Upload
buidang
View
277
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO
Skripta – Inženjerska matematika 1
Odgovori na pitanja za usmeni ispit 05/06 i 06/07
Agić Haris
Odgovori na pitanja su pronađeni u predavanjima prof. Huseta Fatkića, skripti Amara i Nejre koju možete naći na http://prva.etf.ba, knjizi Analiza 1 prof. Jukić, koja se nalazi na http://prva.etf.ba
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 2
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 3
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 4
1. Pojmovi (logičkog) iskaza i predikata.
Dio matematičke logike koji proučava iskaze (izjave, logičke sudove) naziva se logika
iskaza (Booleova algebra iskaza, iskazni račun, račun izjava) i moguće ju je zasnovati
aksiomatski. Menutim, za potrebe i ciljeve ovog kursa dovoljno je to učiniti intiuitivno,
opisno (na zadovoljavajući, popularan način). U tom smislu, u logici iskaza polazimo od
jednog skupa – označimo ga sa I – čije elemente nazivamo iskazima i pretpostavljamo da
svaki iskaz ima jednu i samo jednu od osobina :
(i) istinit je (tačan je),
(ii) lažan je (netačan je , neistinit je).
Iskazi se obično označavaju malim slovima latinice : p, q, r, ... (sa ili bez indeksa).
Iskazna logika može imati razne interpretacije (realizacije). Jedna od njih je da iskaze
interpretiramo kao smislene rečenice nekog govornog jezika (npr. engleskog jezika) koje
mogu biti samo istinite ili samo lažne. U matematici se istinit iskaz naziva stav (tvrdnja,
teorema).
Iz pojedinih iskaza (tj. od elemenata skupa I ) tvorimo nove složene iskaze
povezujući polazne iskaze veznicima, odnosno negirajući ih.
Za iskaznu formulu F (složeni iskaz) kažemo da je
tautologija (identički istinita) akko je F =T za sve vrijednosti svih njenih iskaznih slova
(iskaza).
Predikat je odnos između promjenljivih veličina, kojeg izriče iskazna funkcija. Opštije, predikat može biti i n – dimenzionalni
(predikat dužine n) za n No, No = { 0, 1, 2, ... } pri čemu se pod predikatima dužine 0
smatraju prosti iskazi (tj. elementi skupa I).
2. Pojmovi binarne relacije i preslikavanja (funkcije).
Definicija 1.2.3. Svaki podskup R Dekartovog proizvoda AxB zove se binarna relacija
iz A u B (ili relacija od A prema B, ili binarna relacija izmenu elemenata skupa A i elemenata
skupa B). Pritom A je polazni skup (ili skup polaženja) binarne relacije R, a B je dolazni
skup (ili skup dolaženja) binarne relacije R. Za element a A kaže se da je u relaciji R sa
b B i pišemo R(a, b), ili aRb (čita se: a je u relaciji R sa b) akko je (a, b) R. Umjesto
simbola R, često se koristi i oznaka .)
Općenito, ako su A1, A2, ... , An skupovi, onda svaki podskup R od A1x A2x ... x An
zovemo n-arnom relacijom menu elementima tih skupova. Ako je A1 = A2 = ... = An = A, onda
govorimo o n-arnoj relaciji na A (ili relaciji dužine n u A).
Osobito važan slučaj binarne relacije iz A u A je onaj kada je A : = R. Pri grafičkom
predstavljanju bilo koje binarne relacije R R x R važno je znati da je skup R x R (tzv.
