1. Vrste geodetskih mreža. Metode uspostavljanja geode tskih mreža.

Poznato je da pod geodetskom mrežom podrazumevamo skup tačaka čije su koordinateodreñene u nekom koordinatnom sistemu i koje su meñusobno povezane. Geodetskemreže tačaka imaju namenu da se na osnovu njihovih poznatih pozicija u datomkoordinatnom sistemu definišu položaji drugih tačaka u istom sistemu.

- Postoje: visinske, horizontalne i trodimenzionalne mreže.Visinske mreže su skup tačaka (repera) sa poznatim kotama (visinom iznad nivoa

mora)Horizontalne mreže predstavljaju skup tačaka sa poznatim 2D koordinatama u

datom kkordinatnom sistemu (X i Y, latituda i longituda i sl.)Ovakva podela mreža je samo okvirna jer je poznato da i reperi moraju imati

odreñen neki horizontalni položaj, kao što i tačke horizontalne mreže moraju imatiodreñenu kotu. Razlika je samo u tačnosti odreñivanja ovih koordinata.

Razvoj geodezije i globalnog pozicioniranja kao i potreba za predstavljanjemprostora u 3D dovodi do potrebe za trodimenzionalnim mrežama, čije tačke imajudefinisane sve tri prostorne koordinate.

- Sa aspekta inženjerskog pristupa važna je podela na državne i lokalne mreže.Ove mreže se razlikuju po: tačnosti, geometriji i rasprostranjenosti.Državna mreža pokriva područje cele države ili veći njen deo, dok LGM pokriva

samo zonu grañevinskog objekta. Dok je geometriju državne mreže lakše isprojektovati,to geometriju LGM diktira topografija terena na kom se gradi objekat. I u pogledutačnosti LGM je mnogo tačnija jer se zahteva i veća tačnost obeležavanja sa LGM zbogčega se uglavnom i razvija a ne koristi se državna.

2. Lokalne geodetske mreže. Namena i opšte karakter istike.Lokalne geodeske mreže (LGM) se razvijaju za jedan manji deo prostora, obično

sa namerom da pokriju zonu grañenja objekata za koji se razvijaju. Namena ovih mrežaje da služe za prostorno lociranje objekata, obeležavanje istog, praćenje grañenja ipraćenje objekata tokom održavanja i eksploatacije. Projektuju se u zavisnosti od vrste iveličine objekta za koji se razvijaju i tražene tačnosti koju treba da obezbede. Oblik LGMje često uslovljen konfiguracijom terena, jer se objekti često grade na veomanepristupačnim terenima. Stoga LGM mora da se projektuje tako da bude funkcinalnatokom celog perioda grañenja i eksploatacije objekata. Mora se obezbediti da tačkeLGM budu dovoljno blizu objekata kako bi se sa tačaka mreže moglo vršiti obeležavanjei snimanje, ali i dovoljno daleko da se pri grañenju objekta ne ugrozi stabilnost tačakamreže. Mreža se mora uspostaviti tako da projektovani objekti pri grañenju ne zaklonevidljivost izmeñu tačaka mreže. Dizajn i oblik mreže kao i tačnost odreñivanja koordinatamreže moraju se postaviti tako da se sa sigurnošću obezbedi projektom tražena tačnostobeležavanja. Polazi se sa ciljem da tačnost odreñivanja pozicija tačaka mreže bude bartri puta veća od potrebne tačnosti obeležavanja. To se proverava i projektantu iinvestitoru garantuje na osnovu prethodne ocene tačnosti. U slučaju da prethodnaocena tačnosti pokaže da ovaj uslov nije zadovoljen moraju se menjati oblik mreže ilitačnost merenja merenih veličina. Dakle u tom slučaju potrebno je pogustiti mrežu ilipromeniti njen dizajn ili meriti neke nove veličine ili meriti instrumentima koji obezbeñujuveću tačnost i sl.

Pošto grañenje i praćenje nekih objekata traje dug vremenski period moguće jeprojektovati LGM različite tačnosti za različite faze radova kako se nebi moralaobezbeñivati visoka tačnost kad to nije potrebno (zemljani radovi i sl.) što se definiše saprojektantom.

Namena LGM:- Definiše matematičku osnovu za prostorno lociranje objekata- Za obeležavanje karakterističnih tačaka, linija i površi grañevinskih objekata- Za kontrolu geometrije u toku gradnje- Za praćenje pomeranja objekata - mreža se proširuje i tačkama van zone očekivanihdeformacija kao i tačkama na objektu.

Opšte katrakteristike LGM su:- Mreža se projektuje u fazi idejnog projekta na osnovu pozicije objekata- Projekat mreže treba da obuhvati celo radilište i da služi u svim fazama rada- Mreža se kod većih objekata razvija po nivoima a kod visokih po spratovima- Tačnost mreže mora biti 1/3-1/5* PTO- Oblik mreže, plan opažanja i tačnost merenja zavise od: karakteristika objekta,konfiguracije terena i zahtevane tačnosti

– Tačke objekta i tačke mreže moraju biti u istom koordinatnom sistemu–

3 . Modeli lokalnih geodetskih mreža. Od modela LGM imamo:

- LGM Tunela (nadzemne, portalne, podzemne)- LGM mostova- LGM Brana- LGM linijskih objekata- LGM za delove objekata- LGM za ostale manje objekte

4 . Datumi lokalnih geodetskih 1D, 2D i 3D mreža. Datum mreže je u stvari broj koji pokazuje koliko parametara definiše mrežu u

datom koordinatnom sistemu. Parametri datuma definišu mrežu po položaju, obliku iveličini.

Ako se parametri datuma dobijaju merenjem tada je reč o neslobodnim mrežamadok se u slučaju kad se parametri datuma definišu proizvoljno radi o slobodnimmrežama.

Datum 1D mreža je 1 i to je definicija visinske mreže po visini. Datum 2D mrežaje 4 i to su dva parametra translacije, rotacija i razmera. Datum 3D mreža je 7 i to su triparametra translacije, tri parametra rotacije i razmera.

Broj nedostajućih parametara datuma je defekt mreže.

5 . Projekat LGM. Postupak izrade i realizacija. Projekat LGM podrazumeva:

- Obezbeñenje topografskih podloga za projektovanje- Georeferenciranje pozicija projektovanih objekata- Definisanje PTO i kontrole objekta- Projekat geometrije mreže (da obuhvati ceo objekat, da tačke mreže budu blizu zbogobeležavanja i daleko zbog zaštite od oštećenja)- Prethodnu ocenu tačnosti simulacionom metodom (TTM/3<PTO)- Izrada elaborata orjentacionog sadržaja (pravna regulativa, tehnički izveštaj,numerička obrada, grafička obrada.

Realizacija projekta LGM obuhvata:- Rekognosciranje- Stabilizaciju i- Merenja

LGM se može realizovati kao: geodetski četvorougao, lanac četvorouglova, lanactrouglova, mreža trouglova, centralni sistem, kombinacija centralnih sistema,, lanaccentralnih sistema i sl.

6. Geodetska mreža za brane. Prethodna ocena ta čnosti.Geometrija mreže za potrebe projektovanja i obeležavanja brane zavisi od njene

složenosti odnosno od rasporeda i veličine njenih sastavnih delova. Oblik geodetskemreže je mreža trouglova, geodetskih četvorouglova ili centralni sistem koji čine malutrigonometrijsku mrežu i u najviše slučajeva samostalnu. Tačnost mreže mora biti velika.Uticaj grešaka u dužini osnovice ima veliki značaj, pa se postavljaju dve osnovice. Kodovakvih objekata se obavezno osovina objekta uključuje u geodetsku mrežu kao jednatrigonometrijska strana, ili ako je osovina objekta krivojinijska onda se uključuju glavneosovine ili temna krivina. Metod koji se primenjuje kod obeležavanja je metodpresecanja pravaca napred ili konbinovanog presecanja.

Pogušćavanje mreže na gradilištu vrši se poligonometrijskim vlacima sa kojih seobeležavaju temeljne jame i temelji objekta.

Moramo imati u vidu pre svega da li se radi o nasutoj brani ili betonskoj brani.Nasute se grade u slojevima po celoj dužini dok se betonske grade po lamelama pamoramo voditi računa da nam raspored tačaka za obeležavanja bude takav da možestalno da pokriva pravcima za presecanje sve lamele na svim visinama grañenja. Zbogove činjenice tačke se moraju nalaziti dosta visoko na padinama brda jedne i drugestrane reke.

Za nasute brane karakteristično je da su u nižim delovima vrlo široke. Mreža zaobeležavanje treba da ima oblik pravougaonika pri čemu su stranice pravougaonikaorijentisane tako da su paralelne i upravne glavnoj podužnoj osovini brane.

Tačke koje definišu mrežu pravougaonika se rasporeñuju prema projektu braneu zavisnosti od terenskih uslova i najčešće imaju nepravilan raspored. Njihovoodreñivanje se najjednostavnije može izvesti u vlaku koji se oslanja na trigonometrijsketačke.

Nivelmanska mreža čini visinsku osnovu gradilišta. Mora se razviti na obe stranereke i povezati u jedinstven visinski sistem.

Kod velikih gradilišta treba razviti nivelmansku mrežu 1 reda gde je srednjakvadr. Greška mha po 1 km dužine vlaka oko 1-2 mm, a stranice mhs oko 0.25 mm.Razmak repera mreže 1 reda je od 1.5-2 km.

Kod dugačkih akumulacija mora biti odreñeno najmanje 3-5 visinskih razlikapreko reke za povezivanje mreže leve i desne obale. Projekat nivelmanske mreže 2. Reda treba da se uklopi u sastavne delovehidrotehničkog čvora na primer krajevi profila na akumulaciji za ispitivanje nanosa,osnovni reperi u zoni brane, reperi kod preliva. Nivelmanska mreža 2 reda treba da jekategorije preciznog nivelmana srednja kv. Greska po 1 km od 1.5-3mm. Na krajuostaje nivelmanska mreža 3 reda koju čine radni reperi koji se postavljaju u bliziniobjekata u sklopu hidrotehničkog čvora i služe da se direktno sa njh vrše visinskaobeležavanja i kontrole u procesu grañenja.

Mreža tačaka za ispitivanje deformacija i pomeranja u procesu grañenja i docnijeu periodu održavanja se nalazi neposredno uz grañevinu koju treba ispitati na pr. Branu.Njena glavna karakteristika je da se mora sastojati od apsolutno stabilnih tačaka koje sepri deformacionim merenjima nazivaju osnovnim tačkama. Nastoji se da tačkepredviñene za odreñivanje pomeranja u horizontalnoj ravni služe i kao osnovni reperi.

Nivelmanska mreža za velike objekte treba da bude podeljena u dva reda. 1 redosnovne stabilne tačke locirane dalje od objekta koji pružaju garanciju stabilnosti.

Mikrotrigonometrijska mreža za ispitivanje pomeranja i deforamacija uhorizontalnoj ravni sastoji se od sistema tačaka projektovanih u dve zone. Prva grupatačaka nalazi se na terenu neposredno pored objekta a druga dalje nizvodno od brane.

Prethodna ocena taчnosti se radi simulacionim metodom baziranim nasledećim parametrima:

- Moguća geometrija lokalne mreže- Pretpostavljena tačnost merenja elemenata mreže- Metoda posrednog izravnanja sa ocenom tačnosti merenih i nemerenihparametara mreže- Kriterijumi kvaliteta parametara mreže u funkciji potrebne tačnosti obeležavanja( po pravilu TTM/3<PTO ) moraju biti ispunjeni u potpunosti

Prethodna ocena tačnosti treba da da dva osnovna odgovora i to 1. Ako se radi sa instrumentom koji ima svoju ocenu tačnosti kakva će biti na kraju

završna ocena tačnosti mreže koordinata, i2. Ako se unapred zada tačnost projektovane mreže koordinata sa koji instrumentom

treba raditi da bi se ta tačnost postigla. Danas je u upotrebi bar nekoliko algoritama koji se koriste u prethodnoj oceni tačnosti ito:- metod najmanjih kvadrata- najmanja linearna ugovorena ocena tačnosti - metod maksimalne verodostojnosti

Za samu prethodnu ocenu tačnosti nije potrebno imati nikakva merenja, potrebnoje samo raspolagati nekom geometrijom lokalne mreže, šta planiramo da merimo umreži i kojim instrumentom ćemo to meriti

Iz procesa izravnanja se dobijaju najverovatnije vrednosti traženih veličina, bezobzira da li se radi o posrednom ili uslovnom izravnanju. Imamo veci broj merenja odtrazenih velicina-nepoznatih i tada se koristi metoda najmanjih kvadrata, kojaomogucava da se sistem jednačina popravaka za svaki mereni elemenat lok geodmreže prevede u sistem normalnih jednačina čijim rešenjem uz ispunjenje uslovaminimuma se dobijaju najverovatnije vrednosti traženih koordinata, koje nisu tačne ali sunajverovatnije, sto znači da izmedju tačnih i onih najverovatnih kada se napravi razlikasuma kvadrata svih odstupanja mora da bude minimum.

Iz procesa izravnanja proističe da izravnanje po metodi najmanjih kvadrataposredno izravnanje daje te najverovatnije vrednosti traženih veličina. Pored poznavanjanajverovatnijih vrednosti traženih veličina potrebno je i znati i sa kojom tačnošću su tetražene veličine dobijene, znači da to podrazumeva takozvanu ocenu parametaraprocesa izravnanja. Ocenjuje se tačnost koordinata, srednja greška koordinata jednetačke elipse grešaka, kada je u pitanju ocean tačnosti svih merenih elemenata geodmreže, ocena tačnosti posrednih nemerenih elemenata i mnoge druge oceneparametara i definisanje korelacione zavisnosti izmedju merenih i traženih parametaramogu biti korišćeni u analizi kvaliteta lok geod mreže. Kada je u pitanju ocena tačnosti izvršenih merenih i dobijenih vrednosti, ona je takodjeveoma važna u procesu izravnanja da bismo znali šta smo dobili iz izravnanja jedne lokgeod mreže ili ako se radi o predhodnoj oceni tacnosti odredjivanja koordinata lok geodmreže da bismo znali šta će se dobiti ukoliko će se takva geod mreža koristiti.

