SKUPINSKA POMO Č U ČENCEM TRETJEGA RAZREDA Z U ČNIMI ...pefprints.pef.uni-lj.si/3701/1/MIHAELA_MATAIC... · V skupino 3 pa je bilo vklju čenih 209 vrstnikov oziroma sošolcev

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

MIHAELA MATAIČ ŠALAMUN

SKUPINSKA POMOČ UČENCEM TRETJEGA RAZREDA Z UČNIMI TEŽAVAMI PRI ARITMETIKI

MAGISTRSKO DELO

LJUBLJANA 2016

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

MIHAELA MATAIČ ŠALAMUN

SKUPINSKA POMOČ UČENCEM TRETJEGA RAZREDA Z UČNIMI TEŽAVAMI PRI ARITMETIKI

MAGISTRSKO DELO

MENTORICA: DR. MARIJA KAVKLER, IZR. PROF.

SOMENTORICA: DR. TATJANA HODNIK ČADEŽ, IZR. PROF.

LJUBLJANA 2016

ZAHVALE

K nastanku mojega magistrskega dela je pripomoglo mnogo dogodkov in mnogo ljudi…

Zahvaljujem se mentorici, izr. prof. dr. Mariji Kavkler, ki me je usmerjala, spodbujala in mi nesebično pomagala

s strokovnimi nasveti v času nastajanja magistrskega dela. Za strokovne usmeritve in nasvete se zahvaljujem tudi

somentorici izr. prof. dr. Tatjani Hodnik Čadež.

Iskrena hvala sodelujočima šolama, ravnateljicama in učiteljicam, ki so prisluhnile mojim idejam in omogočile

praktično izvajanje magistrske naloge na šoli. Posebna zahvala gre tudi staršem, ki so dovolili testiranje in obravnavo njihovih otrok.

Hvala, učenke in učenci, ki ste vztrajali in se bogatili z menoj.

Zahvaljujem se dr. Janezu Jermanu za nasvete glede statistične obdelave podatkov ter Andreji Četina in Andreji Šlichthuber za pomoč pri statistični obdelavi podatkov,

Cvetki Rengeo za lektoriranje in Iris Vičar za pomoč pri angleškem prevodu.

Hvala tudi Vam, prijateljice, ki ste me spodbujale in mi vlivale moči, da zaključim študij.

Prisrčno zahvalo za razumevanje mojih obveznosti namenjam

mojima otrokoma Živi in Nejcu in mami, ki so mi stali ob strani in vztrajali z mano.

V spomin možu in očetu.

Mihaela Mataič Šalamun Skupinska pomoč učencem tretjega razreda z učnimi težavami pri aritmetiki

I

POVZETEK

Rezultati raziskav, ki so povezane z učnimi težavami pri učenju matematike, kažejo, da

matematični dosežki posameznika pomembno vplivajo na njegovo izobraževalno uspešnost, na

njegove možnosti zaposlovanja in tudi na duševno zdravje. Ene od pogostejših učnih težav pri

matematiki so učne težave pri učenju aritmetike. Učenci z učnimi težavami pri učenju

aritmetike imajo nezadostno avtomatizirana aritmetična dejstva in postopke v algoritmu za

aritmetične operacije, kar je pogosto vzrok za učne težave teh učencev skozi celotno

osnovnošolsko izobraževanje, zato potrebujejo specifične pristope in intenzivnejše učenje

različnih strategij. Ena od učinkovitih oblik obravnave učencev z učnimi težavami pri

matematiki je skupinska oblika pomoči na tretjem koraku slovenskega petstopenjskega modela

pomoči učencem z učnimi težavami. Ta omogoča vključitev več učencev hkrati v obravnavo

ter več komunikacije med učenci, kar pomembno vpliva na napredek učencev pri učenju

matematike. Večstopenjski modeli pomoči omogočajo učinkovito odkrivanje učencev, ki so

rizični za učni neuspeh pri matematiki in/ali na drugih področjih učenja ter učinkovitejše in

intenzivnejše oblike pomoči, ki so v primerjavi z običajnimi oblikami dela z učenci organizirane

bolj zgodaj.

Temeljni namen magistrskega dela je oblikovanje kompenzacijskega programa razvoja

aritmetičnih znanj in spretnosti pri učencih z učnimi težavami pri aritmetiki v 3. razredu

osnovne šole ter oblikovanje modela obravnave učencev v okviru skupinske pomoči ob

vrstniški pomoči na tretjem koraku petstopenjskega modela pomoči učencem z učnimi

težavami. Program zajema razvoj aritmetičnih znanj in spretnosti v skupini in razvoj

aritmetičnih dejstev in postopkov na računalniku z namenom zmanjšanja ali odprave učnih

težav pri aritmetiki pri učencih z učnimi težavami pri artimetiki in preprečitve nizkih

izobraževalnih rezultatov pri aritmetiki v višjih razredih osnovne šole.

V vzorec je bilo zajetih 16 učencev z učnimi težavami pri učenju aritmetike, ki so bili vključeni

v skupinsko obravnavo na tretjem koraku petstopenjskega modela pomoči in so predstavljali

eksperimentalno skupino (skupino 1) in 14 učencev z učnimi težavami pri učenju aritmetike, ki

niso bili deležni pomoči po našem programu in so predstavljali kontrolno skupino (skupino 2).

V skupino 3 pa je bilo vključenih 209 vrstnikov oziroma sošolcev obeh skupin učencev, ki niso

imeli prepoznanih učnih težav pri aritmetiki. Poleg tega pa smo iz skupine 3 izbrali 14 učencev,


II

ki so izvajali vrstniško pomoč učencem z učnimi težavami pri aritmetiki. V raziskavi so bili

uporabljeni različni merski instrumenti, s katerimi smo ugotavljali aritmetična znanja in

spretnosti, organizacijske spretnosti in učne stile učencev. Uporabljen je bil vprašalnik za

učitelje za oceno aritmetičnih znanj in spretnosti vseh učencev, vključenih v raziskavo. V

raziskavi je bila izvedena kvalitativna in kvantitativna obdelava podatkov v skladu z namenom

študije in raziskovalnimi hipotezami. Narejena je bila osnovna statistika za opis vzorca in prikaz

celotnega vzorca spremenljivk, frekvenčna porazdelitev vseh spremenljivk, aritmetične sredine

in standardni odkloni za numerično izražene odgovore, t-test, Levenov F-test homogenosti

varianc in diskriminantna analiza.

Rezultati so pokazali, da so učenci skupine 1 statistično pomembno napredovali v

avtomatizaciji aritmetičnih postopkov seštevanja in odštevanja do 100 in do 1000 ter v

avtomatizaciji dejstev v času izvajanja program. S treningom aritmetičnih znanj in spretnosti v

skupini ob vrstniškem sodelovanju ter treningom aritmetičnih postopkov in dejstev na

računalniku se je povečalo število transformacijskih strategij in priklica dejstev ter točnost

izvedbe postopkov in priklica dejstev. Prav tako so se pokazale statistično pomembne razlike

med učenci skupine 1 in skupine 2 po koncu izvajanja programa, in sicer v avtomatizaciji

aritmetičnih dejstev in postopkov seštevanja in odštevanja do 100 in do 1000 ter v

avtomatizaciji poštevanke. Napredek učencev skupine 1 pa se je pokazal tudi pri primerjavi

dosežkov učencev skupine 1 in skupine 3 na Testu za ugotavljanje aritmetičnih dejstev in

postopkov po koncu izvajanja programa. Razlike med dosežki skupine 1 in skupine 3 na

začetnem testiranju so bile namreč statistično pomembne pri vseh spremenljivkah, na končnem

testiranju pa se razlike v dosežkih obeh skupin niso pokazale kot statistično pomembne pri

računih, vrednotenih z 1 in 2 točkama, medtem ko so bile razlike v dosežkih še vedno statistično

pomembne pri računih, vrednotenih s 3 točkami in pri doseženem številu točk. Iz rezultatov

analize variance in rezultatov diskriminantne analize je razvidno, da se dosežki učencev skupine

1 in skupine 2 statistično pomembno razlikujejo pri rezultatih testov, ki smo jih zajeli v analizo.

Učinkovito prepoznavanje in diagnostično oceno učencev z učnimi težavami pri aritmetiki

omogočajo Desetminutni aritmetični test za ugotavljanje aritmetičnih dejstev in postopkov

(Kavkler, Tancig, Magajna, Rugelj in Lipec-Stopar, 1996), preizkus Odkrivanje učnih težav pri

matematiki III (Adler, 2000) ter Test poznavanja števil (Griffin, 2002).


III

Prispevek k znanstvenemu razvoju specialne in rehabilitacijske pedagogike predstavlja

raziskovanje in razvoj modela pomoči učencem z učnimi težavami v osnovni šoli, s poudarkom

na oblikovanju modela za obravnavo učencev v okviru skupinske pomoči ob vrstniški pomoči

na tretjem koraku petstopenjskega modela odziv na obravnavo. Z empiričnim delom

magistrskega dela prispevamo k razvoju pedagoške teorije in prakse, saj smo predstavili primer

dobre prakse izvajanja pomoči učencem z učnimi težavami pri aritmetiki v osnovni šoli.

Aplikativni doprinos magistrskega dela je v oblikovanju programa razvoja aritmetičnih znanj

in spretnosti pri učencih z učnimi težavami pri aritmetiki v 3. razredu osnovne šole.

KLJUČNE BESEDE: učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, model odziv na obravnavo,

trening aritmetičnih postopkov in dejstev, skupinska pomoč, vrstniška pomoč, učinkovite

strategije specialno-pedagoške pomoči, petstopenjski model pomoči


IV

SUMMARY

Research results, connected with learning difficulties in maths, show that the achievements in

maths have a significant effect on one's educational success, their employment possibilities, and

also their mental health. One of the most frequent difficulty in maths is learning arithmetics.

With the students, who have learning difficulties in arithmetics, the arithmetic facts are not

sufficiently automatized and neither are the procedures in algorithm for arithmetic operations.

This is the most common reason for learning difficulties through the whole elementary school

period, so the students need specific approaches and more intensive learning of different

strategies. An efficient method of work with the students with learning difficulties in maths is

group support on the third level of Slovene 5-step model of learning support (response to

intervention) to students with learning difficulties. It enables more students to get support and

also an interaction between them, which has an important effect on learning progress.

Multilevel models of support enable an efficient recognition of the students, who are at risk for

being unsuccessful in maths or other subjects, and more efficient and intensive forms of support,

which are organized and given earlier than the common forms of support.

The basic aim of my post graduate paper was to build a compensatory programme of

development of arithmetic knowledge and skills for the third-grade students with learning

diffculties in arithmetics, and to form a model of support, which included group support and

peer tutoring on the third level of the 5-step model of learning support to students with

learning difficulties. The programme included practice of arithmetic knowledge and skills in a

group, with the integration of the peer tutoring, and practice of arithmetic facts and procedures

in algorithm on the computer with an aim to reduce or eliminate learning difficulties with the

third-grade students in arithmetics, and so prevent the low achievement levels in arithmetics in

higher grades of primary school education.

There were 16 students with learning difficulties in arithmetics, who were integrated in the

group support on the third level of the 5-step model of learning support. They represented an

experimental group (group 1). There were 14 other students with learning difficulties in

arithmetics, who did not receive our support, and they represented group 2. In group 3 there

were 209 students, who did not have any learning difficulties in arithmetics. In the research we

used different metric instruments, with which we assessed arithmetic and counting abilities,


V

number knowledge, organizational skills and learning styles of the students. The collected data

were analysed qualitatively and quantitatively according to the aim of the study and the research

hypotheses. We made basic parametric statistics to describe the pattern and to present the whole

pattern of variables, frequency arrangement of all variables and arithmetic mean, standard

deviations for numerically presented answers, t-test, Levene's F-test of equality of variances

and discriminative analysis.

The results showed that the students in group 1 (experimental group) showed a statistically

important progress in automatization of the arithmetic procedures in algorithm, in addition and

substraction to 100 and 1000, and in automatization of multiplication. Practice of arithmetic

knowledge and skills in group and with integration of peer tutoring, and the practice of

arithmetic facts and procedures in algorithm on the computer resulted in a bigger number of

transformational strategies and recall of facts, and accuracy in procedure implementation in

algorithm and recall of facts. At the end of the programme there were also statistically important

differences between the group 1 and the group 2 (control group) in the automatization of

arithmetic facts and procedures in algorithm, in addition and substraction to 100 and 1000, and

in automatization of multiplication. The progress of the group 1 was also seen at a final testing

at the end of the programme, since the differences between the group 1 and the group 3 (students

without learning difficulties in maths) did not prove statistically important at a test which

assessed arithmetic facts and procedures with the sums for 1 and 2 points. The results of

variance and discriminative analysis show that there are statistically important differences

between the students from the group 1 and the group 2 in test results. We can make an efficient

identification and a diagnostic evaluation of the students with learning difficulties in arithmetic

with Ten-minutes arithmetic test for assessing arithmetic facts and procedures (Kavkler,

Tancig, Magajna, Rugelj in Lipec-Stopar, 1996), a test Manual Mathematics Screening III

(Adler, 2000), and Number Knowledge Test (Griffin, 2002).

Research and development of models of support to the students with learning difficulties with

an emphasis on group support and peer tutorinh on the third level of the 5-step model of learning

support (to the students with learning difficulties at elementary school represents an important

contribution to scientific development of special and rehabilitation pedagogy. In the empirical

part the paper contributes to development of pedagogic theory and practice with a presentation

of an example of good practice how to give support to the students with learning difficulties in


VI

arithmetics. Applied contribution of the paper is in building the compensatory programme of

development of arithmetic knowledge and skills for the third-grade students with learning

diffculties in arithmetics.

KEY WORDS: students with learning difficulties in arithmetics, response to intervention,

practice of arithmetic procedures and facts, group support, peer tutoring, efficient strategies of

special-pedagogical support, 5-step model of learning support


VII

KAZALO VSEBINE

1 UVOD ........................................................................................................................................................... 1

2 TEORETIČNA IZHODIŠČA..................................................................................................................... 3

2.1 INKLUZIJA .............................................................................................................................................. 3

2.1.1 Zgodovina inkluzije......................................................................................................................... 3

2.1.2 Opredelitev inkluzije ....................................................................................................................... 3

2.1.3 Pravice posameznika v okviru inkluzije .......................................................................................... 4

2.1.4 Pogoji za razvoj inkluzije ................................................................................................................ 6

2.2 UČNE TEŽAVE IN UČENCI Z UČNIMI TEŽAVAMI PRI MATEMATIKI........................................ 8

2.2.1 Splošne ali nespecifične učne težave ............................................................................................... 8

2.2.2 Specifične učne težave .................................................................................................................... 9

2.2.3 Učne težave pri matematiki ............................................................................................................. 9

2.2.4 Splošne učne težave pri matematiki .............................................................................................. 11

2.2.5 Sprecifične učne težave pri matematiki ......................................................................................... 12

2.2.5.1 Kriteriji za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj otrok s

posebnimi potrebami............................................................................................................................... 13

2.3 VEČSTOPENJSKI MODEL POMOČI .................................................................................................. 14

2.3.1 Petstopenjski model nudenja pomoči ............................................................................................ 17

2.3.2 Strategije dela z učenci na 2. koraku petstopenjskega modela pomoči učencem z učnimi težavami

pri matematiki .............................................................................................................................................. 23

2.4 RAZISKAVE, KI PODPIRAJO ZGODNJO MATEMATIČNO OBRAVNAVO ................................. 33

2.5 SODELOVALNO UČENJE IN VRSTNIŠKA POMOČ ....................................................................... 35

2.5.1 Pomen sodelovalnega učenja in vrstniške pomoči za učno uspešnost učencev z učnimi težavami37

2.6 MATEMATIKA IN MATEMATIČNO ZNANJE ................................................................................. 38

2.6.1 Matematično deklarativno znanje ................................................................................................. 38

2.6.2 Matematično konceptualno znanje ................................................................................................ 39

2.6.3 Matematično proceduralno znanje ................................................................................................ 43

3 PROBLEM IN CILJ RAZISKAVE ......................................................................................................... 56

3.1 OPREDELITEV PROBLEMA ............................................................................................................... 56

3.2 CILJ RAZISKAVE ................................................................................................................................. 56

4 HIPOTEZE IN RAZISKOVALNA VPRAŠANJA ................................................................................. 57

4.1 RAZISKOVALNA VPRAŠANJA ......................................................................................................... 57

4.2 HIPOTEZE ............................................................................................................................................. 57

5 METODE DELA ....................................................................................................................................... 58

5.1 VZOREC OSEB ..................................................................................................................................... 58

5.2 MERSKI INSTRUMENTI ..................................................................................................................... 60

5.2.1 Desetminutni aritmetičnih test za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov v

algoritmu (Kavkler idr., 1996) ..................................................................................................................... 61


VIII

5.2.2 Vprašalnik za učitelje za oceno aritmetičnih znanj in sposobnosti učencev ................................. 62

5.2.3 Vprašalnik o organizacijskih veščinah (Do you have good organization skills?, 2011) ............... 62

5.2.4 Vprašalnik o ugotavljanju učnih stilov (Memletics learning styles questionnaire, 2011) ............. 62

5.2.5 Naloge za ugotavljanje strategij štetja (Kavkler, Tancig in Magajna, 1996) ................................. 63

5.2.6 Test za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev (Sugarman, 1995) ..................... 63

5.2.7 Test poznavanja števil (Number Knowledge test – NKT) (Griffin, 2002) .................................... 63

5.2.8 Odkrivanje učnih težav pri matematiki III (Adler, 2000) .............................................................. 64

5.2.9 Test za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke ............................................................................ 64

5.2.10 Anketni vprašalnik za učence z učnimi težavami pri aritmetiki o delu v paru in skupini ............. 64

5.2.11 Anketni vprašalnik za vrstnike pomočnike o delu v paru .............................................................. 64

5.3 POSTOPEK PRIDOBIVANJA PODATKOV ....................................................................................... 65

5.4 STATISTIČNA OBDELAVA PODATKOV ......................................................................................... 66

5.5 KOMPENZACIJSKI PROGRAM .......................................................................................................... 66

5.5.1 Izvajanje programa na tretji stopnji petstopenjskega modela pomoči ........................................... 67

5.5.2 Cilji programa na področju aritmetike .......................................................................................... 68

5.5.3 Postopek izvajanja programa ......................................................................................................... 68

5.5.4 Področja programa ........................................................................................................................ 68

5.5.5 Timsko delo ................................................................................................................................... 80

5.5.6 Delo v oddelku .............................................................................................................................. 81

5.5.6.1 Vtisi razredničark ................................................................................................................. 81

5.5.7 Priprava vrstnikov pomočnikov za delo z učenci skupine 1 v paru ............................................... 83

6 REZULTATI IN INTERPRETACIJA .................................................................................................... 84

6.1 ZAČETNI REZULTATI PRI TESTIH IN GLOBALNA OCENA FUNKCIONIRANJA UČENCEV

SKUPINE 1 ...................................................................................................................................................... 84

6.2 ZAČETNI REZULTATI PRI TESTIH IN GLOBALNA OCENA FUNKCIONIRANJA UČENCEV

SKUPINE 2 ...................................................................................................................................................... 94

6.3 PRIMERJAVA ZAČETNIH REZULTATOV PRI TESTIH UČENCEV SKUPINE 1, SKUPINE 2 IN

SKUPINE 3 ...................................................................................................................................................... 99

6.4 PRIMERJAVA ZAČETNIH IN KONČNIH DOSEŽKOV TER KONČNI DOSEŽKI UČENCEV

SKUPINE 1, SKUPINE 2 IN SKUPINE 3 .................................................................................................... 104

6.5 PREGLED URESNIČEVANJA CILJEV PROGRAMA PO MATEMATIČNIH PODROČJIH ........ 147

6.5.1 Matematično deklarativno znanje ............................................................................................... 147

6.5.2 Matematično konceptualno znanje .............................................................................................. 150

6.5.3 Matematično proceduralno znanje .............................................................................................. 151

6.6 DISKRIMINANTNA ANALIZA ......................................................................................................... 153

6.7 PRIKAZ MNENJ UČENCEV Z UČNIMI TEŽAVAMI PRI ARITMETIKI IN VRSTNIKOV

POMOČNIKOV O DELU V SKUPINI IN/ALI V PARU............................................................................. 156

7 ODGOVORI NA RAZISKOVALNA VPRAŠANJA IN POTRDITEV HIPOTEZ .......................... 165

7.1 ODGOVORI NA RAZISKOVALNA VPRAŠANJA .......................................................................... 165


IX

7.2 POTRDITEV HIPOTEZ ....................................................................................................................... 171

8 SKLEPNE UGOTOVITVE .................................................................................................................... 179

9 LITERATURA ........................................................................................................................................ 185

PRILOGE .......................................................................................................................................................... 199


X

KAZALO SLIK

Slika 1: Kartončki za štetje do 100........................................................................................................................ 69

Slika 2: Razdelitev materialov na dve podmnožici ............................................................................................... 70

Slika 3: Nastavitev računa 6 + __ = 10 ................................................................................................................. 71

Slika 4: Nastavitev računa 17 + 3 = 20 ................................................................................................................. 71

Slika 5: Grafično ponazarjanje seštevanja in odštevanja ...................................................................................... 71

Slika 6: Prehod s konkretnega materiala na prazno številsko os ........................................................................... 73

Slika 7: Računanje s pomočjo prazne številske osi ............................................................................................... 73

Slika 8: Nastavljanje računov množenja z biseri ................................................................................................... 75

Slika 9: Dopolnjevanje do 10 s pomočjo računalnika ........................................................................................... 76

Slika 10: Seštevanje do 100 s pomočjo računalnika ............................................................................................. 77

Slika 11: Odštevanje do 100 s pomočjo računalnika............................................................................................. 77

Slika 12: Ocenitev uspešnosti dela z barvanjem ustrezne figure ........................................................................... 79

Slika 13: Primer rešitve številskega trikotnega testa ........................................................................................... 129

KAZALO TABEL

Tabela 1: Prikaz strukture vzorca glede na spol .................................................................................................... 59

Tabela 2: Prikaz učnih stilov učencev skupine 1 pred začetkov izvajanja programa pomoči ............................... 84

Tabela 3: Prikaz učnih stilov učencev vrstnikov pomočnikov .............................................................................. 85

Tabela 4: Prikaz razvitosti področij organizacije pri učencih skupine 1 pred začetkom izvajanja pomoči........... 86

Tabela 5: Prikaz strategij štetja učencev skupine 1 na testu Naloge za ugotavljanje strategij štetja na začetnem

testiranju ...................................................................................................................................................... 87

Tabela 6: Izbor računskih strategij učencev skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij

učencev na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 20 ..................................... 89

Tabela 7: Izbor računskih strategij učencev skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij

učencev na začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 20 .................................... 89

Tabela 8: Izbor računskih strategij skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev

na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 100 ................................................. 90

Tabela 9: Izbor strategij skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev na

začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 100 ..................................................... 90

Tabela 10: Prikaz aritmetičnih sredin dosežkov učencev skupine 1 na Desetminutnem aritmetičnem testu za

ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov na začetnem testiranju ............................... 91

Tabela 11: Dosežki učencev skupine 1 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke na začetnem

testiranju ...................................................................................................................................................... 92


XI

Tabela 12: Prikaz strategij štetja učencev in skupine 2 na testu Naloge za ugotavljanje strategij štetja na

začetnem testiranju ...................................................................................................................................... 94

Tabela 13: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine

2 na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 20 ................................................ 95


2 na začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 20 ............................................... 96


2 na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 100 .............................................. 96


2 na začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 100 ............................................. 97

Tabela 17: Prikaz aritmetičnih sredin dosežkov učencev skupine 2 Desetminutnem aritmetičnem testu za

ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov na začetnem testiranju ............................... 97

Tabela 18: Dosežki učencev skupine 2 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke na začetnem

testiranju ...................................................................................................................................................... 98

Tabela 19: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2

na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov

glede na začetno testiranje ........................................................................................................................... 99



glede na začetno testiranje ......................................................................................................................... 100



glede na začetne rezultate .......................................................................................................................... 101

Tabela 22: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 in skupine 2 na Testu

za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke na začetnem testiranju ........................................................... 102


1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 20 ................... 104


1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 20 .................. 105


1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 100 ................. 106


1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 100 ................ 107

Tabela 27: Prikaz dosežkov učencev skupin 1, 2 in 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje

avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov na začetnem in končnem testiranju .............................. 109

Tabela 28: Prikaz aritmetičnih sredin dosežkov učencev skupin 1, 2 in 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu

za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in

doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju ......................................................................... 110


XII

Tabela 29: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 na

Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede

na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju ........................... 112







Tabela 32: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 in skupine 2 na


na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na končnem testiranju ............................................... 116



glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na končnem testiranju ...................................... 117



glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na končnem testiranju ...................................... 118

Tabela 35: Dosežki učencev skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na

kočnem testiranju ....................................................................................................................................... 120

Tabela 36: Prikaz dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III

(Adler, 2000) na končnem testiranju ......................................................................................................... 122

Tabela 37: Prikaz rezultatov spremenljivke »glasno branje števil« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje

učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju ............................................................................... 123

Tabela 38: Prikaz rezultatov spremenljivke »pisanje števil« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih

težav pri matematiki III na končnem testiranju ......................................................................................... 124

Tabela 39: Prikaz rezultatov spremenljivke »urejanje številske vrste« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje


Tabela 40: Prikaz rezultatov spremenljivke »štetje nazaj od 100 po 8« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje


Tabela 41: Prikaz rezultatov spremenljivke »računske naloge I« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih

težav pri matematiki III na končnem testiranju ......................................................................................... 125

Tabela 42: Prikaz rezultatov spremenljivke »katero od dveh števil je večje« skupine 1 in skupine 2 na testu

Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju ............................................................. 126

Tabela 43: Prikaz rezultatov spremenljivke »vstavljanje manjkajočega števila« skupine 1 in skupine 2 na testu


Tabela 44: Prikaz rezultatov spremenljivke »računske naloge II« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje



XIII

Tabela 45: Prikaz rezultatov spremenljivke »določanje računske operacije« skupine 1 in skupine 2 na testu


Tabela 46: Prikaz rezultatov spremenljivke »številski trikotni test« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje


Tabela 47: Prikaz rezultatov spremenljivke »orientacija v štev. vrsti do 10, do 100« skupine 1 in skupine 2 na

Testu poznavanja števil na končnem testiranju ......................................................................................... 131

Tabela 48: Prikaz rezultata t-testa spremenljivke »orientacija v štev. vrsti do 10, do 100« skupine 1 in skupine 2

na Testu poznavanja števil na končnem testiranju ..................................................................................... 132

Tabela 49: Prikaz rezultatov spremenljivke »računanje do 100« skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja

števil na končnem testiranju ...................................................................................................................... 132

Tabela 50: Prikaz rezultate t-testa spremenljivke »računanje do 100« skupine 1 in skupine 2 na na Testu

poznavanja števil na končnem testiranju ................................................................................................... 133

Tabela 51: Prikaz rezultatov spremenljivke »orientacija v štev. vrsti do 1000 in preko« skupine 1 in skupine 2 na


Tabela 52: Prikaz rezultata t-testa spremenljivke »orientacija v štev. vrsti do 1000 in preko« skupine 1 in skupine

2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju .................................................................................. 134

Tabela 53: Prikaz rezultatov spremenljivke »ugotavljanje razlike med števili « skupine 1 in skupine 2 na Testu


Tabela 54: Prikaz rezultata t-testa spremenljivke »ugotavljanje razlike med števili« skupine 1 in skupine 2 na


Tabela 55: Prikaz rezultatov spremenljivke »računanje do 100, do 1000« skupine 1 in skupine 2 na Testu


Tabela 56: Prikaz rezultata t-testa spremenljivke »računanje do 100, do 1000« skupine 1 in skupine 2 na Testu


Tabela 57: Prikaz nivoja matematičnega znanja, ki ga dosega posamezni učenec skupine 1 na Testu poznavanja


Tabela 58: Prikaz nivoja matematičnega znanja, ki ga dosega posamezni učenec skupine 2 na Testu poznavanje


Tabela 59: Dosežki učencev skupine 1 in skupine 2 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke na

začetnem in končnem testiranju................................................................................................................. 142

Tabela 60: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 na Testu za

ugotavljanje avtomatizacije poštevanke glede na račune, vrednotene z 1, 2 točkama in doseženo število

točk na začetnem in končnem testiranju .................................................................................................... 143

Tabela 61: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 2 na Testu za

ugotavljanje avtomatizacije poštevanke glede na račune, vrednotene z 1, 2 točkama in doseženo število

točk na začetnem in končnem testiranju .................................................................................................... 144

Tabela 62: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 in skupine 2 na Testu

za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke glede na račune, vrednotene z 1, 2 točkama in doseženo število

točk na končnem testiranju ........................................................................................................................ 145


XIV

Tabela 63: Prikaz doseganja ciljev s področja matematičnega deklarativnega znanja učencev skupine 1 po

mesecih ...................................................................................................................................................... 147

Tabela 64: Prikaz doseganja ciljev s področja matematičnega konceptualnega znanja učencev skupine 1 po

mesecih ...................................................................................................................................................... 150

Tabela 65: Prikaz doseganja ciljev s področja matematičnega proceduralnega znanja učencev skupine 1 po

mesecih ...................................................................................................................................................... 151

Tabela 66: Parametri opisne statistike za manifestne spremenljivke in izračun Wilksonovega testa ................. 153

Tabela 67: Diksriminativna funkcija ................................................................................................................... 154

Tabela 68: Strukturna matrika ............................................................................................................................. 154

Tabela 69: Centroida skupin ............................................................................................................................... 155

Tabela 70: Rezultati klasificiranja....................................................................................................................... 155

KAZALO GRAFOV

Graf 1: Grafični prikaz strukture vzorca glede na skupine .................................................................................... 59

Graf 2: Mnenje učencev z učnimi težavami o priljubljenosti učenja v paru in skupini ...................................... 156

Graf 3: Mnenje učencev z učnimi težavami o želji po večkratnem učenju v paru in skupini pri matematiki ..... 157

Graf 4: Mnenje učencev z učnimi težavami o tem, katera oblika dela jim je bila bolj všeč ............................... 158

Graf 5: Mnenje učencev z učnimi težavami o sodelovanju z vrstnikom v paru .................................................. 158

Graf 6: Mnenje učencev z učnimi težavami o uspešnosti pri reševanju matematičnih nalog ............................. 159

Graf 7: Mnenje učencev z učnimi težavami o pomoči vrstnikov, če česa niso znali .......................................... 160

Graf 8: Mnenje vrstnikov pomočnikov o priljubljenosti nudenja pomoči učencu v paru pri matematiki ........... 161

Graf 9: Mnenje vrstnikov pomočnikov o želji po ponovnem nudenju pomoči učencem pri matematiki ............ 161

Graf 10: Mnenje vrstnikov pomočnikov o sodelovanju z učencem v paru ......................................................... 162

Graf 11: Mnenje vrstnikov pomočnikov o uspešnosti učencev pri reševanju matematičnih nalog ..................... 163

Graf 12: Mnenje vrstnikov pomočnikov o svoji pripravljenosti za nudenje pomoči učencem ........................... 164


1

1 UVOD

Pri raznoliki populaciji učencev v šolah, med katerimi so tudi učenci z učnimi težavami,

moramo začeti uvajati spremembe in nove pristope na področju nudenja podpore in pomoči.

Pomemben koncept, s katerim vsem učencem omogočamo najboljše vzgojno-izobraževalne

dosežke ter uspešno vključevanje v ožje in širše okolje, predstavlja inkluzivna vzgoja in

izobraževanje. Inkluzijo lahko uresničujemo z izvajanjem večstopenjskega modela pomoči in

podpore. Z dokumentom Učne težave v osnovni šoli: koncept dela so bile postavljene

»strokovne osnove za razvoj učinkovitejših pristopov učencem z učnimi težavami v slovenskem

prostoru« (Magajna, Kavkler, Čačinovič Vogrinčič, Pečjak in Bregar Golobič, 2008b; Magajna,

Kavkler, Košir, 2011). Izvajanje petstopenjskega modela odziv na obravnavo je eden izmed

pogojev za uresničevanje sprejetega koncepta. V njem ločimo pet osnovnih stopenj: »pomoč

učitelja pri pouku, pomoč šolske svetovalne službe in/ali mobilne specialno-pedagoške službe,

individualna in skupinska pomoč, mnenje in pomoč zunanje specializirane ustanove in šele

potem je možno učence z izrazitimi specifičnimi učnimi težavami usmeriti v izobraževalni

program prilagojenega izvajanja z dodatno strokovno pomočjo« (Magajna idr., 2011; Magajna

idr., 2008b). S petstopenjskim modelom »odziv na obravnavo« rizičnim učencem za učni

neuspeh pri matematiki omogočamo učinkovito, intenzivno in zgodnjo pomoč.

Ene od pogostejših učnih težav pri matematiki so učne težave pri učenju aritmetike. Učenci z

učnimi težavami pri aritmetiki imajo nezadostno avtomatizirana aritmetična dejstva in

postopke, kar je pogost vzrok za učne težave v osnovnošolskem obdobju, zato potrebujejo

specifične pristope in intenzivnejše učenje različnih strategij. Montague (1996, v Kavkler,

2011b) kot najpogostejše težave, ki se kažejo pri učencih z učnimi težavami pri matematiki,

navaja težave na naslednjih področjih: »slabše konceptualno matematično znanje, slabše

pomnjenje in obvladovanje strategij (vpliva na pojmovno znanje operacij, predstave,

avtomatizacijo priklica dejstev in postopkov ter reševanje besednih matematičnih problemov),

slabše jezikovne in komunikacijske sposobnosti, primanjkljaji pri izvajanju postopkov in

strategij in motivacija za učenje ter samopodoba«.

Rezultati slovenske raziskave o učnih težavah v osnovni šoli so pokazali, da se v slovenskih

šolah večji delež pomoči učencem z učnimi težavami izvaja v individualnih oblikah dela in

malo v skupinah (Magajna, Pečjak, Peklaj, Čačinovič Vogrinčič, Bregar Golobič, Kavkler,


2

Tancig, 2008a). Raziskovalke poudarjajo, da je potrebno strokovne delavce usposobiti za

nudenje podpore v skupinskih oblikah pomoči. Skupinska pomoč je ekonomična, ker se vanjo

vključi več učencev. Omogoča učenje po modelu, preverjanje pravilnosti odgovorov, diskusijo,

izmenjevanje strategij in idej med vrstniki itd. (Garnett, 1998, v Kavkler, 2011b). Primerna je

za avtomatizacijo učnih spretnosti, kot so branje, pisanje, poslušanje, računanje ipd.) ter učenje

strategij reševanja problemov. Vrstniško sodelovanje v skupini pomembno izboljša kognitivne

in socio-emocionalne sposobnosti in spretnosti učencev z učnimi težavami.

Raziskave poudarjajo pomemben učinek zgodnje matematične obravnave v majhnih skupinah

(Pedrotty Bryant, Bryant, Roberts, Vaughn, Pfannenstiel, Porterfield in Gesten, 2011), saj se

tako zmanjša delež učencev, ki so rizični za matematične učne težave. Delo v majhnih skupinah

je nujna komponenta zgodnje matematične obravnave (Pedrotty Bryant idr., 2011; Fuchs,

Compton, Fuchs, Paulsen, Bryant idr. (2005). Učenci z učnimi težavami pri učenju aritmetike

potrebujejo specifične pristope in intenzivnejše učenje različnih zaporedij procesov s

ponazoritvami. Fuchs, Powell, Seethaler, Fuchs, Hamlet idr. (2010) ugotavljajo, da se pri

učencih z učnimi težavami pri aritmetiki strategije ne izboljšajo z običajnim urjenjem, ampak s

specifičnih treningom, ki temelji na graditvi pojma števila, na strategijah štetja, obvladovanju

pojma števila 0, razdruževanju, kombinaciji ustreznih števil za razvoj asociacije v dolgotrajnem

spominu in ugotavljanju povezav med operacijami.