Dekartova ravan) moguće poistovjetiti sa skupom svih tačaka u ravni u kojoj je uveden
Dekartov koordinatni sistem.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 5
Definicija 1.2.4. Za binarnu relaciju AxA kažemo da je:
(I) refleksivna akko (a A) a a (ekvivalentno: A );
(II) antirefleksivna akko (a A) a non a (ekvivalentno: A = );
(III) simetrična akko (x y y x) (ekvivalentno: = -1);
(IV) antisimetrična akko (x y y x)⇒ x = y (ekvivalentno: -1= A);
(V) tranzitivna akko (x y y z⇒ x z) (ekvivalentno: o );
(VI) jednoznačna akko presjek (lijevi presjek) relacije (lijevi presjek binarne relacije
AxB elementom a A definira se sa (a):={b B|(a,b) }) bilo kojim
elementom a A je ili prazan skup, ili jednočlan skup;
(VII) relacija ekvivalencije (relacija klasifikacije, ekvivalentnost) akko (I) (III) (V);
(VIII) relacija pretporetka (praporetka, kvaziporetka) akko zadovoljava (I) (V);
(IX) relacija parcijalnog poretka*) (relacija parcijalnog urenaja) akko (I) (IV) (V);
(X) relacija totalnog ili linearnog, ili savršenog poretka, ili totalnog urenaja akko
(I) (IV) (V) (d), gdje je (d) uslov dihotomije, tj.
(d) (x,y A) (x y) (y x).
Relacije parcijalnog poretka i relacije totalnog poretka zovu se relacije poretka.
Općenito, pod punom binarnom relacijom iz A u B podrazumijeva binarna relacija : =AxB
(relacija A je
prazna ili pusta binarna relacija).
Ako je tranzitivna i antisimetrična relacija na skupu X, onda se zove relacija
(parcijalnog poretka) na skupu X, a za X se kaže da je tom relacijom (parcijalno) urenen.
Ako je relacija poretka (relacija totalnog poretka, odnosno relacija parcijalnog poretka)
na X, onda joj možemo pridružiti relaciju strogog poretka (strogog totanog poretka, odnosno
strogog parcijalnog poretka, respektivno) na skupu X koja se obično označava sa < (ili p ) i definira ovako:
x < y. def (x y) (x y).
Definicija P.3. Neka su X i Y dva skupa. Preslikavanje (ili funkcija) skupa X u
skup Y je urenena trojka (X, Y, f ), koja se sastoji od skupa X, kojeg zovemo domen, skupa Y,
kojeg zovemo kodomen, te nekog pravila f, pomoću kojeg svakom elementu x X
pridružujemo neki, potpuno odreneni, element y Y (koji ovisi o x). Uobičajena oznaka za
preslikavanje je f: X Y ili kraće f. O elementima x X često se govori kao o nezavisno
promjenljivoj (nezavisnoj varijabli) ili argumentu preslikavanja (funkcije), a o elementu y Y govori se kao o zavisnoj promjenljivoj (zavisnoj varijabli) preslikavanja (funkcije) f.
Graf (grafik, dijagram) preslikavanja (X, Y, f ) je skup F: ={(x, f(x)): x X}( X Y).
Slika skupa A X pri preslikavanju f: X Y je skup f(A) : = {y Y: x A
y = f(x)} Y, ili kraće f(A) : = {f(x): x A} Y.
Skup (svih) vrijednosti funkcije f: X Y je skup R(f) : = {f(x): x X}, tj.
R(f) = f(X). Skup R(f) često se označava i sa Im (f) i zove se slika preslikavanja (slika
funkcije) f.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 6
3. Pojmovi konačnog, prebrojivog, diskretnog i neprebrojivog skupa.
Za skup A kažemo da je konačan akko A = ( n N ) A {1, 2,..., n . Ako je
A = , onda kažemo da je kardinalni broj skupa A jednak 0. Ako je A {1, 2,..., n , onda
kažemo da je kardinalni broj skupa A jednak n i pišemo | A | = n. Za skup A kažemo da je
beskonačan akko A nije konačan skup.
Za skup A kažemo da je prebrojiv (izbrojiv) akko je A ekvipotentan s nekim
podskupom skupa N. Ako skup nije prebrojiv, kažemo da je neprebrojiv.