7. Geodetska mreža za mostove. Prethodna ocena ta čnosti.Oblik geodetske mreže za obeležavanje mostova je mreža trouglova ili

geodetskih četvorouglova koji čine malu trigonometrijsku mrežu. Tačnost mora biti velikajer uticaj greške u dužini osnovice ima veliki značaj pa se u navećem broju slučajevapostavljaju dve osnovice. Obavezno se osovina objekta uključuje u mrežu kao jednatrigonometrijska strana ili ako je osovina krivojinijska uključuju se glavne osovine ilitemena krivuna. Metod koji se oristi za obeležavanje je metod presecanja napred ilimetod kombinovanog presecanja. Mostovska triangulacija se tretira kao samostalna mreža, gde se za početnukoordinatu jedne tačke uzima koordinata odreñena sa najbliže tačke koja je korišćenapri snimanju zemljišta, a za pravac jedne koordinatne osovine obično osovina mosta.Izravnanje se izvodi po načinu posrednih merenja. U izravnanje se uključuju sveizmerene dužine.

Ocena tačnosti se odnosi na dužinu osovine kod pravolinijskih mostova, dok sekod krivolinijskih ocenjuju dužine tangenata i skretni ugao koji se dobija kao razlikadirekcionih uglova pravaca.

Tačke mostovske triangulacije treba da su i reperi sa apsolutnim kotama. I bliziniobalnih stubova i stubova na suvom mogu se postaviti radni reperi koji služe zaneposredna visinska obeležavanja – povremeno treba kontrolisati stabilnost radnihrepera. Ova visinska osnova se koristi za obeležavanje mosta i ispitivanje deformacija.

Problem je povezivanje repera jedne i druge obale, izvodi se geometrijskim(prepreka do 100m), tigonometrijskim, hidrostatičkim i hidrodinamički nivelmanom.

Zadatak obeležavanja sastoji se u obeležavanju stubova pošto se prethodnoodredi dužina osovine mosta izmeñu tačaka A i B ako je most pravolinijski. Kodkrivolinijskih mostova potrebno je teme krivine uključiti u triangulaciju kao i po jednatačka na jednom i drugom pravcu trase.

Opažanja pravaca u mostovskoj triangulaciji izvodi se metodom zatvaranjahorizonta ili girusnom metodom. Osim pravaca treba izmeriti i nekoliko dužina.

Prethodna ocena taчnosti se radi simulacionim metodom baziranim na sledećimparametrima:

- Moguća geometrija lokalne mreže- Pretpostavljena tačnost merenja elemenata mreže- Metoda posrednog izravnanja sa ocenom tačnosti merenih i nemerenihparametara mreže- Kriterijumi kvaliteta parametara mreže u funkciji potrebne tačnosti obeležavanja( po pravilu TTM/3<PTO ) moraju biti ispunjeni u potpunosti

Prethodna ocena tačnosti treba da da dva osnovna odgovora i to 1. Ako se radi sa instrumentom koji ima svoju ocenu tačnosti kakva će biti na krajuzavršna ocena tačnosti mreže koordinata, i2.ko se unapred zada tačnost projektovane mreže koordinata sa koji instrumentomtreba raditi da bi se ta tačnost postigla.

Danas je u upotrebi bar nekoliko algoritama koji se koriste u prethodnoj ocenitačnosti i to:- metod najmanjih kvadrata- najmanja linearna ugovorena ocena tačnosti - metod maksimalne verodostojnosti

Za samu prethodnu ocenu tačnosti nije potrebno imati nikakva merenja, potrebnoje samo raspolagati nekom geometrijom lokalne mreže, šta planiramo da merimo umreži i kojim instrumentom ćemo to meriti

Iz procesa izravnanja se dobijaju najverovatnije vrednosti traženih veličina, bezobzira da li se radi o posrednom ili uslovnom izravnanju. Imamo veci broj merenja odtrazenih velicina-nepoznatih i tada se koristi metoda najmanjih kvadrata, kojaomogucava da se sistem jednačina popravaka za svaki mereni elemenat lok geodmreže prevede u sistem normalnih jednačina čijim rešenjem uz ispunjenje uslovaminimuma se dobijaju najverovatnije vrednosti traženih koordinata, koje nisu tačne ali sunajverovatnije, sto znači da izmedju tačnih i onih najverovatnih kada se napravi razlikasuma kvadrata svih odstupanja mora da bude minimum.

Iz procesa izravnanja proističe da izravnanje po metodi najmanjih kvadrataposredno izravnanje daje te najverovatnije vrednosti traženih veličina. Pored poznavanjanajverovatnijih vrednosti traženih veličina potrebno je i znati i sa kojom tačnošću su tetražene veličine dobijene, znači da to podrazumeva takozvanu ocenu parametaraprocesa izravnanja. Ocenjuje se tačnost koordinata, srednja greška koordinata jednetačke elipse grešaka, kada je u pitanju ocean tačnosti svih merenih elemenata geodmreže, ocena tačnosti posrednih nemerenih elemenata i mnoge druge oceneparametara i definisanje korelacione zavisnosti izmedju merenih i traženih parametaramogu biti korišćeni u analizi kvaliteta lok geod mreže.

Kada je u pitanju ocena tačnosti izvršenih merenih i dobijenih vrednosti, ona jetakodje veoma važna u procesu izravnanja da bismo znali šta smo dobili iz izravnanjajedne lok geod mreže ili ako se radi o predhodnoj oceni tacnosti odredjivanja koordinatalok geod mreže da bismo znali šta će se dobiti ukoliko će se takva geod mreža koristiti.

8 . Klasifikacija tunelskih mreža. Prethodna ocena ta čnosti proboja tunela. Kod tunelskih mreža razlikujemo tri LGM i to: nadzemnu, portalnu i podzemnu.Specifičnost geodetskih mreža kod tunela je u tome što postoji nadzemni deo

mreže koji se nalazi van tunela i podzemni deo mreže koji se nalazi u tunelu. Podzemni deo mreže se realizuje uporedo sa napredovanjem proboja tunela.

Dugo vremena je taj deo mreže imao oblik slepog vlaka sa oba kraja tunela (portali).Vremenom je ustanovljeno da poligonski vlak a pogotovo slepi ima malu pouzdanost pase za podzemni deo mreže primenjuje dupli poligonski vlak, zatvoreni vlak, lanactrouglova i lanac četvorouglova. Tako je povećana pouzdanost geodetske mreže utunelu koja služi za proboj tunela. Koji oblik mreže će se koristiti zavisi od toga da li jetunel pravolinijski ili krivolinijski.

Nadzemnu mrežu čini tunelska triangulacija koja prati trasu tunela i to jeosnovna mreža za obeležavanje tunela i postavlja se u uzanom pojasu u obliku lancatrouglova, lanca četvorouglova ili lanca centralnih sistema.

Tunelska triangulacija za tunele zavisi od dužine tunela, pa se i ova triangulacijarazvija po bazisima i izravnava se kao slobodna mreža. Za dobijanje početne koordinatejedna od tačaka tunelske triang. vezuje za tačke državne triangulacije ili ako državnamreža ne postoji onda tačke geodetske osnove koja je postavljena u tu svrhu. U lancutrouglova vezni uglovi moraju biti veći od 40stepeni. Treba voditi računa da je mrežaobezbeñena sa dva bazisa, rasporeñena na krajevima mreže.

Portalne mreže se postavljaju da bi povezale nadzemnu i podzemnu mrežu iobezbedile što bolji prenos koordinata i direkcionoih uglova sa površine - osnovnemreže na podzemnu mrežu.

Trigonometrijske tačke pred portalom treba postavljati na stabilnim mestimaodreñenim prethodnim proučavanjem svih pretportalnih zemljanih i grañevinskih radovai analizom pred portalne organizacije gradilišta.

Tunelska mreža se izravnava kao slobodna samostalna mreža po metoduizravnanja uslovnih merenja. U procesu izravnanja treba u potpunosti predvideti ocenutačnosti dobijenih rezultata, što je potrebno da bi se proračunali uticaji tunelsketriangulacije na grešku proboja tunela.

Greške svih mreža (nadzemne, portalne i podzemne) utiču na tačnost probojatunela. Pošto je tolerancija za nesusret radnih osovina tunela pri proboju vrlo mala,proizilazi da ukupan zbir grešaka ovih mreža mora biti takav da se susret suprotnihradnih osovina tunela ostvari u granici usvojenog dozvoljenog odstupanja. Proračunom idetaljnom analizom obrasca za grešku pri proboju tunela, doćićemo do zaključka otačnosti koju treba postići pri merenju uglova i dužina u mrežama.

Najčešće se za prethodnu ocenu tačnosti proboja tunela koristi relativna elipsagrešaka koja definiše relativnu tačnost izmeñu dve tačke.

9. Geodetska mreža za saobra ćajnice. Prethodna ocena ta čnosti.

Kod saobracajnica osnova za snimanje je poligonski vlak koji se postavlja pododreñenim uslovima na terenu i zove se operativni poligon. Operativni pologon sesastoji od staničnih tačaka koje polaže onaj koji na mestu rukuje radom na izradi idejnogprojekta trase. On je drugo približenje ka putu po kome će proći buduća trasa (prvopribliženje je generalna trasa). Za odreñivanje tačaka operativnog poligona koristi seuzdužni profil trase. Kao početna tačka poligona uzima se tačka na trasi čija je visinadata. Operativni poligon služi za snimanje pojasa najveće širine 0.5km u kome se možepoložiti trasa saobracajnice. U slucajevima snimanja padine za polaganje trase nagibpojasa terena treba da odgovara predviñenim nagibu trase na padini. Stoga i vlak morada ima nagib sličan nagibu trase.

Operativni poligon se vezuje za državnu triangulaciju.

Za odreñivanje visinskog položaja trase postavljaju se reperi koji obrazujunivelmanski vlak i zovu se stalne tačke. Udaljenost izmeñu repera zavisi od konfiguracijeterena. Na ravnom i blago nagnutom terenu udaljenost je izmeñu 3-4km. Na strmimterenima od 1.5-2km. Izmeñu ovih repera postavljaju se radni reperi. Na mestima gde seplaniraju stalni objekti obavezno se postavljaju reperi. Svi reperi se postavljaju vanosovine trase bar na 20-30m van zone zemljanih radova.

Nivelmanski vlaci duž trase moraju da se oslanjaju na nivelmanske reperedržavnog premera.

Koristi se metod tehničkog nivelmana sa tačnošću od ±8mm po 1 km. Prethodna ocena tačnosti i ovde ima za cilj da pokaže da li projektovana mreža, i

način merenja njenih elemenata može da garantuje projektovanu tačnost obeležavanja.

10 . Model i parametri lokalne geodetske mreže. Od modela LGM imamo:

- LGM Tunela (nadzemne, portalne, podzemne)- LGM mostova- LGM Brana- LGM linijskih objekata- LGM za delove objekata- LGM za ostale manje objekte

Parametri su:-Date veličine- merene dužine- mereni uglovi- nepoznati parametri

11. Kriterijumi kvaliteta geodetskih mreža

Геодетска мрежа је потребна за свако геодетско снимање и пројектовање. Кадагеодетски задатак изискује већу тачност и када државна мрежа не задовољавапостављену тачност због свог положаја и начина стабилизације ми пројектујемолокалну геодетску мрежу тј. мрежу за посебне намене.Разлике између локалне геод.мреже и државне су у ТАЧНОСТИ И ГЕOМЕТРИЈИ.Тачност локалне г.м. зависи од потребне тачности обележавања коју дефинишепројектант и унапред је задаје у пројектном задатку. Геометрија је прилагођенаобјекту , тачке су довољно близу да се са њих може извршити обележавање ипрађење стабилности, а да се заштите од оштећења. Када пројектант дефинише потребну тачност обележавања требаиспројектовати лок.г.м. са потребним критеријумом квалитета

1- КРИТЕРИЈУМ ТАЧНОСТИ Треба дефинисати општи критеријум тачности и поузданости -одређујемо грешку положаја геодетске тачке – дефинишемо средњу грешкуи елипсу грешака - одређујемо релативну елипсу грешака којом се дефинише однос тачностиизмеђу две суседне тачке (апсолутна елипса грешака се односи на тачку ,релативна елипса грешака се односи на страну у мрежи) - одређујемо грешке мерених елемената мреже (дужине, углови, висинскераѕлике) рачунамо средње грешке из изравнања – средња грешка јединицетежине- стандардна девијација- одређујемо грешке немерених елеманата (дирекциони угао, угао, вис.раз)тачност непознатих параметара зависи зависи од тачности мерених величина ,рачунамо стандардну девијацију непознатих елемената

2- КРИТЕРИЈУМ ПОУЗДАНОСТИ су параметри који се рачунају из процесаизравнања. Постоји два критеријума поузданости :

ХОМОГЕНОСТ мрежа је хомогена ако су елипсе грешака уједначене ИЗОТРОПНОСТ мрежа је изотропна ако елипсе грешака теже кругуМоже се десити да поправка није увек највећа код тачке која има најмањутачност. Пројектујемо мрежу и унапред дефинишемо критеријум тачности.Дефинишемо тачност геодетске мреже и тачност обележавања. Дефинишемотачност мерења углова и дужина и срачунавамо утицај неоткривене грешке напоправку мерења да не буде разбацана на остале мерене величине.Ако желимо да постигнемо високу тачност тада мењамо геометрију мреже тј.погушћавамо мрежу, или повећавамо критеријум тачности. СИМУЛАЦИОНОМ МЕТОДОМ ОДРЕЂУЈЕМО ОЦЕНУ ТАЧНОСТИ ПА ТЕКОНДА ВРШИМО ПРОЈЕКТОВАЊЕ МРЕЖЕ.

