 2, , n.

Selanjutnya dalam persamaan diferensial yang paling sederhana adalah

y=ay, dengan y menyatakan turunan dari y dan a menyatakan bilangan real.

Penyelesaian dari y = ay fungsi-fungsi yang berbentuk y = ceax dengan c adalah

sebarang konstan. Berikut ini akan diuraikan langkah mendiagonalisasikan

matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial yang berbentuk:

ny

yy

'

'

'

2

1

M

=

=

=

11

121

111

ya

yaya

n

+

+

+

22

222

212

ya

yaya

n

+

+

+

K

K

K

+

+

+

nnn

nn

nn

ya

yaya

2

1

dengan y1 = f1(x), y2 = f2(x), , yn = fn(x) adalah fungsi-fungsi yang akan

ditentukan, dan aij adalah konstanta-konstanta. Dalam notasi matriks dapat ditulis

sebagai berikut:

ny

yy

'

'

'

2

1

=

1

21

11

na

a

a

M

2

22

12

na

a

a

K

K

K

nn

n

n

a

a

a

M

2

1

ny

yy

2

1

atau secara singkat Y=AY (Anton, 1997: 304)

Dalam penerapan persamaan diferensial, muncul juga persamaan

diferensial dengan fungsi yang dicari mempunyai turunan lebih dari satu. Turunan

paling tinggi dari fungsi yang dicari muncul pada persamaan diferensial disebut

orde dari persamaan diferensial. Bentuk umum persamaan diferensial linier

homogen orde-n sebagai berikut: y(n) + a1(x)y(n-1) + + an-1(x)y+ an(x)y=0

dengan y(i) menyatakan turunan ke- 1 dari y, sedangkan f, a1, a2, , an merupakan

fungsi yang diketahui (Budhi, 1995: 297). Khususnya untuk persamaan diferensial

linier homogen orde-2 adalah: y + a1 (x) y+ a2 (x) y = 0.(*) dengan

a1(x) = a, a2(x) = b. Salah satu cara untuk menyelesaikan (*) adalah dengan

mengubah persamaan tersebut menjadi sistem persamaan linier orde-1.

Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan

diferensial dengan metode diagonalisasi matriks adalah:

Langkah 1. Mengubah sistem persamaan diferensial ke dalam bentuk matriks.

Matriks tersebut berbentuk Y=AY dan menentukan matriks koefisien

dari sistem persamaan diferensial yang ada yaitu:

A =

1

21

11

na

a

a

M

2

22

12

na

a

a

K

K

K

nn

n

n

a

a

a

M

2

1

Langkah 2.Menentukan nilai eigen dari A yaitu AY = Y atau secara ekuevalen

dapat dituliskan (A - I)Y = 0.

1

21

11

na

a

a

M

2

22

21

na

a

a

M

L

L

L

nn

n

n

a

a

a

M

2

1

.

ny

yy

M

2

1

=

0

00

M

supaya manjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian tak trivial

dari persamaan ini. persamaan ini akan mempunyai penyelesaian tak

trivial jika dan hanya jika (A - I)Y = 0.

1

21

11

na

a

a

M

2

22

21

na

a

a

M

L

L

L

nn

n

n

a

a

a

M

2

1

. =

0

00

M

sehingga didapat persamaan karakteristik A yaitu

0

01

M

0

0

2

M

L

L

L

nM

00

,

Langkah 3. Menentukan vektor eigen matriks A, yang bersesuaian dengan yaitu

P =

np

pp

M

2

1

Setelah memperoleh nilai eigen, selanjutnya dimasukkan ke dalam

persamaan (A - I).

Langkah 4.Mencari sebuah matriks P yang mendiagonalisasi matriks A, yang

merupakan matriks dengan vektor eigen sebagai vektor kolomnya

kemudian dicari matriks invers dari P yaitu P-1.

Langkah 5. Diagonalisasi A

Suatu matruks A berordo n x n yang mempunyai vektor eigen yang

bebas linier, maka D = P-1 AP merupakan matriks diagonal dengan

nilai eigen dari matriks A sebagai elemen pada diagonal utamanya.

D = P-1 AP =

0

011

M

D

0

0

22

M

D

K

K

K

nnDM

00

Langkah 6. Proses penyulihan (substitusi).