4. Složena funkcija i inverzna funkcija.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 7
5. Skup (i polje) realnih brojeva R i algebarske operacije s realnim brojevima.
Aksioma (R 15) je najvažnija za uvođenje osnovnih pojmova analize i ona se naziva aksiomom
potpunosti ili aksiomom neprekidnosti.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 8
6. Okolina tačke u R i u R , tačke gomilanja skupa A ( R), ograničeni i neograničeni
intervali. Apsolutna vrijednost realnog broja i trougaona nejednakost.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 9
7. Metod indukcije i Newtonova binomna formula.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 10
8. Polje kompleksnih brojeva C. Algebarski oblik, realni i imaginarni dio kompleksnog broja, konjugirano kompleksni brojevi i njihova svojstva.
Na osnovu (1.4.1), (1.4.2) i aksioma za sabiranje i množenje u skupu R, lako se
provjeri da je (C, +, ) polje. Kompleksne brojeve (x, 0) zovemo realnim brojevima. Sve ostale kompleksne brojeve, tj.
elemente (x, y) C \ R, zovemo imaginarnim brojevima.
Kompleksne brojeve kod kojih je prva komponenta jednaka 0, tj. elemente (0, y) C
(y 0) zovemo čisto imaginarnim brojevima. Specijalno, element (0, 1) C zovemo, po
tradiciji, imaginarna jedinica i označavamo sa i (ili j ), tj. po definiciji je (0, 1) = i.
(x, y) = x + iy, predstavlja algebarski oblik (tzv. standardni oblik) kompleksnog broja. Dakle,
kompleksne brojeve u algebarskom obliku prikazujemo kao linearnu kombinaciju realne
jedinice “1” i imaginarne jedinice “i”, odnosno z = x 1 + y i = x + iy.
Kod kompleksnog broja z = (x, y) = x + iy broj x zove se realni dio, a y imaginarni
dio (komponenta) kompleksnog broja z i piše se
x = Re (z) (ili Re z), y = Im(z) (ili Im z).
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 11
9. Modul kompleksnog broja i trougaona nejednakost. Argument, trigonometrijski I eksponencijalni oblik kompleksnog broja.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 12
10. Moivreova teorema o proizvodu, količniku i stepenovanju kompleksnih
brojeva. Korjenovanje kompleksnih brojeva.
11. Pojmovi (konačnog i beskonačnog) niza,harmonijskog, aritmetičkog i geometrijskog niza.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 13
12. Pojam i osnovna svojstva granične vrijednosti niza. Tačke gomilanja niza.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 14
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 15
13. Bolzano-Weierstrassova teorema za skupove i nizove. Monotoni nizovi i broj e.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 16
14. Pojmovi (beskonačnog) reda (u R i u opštem normiranom vektorskom
prostoru), njegove konvergencije i divergencije.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 17
15. Potreban uslov za konvergenciju reda. Geometrijski, harmonijski i opšti harmonijski
(hiperharmonijski) red.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 18
16. Redovi s nenegativnim članovima (pozitivni redovi). Osnovni kriteriji za ispitivanje
konvergencije pozitivnih redova.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 19
17. Redovi sa članovima s promjenljivim znakom. Leibnizov kriterij i apsolutna konvergencija
Ako red ima beskonačno mnogo pozitivnih i beskonačno mnogo negativnih članova, onda ne
možemo (bar neposredno) primijeniti kriterije za konvergenciju pozitivnih redova, te nam trebaju
novi kriteriji za ispitivanje konvergencije takvih redova.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 20
18. Redovi s kompleksnim članovima.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 21
19. Opšti pojmovi o realnoj funkciji jedne realne promjenljive (definicija pojma realne funkcije jedne realne promjenljive, (prirodni) domen, grafik, zadavanje i opšta svojstva).
No, u matematičkoj analizi se realna funkcija najčešće zadaje nekom formulom ili, kako se to
drugačije kaže,
analitičkim izrazom.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 22
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 23
20. Osnovne elementarne funkcije.
Osnovne elementarne funkcije realne promjenljive su (konstante i identička funkcija i)
eksponencijalne i logaritamske funkcije, stepene funkcije, trigonometrijske i inverzne
trigonometrijske funkcije. U narednom poglavlju ćemo vidjeti da se sve tzv. elementarne
funkcije mogu izraziti samo pomoću eksponencijalne i kogaritamske funkcije, koje su, prema tome, osnovne funkcije u matematici.