12. Kriterijumi pouzdanosti geodetskih mre ž a . Teorija i analiza pouzdanosti

КРИТЕРИЈУМИ ПОУЗДАНОСТИ су параметри који се рачунају из процесаизравнања. Постоји два критеријума поузданости : - ХОМОГЕНОСТ мрежа је хомогена ако су елипсе грешака уједначене - ИЗОТРОПНОСТ мрежа је изотропна ако елипсе грешака теже кругу

Теорија поузданости геодетских мрежа- омогућује идентификовање грубихгрешака коришћењем статистичких тестова као и утицаја неоткривених грубихгрешака на коначне резултате изравнања.Анализа поузданости геодетских мрежа- указује на могућност откривања грубихгрешака или на утврђивање њиховог утицаја на оцене тражених величина уколиконису откривене грубе грешке.Анализа поузданости се односи на унутрашњу и спољашњу поузданост.Унутрашња поузданост- значи могућност откривања грубих грешака на основупоправака резултата мерених величина добијених из изравнања.Спољашња поузданост – бави се утицајем неоткривених грубих грешака наконачне резултате добијене после изравнања геодетских мрежа (координататачака, изравнате вредности, функције чији су аргументи непознате величине).

13. Unutrašnaj pouzdanost. Lokalni i globalni kriteri jumi

Унутрашња поузданост- значи могућност откривања грубих грешака на основупоправака резултата мерених величина добијених из изравнања.Ово је веома сложен проблем, јер поправке мерених величина садрже грешке свихмерених величина које су учествовале у изравнању. Једноставно је утврдити којепоправке не задовољавају жељену тачност, али је веома тешко, а некада немогућеутврдити мерену величину чија је груба грешка изазвала велику вредностпоправке.Грубе грешке се могу идентификовати ако је испуњено више услова:

- да буде добра геометрија мреже- да тачност мерења буде сагласна са одговарајућим стандардним

девијацијама односно да се поправке налазе у границама дозвољениходступања.

- да грешке мерења имају нормалну расподелу

Да би се извршила елиминација грубих грешака из резултата мерених величина упроцесу изравнања користе се методе које пружа математичка статистика. Постојелокални и глобални критеријуми.Локални- служе за откривање грубих грешака у појединим опажањима.Глобални- служе за утврђивање утицаја грубих грешака на целу мрежу.

Мрежа која задовољава ове критеријуме, омогућава највећу поузданост откривањагрубих грешака.Већу унутрашњу поузданост имају оне мреже које омогућавају најлакше откривањегрубих грешака.

Критеријуми за унутрашњу и спољашњу поузданост међусобно сукомплементарни.

Како се вредности ir налазе у интервалу онда се у истом интервалу налазе и.Утицај грубе грешке на непознате величине односно изравнате вредности меренихвеличина ће бити најмањи ако iir има што већу вредност односно iiu штомању . У оваквим случајевима најлакше је открити грубу грешку. Овајуслов у највећој мери испуњавају хомогене изотропне мреже.

minmax

min ==i

i

r

u max→ir

min→iu)1( ii ur −=

10 ≤≤ iir

10 ≤≤ iir

1→iir

0→iiu

14. Spoljašnja pouzdanost. Lokalni i globalni krite rijumi

Спољашња поузданост – бави се утицајем неоткривених грубих грешака наконачне резултате добијене после изравнања геодетских мрежа (координататачака, изравнате вредности, функције чији су аргументи непознате величине). На спољашњу поузданост утичу:

- тачност непознатих параметара- коефицијенти iir и iiu (дизајн мреже)

- квантил pt који је у функцији вероватноће pПри томе се користе методе које пружа математичка статистика.Постоје локални иглобални критеријуми. Локални- служе за откривање грубих грешака у појединим опажањима.Глобални- служе за утврђивање утицаја грубих грешака на целу мрежу

Критеријуми за унутрашњу и спољашњу поузданост међусобно сукомплементарни.

Како се вредности ir налазе у интервалу онда се у истом интервалу налазе и.Утицај грубе грешке на непознате величине односно изравнате вредности меренихвеличина ће бити најмањи ако iir има што већу вредност односно iiu штомању . У оваквим случајевима најлакше је открити грубу грешку. Овајуслов у највећој мери испуњавају хомогене изотропне мреже.

minmax

min ==i

i

r

u max→ir

min→iu)1( ii ur −=

10 ≤≤ iir

10 ≤≤ iir

1→iir

0→iiu

15. Matemati čki modeli izravnanja. Osnovne komponente

У теорији изравнања геодетских мрежа, која се базира на примени методанајмањих квадрата, постоји широк спектар различитих математичким методаизравнања. То су: изравнање по методи посредних мерења, изравнање по методиусловних мерења, изравнање по методи условних мерења са непознатимпараметрима, изравнање по методи посредних изравнања када су параметри уодређеним математичким условима.Основне компоненте методе изравнања су:

- мерене величине- стохастички модел- функционални модел- алгоритам изравнања- оцене параметара- оцена тачности- контрола квалитета

Мерене величине- То су физичке величине (углови, правци, дужине, висинскеразлике и др.) које се мере да одговарајућом тачности.Мерене величине суслучајне величине које се изражавају одговарајућим нумеричким вредностима.Мерене величине имају норамалан распоред вероватноће, У геодетским мрежамасе за мерене величине формира вектор и коресподентна коваријациона матрица.Стохастички модел - је идентичан за све методе изравнања јер се односи навектор мерених величина. Када су мерене величине у геодетским мрежамастохастички зависне величине треба користити коваријациону матрицу, а ако сунезависне онда су сви елементи ван главне дијагонале коваријационе матрицеједнаки нули.Функционални модел изравнања - Облик функционалног модела зависи одметода изравнања геодетске мреже и њене геометрије.- Изравнање по методи посредних мерења – функционални модел дефинишефункционалну везу између мерених величина и непознатих параметара.- Изравнање по методи условних мерења- дефинисан је мереним величинама уоквиру независних математичких условних једначина.- Изравнање по методи условних мерења са непознатим параметрима -дефинисан је мереним величинама и непознатим параметрима у оквирунезависних математичких условних једначина.'Алгоритам изравнања – најзначајнија компонента изравнања где се примењујеметода најмањих квадрата.Добијају се највероватније вредности за непознатепараметре које су најближе истинитим вредностима.Оцена параметара - дају потпуну информацију о резултатима мерења. ПрименомМНК се поред јединствене оцене за вектор непознатих параметара, векторизравнатих резултата мерења, вектор поправке одређује и њихова тачност. Оцена тачности- се добија на основу експерименталне стандардне девијацијејединице тежине.Контрола квалитета – Примењује се у анализи геодетских мрежа наконизравнања и односи се на примену теорије поузданости (унутрашње и спољашње)и одређивања оцена вредности појединих величина и њихове оцене тачности.

16. Metode izravnanja geodetskih mreža

У теорији изравнања геодетских мрежа, која се базира на примени методанајмањих квадрата (МНК), постоји широк спектар различитих математичкихмодела изравнања.

• Изравнање посредних мерења • Изравнање условних мерења• Изравнање условних мерења са непознатим параметрима • Изравнање посредних мерења када су параметри у одређеним

математичким условима.Код модела посредног изравнања непознати параметри ii yx , ,…, t одређују се

на основу низа мерених величина l1, l 2,.... l n под условом да сума квадрата

поправака мерених величина v i ( i =1, 2,.....,n) буде минимална.

min=⋅⋅ vPv lT за независне мерене величине

min=⋅⋅ − vQv 1l

T за зависне мерене величине

где је:v - вектор поправака мерених величина,

lP - матрица тежина мерених величина, Q 1 - матрица коефицијента мерених величина.

Број мерених величина n увек је већи од броја непознатих параметара u (n >u) .Разлика r = n – u представља број сувишно мерених величина или бројстепени слободе. Када је n = u решења су јединствена и тада не егзистираизравнање, а за n < u проблем није дефинисан и не постоје решења иизравнање.

Код изравнања геодетских мрежа неопходно је дефинисати дате величине,мерене величине и непознате параметре. Непознати параметри су најчешћекоординате тачака на пр. 2Д мрежама ( ii yx , ) или 3Д мрежама ( ii yx , ,z i ) .Вредности координата се одређује посредним путем преко величина које се мерена терену (углови, дужине, висинске разлике и др. величине).Између мерених величина и непознатих параметара успоставља сефункционалана веза која се за конкретни случај може изразити одговарајућомматематичком функцијом.

Када мерене величине стоје у неком математичком односу таква мерења називају се условна мерења а поступак одређивања изравнатих вредности мерених величина

назива се изравнање по методи условних мерења. Увек резултати мерења стоје унеким математичким односима који због сувишних мерења неће бити задовољени.

Изравнате вредности мерених величинаизражавају се у функцији мерених величина ипоправака

il̂ =li + vi

Задатак условног изравнаwа састоји се у томе да се yа све мерене величине li одреде

кореспондентне поправке vi и изравнате вредности мерених величина il̂

Општи облик изравнања представља изравнање по методи условних мерења санепознатим параметрима. Оно настаје када мерене величине и непознатипараметри учествују у истим математичким условима

Могу се појавити случајеви изравнања по методи посредних мерења каданепознати параметри треба да испуне одређене математичке услове.Оваквомешовито изравнање може имати примену при изравнању мрежа у геодетскомпремеру а нарочито оних које се користе у инжењерској геодезији када се захтевада неки елементи у тој мрежи буду константни у процесу изравнања, односно дапосле изравнања задрже вредности које су имале пре изравнања

17. Stohasti čki model posrednog izravnanja i kovarijaciona matri ca nezavisnihmerenja

Stohastički model je identičan za sve metode izravnanja jer se odnosi na vektor merenihveličina . Kada su merene veličine u geodetskim mrežama stohastički zavisne veličinetreba koristiti kovarijacionu matricu Kl ili matricu kofaktora Ql.Kl =

20σ Ql

Gde je 0σ standardna devijacija jedinice težine (a priori standardna devijacija) merenihveličina. Kada su merene veličine stohastički nezavisne onda su svi elementi van glavnedijagonale matrice K1 jednaki nuli .Kod stohističkih nezavisnih veličona kofaktorska matrica Q1 prelazi u recipročnu matricutežina P l

-1 ( Ql→ P l-1 ), odnosno (Ql

-1→P1), a kada su merenja iste tačnosti (Pl→I)

18. Funcionalni model posrednog izravnanja Oblik funkcionalnog modela zavisi od metoda izravnanja geodetske mreže I njenegeometrije.U izravnanju po metodi posrednih merenja funkcionalni model definiše funkcionalnuvezu izmeñu merenih veličina l i nepoznatih parametara X. U opštem sličaju funkcijeveze su nelinearne i pišu se u inplicitnom vektorskom obliku Î=l+v=F( X̂ ) –opšti nelinearni funkcionalni model izravnanja po modelu posrednihmerenjaÎ -vektor izravnnja (ocenjenih) veličina,l –vekter merenih veličina,v –vektor popravaka merenih veličina,F( X̂ ) –vektor nelinearnih matematičkih funkcija

X̂ -vektor izravnatih (ocenjenih) parametara

19. Vektor izravnatih parametara

Vektor izravnatih parametara X̂ predstavlja zbir vektora privremenih vrednostiparametara X0 i vektora priraštaja x̂

X̂ = X0 + x̂ , gde su

=

t

y

x

X

ˆ

.

ˆ

ˆ

ˆ

=

0

0

0

0 .

t

y

x

X

=

dt

dy

dx

x.

ˆ

20. Funkcionalni model uslovnog izravnanja. Lineari zacija funcionalnog modela

U izravnanju po metodi uslovnog merenja funkcionalni model je definisan merenimveličinama u okviru nezavisnih matematičkih uslovnih jednačina.. U opštem slučajuuslovne jednačine su nelinearne

( ) TvlFlF =+= )(ˆ -opšti nelinearni funkcinalni model izravnanja

)ˆ(lF -vektor nelinearnih matematičkih uslovnih jednačinaT-vektor teorijskih vrednosti funkcijaU svim metodama izravnanja nelinearni funkcionalni modeli prevode se u linearnemodele aproksimacijom linearnog dela Tajlorovog reda gde se za tačke razvoja koriste Rezultati merenja l I privremene vrednosti nepoznatih parametara X0

F( Xl ˆ,ˆ )=F(l+v,X0+dx)=F(l,X0)+l

F

∂∂

v + 0X

F

∂∂

dx = T

21.Функције везе мерених и тражених величина код посредногизравнања.Приближне вредности параматараКод посредног изравнања непознате величине (х,у...t) одређују се преко низа

мерених величини (l-1,l-2...l-n ),уз услов да сума квадрата њихових поправака (vi ) будеминимум.

Број мерених величина треба да буде увек већи од броја тражених величина,којесе немогу непосредно измерити,већ се њихове вредности одређују посредним путемпреко величина које меримо на терену(дужине,углови...),и између мерених и траженихвеличина мора постојати функционална зависност која се за конкретни случај можеизразити одговарајућом математичком функцијом.