Misalkan dari D=P-1 dan Y=PU sehingga Y=PU yang menggunakan

sistem diagonal baru (u) dan jika P dapat dibalik, maka dari Y=AY

diperoleh

Y = PU

= AY

= A (PU)

U = P-1 [A (PU)]

= [P-1 AP] U

= DU, dengan D matriks diagonal.

Langkah 7. Untuk memperoleh penyelesaian, matriks yang baru diperoleh (U)

dibentuk ke dalam y = cerx.

Untuk lebih jelasnya dibawah ini akan diberikan contoh untuk

menyelesaikan sistem persamaan diferensial dengan diagonalisasi matriks. Dan

menggunakan langkah-langkah yang telah diuraikan sebelumnya dalam bagian A.

Contoh 1. Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut

=

=

12

21

ydxdy

ydxdy

Penyelesaian:

Langkah 1. Mengubah sistem persamaan ke dalam bentuk matriks yang berbentuk

Y = AY dan menentukan matriks koefisien.

dxdy

=

10

01

2

1

yy

, dengan A adalah matriks koefisien.

Langkah 2. Mencari nilai eigen dari matriks A yang memenuhi, yaitu

Det (A - I) =

10

01

-

01

10

=

10

01

-

0

0

=

1

1


(-) (-) + 1 = 0

2 1 = 0

difaktorkan menjadi ( -1) ( +1). Jadi nilai eigen yang bersesuaian

dengan adalah 1=1 dan 2 =-1.

Langkah 3. Menentukan vektor eigen matriks A yang bersesuaian dengan , yaitu

Untuk 1 = 1

(A - I)Y = 0

1

1

2

1

yy

=

00

11

11

2

1

yy

=

00

Diperoleh persamaan

-y1 + y2 = 0 ................(1)

y1 - y2 = 0 ................(2)

dari (1) dan (2) diperoleh persamaan baru y1 = y2, misalkan y1 = s

maka y2 = -s. Sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian

dengan 1 = 1 adalah

s

s = s

11

atau dapat ditulis P1 =

11

Untuk 2 = -1

(A - I)Y = 0

1

1

2

1

yy

=

00

11

11

2

1

yy

=

00

Diperoleh persamaan

y1 + y2 = 0 ................(1)

y1 + y2 = 0 ................(2)

dari (1) dan (2) diperoleh persamaan baru y1=-y2, misalkan y1=s

maka y2=-s. Sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian

dengan 1=-1 adalah

s

s = s

11


11

Langkah 4. Mencari matriks P dan mencari invers dan mencari inversnya.

Dari langkah 3 diperoleh matriks P, yaitu

=

=

=

=

=

=

21

21

21

21

1111

21

21

111

1111

1

1

P

sehingga2

12

12

12

1 P

P dan P 1


=

21

21

21

21

1 APP

10

01

11

11

++=

11

021

210

021

210

11

=

11

21

21

21

21

11

+

+=

21

21

21

21

21

21

21

21

=

01

10

Langkah 6. Proses Penyulihan (subsitusi)

Karena matriks berbentuk diagonal dan diketahui D = P-1 AP dan Y =

PU sehingga Y = PU menghasilkan sistem diagonal baru.

U = DU

=

01

10

U

Diperoleh persamaan diferensial baru dalam bentuk y = cerx.

Langkah 7. Memperoleh penyelesaian diferensial dalam bentuk y = cerx.

u1 = c1ex

u2 = c2e-x

sehingga

U =

x

x

ec

ec

2

1

Dari Y = PU menghasilkan Y penyelesaian baru.

Y =

2

1

yy

=

11

11

x

x

ec

ec

2

1=

x

x

ec

ec

1

1

+

x

x

ec

ec

2

2

Jadi diperoleh solusi umum

Y1 = c1ex + c2e-x dan y2 = c1ex + c2e- c1ex - c2e-x

Contoh 1 merupakan contoh persamaan diferensial linier homogen orde-1.

berikut merupakan contoh penerapan diagonalisasi matriks pada persamaan

diferensial linier homogen dengan orde yang lebih tinggi. Ada 3 kemungkinan

akar-akar karakteristik bagi penyelesaian persamaan diferensial linear orde-n:

1. Persamaan karakteristik dengan akar-akar real dan berlainan

Telah diuraikan pada bagian bahwa persamaan diferensial linier homogen

an y(n) + an-1y(n-1) + ....... + a2y + a1y + a0y = 0

Dimisalkan persamaan polinomial dalam r, yaitu: an rn+an-1yn-1+.......+a2r2+ a1r

+a0=0 persamaan ini di namakan persamaan bantu dan sering pula disebut

persamaan karakteristik dari persamaan diferensial di atas.