3

2 TEORETIČNA IZHODIŠČA

2.1 INKLUZIJA

2.1.1 Zgodovina inkluzije

Svoj izvor ima v Združenih državah Amerike. Začetki inkluzije segajo v šestdeseta leta

dvajsetega stoletja (Florian, 2005, v Kavkler, 2011a). Pojem je bil v izobraževanju prvič

uporabljen leta 1988 na srečanju v Frontier Collegeu v Torontu, kjer so strokovnjaki razpravljali

o počasnem razvijanju integracije v izobraževanju. Inkluzijo so opisali kot nameščanje

invalidnih otrok in odraslih ali z učnimi težavami v redne oziroma običajne šole (Thomas in

Vaughan, 2005, v Lesar, 2007).

2.1.2 Opredelitev inkluzije

Inkluzija je filozofija, ki podpira razumevanje in spoštovanje raznolikih potreb učencev.

Inkluzivna vzgoja in izobraževanje pomenita šolanje po meri vsakega učenca – živeti in se učiti

skupaj. Je protipomenka izolaciji, segregaciji. Avtorji Ainscow, Booth in Dyson (2006) so

navedli šest značilnosti inkluzije. To so: skrb, da se vključuje učence s posebnimi potrebami in

neizključevanje rizičnih skupin, strategija za povezovanje ranljivih skupin, strategija razvoja

šole, izobrazba za vsakogar in kot načelo izobraževanja.

V državah Evropske unije so bili oblikovani dejavniki, ki imajo največji vpliv na razvoj

inkluzije v praksi« (Special Needs Education in Europe, 2003; Kavkler, 2008a). To so: »premik

od medicinske usmeritve k bolj socialno-interakcijski usmeritvi; spremembe zakonodaje in

financiranja šol; razvoj kontinuuma oblik izobraževanja otrok s posebnimi potrebami;

preoblikovanje specialnih šol v centre virov inkluzivnega izobraževanja; pravica staršev do

izbire šole«. Dejavniki služijo kot podlaga za oblikovanje inkluzivne politike države (prav tam).

V Republiki Sloveniji smo si zastavili za cilje vzgoje in izobraževanja razvoj inkluzivne šole,

kar navaja tudi v 2. člen Zakona o organizaciji in financiranju vzgoje in izobraževanja (1996).

Ti cilji so: zagotaviti najvišjo možno mero razvoja posameznika ne glede na kulturno in

socialno pripadnost, veroizpoved, spol, narodno pripadnost ter duševne in telesne značilnosti,


4

spoštovati drugačnost in sodelovati z drugimi, spoštovati otrokove in družbene pravice ter

temeljne svoboščine, razvijati enake možnosti obeh spolov ter tako razvijati sposobnosti za

življenje, zagotavljati enake možnosti vzgoje in izobraževanja otrok, ki izhajajo iz manj

spodbudnega okolja ter omogočati razvoj in doseganje ustvarjalnosti čim večjemu deležu

prebivalstva v najvišji možni meri (prav tam).

2.1.3 Pravice posameznika v okviru inkluzije

Inkluzija predstavlja pravice, vrednote in ideale posameznika in družbe. Demokratične

vrednote sodelovanja, sprejemanja in upoštevanja različnosti so temelj inkluzivnega

izobraževanja in pravic posameznika. Inkluzivno izobraževanje predstavlja pravico

posameznika do osebnega, intelektualnega, kulturnega in socialnega vključevanja. Grossman

(2003) poudarja, da se v inkluzivni šoli osnove za uspešno socialno vključevanje

najučinkoviteje razvijajo, saj se posameznik v inkluzivni šoli pripravlja na uresničevanje

človekovih pravic v odraslosti.

V inkluzivni šoli se spoštujejo raznolikosti učencev in otrokova pravica do izobraževanja.

Šolski sistem se ne spreminja, uresničujejo pa se strategije vključevanja učencev z raznolikimi

potrebami tako, da je vsak učenec aktiven enako kot njegovi vrstniki. Inkluzivna šola podpira

izvajanje vzgojno-izobraževalnega dela, ki temelji na zagotavljanju enakih možnosti za vse

učence, pri čemer upošteva različnosti in individualne potenciale vsakega posebej. Inkluzivno

šolanje je odgovornost šole. Inkluzivna vzgoja in izobraževanje predstavljata neodtujljivo

pravico otrok s posebnimi potrebami do ustreznega in učinkovitega izobraževanja v rednih

vzgojno-izobraževalnih ustanovah. Inkluzivna šola se zavzema za načela, kot so: vsak učenec

je lahko uspešen, vsak učenec ima močna in šibka področja, dobri učni rezultati so odvisni od

vseh, ki delajo v smeri učenčevega uspeha, pomoč mora potekati na vseh ravneh (Villa in

Thousand, 2005, v Lesar, 2007). Inkluzija predstavlja pedagoški, socialni in psihološki proces

vključevanja učencev z raznolikimi potrebami ter v skladu z njihovimi zmožnostmi (Resman,

2002; Grah 2013).

Inkluzija je sistem ukrepov za celostno ali vsaj delno vključitev posameznikov, ki so socialno

izključeni, v socialno skupino (razred, šolo) ali širše socialno okolje. Predstavlja odstranjevanje

ovir za socialno vključevanje tistih, ki so zključeni zaradi spola, rase, nacionalnosti, verskega

prepričanja, ekonomskega in socialnega položaja ali posebnih potreb (Skalar, 2002). Inkluzivna


5

vzgoja in izobraževanje terjata spreminjanje stališč, okolja ter oblikovanje družbenega sistema,

kjer so ovire odpravljene in so omogočene najboljše razvojne možnosti vsakemu posamezniku

neke družbe (Viola, 2006).

Inkluzija zajema vzgojo in izobraževanje vseh učencev, posebej pa še učencev s posebnimi

potrebami. Pomembno je povezana z vzgojo in izobraževanjem učencev s posebnimi

potrebami, poleg tega pa tudi z možnostjo zaposlovanja, s splošnimi življenjskimi in

zdravstvenimi razmerami. Na uresničevanje inkluzije imajo pomemben vpliv vse službe v

družbi in na vseh nivojih (Mitchell, 2005; Kavkler, 2007).

Sistemski model inkluzivne šole vključuje štiri podsisteme, ki morajo delovati usklajeno, in

sicer: »učenec, razred, šola in širše okolje (Ferguson, Kozlevski, Smith, 2001, v Kavkler 2009,

Kavkler, 2011a). Tak sistem je učinkovit, saj omogoča podporo vsem učencem, še posebno pa

učencem s posebnimi vzgojno-izobraževalnimi potrebami. Sistemske spremembe so odvisne

od:

- otrokove sposobnosti za učenje in truda, ki ga vlaga v proces učenja na vseh področjih

vzgoje in izobraževanja,

- razreda, v katerem ima pomembno vlogo učitelj s svojimi stališči, znanjem,

sposobnostjo organizacije pouka, oceno otrokovih posebnih potreb, sposobnostjo organizacije

skupinskih oblik dela, pomočjo in podporo otroku, sodelovanjem s starši itd. ter vrstniki s

svojimi stališči, sodelovalnimi in socialnimi veščinami itd.,

- šole s predpisanimi standardi, količino pomoči in podpore učencu in učitelju, ki jo

nudijo šolski strokovni delavci in drugi, z ekonomično izrabo časa in virov, materialnimi pogoji

itd.,

- širšega okolja, ki vključuje inkluzivno politiko MŠŠ, vpliva na materialne vire, lokacijo

virov (v specialni ali redni šoli) itd. (Kavkler, 2005, 2007).

Inkluzivna šola skrbi za kakovost poučevanja, učenja, dosežke, za stališča in dobrobit vsakega

učenca. Učinkovitost inkluzivne šole se kaže ne le v dosežkih njenih učencev, pač pa je ključen

tudi etos in želja ponuditi priložnost tudi učencem z vzgojno-izobraževalnimi potrebami

(Ofsted, 2000). Inkluzija omogoča, da oblikujemo tako učnega okolja, da so v njem odstranjene

ovire za učenje (Evans, 2007; Grah 2013).


6

Učinkovitost inkluzije je odvisna predvsem od učiteljev (njihovih stališč, prilagajanja učnega

programa vsem učencem), od sposobnosti učencev, da se učijo (koliko in na kakšen način se

lahko učijo), od načrtovanja in organizacije učnega procesa (individualizirani programi) (Dens,

2004).

Pomembne so tudi ugotovitve avtorjev (Meijer, Soriano in Watkins, 2003, v Magajna idr., 2011,

Kavkler, 2009; Grah, 2013), ki pravijo, da so bili v državah Evropske unije opredeljeni splošni

pristopi in dejavniki, ki vplivajo na uredničevanje inkluzivne vzgoje in izobraževanja. To so:

»dobro načrtovana in fleksibilna organizacija poučevalnega procesa; uresničevanje

individualizacije in diferenciacije v procesu poučevanja; sodelovalno poučevanje; sodelovalno

učenje, učenje skupaj z vrstniki, pomoč vrstnikov ter iskanje ključnih oseb v okolju, ki lahko

pripomorejo k razvoju inkluzivne vzgoje in izobraževanja« (prav tam).

Na lokalni ravni inkluzijo izvaja skupnost, ki v različnih vrstah šol skrbi za sodelovanje otrok

iz lokalnega okolja. Naslednja raven je inkluzivni razred. Za inkluzivni razred je značilno, da

izvaja inkluzivni kurikulum. To pomeni, da se pri izobraževanju učencev po enakem kurikulu

upoštevajo njihove individualne potrebe. Raven, na kateri sodelujejo vsi učenci in se učijo

skupaj, je poimenovana kot inkluzivne izkušnje. Na ravni inkluzivnih rezultatov so razvidni

dosežki učencev ter življenjske možnosti in usposobljenost učencev za sodelovanje v družbi po

zaključku izobraževanja (Dyson, 2007).

2.1.4 Pogoji za razvoj inkluzije

Na razvoj inkluzivne vzgojno-izobraževalne prakse pomembno vplivajo dejavniki, kot so

(Kavkler, 2008a):

- stališča staršev, širše družbe in predvsem učiteljev do inkluzivne vzgoje in

izobraževanja (posebno pomembna so stališča in toleranca učiteljev do vključevanja oseb s

posebnimi potrebami v redne vrtce in šole ter njihove možnosti participacije v družbi);

- usposabljanje strokovnih delavcev, ki delajo z otroki s posebnimi potrebami v rednih

ustanovah;

- terminologija, zato v številnih državah sistematično uvajajo pozitivno naravnano

terminologijo;

- materialna in strokovna podpora rednim ustanovam;


7

- določitev dela kontinuuma otrok s posebnimi potrebami, ki se vključujejo v redne

ustanove vzgoje in izobraževanja (ali so to le otroci, ki dosegajo standarde rednih ustanov, ali

tudi otroci, ki potrebujejo več prilagoditev, pomoči in podpore)

Elliot, Doxey in Stephenson (2006) poudarjajo, da lahko govorimo o inkluziji le takrat, ko se

izvaja refleksija prakse, če razumemo šolski kontekst, poznamo posebne potrebe učencev, ko

je šola organizirana tako, da se prilagaja in upošteva potrebe vseh članov šole ter in se od vseh

članov zahteva tudi odgovornost. Mitchell (2008) navaja, da je za uredničevanje inkluzije

potrebno prilagajanje kurikula, učnih metod, preverjanja in ocenjevanja ter podpora in pomoč

učitelju v razredu.

Razvoj inkluzije je odvisen od inkluzivnega ravnanja učiteljev. Učiteljem je potrebno

omogočiti izvajati pedagoško delo na raznovrstne načine (Farrell, 2006). Po M. Kavkler

(2008a) je inkluzija proces, ki »ni nikoli končan«. V inkluzivni šoli je potrebno podpirati

profesionalni razvoj učiteljev, poskrbeti, da pridobijo specialna znanja za delo z raznoliko

populacijo učencev. V sistem nudenja podpore učiteljem zajema tudi oblikovanje

kompenzacijskih programov, ki jim omogočajo optimalno izvajanje pomoči učencem z

raznolikimi potrebami. Pomembno je, da zagotavljamo partnerski odnos med učenci, učitelji in

starši, kar predstavlja paradigmatski premik v šoli (Berry, Barnett, Kamm, Vilson, 2010;

Čačinovič Vogrinčič, 2011; Grah, 2013).

Za uspešno inkluzijo je potrebno tudi usposabljanje in izobraževanje učiteljev za pridobitev

kompetenc za delo z učenci z učnimi težavami pri aritmetiki. Z izvajanjem kompenzacijskega

programa se za učence z učnimi težavami pri aritmetiki lahko uresničujejo načela inkluzivnega

izobraževanja.


8

2.2 UČNE TEŽAVE IN UČENCI Z UČNIMI TEŽAVAMI PRI MATEMATIKI

Lerner (2003, v Magajna idr., 2011) opredeli otroke in mladostnike z učnimi težavami kot

heterogeni skupino, za katero so značilne različne kognitivne, socialne, čustvene in druge

značilnosti, pri učenju pa imajo pomembno večje težave kot njihovi vrstniki.

Učne težave delimo na splošne in specifične (Magajna idr., 2008b). Splošne učne težave

opredeljujejo težave pri pridobivanju znanj in spretnosti pri vseh učnih predmetih, specifične

učne težave pa so povezane z usvajanjem spretnosti in znanj na posameznem področju učenja

ali pri posameznem predmetu (Dockrell in McShane, 1993, v Magajna idr., 2011). Pri nekaterih

učencih so prisotne samo splošne učne težave, pri nekaterih le specifične, pri mnogih pa so

prisotne oboje (Kavkler in Magajna, 2008).

Tako splošne kot specifične učne težave se pojavljajo na kontinuumu: lahko so lažje do težje,

preproste do kompleksne, kratkotrajne, vseživljenjske ali pa so prisotne ves čas šolanja

(Kavkler in Magajna, 2008, v Magajna idr., 2011). Težave so lahko prisotne pri posameznem

predmetu ali dveh, lahko pa so učenci neuspešni pri večini predmetov. Lahko se pojavijo že v

predšolskem odbodbju, postopoma ali pa nenadno (prav tam).

Težave pri učenju se pojavljajo pri okrog 20 % šolske populacije, od tega ima 10 % populacije

specifične učne težave, pri 2–4 % populacije pa so prisotne izrazite specifične učne težave ali

primanjkljaji na posameznih področjih učenja (Magajna idr., 2008a).

2.2.1 Splošne ali nespecifične učne težave

Pri učencih, ki imajo splošne ali nespecifične učne težave, je zaradi različnih neugodnih vplivov

ovirano usvajanje in izkazovanje veščin in znanja. Ti neugodni vplivi so lahko zunanji: kulturna

in ekonomska prikrajšanost, večjezičnost in multikulturnost, neustrezno ali pomanjkljivo

poučevanje ipd.), lahko gre za vplive notranje narave (upočasnjenost razvoja splošnih

kognitivnih sposobnosti, osebnostne posebnosti posamezniku ali čustvene in vedenjske motnje)

ali pa so vzrok neustrezne vzgojno-izobraževalne interakcije med posameznikom in njegovim

okoljem (nezrelost, strah pred neuspehom, pomanjkanje učnih navad in motivacije itd.).


9

Skupina učencev s splošnimi ali nespecifičnimi učnimi težavami je zelo raznolika, saj je narava

in intenziteta težav, ki so pokaže pri učencu, odvisna od interakcije med različnimi zunanjimi

in notranjimi dejavniki. Učencem je skupno to, da so njihove težave pri učenju pomembno večje

kot pri njihovih vrstnikih, da so manj uspešni ali neuspešni na enem ali več predmetnih

področjih, vzroki težav pa niso specifične narave (nevrofiziološke ali nevropsihološke)

(Magajna idr., 2011).

V skupino učencev z učnimi težavami spadajo tudi učenci, ki imajo lažje in deloma tudi tisti,

ki imajo zmerne specifične učne težave (Magajna idr., 2008b). Šola je dolžna za učence z

učnimi težavami izvajati prilagoditve metod in oblik dela ter jim omogočiti obiskovanje

dopolnilnega pouka in drugih oblik individualne in skupinske pomoči (Zakon o osnovni šoli,

2011, 12. člen).

2.2.2 Specifične učne težave

Z izrazom specifične učne težave opredeljujemo raznoliko skupino primanjkljajev, katerih

izvor je notranje narave (motnje delovanja centralnega živčnega sistema), pri učencu pa se

kažejo kot zaostanek v zgodnjem razvoju in/ali s težavami s pozornostjo, mišljenjem,

pomnjenjem, komunikacijo, koordinacijo, z govorom, jezikom, branjem, pisanjem,

pravopisom, računanjem, socialnimi spretnostmi in emocionalnim dozorevanjem. Učenec ima

kljub povprečnim ali nadpovprečnim intelektualnim sposobnostim težave z avtomatizacijo

branja, pisanja in računanja (Magajna idr., 2008b). Primanjkljaji primarno niso posledica okvar

vida, sluha in motoričnih funkcij, motenj v duševnem razvoju, čustvenih motenj ali neustreznih

dejavnikov okolja, se pa lahko pojavijo skupaj z njimi (Magajna idr., 2008b).

Za določitev specifičnih učnih težav pri učencu moramo upoštevati pet kriterijev za

prepoznavanje specifičnih učnih težav. Učni uspeh ne predstavlja zadostnega kriterija, saj je

lahko posledica splošnih učnih težav (Magajna idr., 2008b).

2.2.3 Učne težave pri matematiki

Učne težave pri matematiki so pri učencih pogosto prisotne, zato je potrebno pred nudenjem

pomoči poznati izbor težav. Sousa (2008b) kot učence z učnimi težavami opredeljuje tiste, ki

pri matematiki dosegajo nižje dosežke, ob tem pa ni prisotna motnja v duševnem razvoju. Učne


10

težave pri matematiki so prisotne pri tistih učencih, pri katerih zaznavamo v primerjavi z enako

starimi učenci večje in dolgotrajnejše odstopanje od povpečja v matematičnem znanju in

strategijah (Kavkler, 2007).

Različni avtorji (Geary, 2004; Geary, 2010; Shin in Pedrotty Briant, 2015; Fuchs, Powell,

Seethaler, Cirino, Fletcher idr. 2009; Pieters, Roeyers, Rosseel, Van Waelvelde in Desoete,

2015; Kavkler, Kalan in Hodnik-Čadež, 2015) navajajo različne ocene o deležu učnih težav pri

matematiki v populaciji, ki se gibljejo od 3 % do 10 %, odvisno od kriterijev za določitev težav

pri matematiki in od države.

Matematične težave pogojujejo notranji vzroki (primanjkljaji učenca na kognitivnem

področju), vzroki, ki so okoljsko pogojeni ali pa kombinirani vzroki (Kavkler, 2011b).

Sousa (2008b) kot okoljske vzroke učnih težav pri matematiki navaja kakovostno poučevanje,

socio-kulturne dejavnike, strah in anksioznost glede matematike v vseh starostnih obdobjih ter

stališča, ki jih posamezniki gojijo do matematike. Stališča do matematike ter dojemanje lastnih

matematičnih sposobnosti in dosežkov lahko imajo velik vpliv na to, kako uspešno bo

posameznik reševal matematične probleme in zaznaval težavnost le-teh.

Kognitivne ali notranje vzroke učnih težav pri matematiki (Sousa, 2008b) predstavljajo

nevrološki primanjkljaji. Ti prizadenejo ozka, specializirana področja, kot so pojem števila,

štetje, obvladovanje aritmetičnih spretnosti, proceduralne težave, priklic dejstev in vizualno

spacialne težave. Učne težave pri matematiki so lahko povezane tudi z drugimi težavami, kot

so težave pri branju, ADHD in neverbalne učne težave.

Montague (1996) navaja naslednje najpogostejše težave, prisotne pri učencih z učnimi težavami

pri matematiki, ki so prisotne naslednjih področjih: slabše matematično konceptualno znanje

(znanje matematičnih pojmov), slabše obvladovanje strategij in pomnjenje (vpliv na

avtomatizacijo priklica dejstev, postopkov, reševanje matematičnih besedilnih nalog,

poznavanje pojmov računskih operacij in predstave), slabše jezikovne in komunikacijske

sposobnosti (težave pri branju besednih problemov in navodil, pisanju nalog, težave v diskusiji

o strategijah, s katerimi so reževali matematične probleme), težave pri obvladovanju

matematičnih algoritmov in strategij (otežen prevod življenjskih situacij v matematični


11

simbolni zapis, slabše razvito matematično pojmovno znanje) in motivacija za učenje ter

samopodoba (zaradi doživljanja neuspeha učenec ni motiviran za učenje matematike).

Poleg opisanih težav pa pri učencih s specifičnimi učnimi težavami opažamo tudi naslednje

značilnosti (Kavkler, 1997, v Kavkler, 2011b): slabše razvite sposobnosti zaznavanja (vplivajo

na sprejemanje matematičnih informacij), slabše razvito pomnjenje (pomnjenje korakov v

postopkih, pomnjenje dejstev, definicij itd. je odvisno od posameznikovih sposobnosti

pomnjenja), slabša razvitost jezikovnih sposobnosti, slabše razvito branje (vpliv na sposobnost

razumevanja pisnega matematičnega besednjaka, besedilnih nalog in navodil), pomanjkljivo

razvita finomotorika (vpliv na hitrost in točnost zapisovanja števil, postopkov, merjenje,

načrtovanje v geometriji, rabo ponazoril, tempo reševanja matematičnih nalog itd). Pri učencih,

ki imajo nižje kognitivne sposobnosti in učencih s specifičnimi primanjkljaji, pa so prisotne

tudi izrazite težave razumevanja računskih in besedilnih nalog, težave imajo pri primerjanju

količin, pri usvajanju matematičnih pojmov, simbolov itd.

2.2.4 Splošne učne težave pri matematiki

Splošne učne težave pri matematiki se kažejo kot nižji matematični izobraževalni dosežki zaradi

(Kavkler, 2007):

• počasnejšega usvajanja znanja (posledica mejnih in podpovprečnih intelektualnih

sposobnosti), kar se kaže kot nerazumevanje pojmov, simbolov, slabše reševanje

problemov ter prenos strategij in znanj na nove situacije,

• slabše rabe jezika (težave pri razumevanju in izražanju v matematičnem jeziku, težje

sledenje verbalnim navodilom, slabše razumevanje matematičnih besedilnih nalog),

• skromnejšega matematičnega predznanja zaradi manj spodbudnega učnega okolja

(težave s štetjem, sledenjem navodil, slabše razvita grafomotorika),

• slabše pozornosti in koncentracije,

• prisotnega strahu in anksioznosti ter nizke motiviranosti,

• slabše razvitih metakognitivnih sposobnosti (slaba organizacija, načtovanje in kontrola

lastnega dela).


12

2.2.5 Sprecifične učne težave pri matematiki

Definicija Svetovne zdravstvene organizacije ICD-10 (WHO, 1996, str. 192) se pogosto

uporablja za opredelitev specifičnih učnih težav pri matematiki. Pravi, da specifične učne težave

pri matematiki zajemajo primanjkljaje aritmetičnih spretnosti, katere niso pogojene z motnjo v

duševnem razvoju ali neustreznim poučevanjem. Primanjkljaji zajemajo obvladovanje štirih

osnovnih računskih operacij, ne pa toliko abstraktne matematične sposobnosti in spretnosti iz

algebre, trigonometrije in geometrije.

V praksi je največkrat uporabljena Gearyjeva (1994) delitev specifičnih učnih težav pri

matematiki. Deli jih na diskalkulijo in z aritmetiko povezane specifične učne težave pri

matematiki. Navaja tudi, da so učenci z diagnozo specifične učne težave pri matematiki zelo

raznolika skupina, saj imajo učenci pri različnih vsebinah različne učne težave (Geary 1994,

Vipavc in Kavkler, 2015).

Diskalkulija je lahko pridobljena (gre za posledico določenih možganskih okvar in se kaže kot

težave pri dojemanju števil in aritmetičnih operacij) ali pa je razvojna (ki se navezuje na slabše

konceptualno, proceduralno in deklarativno matematično znanje). Pri učencih z diskalkulijo so

prisotne zmerne in težje učne težave pri matematiki.

Specifične aritmetične učne težave pa zajemajo celoten kontinuum učnih težav, od lažjih do

težjih. Povezane so s kognitivnimi in nevrološkimi primanjkljaji in jih delimo v tri podskupine

(Geary, 1994; Kavkler, 2011b; Kavkler, 2015):

1) specifične aritmetične težave, ki so vezane na slabši semantični spomin (posameznik

težje prikliče aritmetična dejstva iz dolgotrajnega spomina (npr. poštevanka, seštevanje in

odštevanje enomestnih števil);

2) specifične aritmetične težave, ki se kažejo kot težave na področju aritmetičnega

proceduralnega znanja (uporaba manj razvitih ali nepopolnih aritmetičnih postopkov, npr.

težave pri uporabi pravila razlike pri pisnem odštevanju);

3) specifične aritmetične težave, ki jih pogojujejo vizualno-prostorske težave (neustrezna

uporaba vizualno - prostorskih spretnosti za razlago in predstavljanje aritmetičnih informacij).


13

Pri učencih s težavami pri aritmetiki so pogosto prisotne težave na področju avtomatizacije

aritmetičnih postopkov in dejstev. Njihove številske sposobnosti so slabše razvite in ne

prikličejo aritmetičnih dejstev (Geary, Hoard, Byrd-Craven, DeSoto, 2004; Sordan idr. 1995, v

Stock, Desoete in Roeyers, 2010).

2.2.5.1 Kriteriji za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj

otrok s posebnimi potrebami

Kriteriji za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj otrok s posebnimi

potrebami (Vovk-Ornik, 2015) opredeljujejo specifične učne težave pri matematiki kot

primanjkljaje v razvoju občutka za števila, avtomatizaciji aritmetičnih dejstev (deklarativno

znanje), hitrem in tekočem (točnem) računanju, avtomatizaciji aritmetičnih postopkov

(proceduralno znanje) in točnosti matematičnega sklepanja.

Za opredelitev težjih specifičnih učnih težav oziroma primanjkljajev na področju učenja

matematike moramo pri učencu opredeliti prisotnost naslednjih petih kriterij:

1. kriterij: dokazano neskladje med stokovno dokazanimi pokazatelji globalnih intelektualnih

sposobnosti in otrokovo dejansko uspešnostjo pri učenju matematike;

2. kriterij: obsežne ter izrazite težave na področju učenja matematike, ki se kažejo na področju

matematičnega deklarativnega, konceptualnega, proceduralnega in /ali problemskega znanja.

Izražene so do te mere, da učencu izredno otežujejo napredovanje pri učenju matematike, kljub

kakovostnemu poučevanju in njegovemu trudu;

3. kriterij: slabša učna učinkovitost pri matematiki, katere vzrok so pomanjkljive in/ali motene

kognitivne in metakognitive strategije (neustrezno kognitivno zavedanje in redka uporaba

ustreznih metakognitivnih strategij) ter moten tempo učenja (težave glede hitrosti in kapacitete

predelovanja vidnih in slušnih informacij);

4. kriterij: motenost psiholoških procesov (enega ali več), kot so zaznavanje (motnje

zaznavanja, prepoznavanja, razlikovanja in interpretiranja predvsem dražljajev, pridobljenih z

vidom in sluhom), pozornost (težje osredotočanje na bistvene dražljaje), spomin (težave na

področju pomnjenja, potrebnega za izvajanje kognitivnih nalog), jezik (zaostanek v govorno-

jezikovnem razvoju ter neustrena raba jezika), socialno področje (težave v socialnih spretnostih,

ki imajo vpliv na učenčevo socialno in šolsko udejstvovanje).


14

5. kriterij: kot glavni povzročitelji primanjkljajev na področju učenja matematike so izključene

senzorne okvare, motnje v duševnem razvoju, čustvene in vedenjske motnje, kulturna in

jezikovna različnost ter neustrezno poučevanje, lahko pa se pojavljajo skupaj z njimi (Vipavc

in Kavkler, 2015).

2.3 VEČSTOPENJSKI MODEL POMOČI

Aubrey, Tancig, Magajna in Kavkler (1998) poudarjajo, da morajo strokovni delavci šol

posvetiti posebno pozornost učencem, ki imajo splošne in specifične učne težave pri

matematiki. Učence s primanjkljaji morajo odkriti čim bolj zgodaj ter jim omogočiti ustrezne

oblike pomoči ter individualizacijo in diferenciacijo zahtev v učnem procesu, saj so ti učenci

prepogosto prepozno prepoznani in obravnavani premalo kakovostno.

Učinkovit model, ki omogoča izboljšanje učenja ter dosežkov učencev, smo v slovenskem

prostoru poimenovali model odziv na obravnavo (ang. response to intervention – RTI) (Kavkler,

2011a). Za učinkovitost modela odziv nas obravnavo se mora izvajati: kakovostno poučevanje

vseh učencev, zgodnja obravnava rizičnih učencev, uporaba metod odkrivanja, ki so dokazano

učinkovite, opazovanje napredka učenca in njegove obravnave, ki temelji na diagnosticiranih

potrebah in značilnostih« (Mellard, McKnight in Jordan, 2010). Zgodnja obravnava rizičnih

učencev omogoča izogib izrazitemu šolskemu neuspehu, zato je model v pomoč staršem in

učiteljem teh učencev.

Model odziv na obravnavo pripisuje učitelju in drugim strokovnim delavcem pomembno vlogo,

saj z izvajanjem dobre poučevalne prakse, ki zajema vključevanje različne oblike pomoči,

podpirajo napredek učencev na področju vedenja ali učenja. Od učenčevih posebnih potreb je

odvisna intenziteta oblik pomoči. Za prehajanje po stopnjah pomoči morajo biti v naprej

oblikovani kriteriji, ki so vezani na otrokovo stopnjo učnih težav ob upoštevanju dejavnikov

okolja.

V okviru modela odziv na obravnavo se uporablja večstopenjski model dela z učenci z učnimi

težavami. Ta zajema zgodnje odkrivanje ter zagotavljanje ustrezne in učinkovite pomoči

učencem z učnimi težavami. Omogoča prehajanje od prilagoditev, ki se izvajajo za vse učence,


15

do intenzivnejših obravnav učencev, ki imajo izrazitejše učne težave in se izvajajo na različnih

stopnjah modela.

Temelji na diagnostičnem ocenjevanju, spremljanju napredka, učinkoviti obravnavi z

evalvacijo njene uspešnosti ter sodelovanjem strokovnih delavcev in staršev. Med klasičnim

modelom poučevanja in modelom odziv na obravnavo obstajajo razlike. Pri modelu odziv na

obravnavo pri učencu, pri katerem ugotavljamo rizičnost za šolski neuspeh, takoj po odkritju

začnemo z izvajanjem intenzivne obravnave in ne čakamo na njegov neuspeh. Model odziv na

obravnavo v primerjavi s klasičnim poučevanjem v večji meri omogoča napredek v dosežkih

pri vseh učencih z raznoliki potrebami v okviru izvajanja pouka (Melard, McKnight in Jordan,

2010; http://www.advocacyinstitute.org/resources/TEC_Rtlblueprint.pdf).

Učitelj v okviru modela odziv na obravnavo oceni posebne potrebe učencev znotraj izvajanja

pouka in lahko zgodaj odkrije potrebe svojih učencev ter na podlagi ugotovitev prilagaja proces

poučevanja. Izvaja kakovostno in učencem prilagojeno poučevanje, ki omogoča, da je v rednem

razredu uspešnih vsaj 80 odstotkov učencev. V kolikor učenec ne dosega rezultatov, ki so

pričakovani, ob izvajanju dobre poučevalne prakse, učitelj predlaga intenzivnejšo obliko

pomoči. Učitelj in svetovalni delavec morata spremljati napredek učencev, kar je pogoj za

podajo predloga, da učenec potrebuje bolj intenzivne oblike pomoči (Magajna idr., 2008b).

M. Kavkler (2011a) navaja, da so rezultati izvajanja modela odziv na obravnavo naslednji:

obravnava učencev, ki so rizični za učne težave, se začne bolj zgodaj; zmanjša se število

neustrezno odkritih učencev in pretirano odkrivanje učencev, ki izhajajo iz narodnostnih

manjših in revnejših okolij ter učencev s posebnimi potrebami; zmanjšajo se potrebe po

intenzivnejši obravnavi specialnega in rehabilitacijskega pedagoga, poveča se delež

sodelovanja med rednim in specialnim učiteljem. Reading recovery coucil of North America

(2011, v Kavkler, 2011a) navaja, da je bistvo uspeha modela v zgodnjem odkrivanju učencev,

potrebnih nadaljnje pomoči ter takojšnje izvajanje učinkovitih oblik obravnave.

M. Kavkler (2011a) pri modelu odziv na obravnavo opredeljuje tri temeljne ključne

komponente:

- uporaba večstopenjskega modela odkrivanja in obravnave, ki zagotavlja večanje

intenzitete obravnave učencev glede na njihove posebne potrebe;


16

- reševanje problemov, ki se nanaša na sprejemanje odločitev in evalvacijo učinkovitosti

pristopov, ki so bili uporabljeni (odkrivanje in analiziranje problemov, razvoj načrta

obravnave in evalvacija učinkovitosti obravnave);

- zbiranje potrebnih podatkov za spremljanje napredka učenca, kar vpliva na odločanje o

strategijah, ki so potrebne za učenčevo uspešno učenje na posamezni stopnji pomoči.

Z večstopenjskim modelom obravnave lahko učno pomoč zagotavimo vsem učencem z učnimi

težavami. Ta mora biti organizirana čim bolj zgodaj (da učne težave učne ne postanejo

vseživljenjske in izrazite), fleksibilno (npr.: učenec sprejema pomoč vsak dan po 10 minut in

ne enkrat tedensko eno uro), čim manj opazno, da se učenca ne izpostavlja (z organizacijo in

izvajanjem pomoči ne poudarjamo drugačnosti, naloge so na pogled podobne nalogam njegovih

vrstnikov), čim bližje učencu (glavnina pomoči se organizira v razredu) in kratek čas

(obravnava je intenzivna, učinkovita in ne traja nekaj let ali celo obdobje izobraževanja učenca)

(Magajna idr., 2008b).

V različnih šolskih sistemih že obstajajo nekateri elementi, ki pogojujejo izvajanje modela odziv

na obravnavo. Model je potrebno začeti sistematično uvajati v prakso, šolam pa je pri tem

potrebno nuditi pomoč in podporo.

Melard idr. (2010) poudarjajo pomembne učinke preventivnega večstopenjskega modela na

šole in učence:

- ko je pri učencu, rizičnem za težave na izobraževalnem in/ali vedenjskem področju,

diagnostično ugotovljena prisotnost težav, dobi šola priložnost in ima dolžnost

odgovoriti na potrebe učenca tako, da ga vključi na ustrezno stopnjo večstopenjskega

modela obravnave;

- zaradi povečevanja intenzivnosti z vsako naslednjo stopnjo ter potreb po vedno več

virih, moramo izkoristiti že obstoječe strokovne in materialne vire v šolskem sistemu.

Tako bo prva stopnja v okviru izvajanja pouka v razredu za večino učencev dovolj

kakovostno izvedena, zmanjšala pa se bo tudi ogroženost za šolski neuspeh pri večini

učencev;

- ob delovanju preventivnega okvira so učenčeve potrebe odkrite pravočasno, ocenjeni in

spremljani so učni dosežki, pri večini učencev pa se odpravijo vzroki nižjih

izobraževalnih dosežkov. Pomoč učencem z izobraževalnimi in/ali vedenjskimi


17

težavami je v šolah, ki izvajajo model odziv na obravnavo, zgodnejša in intenzivnejša

kot v šolah, kjer modela ne izvajajo.