Свака мерена величина(l-i ),односно њена највероватнија вредност (l*i ) може сеизразити као функција тражених величина и облика је:l*i=li+vi =Fi(xo+dx,yo+dy…to+dt ),где је Fi линеарна или нелинеарна функцуја везе мерених и немеренихпараметара мреже.Облик функције зависи од облика и врсте геодетске мреже,и ако суфункције нелинеарног облика,морају се свести на линеарни облик развијањем уТајлоров ред у облику приближних вредности параметара (тражених величина:xo,yo …),или у облику

li+vi =Fi(xo + x , yo+ y…to+ t ) ,где се поправке мерених величина добијају као:

vi=ai x+bi y+…+ti t + fi. i=1,2,…n, где су ai,bi…ti , коефицијенти(константе),а

fi -слободни чланови (приближно минус мерено),а тражене(изравнате) величинесу:X= xo + x, Y= yo + y, T= to + t. Функција везе по непознатим параметримаai,bi… ti, рачуна се из парцијалних извода.Вредности коефицијената зависе од облика и размере мреже,а не од резултатамерења.При одређивању тражених величина прво се одређују њихове приближне вреностипре изравнања,a њихови прираштаји из изравнања. Приближне вредности несмејуда се много разликују од вредности тражених величина,а могу се утврдитидозвољене разлике између приближних вредности параметара и њиховихоцена.Под образовањем једначина поправака подразумева се одређивањекоефицијената ai,bi…ti и слободних чланова fi,а као непознате величинефигуришу поправке и прираштаји, формирани систем једначина има вишезначнарешења,а изравнањем се обезбеђују једнозначни резултати,применом методенајмањих квадрата уз услов минимума: v*Pv=min .Тиме се добијају највероватнијевредности тражене величине,а једначине одступања се могу у краћем матричномоблику записати : v=Ax+f ,гд су A-матрица коефицијената, x-вектор прираштаја, f –вектор слободних чланова и v - вектор поправака.

22. Метод најмањих квадрата:Метод најмањих квадрата састоји се у минимизацији суме квадрата

нормираних одступања опажања од њихове праве вредности,односно од њиховогматематичког очекивања.Када су мерене величине стохастички независнепримењује се овај метод у скраћеном матричном облику v*Pl v=min ,идиференцирањем и изједначавањем са нулом добија се минимум. dv*Pl v+v*Pldv=0,и одговарајућом заменом добијају се нормалне једначине A*Pl A х+А Plf=0.Основне компоненте ове методе су: мерене величине,стохастичкимодел,функционални модел,алгоритам изравнања(примена МНК),оценепараметара,оцене тачности и контрола квалитета.

Мерене величине и њихова тачност су прва важна компонента у изравнањупо методи најмањих квадрата,где се обављају мерења различитих физичкихвеличина са одговарајућом тачношћу(углови,дужине,висинске разлике...).Замерене величине у геодетским мрежама формира се вектор мерених величина l икоресподентна коваријациона матрица Kl.Стохастички модел се односи на вектормерених величина l,и када су мерене величине стохастички зависне величинетреба користити коваријациону матрицу Kl,или матрицу кофактора Ql.Када сумерене величине стохастички независне онда су сви елементи ван главнедијагонале матрице Kl једнаки нули.Функционални модел зависи од методеизравнања и од геометрије мреже и он дефинише функционалну везу измеђумерених величина и непознатих параметара и у векторском облику је l*=l+v ,где суl* вектор изравнатих(оцењених) величина, l вектор мерених величина и v векторпоправака мерених величина.Најзначајнија компонента метода изравнања јеалгоритам изравнања,односно МНК којом се обезбеђују једнозначнирезултати,односно најбоља решења применом услова минимума,(за независнемерене величине), v*Pl v=min ,на овај начин се добијају највероватније вредностинепознатих параметара.Оцена параметара и њихова тачност даје потпунеинформације о резултатима изравнања.Примена МНК код решавања несагласнихсистема линеарних једначина који се преводе у системе нормалних једначина којису саглани и из којих се одређују јединствене оцене за вектор непознатихпараметара,вектор изравнатих резултата мерења и вектор поправака.Контролаквалитета односи се на примену теорије поузданости геодетских мрежа наконпримене МНК и одређивања оцена вредности појединих величина и њихове оценетачности.Поузданост даје могућност идентификације евентуалних грубих исистематских грешака у резултатима мерења статистичким тестовима,и утицајових грешака на резултате изравнања.Квалитет геодетских мрежа се односи наглобалне и локалне мере тачности и поузданости тачака или функција.Концептквалитета примењује се у анализи геодетских мрежа након изравнања,припројектовању у оквиру претходне анализе тачности и оптимизације мрежа.

23.Нормалне једначине и њихово решење:Након рачунања коефицијената из приближних вредности непознатих

параметара и слободних чланова, формирају се нормалне једначинепоправака,које се формирају у следећем облику Vi=aidx+bidy+…+uidt+fi , и то засве мерене величине(правце,дужине или висинске разлике),које су у матричномоблику: v=Ax+f, односно N x+n=0, где се N добија множењем транспонованематрице А са матрицом тежина P и матрицом А, n множењем са матрицомтежина P и матрицом слободних чланова f,а x је вектор непознатих параметара(уматричном облику је

x= -Qx n), где je Qx- кофактор матрица непознатих.Решавањем нормалнихједначина добијају се вредности поправака и врености прираштаја који се сабирајуса срачунатим приближним вредностима и тиме се добијају коначне вредностинепознатих величина.Задатак изравнања је да нађемо статистичку оценукомпоненти вектора поправака.

После примене МНК потребно је одредити тачност величина које се добијајуиз модела изравнања и њихове статистичке особине варијансе и коваријансе,авектори изравнатих величина могу се изразити као функције мерених величина,иодређује се стандардна девијација јединице тежина одређена из изравнањаSo,матрица кофактора мерених величина l, траг производа матрица,коваријационаматрица непознатих параметара,коваријациона матрица изравнатих величина, иковаријациона матрица поправака.

24. Анализа тачности у геодетским мрежама.Експериментална стандарднадевијација јединице тежине.

У математичким моделима изравнања геодетских мрежа ,после изравнањаобавља се оцена тачности добијених резултата из изравнања коришћењемексперименталне стандардне девијације јединице тежине и коваријационематрице изравнатих величина.Анализа тачности се односи на тачност тачака ифункција геодетских мрежа.Оцена тачности може бити глобална ако се одређујеједна вредност целог скупа величина у геодетској мрежи,или локална ако сеодноси на поједине величине.На тачност геодетске мреже утичу: дизајнмреже(зависи од теренских услова,врсте и величине објекта и способности иискуства стручњака),тачност мерених величина (зависи од инструмента,методерада,атмосферских услова...),и грешке датих величина (на које није могућеутицати,зато се код прецизних радова мреже изравнавају у локалномкоординатном систему,а затим се трансформишу у државни координатни систем.

Експериментална стандардна девијација јединице тежине So даје оценутачности мерених величина након изравнања геодетске мреже,и то је глобалнаоцена тачности мерења у геодетској мрежи,а зависи од поправака меренихвеличина и броја степени слободе(сувишних мерења) у мрежи.Ако су вредностипоправака мање по апсолутном износу и број сувишних мерења већи,онда седобија и већа тачност мерених величина.У моделима изравнања се одређујестандардна девијација јединице тежине So као оцењена вредност стандарднедевијације јединице тежине (сигма о).

Експерименталне стандардне девијације непознатих параметара дајуинформације о оцени тачности добијених вредности непознатих параметара изизравнања,где су : So експериментална стандардна девијација ,а Qxixiкоефицијенти на главној дијагонали симетричне матрице кофактора непознатихпараметара.Тачност непознатих параметара (координате тачака,висинетачака...),зависи од тачности мерених величина у геодетској мрежи и њеногдизајна. У 1-Д мрежи у изравнању учествују као непознати параметри висинетачака,а из изравнања се одређују њихове емпиријске стандардне девијације,коједају информације о тачности изравнатих вредности висина тачака. У 2-Д мрежи уизравнању учествују непознате координате тачака,а из изравнања се одређујуњихове одговарајуће експерименталне стандардне девијације изравнатихвредности координата тачака,које дају информације о тачности изравнатихкоордината Sxi , Syi по координатним осама (X,Y).У 3-Д мрежама у изравнањуучествују све три непознате координате,а из изравнања се одређују њиховеодговарајуће експерименталне стандардне девијације изравнатих вредностикоордината тачака по све три координатне осе Sxi , Syi Szi .

25. Утицај на тачност мерења у геодетској мрежи.У процесу мерења појављују се многе грешке које настају услед

несавршености конструкције инструмента,грешака оператора и спољних услова укојима се врше мерења.Те грешке по свом карактеру могу битислучјајне,систематске и грубе.Отклањање и смањивање ових грешака изрезултата мерења се постиже методом рада,ректификацијом инструмента иуношењем одговарајућих поправки.Вредности мерених величина у погледутачности морају да одговарају одређеним критеријумима који се унапредутврђују(тачност са којом је потребно обавити мерења).Као критеријум заутврђивање да ли квалитет мерења одговара унапред усвојеној тачности служедозвољена одступања,чији је задатак да вредности мерења преко дозвољениходступања одбаци.Број мерених величина треба увек да буде већи него што јенеопходно потребно,и та прекобројна мерења се називају сувишна мерења,којаимају вишеструку улогу: служе као контрола при раду,повећавају тачност коначноусвојених резултата,омогућавају оцену тачности резултата мерења и повећавајупоузданост геодетских мрежа.Тачност резултата мерених величина може сеповећати :савременијом методом рада,прецизнијом мерном техником,мерењемпод повољнијим мерним условима,већим бројем мерења истевеличине,правилнијом геометријом геодетске мреже и већим искуством и знањемстручњака.

Од геометрије геодетске мреже зависи и тачност и поузданост добијенихрезултата непознатих параметара,зато при пројектовању мреже потребно је дагеодетске тачке буду тако постављене да формирају правилне геометријскефигура,а тиме ће се добити и поузданији и тачнији резултати из изравнања.

26. ТАЧНОСТ НЕПОЗНАТИХ ПАРАМЕТАРА У 1Д, 2Д И 3Д МРЕЖАМА

Експериментална стандардна девијација јединица тежине So даје оцену тачностимерених величина након изравнања геодетске мреже.

Експерименталне стандардне девијације непознатих параметара Sxi даје наминформацију о оцени тачности добијених вредности непознатих параметара изизравнања.Формула експерименталне стандардне девијације непознатих параметара :

Из овога можемо закључити да тачност непознатих параметара зависи од тачностимерених величина у геодетској мрежи и њеног дизајна.ТАЧНОСТ ПАРАМЕТАРА У 1Д МРЕЖИУ овим мрежама у изравнању учествују као непознати параметри висине тачака., изизранања се одређују њихове емпиријске стандардне девијације HiS и оне дају

информацију o тачности изравнатих вредности висина тачака ¶Hi

i i ix o x xs s Q= ⋅ ( 1, 2, ..., )i u=

i

i

H

0

H

( )iH

s

ТАЧНОСТ ПАРАМЕТАРА У 2Д МРЕЖИУ овој мрежи учествују координате тачака као непознати параметри. Из изравнања сеодређује емпиријска стандардна девијација ( XiS , YiS ) изравнатих вредности координата

тачака ¶( ,i Xi µYi ) Оне дају информацију о тачности координата по x и y оси.

Y

X

i

y i

ii

x i

s

s

o

(x y ),

ТАЧНОСТ ПАРАМЕТАРА У 3Д МРЕЖАМАКод ових мрежа у изравнању учествују непознате координате тачака (x,y,z) а изизравнања се одређују њихове експерименталне стандардне девијације XiS YiS

изравнатих вредности координата тачака. Експериментална стандардна девијација намдаје информацију о тачности изравнатих координата по x, y и z оси.

Y

X

iy

i

i

ii

Z

x i

Z

(x , y , z )i

s

s

s

o

27. В РСТЕ ЕЛИПСИ ГРЕШКА

У току изравнања одређују се експерименталне стандардне девијације положаја тачакаи оне зависе од експерименталних стандардних девијација по координатним осама.Често се круг полупречника piS назива круг грешака. где је

2 2

i i i i i i ip x y o x x y ys s s s Q Q= + = ⋅ +

Y

X

y

i

i

x i

i

o

i (x , y )

p

i

s

s

s

У пракси се често истовремено проучава више случајних величина нпр. координатетачака у простору или равни. Ако проучавамо X и Y координате као две случајневеличине и ако се те координате рачунају у правоуглом координатном систему (X ,0, Y)тада се тачка са таквим X и Y координатама налати у равни X,0, Y и њене координатесе сматрају случајним величинама. Када се површина 2д нормалног распореда пресечеса равни X,0, Y добија се елипса са центром у тачки xµ , yµ чије осе нису паралелне саосома координатног система XY.

X

Y

A

B

x

y

0

Када се координатни систем у коме се налази елипса заротира за угао θ тада секоординатне осе XY поклапају са главним осама ξ и η .

X

Y

A

B

x

y

0

Ово се зове канонски облик елипсе грешака, помоћу које се добија први степенповерења, где је А велика полуоса елипсе грешака а В мала полуоса. Осе означавајуекстремне грешке положаја тачке. Остале грешке се налазе између ова вда екстрема.Полуосе А и В су пропорционалне стандардним девијацијама ξσ и ησ .

добиајмо израз А= t ξσ⋅ и В= t ησ⋅ .Облик , димензије и орјентације елипсе грешака зависе од међусобног положаја тачакау мрежи и тачности мерених величина. Елипсе грешака представљају линије једнаких

густина распореда вероватноће срачунатих координата. Параметри елипсе грешака сеодрешују помоћу карактеристичне функције матрице кофактора

Релативна елипса грешака даје информацију о међусоној тачности положаја дветачке у 2д геодетској мрежи. Разлике координата тачака добијених из изравнања су уоблику вектора. Рачуна се средња грешка дужине од средње грешке функције.