Jika y=erx adalah penyelesaian dari persamaan tersebut, maka dapat

dilihat bahwa konstanta r memenuhi persamaan karakteristik di atas, persamaan

karakteristik ini digunakan untuk mencari nilai r. Nilai r yang diperoleh

memberikan penyelesaian pada persamaan diferensial linier homogen.

Misalkan r1, r2, ...., rn merupakan akar-akar persamaan karakteristik yang

termasuk bilangan real berlainan. Dari hasil perolehan r ini dapat diperoleh

penyelesaian Y = c1et1x + c2et2x + .... + cnetnx untuk lebih jelasnya dapat dilihat

contoh sebagai berikut:

Contoh 2. Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut

2

2

dxzd

- 3 dxdz

+ 2z = 0

Penyelesaian:

Misalkan z = y1

y2 = dxdz

maka dxdy1

=

dxdz

= y2 dan dxdy2

= 2

2

dxzd

= 3y2 2y1

Langkah 1. Mengubah sistem persamaan ke dalam bentuk matriks yang berbentuk

Y = AY dan menentukan matriks koefisien.

dxdy

=

20

31

2

1

yy

dengan A =

20

31

sebagai matriks koefisien.

Langkah 2. Mencari nilai eigen dari matriks A yang memenuhi, yaitu

Det (A - I) =

20

31

-

01

10

=

20

31

-

0

0

=

2

31


- (3-) + (-2. 1) = 0

2 - 3 + 2 = 0

2 3 + 2 = 0 difaktorkan menjadi (-1) ( -2) = 0 Jadi nilai eigen

yang bersesuaian dengan adalah 1=1 dan 2 = 2.

Langkah 3. Menentukan vektor eigen matriks A yang bersesuaian dengan , yaitu

Untuk 1 = 1

(A - I)Y = 0

2

31

2

1

yy

=

00

21

21

2

1

yy

=

00

Diperoleh persamaan

-y1 + y2 = 0 ................(1)

-2 y1 + 2y2 = 0 ................(2)

dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan baru -y1=-y2, jika y1=s

maka y2 = s.

jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan 1 = 1 adalah

2

1

yy

=

s

s = s

11


11

Untuk 2 = 2

(A - I)Y = 0

2

31

2

1

yy

=

00

21

21

2

1

yy

=

00

Diperoleh persamaan

-y1 + y2 = 0 ................(1)

-2 y1 + 2y2 = 0 ................(2)

dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan baru -y1=2y2, jika

y1=s maka y2= 2s. jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan

2 = 2 adalah

2

1

yy

=

s

s

2 = s

21


21

Langkah 4. Mencari matriks P dan mencari invers dan mencari inversnya.

Dari langkah 3 diperoleh matriks P, yaitu

P =

11

21

dan selanjutnya mencari P-1

=

=

=

1112

112

11

1P

sehinggaP


P-1 AP =

12

11

10

01

11

21

=

22

21

11

21

=

01

20

Langkah 6. Proses Penyulihan (subsitusi)

Karena matriks berbentuk diagonal dan diketahui D = P-1 AP dan Y =

PU sehingga Y = PU menghasilkan sistem diagonal baru.

U = DU

=

01

20

U

Diperoleh persamaan diferensial baru dalam bentuk y = cerx.

u1 = u1

u2 = 2u2

Langkah 7. Memperoleh penyelesaian diferensial dalam bentuk y = cerx.

u1 = c1ex

u2 = c2e2x

sehingga

U =

x

x

ec

ec

22

1

Dari Y = PU menghasilkan Y penyelesaian baru.

Y =

2

1

yy

=

11

21

x

x

ec

ec

22

1=

x

x

ec

ec

1

Documents

skripsi sri.pdf