2.3.1 Petstopenjski model nudenja pomoči

Na osnovi strokovnih gradiv, domačih in tujih izkušenj in praks ter analize stanja v slovenskem

šolstvu je bil oblikovan celostno usmerjen in sistematični model pomoči Koncept dela učne

težave v osnovni šoli (Magajna idr., 2008b). Z dokumentom so bile zagotovljene strokovne

osnove, na podlagi katerih razvijemo učinkovite pristope obravnave učencev z učnimi

težavami. Petstopenjski model, ki omogoča odkrivanje, spremljanje in nudenje učne pomoči

učencem z učnimi težavami je eden izmed ključnih pogojev uresničevanja zasnovanega

koncepta (Magajna idr., 2008). Temelj petstopenjskega modela je kontinuum učnih težav, saj

se le-te po intenzivnosti od lažjih do hujših, od splošnih do specifičnih, od enostavnih do

kompleksnih, od takih, ki trajajo kratek čas, do vseživljenjskih, od takih, ko učence potrebuje

malo učne pomoči in podpore, do takih, pri katerih učenec potrebuje veliko specifične učne

pomoči in podpore, zasnovan pa je tudi na zgodnji obravnavi učencev z učnimi težavami

(Magajna idr., 2008b). M. Kavkler (2015) navaja, da koncept ni usmerjen na težave in

primanjkljaje, ampak k perspektivi moči, odkrivanja ter k uporabi močnih področij

posameznika, da bi mu zagotovili optimalen razvoj potencialov ter izboljšali izobraževalne in

zaposlitvene možnosti ob uspešnejši socialni integraciji. V okviru koncepta je bil na podlagi

strokovnih in materialnih virov, ki so že bili prisotni v našem prostoru, oblikovan model odziva

na obravnavo učnih težav.

Šola je v skladu z omenjenim konceptom dolžna učencu z učnimi težavami nuditi pomoč

(Zakon o usmerjanju otrok s posebnimi potrebami, 2011, 26. člen). Pred usmerjanjem učenca

mora šola zagotoviti obravnavo učenca na prvih štirih korakih, da se mu zagotovi čim prejšnja

ustrezna pomoč. Prva stopnja slovenskega petstopenjskega modela omogoča 80 odstotkom

učencev uspešnost v doseganju izobraževalnih ciljev. Ti učenci prejemajo pomoč učitelja pri

pouku, v okviru dopolnilnega pouka ter podaljšanega bivanja. Prvi stopnji sledi pomoč in

podpora, ki zajema tri stopnje. Namenjena je od 15 do 20 odstotkom učencev. Peta stopnja

pomoči pa je namenjena le od 1 do 5 odstotkom učencev, ki potrebujejo intenzivnejšo,


18

individualno podporo in pomoč, ki jim jo nudijo usposobljeni strokovni delavci (Magajna idr.,

2011).

Z vsako naslednjo stopnjo petstopenjskega modela se zmanjša število učencev, ki imajo splošne

in specifične učne težave, ki potrebujejo učno pomoč in podporo, seveda ob dovolj kakovostni

pomoči na predhodni stopnji. Učiteljeva dobra poučevalna praksa z vključevanjem

individualizacije in diferenciacije torej ustreza velikemu deležu učencev z učnimi težavami,

zato intenzivnejše oblike učne pomoči z več prilagoditvami potrebuje manjši delež učencev s

primanjkljaji na posameznih področjih učenja. Učenci z najbolj izrazitimi primanjkljaji na

posameznih področjih učenja pa so usmerjeni v Izobraževalni program s prilagojenim

izvajanjem in dodatno strokovno pomočjo (Zakon o usmerjanju otrok s posebnimi potrebami,

2011). Ta se izvaja na peti stopnji kontinuuma pomoči. Ti učenci potrebujejo dobro poučevalno

prakso učitelja ter specifično učno podporo in pomoč ob intenzivnejših prilagoditvah (Magajna

idr., 2008b).

V nadaljevanju bo predstavljen petstopenjski model nudenja pomoči učencem z učnimi

težavami pri matematiki (Vipavc in Kavkler, 2015, Magajna idr., 2008b) ter strategije

obravnave učencev z učnimi težavami pri matematiki na prvih treh stopnjah pomoči:

1. stopnja: pomoč učitelja pri pouku, dopolnilnem pouku ter v okviru podaljšanega

bivanja in varstva

Prva stopnja v kontinuumu pomoči poteka v okviru pouka v rednem razredu, dopolnilnega

pouka, podaljšanega bivanja in nivojskega pouka. Namenjena je vsem učencem razreda. Na

prvi stopnji morajo biti vse učenci izpostavljeni visoko kakovostni obravnavi in učinkovitim

strategijam dobre poučevalne prakse v okviru pouka. Prva stopnja kontinuuma pomoči

omogoča optimalen napredek vsem učencem in je ustrezna za okrog 80 odstotkov vseh učencev.

V procesu obravnave učencev z učnimi težavami je učitelj ključen strokovni delavec na vseh

stopnjah petstopenjskega modela pomoči. Učitelj prvi odkrije, da učenec kljub svojemu trudu,

pomoči staršev in ob izvajanju dobre poučevalne prakse pri matematiki dosega nižje

izobraževalne dosežke kot njegovi vrstniki. Je tudi ključna oseba pri nudenju podpore in pomoči

učencu z učnimi težavami pri matematiki. Poleg učnih težav in primanjkljajev mora pri učencu


19

v sodelovanju s starši in z učencem samim odkriti njegova močna področja ter na podlagi le-

teh poskušati zmanjšati težave pri učenju matematike.

Učitelj na prvi stopnji pomaga učencu z izvajanjem dobre poučevalne prakse. Izvaja

individualizacijo in diferenciacijo nalog, učnih zahtev ter načinov za pridobivanje, utrjevanje

in preverjanje znanja v skladu s potrebami učenca, na podlagi tega pa mora biti proces

poučevanja dovolj učinkovit za napredek 80 odstotkov učencev v razredu (Vipavc in Kavkler,

2015). Pri izboru metod in oblik dela z učenci s težavami pri učenju matematike mora izhajati

iz dobre poučevalne prakse za vse učence, posebno pa še za učence z učnimi težavami,

specifičnimi učnimi težavami in primanjkljaji na posameznih področjih učenja, saj je le-ta

ključna za njihovo učno uspešnost (Vipavc in Kavkler, 2015).

S starši in drugimi strokovnimi delavci na šoli sodeluje pri ocenjevanju in premagovanju

učenčevih učnih težav. Pri učencih z najlažjimi oblikami učnih težav je dovolj dobra poučevalna

praksa učitelja. Učencem z zmernimi učnimi težavami pa je potrebno organizirati več

prilagoditev in več pomoči. Učitelj za te učence v okviru poučevanja dodatno individualizira in

diferencira učne zahteve, učne pripomočke, izvaja časovne prilagoditve, načine pridobivanja,

utrjevanja in izkazovanja znanja. Pri delu mu svetujeta šolski svetovalni delavec in/ali mobilni

specialni pedagog. Učitelj učencu pomaga pri pouku v razredu in pri dopolnilnem pouku. V

nižjih razredih (do 6. razreda) učencu pomaga tudi učitelj podaljšanega bivanja in varstva, ki

sodeluje z razrednikom, s starši, s šolsko svetovalno in z mobilno specialno pedagoško službo

po potrebi. Vsi izvajalci učne pomoči na prvem koraku delo z učencem ustrezno načrtujejo v

individualnem delovnem projektu – načrtu pomoči, dokumentirajo v dnevniku ali kroniki ter

evalvirajo z delno ali sklepno evalvacijsko oceno.

Razvoj dobre poučevalne prakse je odvisen od učiteljevih znanj, veščin, pristopov in

poučevalnih metod in stališč do učencev z učnimi težavami, njegovih sposobnosti dela z

različnimi učenci v razredu, spretnosti za reševanje socialnih, vedenjskih in emocionalnih težav,

materialnih virov in razpoložljivega časa za individualizacijo in diferenciacijo dela ter od

kakovosti in količine podpore, ki je je deležen s strani vodstva, svetovalnih služb in zunanjih

ustanov (European Agency for Development in Special Needs Education, 2003; Meijer,

Soriano, Watkins, 2003; Magajna idr., 2008b).

J. Vipavc in M. Kavkler (2015) navajata, da mnogi učitelji težave pri učenju matematike

pripisujejo nižjim sposobnostim učencev, nezadostni motiviranosti za učenje, nezadostnemu


20

trudu in premajhni pomoči staršev, zato ne izboljšajo kakovosti procesa poučevanja, kar pa je

ključen dejavnik, saj bi se že s tem pri mnogih učencih zmanjšalo ali odpravilo vzroke težav pri

učenju matematike.

Magajna idr. (2008b) navajajo naslednje glavne splošne značilnosti dobre poučevalne prakse:

jasna strukturiranost učnega procesa, pozitivna in podporna naravnanost učitelja, učenje

osnovnih pojmov z razumevanjem in preverjanje razumevanja, spremljanje učenčevega

napredka, dajanje sprotne povratne informacije učencu s strani učitelja in obratno, podajanje

jasnih in razumljivih navodil, razdelitev kompleksnejših nalog na manjše enote, učenje po

korakih s predvidevanjem le-teh, učenje s pomočjo opor, navajanje modelov/primerov

reševanja, omogočanje in spodbujanje veččutnega učenja, zagotovitev ustreznega časa za

urjenje spretnosti in utrjevanje znanja na različne načine, poučevanje učnih strategij, učenje

učencev, da samostojno iščejo pomoč, sodelovalno učenje pri pouku in usposabljanje za

sodelovalno učenje.

Meijer idr. (2003) in M. Kavkler (2011a) navajajo dejavnike, ki v praksi držav Evropske unije

predstvaljajo osnovne pristope kakovostne poučevalne prakse;

- učinkovito načrtovanje in spremenljiva organiziranost procesa poučevanja (glede

urnika, organizacija učne pomoči, materialni viri itd.);

- individualizacija in diferenciacija v procesu poučevanja (zahteva po sistematičnem

opazovanju, ocenjevanju, načrtovanju in evalvaciji uporabljenih strategih ter po spretnem

prilagajanju procesa poučevanja);

- sodelovalno poučevanje je v pomoč učitelju pri uresničevanju načrta obravnave učenca

z učnimi težavami);

- sodelovalno učenje omogoča učencu z učnimi težavami, da se v razredu uči skupaj z

vrstniki čim večkrat ter tako izboljša svoja znanja in spretnosti;

- v okolju moramo poiskati ključne osebe, ki lahko učitelju pomagajo pri uvajanju

novosti.

Hejny (2012, v Kavkler idr., 2015; Vipavc in Kavkler, 2015) poudarja kot ključno vlogo učitelja

pri zagotavljanju učenja z razumevanjem. Odgovoren je, da pri učencu spodbudi zanimanje za

učenje, posreduje učno snov in odkrije težave pri učencih. Vlogo učitelja opredeljuje na

naslednji način:


21

• Učitelj zagotovi optimalno klimo za učenje (učenec se ne dolgočasi in ni v stiski, z

učenci se proslavlja uspeh, učence, ki obupujejo pri matematiki, spodbuja ter jim pomaga

graditi pozitivno samopodobo).

• Omogoča pobude učencev (lastnih strategij ne vsiljuje, se ne vmešava v način

razmišljanja učenca ter vprašanja učenca pa vrednoti pozitivno).

• Omogoča diskusijo učencev, v katero se vključijo vsi učenci, diskusij ne prekinja že na

samem začetku, čeravno niso matematično korektne v trenuntni situaciji.

• Napak učencev ne izpostavlja, temveč jim omogoča samostojno ugotavljanje napak, kar

privede k boljšemu razumevanju situacije.

• Učencem pripravi take naloge, da vsak učenec po težavnosti rešuje svojim sposobnostim

primerne naloge, s čimer mu učitelj omogoča doživljanje uspeha.

• Učitelj spodbuja učence k poslušanju in spremljanju razmišljanj drugih učencev glede

posamezne naloge, strategije. Tako širijo svoje matematično znanje ter razumevanje

razmišljanja drugih reševanju nalog in problemov.

Učitelj in starši lahko učencu s splošnimi in specifičnimi učnimi težavami pomagajo z

učinkovitimi strategijami dobre poučevalne prakse (www.dyscalculia.org, FAWCO, 2007):

• Kratek povzetek snovi ob začetku obravnave nove matematične snovi učencem

omogoča lažje sledenje pouku in vključitev novih informacij v svojo informacijsko mrežo.

• Različne vizualne opore so lahko v pomoč učencem z vidnim učnim stilom. Te opore

pripomorejo k lažji vizualizaciji matematičnih problemov. Učitelj lahko učencem nariše

različne slike, razpredelnice, grafe, miselne vzorce, jim označi smer računanja itd. Učenci se s

časom naučijo sami pripravljati vidne opore.

• Matematična gradiva in učni listi morajo zajemati ustrezno količino vizualnih

predstavitev, da so pregledna. Učni list mora zajemati prostor dodatne zapise, skice in pomožne

račune. Nekateri učenci potrebujejo več prostora za zapis, povečan tisk itd.

• V izogib posledicam orientacijskih težav naj mlajši učenci pišejo na karo papir. Tako

bodo pravilno zapisali npr. števila v vrsti.

• Matematična navodila in naloge naj učenci glasno preberejo in se pri tem pozorno

poslušajo, kar je v veliko pomoč posebej še tistim učencem, ki imajo bralne težave težje stopnje

in po slušni poti lažje sprejemajo informacije.

• S podajanjem različnih primerov matematičnih problemov, ki jih povežemo z

življenjskimi situacijami, učencem omogočimo lažje razumevanje učne snovi in urjenje.


22

• Od učenca samega in njegovih staršev pridobimo informacijo glede učenčevih izkušenj

in o tem, kakšno stopnjo konkretizacije moramo uporabiti. Učencem obsežnejše vsebine

razdelimo na manjše dele, ti pa si morajo slediti v ustreznem zaporedju.

Učencem, ki imajo izrazitejše posebne vzgojno-izobraževalne potrebe, se omogoči prehod do

intenzivnejše obravnave na naslednji (2.) stopnji. Bolj intenzivno obravnavo potrebuje okrog

20 odstotkov učencev.

2. stopnja: pomoč svetovalne službe

V kolikor učenec z učnimi težavami na prvi stopnji kontinuuma pomoči ne napreduje dovolj,

v projekt pomoči na predlog učitelja ali staršev vključimo svetovalnega delavca. To je lahko

psiholog, pedagog, specialni pedagog, socialni delavec ali socialni pedagog. Ta poglobi in

dopolni diagnostiko pri učencu (odkrivanje in dopolnitev posebnih potreb in primanjkljajev pri

učenju matematike ter ovir, ki izhajajo iz okolja, njegova močna področja in nadarjenost) pri

tem pa sodeluje z učitelji, učencem in starši. Svetovalni delavec svetuje učencu, učitelju

(prilagoditve pri pouku) in staršem (pomoč učencu doma itd.) ter mu občasno nudi konkretno

pomoč pri učenju matematike, ob tem vključuje več specialnih oblik pomoči, kot jih je na

prejšnji stopnji izvajal učitelj. Še vedno pa učitelj na prvem koraku izvaja dobro poučevalno

prakso. Učencu morajo biti predstavljeni namen dela, cilji, ki naj bi jih dosegel, trajanje pomoči,

metode dela, ki bodo uporabljene ter možni učinki oziroma rezultati obravnave. Le tako bomo

učenca motivirali za učno pomoč in lahko pričakujemo tudi pozitivne rezultate. Na tej stopnji

za učenca z učnimi težavami začne voditi osebna mapa (to je uradno predpisana šolska

dokumentacija) in v njej individualni delovni projekt pomoči. V osebno mapo se vloži pisno

mnenje učitelja, t. i. sklepna evalvacijska ocena na prvi stopnji, ki zajema zbir ugotovljenih

težav učenca, oblik pomoči in prilagoditev, ki so bile izvajane na prvem koraku, oceno

učinkovitosti le teh ter predloge za nadaljnje ukrepe pomoči. Za pomoč učencu na tej stopnji

mora svetovalna služba pridobiti soglasje staršev, saj se projekt vodi v osebni mapi, ki je zbirka

učenčevih osebnih podatkov.

Številne raziskave (Geary, 1994; Mastropieri, Thomas, Scruggs in Chang, 1998, v Aubrey idr.,

1998; Witzel, 2005; Kunsch, Jitendra in Sood, 2007; Sousa, 2008b; Sileo in Van Garderen,

2010; Cole in Wasburn-Moses, 2010) kažejo, da lahko z različnimi pristopi povečamo


23

uspešnost poučevanja matematike. Poudarjajo sodelovalno učenje in poučevanje kot oblike

dela, ki učence motivirajo k aktivnemu učenja, k vključevanju lastnih strategij v reševanje

matematičnih problemov, k opisovanju, kako so reševali matematične problem, k izmenjavi in

primerjanju uporabljenih strategij pri reševanju problemov ter razvoju metakognicije.

V nadaljevanju bodo predstavljene nekatere strategije, ki jih lahko uporabimo na 2. koraku

petstopenjskega modela pomoči učencem z učnimi težavami pri matematiki.

2.3.2 Strategije dela z učenci na 2. koraku petstopenjskega modela pomoči učencem z učnimi težavami pri matematiki

Sodelovalno poučevanje

Pri izvedbi nekaterih učinkovitih strategij učitelj potrebuje pomoč drugega strokovnega

delavca, s katerim v razredu izvede strategije ali mu svetuje uporabo specifičnih strategij dela.

Sileo in Van Garderen (2010) navajata v raziskavah potrjeno učinkovitost strategij

sodelovalnega poučevanja pri učenju matematike. Ena izmed strategij je poučevanje v paru,

kjer skupaj poučujeta učitelj in specialni pedagog ali drugi strokovni delavec. Oba strokovna

delavca skupaj načrtujeta, izvedeta in evalvirata proces poučevanja matematike vseh učencev.

Pri tem izmenjujeta izkušnje in znanja, pri takem delu poučevanju pa pridobijo vsi učenci v

razredu in oba strokovna delavca. Pri učencih z učnimi težavami pride do napredka zaradi boljše

izrabe časa poučevanja ter individualiziranega pristopa. Pri učencih brez učnih težav pa se

pokaže napredek v izobraževalnih dosežkih, veščinah, samopodobi in vrstniških odnosih.

M. Kavkler (2011b) kot trenutno najbolj pomembni strategiji pri obravnavi in poučevanju

matematičnih vsebin navaja direktno poučevanje in na razumevanju osnovano poučevanje

matematike.

Direktno poučevanje (angl. direkt instruction, exlicit instruction) je poučevanje, pri katerem

ima učitelj glavno vlogo. Zajema sistematično, neposredno načrtno poučevanje s večkratnim

preverjanjem in ocenjevanjem napredka. Poučevanje mora biti dobro strukturirano, v

primernem tempu, učencem pa mora omogočati doživljanje uspeha (Mitchell, 2008). Učitelj pri

direktnem poučevanju preverja razumevanje, izvaja natančne razlage, daje sprotno povratno


24

informacijo, ponazarja pojme, demonstrira postopke, modelira ipd. Mitchell (2008) kot splošne

značilnosti direktnega poučevanja navaja:

• Učitelj učne ure dobro strukturira in načrtuje učenje spretnosti. Na podlagi analize

učnega načrta oblikuje zaporedje učnih korakov.

• Učitelj poučuje ob pomoči učnih načrtov in priprav, ki so sistematično pripravljene, v

natančnem zaporedju nalog in ob časovno natančno opredeljenih razlagah.

• S primernim tempom dela učitelj učencem omogoča aktivnost delo in sodelovanje ter

načrtuje možnosti za odziv učencev.

• Učenje mora zagotavljati primerno stopnjo zahtevnosti ob aktivnem tempu dela, ključni

cilj učne ure pa je učenčevo obvladovanje neke spretnosti samostojno in brez napak, uspešnost

pa naj bi bila vsaj 90 %.

• Učitelj omogoča možnosti za utrjevanje znanj in spretnosti ter znanja in spretnosti

preverja s kratkimi preizkusi (na vsakih 10 učnih ur). Tako pridobi vpogled v to, pri katerih

strategijah in znanjih potre bujejo učenci dodatno poučevanje.

• Direktno poučevanje se najlažje izvaja v manjših skupinah (8–12 učencev), saj učitelj

pri taki velikosti skupine lažje spremlja napredek posameznikov in jim nudi pomoč.

• Z direktnim poučevanjem se delež učiteljevega vodenja s časom zmanjšuje, vse več

učencev pa je sposobnih samostojnega dela in upravljanja lastnega učenja.

• Učitelj direktno poučevanje uporablja le del učnih ur in ga kombinira z drugimi

strategijami.

Na razumevanju osnovano poučevanje matematike se usmerja v učenca, ki rešuje problem

v skupini z različnimi matematičnimi veščinami. Te strategije se v večji meri poslužujejo

predmetni učitelji, ki so v večji meri osredotočeni v postopke reševanja problemov (z različnimi

podatki in strategijami), manj pa v obvladovanje predpogojev za reševanje le-teh.

Za učence z učnimi težavami pri matematiki metode, ki spodbujajo raziskovanje, niso tako

učinkovite kot direktno poučevanje, kar je pokazala meta analiza 58 raziskav (Kroesbergen in

Van Luit, 2003). Eksplicitno direktno poučevanje zajema: modeliranje (pri katerem učitelj ob

glasnem opisovanju koraka za korakom demonstrira postopek reševanja problema), opore in

ključe (kartonček s poštevanko, formulami, ponazorjeno smerjo reševanja ipd., s katerimi

omogoči priložnost, da so vsi učenci uspešni), povratno informacijo (takoj, ko se pojavi napaka,

jo učitelj posreduje učencu: DA/NE kartončki; ob dvigovanju kartončkov za pravilnost ali


25

napačnost odgovora učitelj hitro ugotovi, katero učno snov so učenci razumeli in katero ne) in

vodene vaje (učitelj učencem zagotovi možnosti odgovarjanja in vaje) (Pedrotty Bryant, Kim,

Hartman in Bryant, 2006, v Kavkler, 2011b).

Pristopa direktno poučevanje in na razumevanju osnovano poučevanje matematike sta

učinkovita in vsem učencem omogočata uspešnejše učenje matematike, posebej še učencem z

učnimi težavami pri matematiki. Najboljšo učinkovitost dosežemo, če pristopa prepletamo in

dopolnjujemo, kar je omogočeno v sodelovanju med učitelji matematike (dobro pozna

kurikularne zahteve predmeta) in specialnimi pedagogi/svetovalnimi delavci (pozna strategije

za učinkovitejše učenje učencev z učnimi težavami pri matematiki) (Cole in Wasburn-Moses,

2010).

Učitelj in specialni pedagog lahko kombinirata direktno in na razumevanju osnovano

poučevanje matematike z naslednjimi znanstveno dokazano učinkovitimi strategijami

poučevanja matematike: sodelovalnim vrstniškim poučevanjem, prehodom od konkretnih

ponazoritev preko prikazov do abstrakcij, s kognitivnimi strategijami, z »zidarskim odrom«, na

shemi osnovanimi strategijami in mnemotehnikami (Kunsch idr., 2007; Witzel, 2005; Cole in

Wasburn-Moses, 2010).

Sodelovalno vrstniško učenje

Ena izmed pomembnih strategij za razvoj komunikacijskih spretnosti učencev na področju

matematike je sodelovalno vrstniško učenje. Pomeni sodelovanje dveh učencev v paru pri

reševanju dejavnosti, ki so individualizirane. Učitelj učence razdeli v pare po sposobnostih. V

vsakem paru je en učenec (uspešen pri učenju matematike) ter en učenec, ki ima težave pri

učenju matematike. Učenca imata možnost zamenjave vlog (tutorja in varovanca). Učenci

morajo najprej pridobiti osnovne veščine za uspešno sodelovanje in komunikacijo, naloge pa

mora učitelj prilagoditi glede na potrebe vsakega para (Kavkler, 2011b).

»Zidarski oder«

Postopek, pri katerem učitelj učencu pomaga zgraditi oporo ali »oder« in mu s tem olajša

razumevanje besedila, Reid (2007) imenuje »zidarski oder«. Učitelj učencu posreduje potrebne

informacije ali ga vodi s podvprašanji do potrebnih odgovorov. Na ta način lahko učitelj poveže

vsebino nove učne snovi s predhodno usvojenim matematičnih znanjem, kar je zelo pomembno

za učenčevo napredovanje od predznanj k novim znanjem. Pri tej stategiji se lahko učitelj


26

podlužuje »ček list« (samoocenjevalnih lestvic), modeliranja učencev, moči učitelja ali

specialnega pedagoga, takojšne povratne informacije, samostojnih vaj ipd.

Prehod od konkretnega preko slikovnih prikazov do abstrakcij

Učenec mora izvajati dejavnosti z raznolikimi modeli, s pomočjo katerih pridobiva predstavitve

pojmov na različnih kognitivnih nivojih, saj s tem razvije korektne miselne predstave. Pri tem

se poveča njegova motiviranost za reševanje nalog in razvija boljše razumevanje matematičnih

idej, ki jih zna bolje prenesti v življenjske situacije. Mnogi učenci lahko imajo učne težave, če

učitelj pri poučevanju osnovnih matematičnih znanj prehitro preide s konkretnega nivoja na

slikovni in abstraktni nivo (simbole, ki jih vsebujejo učbeniki in delovni zvezki). V tem primeru

namreč učenci nimajo priložnosti izvajati dejavnosti s konkretnimi pripomočki v zadostni meri,

preden preidejo na usvajanje matematičnih simbolov ter njihovih verbalnih označb (Garnett,

1998, Kavkler, 2011b)

Pri poučevanju novih matematičnih pojmov moramo učencem predstaviti zaporedje, ki zajema

prehod od konkretno slikovne do abstraktne predstavitve, t.j. pristop KSA (Kavkler, 2011b).

Pri reševanju algebrskih izrazov bodo namreč učenci, ki smo jih poučevali po pristopu KSA,

naredili manj napak, kot učenci, ki niso bili poučevani po tem pristopu.

Po pristopu KSA učenec pridobiva matematična znanja v treh fazah: ponazarjanje matematičnih

idej s konkretnimi materiali (naravni predmeti, kroglice, kocke itd., s pomočjo katerih učenec

poveže probleme z realnim življenjem), sledijo ponazoritve s slikovnimi in drugimi prikazi

(grafični prikazi, ki ponazarjajo konkretne predmete in omogočajo vizualizacijo operacije med

reševanjem problema, številske črte, slike) ter na koncu simbolni oziroma abstraktni prikazi

(zapisi s števili, grškimi in rimskimi črkami itd.). Pri tem pristopu je zelo pomembno zaporedje

dejavnosti. Učitelj mora v procesu poučevanja upoštevati zaporedje faz ter organizirati vaje

ponazarjanja preblemov in idej, da bodo učenci na tretji fazi učinkovito uporabljali simbole.

Učenci potrebujejo posamezne ponazoritve različno dolgo, to pa učitelj lahko uresničuje v

okviru individualizacije in diferenciacije pouka (prav tam).

Kognitivne strategije

Za uspešno reševanje matematičnih nalog morajo biti učenci pozorni na korake v postopku, kar

jih omogočajo kognitivne strategije (Kavkler, 2011b). Nekatere strategije učencu pomagajo

sistematično korak za korakom priti do rešitve naloge. Ena izmed teh strategij je strategija PVP:


27

P za Povej, kaj naloga od tebe zahteva, V za Vprašaj se, katero informacijo moraš poiskati in P

za Preveri pravilnost svoje rešitve. Učenec s pomočjo te strategije premisli problem in preveri

pravilnost svoje rešitve (Montague, 2005, v Kavkler, 2011b). Učenec pri tem lahko uporabi

kartonček z zapisanimi koraki postopka kot oporo, da je med reševanjem problema pozoren na

korake in si zapomni njihovo zaporedje.

Mnemotehnike

Učenca učimo mnemotehnik, da bi izboljšal pomnjenje ter prikic aritmetičnih dejstev in

postopkov. Učenec mora bistvo mnemotehnike, ki se jo uči, dobro razumeti. Specialni pedagog

ali svetovalni delavec mora biti iznajdljiv in kreativen pri priparvi mnemotehnike, hkrati pa

mora preveriti njeno učinkovitost pri konkretnem učencu. Učitelja spodbudi k uporabi le-te v

razredu. Lahko jih oblikuje tudi učenec sam ali učitelj.

M. Kavkler (2011b) navaja mnemotehnike v obliki akronimov, risb, ključnih besed in stavkov.

Ključne besede vključujejo po zvočnosti podobne besede, kot je beseda, katero si mora učenec

zapomniti. Kot slikovno oporo lahko za zapomnitev 5 + 5 =__ narišemo dve roki s petimi prsti.

S pomočjo stavka lahko učenec ustvari asociacijo za zapomnitev aritmetičnega dejstva

(6x5=30, 30 je domača hišna številka). Akronimi pa vključujejo prve črke besed v zaporedju

korakov ali v stavku (npr. PVP: Povej, Vprašaj, Preveri).

3. stopnja: dodatna individualna in skupinska pomoč

V kolikor učenec kljub pomoči na prvi in drugi stopnji pri učenju matematike ne napreduje

dovolj oziroma se učne težave nadaljujejo, učencu organiziramo dodatno individualno

(specifični treningi) ali skupinsko pomoč (sodelovalne oblike pomoči, ki so najučinkovitejše z

do štirimi učenci). Praviloma jo eno uro tedensko izvaja šolska svetovalna služba (mobilni

specialni pedagog in svetovalni delavci: psiholog, socialni pedagog, pedagog, specialni

pedagog idr.) ali usposobljen učitelj, ki mora obvladovati specialna znanja za področje učnih

težav pri matematiki. Skupinska oblika pomoči omogoča, da se v obravnavo vključi več

učencev, saj je za napredek učencev pri učenju matematike namreč zelo pomembna

komunikaciji med učenci. Predpogoj prehoda na tretjo stopnjo je pisna utemeljitev potrebe po

intenzivnejši pomoči, t. i. sklepna evalvacijska ocena druge stopnje. Če je potrebno, se pri

učencu izvedejo še dodatni diagnostični postopki (lahko tudi obravnava specializirane zunanje


28

strokovne ustanove, na predlog staršev ali šole). Izvajalec individualne in/ali skupinske pomoči

poglobi diagnostično oceno in na podlagi le-te začne izvajati bolj specialno obliko pomoči pri

matematiki. Delo z učencem podrobno načrtuje, spremlja in dokumentira napredek ter evalvira

rezultate dela.

V nadaljevanju bodo predstavljene bolj sprecialne strategije, ki lahko znatno prispevajo k

izboljšanju uspešnosti učencev z zmernimi splošnimi, posebej pa še učencev s specifičnimi

učnimi težavami pri matematiki.

Priklic aritmetičnih dejstev

Za uspešno usvajanje proceduralnih znanj in reševanje matematičnih besedilnih nalog je

potrebna avtomatizacija aritmetičnih dejstev. Priklic dejstev predstavlja posameznikovo

sposobnost hitrega priklica informacij iz dolgotrajnega spomina. Težave pri priklicu

aritmetičnih dejstev so največkrat navedene v povezavi s specifičnimi učnimi težavami pri

matematiki (Geary, 1994; Aubrey idr., 1998; Kavkler, 2007; Sousa, 2008b, Kavkler, 2011b).

Geary (1994) poudarja, da se učenci s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki razlikujejo

v sposobnostih priklica ariemtičnih dejstev pri reševanju preprostih aritmetičnih in besedilnih

nalog. Poleg tega se sposobnost priklica aritmetičnih dejstev pri večini teh učencih v času

osnovnošolskega izobraževanja ne izboljša. Učenci, ki nimajo težav s priklicem aritmetičnih

dejstev, so pri delu hitrejši in matematične probleme rešujejo bolj strateško (Flowers in

Rubenstein, 2011).

Za učenje matematike so ključne zgodnje matematične veščine, zato moramo poznati korake

razvoja aritmetičnih dejstev. Enostavni aritmetični problemi (5 x 6, 5 + 9…), imenujemo jih

tudi kombinacija števil ali matematična dejstva, so ključnega pomena za razvoj matematične

kognicije (razumevanje računskih operacij in znanje matematike) (Fuchs idr., 2010). Učenci

razvijejo matematična dejstva preko razvoja strategij štetja. V začetnem obdobju seštevanja le-

to izvajajo s pomočjo štetja. Na začetku ob dodajanju preštejejo oba seštevanca v celoti (na

primer 3 kocke + 4 kocke =__; preštejejo 1,2,3,4,5,6,7 kock), uporabijo tako imenovano

strategijo štetje vsega. Ko razumejo princip števila, ki sledi, razumejo tudi, da je vsota 5 + 1

število, ki sledi 5, ko štejemo pri strategiji štetja naprej (Baroody, 1995, v Fuchs idr., 2010).

Tako ugotovijo, da je vsota 5 + 2 ne more biti 6, ampak je dve števili za 5, to je 6, 7 (prav tam).

Tako opazijo učinkovitost štetja od prvega seštevanca. Ko je prvo število v računu manjše od

drugega, npr. 2 + 5, pričnejo šteti od prvega števila naprej (3,4,5,6,7). Ta strategija štetja je že


29

bolj razvita in zahteva manj časa. Pozneje učenci uvidijo pomen komutativnosti in začnejo

preštevati od večjega števila naprej (2 + 3 = __(4,5)). Ko učenec še bolj razvije konceptualno

znanje, odkrije lastnosti prištevanja števila 0 in lahko rešuje številke kombinacije tipa n+0, 0+n

(Fuchs idr., 2010b). Učencem moramo organizirati številne vaje, s pomočjo katerih urijo

razdruževanja in združevanja števil. Učenje mora biti sistematično in nazorno (delo s

konkretnimi materiali, sledi simbolna predstavitev dejavnosti prehod na simbolno izvedbo).

Učenci ugotovijo, kako razdruževati 2 seštevanec. Tako se srečajo s transformacijskimi

strategijami (7+9= (7 + 3) + 6 ali (9 + 1) + 6 ali (7 + 7) + 2 itd.). Večja učinkovitost pri uporabi

strategij štetja ter razdruževanja in združevanja otrokom pomaga, da uspešneje in hitreje pridejo

do pravilnega rezultata, v dolgotrajnem spominu se vzpostavijo asociacije in postopoma pridejo

do priklica aritmetičnih dejstev. Tipični učenci postanejo vešči uporabe kombiniranja števil do

konca tretjega razreda (Cirino idr., 2007, v Fuchs, 2010b). Poleg tega pa morajo učenci dobro

poznati pare števil, ki dajo vsoto 10 (1 + 9, 2 + 8…), saj jim te številske kombinacije omogočajo

hitrejše računanje.

Učenci z učnimi težavami pri matematiki kasneje preidejo na reševanje s priklicem aritmetičnih

dejstev iz spomina. Avtorji (Fleishner, Garnett in Shepherd, 1982; Goldman in Pellegrino,

1988) poudarjajo, da se kasnejši prehod na priklic dejstev pojavi, ker imajo ti učenci težave v

številskih predstavah (Geary, Hamson in Hoard, 2000) in večje težave pri štetju (Geary, Bow-

Thomas in Yao, 1992, Geary, Hoard, Byrd-Craven, Nugent in Numtee, 2007). Zato vztrajajo

pri uporabi nižjih strategij štetja (strategija vsote in maksimalna strategija) in ne uspejo razviti

strategij razstavljanja. Ko prikličejo dejstva iz dolgoročnega spomina, naredijo pri tem več

napak, njihova hitrost priklica pa je manj sistematična kot pri mlajših otrocih brez učnih težav

pri matematiki (Geary idr., 2007, Geary, Brown in Samaranayake, 1991; Ostad, 1997).

Strategije podvajanja faktorjev

Če učenci ne usvojijo množenja v predvidenem času (tretji razred osnovne šole), jim to

otežkoča usvajanje nadaljnje učne snovi, lahko pa jim nekatere učne snovi postanejo celo

nedostopne. Znanje poštevanke pomembno vpliva na usvojitev deljenja, računanja z ulomki in

odstotki, na ocenjevanje količin, primerjanje deležev, pretvarjanje merskih enot itd. Učencem,

ki ne zmorejo priklicati zmnožkov poštevanke ter zmnožkov večjih faktorjev, zato

organiziramo učenje alternativnih strategij, kot je strategija podvajanja faktorjev (Flowers in

Rubenstein, 2011). S to strategijo učenci izboljšajo tekočnost aritmetičnih dejstev množenja.