Коваријациона матрица се рачуна :2os= ⋅

∆x ∆xK Q где се помоћу матрице ∆xQ уместо матрице x̂Q израчунавају параметрирелативне елипсе грешака.

Relativna elipsagresaka

Apsolutna elipsagresaka

У практичним примерима релативне елипсе грешака се најчешће одређују у геодетским2д мрежама инжењерске гедезије за пробоје тунела, у деформационој анализи, тј услучајевима када нисмо у могућности да направимо слободно изравнање, ако имаморазвучену мрежу. тада се рачунају локалне релативне елипсе грешака- даје серелативни однос између тачака- одређује се колика је грешка је дне тачке у односу надругу. Код тунела је веома мала раздаљина између две тачке и рачунате су из двеепохе мерења. Помоћу релативне елипсе грешака код пробоја тунела добијамонепристрасну предходну оцену тачности пробоја тунела.

Ово су елементи релативне елипсе грешака где су x x y yQ Q∆ ∆ ∆ ∆+ одговарајући кофакторикоординатних разлика измећу две тачке за које се прави релативна елипса грешака.Апсолутна елипса грешака се односи на положајну тачносе појединачне тачке.

ˆxx xy

yx yy

Q Q

Q Q

=

xQ

ˆ ˆˆ

ˆ ˆij j i

ij j i ijij j i

x x xx

y y y

∆ − = − = = = ⋅ ∆ −

∆x x x G

( )

( )

1

2

1

2

R o x x y y R

R o x x y y R

A s Q Q k

B s Q Q k

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆

= ⋅ + +

= ⋅ + −

28. РАЧУНАЊЕ ПАРАМЕТАРА ЕЛЕПСИ ГРЕШАКА (СЛУЧАЈ КАДА ЈЕПОЗНАТА И КАДА ЈЕ НЕПОЗНАТА СТАНДАРДНА ДЕВИЈАЦИЈА ЈЕДИНИЦА

ТЕЖИНЕ )

Експериментална стандардна девијација јединица тежине So даје оцену тачностимерених величина након изравнања геодетске мреже, она је а posteriori стандарднадевијација јединице тежине. Ова оцена је ГЛОБАЛНА мера тачности мерења тј. мерених величина у геодетскојмрежи а зависи од поправака мерених величина односно тачности мерених величина иброја степени слободе у геодетској мрежи.

osn u

−

=−

T 1lv Q v

Већа тачност мерених величина у геодетској мрежи се добија ако су вредностипоправака мање по апсолутном износу и број степени слободе већи. То се види изпредходне једначине.Математичко очекивање Експерименталне варијансе јединице тежине So2 једнакоје варијанси 2

0σ тј. 2 20 0( )E s σ=

што значи да се у моделима изравнања одређује експериментална стандарднадевијација јединице тежине So као оцењена вредност стандардне девијацијејединице тежине 0σ у случајевима када стандардна девијација није позната, тадасе параметри елипсе грешака који се односе на једну тачку, у 2д мрежи за вероватноћу(1 )α− да би се тачка нашла у области елипсе поверења рачунају :за случај када је u =2

iλ - сопствене вредности матрице кофактора x¤

θ - угао који гради велика полуоса са X осом тј. показује орјентацију ел.грешакаЗакључак, када није позната стандардна девијација јединице тежине, користимо урачунању So тј. експерименталну стандардну девијацију јединице тежине.У случају када је позната стандардна девијација јединице тежине 0σ (мера коју

користимо у одређивању расипања вредности око његове средине је варијанса 2σ ањен квадратни корен је стандардна девијација које се користи као проценаодговарајућих карактеристика резултата за једна податак) тада се користе формуле заизрачунавање основних елеманата елипсе:

ostrag

−

−=T 1

l1

l v

v Q vQ Q

2, ,1 2, ,1

2, ,1 2, ,1

2 2

2 2

F o A r r

F o B r r

A s F A F

B s F B F

α α

α α

λ

λ− −

− −

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

21

2xy

Fxx yy

Qarctg

Q Qθ θ= =

−

22,1

22,1

o A

o B

A

B

χ α

χ α

σ λ χ

σ λ χ

−

−

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

21

2xy

xx yy

Qarctg

Q Qχθ θ= =−

29. ПРИМЕНА РЕЛАТИВНИХ ЕЛИПСИ ГРЕШАКА КАО МЕРЕ ТАЧНОСТИ

Релативне елпсе грешака дају информацију о међусобној тачности положаја две тачкеу геодетској 2д мрежи. Разлике координата тачака добијених из изравнања су у облику вектора. Рачуна сесредња грешка дужине од средње грешке функције.

Коваријациона матрица се рачуна :2os= ⋅

∆x ∆xK Q где се помоћу матрице ∆xQ уместо матрице x̂Q израчунавају параметрирелативне елипсе грешака.

Relativna elipsagresaka

Apsolutna elipsagresaka

У практичним примерима релативне елипсе грешака се најчешће одређују у геодетским2д мрежама инжењерске гедезије за пробоје тунела, у деформационој анализи, тј услучајевима када нисмо у могућности да направимо слободно изравнање иако имамо развучену мрежу. тада се рачунају локалне релативне елипсе грешака- дајесе релативни однос између тачака- одређује се колика је грешка је дне тачке у односуна другу. Код тунела је веома мала раздаљина између две тачке и рачунате су из двеепохе мерења. Помоћу релативне елипсе грешака код пробоја тунела добијамонепристрасну предходну оцену тачности пробоја тунела.

Ово су елементи релативне елипсе грешака где су x x y yQ Q∆ ∆ ∆ ∆+ одговарајући кофакторикоординатних разлика измећу две тачке за које се прави релативна елипса грешака.

ˆ ˆˆ

ˆ ˆij j i

ij j i ijij j i

x x xx

y y y

∆ − = − = = = ⋅ ∆ −

∆x x x G

( )

( )

1

2

1

2

R o x x y y R

R o x x y y R

A s Q Q k

B s Q Q k

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆

= ⋅ + +

= ⋅ + −

Релативне елипсе грешака нису зависне од датума мреже. Уколико се да минималнитраг, тада мере тачности тачака умерено расте у односу на центар мреже ипредставља унутрашњу поузданост мреже.

30. ЕЛИПСОИД ГРЕШАКА. ЈЕДНАЧИНА ЕЛИПСОИДА ГРЕШАКА

У математичким моделима изравнања геодетских 3-д мрежа као параметри јављају секоординате (x,y,z) у правоуглом просторном координатном систему. Једначина елипсоида:

Параметри троосног елипсоида су полуосе троосног елипсоида грешакау тродимензионалном изравнању заједну тачку геод. мреже се одређују:

Орјентација троосног елипсоида у просторном координатном систему подразумеваодређивање углова које образују полуосе елипсоида A,B, C са осама правоуглог 3дкоординатног система. Угловне вредности не зависе од координатног система већ него

од елеманата кофакторске матрице Q x .

x y

X

Y

Z

B

A

C

T( , , z )B

C

A

Полуосе елипсоида грешака за u=3 у 3д

мрежи и за вероватноћу 1 α− су облика :

22 2

1yx z

x y z

yx z

t t t

µµ µσ σ σ

− − −+ + =

, , x y zA t B t C tσ σ σ= ⋅ = ⋅ = ⋅

o A

o B

o C

A s

B s

C s

λ

λ

λ

=

=

=

23,1

23,1

23,1

o A

o B

o C

A

B

C

χ α

χ α

χ α

σ λ χ

σ λ χ

σ λ χ

−

−

−

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

31. Metode identifikacije grubih grešaka. Data snooping test za otkrivanje grubihgrešaka

Za otkrivanje grubih grešaka u merenjima kod realizacije projekata geodetskih mrežageodete koriste različite postupke (zatvaranje trouglova, zatvaranje poligona,uporedjivanje rezultata višestrukih merenja itd.) koji se primenjuju pre postupkaizravnanja. I pored primene tih postupaka u formiranom GMM ostaju izvesneneotkrivene "male" grube greške. Odgovor na pitanje da li u formiranom modelu imagrubih grešaka ili ne daje takozvani globalni test modela. Grube greške mogu seidentifikovati ako je ispunjeno više uslova: da bude dobar dizajn mreže, da greškemerenja imaju normalnu raspodelu, da tačnost merenja bude saglasna saodgovarajućim standardnim devijacijama

Globalna test statistika

Lokalna test statistika

Ako je vrednost test statistike

onda se prihvata Ho ili u suprotnom Ha. Kvadriranjem test statistike

0 :01 =∇iH )E(σ)E(sH oo22

02 : = )( ~ˆ 2

,2

2

2 rF

r

PvvT r

ro

o

o

T χσσ

σ≡== ∞

0 : ≠∇iAH

iil

i

o

iii

rQiiii⋅

−=−=−=σ

υσ

υσ

υωυυυ

)1 ,0(~ Niω

iω ki ≤ω

∞

−

=

= ,12

12

0

2 ~ FvQv

Q

vw

o

ivvi

vv

ii

ii

iiσσ

MNK

START

END

sF

<

1- ,r,2

2o

ooo

F1- , ,oo

<

1i

Interpretacijai

Odluka o ponovnimopazanjima?

Ponovnaopazanja

Druga hipoteza Haformirana?

korektan?

: F1- , ,1i oo

Poboljsanjematematickogmodela

Poboljsanjestatistickogmodela

Statisticki model

<

>

>

>> >

>>

>

>

>

<

<

Ho: verovatno odbacenapogresno sa verovatnocom

<<

<<

<<

>

"Data snooping".

• 32. Optimizacija geodetskih mreža. Strategija rešavanja problema

Optimizacija je nauka čiji je cilj da odredi "najbolja" rešenja za izvesne matematičkidefinisane probleme, koji su često fizička realnost.Metode optimizacije se primenjuju u projektovanju geodetskih mreža u cilju dobijanjaoptimalnih odnosno, najboljih rešenja za realizaciju projekata. Metode optimizacijeomogućavaju: dobijanje neophodnih numeričkih podataka na osnovu proračuna premaodreñenim matematičkim modelima, donošenje odluka u slučajevima varijantnihrešenja, ocena kvaliteta geodetskih mreža i rešavanju drugih zadataka neophodnih zarealizaciju projekata. Primena metoda optimizacije u savremenim projektovanjimačesto može biti veoma kompleksna. Ova kompleksnost prisutna je kada se zahtevadobar kvalitet geodetske mreže. Pod kvalitetom geodetske mreže podrazumeva senajčešće tačnost, pouzdanost, osetljivost, ekonomičnost ili neki posebni parametrikvaliteta u zavisnosti od namene mreže. U procesu projektovanja kada se primenjujumetode optimizacije neophodno je definisati kriterijume kvaliteta geodetske mreže.Izbor i primena metoda optimizacije u projektovanju geodetskih mreža pre svega zavisiod vrste i namene

mreže. U projektovanju mreža geodetskog premera, 1-D, 2-D i 3-D najčešće seprimenjuje optimizacija dizajna prvog ili drugog reda. U okviru optimizacije dizajna prvogreda uglavnom se primenjuje prethodna analiza geodetske mreže. Prethodna analizaima najširu primenu u projektovanju geodetskih mreža, jer se zasniva na dobropoznatim matematičkim modelima i na dobro razvijenoj računarskoj podršci, tako da serešenja dobijaju veoma efikasno. U okviru optimizacije dizajna drugog reda najčešće sekoristi modifikovani metod najmanjih kvadrata. U projektovanju mreža specijalnihnamena i mreža inženjerske geodezije mogu se koristiti ove ili ostale metodeoptimizacije s tim da se kod izbora optimizacionog metoda mora uvek imati u vidunamena mreže.U pristupu rešavanja optimizacionih problema postoji obično faza:

� Definisanje optimizacionog problema� Kreiranje matematickog modela koji reprezentuje realni sistem i analiza

optimalnih kriterijuma� Utvrdjivanje algoritma metode i analiza strukture metode� Testiranje modela i dobijenih resenja� implementacija.

Može se globalno reći da se pri optimizaciji geodetskih mreža koriste uglavnom dvestrategije u kojima se kao izvor informacija upotrebljava varijans-kovarijans matrica

izravnatih parametara geodetske mreže jer se ona može formirati još ufazi njenog projektovanja. Te strategije su:I. Matematičkim metodama se minimiziraju odredjene funkcije koje su invarijantne naizabrani koordinatni sistem. Većina do sada publikovanih metoda ove strategije ovajproblem rešava iterativnim postupcima jer su procesi optimizacije konvergentni (u svakojsledećoj iteraciji dobija se rešenje bolje od prethodnog).II. Aproksimira se najbolja moguća kriterijum matrica koja reprezentuje pretpostavljenikvalitet mreže i do rezultata se dolazi direktnim rešenjem. U zavisnosti od stepenaaproksimacija zavisi i kvalitet dobijenih rezultata i njihova primenljivost u praksi.