A = {a na r | r pripada Q, r < x}
B = {a na r | r pripada Q, r > x}
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 24
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 25
21. Pojam i osnovna svojstva granične vrijednosti (limesa) realne funkcije jedne realne
promjenljive.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 26
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 27
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 28
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 29
22. Egzistencija limesa za monotone funkcije. Poznati limesi. Tehnike računanja limesa.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 30
23. Primjena asimptotskih razvoja za izračunavanje limesa.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 31
24. Asimptote: horizontalna, vertikalna i kosa.
25. Pojmovi neprekidnosti, tačaka prekida i singulariteta realne funkcije jedne realne promjenljive.
U skladu sa definicijom 4.1.1. tačka u kojoj neka funkcija nije definirana ne može biti njena
tačka prekida (čak i ako je tačka gomilanja njenog domena).
Svaku tačku gomilanja x0 domena D funkcije f : D K (D, K R)
ćemo zvati singularna tačka ili singularitet funkcije f ako x0 D .
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 32
Singularne tačke realne funkcije f definirane na skupu D ( R) klasificiraju se analogno kao i prekidi u smislu definicije 4.1.3.
26. Lokalna i globalna svojstva neprekidnih funkcija.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 33
Pravilo o neprekidnosti složene funkcije: Kompozicija dviju neprekidnih funkcija također je neprekidna funkcija.
27. Elementarne funkcije i njihova neprekidnost.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 34
28. Pojam kompleksne funkcije. Osnovne elementarne kompleksne funkcije.
29. Pojmovi izvoda (derivacije) i njegova geometrijska i fizikalna interpretacija. Jednostrani I beskonačni izvodi.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 35
30. Pojmovi diferencijabilnosti i diferencijala realne funkcije jedne realne
promjenljive. Svojstva diferencijabilnih funkcija.
31. Pravila deriviranja (diferenciranja), tehnika diferenciranja.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 36
32. Izvodi i diferencijali višeg reda.
33. Osnovne teoreme diferencijalnog računa.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 37
34. L' Hospitalovo pravilo i Taylorova formula.
35. Primjena izvoda na ispitivanje (toka i crtanje grafika) funkcija.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 38
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 39
36. Pojmovi primitivne funkcije i neodređenog integrala.
37. Osnovna svojstva i osnovne metode izračunavanja neodređenog integrala.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 40
38. Pojmovi određenog (Riemannovog) integrala i integrabilnosti realnih funkcija jedne realne promjenljive.
39. Klase integrabilnih funkcija. Osnovna svojstva određenog integrala. (odgovor iz knjige Matematicka analiza 1 – Jukic, skinuta sa prva.etf.ba)
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 41
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 42
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 43
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 44
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 45
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 46
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 47
40. Teorema o srednjoj vrijednosti određenog integrala. Fundamentalne teoreme integralnog računa.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 48
41. Metoda smjene (supstitucije) promjenljive i metoda parcijalne integracije za izračunavanje određenog integrala.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 49
42. Pojmovi nesvojstvenih integrala prve i druge vrste i njihove glavne vrijednosti.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 50
43. Osnovni kriterijumi za konvergenciju nesvojstvenih integrala. Apsolutna konvergencija.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 51
44. Definicije pojmova površine lika u ravni, dužine luka krive, površine obrtne
površi i zapremine obrtnog tijela i obrasci za izračunavanje vrijednosti tih veličina.
45. Pojmovi obične, apsolutne i uniformne konvergencije niza i reda funkcija. Cauchyjev I Weierstrassov kriterij uniformne konvergencije. Svojstva uniformno konvergentnih funkcionalnih nizova i redova.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 52
46. Pojam stepenog (potencijalnog) reda. Abelov stav (kriterij konvergencije), radijus i interval konvergencije za stepene redove.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 53
47. Abelova teorema i osnovna svojstva stepenog reda.
48. Taylorov red.
Skripta – Inženjerska matematika 1 (pitanja za usmeni 05/06 i 06/07) Strana 54
49. Stepeni redovi s kompleksnim članovima.