30

Pri podvajanju faktorjev se razvija razumevanje in sposobnost reševanja problemov, izboljša

pa se tudi samozaupanje učencev. Pri učencih preverimo, katera dejstva že vedo, saj na osnovi

pomočjo teh gradijo nova dejstva, zlasti tista, ki jih ne prikličejo iz dolgotrajnega spomina.

Podvajanje (npr.: 6x2, 24x2) je naraven proces. Številni učenci ga uporabljajo brez

sistematičnega učenja, saj jim pomaga priti do hitre rešitve. Podvajanje faktorjev lahko učitelji

izvajajo učitelji pri delu v razredu, specialni in rehabilitacijski pedagogi v okviru individualne

ali skupinske pomoči ter doma starši, lahko pa jih izvajajo tudi učenci v homogenih ali

heterogenih parih ali skupinah.

Na tabeli večkratnikov označimo, katera aritmetična dejstva učenec že pozna in ugotovimo,

kako naj učenec na osnovi le-teh konstruira nova. Učenec mora dojeti podvajanje faktorjev kot

preces reševanja problema in ne le kot prištevanje enakega števila. Pred tem mora usvojiti

mestne vrednosti. Učenec razdružuje števila in jih zopet združuje, da reši problem, npr. pri

podvajanju števila 75 število razdruži na desetice in enice in pomnoži z 2: (70 + 5) x 2, zmnožke

pa nato sešteje 140+10 =150. Učence usmerjamo z vprašanji: »Katera dejstva poznaš in jih

lahko uporabiš, da boš prišel do rešitve računa 9 x 6?« »Ali si lahko pomagaš z dejstvom 10 x

6 ali pa 8 x 6?« Učenci lahko podvajajo faktorje tudi tako, da začnejo z 1, vsak naslednji učenec

pa podvoji naslednje število, ki sledi v zaporedju (2;4;8;16;32;64 itd.). Pri večjih številih je

potrebna razdružitev števila na mestne vrednosti (npr. 3T 8E 5D 2E) in jih po mestnih

vrednostih podvoji (6T 16S 10D 4E), nato pa združi v rezultat (7704). Podvajati lahko začnemo

tudi pri večjem številu, npr. pri 23, vsak naslednji učence pa podvoji za 1 večje število. Lahko

pa je vsako naslednje število večje npr. za 4 ali za 10. Pozneje lahko učenci operacijo pri

podvajanju tudi kombinirajo (npr. 18x4=(18x2)x2= ali (20x4)-8=72). Učencem z učnimi

težavami pri matematiki omogočimo podvajanje med prvimi, da zmnožki niso previsoki, učenci

pa ne izgubijo motivacije za računanje. Učimo jih tudi strategij kompenzacije (npr. 8 x 5 =__

izračunajo z množenjem 6 x 5 =__ in prištejejo 2 x 5 =__ ). Smiselno je, da učenci na začetku

izvajajo samo kombiniranje parov števil in ne navajajo rezultatov (npr. 35 + 37 = (35 x 2) + 2

=). S strategijo podvajanja faktorjev vsi učenci zelo dobro razvijejo strategije miselnega

računanja.


31

4. stopnja: mnenje in pomoč zunanje institucije

Če učenec s težavami pri učenju matematike ne napreduje, kljub temu da je bila izvajana pomoč

na prvih treh stopnjah (kar je navedeno v sklepni evalvacijski oceni tretje stopnje), imajo šola

ali starši možnost zaprositi ustrezno zunanjo specializirano strokovno ustanovo za dodatno

strokovno mnenje in tudi pomoč (svetovalni center, center za duševno zdravje, posvetovalnico

itd.). Specializirana ustanova z več strokovnimi delavci v timu pripravi bolj poglobljeno in

kakovostno diagnostično oceno, svetuje staršem in učiteljem strategije učinkovitejšega dela z

učencem, po potrebi pa organizira tudi dodatno, bolj specifično strokovno pomoč. Učenec, ki

ima zmerne učne težave pri matematiki, praviloma uspešno napreduje ob pomoči, ki je je bil

deležen od prve do četrte stopnje pomoči ter ob učiteljevem stalnem izvajanju individualizacije

in diferenciacije zahtev v okviru pouka.

5. stopnja: program s prilagojenim izvajanjem in dodatno strokovno pomočjo

Če šolski strokovni tim (svetovalni delavec, učitelj, specialni pedagog idr.) na podlagi sklepne

evalvacijske ocene četrte stopnje meni, da so pri učencu prisotne izrazitejše specifične učne

težave in zato učenec potrebuje več pomoči in prilagoditev, staršem predlaga, naj začnejo s

postopkom usmerjanja učenca s specifičnimi učnimi težavami. Učenec z izrazitimi specifičnimi

učnimi težavami oziroma z ugotovljenimi s primanjkljaji na posameznih področjih učenja je

usmerjen v izobraževalni program s prilagojenim izvajanjem in dodatno strokovno pomočjo

(Magajna idr. 2008b, v Kavkler, 2011a). V okviru programa je deležen specialnih oblik dodatne

strokovne pomoči in prilagoditev, ki so izbrane glede na učenčeve posebne potrebe, ob

predhodno oblikovani diagnostični oceni, ki jo pripravi izvajalec dodatne strokovne pomoči.

Usmeritev v ta program pomeni nadaljevanje izvirnega projekta pomoči za učenca, z več

pomoči in več prilagoditvami. Na tej stopnji je potrebno natančno spremljanje napredka, od

izrazitosti posebnih potreb učenca pa je odvisna dolžina specializirane obravnave. Če pa je

učenec z učnimi težavami kljub intenzivni pomoči še vedno neuspešen, mora biti ponovno

ocenjen, hkrati pa se odloča o primernosti izobraževalnega programa, v katerega je učenec

vključen. V nekaterih državah in tudi pri nas predstavlja najvišja stopnja obravnave specialno-

pedagoško obravnavo (Kavkler, 2011a).


32

Učitelj je tudi pri učencu s primanjkljaji pri učenju matematike ključna oseba, saj mora za te

učence izvajati več prilagoditev. Pri izbiri in načrtovanju le-teh mu pomaga izvajalec dodatne

strokovne pomoči. Učencu s primanjkljaji pri učenju matematike pripadajo prilagoditve v

procesu poučevanja matematike in pri predmetih, pri katerih ima težave zaradi primanjkljajev

pri učenju matematike. Prilagoditve so opredeljene v individualiziranem programu učenca.

Mellard idr. (2010) in Magajna idr. (2008b) navajajo, da lahko intenzivnosti obravnave po

posameznih stopnjah večstopenjskega modela prilagajamo z naslednjimi dimenzijami:

- Čas obravnave, ki vključuje količino časa (namenjen posameznemu učencu za

obravnavo), pogostost obravnave (število ur pomoči v enem tednu) in dolžine obravnave

(število minut ali ur pomoči v enem tednu).

- S prilagajanjem velikosti skupin lahko povečamo učinkovitost obravnave (manjše

skupine: 2-5, 6-10 učencev), saj lahko učitelj manjšemu številu učencev posveti več časa). Meta

analiza virov (Swanson in Sachese-Lee, 2000, v Mellard idr., 2010, Kavkler, 2011a) je

pokazala, da majhnost skupine pozitivno učinkuje na uspešnost učencev z učnimi težavami. Pri

tem je prav tako pomembna kakovost obravnave. Izkazalo se je, da učenci na 2. stopnji in 3.

stopnji pridobijo veliko, če so obravnavani v manjši skupini, učinek pri učencih višje stopnje

pa je zaradi specifičnih posebnih potreb večji pri individualni obravnavi.

- Podajanje takojšnje povratne informacije učencu pomembno vpliva na njegovo

učinkovitost in je bolj omogočeno v manjših skupinah učencev. Prav tako imajo pomemben

vpliv na vse učence učiteljeva pozornost, verbalne opore ter pozitivna povratna informacija.

- Omogočanje potrebnih vaj za usvajanje snovi pomeni, da učitelj prilagaja intenzivnost

obravnave, tempo poučevanja in količino vaj glede na potrebe učencev.

- Intenzivnejše stopnje pomoči učencu z učnimi težavami omogočajo dodaten čas in

možnosti za vaje, učitelju pa dodaten čas za spremljanje napredka učenca.

- Prehajanje med vsebinami in razredi je povezano z razporeditvijo ur iz urnika (npr.

fleksibilni predmetnik, blok ure), s prilagajanjem katerega lahko učitelj prihrani čas s

povezovanjem snovi s predhodno snovjo in pridobi čas za pridobivanje in utrjevanje snovi.

- Specifični in usmerjeni cilji so cilji, ki jih učitelj uporabi, da bi učencem olajšal

doseganje splošnih in širših ciljev v procesu poučevanja.


33

- Strokovni delavec mora biti usposobljen za nudenje učinkovite pomoči učencu z učnimi

težavami, saj njegovo znanje in spretnosti pomembno vplivajo na dosežke učencev.

2.4 RAZISKAVE, KI PODPIRAJO ZGODNJO MATEMATIČNO OBRAVNAVO

National Mathematics Advisory Panel (NMAP, 2008, v Pedrotty Bryant idr., 2011) poudarja

pomembnost zgodnje matematične obravnave, ki vključujejo učinkovite načine poučevanja.

Bilo je narejenih nekaj študij o vplivih zgodnje matematične obravnave na matematične

dosežke pri rizičnih učencih.

Bryant, Bryant, Gersten, Scammacca in Chavez (2008, v Pedrotty Bryant in sod., 2011) so 18

tednov izvajali matematično obravnavo v majhnih skupinah 3- do 4-krat na teden po 15 minut.

Intervencija je zajemala koncepte števil in operacije, kot so količina, seštevanje, vrstni red

števil, osnovna aritmetična dejstva in mestne vrednosti. Dosežki učencev, ki so bili zajeti v

obravnavo, so se pokazali kot izboljšano razumevanje konceptov.

Bryant, Bryant, Gersten, Scammacca, Funk idr. (2008, v Pedrotty Bryant idr., 2011) so

oblikovali tudi matematično obravnavo pri učencih prvega razreda, ki se je osredotočala na

zgodnje matematične koncepte in operacije. Čas izvajanja obravnave je bil tokrat 23 tednov 20

minutnih treningov 4-krat na teden. Rezultati so pokazali pomemben učinek obravnave na

drugem koraku tristopenjskega modela pomoči pri teh učencih.

V drugi študiji so Fuchs, Compton, Fuchs, Paulsen, Bryant in Hamlett (2005) izvajali pomoč

učencem prvega razreda, ki so kazali rizičnost za učne težave pri matematiki. Pomoč je bila

izvajana v majhnih skupinah 16 tednov po 3-krat na teden. Številskim konceptom je bilo

namenjeno 30 minut na srečanje, 10 minut pa je bilo namenjeno seštevanju in odštevanju. Pri

tem so vključevali uporabo računalnika. Rezultati študije so pokazali, da so rizični učenci,

vključeni v obravnavo, dosegli po programu statistično boljše rezultate pri številskih konceptih

kot rizični učenci, ki so bili deležni standardnega pouka. Pri tekočnosti seštevanja in odštevanja

pa so bili dosežki podobni.


34

Fuchs, Fuchs, Hamlett, Powell, Capizzi in Seethaler (2006c) so se osredotočili tudi na

učinkovitost CAI (angl. computer-assisted instruction – inštrukcije s pomočjo računalnika) pri

razvoju tekočnosti seštevanja in odštevanja. Učenci, vključeni v intervencijo, so reševali račune

na računalnikih 50 srečanj po 10 minut 18 tednov. Dejavnosti so zajemale štetje, poznavanje

števil in odnosov med njimi, razdruževanje in grupiranje števil po 10. Rezultati študije so

pokazali pomemben učinek na spretnost seštevanja, nobenega učinka pa na tekočnost

odštevanja ali na prehod k reševanju besedilnih nalog. Avtorji so zato predlagali uporabo

inštrukcijskih oblik, ki vključujejo slikovne predstavitve, zahtevajo od učencev utrjevanje

številskih kombinacij s svinčnikom in papirjem ter karticami s številskimi izrazi in rezultati, da

se vzpostavi prenos od računalnika k papirju in svinčniku.

D. Pedrotty Bryant, Bryant, Roberts, Vaughn, Hughes Pfannenstiel, Porterfield in Gersten

(2011) so raziskovali učinek zgodnje matematične obravnave na drugem koraku tristopenjskega

modela pomoči učencem 1. razreda z učnimi težavami pri matematiki. Namen obravnave je bil

pri učencih izboljšati njihovo konceptualno, proceduralno in problemsko matematično znanje.

Obravnava je vključevala aktivnosti štetja, poznavanje števil in odnosov med njimi,

razdeljevanje in grupiranje števil na desetice in enice, aktivnosti za razvoj konceptualnega

razumevanja seštevanja in odštevanja ter delo z osnovnimi dejstvi (del-del-celota, družine števil

in povezana dejstva). Na podlagi testiranja po koncu izvajanja obravnave na drugem koraku

tristopenjskega modela pomoči so raziskovalci ugotovili, da na koncu prvega razreda pri 45 %

obravnavanih učencev ni bilo več tveganja za težave pri matematiki, pri kontrolni skupini

učencev, ki niso bili deležni programa pomoči pa je bil odstotek učencev, pri katerih več ni bilo

tveganja za učne težave pri matematiki 22 %. Poudarili so tudi, da je potrebno v naslednjem

šolskem letu pri učencih, ki so dosegli izboljšanje, določiti, ali naj bodo še naprej vključeni v

obravnavo, saj se zahtevnost matematičnega kurikula zvišuje. Poleg tega so navedli, da je

potrebno spremljati napredovanje ostalih 55 % učencev, pri katerih še vedno obstaja tveganje

za učne težave pri matematiki v naslednjem šolskem letu.


35

2.5 SODELOVALNO UČENJE IN VRSTNIŠKA POMOČ

DuBois in Karcher (2005) sta vrstniško pomoč opredelila kot pomoč vrstnika vrstniku na

različnih področjih. Največkrat za tako obliko pomoči uporabljamo izraz vrstniško tutorstvo.

Vrstniško tutorstvo predstavlja različne oblike pomoči vrstnikov v šolskem obdobju. Sem

spadajo različne oblike sodelovalnega učenja v paru (medvrstniško tutorstvo – različno stara

učenca, vrstniško tutorstvo – učenca enake starosti), kot vrstniško pomoč pa smatramo oblike

učenja v skupini učencev enake starosti (Jereb, 2011).

Pri vrstniškem tutorstvu imamo sodelovanje učenca z visokimi šolskimi ocenami in učenca z

nizkimi šolskimi ocenami ali sodelovanje med učencema s primerljivimi šolskimi dosežki.

Rohrbech, Ginsburg-Block, Fantuzzo in Miller (2003) navajajo, da je vrstniško tutorstvo

poučevalna strategija, ki je sistematična in vodena s strani vrstnika.

Z vrstniškim tutorstvom, ki je učinkovita poučevalna strategija v razredih, pri učencih z

različnimi učnimi sposobnosti spodbujamo doseganje učnih ciljev ter izboljšanje odnosov med

učenci.

Vrstniška pomoč sodi v obliko sodelovalnega učenja, ki je učinkovita oblika pomoči učencem

z učnimi težavami. Slavin (1991) opredeljuje sodelovalno učenje kot obliko dela, ki se izvaja v

manjših skupinah učencev, le-te pa so heterogene. S sodelovanjem v skupinah učenci vplivajo

na izboljšanje lastnega znanja in znanja vseh učencev v skupini.

Cilj vrstniškega tutorstva je usposobljenost učencev z učnimi težavami za samostojno učenje,

spremljanje svojega učnega napredka ter graditev pozitivne samopodobe.

Miller in Miller (1995) navajata, da predstavlja vrstniško tutorstvo ekonomično in učno

učinkovito obliko pomoči učencem z učnimi težavami. V tem odnosu pridobita tako tutor kot

tudi učenec, deležen tutorstva, saj ju ta oblika dela motivira k socialnemu in izobraževalnemu

napredku (prav tam). Rohrbeck idr. (2003) poudarjajo, da je učinkovitost vrstniškega tutorstva

večja oziroma se kaže v večjih dosežkih pri učencih v prvih treh razredih, pri učencih iz družin

z nižjim socialno-ekonomskim statusom, učencih, ki izhajajo iz manjšin, iz urbanega okolja,

pri izvajanju preventivnih programov za učence in pri učencih, ki nadzirajo tutorska srečanja.


36

C. Peklaj (2001) navaja, da so razlage vrstnikov pogosto boljše od razlage učiteljev. Podane so

namreč na nivoju, ki je bližje učenčevemu nivoju razvoja in načinu razmišljanja in zato lažje

razumljiva. Webb (1989, v Bennet, 1995) navaja tudi, da je že razlaganje samo po sebi v

pozitivni povezavi z napredkom. Razlagalec mora namreč pri razlaganju razjasniti, organizirati

in reorganizirati svoje znanje. V kolikor sprejemnik njegovih pojasnitev ne razume, mora

razlagalec svoje znanje še reformulirati in priskrbeti nove primere, prezentacije in analogije ter

najti nov način izražanja.

Bandura (1988) je postavil teorijo učenja z opazovanjem oziroma modelnega učenja, v kateri

povezuje zunanje podkrepitve in notranje miselne procese, ko se učimo z opazovanjem drugih

ljudi v socialni situaciji. Učenje z opazovanjem oziroma učenje po modelu omogoča, da se

naučimo novih vzorcev vedenja, spodbudimo uporabo že naučenega vedenja in inhibiramo ali

dezinhibiramo že naučeno vedenje. Pomembno vlogo v tej socialni situaciji ima model – oseba,

ki izvaja neko aktivnost, posameznik pa ji je izpostavljen.

Model mora pritegniti pozornost učenca, saj se učenec brez posvetitve pozornosti modelu ne

more učiti z opazovanjem. Pozornost pritegnejo modeli z visokim statusom, ki imajo znanje in

so kompetentni na svojem področju. Pomembni sta tudi jasnost dražljaja (dražljaj lahko ločimo

od drugih dražljajev) in kompleksnost dražljaja (zelo kompleksen dražljaj, ki ga učenec

opazuje, lahko presega učenčeve zmožnosti zaznavanja, zato ga je potrebno večkrat ponoviti,

da ga bo le-ta zaznal v celoti).

Za zapomnitev določene dejavnosti mora poleg pozornosti na model istočasno potekati tudi

vkodiranje dejavnosti v učenčev spomin. Učenec mora dejavnost na nek način reprezentirati v

svojem spominu (dejavnost si predstavlja v slikah, jo povezuje z določenimi besedami, jo

vključi v neko shemo). Za zapomnitev in usvojitev neke dejavnosti, veščine (prenos iz

kratkoročnega v dolgoročni spomin) je potrebno aktivnost ponoviti. Učenec lahko posamezne

korake, ki jih je izvajal model, izvede ali pa jih le ponavlja v mislih.

Izvajanje neke aktivnosti je najbolj točno, če jo posameznik najprej ponovi v mislih. Učitelj v

fazi reprodukcije (obnovitve) ugotovi, ali so učenci usvojili vse korake oziroma dele neke

spretnosti in jim da povratno informacijo o pravilno njihovega izvajanja. Povratna informacija

ima zelo veliko vlogo pri usvajanju veščin. Učencem jo moramo nuditi pri prvem izvajanju

aktivnosti, še preden se izvajanje utrdi in avtomatizira (Peklaj, 1998).


37

2.5.1 Pomen sodelovalnega učenja in vrstniške pomoči za učno uspešnost učencev z učnimi težavami

Slavin (1991) opredeljuje sodelovalno učenje kot dobro priložnost aktivnega vključevanja

učencev z različnimi učnimi sposobnostmi v delo, kjer prispevajo k doseganju lastnih in

skupinskih ciljev po svojih močeh. Sodelovalno učenje smatra kot primerno metodo, s pomočjo

katere uspešno vključujemo socialno in učno prikrajšane učence v skupino ali razred, saj le-to

izboljšuje socialne odnose.

McMaster, Fuchs in Fuchs (2002) navajajo, da socialno učenje povečuje motiviranost za učenje,

še posebej pri učencih z učnimi težavami, saj ti pri učenju redkeje doživljajo pozitivne izkušnje.

Ker učenec v taki obliki dela pridobi potrebne spretnosti za učenje, postane samostojnejši pri

učenju.

Mitchell (2008) poudarja prednosti uporabe sodelovalnega učenja pri učencih z učnimi

težavami, ki se kažejo v spodbujanju socialnih odnosov med učenci, sprejemanju drugačnosti

in razlik. Obenem ima pozitiven vpliv na dosežke učencev, ti namreč ob tej obliki učenja

napredujejo hitreje kot učenci v klasičnih oblikah poučevanja celotnega razreda. Učinek

skupinskega učenja je višji, v kolikor je skupinsko delo sistematično načrtovano.

Baker, Gersten in Lee (2002) so naredili sintezo učinkov obravnave na izboljšanje

matematičnih dosežkov učencev s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki, z nižjimi

dosežki pri učenju matematike in učencev, ki so rizičnimi za neuspeh pri matematiki. Rezultati

so pokazali, da so bile različne obravnave povezane z izboljšanjem nivoja matematičnih

dosežkov, posebej še: povratna informacija o učenčevi uspešnosti učitelju in učencu (učinek je

bil 0,57), vrstniška pomoč (0,66), povratna informacija o učenčevi uspešnosti staršem (0,42),

učenje matematičnih konceptov in postopkov (0,58).


38

2.6 MATEMATIKA IN MATEMATIČNO ZNANJE

Matematika je področje, ki je vpleteno v mnoge ravni našega vsakdanjega življenja. Je tudi

eden izmed temeljnih predmetov v osnovni šoli, ki izvršuje številne izobraževalno-infomativne,

funkcionalno-formativne in vzgojne naloge. V pouk matematike je vpleteno spodbujanje

različnih oblik mišljenja, ustvarjalnosti, formalnega znanja in spretnosti.

Učenci pri matematiki razvijajo matematično mišljenje, ustvarjalnost, formalna znanja in

spretnosti ter spoznavajo praktično uporabnost učenja matematike (Žakelj, Prinčič Röhler,

Perat, Lipovec, Vršič, Repovž in Senekovič, 2011).

Matematično znanje je zelo kompleksno, njena področja pa se med seboj prepletajo.

M. Kavkler (2007) navaja naslednje elemente matematičnega znanja: deklarativno,

konceptualno, proceduralno in problemsko matematično znanje. V nalogi bomo predstavili

prve tri elemente, ki se nanašajo na empirični del naloge. M. Cotič in A. Žakelj (2004) navajata,

da so tipi znanja med seboj povezani in da nikoli ne uporabljamo na primer le konceptualnega

ali proceduralnega znanja.

2.6.1 Matematično deklarativno znanje

Deklarativno znanje predstavlja posameznikovo zmožnost priklica informacij iz dolgoročnega

spomina. Predstavlja znanje podatkov, povezano pa je z dejstvi, koncepti, principi in teorijami.

Učencu sposobnost zapomnitve matematičnih informacij in pa hiter priklic dejstev pomagata k

napredovanju v matematičnih znanjih in sposobnostih. Aritmetična dejstva, ki jih ima

posameznik skladiščena v spominskih mrežah, imajo različno moč, od tega pa je odvisna hitrost

priklica posameznega dejstva. Geary idr. (2007) navajajo, da je za učence z učnimi težavami

pri matematiki značilno, da imajo veliko težav pri oblikovanju predstav aritmetični dejstev v

dolgotrajnem spominu ter s priklicem le-teh iz dolgotrajnega spomina. A. Žakelj (2003) navaja,

da se moramo nepovezana dejstva in samovoljne informacije, ki jih ne moremo izpeljati z

ostalim znanjem, naučiti z memoriranjem, in sicer v obliki, kot so predstavljena in z večjo ali

manjšo stopnjo razumevanja.


39

Otroci na začetku usvajajo aritmetična dejstva z ocenjevanjem majhnih količin (subitizacija),

temu sledi štetje in na koncu priklic aritmetičnih dejstev iz dolgotrajnega spomina (Geary, 2003,

Bryant idr., 2008b). Poleg razvoja pojma števila je štetje osnova za pridobivanje aritmetičnih

sposobnosti in spretnosti. Otrok pri štetju prehaja od serijskega štetja, do dvosmernega štetja

ter fleksibilnega štetja naprej in nazaj (Kavkler, 2007; Kalan, 2015). Na podlagi štetja se

oblikuje reprezentacija osnovnih aritmetičnih dejstev (Siegler in Shrager, 1984, v Geary in

Hoard, 2002). Napake pri štetju se rezultirajo z napakami pri priklicu aritmetičnih dejstev

(Geary, 1990). Kavklerjeva zato poudarja učenje različnih vrst štetja pri učencih z učnimi

težavami pri matematiki. Dobro obvladovanje štetja je predpogoj za avtomatizacijo aritmetičnih

dejstev in reševanje kompleksnejših aritmetičnih nalog (Bryant idr., 2008a; Fuchs idr., 2009).

Za učence z učnimi težavami pri aritmetiki so značilne tudi težave pri štetju. Ti učenci

uporabljajo razvojno manj zrele strategije štetja kot njihovi vrstniki, pri tem pa naredijo več

napak.

Ko učenec postaja vse hitrejši in učinkovitejši pri združevanju računa in odgovora pri štetju, se

preko delovnega spomina utrdi asociacija v dolgotrajnem spominu. Učenec lahko opusti štetje

in uporablja priklic dejstev, ki je najbolj razvita strategija uporabe aritmetičnih dejstev (Geary,

Brown in Samaranayake, 1991, v Fuchs, Fuchs, Compton, Powell, Seethaler idr., 2006b;

Lemaire in Siegler, 1995). Dejstva seštevanja in poštevanke so shranjena v mehaničnem

verbalnem spominu (Dehaene, Piazza, Pinel in Cohen, 2003, v Kalan, 2015) in ne zahtevajo

veliko kvantitativne manipulacije. V verbalnem spominu je shranjenih tudi nekaj računov

odštevanja, vendar pa se večine računov odštevanja ne naučimo do avtomatizma, zato pri

reševanju le-teh moramo izvajati kvantitativno manipulacijo (Dehaene idr., 2003, v Kalan,

2015).

Na podlagi deklarativnega ariemtičnega znanja (zmožnost shranjevanja aritmetičnih dejstev in

hiter priklic aritmetičnih dejstev) učenec gradi proceduralno in konceptualno znanje, zato je le-

to nujno potrebno.

2.6.2 Matematično konceptualno znanje

A. Žakelj (2003) konceptualno znanje opredeljuje kot razumevanje dejstev in pojmov, ki

zajema oblikovanje in strukturiranje pojmov ter poznavanje relevantnih dejstev. Konceptualno

znanje zajema: prepoznavanje (npr. kvadrata v ravnini) in razumevanje pojmov, predstave (npr.


40

plašč kvadra sestavljajo štirje pravokotniki), prepoznavanje terminov in simbolov (a, b,

stranice), izreke in definicije (Pitagorov izrek…) ter razumevanje povezav (npr. množenje in

deljenje) (Cotič in Žakelj, 2004).

Pri konstruiranju konceptualnega znanja učencu lahko pomaga učitelj, ki pravilno presodi, kdaj

naj uvede nove pojme in koncepte v učni proces, pozna učenčev način konstruiranja lastnega

znanja in se zaveda, da na vrstni red učenja in poučevanja pomembno vpliva struktura že

obstoječega znanja (Cotič in Žakelj, 2004). Tudi M. Kavkler (2007) poudarja, da je uspešnost

učenja pri matematiki močno odvisna od predznanja, zato morajo biti učiteljeve razlage in

navodila razumljiva vsem otrokom, pri tem pa mora učitelj upoštevati tudi razvitost

predpogojev za učenje nove snovi (za učenje aritmetičnih dejstev seštevanja mora najprej

obvladati pojem seštevanja, povezati znak + s seštevanjem itd.). Podobno navajata Ohlsson in

Rees (1991, v Geary, 2004), ki pravita, da ob slabem razumevanju pojmov, ki jih zajema nek

obravnavan postopek, prihaja do razvojnih zaostankov pri usvajanju zahtevnejših postopkov,

obenem pa je zmanjšana sposobnost odkrivanja napak.

M. Cotič in A. Žakelj (2004) navajata vzroke, ki lahko povzročajo težave pri usvajanju

konceptnih predstav:

- verbalizem (učenje pojmov enačimo z učenjem besed ali z obnovo definicij),

- prezahtevnost posameznih pojmov glede na razvojno stopnjo (otrok na razvojni stopnji

konkretnih operacij ne more v popolnosti obvladovati pojmov, ki so vezani na simbolno raven),

- premajhna povezanost pojmov med seboj in zanemarjanje obravnave mrežnih povezav,

odnosov med njimi (pri poučevanju moramo upoštevati dejstvo, da so pojmi v kognitivni

strukturi razvrščeni v pojmovne mreže).

Razvoj matematičnega deklarativnega in konceptualnega znanja pri oblikovanju pojma

števila

Različni avtorji (Starkey in Cooper, 1980; Strauss in Curtis, 1981; Berger, Tzur in Posner, 2006)

navajajo, da dojenčki v prvih mesecih življenja zaznajo konstantnost objektov in zaznavajo

razlike v njihovih količinah. Zmožnost hitrega uvida v število elementov pri otroku v

predšolskem obdobju imenujemo subitizacija (angl. subitizing). Subitizacija predstavlja

prepoznavanje števila elementov manjhnih, prostorsko urejenih skupin. Je del prirojenih

številskih predstav in predstavlja osnovno sposobnost za učenje štetja (Sousa, 2008a, Bobis,


41

2008) ter temeljno spretnost v razvoju razumevanja števil in usvajanja osnovnih ariemtičnih

dejstev (Baroody, 1987, v Clements, 1999). Sousa (2008a) navaja, da lahko pri otrocih s slabo

razvito sposobnostjo uvida predvidevamo učne težave pri matematiki, zato je pomembno, da

pri učencih pri pouku okrepimo sposobnosti uvida količin.

J. Bobis (2008) predstavlja razdeljevanje celote ali določenega števila elementov na manjše

dele ter prepoznavanje dobljenih majših količin brez štetja dobro osnovo za razvijanje številskih

predstav ter učenje številskih kombinacij vseh štirih osnovnih operacij z razumevanjem in ne

le z mehanskih ponavljanjem.

Clements (1999) opisuje dva tipa subitizacije: perceptualnega in konceptualnega. Perceptualni

predstavlja prepoznavanje števila brez uporabe drugih matematičnih procesov in je prisoten

tudi pri majhnih otrocih. Med drugim otroku pomaga pri ločevanju zbirke objektov v

posamezne enote in povezovanju vsake enote s samo enim poimenovanjem števila, s čimer se

začne proces štetja. Konceptualen uvid pa posamezniku omogoča prepoznati količino s

prepoznavo podobnega vzorca, kot je npr. razporeditev pik na kocki ali na domini. Drugi vzorci

so lahko kinestetični, kot je npr. uporaba vzorca prstov pri reševanju nalog iz seštevanja ali

ritmični, kjer za vsak preštevan element opravimo en gib. Clements (1999) ter Steffe in Cobb

(1988, v Sousa, 2008a) poudarjajo, da ustvarjanje in uporaba konceptualnega uvida vzorcev

pomaga otroku razviti razumevanje abstraktnih števil in aritmetičnih strategij, ki jih bo

potreboval za uspešno štetje.

Otroci so zelo zgodaj izpostavljeni pomenu števil v vsakdanjem življenjskih dejavnostih, zato

je pomembno, da formalno poučevanje matematike nadaljuje z razvojem kvantitete, povezav

med in znotraj vseh štirih osnovnih operacij, kot tudi s prepoznavanjem in ustvarjanjem

različnih reprezentacij števil, saj je to temelj nadaljnjega razvoja občutka za števila pri otroku.

Hkrati je to temeljna spretnost v otrokovem razvoju razumevanja števil in usvajanju osnovnih

aritmetičnih dejstev (Baroody, 1987, v Clements, 1999).

Poleg hitrega uvida količin moramo pri otroku razvijati tudi predštevne dejavnosti in

poznavanje imen za števila. Geary (1994) navaja, da se tri- do štiriletni otroci poznajo imena

števil od 1 do 10 v pravilnem zaporedju, štiri- do petletni otroci pa si zapomnijo in pravilno

uporabljajo pri štetju števila do 20 in celo do 30. Poleg tega ob rokovanju s predmeti rešujejo

tudi preproste aritmetične naloge (Aubrey, 1995). M. Kavkler, S. Tancig, L. Magajna (2004) in

V. Manfreda Kolar (2006) poudarjajo, da moramo otroku v prvih letih šolanja omogočiti razvoj


42

različnih vrst štetja in razumevanje principov štetja (povratno enolično prirejanje, urejenost

naravnih števil, kardinalnost, abstrakcije in nepomembnost vrstnega reda štetja), da bo lahko

uspešno usvajal znanja iz aritmetike.

Učenci z učnimi težavami pri aritmetiki imajo težave pri priklicu temeljnih aritmetičnih dejstev,

ki je pomembna spretnost deklarativnega znanja in ga moramo razvijati s sistematičnim

postopnim urjenjem preko učenja štetja, razdruževanja in ponavljanja številskih kombinacij

(Fuchs, Powell, Seethaler, Fuchs, Hamlett idr., 2010). M. Kavkler (2007) poudarja, da veliko

učencev z učnimi težavami pri matematiki med šolanjem ne usvoji abstraktnih matematičnih

pojmov, zato pri računanju potrebujejo zunanjo oporo.

Pojem števila je za otroka prva izkušnja z aritmetiko, ki je zanj na zelo abstraktnem nivoju.

Mlajši otroci naštevajo imena števil brez prisotnosti dejanskih predmetov, pri tem pa ne

razumejo njihovega pomena. Števila lahko naštevajo v pravilnem vrstnem redu, težave pa imajo

pri pravilnem pripisovanju imen seriji predmetov. Ne dojemajo potrebe po vključevanju že

naštetih predmetov v serijo. Pri verbalnem štetju mlajši otroci ne prepoznajo logične potrebe

po ureditvi predmetov, zato preskakujejo ali podvajajo preštete predmete.

Markovac (1990) predlaga naslednje korake pri formalnem oblikovanju pojma naravnega

števila:

1. spoznavanje množic ob praktičnih dejavnostih in grafičnih prikazih;

2. spoznavanje podmnožic ob rokovanju s predmeti ob opisovanju dejavnosti;

3. prirejanje predmetov in grafično prirejanje ob opisovanju dejavnosti;

4. oblikovanje pojmov naravnih števil do 10 (spoznavanje povezav med naravnimi števili

in množicami, niza naravnih števil, odnosov med števili, operacij z naravnimi števili in

nekaterimi značilnostmi računskih operacij s postopnim prehajanjem od konkretnih,

preko grafičnih do simbolnih reptezentacij);

5. oblikovanje pojmov naravnih števil do 20 in do 100 (formiranje pojmov poteka po

pirbližno enakih korakih kot v obsegu do 10, uporabimo pa nekoliko drugačna

ponazorila).


43

Otrok mora usvojiti načela štetja, ki so (Ferbar, 1990):

• štetje predstavlja povratno enolični prirejanje (s štetjem elementom množice povratno

enolično priredimo znamenja za naravna števila, pri tem ne smemo izpustiti nobenega

elementa in nobenega elementa ne dmemo šteti več kot enkrat),

• naravna števila so urejena (imena števil naštevami vedno v enakem zaporedju),

• s štetjem enako močnim množicam priredimo isto število (število, ki ga imenujemo s

štetjem kot zadnje, opredeljuje lastnost množice) in

• število ni odvisno od vrstnega reda preštevane množice.