• 33. Optimizacije tačnosti. Problem linearnog i nelinearnog programiranja

Problem linearnog i/ili nelinearnog programiranja• Pojedinacne mere tacnosti = min = Cilj funkcija• Srednje greske kota i koordinata tacaka• Elipse gresaka tacaka• Srednje greske merenih elemenata• Srednje greske nemerenih elemenata• Relativne elipse gresaka• Globalne mere tacnosti = min• Funkcije ogranicenja - min<tacnost<max

34. Klasifikacija optimalnog projektovanja geodetskih mreža

Projekat 0. reda - predstavlja izbor optimalnog koordinatnog sistema za parametregeodetskih mreža. Najčešće se pod optimalnim rešenjem podrazumeva izravnanjeslobodnih geodetskih mreža uz pomoć generalizovane inverzije, odnosno njenimspecijalnim oblikom pseudoinverzije.• Projekat 1. reda - dovodi do rešenja optimalnog dizajna geodetske mreže. Problem sesvodi na odreñivanje optimalnih pozicija tačaka mreže, kao i optimalnog plana opažanjau mreži.• Projekat 2. reda - dovodi do rešenja optimalnih težina ili tačnosti planiranih merenja umreži. Ovi podaci su od velike važnosti za izbor optimalnih metoda merenja iinstrumenata za merenje, jer se u mreži mogu javiti opažanja različitih fizičkih veličina.• Projekat 3. reda - omogućava optimalno poboljšanje postojećih mreža u pogledudizajna i tačnosti. Ovo se najčešće odnosi na pogušćavanje mreže dodatnimopažanjima ili tačkama u delovima mreže gde je slaba tačnost ili pouzdanost.

35. Optimizacija projektovanja nultog reda

Problem se resava izborom Datum-a – datih parametar a mreze• 1d – mreža: d=1 tz – pomeranje u z- pravcu• 2d – mreža: d=4 tx – translacija duž x- osety – translacija duž y- oserz – rotacija oko z- oses – faktor razmere (bez dužine)• 3d – mreža:d=7 tx – translacija duž x- osety – translacija duž y- osetz – translacija duž z- oserx – rotacija oko x- osery – rotacija oko y- oserz – rotacija oko z- oses – faktor razmere (bez dužine)U optimizaciji dizajna nultog reda, za poznat dizajn geodetske mreže, odrenuje seoptimalni datum mreže. Odrenivanje optimalnog datuma geodetske mreže zavisi odvrste i namene mreže.Na ovaj način za planirana merenja u geodetskoj mreži, poznata je matrica dizajna Akao i tačnost planiranih merenja u okviru matrice težina l P . Pod optimalnim rešenjemza datum geodetske mreže podrazumeva se iznalaženje optimalnih rešenja za matricukofaktora nepoznatih parametara x Qˆ ili vektor nepoznatih parametara xˆ . Sva rešenjadobijaju se prema funkcionalnom i stohastičkom modelu posrednog izravnanja aglobalno se mogu podeliti na optimizaciju dizajna nultog reda slobodnih i neslobodnihmreža.U matematičkim modelima izravnanja neslobodnih geodetskih mreža definišu se datetačke odnosno, datum geodetske mreže uvek je definisan a nepoznati parametri sukoordinate tačaka u mreži koje se odrenuju, tako da u linearnom funkcionalnom modeluposrednog izravnanja matrica dizajna A ima potpun rang kolona

Primenom metoda najmanjih kvadrata dobija se optimalno rešenje

gde je x Qˆ matrici kofaktora nepoznatih parametara.Kod razvoja novih mreža za potrebe izrade i održavanja državnog premera optimalniizbor datuma geodetske mreže definiše se projektom u zavisnosti od vrste i namenemreže. Pod ovim se podrazumeva izbor datih tačaka koje treba da pokriju oblastpremera tako da se može razviti nova kvalitetna mreža. Jedna od mera kvalitetageodetske mreže je tačnost koordinata tačaka pa je potrebno imati u vidu priprojektovanju, da izbor datuma geodetske mreže utiče na tačnost odrenivanjakoordinata tačaka koja je sadržana u matrici kofaktora x Qˆ .U matematičkim modelima izravnanja slobodnih geodetskih mreža, nepoznati parametrisu koordinate svih tačaka u mreži, tako da u linearnom funkcionalnom modeluposrednog izravnanja matrica dizajna A ima nepotpun rang kolona

Primenom metoda najmanjih kvadrata i minimalne norme vektora nepoznatihparametara

U postupku projektovanja slobodnih mreža neophodno je odrediti defekt datumageodetske mreže .Pored ostalih informacija neophodno je odrediti namenu slobodnemreže. Ako je mreža namenjena rešavanju inženjerskih zadataka ili lokalnoggeodetskog premera sa ciljem da se kasnije izvrši transformacija koordinata slobodnegeodetske mreže i tačaka premera dobijenih nekom od metoda geodetskog snimanja,onda se projektom mora predvideti neophodan broj identičnih tačaka slobodne mreže satačkama postojećih referentnih geodetskih mreža. Ovo je veoma važno obuhvatiti uprocesu projektovanja kako bi se kasnije nakon završetka geodetskog premera uslobodnoj mreži mogla uspešno primeniti adekvatna transformacija koordinata tačaka ureferentni koordinatni sistem. U savremenim projektovanjima 3-D lokalnih geodetskihmreža, planiraju se i realizuju merenja globalnim pozicionim sistemom, izravnanje iodrenivanja koordinata se obavlja u okviru slobodne mreže pa je neophodnoidentifikovati odrneni broj identičnih tačaka u referentnim sistemima u cilju transformacijekoordinata tačaka.36. Izravnanje slobodnih geodetskih mreža

U slučaju slobodnih geodetskih mreža matrica N =(ATPA) je realna, simetrična ipozitivno definitna. Njena inverzija je definisana izrazima

NQ=E; QN=E; det N=0 (3.3)

Povezanost matrice N i njene inverzije Q se sagledava razlaganjem sa odgovarajućimspektralnim i modalnim matricama S gde su i sopstvene vrednosti matrice N. Zaspektralnu matricu i modalnu važe sledeći stavovi

STS=E; SST=E; det N=det L; tragN=tragL (3.5)

Pseudoinverzija Q matrice N je definisana sa izrazima

NQN=N; QNQ=Q; NQ=(NQ)T ; QN=(QN)T (3.6)

Ako je r rang matrice N a d njen defekt tada će ona imati r sopstvenih vrednosti različitihod nule a d jednakih nuli. Sopstveni vektori koji odgovaraju ne nula sopstvenimvrednostima mogu formirati matricu S1 a sopstveni vektori koji odgovaraju sopstvenimvrednostima jednakim nula formiraju matricu S2 . S obzirom da se sopstvene vrednosti i njihovi odgovarajući vektori matrice N mogusračunati to se njena pseudoinverzija Q računa po formuli

Q=S1L1-1S1

T (3.8)

Kod jednačine (3.8) se javlja problem velikog broja numeričkih operacija u ciljuizračunavanja sopstvenih vrednosti i sopstvenih vektora matrice N. S obzirom da sesingularitet matrice N javlja zbog odredjenih defekata (datum-ski defekt, konfiguracijskidefekt) koji su poznati tada se matrica S2 može lako i unapred odrediti. U tom slučaju sedobija regularna matrica M oblika

[ ]1

111 2 2 2

2

TT

T

SLM S S N S S

SE

− = = +

(3.9)

Njena inverzija će biti

[ ]1

1 111 2 2 2

2

TT

T

SLM S S Q S S

SE

−−

= = +

(3.10)

Na osnovu toga sledi da je

Q=(N+S2S2T)-1-S2S2

T

Ovaj izraz je veoma pogodan za računanje zato što se za defekte koji se najčešćejavljaju u geodetskim mrežama lako može odrediti matrica S2 . Ne sme se samozaboraviti da vrsta i uzrok defekta moraju unapred biti poznati. Na osnovu (3.9) i (3.10)sledi sledeća matematička veza:

2 2

2 20 0

N S Q SE

S S

⋅ =

(3.13)

ili oblik koji omogućuje inverziju singularne matrice N

1

2 2

2 20 0

Q S N S

S S

−

=

(3.14)

Jednačina (3.14) je osnovna za rešavanje problema izravnanja slobodnih geodetskihmreža sa poznatom vrstom defekta. Ona je po obliku slična rešenjima nekih drugihautora jer se do matrice S2 , koja omogućava inverziju singularnih sistema, dolaziprimenom nekih drugih numeričkih postupaka. Jedan od veoma efikasnih postupaka jeračunanje pseudoinverzije Q=N+ . Pseudoinverzija Qx singularne matrice N se računa

takozvanom s transformacijom pomoću koje se od proizvoljne datum-ske odredjenostimreže prelazi na datum slobodne mreže. Numerički postupak se izvodi pomoću formula:

1 T Tx xQ MN M MQ M−= = (3.15)

gde je

M=E-GT(GGT)-1G (3.16)

Matrica G ima odredjen oblik koji zavisi od vrste defekta geodetske mreže i njenedimenzije

A. - Kod jednodimenzionalnih mreža matrica G je vektor oblika

GT=|1,1,...,1|m m – broj repera (3.17)

koji rešava problem translacije težišta izravnatih u odnosu na težište približnih kota.

B. - Kod dvodimenzionalnih mreža nepoznati parametri datum-ske odredjenosti surotacija, razmera i translacija po x i y osi. U zavisnosti od nepoznatih parametara moguse javiti sledeći slučajevi:

B.1 Defekt ranga d = 2 se javlja u slučajevima kada se u mreži mere dužine i azimuti.Matrica G u tom slučaju ima oblik:

2,2

1 0 . . 1 0

0 1 . . 0 .T

m

G =

m - broj tačaka mreže (3.18)

B.2 Defekt ranga d = 3 se javlja u slučajevima kada se u mreži mere dužine i pravci(najčešći slučaj) i tada matrica G ima oblik:

1 1 3,2

1 0 . . 1 0

0 1 . . 0 1

. .

T

m m m

G

X Y X Y

= − −

m - broj tačaka mreže (3.19)

B.3 Defekt ranga d = 4 se javlja u slučajevima kada se u mreži mere samopravci i matrica G ima oblik

1 1

1 1 4,2

1 0 . . 1 0

0 1 . . 0 .

. .

. .

T

m m

m m m

GX Y X Y

Y X Y X

= − −

m - broj tačaka mreže (3.20)

C. - U trodimenzionalnim mrežama defekt ranga matrice N može biti 3 do 7.

C.1 Ako je u mreži predvidjeno opažanje dužina, azimuta, astronomskih latituda ilangituda obezbedjeni su parametri razmere i tri rotacije a nepoznati su parametritranslacije duž osa prostornog koordinatnog sistema. Matrica G ima oblik:

3,3

1 0 0 . . 1 0 0

0 1 0 . . 0 1 0

0 0 1 . . 0 0 1m

G

=

m - broj tačaka mreže (3.21)

C.2 Ako su u mreži predvidjena merenja dužina zenitnih uglova i horizontalnih pravacaobezbedjeni su parametri razmere i dva parametra rotacije, a nepoznati su parametrijedne rotacije i tri parametra translacije (defekt ranga d = 4). Matrica G u tom slučaju imaoblik:

1 1 4,3

1 0 0 . . 1 0 0

0 1 0 . . 0 1 0

0 0 1 . . 0 0 1

0 . . 0m m m

G

X Y X Y

= − −

m - broj tačaka mreže (3.22)

C.3 Kada se u mreži realizuju merenja zenitnih uglova i horizontalnih pravacaobezbedjena su dva parametra rotacije. Defekt ranga je d = 5 pa je potrebno obezbeditiparametar razmere, jedne rotacije i tri parametra translacije. Matrica G ima oblik:

1 1

1 1 1 5,3

1 . . 1

1 . . 1

1 . . 1

0 . . 0

. .m m

m m m

G

X Y X Y

Y X Z Y X Z

= − −

m - broj tačaka mreže (3.23)

C.4. Kada se u mreži mere samo linearne veličine tada je obezbedjen samo parametarrazmere (defekt d = 6) a nepoznati su parametri tri rotacije i tri translacije. Matrica g utom slučaju ima oblik:

1 1

1 1

1 1 6,3

1 0 0 . . 1 0 0

0 1 0 . . 0 1 0

0 0 1 . . 0 0 1

0 . . 0

0 . . 0

0 . . 0

m m

m m

m m m

GZ X Z X

Z Y Z Y

X Y X Y

= − − − − − −

m - broj tačaka mreže (3.24)

C.5. Ako su u mreži planirana merenja samo pravaca tada se javlja slučaj sa defektomd=7 (razmera + tri rotacije + tri translacije) i matrica G ima oblik:

1 1

1 1

1 1

1 1 1 7,3

1 0 0 . . 1 0 0

0 1 0 . . 0 1 0

0 0 1 . . 0 0 1

0 . . 0

0 . . 0

0 . . 0

. .

m m

m m

m m

m m m m

Z X Z XG

Z Y Z Y

X Y X Y

Y X Z Y X Z

− −= − − − −

m - broj tačaka mreže (3.25)

Koristeći navedene izraze moguće je odrediti inverziju xQ i ako je zbog raznih vrstadefekata, matrica N singularna. U opštem slučaju taj problem se rešava takozvanom G-inverzijom, odnosno njenim specijalnim oblikom pseudoinverzijom. Praktično senumerički postupak može sprovesti i takozvanom "tehnikom proširenja" koja se sastojiod sledećih faza:

- sračunavanje ATPA=N koja je singularna i ne može se invertovati- proširenje formirane matrice N sa odgovarajućim transformacionim matricama S2 (uzavisnosti od defekta mreže)

1

2

2 0

N SQ

S

− =

(3.26)

- invertovanje proširene matrice koja je regularna i korišćenje odgovarajuće sublimacijeza sračunavanje priraštaja približnih vrednosti nepoznatih i kompletnu ocenu tačnosti.

37. Kriterijumi tacnosti. Lokalne i globalne mere tacnosti

Kriterijum tačnosti je na današnjem nivou razvoja geodezije kao nauke još uveknepotpuno definisan pojam. Kriterijumi u velikoj meri zavise od vrste mreža (državne,lokalne,mreže inženjerske geodezije itd.) i njihove namene. Zbog veoma širokog spektramogućih primena i zahteva za tačnošću, koja iz toga proističe, onemogućeno je lakojednoznačno definisanje kriterijuma tačnosti. Obično se formirani kriterijumi dele nalokalne, odnose se na pojedine tačke mreže, i globalne kriterijume koji se odnose nakvalitet mreže kao celine. I lokalni i globalni kriterijumi tačnosti su izvedeni iz varijans-kovarijacione matrice

2ˆ ˆ0x xK Qσ=

LOKALNE MERE TAČNOSTI

Korelaciona matrica nepoznatih 2ˆ ˆ ˆ 0( 1)x x xQ Q K zaσ= = ima sledeću strukturu

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2ˆ

1 2

1 2

... ... ...

... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ...

i j n

i j n

i i ii ij in

x

j j ji jj jn

n n ni nj nn

q q q q q

q q q q q

q q q q qQ

q q q q q

q q q q q

=

(2.18)

U dvodimenzionalnoj mreži korelaciona matrica se može izdeliti na 2 x 2 blokove kojiodgovaraju jednoj ili paru tačaka

( ) ( )

( ) ( )K

K Kxx xy

K K Kyx yy

q qQ

q q

=

ili ( ) ( )

( ) ( )

L L

L L L

K Kxx xy

K K Kyx yy

q qQ

q q

=

(2.19)

Iz ovih blok matrica se može dobiti standardna devijacija koordinata, uz uslov da jepoznato 2

0σ , kao mere lokalne tačnosti.

0x xxqσ σ= 0y yyqσ σ= (2.20)

gde su qxx i qyy odgovarajući dijagonalni elementi. Ukoliko je 20σ nepoznato tada se

koristi sračunato 20m i dobijaju se srednje greške koordinata kao mere lokalne tačnosti.

0x xxm m q= 0y yym m q= (2.21)

Ako se parametri x razmatraju kao slučajne veličine sa normalnim rasporedom tadarazlike ˆ( )x x− takodje treba da imaju normalnu raspodelu, tj.

ˆ( ) (0, )xx x N σ− : (2.22)to je moguće (2.20) odnosno (2.21) zameniti sa odredjenim intervalom poverenjadefinisanimsa

/2 /2

ˆ1

x

x xP C Cα α α

σ −− < < = −

(2.23)

odnosno{ }/2 /2ˆ ˆ 1x xP x C x x Cα ασ σ α− < < + = − (2.24)

Time je definisan interval u kojem će se, sa verovatnoćom (1−a), nalaziti parametar x.Za standardne vrednosti verovatnoće 1-a=95° (a= 5%) iz tabele normalne raspodeledobija se Ca/2= 1.96 Ako se umesto 2

xσ koristi 2xm tada se interval konfidencije dobija pomoću t-raspodele

ˆ( ) ( )x x

t n um

− −: (2.26)

gde je sa (n-r) označen broj stepeni slobode. Analogno sa (2.24) dobija se

{ }/2 /2ˆ ˆ (1 )x xP x t m x x t mα α α− < < + = − (2.27)

Vrednost ta/2 zavisi od izabranog nivoa konfidencije i broja stepeni slobode GMM i možese naći u svakoj knjizi o statistici. Za (n- r)=∞, ta/2=1.96 i odgovara vrednosti Ca/2

normalne raspodele.

U mrežama posebne namene često je od interesa unapred znati tačnost pojedinihfunkcija čiji su argumenti parametri x. Ukoliko funkcije nisu linearne one moraju bitilinearizovane i prikazane u formi

0 1 1 2 2 2 2ˆ ˆ( ) ( ) ...f x f x f x f x f x= + + + + (2.28)ˆ( )

ii

f xf

x

∂=∂

jer je ona pogodna za primenu zakona o rasprostiranju varijansi. Koeficijent težine azatim i standard ili srednja greška proizvoljne funkcije dobija se po formulama

ˆT

f xq f Q f= (2.29)

0f fqσ σ= odnosno 0f fm m q=

Kao mere lokalne tačnosti u praksi se najčešće koriste izrazi (2.20) ili (2.21) kojima sudefinisana standardna odstupanja ili srednje greške pojedinih tačaka. Pored toga kaolokalna mera tačnosti dvodimenzionalnih mreža mogu se koristiti standardne odnosnoelipse konfidencije tačaka mreže. Standardne elipse se mogu interpretirati kaogeneralizovana standardna odstupanja (jednačine (2.20) i (2.21)) čije konfidentne elipsesu ekvivalent intervala definisanog jednačinama (2.24) i (2.27). Elipse se nazivajuapsolutnim ako se odnose na jednu tačku ili relativne ako se odnose na definisanjetačnosti relativnog položaja dveju tačaka.

Radi lakše geometrijske interpretacije prikazanih mera tačnosti one se često prikazujukružnim regijama. Krugovi grešaka se dobi jaju od standardnih odstupanja ili intervalakonfidencije sa korišćenjem teorijskih i realnih varijansi.U 1iteraturi se mogu naći sledeći tipovi krugova grešaka:

1. Standardna kružna greška sa verovatnoćom p~39%

1( )

2p x ym m m= + (2.40)

2. Verovatna kružna greška sa verovatnoćom p~50%

0.59( )p x ym m m= + (2.41)3. Srednja kvadratna položajna greška (Helmert-ova greška tačke) sa verovatnoćomkoja zavisi od odnosa mx i my

2 21 2 0( ) ( )p x y KKm m m a b m m tragQλ λ= + = + = ⋅ + = (2.42)

4. Generalizovana greška tačke sa verovatnoćom koja zavisi od odnosa mx i my

(Werkmeister-ova greška tačke)

0 1 2 00

( ) detp KK

a bm m m Q

mλ λ⋅= = ⋅ ⋅ = (2.43)

Sve napred navedene mere tačnosti imaju veliki nedostatak jer zanemaruju kovarijansekoje objektivno izmedju tačaka postoje. Taj nedostatak se delimično eliminiše kodizračunavanja elemenata relativnih elipsi grešaka. Relativnom elipsom se definišetačnost medjusobnog položaja dveju tačaka P1 i P2 koje su definisane koordinatama ugeodetskoj mreži sa poznatim datum-om.Sračunate relativne elipse se mogu koristiti kao kriterijumi kvaliteta za uporedjivanje dvevarijante projektovane mreže sa istom datum-skom odredjenošću. Obično se ucrtaju nasredini linije izmedju dveju tačaka čija se relativna položajna tačnost traži. Posebno korisna mogućnost primene relativnih elipsi grešaka je kod izrade orojektadeformacija ili proboja tunela. U tim slučajevima računaju se relativne elipse grešakapoložaja izmedju tačaka na diferencijalno malim rastojanjima (položaji jedne tačke u dveserije merenja odnosno ista tačka proboja tunela obeležavanog sa dve strane od tačakakoje pripadaju istoj mreži). U tom slučaju formirani kriterijumi kvaliteta su invarijantni uodnosu na datum-sku odredjenost geodetske mreže i mogu se koristiti za uporedjivanjerazličitih varijanti mreža deformacionih modela i tunelskih mreža.Nepristrasna prethodna ocena tačnosti proboja tunela se jedino može dobiti pomoćurelativne elipse greške proboja tunela . Poprečna σP i podužna σL greška probojatunela se ačunaju po formulama

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

sin ( ) cos ( )

cos ( ) sin ( )P

L

A t B t

A t B t

σ θ θσ θ θ

= − + −

= − + − (2.45)

Korišćenjem ovih formula dobija se objektivna procena tačnosti proboja tunela koja jeinvarijantna na datum-sku odredjenost tunelske mreže. Sve druge metode ili dajupribližne rezultate ili što je još gore "frizirane" podatke (slučaj sa uzimanjem nadzemnemreže kao apsolutno tačnom i datom) koji projektante može dovesti u konfuziju izabludu. Sve napred navedene mere lokalne tačnosti su zavisne od datum-ske odredjenostimreže. Tačke koje definišu konvencionalni datum smatraju se apsolutno tačnim i imajustandardne devijacije, elipse i krugove grešaka jednake nuli. Za sve ostale tačkepokazatelji tačnosti se menjaju sa povećanjem rastojanja od datum-skih tačaka. Efekti

tih menjanja su manji kod korišćenja relativnih elipsi grešaka. U slučaju njihovogračunanja za diferencijalno male dužine (bliske tačke) elementi elipsi su nezavisni oddatum-ske odredjenosti. Ako se koristi datum-ska odredjenost minimalnog tragapovećanje vrednosti pokazatelja tačnosti se dobijaudaljavanjem tačaka od težišta mreže. Takav prikaz tačnosti se obično nazivaunutrašnjatačnost mreže. Zbog te datum-ske zavisnosti prikazane lokalne mere tačnosti se vrlo često nedovoljnojasno mogu interpretirati jer veće vrednosti pokazatelja tačnosti jedne tačke ne značeuvek i njeno lošije odredjivanje u mreži. O njenom položaju u odnosu na tačke kojedefinišu datum-sku odredjenost mora se voditi računa. U slučaju uporedjivanja lokalnih mera tačnosti u različitim varijantama jedne mreže tazavisnost od datum-a se znatno smanjuje pa se napred navedeni kriterijumi moguuspešno koristiti u te svrhe.

GLOBALNE MERE TAČNOSTI

Kao najopštija mera globalne tačnosti može se koristiti srednja varijansa odredjivanjaparametara GMM

2ˆ ˆ

1x xm trag k

u− = (2.46)

Ona se ponekad zamenjuje srednjom položajnom greškom tačke

ˆ 2P xm m= (2.47)

Kao i mere lokalne tačnosti mreža i napred navedene globalne su zavisne od datum-skeodredjenosti mreže. Za uporedjenje varijanti mreže sa istim datum-om napred navedenikriterijum ima svoju realnu vrednost ali se ponekad i njegovim korišćenjem mogu izvestipogrešni zaključci. Pretpostavimo da su za odredjivanje koordinata jedne tačkepredvidjena dva plana opažanja i da su po oba dobijene srednje varijanse

2ˆ

1 125

2 2x A Bm trag K trag K− = = =

Na osnovu toga sledi da su oba plana opažanja jednako dobra ali ako se sračunajuelipse grešaka (lokalna mera) može se videti da ta dva olana opažanja daju bitnorazličite rezultate. Želeći da eliminišu taj nedostatak srednje varijanse mnoge geodete favorizuju kao meruglobalne tačnosti generalizovanu verijansu koja se računa po formuli

2ˆ 1 2det ....u ux x um K λ λ λ− = = ⋅ (2.48)

što predstavlja u-ti koren determinante Kx. Nedostatak ovog kriterijuma je taj da kodsingularnih Kx je det Kx =0. U tom slučaju se det Kx zamenjuje proizvodom od nulerazličitih sopstvenih vrednosti. Generalizovana varijansa ima jednostavno značenje jerpredstavlja zapreminu elipsoida odnosno njegovu površinu u slučaju ravanskih mreža.

Kao mera globalne tačnosti varijante neke mreže koristi se max – maksimalnasopstvena vrednost Kx . Teorijska osnova za ovako formiran kriterijum leži u činjenici dase standard proizvoljne funkcije fk, nezavisne od datum-ske odredjenosti, nalazi izmedjulimita

0 min 0 maxKK f Kf fσ λ σ σ λ< < (2.49)

koji su u direktnoj vezi sa ekstremnim sopstvenim vrednostima Kx . S obzirom da su σ0 inorma vektora fk proizvoljne funkcije (za konkretnu merenu veličinu) konstantne to ćegornji limit u (2.49) direktno zavisiti od max . U tom slučaju varijanta mreže, sa istomdatum-skom odredjenošću, koja ima manju max imaće manje standarde svihproizvoljnih funkcija. Na osnovu toga proističe da se kao globalna mera tačnosti možekoristiti izraz

max →min (2.50)

Ukoliko se od jedne mreže želi da ima homogenu tačnost tada se kriterijum možeformirati kao

max

min

1qλλ

= → (2.51)

varijanta mreže koja bolje zadovoljava (2.51) se može smatrati homogenijom. Navedeni kriterijumi globalnih mera tačnosti, iako su zavisni od datum-ske odredjenostimreže, mogu se koristiti kao mere uspešnosti procesa optimalnog projektovanjageodetskih mreža.

38. Metode optimizacije projektovanja I-og i II-og reda

Metode matematičke optimizacije projektovanja I i II reda se veoma često prožimaju izbog toga se obradjuju zajedno. Optimizacija projektovanja prvog reda dovodi do optimalne konfiguracije geodetskemreže (fiksni parametri izravnanja matrica težina P i korelaciona matrica Qx a nepoznatamatricaA). Ovaj tip optimizacije, ukoliko se primenjuje samostalno, kao rezultat daje pravilnugeometriju geodetske mreže i uglavnom se, zbog topografskih prepreka, ne možerealizovati. Projekat drugog reda dovodi do optimalnih težina (matrica P) ili tačnostiopažanja polazeći od usvojene konfiguracije (definisane matricom A) i korelacionematrice nepoznatih Qx. Vrlo često se javljaju metode matematičke optimizacije kojima su obuhvaćena oba redaprojektovanja. Za rešavanje ovih problema optimalnog projektovanja koriste se obestrategijekoje baziraju na primeni raznih matematičkih metoda.

PODELA MATEMATIČKIH METODA OPTIMIZACIJA PROJEKTOVANJAI I II REDA

Pri rešavanju problema projektovanja I i II reda uz pomoć matematičkih metodaoptimizacije mogu se, kao i za optimizaciju uopšte, koristiti dve moguće strategije. Poprvoj strategiji rešavanja unapred se odredjuju pojedine funkcije parametara geodetskihmreža koje se mogu minimizirati ili maksimizirati. Matematičke metode odredjivanjaekstremnih vrednosti takvih funkcija (obično se nazivaju cilj-funkcijama) mogu biti veomarazličite i uglavnom zavise od oblika i složenosti postavljenih zahteva kao iograničavajućih uslova za promenljive parametre mreže. Ove matematičke metode suuglavnom iz oblasti linearnog ili nelinearnog matematičkog programiranja kojima se,polazeći od odgovarajućeg početnog rešenja odredjuje potrebna ekstremna vrednostpomoću odredjenih iterativnih metoda. Proces iteracija se završava kada postavljenacilj-funkcija dostigne svoju traženu ekstremnu vrednost uz poštovanje svih uslovaograničenja za promenljive parametre mreže.