Clemson in Clemson (1994) pojem število delita na dve funkciji. Prva funkcija so kardinalna

ali glavna števila (števila 1, 2, 3…), ki nam povedo moč množice, druga funkcija pa so ordinalna

ali vrstna števila (prvi, drugi, tretji…, ki govorijo o vrstnem redu dogodkov). Takšna delitev

števil je že starejša, a še vedno zelo uporabna. Pomaga, da ločimo število »5« in »peti«, za kar

obakrat uporabimo simbol »5«, enkrat nam ta pove moč množice, drugič pa nam poda opis

vrste.

Mnogo otrok ima tudi pri šestih in sedmih letih še težave pri usklajevanju številčnih in

perceptivnih informacij (Aubrey, 1994, v Kavkler, 1997). M. Kavkler (1991) poudarja, da

moramo otrokom za lažje dojemanje števil omogočiti dovolj časa, da spoznajo predmete, jih

med sabo razvrščajo, primerjajo in predvsem, da z različnimi dejavnostmi ter vajami sami

dojamejo pojem števila.

2.6.3 Matematično proceduralno znanje

Proceduralno znanje predstavlja obvladovanje postopkov, pri katerih velja jasno zaporedje, ki

nas vodi do odgovora (Ginsburg in Baroody, 1983). Postopek se izboljšuje z vajami in

izkušnjami. Uporabljamo ga za reševanje matematičnih besednih in računskih nalog, z njimi pa

smo v stiku v vsakodnevnem življenju (Miller in Hudson, 2007).

Hiebert in Lefevre (1986, v Vouitsina, 2012) poudarjata, da pri proceduralnem oziroma

postopkovnem znanju uporabljamo pravila, algoritme in postopke pri reševanju matematičnih

nalog (npr. poznavanje korakov, kot si sledijo pri deljenju večmestnih števil) in uporabljamo

formalni matematični jezik.


44

Matematično proceduralno znanje je sestavljeno iz simbolične reprezentacije (simboli za

operacije s celimi števili: + , -, x, : ) in pravila za izpeljavo nalog (algoritmi) (Goldman in

Pellegrino, 1987). Ko posameznik rešuje novo nalogo, poišče vire v dolgoročnem spominu in

jih uskladi z novo situacijo. Ko nalogo reši, se rešitev kot postopek shrani v spominu. Ob

srečanju s podobno nalogo je sposoben le-to rešiti hitreje, saj je zmožen priklica ustrezne serije

korakov, ki so shranjeni v dolgoročnem spominu (Bootge, 2001). Fuchs idr. (2006b)

poudarjajo, da na proceduralno znanje vplivajo zmožnost sledenja korakom (pozornost),

delovni spomin, fonološko procesiranje in dolgoročni spomin.

M. Cotič in A. Žakelj (2004) opredeljujeta proceduralno znanje kot znanje, pri katerem

posameznik pozna in učinkovito izvaja algoritme in procedure. Delita ga na:

• rutinsko proceduralno znanje: pri katerem posameznik izvaja rutinske postopke,

uporablja pravila in obrazce, standardne računske postopke, rešuje preproste naloge…;

• kompleksno proceduralno znanje: pri katerem posameznik uporablja kompleksne

postopke (poznavanje, izbora in učinkovita izvedba procedur in algoritmov (postopkov, metod),

uporaba pravil, zakonov, postopkov, sestavljene naloge z več podatki).

M. Kavkler (2007) navaja, da že reševanje enostavnih aritmetičnih nalog zahteva vključitev

mnogih korakov, pravil in dejstev.

Razvoj strategij štetja

Učenje zaporedja, kjer si sledijo imena števil v številski vrsti, je zelo pomembno za razvoj

sposobnosti in spretnosti štetja. Štetju se posveča vse večja pozornost že pred vstopom otroka

v šolo. Po definiciji je štetje proces, pri katerem se vsak predmet vključi samo enkrat. Z imenom

števila je vsak označen predmet povezan enkrat in razvrščen v vedno enakem zaporedju (1, 2,

3 …). Štetje je podobno recitiranju pesmice, saj otroci v ritmu ponavljajo besede in se ob tem s

prstom premikajo od predmeta do predmeta. (Kmetič, 1996).

Gelman in Gallistel (1978) navajata, da štetje majhnih otrok vsebuje 5 načel: načelo enakosti

(temelji na podlagi ujemanja 1:1 in zahteva odkljukavanje preštetih predmetov), načelo

razvrstitve (kjer se števila v konstantnem zaporedju ponavljajo), linearno načelo (kjer število

predmetov v razporedu predstavlja zadnji podatek), abstraktno načelo (dopušča štetje

kakršnegakoli razporeda ali vrste predmetov) in načelo, kjer ni pomemben vrstni red.


45

Na začetku otroci preštevajo predmete »en, še en, še en«. Temu sledijo poskusi štetja enkrat v

pravilnem, včasih v napačnem vrstnem redu. Kljub temu da otroku nekajkrat uspe prešteti

predmete v pravilnem vrstnem redu, pa še ne pomeni, da otrok obvlada pojme, ki jih štetje

zajema. Ne glede na razporeditev predmetov bi moral zaznati majhno količino predmetov (od

ena do pet, šest). Za lažje razumevanje štetja moramo otroka voditi od njemu najlažjega do

težjih primerov, za kar pa uporabljamo različne strategije (Markovac, 1990):

- štetje predmetov s premikanjem le-teh (najlažji način štetja za učence),

- štetje predmetov z dotikanjem,

- štetje predmetov s kazanjem (brez premikanja in dotikanja),

- štetje predmetov s pogledom (težji način, lahko se zgodi, da kateri predmet prešteje

dvakrat ali katerega izpusti),

- štetje predmetov v gibanju (vozila, ptice, ipd.),

- štetje pojavov, ki sledijo drug drugemu (koraki, udarci, zvoki, ipd.),

- štetje v mislih ali tako imenovano mentalno štetje brez ponazarjanja predmetov (tako

štetje je najtežje, nanaša se na predstave prej zaznanih predmetov).

Poleg teh strategij moramo pozornost posvetiti tudi štetju od določenega števila naprej (štej od

števila 3 naprej), štetju od določenega števila nazaj (štej od števila 7 nazaj), štetju med dvema

različnima številoma (štej od števila štiri do števila devet ali štej nazaj od števila osem do števila

tri), štetju od danega števila po dve naprej ali po dve nazaj (Markovac, 1990).

Pojem števila in štetje se pri večini otrok razvijeta, po mnenju strokovnjakov, od drugega do

osmega leta. Uporabo in razumevanje pojma števil in štetja se mora otrok naučiti preko lastnih

dejavnosti (Kavkler, 1997).

Razlikujemo pet kvalitativno različnih razvojnih stopenj, ki jih mora preiti otrok pri učenju

zaporedja imen števil (Fuson, 1988, v Kavkler, 1997):

1. stopnja: serijsko štetje (nizanje imen števil v nediferencirane enote),

2. stopnja: neprekinjen besedni seznam

Otrok recitira imena števil. Pri tem vedno začne z ena. S štetjem je sposoben določiti, koliko

elementov je v množici, združiti ali razdružiti dve količini in ugotoviti rezultat. Otrok na tej

stopnji uporablja preštevanje vsega.

3. stopnja: prekinjena vrsta


46

Otrok je na tej razvojni stopnji sposoben šteti od prvega števila naprej in se pri štetju več ne

vrača na začetek številske vrste. Pri združevanju dveh množic šteje od prvega števila naprej,

medtem ko pri odštevanju prešteva od manjšega števila do večjega. Ta oblika štetja se imenuje

strategija štetja naprej.

4. stopnja: številčna vrsta (na tej stopnji besede postanejo enote v numeričnem pomenu

množice besed – dobijo abstrakten pomen),

5. stopnja: dvosmerna vrsta (na tej stopnji otrok fleksibilno in z lahkoto uporablja štetje

naprej in nazaj).

Štetje predstavlja pomemben element računanja, zato učenci z učnimi težavami pri matematiki

potrebujejo intenzivnejše učenje štetja z različnimi, posameznemu otroku primernimi

strategijami. V primeru, da tega ne izvajamo, se učenci naučijo postopke mehanično in

posledično naredijo veliko napak. Če poučujemo otroke s specifičnimi učnimi težavami pri

aritmetiki, morajo učitelji organizirati veliko socialnih interakcij in predstavljanja strategij

štetja, da ti otroci usvojijo fleksibilno rabo štetja in počasi preidejo na razvitejše strategije

učenja štetja. Vaje za učenje štetja morajo biti otrokom zanimive, povezane z gibanjem in

igrami (Kavkler, 2007).

Strategije reševanja aritmetičnih nalog

Frobisher (1994, v Hodnik Čadež, 2000) opiše matematično strategijo kot zaporedje

matematičnih miselnih procesov. Kompleksnost zaporedja določa problemska situacija in

reševalec. Pri pouku matematike moramo posvetiti večjo pozornost razvijanju matematičnih

strategij, ki so sestavni del proceduralnega znanja, saj bomo učencem tako omogočili, da bodo

pri reševanju matematičnih nalog uspešnejši. Razvoj aritmetičnih strategij pri posamezniku ne

poteka od enostavnih h kompleksnim strategijam. Otroci v različnih starostnih obdobjih

uporabljajo različne strategije in več strategij reševanja aritmetičnih problemov. Geary (1994)

poudarja, da v razvoju aritmetičnih spretnosti prihaja do variacij v uporabi različnih strategij

ter v hitrosti in pogostosti pojavljanja posamezne strategije, s katero otrok reši aritmetični

problem.


47

M. Kavkler (2007) strategije reševanja aritmetičnih nalog deli na: materialne (ki jih lahko

zasledimo pri mlajših otrocih, pri mladostnikih in nekaterih odraslih osebah, ki imajo nižje

intelektualne sposobnosti ali pri osebah, ki imajo težke specifične učne težave pri učenju

matematike), verbalne (vključujejo neko verbalno oporo, kot je štetje in ponavljanje

večkratnikov) in miselno računanje (zahteva priklic aritmetičnega dejstva iz dolgotrajnega

spomina).

V nadaljevanju bomo predstavili razvoj nekaterih strategij reševanja nalog seštevanja,

odštevanja, množenja in deljenja.

Strategije enostavnega seštevanja

Carpenter in Moser (1983, v Geary, 1994) navajata, da otroci pri reševanju enostavnih nalog

seštevanja (npr. 4 + 3 =__ ) uporabljajo 5 skupin strategij: uporaba opor (preštevanje

predmetov), štetje s prsti, verbalno štetje brez uporabe opore (mentalno štetje), izpeljan priklic

in priklic aritmetičnih dejstev. Te strategije se pojavljajo najpogosteje, niso pa edine, ki jih

otroci uporabljajo.

Strategije z uporabo predmetov ali prstov so značilne za otroke pri starosti okrog treh let. Otrok

pri reševanju problema 3 + 2 otrok najprej našteje tri predmete, nato dva predmeta in prešteje

še vse skupaj (preštevanje predmetov). Šteti začne pri 1 in s prstom pokaže vsak predmet. Otrok

z oporo in s kazanjem s prstom na predmete lažje sledi štetju, saj mu niz elementov predstavlja

težko razumljivo količino. Tako ugotovi, da se mora ustaviti, ko z besedo za število poimenuje

zadnji predmet. Štiri do petletni otroci večinoma kombinirajo štetje na prste in verbalno štetje,

v kolikor odgovora ne morejo priklicati iz spomina.

Strategijo preštevanja prstov uporabljajo otroci pri enostavnih aritmetičnih nalogah, npr.

seštevanje do 10 (štejejo s pomočjo nastavljanja določenega števila prstov). Najprej ob štetju

nastavijo prvo število na eni roki, nato nastavijo vrednost drugega števila s prsti na drugi roki,

potem preštejejo prste obeh rok in dobijo rezultat. Pri seštevanju z vsoto, večjo od 10, otroci

najprej nastavijo prvo število prstov, pokažejo drugo število prstov in začnejo k prvemu številu

prištevati drugo število s pomočjo nastavljanja prstov. To strategijo otroci uporabljajo v

obdobju pred vstopom v šolo in na začetku izobraževanja.


48

Prehod od štetja na prste na strategije verbalnega štetja je odvisen od sposobnosti otroka, da v

delovnem spominu ohrani število, ki ga je že preštel in tisto, ki ga mora še prišteti (Fuson, 1982,

v Kavkler, 1997). Pri verbalnem štetju ločimo tri oblike: štetje vsega, štetje od prvega števila

naprej in štetje od večjega števila naprej (Geary, 1994). Geary (1990, v Kavkler, 1997)

poudarja, da je verbalna strategija učinkovitejša, kadar otrok uporablja štetje od večjega števila

naprej kot v primeru, ko začne šteti od manjšega števila, saj je sled že preštetega težje obdržati

(Geary, 1990, prav tam). Verbalni postopek preštevanja vsega je podoben postopku preštevanja

predmetov, le da pri tem otrok predmetov nima pred seboj. Otrok oba seštevanca prešteje tako,

da začne šteti od 1. Štetje od prvega seštevanca naprej zahteva od otroka upoštevanje prve

količine in nato nadaljevanje z navajanjem števil iz drugega seštevanca, npr. 4 + 3 =… 5, 6, 7.

Pri štetju od večjega števila naprej pa otrok šteje po ena od večjega števila naprej, npr. 2 + 3

=… 4, 5. Zadnja sva postopka sta že bolj napredna, saj otrok uvidi, da se postopek skrajša in

mu ni več potrebno šteti od ena. Otrok ob uporabi štetja od večjega števila naprej ugotovi,

razume, da vrstni red seštevancev ne vpliva na rezultat, pri tem pa mu ni potrebno razumeti

zakona komutativnosti. Pri otrocih, ki uporabljajo strategije preštevanja prstov in verbalnega

štetja, pogosto prihaja do sistematičnih napak. Otroci po navadi preštejejo za 1 preveč ali

premalo (pogosteje). Vzrok je v izgubi sledi štetja ali pa v proceduralni napaki (šteti začne pri

napačnem številu).

Strategija izpeljan priklic zajema priklic aritmetičnih dejstev, ki smo si jih zapomnili in jih

uporabljamo pri kompleksnejših nalogah seštevanja. Otroci si bolje zapomnijo aritmetična

dejstva, ki se pojavljajo v parih (npr. 2 + 2 =, 5 + 5 = itd.), kot pa druge kombinacije (Ashcraft,

1992, v Kakler 1997). Otrok bo na podlagi zapomnitve rezultatov vsote parov števil reševal

račune, kot npr.: 6 + 7 bo reševal s priklicem vsote para števil iz dolgotrajnega spomina 6 + 6

= in dodal 1. Lahko pa ga bo reševal po metodi prehoda čez desetico, ki je osnovana na

razumevanju sistema prve desetice (6 + 7 = 7 + 3 + 3); pri tem lahko uporabi štetje naprej: 10

+ 3 = 11, 12, 13 ali zadnji korak s priklicem aritmetičnega dejstva 10 + 3 = 13 (Geary, 1994).

M. Kavkler (1997) poudarja, da veliko otrok uporablja svojo lastno metodo izpeljanega priklica.

Otroci za reševanje danega aritmetičnega problema raje kombinirajo različne vrste postopkov

(štetje naprej od prvega seštevanca…), kot da bi priklicali dejstva. V kolikor učitelji otroke

spodbujajo k uporabi različnih strategij, ki jih hkrati opisujejo in primerjajo med seboj, le-ti

razvijejo sposobnost izbiranja različnih strategij.


49

Priklic aritmetičnega dejstva je zadnji izmed procesov, ki jih otroci uporabljajo za reševanje

preprostih nalog seštevanja. Na vprašanje, kako so prišli do rezultata povedo, da »so pač vedeli«

ali da »so se spomnili«. Odgovor so si zapomnili preko večkratnega izvajanja strategij štetja in

izpeljanega priklica. Nekatera lažja aritmetična dejstva, npr. 2 + 1 =, lahko prikličejo že

predšolski otroci, najtežje in najpozneje pa prikličemo aritmetična dejstva, ko sta seštevanca

večji števili, npr. 7 + 8 =.

Na zapomnitev in priklic aritmetičnih dejstev seštevanja vplivajo pogostost reševanja

določenega problema, zahtevnost štetja, ki ga uporabimo za reševanje problema (lažje je štetje,

hitreje si zapomnimo dejstvo) in prirojeno razumevanje različnih kvantitet. Lažje namreč

diskriminiramo manjša števila (1 od 2, kot 8 od 9), pri problemih z večjimi števili se pojavlja

več napak, postopek pa traja dalj časa (Geary, 1994).

Napake v priklicu aritmetičnih dejstev razdelimo v štiri skupine:

- ugibanje (značilno za mlajše otroke, ko ne vedo, kako sešteti dve števili, zato ju

prepišejo, npr. 4 + 1 = 41 ali pa je rezultat eno od obeh števil);

- približen rezultat (za 1 ali 2 večji ali manjši odgovor od pravilnega rezultata, saj si otrok

zaradi stalnih napak pri štetju zapomni napačen rezultat);

- zamenjava operacij (otrok prikliče pravilno aritmetično dejstvo, ki pa velja za drugo

računsko operacijo, npr. 4 + 3 = rešitev 12),

- napake reševanja (otrok prikliče dejstvo za podoben problem: za problem 6 + 7 =

prikliče dejstvo 12 (Geary, 1994). Te napake so povezane z reprezentacijami dejstev v

dolgotrajnem spominu (prav tam).

Strategije seštevanja dvomestnih števil

Otroci pri reševanju kompleksnih problemov uporabljajo znanje in spretnosti, ki so ga pridobili

pri reševanju enostavnih problemov seštevanja. Tako uporabljajo strategije štetja,

razdruževanje in postopek pisnega računanja v stolpcih. Strategije štetja zajemajo štetje naprej

od večjega števila (35 + 4 = 36, 37, 38, 39). Pri miselnem seštevanju dvo- ali več mestnih števil

mora otrok uporabiti strategijo pregrupiranja, razdruževanja, ta pa je pogojena s poznavanje

desetiškega številčnega sistema. Pri tem desetice in enice sešteje posebej (34 + 45 =__, 30 + 40

= 70, 4 + 5 = 9; 70 + 9 = 79) (Fuson in Kwon, 1992, v Kavkler, 1997).


50

Računanje s prehodom čez desetico predstavlja najtežji postopek kompleksnega seštevanja

(36+58=__). Najprej je potrebno na pamet sešteti enice (6 + 8) in si zapomniti, koliko desetic

je potrebno prenesti v naslednjo kolono. Sledi prenos desetic naprej in seštevanje vseh desetic.

Pri pisnem računanju pa se pogosto zgodi, da pozabimo na prenos desetic. Poleg tega moramo

razumeti tudi, da število 1, ki ga prenašamo iz stolpca enic v stolpec desetic pravzaprav

prestavlja 10. Napake pri računanju s prehodom so pogostejše, v kolikor tega ne razumemo

(Geary, 1994). Miselno seštevanje dvo- in večmestnih števil je zahtevnejše kot pisno računanje,

saj mora otrok najprej računati z večjimi desetiškimi enotami, nato pa sledi računanje z enicami.

Števila, s katerimi računa, mora ohraniti v spominu. Otrok pri miselnem računanju najprej

pregrupira števila v desetiške številske vrednosti, kar pa je lahko zanj veliko težje kot pri pisnem

računanju, kjer so števila že v kolonah po desetiških enotah. Ustno računanje prav tako zahteva

računanje od leve proti desni, medtem ko pisno računamo od desne proti levi.

Strategije enostavnega odštevanja

Podobna načela, kot veljajo za strategije seštevanja, veljajo tudi za strategije odštevanja. Na

začetku si otrok pomaga z uporabo predmetov ali prstov, nato preide na strategije verbalnega

štetja in priklic aritmetičnih dejstev. Otroci se pri odštevanju večkrat uporabljajo pripomočke

in prste kot pa verbalno štetje. Nadalje bolj zaupajo razdruževanju, nazadnje pa neposrednemu

priklicu dejstev iz dolgotrajnega spomina (Carpenter in Moser, 1984, v Geary, 1994).

Enostavne aritmetične naloge odštevanja s pomočjo manipulativnih dejavnosti s predmeti

uspešno rešuje večina otrok starih 4 in 5 let. Otrok uporabni strategijo ločevanja, pri kateri

vrednost zmanjševanca prikaže s predmeti, odvzame ustrezno število predmetov glede na

odštevanec, število predmetov, ki so ostali, pa mu predstavlja odgovor. Druga strategija je

strategija dodajanja do vrednosti zmanjševanca, pri kateri vrednost odštevanca učenec nastavi

s predmeti, in doda toliko predmetov, da dobi vrednost zmanjševanca. Tretja strategija je

strategija vzporejanja, pri kateri učenec nastavi vrednost zmanjševanca in odštevanca s

predmeti v dveh vrstah z vzporejanjem 1:1, rešitev naloge pa so predmeti brez para (Geary,

1994).

Pet- do šest- letni otroci rešujejo naloge odštevanja s pomočjo štetja. Pri tem si, prav tako kot

pri seštevanju, pomagajo s štetjem prstov. Učenec dvigne toliko prstov, kot ustreza vrednosti


51

zmanjševanca, spusti toliko prstov, kot ustreza odštevancu, preostanek dvignjenih prstov pa je

odgovor. Učenec z rabo prstov ohranja sled računanja, strategijo pa uporabi za računanje z

večjimi števili (npr. 9-5), ne pa toliko za računanje z manjšimi števili (npr. 3-2). Strategija

zahteva manj časa, kot delo s predmeti.

Pri strategiji verbalnega štetja otrok šteje glasno ali v mislih. Če štetju ne zmore slediti, si

pomaga z gibanjem ali predstavljanjem prstov, t. j. kombinacija materialno-verbalnega štetja z

minimalno materialno oporo.

Pri enostavnem odštevanju se pojavljajo podobne napake kot pri enostavnem seštevanju.

Učenec izgubi sled štetja ali pa postopek odštevanja nepravilno izvede (npr. 9 – 5 = … 5, 6, 7,

8, 9 med tem, ko je pravilno 6, 7, 8, 9). Več napak se pojavi ob verbalnem štetju kot pri štetju

z uporabo prstov. Učenec uporablja strategijo prištevanja pri primerih, kot je 9 – 7 =, kjer štetje

od vrednosti odštevaca do zmanjševanca in strategijo odštevanja pri primerih, kot je 9 – 2 =. S

tako izbiro strategij se zmanjša tudi število napačnih rešitev.

Postopek štetja nazaj se pri otrocih redkeje uporablja, saj je težko šteti nazaj in ob tem še slediti

štetju, razen če si ob tem lahko pomagajo s pripomočki. Ta postopek je uporabnejši pri

reševanju kompleksnih primerov, kjer bi bilo štetje naprej dolgotrajnejše (npr. 23 – 4 =). Za

verbalno reševanje enostavnih nalog odštevanja otroci najpogosteje uporabljajo postopek štetja

naprej (Geary 1994). Pri reševanju enostavnega odštevanja se pogosto pojavi zveza s

seštevanjem. Uporabi se tako imenovana strategija sklicevanja na komplementarne probleme

seštevanja. Problem odštevanja 8 – 2 = rešimo s seštevanjem 6 + 2 = 8. Siegler in Jenkins (1989)

navajata, da otroci v 2. razredu to strategijo uporabljajo v 2 % primerov odštevanja, do 4.

razreda pa uporaba te poskoči na 21 %. Z uporabo te strategije se čas računanja skrajša, pri

računanju je manj napak, otroci pa morajo za uporabo te strategije obvladati več aritmetičnih

dejstev seštevanja (Geary, 1994, Kavkler, 1997).

Strategija direktnega priklica aritmetičnih dejstev iz dolgoročnega spomina je najučinkovitejši

in najhitrejši postopek za reševanje primerov enostavnega odštevanja, zahteva malo napora in

je izveden z najmanj napakami. Ena najpogostejših napak pri uporabi te strategije je priklic

odgovora za komplementaren problem seštevanja (8 – 4 = 12) (Geary, 1994).


52

Strategije odštevanja dvomestnih števil

Učenci lahko rešujejo nekatere primere odštevanja dvomestnih števil z znanjem in strategijami,

ki jih uporabljajo pri reševanju enostavnih računov odštevanja. Pri strategiji štetja nazaj po ena,

npr. 18 – 4 =, štejejo po 18, 17, 16, 15 in je odgovor 14, ali pri problemu, kot je npr. 17 – 15 =,

s štetjem naprej po ena 16, 17 in je rešitev 2. Reševanja računa se lahko lotijo tudi s pisnim

načinom odštevanja, vendar mora pri tem otrok vedeti, da se postopek reševanja začne na desni

strani računa pri enicah in potem kolono za kolono proti večjim desetiškim enotam. Težave

nastanejo pri pisnem odštevanju s prehodom preko desetice, saj mora tam otrok obvladati

izposojanje in vračanje desetic (Kavkler, 1997).

Učenci lahko izvajajo razdruževanje ali dekompenzacijo (npr. od leve proti desni: 63 – 36 =;

50 – 30 = 20; 13 – 6 = 7; 20 + 7 = 27 ali od desne proti levi: 63 – 36 =; 13 – 6 = 7; 50 – 30 =

20; 20 + 7 = 27; lahko pa uporabijo zaporedno izvajanje operacije odštevanja: 63 – 36 = 60 –

30 = 30, 30 + 3 = 33, 33 – 6 = 27.

Strategijo združevanja uporabijo na način: npr. 63 – 36 =; 63 – 30 = 33, 33 – 6 = 27; ali 36 +

20 = 56, 56 + 7 = 63, rezultat je 27. Pri holističnem načinu pa učenec izvede kompenzacijo (npr.

63 – 36 =; 63 – 40 = 23, 23 + 4 = 27, rezultat je 27; ali 36 + 24 = 60, 60 + 3 = 63, 24 + 3 = 27;

rezultat je 28) ali stopnjevanje (npr. 63 – 36 =, 67 – 40 = 27).

Račun lahko reši tudi z strategijo mentalnega računanja po modelu algoritma pisnega

seštevanja: izvaja miselno umeščanje števil enega pod drugim, kot pri pisnem odštevanju na

papirju, operacijo izvaja od desne proti levi (npr. 63 – 36 =; 6 + 7 = 13, zapomni ali zapiše si

prehod, 4 + 2 = 6, naredi kombinacijo 7 iz stolpca enic in 2 iz stolpca desetic in dobi 27)

(Heirdsfield in Cooprer, 2002, v Kalan, 2005).

Učenci si pri reševanju računov odštevanja do 100 pomagajo s strategijami, ki so jih uporabljali

že pri enostavnem odštevanju (Geary, 1994). Poznavanje aritmetičnih postopkov je ključno za

uspešno reševanje aritmetičnih nalog. Napake pri odštevanju večmestnih številih so največkrat

rezultat napačne rabe postopka in ne zaradi nepozornosti (Fuson in Kwon, 1992; VanLehn,

1990, v Geary, 1994).

Kaye idr. (1986, v Kavkler idr. 1997) navajajo, da otrok z leti napreduje v hitrosti in

učinkovitosti štetja. Med osmim in desetim letom postopoma s strategij štetja napreduje na

priklic aritmetičnih dejstev, pri katerem je vedno bolj učinkovit.


53

Strategije množenja

M. Kavkler (1997, v Jamšek, 2011) navaja, da je obvladovanje strategij množenja mlajši otrok

odvisno od tega, kako dobro obvladajo pojem števila in operacijo množenja, od obvladovanja

terminov, štetja in seštevanja. Naloge množenja lahko izvedejo s štirimi vrstami strategij: s

preštevanjem vsega, štetjem v zaporedju, ponavljajočim seštevanjem faktorjev in priklicem

aritmetičnih dejstev.

Strategija preštevanja vseh predmetov mlajših učencem, ki še nimajo formalnega znanja o

operaciji množenja, omogoča izračun enostavnih problemov množenja. Primer: ob vprašanju,

koliko nog imajo tri ptičke, učenec prešteje noge živali ali nastavi ustrezno število predmetov

ali prstov, s katerimi ponazori število nog ter jih prešteje.

Strategija štetja v zaporedju omogoča hitrejše računanje kor preštevanje vsega. Primer: Učenec

rešuje isto nalogo z nogami živali kot pri prejšnji strategiji. Sedaj rešuje nalogo s strategijo

štetja: 2,4,6.

Strategija ponavljajočega seštevanja: učenec dela s konkretnim materialom ali sešteva verbalno

(sešteva noge treh ptičk na lutkah, ki jih opazuje: 2 + 2 + 2 = __, sešteva pa običajno po dva

seštevanca 2 + 2 = 4, 4 + 2 = 6).

Priklic aritmetičnih dejstev: učenec si lahko pri računanju pomaga z različnimi metodami

transformacije, ko prikliče samo nekatera aritmetična dejstva, npr. 9 x 5 = __ lahko reši tako,

da prikliče 10 x 5 = ___ in odšteje 5, račun 6 x 5 pa izračuna tako, da prikliče par 5 x 5 = __ in

zmnožku prišteje 5.

Priklic dejstev množenja iz dolgoročnega spomina je hitrejši kot priklic dejstev seštevanja,

otroci so bolj motivirani za učenje poštevanke, strategije za množenja so veliko težje od strategij

seštevanja, podatke iz dolgoročnega spomina je pa potrebno pridobiti hitro (Siegler 1988, Geary

1994). Čas reševanja problema in nastajanje napak pri reševanju je večje, ko sta množenec in

množitelj višjih vrednosti. Obstajata dve izjemi: množenje enakih števil in množenje s številom

5.

Napake pri priklicu aritmetičnega dejstva iz dolgotrajnega spomina so zamenjava operacije

(otrok iz spomina prikliče pravilni rezultat, vendar za drugo operacijo npr. 3 x 4 = 7), napake

reševanja, ki se pojavijo v kar polovici vseh napak pri množenju (otrok problem 4 x 8 poveže


54

z aritmetičnim dejstvom 24, saj sta obe števili povezani s številom 24 (4 x 6 in 3 x 8)) ter druge

manjše napake (otroci prikličejo približen rezultat, ki se približa za +/- 10 % pravilnemu

rezultatu) (Geary, 1994).

Strategije deljenja

O aritmetični operaciji deljenja je bilo narejenih najmanj raziskav, čeravno pa priklic

aritmetičnih dejstev učencem povzroča največ težav.

Strategije razdeljevanja predmetov

S to strategijo si pomagajo predvsem mlajši otroci in učenci s težjimi učnimi težavami pri

matematiki. Šestletnik pri reševanju problema deljenja iz življenja (Razdeli 15 žogic petim

učencem) rešuje tako, da konkretne predmete razdeli po 1 (materialna strategija) in pove, koliko

žogic dobi vsak. Nekateri 7-letni učenci pa že pridejo do spoznanja, da lahko predmete razdelijo

tudi po skupinah predmetov. V skupine hkrati razdeli toliko predmetov, kot je količnik (npr. 15

: 5 = __ razdeli po 3 predmete) ali pa manjše in jih dopolni z razdeljevanjem po 1 (npr. 15 : 5

= __ najprej vsaki skupini razdeli po 2 predmeta, nato vsaki skupini doda še 1 predmet).

Uporaba drugih operacij pri deljenju

Učenci s specifičnimi učnimi težavami pogosto uporabljajo pri reševanju nalog deljenja priklic

drugih arimeričnih operacij. Primer: 15 : 5 rešujejo z odštevanjem (15 – 5 – 5 – 5 =__, ker

trikrat odštejejo 5, ugotovijo, da je rezultat 3), z množenjem (npr. 3 x 5 = 15, zato je 15:5=3) in

s seštevanjem (npr. 5 + 5 + 5 = 15, in ugotovijo rezultat 3).

Priklic aritmetičnih dejstev

Najbolj učinkoviti so tisti učenci, ki pri deljenju uporabljajo priklic aritmetičnega dejstva.

Učenec s priklicem aritmetičnega dejstva iz dolgotrajnega spomina naredi manj napak, saj pri

tem ni vključeno npr. seštevanje ali odštevanje, ki ga lahko zmede pri računanju (Kavkler,

1997).

Vzroki za težave pri pisnem deljenju so lahko pomanjkljivo predznanje, težave pri iskanju

delnih količnikov, slabše kratkotrajno in dolgotrajno pomnjenje, kratkotrajna pozornost in


55

zbranost pri razlagi ter pozneje reševanju problemov, impulzivnost, slabša vizualna

diskriminacija, slabša prostorska orientacija… (Kavkler, 1997).


56

3 PROBLEM IN CILJ RAZISKAVE

3.1 OPREDELITEV PROBLEMA

Učenci z učnimi težavami pri matematiki so pogosto prepozno odkriti, nudena pomoč pa je

premalo intenzivna in premalo kakovostna. Z našim delom želimo vplivati na zmanjšanje

izobraževalne neuspešnosti učencev z učnimi težavami pri aritmetiki, jim omogočiti večjo

kompetentnost pri pouku matematike in v prihodnosti boljše možnosti za zaposlitev ter uspešno

udejstvovanje v vsakdanjem življenju.

Temeljni namen raziskave in magistrskega dela je razvoj in preverjanje programa razvoja

aritmetičnih znanj in sposobnosti pri učencih 3. razreda osnovne šole z učnimi težavami pri

aritmetiki, ki je bil izvajan na tretjem koraku petstopenjskega modela pomoči v obliki skupinske

pomoči ob vrstniškem sodelovanju. Program je zajemal treninge aritmetičnih znanj in

sposobnosti v skupini ter treninge avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov v algoritmu

na računalniku.

3.2 CILJ RAZISKAVE

Magistrsko delo predstavlja primer oblikovanja modela obravnave učencev z učnimi težavami

pri aritmetiki. Postavili smo naslednje cilje:

- Oceniti učne težave na področju aritmetike pri učencih, njihove organizacijske veščine

in učni stil ter oblikovali in izvedli treninge za razvoj aritmetičnih znanj in sposobnosti.

- Oblikovati učinkovit program obravnave učencev z učnimi težavami pri aritmetiki na

tretjem koraku petstopenjskega modela pomoči v obliki skupinske pomoči ob

vrstniškem sodelovanju. Na ta način smo želeli učencem zagotoviti kakovostno

obravnavo ter jim zagotoviti inkluzivno izobraževanje z naslednjimi viri: strokovno

pomočjo defektologa na 3. koraku petstopenjskega modela pomoči v obliki skupinske

obravnave in ob izvajanju vrstniške pomoči ter izvajanjem dobre poučevalne prakse

učitelja v razredu.

- Z načrtovanim, izvedenim in ocenjenim programom kompenzirati aritmetične učne

težave učencev.


57

4 HIPOTEZE IN RAZISKOVALNA VPRAŠANJA

4.1 RAZISKOVALNA VPRAŠANJA

R1. Ali se bo s treningom aritmetičnih znanj in sposobnosti v skupini 1 ob vrstniškem

sodelovanju in s treningom aritmetičnih postopkov in dejstev povečalo število

transformacijskih strategij in priklica dejstev?

R2. Ali se bo s treningom aritmetičnih znanj in sposobnosti v skupini 1 ob vrstniškem

sodelovanju in treningom aritmetičnih postopkov in dejstev povečala točnost izvedbe

postopkov in priklica dejstev?

R3 Na katere kritične probleme je potrebno opozoriti pri izvajanju skupinske učne pomoči pri

učencih z učnimi težavami pri aritmetiki na tretjem koraku petstopenjskega modela pomoči?

4.2 HIPOTEZE

H1: Pri učencih z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so vključeni v skupinsko pomoč, obstajajo

statistično pomembne razlike v sposobnostih štetja do 100, avtomatizaciji aritmetičnih

postopkov in dejstev seštevanja in odštevanja do 100 in do 1000, avtomatizaciji poštevanke ter

razvoju aritmetičnih strategij pred in po izvajanju programa.