Algoritamska šema mogućih matematičkih modela za proizvoljne sisteme koji se želeoptimirati.

Metode matematičke optimizacije I i II reda

Linearni problemi aproksimacija nelinearni problemi

Simulacione metode

Simpleks metode

Strategija I Strategija II

Nelinearno programiranje

Dinamičko programiranje

Direktno rešenje

Kanonsko rešenje

Ostale metodeLagrange-ova

funkcijaGradijentna

metodaKvadratno

programiranjeOstale metode

Na šemi se vidi da se problemi optimizacije po prvoj strategiji mogu svesti na linearne ilinelinearne probleme. U suštini problemi optimizacije su uvek nelinearni ali se mogu, uzpomoć raznih uopštavanja ili aproksimacija, prevesti u linearni oblik direktno ili iz većformiranog nelinearnog modela.Korišćena uopštavanja i aproksimacije kod dobijanja linearnog problema iz nelinearnogmoraju biti tako izabrani da nemaju bitnog uticaja na rezultate dobijene rešavanjemlinearnog problema. Na algoritmu matematičke optimizacije problema projektovanjaprikazane su inajčešće korišćene matematičke metode za rešavanje pojedinih navedenih problema poprvoj i drugoj strategiji. Za rešavanje linearnih problema najčešće se može veoma uspešno koristiti simpleksmetoda linearnog programiranja.Za rešavanje problema po prvoj strategiji najčešće se koriste razne metode nelinearnogi dinamičkog programiranja. Najčešće korišćene metode nelinearnog programiranja su:metode kvadratnog programiranja, metode projekcije gradijenta i metoda minimizacijeLAGRANGE-ove funkcije. Za rešavanje problema po drugoj strategiji koriste se metode direktnog, kanonskogrešenja ili neke druge metode.Za rešavanje problema optimalnog projektovanja I i II reda veoma često se koristimetoda simulacija gde se od početnog iskustvenog rešenja sa proizvoljnim brojemmerenja ide na poboljšanje dobijenih rezultata uvodjenjem dodatnih opažanja u mreži.Izbor tih dodatnih opažanja zavisi od dobijenin rezultata prethodne simulacije i intuicijeprojektanta mreže koji mora aktivno učestvovati u projektovanju. Rešavanje problema optimalnog projektovanja I i II reda uz pomoć strategije II seuglavnom ograničava na odredjivanje optimalnih vrednosti elemenata matrice P. U tomslučaju smatraju se matrica koeficijenta jednačina popravaka A i korelaciona matricanepoznatih parametara mreže Qx poznatim. Matrica A je u potpunosti definisanausvojenom konfiguracijom mreže. Za primenu ove strategije neopnodno je odrediti ielemente korelacione matrice Qx nepoznatih parametara mreže. Za odredjivanje njenihelemenata za sada postoje samo metode koje odredjuju njihove aproksimativnevrednosti. U ovim aproksimacijama i leži glavni nedostatak korišćenja ove strategijeoptimizacije.

39. Modeli optimizacije III-eg reda

Optimizacijom dizajna trećeg reda odreñuju se optimalne težine planiranih merenja ugeodetskim mrežama sa dodatnim dizajnom u odnosu na dizajn postojeće mreže.Dodatni dizajn sadrži nove tačke i nova planirana merenja, ili samo nova planiranamerenja. Na ovaj način optimizacijom dizajna trećeg reda rešavaju se problemipoboljšanja, proširenja i pogušćavanja geodetskih mreža. Optimalna rešenja se dobijajuprimenom modifikovanogmetoda najmanjih kvadrata pri čemu je poznata matrica kriterijuma kofaktora koordinata.Postoje tri različita osnovna matematička modela:

• dinamički model,

• statički model,• model sa hibridnom normom.

Dinamički model daje optimalna rešenja težina dodatno planiranih merenja upogušćenoj ili proširenoj mreži. Opšti model dinamičkog izravnanja, proširene mreže udinamičkom smislu, zasnovan je na funkcionalnom modelu posrednog izravnanjapodeljenog u dve grupe:

1 11 1 12 2 3 1

2 1 12 2 23 3 2

ˆ ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ0

v A x A x x f

v x A x A x f

= + + += + + +

(9.171)

i stohastičkom modelu

1

2

PP

P

=

(9.172)

Gde je:l1 vektor starih merenja postojeće mreže,l2 vektor novih merenjaP1 matrica težina starih merenjaP2 matrica težina novih merenja.

Matrica dizajna sastavljena je od submatrica

11 12

22 23

0

0

A AA

A A

=

a vektor ocena koordinata je podeljena u tri subvektora:

( )1 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆT T T T Tx x x x=Dinamički model izravnanja pogušćene mreže karakterističan je po tome što drugagrupa novih merenja utiče na ocene koordinata svih tačaka i njihovu tačnost. Na istinačin u optimizaciji, dizajn novih merenja utiče na promene težina realizovanih iliplaniranih merenja. Zbog toga, u dinamičkom pristupu rešenju optimizacije trećeg reda,odreñuju se težine svih merenja kao nepoznati parametri. Dinamički model optimizacijespecijalno je prilagonen za optimizaciju mreža u postupku projektovanja odnosno u fazikada je samo poznat dizajn. Na ovaj način kada nisu realizovana merenja, za izražendizajn i dobijena rešenja u prvoj fazi (postojeće rešenje), mogu se u drugoj fazi dodatinova planirana merenja a iznalaženje rešenja za novi dizajn je pojednostavljeno jer sekoriste rezultati računanja iz prve faze.

Statički model omogućuje dobijanje optimalnih težina dodatno planiranih merenjaa težine merenja u postojećem dizajnu ostaju nepromenjene. Statički model optimizacijedizajna trećeg reda, zasnovan je na teorijskim razmatranjima modifikovanog metodanjamanjih kvadrata, opštem polaznom sistemu i rešenjima dobijenim u dinamičkommodelu optimizacije. Statički model omogućava odrenivanje težina planiranih novihmerenja pod uslovom da težine vektora p1 u postojećem delu mreže ostanu konstantne.

Imajući u vidu postavljene zahteve, statički model optimizacije dizajna trećeg redadefiniše se:

1/ 2/3

1

2

, ( )x x

pp q vec Q

p+ =

sa sistemom jednačina u obliku Katri-Rao proizvoda

( )T TxA A p q⋅ =e (9.129)

I uslovima( ) 10I p p⋅ = (9.193)Uvonenjem vektora popravaka r u nesaglasan sistem (9.192), kao kod modifikovanogmetoda najmanjih kvadrata sistem se rešava pod uslovom:

1 12 ( ) minT Tr r k I p p+ ⋅ − = (9.194)

Gde je k vektor korelata. Rešenjem sistema (9.192) pod uslovom (9.194) dobija sesistem normalnih jednačina odakle se dobijaju subvektori gde su u vektoru p2 sadržanatražena rešenja za težine planiranih novih merenja. Poreñenjem izraza uočava se, da serešenja za vektor p2 kod dinamičkog i statičkog modela, razlikuju samo zbog različitihmatrica N22 i N22.

Model sa hibridnom normom zasniva se na rešenjima razmatranim u okvirudinamičkog i statičkog modela optimizacije dizajna trećeg reda. Model sa hibridnomnormom sačinjen je od dva različita dela, sa korespondentnim matricama težina. Jedandeo sadrži popravke iz aproksimacije inverzne matrice kriterijuma kofaktora koordinata,a drugi kvadratnu formu promena u težinama merenja postojećeg dizajna.Veoma veliki problem primene modela sa hibridnom normom predstavlja izborpogodnogodnosa težina n>1 i n>2 u postojećoj i dodatnoj geodetskoj mreži. Od pravilnog izboraovih veličina zavisi stepen slaganja vektora sa njegovom vrednošću iz prethodnogizravnanja Pj postojećeg dela mreže i pretpostavljenog oblika inverzne korelacionematrice. Taj problem nije u dovoljnoj meri istražen i praktič no onemogućuje njegovuprimenu.Na osnovu prikaza nekoliko metoda koje su do sada razvijene za rešavanje problemaprojektovanja III reda može se zaključiti da neku veću praktičnu vrednost ima samosimulaciona metoda. Ona predstavlja srećan spoj iskustva projektanta geodetske mrežei savremene računarske i kompjuterske tehnike koja je već svuda prisutna. Ostale razvijene metode uglavnom imaju samo teorijski značaj i tek će njihova budućarazrada dati neka inženjersko tehnički vrednija rešenja.

40. *Kriterijumi kvaliteta geodetskih mreža kao cilj funkcije procesa optimizacije*

Rešavanja problema optimalnog projekta I i II reda po prvoj strategiji može da se vrši ipo originalnoj metodi. Metoda se bazira na korišćenju kriterijuma kvaliteta geodetskihmreža, izraženih pomoću sopstvenih vrednosti korelacione matrice Qx , kao cilj funkcijeproblema nelinearnog programiranja. Analizirajući kriterijume kvaliteta geodetskihmreža zaključuje

se da se kao cilj funkcija kriterijuma tačnosti i pouzdanosti geodetskih mreža možekoristiti izraz za maksimalnu sopstvenu vrednost korelacione matrice

(max) Qx =min (3.123)

Korelaciona matrica Qx ima poznati oblik

Qx= (ATPA)-1 (3.124)

gde su u procesu optimizacije drugog reda jedine promenljive elementi dijagonalnematrice P

P =diag(p1, p2,..., pn ) (3.125)

P =diag(1/σ12, 1/σ2

2,..., 1/σn2) (3.126)

jer je

Pi =1/σn2 (3.127)

pa bi se problem nelinearnog programiranja mogao predstaviti kao

max(σ12, σ2

2,..., σn2)→min (3.128)

Uz uslove ograničenja.

σmin ≤ σi ≤ σmax (3.129)

Predloženom metodom je nadjen postupak menjanja i σi svakog pojedinačnog opažanjalitako da se iterativnim putem dobija željena vrednost postavljene cilj funkcije. Menjajućiσi u granicama (σmin , σmax ) menjaće se i vrednost max (Qx) u funkciji uticaja tačnosti togmerenja na cilj funkciju.Uvodjenjem granica za i σi eliminiše se mogućnost dobijanja, u optimalnom planuopažanja, nerealno malih i (σi)opt odnosno vrednosti koje se ne mogu realizovati saraspoloživim instrumentarijem.U ovom slučaju max se može predstaviti kao jedna nelinearna funkcija čija se ekstremnaili željena vrednost može postići menjajući vrednosti i σi. U ovom slučaju cilj funkcija iuslovi ograničenja se mogu predstaviti izrazima (3.128) i (3.129).Sada je potrebno rešiti prolem kako i za koliko menjati vrednosti kako bi se u konačnombroju iteracija dobila željena vrednost max odnosno željena tačnost u mreži. U rešavanjutog zadatka polazi se od činjenice da će opažanja li , sa σi = σmin (početno rešenje) datimax =(max )min odnosno dobiće se minimalno moguća vrednost maksimalne sopstvenevrednosti korelacione matrice mreže te konfiguracije. Drugim recima ni jedan drugiraspored tačnosti merenja u mreži ne može dati manju vrednost za max max .Sada se mogu kod rešavanja ovakvih problema javiti dva slučaja:a) Prvi slučaj:

(max)min [(Ai)max]2 <<K =AK2 (3.130)

<<- mnogo manjegde su- (Ai )max - maksimalni standard tačke mreže (za o σ0 = 1) u jednodimenzionalnoj mreži(maksimalni poluprečnik elipse grešaka u dvodimenzionalnoj mreži) koju će dati početnorešenje.

K =AK2 -vrednost koja definiše željenu tačnost u mreži.

U ovom slučaju tačnost koja se postiže početnim rešenjem je daleko veća nego što je topotrebno za primenu te mreže u praksi. U tom slučaju je potrebno naći takav rasporedtačnosti merenja koji će dati max<<K

a) Drugi slučaj:(max)min [(Ai)max]2=K =AK

2 (3.131)

Drugim rečima potrebno je u mreži postići maksimalno moguću tačnost parametaramreže kao da su sva merenja realizovana sa maksimalno mogućom tačnosti. Tu sejavlja problem odredjivanja koja merenja, a ona sigurno postoje, se ne moraju izmeriti samaksimalno mogućom tačnosti jer se tu kriju moguće uštede u vremenu, radu ilisredstvima koja opravdavaju primenu optimizacije.Za rešavanje oba slučaja postavljenog problema u ovoj metodi se polazi odpretpostavke da je moguće odrediti uticaj promene standarda merenja σi za priraštaj σna vrednost cilj funkcije. Posle odredjivanja tog uticaja jednim iterativnim postupkom,menjajući standarde opažanja (ne ravnomerno kao u do sada realizovanim prethodnimocenama tačnosti u mrežama) obrnuto proporcionalno njihovom uticaju na vrednost ciljfunkcije, može se postići da λ max bude približno jednako unapred definisanoj vrednosti λK, tj.

(max) j-ta-iteracija =K (3.132)

Drugim rečima može se reći da se vrednost σi onih elemenata mreže koji imaju maliuticaj na vrednost cilj funkcije max→λ K mogu više povećavati u svakoj iteraciji.