H2: Med učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so vključeni v skupinsko pomoč (skupina

1) in učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki niso deležni skupinske pomoči (skupina 2), po

koncu izvajanja programa obstajajo statistično pomembne razlike v sposobnostih štetja do 100,

avtomatizaciji izvajanja aritmetičnih postopkov in dejstev seštevanja in odštevanja do 100 in

do 1000, avtomatizaciji poštevanke ter razvoju aritmetičnih strategij.


1), in učenci brez učnih težav pri aritmetiki (skupina 3), po koncu izvajanja programa ne

obstajajo statistično pomembne razlike v avtomatizaciji izvajanja aritmetičnih postopkov in

dejstev seštevanja in odštevanja do 100 in do 1000.

H4: Med učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki niso deležni obravnave po našem programu

(skupina 2), in učenci brez učnih težav pri aritmetiki (skupina 3), po koncu izvajanja programa


58



5 METODE DELA

5.1 VZOREC OSEB

V raziskavo je bilo vključenih 239 učencev, ki so predstavljali dve generaciji tretješolcev dveh

pomurskih osnovnih šol v šolskih letih 2012/2013 oziroma 2013/2014. Prvo šolo smo izbrali

na podlagi dostopnosti in možnosti izvajanja programa skupinske pomoči s strani avtorice

magistrskega dela, drugo šolo pa smo izbrali zaradi podobnega števila učencev v generacijah

tretjega razreda. Učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so obiskovali prvo šolo, so bili

izbrani v skupino 1 (16 učencev). Ti učenci so bili deležni skupinske oblike pomoči ob vrstniški

pomoči. Učenci z učnimi težavami pri aritmetiki iz druge šole pa so bili izbrani v skupino 2 (14

učencev). Ti učenci niso bili deležne učne pomoči po našem programu, deležni pa so bili dobre

poučevalne prakse učitelja v razredu, pomoči pri dopolnilnem pouku in v podaljšanem bivanju.

Sošolci obeh skupin učencev obeh šol so predstavljali skupino 3 (209 učencev). Učenci so bili

izbrani v skupino 1, skupino 2 oziroma v skupino 3 na podlagi rezultatov na Desetminutnem

testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov v algoritmu (Kavkler,

Tancig, Magajna, Rugelj in Lipec Stopar, 1996) ter na podlagi Vprašalnika za učitelje za oceno

aritmetičnih znanj in sposobnosti učencev. Za sodelovanje v raziskavi pa smo za učence, ki so

bili vključeni v skupino 1 in skupino 2, pridobili pisna soglasja staršev. Število učencev v

skupini 1 in skupini 2 se razlikuje, saj so na drugi šoli učiteljice zaznale manj učencev s

težavami pri pridobivanju aritmetičnih znanj in sposobnosti. Noben učenec iz skupine l in 2 ni

bil usmerjen kot otrok s primanjkljaji na posameznih področjih učenja na podlagi Zakona o

usmerjanju otrok s posebnimi potrebami. Učence skupine 3 smo vključili v raziskavo zaradi

primerjave dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2 z dosežki učencev skupine 3, saj učenci

skupine 3 niso imeli učnih težav pri aritmetiki. Na šoli, kjer se je izvajal program pomoči, pa

smo iz skupine 3 povabili k sodelovanju v obeh generacijah učencev skupno 14 učencev (6

učencev 1. generacije (4 dečki, 2 deklici) in 8 učencev 2. generacije (4 dečki, 4 deklice), ki so

izvajali vrstniško pomoč učencem skupine 1. Učenci so bili izbrani k sodelovanju na osnovi

lastnega interesa, rezultatov na začetnem testiranju z Desetminutnim aritmetičnim testom za


59

ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov v algoritmu (Kavkler idr., 1996),

priporočil učiteljic ter soglasij staršev. Ti učenci so bili v celotni populaciji glede na doseženo

število točk na Desetminutnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in

postopkov v algoritmu (Kavkler idr., 1996) razporejeni med četrtino učencev, ki je dosegla

najvišje rezultate.

V času začetnega testiranja (januarja 2013 – 1. generacija učencev oziroma januarja 2014 – 2.

generacija učencev) je bila starost učencev prve in druge generacije od 9 let 1 mesec do 10 let,

povprečna starost pa je bila 9 let 7 mesecev. V času končnega testiranja so bili učencev obeh

generacij stari od 10 let do 10 let 11 mesecev, povprečna starost pa je bila 10 let 6 mesecev.

Graf 1: Grafični prikaz strukture vzorca glede na skupine

Tabela 1: Prikaz strukture vzorca glede na spol

spol moški ženski vsota

f f% f f% f f%

skupina 1 9 56,25 7 43,75 16 100

skupina 2 5 35,71 9 64,29 14 100

skupina 3 104 49,76 105 50,42 209 100

skupno 118 49,37 121 50,63 239 100

Legenda: f… število učencev; f%... število učencev v odstotkih

6,69%

5,86%

87,45%

VZOREC

skupina 1 skupina 2 skupina 3


60

Vzorec učencev z učnimi težavami pri aritmetiki (skupina 1) predstavlja 16 učencev, 56,25 %

(9) fantov in 43,75 % (7) deklet, skupno 6,69 % vzorčne populacije. Vzorec učencev z učnimi

težavami pri aritmetiki (skupina 2) predstavlja 14 učencev, in sicer 35,71 % (5) fantov in 64,29

% (9) deklet, skupno 5,86 % vzorčne populacije. V vzorcu učencev brez učnih težav pri

aritmetiki je 209 učencev, in sicer 49,76 % (104) fantov in 50,42 % (105) deklet, skupno 87,45

% vzorčne populacije.

5.2 MERSKI INSTRUMENTI

V raziskavi smo uporabili različne merske instrumente. Posamezni merski instrumenti so bili

uporabljeni pred začetkom izvajanju programa pomoči in/ali po koncu izvajanja programa

pomoči:

• Desetminutni aritmetični test za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev

in postopkov v algoritmu (Kavkler idr., 1996) ter Vprašalnik za učitelje za oceno

aritmetičnih znanj in sposobnosti učencev sta nam služila za izbor učencev z učnimi

težavami pri aritmetiki v skupino 1 in skupino 2. Desetminutni aritmetični test so vsi

učenci obeh generacij ponovno reševali po koncu izvajanja programa pomoči z

namenom primerjanja rezultatov vseh treh skupin: učencev z učnimi težavami pri

aritmetiki, ki so bili deležni programa pomoči (skupina 1), učencev z učnimi težavami

pri aritmetiki, ki niso bili deležni pomoči po našem programu (skupina 2) in učencev,

ki niso imeli učnih težav pri aritmetiki in niso bili deležni pomoči po našem programu

(skupina 3).

• Vprašalnik za učitelje za oceno aritmetičnih znanj in sposobnosti učencev nam je

poleg Desetminutnega aritmetičnega testa za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih

dejstev in postopkov v algoritmu služil kot pomoč pri izboru učencev v skupino 1, 2

oziroma 3. Vprašalnik so izpolnile učiteljice učencev tretjega razreda obeh generacij

obeh vključenih šol.

• Vprašalnik o organizacijskih veščinah (Do you have good organization skills?,

2011) in Vprašalnik o ugotavljanju učnih stilov (Memletics learning styles

questionnaire, 2011) so reševali učenci skupine 1 in učenci vrstniki, ki so izvajali

vrstniško pomoč, ob začetku programa pomoči. Rezultati so nam bili v pomoč pri


61

načrtovanju in organizaciji programa pomoči za učence skupine 1 in vrtnikov, ki so

izvajali vrstniško pomoč.

• Naloge za ugotavljanje strategij štetja (Kavkler, Tancig in Magajna, 1996) smo

aplicirali učencem skupine 1 in skupine 2 ob začetku izvajanja programa pomoči.

Rezultati so nam služili za ugotavljanje razlik v uporabljenih strategijah štetja med

obema skupinama učencev.

• Test za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev (Sugarman, 1995)

so reševali učenci skupine 1 in skupine 2 ob začetku izvajanja programa pomoči in po

koncu izvajanja programa z namenom ugotavljanja razlik med učenci obeh skupin glede

uporabljenih strategij računanja.

• Test za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke so reševali učenci skupine 1 in

skupine 2 ob začetku in po koncu izvajanja programa pomoči z namenom primerjave

dosežkov obeh skupin in napredka učencev posamezne skupine.

• Test poznavanja števil (Number Knowledge test – NKT) (Griffin, 2002) in test

Odkrivanje učnih težav pri matematiki III (Adler, 2000) sta bila aplicirana učencem

skupine 1 in skupine 2 po koncu izvajanja programa pomoči. Rezultati so služili za

ugotavljanje razlik v dosežkih obeh skupin učencev.

• Anketni vprašalnik za učence z učnimi težavami pri aritmetiki o delu v paru in

skupini so reševali učenci skupine 1 po koncu izvajanja programa pomoči z namenom

pridobitve mnenja učencev o delu v paru in skupini.

• Anketni vprašalnik za vrstnike tutorje o delu v paru so reševali učenci, ki so izvajali

vrstniško tutorstvo, po koncu izvajanja programa pomoči z namenom pridobitve mnenja

vrstnikov tutorjev o delu v paru.

5.2.1 Desetminutni aritmetičnih test za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev

in postopkov v algoritmu (Kavkler idr., 1996)

Test vsebuje 62 računov z uporabo računskih operacij seštevanja, odštevanja, množenja in

deljenja ter kombinacijami različnih računskih operacij. Računi so v testu razporejeni po

težavnosti in se točkujejo z 1, 2 ali 3 točkami. Lažji računi brez prehoda desetice (26 računov)

so vrednoteni z eno točko, srednje zahtevni računi (17 računov) so vrednoteni z dvema točkama,

računi z dvema računskima operacijama, računi z neznanim členom in računi s tromestnimi

števili (19 računov) pa so vrednoteni s tremi točkami. Na testu je možno doseči 117 točk.


62

Reševanje testa je omejeno na 10 minut. Test sta reševali celotni generaciji učencev tretjega

razreda obeh šol z namenom izbora učencev v eksperimentalno in kontrolno skupino. Ponovno

so ga vsi učenci reševali ob koncu programa pomoči učencem z učnimi težavami pri aritmetiki

z namenom primerjave dosežkov učencev posameznih skupin in ugotavljanja napredka učencev

posamezne skupine. Za naš vzorec je bila izračunana zanesljivost preizkusa, ki po modelu

Crombach znaša 0,706.

5.2.2 Vprašalnik za učitelje za oceno aritmetičnih znanj in sposobnosti učencev Za namen raziskave smo oblikovali vprašalnik za učitelje, ki je vseboval 9 vprašanj zaprtega

tipa. Razdeljen je bil na dva dela. V prvem delu je učitelj ocenil učenčeve strategije štetja na

lestvici od 1 (neuspešno) do 5 (zelo uspešno), v drugem dela pa je učitelj ocenil učenčeve

strategije seštevanja in odštevanja v obsegu do 20 in do 100.

5.2.3 Vprašalnik o organizacijskih veščinah (Do you have good organization skills?, 2011)

Vprašalnik zajema 115 vprašanj in obsega naslednja področja organizacije: miselne

sposobnosti – kognicija, organiziranost v šoli/na delovnem mestu, strategije, osebna urejenost,

časovna organiziranost in samomotivacija. Nanaša se na področje posameznikovih

organizacijskih veščin v šoli/na delovnem mestu, pa tudi v domačem okolju in v prostem času.

Vprašalnik nam pokaže seštevek rezultatov in grafični prikaz rezultatov na vseh področjih

organizacijskih veščin. Dosežemo lahko točke v razponu od 1 do 100 za posamezno področje.

Vprašalnik podaja tudi praktične nasvete o tem, kako izboljšati svoje organizacijske veščine za

vsako področje posebej. Vprašalnik so reševali učenci skupine 1, vprašanja pa sem jim zaradi

dolžine vprašalnika in lažjega razumevanja prebrala izvajalka programa pomoči.

5.2.4 Vprašalnik o ugotavljanju učnih stilov (Memletics learning styles questionnaire, 2011)

Vprašalnik vsebuje 70 izjav in zajema 7 učnih stilov: govorni, slušni, vidni, praktični ali

kinestetični, individualistični, socialni in logični. Posameznik vsako izjavo oceni z 0, če trditev

zanj ne velja, z 1, če trditev zanj delno velja, in z 2, če trditev zanj v popolnosti velja. Učenec

lahko pri vsakem učnem stilu doseže 20 točk. Učenčev prevladujoči učni stil razberemo iz

seštevka trditev in grafičnega prikaza. Vprašalnik so reševali učenci skupine 1 in vrstniki tutorji

individualno.


63

5.2.5 Naloge za ugotavljanje strategij štetja (Kavkler, Tancig in Magajna, 1996) Naloge preverjajo učenčeve strategije preštevanja predmetov, štetja nazaj, štetja v zaporedju in

fleksibilnega štetja. Strategije štetja smo preverjali individualno pri učencih skupine 1 in

skupine 2 ob začetku izvajanja programa pomoči.

5.2.6 Test za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev (Sugarman, 1995) Test je namenjen ugotavljanju računskih strategij, omogoča pa tudi spremljanje razvoja

računskih postopkov pri enem ali več učencih.

Test vsebuje štiri tabele. Tabela 1 vsebuje račune seštevanja do 20, tabela 2 račune odštevanja

do 20, tabela 3 seštevanje z deseticami in enicami ter tabela 4 odštevanje z deseticami in

enicami. Vsaka izmed tabel prikazuje strategijo računanja s pomočjo štetja (Š) s stopnjami in

strategijo računanja s transformacijo (T) s stopnjami. Test so reševali učenci skupine 1 in

skupine 2 individualno ob začetku in po koncu izvajanja programa pomoči.

5.2.7 Test poznavanja števil (Number Knowledge test – NKT) (Griffin, 2002) Test je namenjen:

- ugotavljanju spretnosti štetja v predšolskem obdobju,

- na nivoju 0 (nivo 4 leta) ugotavljanju spretnosti štetja in primerjanja količin,

- na nivoju 1 (nivo 6 let) ugotavljanju sposobnosti orientacije v številski vrsti v obsegu

do 10 ter sposobnosti seštevanja in odštevanja v obsegu do 10,

- na nivoju 2 (nivo 8 let) ugotavljanju sposobnosti orientacije v številski vrsti do 100,

ugotavljanju odnosov med števili ter spretnosti seštevanja in odštevanja brez prehoda desetice

v obsegu do 100,

- na nivoju 3 (nivo 10 let) ugotavljanju sposobnosti orientacije v številski vrsti v obsegu

do 1000 in 1100, spretnosti seštevanja in odštevanja s prehodom desetice v obsegu do 100 in

ugotavljanju sposobnosti primerjanja količin.

Testator učenca izprašuje po nivojih. Naloge na nivoju 0 so učencu predstavljene s pomočjo

materialov, na nivoju 1 in 2 pa učenec pri posameznih nalogah dobi ob postavljenem vprašanju

vizualno oporo (karte z zapisanimi števili). Ko učenec pravilno reši določeno število nalog,

preidemo na naslednji nivo. Vsak nivo posebej točkujemo, točke vseh nivojev pa seštejemo. S

pomočjo testa ugotavljamo, na katerem nivoju (starostnem obdobju) v matematičnih znanjih je

učenec. Test je bil uporabljen po koncu izvajanja programa pomoči, reševali pa so ga učenci


64

skupine 1 in skupine 2 individualno. Za naš vzorec je bila izračunana zanesljivost preizkusa, ki

po modelu Crombach znaša 0,822.

5.2.8 Odkrivanje učnih težav pri matematiki III (Adler, 2000) Test sestavlja 17 nalog, od katerih smo uporabili 10 nalog, ki merijo spretnosti na različnih

področjih: priklic simbolov, številski obseg in shema, aritmetične sposobnosti, strukturiranje

dela in časovno načrtovanje. Vse naloge razen zadnjih dveh so brez časovne omejitve.

Test je namenjen za individualno testiranje. Uporabljen je bil po koncu izvajanja programa

pomoči, reševali pa so ga učenci skupine 1 in skupine 2. Za naš vzorec je bila izračunana

zanesljivost preizkusa, ki po modelu Crombach znaša 0,724.

5.2.9 Test za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke Test smo pripravili za potrebe raziskave. Vseboval je 32 računov množenja števil od 1 do 10.

Račune množenja s števili od 1 do 6 in z 10 smo vrednotili z eno točko, račune s števili 7, 8, in

9 pa z dvema točkama. Skupno število možnih točk je bilo 40. Test je bil uporabljen za

ocenjevanje avtomatizacije poštevanke pri učencih skupine 1 in skupine 2 ob začetku ter po

koncu izvajanja programa pomoči. Izveden je bil s celotno skupino hkrati. Objektivnost testa

smo zagotovili tako, da smo v naprej pripravili merila za točkovanje in omogočili podobne

pogoje anketiranja. Podana navodial so bila jasna in enotna za vse anketirance. Zagotovljena je

bila anonimnost. Za naš vzorec je bila izračunana zanesljivost preizkusa, ki po modelu

Crombach znaša 0,709.

5.2.10 Anketni vprašalnik za učence z učnimi težavami pri aritmetiki o delu v paru in skupini

Vprašalnik je bil sestavljen za potrebe raziskave. Vsebuje 9 vprašanj, in sicer 5 vprašanj

zaprtega tipa z dodatnimi podvprašanji odprtega tipa in 3 vprašanja odprtega tipa. Vprašalnik

so reševali učenci skupine 1 obenem v skupini.

5.2.11 Anketni vprašalnik za vrstnike pomočnike o delu v paru Vprašalnik je bil sestavljen za potrebe raziskave. Vsebuje 8 vprašanj, in sicer 5 vprašanj

zaprtega tipa, od tega dve s podvprašanjem odprtega tipa ter 3 vprašanja odprtega tipa.

Vprašalnik so reševali vrstniki tutorji obenem v skupini.


65

5.3 POSTOPEK PRIDOBIVANJA PODATKOV

Izvedli smo diagnostično ocenjevanje in obravnavo dveh generacij učencev. Diagnostično

ocenjevanje prve generacije tretješolcev smo izvedli v šolskem letu 2012/2013 v mesecu

januarju, diagnostično oceno druge generacije tretješolcev pa v šolskem letu 2013/2014 prav

tako v mesecu januarju. Učenci obeh generacij so izhajali iz dveh pomurskih osnovnih šol.

Najprej smo vzpostavili kontakt z ravnateljicama obeh šol in prosili za dovoljenje za izvajanje

raziskave na njihovih šolah. Nato smo s pomočjo učiteljev tretjih razredov obeh šol izvedli

začetno testiranje. Na podlagi rezultatov začetnega testiranja in odgovorov učiteljev o števnih

in računskih strategijah učencev smo izbrali učence z učnimi težavami pri aritmetiki na obeh

šolah. Za vsakega izmed teh učencev smo pridobili pisna soglasja staršev.

Diagnostična ocenjevanja smo izvedli hkrati z vsemi učenci v razredu, v manjši skupini ali

individualno: načini izvajanja ocenjevanja s posameznimi testi in vprašalniki so navedeni ob

vsakem merskem instrumentu. Pred začetkom diagnostičnega ocenjevanja smo učencem podali

natančna navodila za reševanje nalog in zapisovanje rezultatov. Ocenjevanja smo izvajali med

8. in 12. uro. S tem smo želeli zmanjšati učinek utrujenosti, ki bi bil prisoten ob izvajanju

ocenjevanja po pouku. Vsa ocenjevanja učencev sem izvedla avtorica dela sama.

V okviru programa skupinske pomoči sem avtorica magistrskega dela izvajala preverjanje

napredka učencev skupine 1 s posameznimi nalogami, ki sem jih sproti pripravljala glede na

zastavljene cilje obravnave v posameznem mesecu. Preverjanje je potekalo:

- vsak mesec med izvajanjem programa v skupini v učilnici, kjer so potekali treningi,

- preizkuse smo vedno izvajali ob istem času dneva in pod enakimi pogoji,

- vsa opažanja o izvajanju nalog smo beležili sproti,

- v kolikor načina reševanja nalog oziroma strategije pri učencu nismo mogli ugotoviti,

nam je ta opisal postopek reševanja.

Na osnovi začetnih in končnih testiranj ter mesečnega ocenjevanja smo ovrednotili napredek

učencev skupine 1 v aritmetičnih znanjih in sposobnostih ter priklicu aritmetičnih dejstev in

postopkov pred, med in po izvajanju programa pomoči.


66

5.4 STATISTIČNA OBDELAVA PODATKOV

Podatke smo analizirali s programom SPSS 17.0. Uporabljene so bile naslednje statistične

metode: opisna statistika po posameznih testih, ki nam je podala informacije o porazdelitvi

spremenljivk, kontingenčne tabele za nominalne spremenljivke, ki so nam omogočile

podrobnejši vpogled v odnose med spremenljivkami.

S pomočjo analize variance smo ugotavljali pomembnost razlik med povprečnimi dosežki

skupine 1, skupine 2 in skupine 3 pri posameznih spremenljivkah. Še prej smo pripadnost

skupin isti osnovni populaciji ugotavljali z Levenovim testom. Levenov test testira ničelno

hipotezo, ki pravi, da so variance med različnimi skupinami enake (t.j. razlike med variancami

so enake nič). Če je Levenov test pomemben (p≤0,05), zaključimo, da ničelna hipoteza ne drži

in se variance pomembno razlikujejo, iz tega pa sledi, da je kršena domneva o homogenosti

varianc. Če pa Levenov test ni pomemben (p˃0,05), so variance enake in domneva velja.

Pridobljene podatke iz analize odgovorov na vprašanja v delno strukturiranem intervjuju,

analize odgovorov iz vprašalnikov o učnih stilih in organizacijskih spretnostih učencev smo

obdelali in vrednotili v skladu z veljavno metodologijo obdelave kvalitativnih podatkov.

Posamezne zapise smo ustrezno razčlenili, jim določili enote kodiranja in jim pripisali ustrezne

vsebinske pojme. V nadaljevanju smo analizirali značilnosti pojmov, iskali odnose in povezave

med njimi in ugotovitvami raznih zapisov in razlag.

Dobljene rezultate smo prikazali tabelarično in grafično ter jih interpretirali.

5.5 KOMPENZACIJSKI PROGRAM

Namen kompenzacijskega programa je bil izboljšati aritmetična znanja in sposobnosti učencev

z učnimi težavami pri aritmetiki, da bi jim omogočili čim bolj uspešno vključevanje v vzgojno-

izobraževalni proces in preprečili neuspeh v višjih razredih osnovne šole.

Pri načrtovanju programa smo izhajali iz:

• spoznanj številnih raziskav o vplivu matematičnih dosežkov na izobraževalno uspešnost

posameznika (Parson in Bynner, 2005; Magajna, Kavkler in Ortar-Križaj, 2003), raziskav o

učinkih zgodnje matematične obravnave v manjših skupinah (Pedrotty Bryant, Bryant, Roberts,


67

Vaughn, Hughes Pfannenstiel, Porterfield in Gesten, 2011; Fuchs idr., 2005) in raziskav

pomena izvajanja tutorstva učitelja v majhnih skupinah pri učencih, pri katerih obstaja tveganje

za učne težave pri matematiki (Fuchs idr., 2005) ter vključevanja vrstniškega tutorstva v

obravnavo učencev z učnimi težavami (Baker, Gersten in Lee, 2002),

• petstopenjskega modela pomoči (Magajna idr., 2008b),

• učnega načrta za devetletno osnovno šolo za področje matematike in

• ocen funkcioniranja učencev.

Z upoštevanjem kontinuuma petstopenjskega modela pomoči (Magajna idr., 2008b) smo na

tretji stopnji izdelali program pomoči za učence z učnimi težavami pri aritmetiki. V program

smo dejavno vključili vrstnike učencev z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so bili pri aritmetiki

uspešni. Na tretji stopnji smo izvajali trening (izvajala ga je avtorica dela) za področja

aritmetike, spomina, pozornosti in organizacijskih veščin. Poudarek je bil na razvoju

matematičnega deklarativnega, konceptualnega ter proceduralnega znanja. V timsko delo smo

bile vključene tri učiteljice 3. razreda osnovne šole, na kateri je potekal program pomoči in

defektologinja, izvajalka programa.

5.5.1 Izvajanje programa na tretji stopnji petstopenjskega modela pomoči

Učenci skupine 1, ki so bili vključeni v skupinsko obravnavo ob vrstniški pomoči, so imeli

nezadostno avtomatizirana aritmetična dejstva in postopke. Zanje smo pripravili program, ki

smo ga izvajali v koledarskem letu 2013 (januar–december) s prvo generacijo učencev (6

učencev) oziroma 2014 (januar–december) z drugo generacijo učencev (10 učencev). Z vsako

generacijo učencev skupine 1 smo izvedli 50 srečanj urjenja aritmetičnih znanj in spretnosti v

manjši skupini in 30 srečanj urjenja aritmetičnih dejstev in postopkov s pomočjo računalnika.

Urjenje aritmetičnih znanj in sposobnosti v manjši skupini smo izvajali dvakrat tedensko po 45

minut pred poukom. Vrstniki tutorji pa so se udeleževali srečanj enkrat tedensko. Urjenje

aritmetičnih dejstev in postopkov s pomočjo računalnika pa je potekalo enkrat tedensko po 15

minut v času pred poukom.

V program pomoči smo vključili 16 učencev z učnimi težavami pri aritmetiki, njihove starše,

14 vrstnikov, ki so izvajali vrstniško pomoč, tri razredničarke ter defektologinjo (izvajalko

programa pomoči).


68

5.5.2 Cilji programa na področju aritmetike

Cilje, vsebine in metode dela smo načrtovali v skladu z izsledki že omenjenih raziskav,

funkcioniranja učencev ter razvojnih značilnosti učencev. Ravnali smo se po didaktičnih

priporočilih učnega načrta za matematiko ter ugotovitvah in priporočilih več avtorjev (Geary,

1994; Magajna, Pečjak, Peklaj, Čačinovič Vogrinčič, Bregar Golobič, Kavkler, Tancig, 2008a;

Geary, Hoard, Byrd-Craven, DeSoto, 2004; Sordan idr. 1995, v Stock, Desoete in Roeyers,

2010; Pedrotty Bryant, Bryant, Roberts, Vaughn, Hughes Pfannenstiel, Porterfield in Gesten,

2011; Bruner, 1960, v Witzel, 2005; Fuchs, Powell, Seethaler, Fuchs, Hamlett, Cirino in

Fletcher, 2008).

5.5.3 Postopek izvajanja programa

Vsako srečanje smo začeli z nematematičnimi dejavnostmi (vaje urjenja spomina, pozornosti,

koncentracije), ki smo jih izvajali 5 minut, sledilo je 35 minut matematičnega dela (vsebine iz

programa) ter 5 minut evalvacije obravnave (kratka refleksija ure, samoocenjevanje učencev,

ugotavljanje prisotnosti, urejanje prostora). Med urjenjem v skupini je potekala sistematično

vodena pomoč vrstnikov, ki so bili uspešni pri matematiki. Urjenje avtomatizacije aritmetičnih

dejstev in postopkov s pomočjo računalnika je potekalo v računalniški učilnici, individualno na

računalniku. Tedensko sem izvajala delne evalvacije in spremljala napredek učencev skupine

1. Zapisovala sem opažanja pri učencih in spremljala njihov napredek. Narejeni so bili

videoposnetki treningov. Učenci so tedensko po urjenju v skupini ocenili svoje znanje, s čimer

smo preverjali samozavedanje lastnih znanj in sposobnosti. Ocenili so tudi svoje počutje pri

urah skupinske pomoči ob vrstniškem sodelovanju.

Pri izvajanju programa smo upoštevali prevladujoče učne stile učencev in temu prilagodili delo

v skupini in v paru. Učenci s prevladujočim vidnim učnim stilom so se pri delu več posluževali

slik, barv in drugih vidnih opor. Učenci, katerih prevladujoči učni stil je slušni stil, so večkrat

izbirali vaje z uporabo zvočnih posnetkov, delo v paru s kooperativnimi kartami ipd.

5.5.4 Področja programa

Program je zajemal urjenje aritmetičnih znanj in sposobnosti v manjši skupini ob vrstniški

pomoči ter urjenje aritmetičnih dejstev in postopkov v algoritmu na računalniku. Vključeval je

naslednje pristope: pristop KSA (prehod od konkretno slikovne do abstraktne predstavitve)


69

(Bruner, 1960, v Witzel, 2005; Kavkler, 2011b), strategije štetja, oblikovanje parov števil z

določeno vsoto oziroma razliko, pari števil, ki dajo vsoto 10, 20, razdruževanje, združevanje,

avtomatizacijo seštevanja in odštevanja, avtomatizacijo parov za dano vsoto oziroma razliko,

podvajanje faktorjev za večjo tekočnost aritmetičnih dejstev pri množenju, avtomatizacijo

poštevanke, razdeljevanje, urjenje pozornosti in koncentracije, urjenje spomina ter program

urjenja aritmetičnega konceptualnega, proceduralnega in deklarativnega znanja s pomočjo

računalniškega programa, ki je zajemal pare števil, ki dajo določeno vsoto v obsegu do 20 in

do 100, seštevanje in odštevanje do 100 in do 1000, avtomatizacijo aritmetičnih dejstev

poštevanke ter urjenje spomina.

V nadaljevanju bomo predstavili dejavnosti, ki so potekale v okviru programa pomoči za razvoj

aritmetičnih znanj in spretnosti pri učencih skupine 1 v skupini ob vrstniški pomoči in pri delu

na računalniku.

Štetje

Vaje štetja smo izvajali na začetku vsakega srečanja, in sicer kot preštevanje konkretnih

predmetov (kroglice, link kocke, računalo), štetje ob gibalnih dejavnostih, štetje v zaporedju po

2, 3, 4, 5, 10 in fleksibilno štetje s pokritimi elementi. Aktivnosti štetja smo izvajali na

konkretni, simbolni in miselni ravni. Na naših prvih srečanjih smo izvajali štetje s kartončki s

števkami od 1 do 9, deseticami in stoticami, ki so učencem omogočali kontrolo pravilnosti

štetja.

Slika 1: Kartončki za štetje do 100


70

Primeri dejavnosti:

Štetje predmetov

Učenec je preštel kroglice na vrvici in povedal njihovo število. Uvajali smo uporabo

naprednejših strategij: učenec je prepoznal skupino kroglic po 5, 10 in jih sešteval v končno

vsoto.

Štetje v zaporedju

Učenec se je premikal po številskem traku z risanjem lokov in štel po 2, 3, 4, 5, 10 ipd.

Razdruževanje množic je učenec izvajal na dani predlogi ob uporabi matematičnega zapisa s

simboli.

Primeri dejavnosti:

1. Množico link kock je razdelil na dve podmnožici in zapisal račun.

2. Množico materialov je razdelil na več podmnožic in zapisal račun.

Slika 2: Razdelitev materialov na dve podmnožici

Avtomatizacijo seštevanja in odštevanja do 20 smo razvijali z naslednjimi vajami: seštevanje

števil oziroma pari števil, ki tvorijo vsoto 10 ali 20, pari števil z določeno vsoto oziroma razliko.

Primeri dejavnosti:

1. Učenec je nastavil določeno število link kock v predlogo z dvajset kvadratki in

ugotavljal, koliko jih manjka do 10. Na enak način je dopolnjeval na predlogi do 5, 15,

20. Tako je utrjeval pare z vsoto 10 ali 20.


71

Slika 3: Nastavitev računa 6 + __ = 10

2. Nastavil je leseno palčko na posebno desko s tabelo za seštevanje in odštevanje, ki je

ustrezala določenemu številu enot (npr. 7) in dodal drugo palčko (za 3 enote), da je dopolnil do

10.

Slika 4: Nastavitev računa 17 + 3 = 20

3. S pomočjo nastavljanja materialov ali barvanja je grafično ponazoril seštevanje in

odštevanje do 10 in do 20.

Slika 5: Grafično ponazarjanje seštevanja in odštevanja


72

4. Na kartončku je prebral račun (npr. 6 + ___ = 10) in povedal, koliko mu še manjka do

10. Računi so vključevali vsoto 5, 10, 15 in 20. Pri tem si je lahko pomagal s predlogo (dva

stolpca po 10 kvadratkov), kjer je uvidel količino ali prešteval in prišel do pravilnega rezultata.

Avtomatizacijo seštevanja in odštevanja do 100, do 1000 smo urili s seštevanjem in

odštevanjem eno-, dvo- in tromestnih števil brez prehoda desetice in s prehodom desetice.

Primeri dejavnosti:

1. Učenec je zapisal številski izraz po nareku ter določil število desetic in enic

posameznemu številu. V predlogo je nastavil ustrezno število desetic prvega seštevanca, nato

enice ter dodal desetice in enice drugega seštevanca. Združil je desetice in enice ter poimenoval

dobljeno število. Zapisal je rezultat ter prebral račun.

2. Učenec je zapisal številski izraz po nareku ter določil število desetic in enic

posameznemu seštevancu. Števila je ponazoril s kartončki z deseticami ter števkami od 1 do 9.

Seštel je desetice na kartončkih in enice ter povedal in zapisal vsoto.

3. Učenec je številski izraz zapisal kot vsoto desetic in enic (npr. 35 + 24 = 30 + 20 + 5 +

4 = 50 + 9 = 59). Najprej je seštel desetice, nato enice, nato pa oboje seštel in zapisal rezultat.

4. Učenec je zapisal številski izraz po nareku, določil število stotic, desetic in enic, nato pa

je vsak seštevanec nastavil z materialom (Dienesove plošče). Združil je stotice, desetice in enice

obeh seštevancev in dobil vsoto. Rezultat seštevanja je zapisal v številski izraz.

5. Računanje s pomočjo prazne številske osi: do računanja s pomočjo prazne številske osi

smo prišli z vajami računanja s pomočjo številske verige, saj smo postopoma zmanjševali

količino vizualnih opor. Vajo smo izvedli z vrvico, na kateri je bilo nanizanih 100 kroglic,

izmenično 5 belih in 5 zelenih. Vrvico smo obesili na tablo, da so jo imeli učenci ves čas pred

sabo. Najprej smo izvajali različne vaje štetja s premikanjem, dotikanjem kroglic ali samo z

gledanjem od začetka verige ali določene kroglice s ščipalkami. Izvajali smo računanje s

pomočjo kroglic (dodajanje in odvzemanje določenega števila desetic, enic). V naslednji fazi

smo vrvico narisali na tablo z ustreznim barvnim zaporedjem kroglic. Ko so bili učenci pri tem

uspešni, smo kroglice zbrisali in nam je ostala le črta z označbami enote. Črta je učenca

spominjala na konkretne kroglice, ki so bile nanizane na vrvici. V naslednji fazi smo opustili

označevanje enot in učenec si je sam označeval enote na črte glede na zahteve računskih

operacij. Tako so učenci prešli od dela s konkretnim materialom na prazno številsko os, nad

katero so s pomočjo risanja ustrezne dolžine lokov ponazarjali korake računanja. Učenci so si


73

na začetku loke pri seštevanju risali z rdečo črto, pri odštevanju pa z modro, pozneje pa so

barvno označevanje opustili.

Slika 6: Prehod s konkretnega materiala na prazno številsko os

6. Računanje s pomočjo prazne številske osi: učenec je na številski osi določil prvi

seštevanec (odštevanec), z daljšimi loki ponazoril prištevanje (odštevanje) desetic in s

krajšimi še prištevanje (odštevanje) enic ter prišel do ustreznega rezultata.

Slika 7: Računanje s pomočjo prazne številske osi

Nalogi, prikazani na slikah 6 in 7, smo povzeli po nizozemskem modelu realistične matematike.


74

Razdruževanje drugega seštevanca ali odštevanca in združevanje števil smo urili s pomočjo

desetiške vrste v obsegu do 20, nato pa v obsegu do 100.

Primeri dejavnosti:

1. Učenec je nastavil v desetiško vrsto ustrezno število krožcev za 1. seštevanec (npr. 7),

nato je drugi seštevanec (8) razdružil na 3 in 5, dodal 3 krožce, da je dopolnil prvo desetico ter

dodal se pet krožcev v novi desetici. Zapisal je račun:

7 + 8 = (7 + 3) + 5 = 10 + 5 = 15

3 5

Urili smo različne strategije združevanja in razdruževanja, npr.:

7 + 8 = (8 + 2) + 5 = 10 + 5 = 15 in

5 2

7 + 8 = (7 + 7) + 1 = 14 + 1 = 15.

2. Učenec je zapisal številski izraz, npr. 75 – 48 = . Zmanjševanec je s pomočjo enotskega

materiala nastavil na desko s tabelo za seštevanje in odštevanje. Odštevanec je razdružil na

desetice in enice in desetice odštel. Nato je enice razdružil tako, da je najprej odštel do polne

desetice, nato pa še preostale enice. Iz nastavljenega materiala je prebral rezultat.

75 – 48 = 75 – 40 – 8 = 35 – 8 = (35 – 5) – 3 = 30 – 3 = 27

5 3

Avtomatizacija poštevanke

Primeri dejavnosti:

1. Učenec je nastavil določeno število elementov v množice glede na podan račun. Najprej

je izbral ustrezno število množic, nastavil ustrezno število elementov, nato pa je elemente vseh

množic preštel po ena, sešteval oziroma navajal večkratnike in prišel do rezultata.

2. Učenec je s pomočjo številskega traku ugotovil rezultat računa poštevanke tako, da je

na traku barvno označil večkratnike in poiskal ustrezen večkratnik.

3. V stotičnem kvadratu je pobarval večkratnike določenega števila, ki jih je določil s

pomočjo štetja.

4. Učenec je številski izraz množenja nastavil z nanizanimi biseri, npr. 5x4=___. Izbral je

pet nizov s po 4 biseri in jih nastavil na površino. Nato je bisere preštel, seštel nize ali navajal

večkratnike ter povedal ustrezen rezultat.


75

Slika 8: Nastavljanje računov množenja z biseri

5. Učenca sta v paru uporabljala kartončke z računi poštevanke (na eni strani kartončka je

bil zapisan račun, na drugi strani pa rezultat) v treh stopnjah:

• učenec je drugemu učencu pokazal številski izraz in nato še rezultat na drugi strani

kartončka;

• prvi učenec drugemu pokaže račun, drugi učenec pa pove rezultat (če ga ne pozna, mu

prvi učenec pokaže rezultat na kartončku);

• prvi učenec drugemu pokaže rezultat, drugi učenec pa pove pripadajoč račun.

Kartončke z napačno izračunanimi računi sta učenca odlagala na poseben kup, te račune pa je

učenec še dodatno utrjeval.

Podvajanje faktorjev

Z učenci smo razvijali tudi zmožnosti podvajanja števil. Podvajanje smo razvijali preko niza

reševanja matematičnih problemov, ki je učencem omogočal učenje podvajanja.

Dva učenca v paru sta postavljala vprašanja drug drugemu po posameznih sklopih oziroma

nizih nalog:

• podvoji števke 5 in manj ter 10: 1, 2, 3, 4, 5, 10

• podvoji števke od 6 do 9: 6, 7, 8, 9

• podvoji večkratnike 10 do 50: 10, 20, 30, 40, 50

• podvoji števila v številskem obsegu do 50: 11-15, 21-25, 31-35, 41-45

• podvoji večkratnike 10, večje od 50: 60, 70, 80, 90, 100

• podvoji števila z enico 5 v številskem obsegu od 50 do 100: 55, 65, 75, 85, 95

• podvoji števila v številskem obsegu do 50: 16-19, 26-29, 36-39, 46-49

• podvoji števila v številskem obsegu od 50 do 100: 56-59, 66-69, 76-79, 86-89, 96-99


76

Pri večini nalog so učenci uporabljali strategije, ki so temeljile na odnosih med števili in na

mestnih vrednostih. Uporabljali so razdeljevanje in sestavljanje števil: dvakratnik 24 je

dvakratnik 20 + dvakratnik 4. Uporabljali so tudi asociacije: podvojiti 8 desetk: 2x(8x10) je 10

x podvojena 8 ali (2x8)x10.

Strategije podvajanja so učenci urili na srečanju v zaporedju po nizih. Učenec je nadaljeval k

naslednjemu nizu, ko je tekoče reševal prejšnjega. Učenci so glasno pripovedovali, kako so

rešili težje probleme, kar je pomagalo tudi ostali učencem, da so spoznali različne strategije in

izvajalki, da sem spoznala strategije, ki jih učenci uporabljajo. Pri reševanju nalog podvajanja

so učenci spraševali drug drugega.

Avtomatizacija aritmetičnih postopkov in dejstev s pomočjo računalnika

Računalniški program, ki je bil izdelan posebej za potrebe raziskave in delo učencev skupine

1, smo poimenovali Računko. Računko je sestavljen iz štirih nalog. Pri prvi in drugi nalogi je

učenec lahko izbiral operacijo, ki jo je želel uriti (seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje),

obseg števil, v katerem bo računal, število računov v sklopu, določil je neznani člen v računu,

ponavljanje ob napačnem izračunu, slikovno ponazoritev računa ter barve v ponazoritvi. Na

ekranu so prikazano število pravilno in napačno izračunanih računov ter število računov, ki jih

mora učenec še izačunati v tem sklopu računov.

Primeri dejavnosti:

1. naloga:

• Učenec rešuje račune seštevanja z dopolnjevanjem do 5, do 10, do 15, do 20, npr.

3+__=5, 7 + ___= 10, 12 + ___= 15 ipd. Ob tem ima na ekranu ponazorjene količine do

20 s kvadratki v dveh stolpcih po 10, s čimer si lahko pomaga pri določanju

manjkajočega člena.

Slika 9: Dopolnjevanje do 10 s pomočjo računalnika


77

• Učenec rešuje račune odštevanja z neznanim odštevance in z razliko, ki je 5, 10, 15 ali

20, npr. 7 - __=5, 13 - ___= 10, 18 - ___= 15 ipd. Ob tem ima na ekranu ponazorjene

količine do 20 s kvadratki v dveh stolpcih po 10, s čimer si lahko pomaga pri določanju

manjkajočega člena.

2. naloga:

• Učence rešuje izraze seštevanja v številskem obsegu do 100. Pri tem lahko z

računalniško miško pritisne na prvi seštevanec in se v praznem stotičnem kvadratu (ki

ima lahko vpisane samo desetice ali vsa števila od 1 do 100) obarva ustrezno število

kvadratkov, ki ponazarjajo to število. Ob pritisku na drugi seštevanec, se obarva

ustrezno število kvadratkov, ki ponazarja to število. Učenec lahko vsoto razbere na

podlagi obarvanih kvadratkov. Pri računih odštevanja se ob pritisku z računalniško

miško na zmanjševanec obarva ustrezno število kvadratkov, ob pritisku na odštevanec

pa se prečrta toliko kvadratkov v stotičnem kvadratu, kot ustreza odštevancu. Preostali

pobarvani kvadratki predstavljajo razliko.

Slika 10: Seštevanje do 100 s pomočjo računalnika

Slika 11: Odštevanje do 100 s pomočjo računalnika


78

• Učenec račune množenja v obsegu faktorjev od 1 do 10 rešuje tako, da v okvirček v

izrazu zapiše produkt. Pri tem so mu lahko v pomoč obarvani kvadratki s stotičnem

kvadratu, npr. 8 x 6 = ___ - ob pritisku na prvi faktor (8) se le-ta obarva, ob pritisku na

drugi faktor (6) pa se v praznem stotičnem kvadratu obarvajo nizi kvadratkov (8 nizov

po 6 kvadratkov, od katerih je vsak niz obarvan z drugo barvo). Učenec lahko rezultat

množenja ugotovi s preštevanjem kvadratkov, navajanjem večkratnikov ali s

prepoznavanjem mesta števila v stotičnem kvadratu.

3. naloga: Učenec je na ekranu za nekaj sekund zagledal račun množenja, ki je nato izginil.

Po spominu ga je zapisal.

Pozornost in koncentracija

Med treningi so se dejavnosti za razvoj pozornosti in koncentracije prepletale z dejavnostmi in

vsebinami drugi področij.

Učencem sem:

• podajala ustna in pisna navodila ter informacije,

• vzpostavljala in ohranjala očesni kontakt,

• razdelila naloge na manjše enote, menjavala dejavnosti in organizirala krajše odmore,

• organizirala vaje zaznavanja, pozornega opazovanja ter zapomnitve,

• organizirala delo v majhni skupini in parih.

Spominske sposobnosti smo urili z izvajanjem naslednjih dejavnosti:

- zapomnitev navodil, ki so bila podana pisno ali ustno,

- zapisovanje števil po nareku,

- zapisovanje računov po nareku,

- igra spomin s pari kartončkov za urjenje aritmetičnih dejstev poštevanke (na polovici

kartončkov so bili številski izrazi množenja, na drugi polovici kartončkov pa ustrezni produkti,

- širjenje spominskih sposobnosti s pomočjo Programa Preobrat (angl. Turnabout

Program), avtorjev Goldfus in Korn (2004): učenec je na podlagi vidnega vzorca ali slušnega

dražljaja nastavil kocke z ustreznim številom pik v pravilnem zaporedju oziroma razporeditvi.

Z učenci smo urili zapomnitev od štirih enot naprej, kolikor so si učenci zmogli zapomniti na

prvih treningih.


79

4. naloga in računalniškega programa Računko:

• Učenec po Programu Preobrat (angl. Turnabout Program), avtorjev Goldfus in Korn

(2004) širi svoje spominske sposobnosti: na računalniškem ekranu za nekaj sekund vidi vzorce

pik kot na igralnih kockah (od 1 do 6 pik) v vrsti. Ko se vzorci skrijejo, učenec na tipkovnici v

ustreznem zaporedju vtipka števke, ki ustrezajo številu pik videnih vzorcev v enakem

zaporedju. Število vzorcev v nizu (od 3 naprej) učenec izbere v naprej v nastavitvah za nalogo

3.

Metakognitivne sposobnosti

Skozi dejavnosti, ki so potekale med treningi, smo pri učencih razvijali tudi metakognitivne

strategije načrtovanja, spremljanja ter uravnavanja procesov učenja in mišljenja,

samovrednotenje in samoregulacijo.

Te sposobnosti smo pri učencih spodbujali:

• z individualnim delom, delom v paru in skupini,

• s spodbujanjem samostojnosti,

• z razpravljanjem o strategijah, postopkih in rešitvah v paru,

• s spodbujanjem in usmerjanjem v načrtovanju in spremljanju lastnih dejavnosti učenca,

• s spodbujanjem samovrednotenja in izražanja lastnih mnenj.

Učenci so po treningih ocenili svoje počutje med treningom z ustrezno obliko smeška in svojo

uspešnost pri delu z barvanjem ustrezne figure.

Slika 12: Ocenitev uspešnosti dela z barvanjem ustrezne figure


80

Razvoj organizacijskih veščin

Kot glavna cilja za razvoj organizacijskih veščin sem zastavila:

- Učenec uredi šolsko torbo.

- Učenec uredi svoj delovni prostor v šoli.

Primer dejavnosti:

• Vsak učenec je pripravil svoj prostor na mizi. Nanj je izpraznil svojo šolsko torbo. Smeti

je odvrgel v koš. Zvezke in učbenike je zložil na kup. Delovne liste in ostale papirje je

zložil v mapo. Zvezke je zložil v torbo po velikost, torbo zaprl in je odložil na

dogovorjeno mesto. Učenec je dobil pisna in slikovna navodila za pripravo šolske torbe

doma. Za pripravo šolske torbe za pouk za naslednji dan je učenec uril tudi pripravo

šolskih potrebščin po urniku.

• Učenci so sami pripravljali delovni prostor za delo v skupini ali paru (prinašanje

materialov, delovnih listov, razdeljevanje, pospravljanje, odnašanje na dogovorjeno

mesto). Na prvih srečanjih sem učencem pokazala, kje lahko najdejo posamezen

pripomoček in kako mora biti pospravljen. Materiale za delo smo prinesli v učilnico in

jih položili vedno na isto mesto, ki je bilo dostopno vsem. Vsak učenec si je pripravil

potrebščine za delo in didaktični material. Po dejavnosti je material pospravil in ga vrnil

na prvotno mesto. Svoj delovni prostor je po koncu srečanja izpraznil in ga počistil.

5.5.5 Timsko delo

Ravnateljici in razredničarkam (3) sem predstavila program pomoči za delo z učenci z učnimi

težavami pri aritmetiki, ki sem ga načrtovala. Z razredničarkami smo enkrat na dva tedna

načrtovale in usklajevale delo v skupini z učenci in delo v razredu, izmenjevale opažanja in

izkušnje v zvezi s težavami učencev pri pouku matematike, njihovim napredkom ter morebitnih

spremembah v odzivanju med treningi in pri pouku. Učiteljicam sem poročala o didaktičnih

materialih in postopkih dela, ki so jih učenci spoznali na treningu in naj bi jih uporabljali in

utrjevali tudi pri pouku.

Starši otrok, ki so bili vključeni v program pomoči, so pred začetkom izvajanja le-tega podali

soglasje, da se njihovi otroci lahko vključijo v program. Na skupnem srečanju pred začetkom

izvajanja programa sem jih seznanila z namenom in cilji našega dela, z načinom dela v skupini,

s pravili, ki veljajo za delo v skupini ter njihovo in otrokovo vlogo. V času izvajanja programa


81

pomoči sem jih dvakrat povabila na naš trening in jim preko dela učencev predstavila uporabo

posameznih didaktičnih pripomočkov ter posamezne postopke, ki so se jih učenci naučili in

uporabljali pri matematiki z namenom, da bi jih k uporabi le-teh spodbujali tudi starši doma.

5.5.6 Delo v oddelku

Razredničarke so pri delu v oddelku uporabljale strategije dobre poučevalne prakse. Učencem,

ki so bili vključeni v program pomoči, so omogočale urjenje in uporabo znanj in strategij, ki so

jih le-ti spoznali in usvojili na treningu oziroma so jih izvajale z vsemi učenci v razredu. Tudi

v razredu so spodbujale izvajanje vrstniške pomoči: učenci z učnimi težavami pri aritmetiki so

sedeli poleg učencev, ki niso imeli težav pri aritmetiki in so jim po potrebi pomagali med

poukom, organizirale so delu v paru in majhnih skupinah.

Učiteljice so pri učencih z učnimi težavami pri aritmetiki po mojih navodilih izvajale naslednje

organizacijske in metodično-didaktične prilagoditve:

• časovne prilagoditve (več časa za dokončanje dela);

• uporaba didaktičnih materialov za učenje na konkretni ravni (pripomočki za

ponazarjanje števil in operacij);

• prilagojena matematična gradiva (manj nalog na listu, podan model za reševanje na listu,

barvno označene ključne informacije, več prostora za zapisovanje);

• dodatna razlage vsebine individualno ali v manjši skupini v razredu, z dodatnimi

ponazoritvami;

• spodbujevalce (uporaba grafičnega prikaza uspešnosti z označbami);

• prilagoditve okolja (delo v majhni skupini ali paru);

• ponavljanje (pregled učne vsebine, ponovitev bistvenih delov, uporaba slušnih in vidnih

opor, ponavljanje učne snovi ustno, pisno in v komunikaciji z vrstniki);

• učnim stilom učencev prilagojeni načini predstvaljanja nalog in rezultatov.

5.5.6.1 Vtisi razredničark

Štirje učenci iz 3. a so se udeleževali treningov matematičnih veščin v manjši skupini, ki jo je

vodila defektologinja. Učenci so radi odhajali na ure pomoči in so to pomoč zelo dobro sprejeli.

Videlo se je, da so zadovoljni, saj je tudi ostale učence kmalu začelo zanimati, kaj ti učenci


82

počnejo na teh treningih. Večkrat so meni in ostalim sošolcem poročali, kaj so počeli ali pa sta

vrstnik pomočnik in učenec z učnimi težavami pri aritmetiki v razredu pokazala, kaj in kako sta

delala v paru.

Pri učencih, ki so prejemali pomoč, sem opazila napredek v znanju pri matematiki. Veliko so

delali na osnovnih matematičnih veščinah in tako so tudi pri pouku bili samozavestnejši, saj so

bolj zaupali v svoje znanje. Vadili so štetje in vse štiri računske operacije. Naloge so bile

pripravljene na zabaven način, tako da so bili bolj motivirani za delo. Delo je bilo prilagojeno

njim, da so lahko tudi sami občutili uspeh in dobre občutke ob pohvali. Tudi pri pouku sem

opazila, da so postali bolj motivirani. V manjši skupini so tudi ti otroci začutili, da se lahko

izkažejo, postali so tudi nekoliko tekmovalni med seboj, saj so v manjši skupini tudi sami imeli

možnost, da so kdaj zelo dobri ali celo najboljši, kar se pri običajnem pouku matematike ni

zgodilo. Njihova večja samozavest se je prenesla tudi na ostalo delo v učilnici. Učenci so se

večkrat brez strahu javili za prostovoljca (tudi če niso vedeli, za kakšno delo bo šlo), več in bolj

pogumno so sodelovali pri pouku.

Med otroci, ki so obiskovali treninge sem opazila tudi neko novo povezanost, saj jih je družila

ta pomoč in večkrat so skupaj čakali, da zapustijo učilnico in gredo na trening. Tudi sama

beseda »trening« jim je bila všeč. Ostali učenci so pomoč tem učencem prav tako dobro sprejeli

in ni prišlo do kakšnega zbadanja na ta račun.

Treningov v manjši skupini z defektologinjo so se udeleževali štirje učenci iz 3. b, pri katerih

sem zaznala največje težave pri matematiki. Učenci so v večini primerov imeli velike težave s

številskimi predstavami in posledično tudi z večino ostalih vsebin. Defektologinja je treninge

matematičnih veščin izvajala vsak teden in učenci so jih z veseljem obiskovali.

Na treningih so učenci razvijali številske predstave in urili matematično znanje, ki jim je

povzročalo težave. Opazila sem, da se je pri matematiki pojavljalo manj težav pri teh učencih,

saj so vrzeli v svojem znanju počasi zapolnjevali. Postajali so bolj samostojni in aktivnejši pri

urah matematike. Velikokrat je defektologinja posameznemu učencu, ki je bil deležen

skupinske pomoči, v razred prinesla didaktični pripomoček, katerega je odnesel domov in s tem

še doma uril znanje ob pomoči staršev. Pri učencih sem opazila napredek v znanju in tudi v

samozavesti. Učenci pa so bili s takim načinom dela zadovoljni.


83

5.5.7 Priprava vrstnikov pomočnikov za delo z učenci skupine 1 v paru

Za učence iz skupine 3 (obeh generacij: skupno 14 učencev), ki so izvajali vrstniško pomoč

učencem z učnimi težavami pri aritmetiki, sem najprej pripravila spoznavno srečanje, na

katerem sem jih seznanila z namenom izvajanja vrstniške pomoči, jim predstavila, kako

potekajo srečanja oziroma delo v paru in pričakovanja, ki jih imam do njih glede dela v paru.

Učenci so na tem srečanju povedali svoja pričakovanja in postavljali vprašanja o delu v paru,

na katere smo odgovorili.

Enkrat mesečno oziroma po potrebi večkrat smo se srečali z vrstniki pomočniki, da sem jih

predstavila didaktične pripomočke, s katerimi so v naslednjem mesecu urili aritmetična znanja

in spretnosti z učenci v paru ter njihovo uporabo. Predstavljeni so jih bili aritmetični postopki,

ki so jih nato uporabljali pri delu z učenci v paru.

Učenci so na teh srečanjih dobili dodatne informacije, ki so jih potrebovali za delo v paru in

povedali svoje izkušnje in morebitne težave.

Tudi vrstniki pomočniki so po vsakem srečanju ocenili svoje počutje (z ustrezno štampiljko

smeška) in svojo uspešnost pri delu (barvanjem ustrezne figure).

Po koncu izvajanja programa pomoči učencem skupine 1 pa smo izvedli skupno proslavljanje

ob zaključku dela, ki so se ga udeležili učenci skupine 1 in vrstniki pomočniki.


84

6 REZULTATI IN INTERPRETACIJA

Z merskimi instrumenti, ki so opisani v poglavju 5.2, smo ocenili funkcioniranje učencev

skupine 1 in skupine 2 pred začetkom izvajanja programa pomoči in po končanem programu

pomoči. Na podlagi rezultatov smo ocenili začetno stanje pri učencih, spremljali njihov

napredek ter ovrednotili učinkovitost programa.

6.1 ZAČETNI REZULTATI PRI TESTIH IN GLOBALNA OCENA FUNKCIONIRANJA UČENCEV SKUPINE 1

Z vprašalnikom o ugotavljanju učnih stilov smo preverili prevladujoče učne stile učencev skupine 1 in vrstnikov pomočnikov, da bi na podlagi le-teh lažje načrtovali delo v skupini in v paru.

Vprašalnik o ugotavljanju učnih stilov (Memletics learning styles questionnaire, 2011) Tabela 2: Prikaz učnih stilov učencev skupine 1 pred začetkov izvajanja programa pomoči

Skupina 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Pre

vlad

ujoč

i sti

l

Dru

gi

prev

ladu

joči

stil

Pre

vlad

ujoč

i sti

l v

skup

ini

Mož

ne točk

e

Vidni stil 14 16 18 11 12 15 14 16 15 20 7 14 10 15 12 19 5 3 8 20

Socialni stil 12 13 14 14 10 17 15 14 14 19 9 8 15 17 7 18 5 2 7 20

Praktični stil 16 17 10 13 10 16 13 17 17 13 9 9 10 16 5 16 2 5 7 20

Slušni stil 9 15 12 7 8 14 13 12 16 11 10 12 14 15 10 10 0 5 5 20

Govorni stil 7 15 16 11 10 15 13 15 15 10 4 7 13 13 4 17 0 0 0 20

Individualistični stil

18 10 12 8 10 9 10 12 11 9 8 10 4 9 2 12 1 0 1 20

Logični stil 12 15 17 12 14 11 9 18 14 16 11 8 8 13 4 13 3 1 4 20

V tabeli 2 so z zeleno obarvani prevladujoči učni stili posameznih učencev skupine 1, z rumeno

pa drugi prevladujoči stil. Razvidno je, da je bil prevladujoči stil učencev skupine 1 vidni stil,

sledila pa sta mu socialni in praktični stil. Kot prevladujoča učna stila sta se pri učencih pokazala

vidni in socialni stil, vsak pri petih učencih. Sledil jima je logični stil, in sicer pri treh učencih.

Govorni stil se ni pojavil kot prevladujoči stil pri nobenem učencu. Izstopala pa sta tudi

praktični in slušni stil kot drugi prevladujoči stil pri petih učencih.


85

V izvajanje programa pomoči so bili vključeni tudi vrstniki tutorji, zato bomo predstavili tudi njihove učne stile in jih primerjali z učnimi stili učencev skupine 1. Tabela 3: Prikaz učnih stilov učencev vrstnikov pomočnikov

Vrstniki tutorji

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Pre

vlad

ujoč

i sti

l

Dru

gi p

revl

aduj

oči

stil

Pre

vlad

ujoč

i sti

l v

skup

ini

Mož

ne točk

e

Vidni stil 16 15 15 18 14 18 13 17 17 18 13 10 17 16 4 4 8 20

Socialni stil 12 18 13 14 16 13 16 15 15 19 12 11 12 12 3 1 4 20

Praktični stil 15 13 17 10 13 13 10 13 16 11 16 8 16 11 1 2 3 20

Slušni stil 19 12 15 10 15 14* 15 16 18 14 13 9 6 10 2 2 4 20

Govorni stil 12 16 10 13 11 16 12 10 15 13 14 15 14 18 1 2 3 20

Individualistični stil 7 14 12 12 12 10 11 8 9 2 17 12 9 17 1 1 2 20

Logični stil 14 16 10 16 17 11 8 13 12 8 11 16 13 16 2 2 4 20

V tabeli 3 so z zeleno obarvani prevladujoči učni stili posameznih učencev vrstnikov tutorjev,

z rumeno pa drugi prevladujoči stil. Razvidno je, da je bil prevladujoči stil učencev vrstnikov

tutorjev vidni stil, sledili pa so mu logični, socialni in slušni stil. Kot prevladujoči učni stil se

je pri učencih vrstnikih tutorjih pokazal vidni stil pri štirih učencih, drugi prevladujoči stili

(logični, socialni in slušni) pa so se pojavili vsak po trikrat. Govorni, praktični in individualnisti

stil so se pojavili kot prevladujoči po enkrat. Izstopal pa je tudi vidni stil kot drugi prevladujoči

stil pri štirih učencih vrstnikih tutorjih.

Pri učencih skupine 1 in učencih vrstnikih tutorjih sta se kot prevladujoča učna stila pokazala

vidni in socialni stil, pri učenci skupine 1 pa se je kot prevladujoči in kot drugi predladujoči

pokazal praktični stil pri sedmih učencih, medtem ko pri vrstnikih tutorjih samo pri treh

učencih. Govorni stil se pri učencih skupine 1 ni pokazal kot prevladujoč ali drugi prevladujoč,

pri vrstnikih tutorjih pa se je pokazal kot prevladujoč pri enem učencu in pri dveh kot drugi

prevladujoč, kar so ti učenci lahko izkoristili pri delu z učenci skupine 1. Individualističen stil

se je pojavil kot prevladujoč pri enem učencu skupine 1, pri vstnikih pa pri enem učencu kot

prevladujoč in pri enem kot drugi prevladujoč. Ti učenci niso imeli težav pri vzpostavljanju

kontakta z vrstniki v skupini ali v paru.


86

Z Vprašalnikom o organizacijskih spretnostih smo hoteli spoznati organizacijske spretnosti

posameznih učencev skupine 1, da bi v okviru programa pomoči izvajali tudi treninge

organizacijskih veščin, ki bi jim pripomogle k večji stopnji organiziranosti pri pouku in doma.

Vprašalnik o organizacijskih veščinah

Tabela 4: Prikaz razvitosti področij organizacije pri učencih skupine 1 pred začetkom izvajanja pomoči

Učenci skupine 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Področja organizacije Doseženo število točk

miselne sposobnosti - kognicija

45 49 37 38 58 42 46 23 48 29 43 33 30 33 43 25

organiziranost v šoli 39 60 44 45 65 45 50 40 39 40 48 42 28 35 48 31

osebna organiziranost 47 62 45 50 63 46 52 35 42 39 53 45 32 37 40 28

strategije 42 46 40 46 52 40 45 28 47 35 45 30 29 25 45 30

osebna urejenost 39 61 50 55 65 51 50 43 43 41 50 44 30 30 50 31

časovna organiziranost 45 45 38 50 61 45 47 32 39 43 44 48 27 28 44 26

samomotivacija 43 55 42 35 64 35 61 45 45 38 50 46 26 35 50 30

skupni dosežek 42 54 42 45 61 43 50 35 43 37 47 41 30 30 47 28

Legenda:

1-16 … posamezni učenci skupine 1

… nizek skupni dosežek točk

… srednji skupni dosežek točk

… višji skupni dosežek točk

… področje z najnižjim dosežkom točk

Pri učencih skupine 1 smo ugotavljali razvitost organizacijskih spretnosti. Iz tabele 4 lahko

razberemo, da so bile organizacijske spretnosti 5 učencev skupine 1 dokaj nizke (rumena

barva). 8 učencev je imelo nekoliko višje organizacijske spretnosti (oranžna barva), 3 učenci

pa so imeli srednje razvite organizacijske spretnosti. Rezultat slabe organiziranosti učenca na

šolskem področju je lahko zamujanje ali pozabljanje pomembnih rokov, povezanih z nalogami

in ocenjevanjem. Učenec ima težave s presojanjem časa za opravljanje šolskih obveznosti in

nima razvitih strategij, s katerimi bi postal učinkovit na učnem področju. Zaradi težav na

področju organizacije šolskega dela lahko razvije odpor do šolskega dela in splošno

nezadovoljstvo. Slabo razvite organizacijske veščine imajo vpliv tudi na učenčevo osebno


87

življenje, saj s težavo vzdržuje urejenost in čistost delovnega prostora doma in v šoli. Pogosto

išče pripomočke za učenje in delo, ker ti niso na stalnem mestu. Težave lahko ima tudi s

samomotivacijo, zato se težko motivira za delo in opravljenje šolskih ovbveznosti. Na podlagi

ugotovitev o organizacijskih spretnostih učencev skupine 1 smo z učenci pri srečanjih v skupini

izvajali vaje za razvoj organizacijskih spretnosti.

Naloge za ugotavljanje strategij štetja

Tabela 5: Prikaz strategij štetja učencev skupine 1 na testu Naloge za ugotavljanje strategij štetja na začetnem testiranju

Strategija

Skupina 1 P N

Pre

štev

anj

e pr

edm

etov

0 – nima učinkovite strategije štetja 1 – vsake kroglice se dotakne s prstom 10 3 2 – izvaja aktivnosti s skupino kroglic 3 – gleda in šteje kroglice 3

Šte

tje

naza

j

0 – nima učinkovite strategije štetja 1 – pomaga si s konkretno oporo (prsti, slika) in štetjem nazaj 2 – pomaga si s konkretno oporo in štetjem nazaj 10 1 3 – pomaga si s štetjem naprej brez opor 4 – šteje nazaj brez opor 5

Šte

tje

v za

pore

dju

0 – nima učinkovite strategije štetja v zaporedju 1 – pomaga si z oporami (prsti, slika) 6 4 2 – tiho si govori vsa števila, glasno pa le zahtevano število 2 3 – miselno štetje brez opor 4

Fle

ksib

ilno

šte

tje 0 – nima učinkovite strategije

1 – pomaga si s štetjem (z oporami) 11 3 2 – pomaga si z računanjem – s seštevanjem 1 3 – pomaga si z računanjem – z množenjem 1

Legenda: P – pravilen odgovor N – napačen odgovor

Preštevanje predmetov

Iz tabele 5 lahko razberemo, da je 13 učencev skupine 1 preštevalo predmete z dotikanjem, od

teh trije učenci niso prišli do pravilnega rezultata. 3 učenci skupine 1 so predmete preštevali le

z gledanjem, pri tem pa so bili uspešni.


88

Štetje nazaj

Iz tabele 5 je razvidno, da si je 11 učencev skupine 1 pomagalo s konkretno oporo pri štetju

nazaj, eden od teh napačno. 5 učencev je preštevalo nazaj brez opor in brez napak.

Štetje v zaporedju

Tabela 5 nam prikazuje, da si je 10 učencev skupine 1 pri štetju pomagalo s preštevanjem

prstov, kar štirje pri tem niso bili uspešni. 2 učenca sta preštevala tiho, glasno sta izgovorila le

zahtevano število. Miselno štetje brez opor je uporabilo 5 učencev, eden napačno.

Fleksibilno štetje

Tabela 5 prikazuje tudi pogostost uporabe posamezne strategije fleksibilnega štetja pri učencih

skupine 1. 14 učencev skupine 1 si je pri fleksibilnem štetju pomagalo z oporami, od teh trije

niso prišli do pravilnih rezultatov. 1 učenec si je pomagal do rezultatov s seštevanjem. En

učenec skupine 1 si je pri fleksibilnem štetju pomagal z množenjem.

Iz predstavljenih rezultatov lahko povzamemo, da so učenci skupine 1 uporabljali razvojno

manj zrele strategije šteja na začetnem testiranju, pri tem pa so se pojavljale tudi napake. Večina

učencev si je pri preštevanju pomagala s konkretnimi materiali, vsi učenci pa so imeli razvito

neko strategijo, s katero so preštevali. Geary (2004) poudarja, da je za učence z učnimi težavami

pri matematiki značilno, da naredijo več napak pri štetju in uporabljajo razvojno manj napredne

strategije štetja bolj pogosto, kot učenci brez učnih težav pri matematiki.


89

Test za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev (Sugarman, 1995)

Tabela 6: Izbor računskih strategij učencev skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 20

TE

ST

STRATEGIJE ŠTEVILO NAPAK

Reš

eni r

ačun

i

Ner

ešen

i rač

uni

Šte

vilo

vse

h raču

nov Š T Š T

Št.r. v % Št.r. v % od

tega priklic

v % Št.r. v % Št.r. v%

od te

ga

prik

lic

v %

Z1 45 46,88 51 53,13 46 47,92 3 6,67 10 19,61 9 9,38 96 0 96

Legenda: Z1 - začetni test, skupina 1 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov Iz tabele 6 lahko razberemo, katere strategije računanja so izbrali učenci skupine 1 na začetnem

testiranju.

Skupina 1 je na začetnem testiranju rešila vseh 96 primerov. 13 računov so rešili napačno, tako

je bilo pravilno rešenih 86,46 % vseh računov. Strategije transformacije (T) so izbrali pri 46,88

% primerov. Od 51 računov, ki so jih reševali s transformacijskimi strategijami, je bilo 10

primerov rešenih napačno. Pri strategijah transformacije (T) smo posebej prikazali, koliko

računov so učenci rešili s priklicem aritmetičnega dejstva iz spomina. Tega so izbrali v 47,92

% računov. Strategije štetja (Š) so bile uporabljene pri 45 računih (46,88 %), napačno

izračunani so bili 3 računi (6,67 %).

Tabela 7: Izbor računskih strategij učencev skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev na začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 20

TE

ST


Reš

eni r

ačun

i

Ner

ešen

i rač

uni

Šte

vilo

vse

h raču

nov Š T Š T


tega priklic

v % Št.r. v % Št.r. v % od

tega priklic

v %

Z1 41 42,71 54 56,25 51 53,13 18 43,90 6 11,11 6 11,76 95 1 96

Legenda: Z1 - začetni test, skupina 1 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov


90

Skupina 1 je na začetnem testiranju rešila 96 računov, od teh en račun ni bil reševan, od ostalih

95 računov pa je bilo 71 računov rešenih pravilno, kar znaša 73,96 %. Strategije štetja (Š) so

bile uporabljene pri 41 računih, od tega pri 23 računih pravilno. Strategije transformacije (T)

so bile uporabljene pri 54 računih, 48 računov je bilo na ta način pravilno rešenih. Pri strategijah

transformacije (T) smo posebej prikazali število računov, ki so jih rešili s priklicem

aritmetičnega dejstva iz spomina, in sicer 53,13 % računov.

Tabela 8: Izbor računskih strategij skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 100

TEST


Rešeni računi

Nerešeni računi

Število vseh računov

Š T Š T

Št.r. v % Št.r. v % Št.r. v % Št.r. v %

Z1 21 26,25 32 40,00 12 57,14 18 56,25 53 27 80


Skupina 1 je na začetnem testiranju od skupno 80 računov rešila 53. Pravilnost je bila 28,75-

odstotna, reševanja kar 27 računov se učenci sploh niso lotili. Strategije štetja (Š) so izbrali pri

21 primerih, od tega je bilo le 9 računov rešenih pravilno. Strategije transformacije (T) so izbrali

pri 32 rešenih računih, 14-krat so bili ti računi pravilno rešeni.

Tabela 9: Izbor strategij skupine 1 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev na začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 100

TEST


Rešeni računi

Nerešeni računi


Š T Š T


Z1 20 25,00 26 32,50 7 35,00 18 69,23 46 34 80


Tabela 9 prikazuje rezultate testiranj skupine 1 pri reševanju računov odštevanja v številskem

obsegu do 100. Skupina 1 je na začetnem testiranju rešila 46 računov od skupno 80, to


91

predstavlja le 57,50 odstotkov računov. Od teh 46 rešenih primerov je bilo 21 računov rešenih

pravilno. Pravilnost je torej le 26,25-odstotna. Strategije štetja (Š) so bile uporabljene pri 20

računih, pri 13 računih pravilno. Strategije transformacije (T) so bile izbrane za reševanje

računov 26-krat, od tega le 8-krat pravilno.

Fuson, Richards in Brians (1982); Seron in Deloche (1987, v Garnett, 1998) navajajo, da na

aritmetične dosežke posameznika pomembno vpliva obvladovanje osnovnih spretnosti štetja.

Kavkler, Tancig in Magajna (2004) so na podlagi raziskave pri učencih z učnimi težavami pri

matematiki in uspešnimi učenci ugotovile pomembne razlike v predznanju in tekočnosti štetja,

kakor tudi razlike v obvladovanju in kvaliteti štetja glede na začetno in končno testiranje znotraj

skupine in med skupinama.

Desetminutni aritmetični test za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov

Tabela 10: Prikaz aritmetičnih sredin dosežkov učencev skupine 1 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov na začetnem testiranju

Točke 1 2 3 D

Skupine M SD M SD M SD M SD

Skupina 1 Z 12,31 2,18 6,38 3,69 1,81 1,47 30,12 8,97

Legenda: Z … začetno testiranje M …aritmetična sredina SD … standardna deviacija D… doseženo število točk

Iz tabele 10 lahko razberemo, da so učenci skupine 1 na začetnem testiranju dosegli večje

število točk pri računih, ki so bili ovrednoteni z 1 in 2 točkama, manjše število točk pa so dosegli

pri računih, ki so bili ovrednoteni s 3 točkami. Učencem je ostalo premalo časa za reševanje

sestavljenih računov, ki so ovrednoteni s 3 točkami, saj so bili pri delu počasni oziroma teh

računov niso znali rešiti.

Iz tabele 10 lahko razberemo tudi, da je od možnih 117 točk skupina 1 dosegla povprečno 30

točk na začetnem testiranju.


92

Učenci skupine 1 so najuspešneje reševali račune z vrednostjo 1 točke. Glede na začetno

testiranje ima skupina 1 pri računih, ovrednotenih z 1 točko 49,76-odstotni uspeh, povprečno

število pravilno rešenih računov je 12,31. Uspešnost učencev skupine 1 se je nekoliko znižala

pri reševanju računov, vrednotenih z 2 točkama: skupno so dosegli 37,5-odstotni uspeh s

povprečnim številom 6,38 pravilnih izračunov. Učenci skupine 1 so bili najmanj uspešni pri

reševanju računov za 3 točke, hkrati pa je tu prišlo tudi do največjih razlik v odstopanju

pravilnega reševanja. V povprečju so posamezniki skupine 1 od 19 računov pravilno rešili 1,81

računa (9,54 %).

Geary (2004) navaja, da se neuspeh v procesu avtomatizacije osnovnih računskih operacij kaže

v majhnem številu avtomatiziranih operacij in v slabi kvaliteti le-teh. Osnovna aritmetična

dejstva naj bi priklicali iz spomina, proces priklica pa poteka hitro, brez truda in z majhnim

številom napak.

Test za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke

Tabela 11: Dosežki učencev skupine 1 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke na začetnem testiranju

Legenda: S1 … skupina 1 Z … začetno testiranje 1t … ena točka 2t … dve točki 3t … tri točke Dt … dosežene točke min … najnižji dosežek max ... najvišji dosežek max=24, max=16, max=40…možno število točk N … število učencev f1%, f2%, fD% … število doseženih točk v %

Učenci skupine 1 so na začetnem testiranju skupno rešili 162 računov, ovrednotenih z 1 točko,

kar znaša 42,19-odstotni uspeh, 16 učencev skupine 1 pa je rešilo skupno le 8 računov,

ovrednotenih z dvema točkama. Glede na dosežene točke so učenci skupine 1 na začetnem

testiranju dosegli 170 točk od možnih 640, kar pomeni, da je bila uspešnost učencev skupine 1

na začetnem testiranju v povprečju le 26,56 %.

skupine 1t

max=24 f1% min max

2t

max=16 f2% min max N

Dt

max

=40

f%D min max

S1 Z 162 42,19 2 22 8 3,125 0 2 16 170 26,56 2 24


93

Če učenec ne zmore priklicati aritmetičnega dejstva iz spomina, mora ta dejstva izračunati na

drug, običajno bolj zamuden način. Pri tem mora usmeriti čas in pozornost izvajanju strategije

in je zato manj učinkovit pri reševanju naloge (Dowker, 2004).

Na osnovi rezultatov začetnega testiranja povzemamo, da so imeli učenci skupine 1 usvojene

razvojno manj napredne strategije štetja, pri štetju pa je nekaj učencev delalo napake. Na testu

za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev se je pokazalo, da so učenci v

podobnem deležu uporabljali strategije štetja in strategije transformacije, priklica aritmetičnih

dejstev pa je bilo malo. Delež napak pri seštevanju v številskem obsegu do 20 je bil 13,54 %,

pri odštevanju v enakem številskem obsegu 25 %, pri seštevanju v številskem obsegu do 100 je

bil delež napak 37,50 % in pri odštevanju v enakem obsegu 31,25 %.

Na desetminutnem aritmetičnem testu so učenci skupine 1 v povprečju dosegli 30 točk od 117

možnih, najbolj pa so bili uspešni pri računih, vrednotenih z 1 in 2 točkama. Na Testu za

ugotavljanje avtomatizacije poštevanke so učenci v 42,19 % uspešno rešili račune, ovrednotene

z eno točko (množenje manjših faktorjev), pri računih z večjimi faktorji pa so bili neuspešni.


94

6.2 ZAČETNI REZULTATI PRI TESTIH IN GLOBALNA OCENA FUNKCIONIRANJA UČENCEV SKUPINE 2

Naloge za ugotavljanje strategij štetja

Tabela 12: Prikaz strategij štetja učencev in skupine 2 na testu Naloge za ugotavljanje strategij štetja na začetnem testiranju

Strategija

Skupina 2 P N

Pre

štev

anj

e pr

edm

etov

0 – nima učinkovite strategije štetja 1 1 – vsake kroglice se dotakne s prstom 2 6 2 – izvaja aktivnosti s skupino kroglic 3 – gleda in šteje kroglice 2 3

Šte

tje

naza

j

0 – nima učinkovite strategije štetja 1 – pomaga si s konkretno oporo (prsti, slika) in štetjem nazaj 3 2 – pomaga si s konkretno oporo in štetjem nazaj 4 1 3 – pomaga si s štetjem naprej brez opor 4 – šteje nazaj brez opor 6

Šte

tje

v za

pore

dju

0 – nima učinkovite strategije štetja v zaporedju 3 1 – pomaga si z oporami (prsti, slika) 3 7 2 – tiho si govori vsa števila, glasno pa le zahtevano število 3 – miselno štetje brez opor 1

Fle

ksib

ilno

šte

tje 0 – nima učinkovite strategije

1 – pomaga si s štetjem (z oporami) 4 4 2 – pomaga si z računanjem – s seštevanjem 6 3 – pomaga si z računanjem – z množenjem

Legenda: P – pravilen odgovor N – napačen odgovor

Preštevanje predmetov

Iz tabele 12 lahko razberemo, da en učenec skupine 2 ni imel učinkovite strategije preštevanja

predmetov. 8 učencev iz skupine 2 se je lotilo preštevanja predmetov z dotikanjem, kar 6 pa jih

je bilo pri tem neuspešnih. 5 učencev je predmete preštevalo le z gledanjem, pri tem so bili trije

neuspešni.

Štetje nazaj

Iz tabele 12 je razvidno, da so si trije učenci skupine 2 pri štetju nazaj pomagali s konkretno

oporo, večinoma s prsti in štetjem naprej. 5 učencev si je pomagalo s konkretno oporo in štelo

nazaj, eden od teh napačno. 6 učencev je preštevalo nazaj brez opor in brez napak.


95

Štetje v zaporedju

Tabela 12 nam prikazuje, da trije učenci iz skupine 2 niso uporabili učinkovite strategije štetja

v zaporedju. 10 učencev si je pomagalo s prsti, pri tem so pravilno preštevali le trije učenci.

Miselno štetje brez opor je uporabil en učenec skupine 2.

Fleksibilno štetje

Tabela 12 prikazuje pogostost uporabe posamezne strategije fleksibilnega štetja pri učencih

skupine 2. Z oporami si je pomagalo tudi 8 učencev, štirje nepravilno. 6 učencev si je do

rezultatov pomagalo s seštevanjem. Pri tem so bili vsi uspešni.

Pri učencih skupine 2 opažamo, da 1 učenec ni imel razvite strategije preštevanja predmetov,

trije učenci pa niso poznali ustrezne strategije za štetje v zaporedju. Pri štetju predmetov pa je

bilo 10 učencev, ki so uporabili različne stategije, neuspešnih.


Tabela 13: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 2 na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 20

TE

ST


Reš

eni r

ačun

i

Ner

ešen

i rač

uni

Šte

vilo

vse

h raču

nov Š T Š T


tega priklic

v % Št.r. v % Št.r. v% od

tega priklic

v %

Z2 44 52,38 40 47,62 40 47,62 13 29,55 4 10,00 4 4,76 84 0 84

Legenda: Z2 - začetni test, skupina 2 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov Iz tabele 13 lahko razberemo, katere strategije računanja so izbrali učenci skupine 2 na

začetnem testiranju.

Skupina 2 je na začetnem testiranju rešila vse račune (84). Na začetnem testiranju je bilo

pravilno rešenih 65 računov, kar predstavlja 77,38-odstotno pravilnost. 44 računov (52,38

odstotkov) so rešili s strategijami štetja (Š), 40 računov (47,62 odstotkov) pa s strategijami

transformacije (T) oziroma natančneje s priklicem aritmetičnega dejstva iz dolgotrajnega


96

spomina. Pri štetju (Š) je bilo kar 14 primerov rešenih napačno, pri strategijah transformacije

(T) pa 4 računi niso bili pravilni.

Tabela 14: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 2 na začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 20


Skupina 2 je rešila skupno 84 računov. Začetno testiranje je pokazalo 72,62-odstotno pravilnost.

49 računov je bilo rešenih s strategijami štetja (Š), od tega je kar 16 primerov bilo rešenih

napačno. S strategijami transformacije (T) je bilo rešenih 35 računov (41,67 odstotkov),

napačnih je bilo 7 računov. Priklic je bil uporabljen pri 39,29 odstotkih vseh računov.

Tabela 15: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 2 na začetnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 100

TEST


Reš

eni r

ačun

i

Ner

ešen

i raču

ni

Šte

vilo

vse

h raču

nov Š T Š T


Z2 24 34,29 22 31,43 17 70,83 10 45,45 46 24 70

Legenda: Z2 - začetni test, skupina 2 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov Skupina 2 je pri začetnem testiranju rešila 46 računov od 70. Pravilno je bilo rešenih 19 računov

oziroma 27,14 odstotkov. Strategije štetja (Š) so bile uporabljene 24-krat, od tega pri kar 17

računih napačno. Strategije transformacije (T) so bile uporabljene pri 22 računih, od tega je bilo

10 računov rešenih napačno.

TE

ST


Reš

eni r

ačun

i

Ner

ešen

i rač

uni

Šte

vilo

vse

h raču

nov Š T Š T


tega priklic


tega priklic

v %

Z2 49 58,33 35 41,67 33 39,29 16 32,65 7 20,00 7 21,21 84 0 84


97

Tabela 16: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 2 na začetnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 100

TEST


Reš

eni

raču

ni

Ner

ešen

i raču

ni

Šte

vilo

vse

h raču

nov

Š T Š T


Z2 17 24,29 25 35,71 13 76,47 7 28,00 42 28 70


Tabela 16 prikazuje rezultate začetnega testiranja skupine 2 pri reševanju računov odštevanja s

števili do 100. Skupina 2 je na začetnem testiranju rešila 42 računov od 70. Pravilno je bilo

rešenih 22 računov oziroma 31,43 odstotkov vseh računov. Strategije štetja (Š) so bile

uporabljene pri 17 primerih, od tega so bili le 4 računi rešeni pravilno. Strategije transformacije

(T) so bile uporabljene za reševanje 25 računov, napačno rešenih je bilo 7 računov.

Kavklerjeva (1996) navaja, da ima štetje pomembno vlogo pri razvoju ariemtičnih strategij, saj

otrok pri reševanju aritmetične naloge uporabi strategijo, ki mu jo omogoča strategija štetja, ki

jo obvladuje.

Desetminutni aritmetični test za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in

postopkov (Kavkler idr., 1996)

Tabela 17: Prikaz aritmetičnih sredin dosežkov učencev skupine 2 Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov na začetnem testiranju

točke 1 2 3 D


Skupina 2 Z 11,14 3,68 5 2,08 2,14 1,03 27,57 9,27

Legenda: Z … začetno testiranje M …aritmetična sredina SD … standardna deviacija D… doseženo število točk

Iz tabele 17 je razvidno, da so učenci skupine 2 na začetnem testiranju dosegli večje število

točk pri računih, ki so bili ovrednoteni z 1 in 2 točkama, manj točk pa so dosegli pri računih, ki


98

so bili ovrednoteni s 3 točkami. Učencem je za reševanje sestavljenih računov, ovrednotenih s

3 točkami, zmanjkalo časa, saj so bili pri delu počasni oziroma teh računov niso znali rešiti.

Iz tabele 17 lahko razberemo tudi, da je od možnih 117 točk skupina 2 na začetnem testiranju

dosegla v povprečju 28 točk. Učenci so najuspešneje reševali račune z vrednostjo 1 točke.

Dosegli so 42,86-odstotni uspeh, kar znese v povprečju 11,14 pravilno rešenih računov za 1

točko. Uspešnost se je nekoliko znižala pri reševanju računov v vrednosti 2 točk. Na začetnem

testiranju je skupina 2 dosegla 29,41-odstotni uspeh s povprečno petimi pravilnimi računi.

Učenci skupine 2 so bili najmanj uspešni pri reševanju računov za 3 točke: pravilno so skupno

rešili le 11,28 % računov. V povprečju je posameznik rešil le 2,14 računa.


Tabela 18: Dosežki učencev skupine 2 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke na začetnem testiranju

Legenda: S2 … skupina 2 Z … začetno testiranje 1t … ena točka 2t … dve točki 3t … tri točke Dt … dosežene točke min … najnižji dosežek max ... najvišji dosežek max=24, max=16, max=40 … možno število točk N … število učencev f1%, f2%, fD% … število doseženih točk v % Iz tabele 18 je razvidno, da so učenci skupine 2 so na začetnem testiranju pravilno rešili le 4

račune točkovane z 2 točkama, kar znaša komaj 1,79 %. Učenci so na začetnem testiranju rešili

132 računov, ovrednotenih z 1 točko, kar znaša 39,29-odsotni uspeh. Glede na število skupno

doseženih točk so učenci skupine 2 na začetnem testiranju dosegli 136 točk oziroma 24,29 %

uspeh.

skupine 1t

max=24 f1% min max

2t


Dt

max

=40

f%D min max

S2 Z 132 39,29 5 16 4 1,79 0 2 14 136 24,29 5 16


99

6.3 PRIMERJAVA ZAČETNIH REZULTATOV PRI TESTIH UČENCEV SKUPINE 1, SKUPINE 2 IN SKUPINE 3

Preverili smo, ali se dosežki učencev posamezne skupine (skupina 1, skupina 2 in skupina 3)

na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in

postopkov glede na začetno testiranje pri računih, vrednotenih z 1, 2 in s 3 točkami statistično

pomembno razlikujejo med seboj. Preverili smo tudi, ali se dosežki učencev skupine 1 in

skupine 2 na Testu za avtomatizacijo poštevanke na začetnem testiranju pomembno razlikujejo.

Tabela 19: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na začetno testiranje

Legenda: Z … začetno testiranje N … število učencev M …aritmetična sredina SD … standardna deviacija D … doseženo število točk F … Sig. … t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost Preverili smo statistično pomembnost razlik med aritmetičnima sredinama dosežkov skupine 1

in skupine 2 glede na začetne rezultate.

Levenov test homogenosti variance v tabeli 19 kaže, da se variance vzorcev glede na začetno

testiranje statistično pomembno ne razlikujejo pri vseh spremenljivkah, zato smo uporabili

obliko t-testa za privzeti enaki varianci. Med skupino 1 in skupino 2 ne obstajajo statistično

pomembne razlike glede na začetno testiranje pri vseh spremenljivkah.

Z

točke

SKUPINA 1

SKUPINA 2 N M SD

Levenov test

homogenosti varianc t Sig. (2-tailed)

F Sig.

1 1 16

12,31 3,68 ,196 0,661 ,869 ,392 2 14

11,14 3,67

2 1 16

6,38 3,69 2,968 ,096 1,234 ,228 2 14

5 2,08

3 1 16

1,8 1,47 2,954 ,097 -,703 ,488 2 14

2,14 1,03

D 1 16

30,13 8,97 0,000 ,999 ,766 ,450 2 14 27,57 9,27


100

Aritmetična sredina dosežkov skupine 1 znaša 30,13, skupina 2 pa je skupno dosegla povprečno

27,57 točk. Razlika med aritmetičnima sredinama dosežkov skupin 1 in 2 glede na začetno

testiranje ni statistično pomembna pri tveganju, ki je manjše od 0,05 %.

Tabela 20: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 in skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na začetno testiranje

Legenda: Z … začetno testiranje N … število učencev M …aritmetična sredina SD … standardna deviacija D … doseženo število točk F … Sig. … t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost

Iz tabele 20 je razvidno, da učenci brez učnih težav pri aritmetiki hitreje in fleksibilneje

uporabljajo aritmetično znanja. Aritmetična sredina dosežkov učencev skupine 1 znaša 30,13,

skupine 3 pa 48,13 točk.

Levenov test homogenosti variance v tabeli kaže, da se varianci vzorcev glede na začetno

testiranje statistično pomembno ne razlikujeta, zato smo uporabili obliko t-testa za privzeti

enaki varianci. Iz tabele 20 je razvidno, da se skupini na začetnem testu statistično pomembno

razlikujeta med seboj po vseh spremenljivkah (računi, ovrednoteni z 1 točko, z 2, s 3 in skupno

doseženo število točk). Razlike med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 in skupine 3

so statistično pomembne že pri tveganju, ki je manjše od 0,05 %. To pomeni, da so učenci iz

skupine 3 na začetnem testiranju na testu za oceno avtomatizacije aritmetičnih dejstev in

postopkov dosegli statistično pomembno boljše rezultate od učencev skupine 1.

Z

točke

SKUPINA 1

SKUPINA 3 N M SD

Levenov test

homogenosti variance t Sig. (2-tailed)

F Sig.

1 1 16

12,31 3,68 ,216 ,097 -7,457 ,000 3 209

18,46 3,14

2 1 16

6,38 3,68 2,767 ,098 -3,359 ,001 3 209

8,60 2,46

3 1 16 1,81 1,47

,601 ,439 -5,822 ,000 3 209 4,12 1,53

D 1 16 30,13 8,97

,662 ,417 -6,145 ,000 3

209 48,13 11,45


101

Učenci, ki nimajo učnih težav pri matematiki, imajo bolje avtomatizirana aritmetična dejstva in

postopke kot učenci z učnimi težavami pri matematiki, kar navajata tudi Geary (1994) in M.

Kavkler (1997).

Tabela 21: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 2 in skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na začetne rezultate

Legenda: Z … začetno testiranje N … število učencev M …aritmetična sredina SD … standardna deviacija D … doseženo število točk F … Sig. … t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost Tabela 21 kaže, da je aritmetična sredina dosežkov učencev iz skupine 2 glede na skupno

doseženo število točk 27,57, skupine 3 pa 48,13 točk.

Variance vzorcev se statistično pomembno ne razlikujejo pri posameznih spremenljivkah, zato

smo uporabili obliko t-testa za privzeti enaki varianci.

Razlika med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupin 2 in 3 glede na začetno testiranje je

statistično pomembna pri vseh spremenljivkah. Učenci iz skupine 3 so na testu za oceno

avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov dosegli statistično pomembno boljše rezultate

od učencev skupine 2 pri vseh spremenljivkah.

Geary (2004) navaja, da je razlika med učenci, ki nimjo učnih težav pri matematiki in učenci z

učnimi težavami pri matematiki ta, da prvi pri računanju uporabljajo različne strategije, učenci

Točke

Z

SKUPINA 2

SKUPINA 3 N M SD

Levenov test


F Sig.

1 2 14 11,14 3,68

1,196 ,275 -8,353 ,000 3 209 18,46 3,14

2 2 14 5,0 2,08

2,497 ,115 -5,360 ,000 3 209 8,60 2,46

3 2 14 2,14 1,03

,495 ,482 -4,752 ,000 3 209 4,12 1,53

D 2 14 27,57 9,27

,581 ,447 -6,573 ,000 3 209 48,13 11,45


102

z učnimi težavami pa običajno uporabljajo strategije, ki so manj razvite. Obenem ves čas

uporabljajo enake strategije.

Tabela 22: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 in skupine 2 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke na začetnem testiranju

Legenda: N … število učencev Z … začetno testiranje M … aritmetična sredina SD … standardna deviacija F … t … koeficient Sig. (2-tailed) …

V tabeli 22 smo prikazali preverjanje statistične pomembnosti razlik med aritmetičnimi

sredinami dosežkov obeh testiranih skupin glede dosežkov na začetnem testiranju na Testu za

ocenjevanje avtomatizacije poštevanke.

Levenov test homogenosti variance kaže, da se variance vzorcev glede na začetno testiranje

statistično ne razlikujejo pomembno pri vseh treh spremenljivkah, zato smo uporabili obliko t-

testa za privzeti enaki varianci.

Aritmetična sredina dosežkov učencev skupine 1 znaša 10,63, skupine 2 pa 9,71 točk. Razlika

med aritmetičnimi sredinami med dosežki skupine 1 in skupine 2 na začetnem testiranju ni

statistično pomembna pri vseh treh spremenljivkah (računi, ovrednoteni z 1 točko, z 2 točkama

in doseženo število točk).

Na podlagi dosežkov učencev skupine 2 na začetnem testiranju povzemamo, da je velik delež

učencev pri uporabi različnih strategij štetja prešteval napačno in sicer pri preštevanju

predmetov in pri štetju v zaporedju. Na Testu za ugotavljanje in spremljanje strategij štetja

Z točke SKUPINA 1

SKUPINA 2 N M SD

Leveneov test

homogenosti variance t Sig.

F Sig.

1 1 16 10,125 5,644

3,928 ,057 0,395 0,696 2 14 9,428 3,631

2 1 16 0,50 0,894

2,178 ,151 0,714 0,481 2 14 ,286 0,726

D 1 16 10,625 5,998

3,943 ,057 0,498 0,622 2 14 9,714 3,496


103

učencev so učenci skupine 2 pri računanju števne in transformacijske stratregije uporabljali v

podobnem deležu, delež napak pri seštevanju v številskem obsegu do 20 pa je bil 20 %. Pri

odštevanju v enakem obsegu je bil delež napak 27 %, pri seštevanju v obsegu do 100 je bil pa

kar 58,70 % neuspeh pri računanju. Pri odštevanju v enakem obsegu je bil delež napak 50 %.

Na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in

postopkov so učenci skupine 2 v povprečju dosegli 28 točk od 117, kar znaša 23,93 %

uspešnost. Najbolj uspešno so reševali račune, vrednotene z eno točko, sledili pa so računi za

dve točki. Pri računih za tri točke pa so rešili v povprečju samo 2 računa.

Na testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke so učenci skupine dva bili pri računih,

ovrednotenih z eno točko, uspešni v 39, 29 %, pri računih za dve točki (večji faktorji) pa so

skupaj rešili samo 4 račune, kar pomeni, da učenci skupine 2 niso imeli avtomatizirane

poštevanke.

Pri primerjavi dosežkov posameznih skupin učencev na Desetminutnem aritmetičnem testu za

ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstve in postopkov ugotavljamo, da se na začetnem

testiranju niso pokazale statistično pomembne razlike v dosežkih učencev skupine 1 in skupine

2 pri vseh spremenljivkah (računi, vrednoteni z 1, 2, s 3 točkami in pri doseženem številu točk).

Pri primerjavi dosežkov učencev skupine 1 in skupine 3 pa so se pokazale statistično pomembne

razlike pri računih, vrednotenih z eno, dvema, s tremi točkami in pri doseženem številu točk.

Prav tako so se pokazale statistično pomembne razlike med dosežki skupine 2 in skupine 3 na

začetnem testiranju pri vseh spremenljivkah (računi, vrednoteni z 1, 2, s 3 točkami, in pri

doseženem številu točk).

Pri primerjavi dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2 na Testu za avtomatizacijo poštevanke

smo ugotovili, da med dosežki skupin ni bilo statistično pomembnih razlik pri vseh

spremenljivkah testa (računi, vrednoteni z 1, 2, s 3 točkami in pri doseženem številu točk).


104

6.4 PRIMERJAVA ZAČETNIH IN KONČNIH DOSEŽKOV TER KONČNI DOSEŽKI UČENCEV SKUPINE 1, SKUPINE 2 IN SKUPINE 3


Tabela 23: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 20

TE

ST


Reš

eni r

ačun

i

Ner

ešen

i raču

ni

Šte

vilo

vse

h raču

nov Š T Š T


tega priklic


tega priklic

v %

Z1 45 46,88 51 53,13 46 47,92 3 6,67 10 19,61 9 9,38 96 0 96

K1 4 4,17 92 95,83 92 95,83 0 0 3 3,26 3 3,13 96 0 96

Z2 44 52,38 40 47,62 40 47,62 13 29,55 4 10,00 4 4,76 84 0 84

K2 23 27,38 61 72,62 60 71,43 2 8,70 3 4,92 3 3,57 84 0 84

Legenda: Z1 - začetni test, skupina 1 K1 - končni test, skupina 1 Z2 - začetni test, skupina 2 K2 - končni test, skupina 2 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov Iz tabele 23 lahko razberemo, katere strategije računanja so izbrali učenci skupine 1 in skupine

2 na začetnem in končnem testiranju.

Pri končnem testiranju je skupina 1 pravilno rešila 94 računov od 96, kar predstavlja 97,92-

odstotno pravilnost. Vidimo, da so učenci večkrat uporabili strategije transformacije (T) kot

štetja (Š), kar v 95,83 odstotkih pa so izbrali priklic aritmetičnega dejstva iz dolgotrajnega

spomina, od tega sta bila napačno rešena le 2 računa. V štirih primerih so bile uporabljene

strategije štetja (Š) in vsi štirje primeri so bili rešeni pravilno.

Skupina 2 je prav tako v začetnem in končnem testiranju rešila vse primere (84).

Končno testiranje pri skupini 2 je pokazalo povečanje števila pravilno rešenih računov. Od 84

računov je bilo pravilnih 79 oziroma 94,05 odstotkov. Večkrat so bile izbrane strategije

transformacije (T) kot štetja (Š). Vsi učenci, ki so uporabili strategije transformacije (T), razen

enega, so uporabili priklic aritmetičnih dejstev (71,43 odstotkov). Strategije štetja (Š) so učenci

izbrali pri 23 računih, 2 sta bila rešena napačno, strategije transformacije (T) pa pri 61 računih,

od tega so bili 3 računi rešeni napačno.


105

Skupina 1 in skupina 2 sta na končnem testiranju rešili vse primere. Pri pravilno rešenih računih

pa je bila skupina 1 boljša od skupine 2 za 3,87 odstotkov.

Tabela 24: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 20

TE

ST


Reš

eni r

ačun

i

Ner

ešen

i raču

ni

Šte

vilo

vse

h raču

nov Š T Š T


tega priklic


tega priklic

v %

Z1 41 42,71 54 56,25 51 53,13 18 43,90 6 11,11 6 11,76 95 1 96

K1 3 3,13 93 96,88 93 96,88 0 0,00 2 2,15 1 1,08 96 0 96

Z2 49 58,33 35 41,67 33 39,29 16 32,65 7 20,00 7 21,21 84 0 84

K2 29 34,52 55 65,48 54 64,29 6 20,69 3 5,45 3 5,56 84 0 84

Legenda: Z1 - začetni test, skupina 1 K1 - končni test, skupina 1 Z2 - začetni test, skupina 2 K2 - končni test, skupina 2 Š - strategije štetja T - strategije transformacije Št. r. - število računov

Skupina 1 je na začetnem testiranju rešila 96 računov.

Na končnem testiranju so učenci skupine 1 rešili vse račune, pravilnost je bila 97,92-odstotna.

2 računa transformacije (T) sta bila napačno rešena, od skupno 93 primerov. V vseh primerih

(96,88 odstotkih) je bil uporabljen priklic aritmetičnega dejstva iz spomina. Strategije štetje (Š)

so bile uporabljene 3-krat (3,13 odstotkov) in pri vseh treh primerih pravilno.

Na končnem testiranju so učenci skupine 2 pravilno rešili 75 primerov oziroma 89,29

odstotkov. Strategije štetja (Š) so bile uporabljene pri 29 računih, od tega 23-krat pravilno.

Strategije transformacije (T) so bile uporabljene 55-krat (v 65,48 odstotkih), od tega pri 52

računih pravilno. 64,29 odstotkov računov je bilo izračunanih s priklicem.

Če primerjamo skupino 1 in skupino 2, ugotovimo, da sta obe rešili vse primere na končnem

testiranju, vendar je bila skupina 1 pri pravilno rešenih primerih boljša od skupine 2 in to za

8,63 odstotkov.


106

Tabela 25: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih seštevanja v številskem obsegu do 100

TEST


Rešeni računi

Nerešeni računi


Š T Š T


Z1 21 26,25 32 40,00 12 57,14 18 56,25 53 27 80

K1 0 0 78 97,50 0 0 8 10,26 78 2 80

Z2 24 34,29 22 31,43 17 70,83 10 45,45 46 24 70

K2 21 30,00 38 54,29 15 71,43 10 26,32 59 11 70


Skupina 1 je v začetnem testiranju od skupno 80 računov rešila 53. Pravilnost je bila 28,75-

odstotna, reševanja kar 27 računov se učenci sploh niso lotili.

Na končnem testiranju je skupina 1 rešila 79 računov, od tega je bilo pravilno rešenih 71, kar

predstavlja 88,75-odstotno pravilnost. Strategij štetja (Š) niso uporabili, strategije

transformacije (T) pa so bile uporabljene 8-krat napačno, od skupno 79 rešenih računov.

Skupina 2 je pri začetnem testiranju rešila 46 računov od 70. Pravilno je bilo rešenih 19 računov

oziroma 27,14 odstotkov.

Na končnem testiranju je bilo rešenih 59 računov, od tega 34 računov oziroma 48,57 odstotkov

pravilno. Strategije štetja (Š) so bile uporabljene pri 21 računih, od tega kar pri 15 računih

napačno. Strategije transformacije (T) so bile izbrane za reševanje pri 38 računih, pri 10 računih

napačno.

Pri primerjavi obeh skupin glede pravilnosti reševanja računov seštevanja v številskem obsegu

do 100 ugotavljamo, da je bila skupina 1 za 14,46 odstotkov boljša od skupine 2. Prav tako je

bila skupina 1 boljša v primerjavi s skupino 2 glede pravilno rešenih računov na končnem

testiranju in to za 40,18 odstotkov.


107

Tabela 26: Izbor računskih strategij na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev skupine 1 in 2 na začetnem in končnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 100

TEST


Rešeni računi

Nerešeni računi


Š T Š T


Z1 20 25,00 26 32,50 7 35,00 18 69,23 46 34 80

K1 5 6,25 69 86,25 1 20,00 14 20,29 74 6 80

Z2 17 24,29 25 35,71 13 76,47 7 28,00 42 28 70

K2 29 41,43 26 37,14 17 58,62 11 42,31 55 15 70


Tabela 26 prikazuje rezultate testiranj skupin 1 in skupine 2 pri reševanju računov odštevanja s

števili do 100.

Skupina 1 je na začetnem testiranju rešila 46 računov od skupno 80, to predstavlja le 57,50

odstotkov računov.

Na končnem testiranju je skupina 1 rešila kar 74 računov od 80, od tega 59 računov pravilno,

kar predstavlja 73,75-odstotno pravilnost. Strategije transformacije (T) so bile uporabljene pri

69 računih, od tega pri 55 pravilno, strategije štetja (Š) pa le pri 5 računih, en primer je bil rešen

napačno.

Skupina 2 je na začetnem testiranju rešila 42 računov od 70. Pravilno je bilo rešenih 22 računov

oziroma 31,43 odstotkov vseh računov.

Rezultati končnega testiranja kažejo, da je skupina 2 rešila 55 računov od 70. Pravilnost je bila

38,57-odstotna. Strategije štetja (Š) so bile uporabljene pri 29 računih, od tega 12-krat pravilno.

Strategije transformacije (T) so bile uporabljene pri 26 računih, od tega pri 15 računih pravilno.

Če primerjamo obe skupini, vidimo, da je skupina 1 zelo izboljšala svoje rezultate na končnem

testiranju glede na začetno. Pri vseh rešenih računih je skupina 1 za 13,93 odstotkov boljša od

skupine 2, pri pravilno rešenih računih je pa skupina 1 za kar 35,18 odstotkov boljša od skupine

2.


108

M. Kavkler (1996) poudarja, da je za učence z učnimi težavami pri matematiki značilna uporaba

razvojno manj zrelih strategij štetja (npr. preštevanje vsega). Te strategije od učenca zahtevajo

veliko časa, pri tem je zasedenega veliko delovnega spomina, pogoste pa so tudi napake.

Asociacija med računom in ustreznim rezultatom se pri uporabi teh strategij vzpostavi

počasneje, kar predstavlja oviro pri prehodu na priklic aritmetičnega dejstva. A. Dowker (2004)

kot eno izmed najbolj pogostih težav pri učencih z aritmetičnimi težavami navaja zapomnitev

aritmetičnih dejstev. Študije otrok z učnimi težavami pri matematiki so pokazale, da so ti učenci

manj uspešni pri priklicu aritmetičnih dejstev iz dolgotrajnega spomina kot pri drugih

aritmetičnih sposobnostih. Pogosto se zanašajo na števne strategije tudi v letih, ko njihovi

vrstniki že uporabljajo priklic dejstev (Russell and Ginsburg, 1984; Siegler, 1988; Geary and

Brown, 1991; Ostad, 1997, 1998; Cumming in Elkins, 1999; Fei, 2000, v Dowker, 2005).

Podobno smo ugotovili v naši raziskavi pri učencih skupine 1 in skupine 2. Ugotovili smo, da

so učenci obeh skupin na začetnem testiranju pri računih seštevanja in odštevanja v obsegu do

20 v veliki meri uporabljali števne strategije, pri tem pa so delali napake. Na končnem testiranju

smo ugotovili znatno povečanje uporabe transformacijskih strategij pri obeh skupinah učencev,

je pa bil del transformacijskih strategij pri učencih skupine 1 višji. Učenci skupine 2 so tudi

napredovali s števnih k transformacijskim strategijam, vendar v manjšem obsegu. Pri učencih

skupine 2 se je pri računanju pojavilo tudi več napak na končnem testiranju. Tudi pri seštevanju

in odštevanju v obsegu do 100 je skupina 1 v večji meri na končnem testiranju uporabljala

transformacijske strategije in zmanjšala število napak pri računanju kot skupina 2. Skupina 2

pa je na končnem testiranju v primerjavi z začetnim (pri seštevanju in odštevanju v obsegu do

100) še vedno uporabljala števne strategije v enaki meri, podoben pa je ostal tudi delež napak

pri računanju. Rezultati nam kažejo, da je skupina 1 v primerjavi s skupino 2 napredovala v

večji meri, skupina 2 pa je napredovala s števnih k transformacijskim strategijam le pri

računanju v manjšem obsegu, ne pa tudi pri računanju v obsegu do 100, kar pomeni, da je

potrebno tudi učencem skupine 2 nuditi ustrezno pomoč, da bodo usvojili aritmetične postopke

in dejstva in tako napredovali na področju matematike.


109

Desetminutni aritmetični test za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov v algoritmu (Kavkler idr., 1996)

Tabela 27: Prikaz dosežkov učencev skupin 1, 2 in 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov na začetnem in končnem testiranju

Legenda: S1 … učenci skupine 1 S2 … učenci skupine 2 S3 …učenci skupine 3 Z … začetno testiranje K … končno testiranje 1t … 1 točka 2t … 2 točki 3t … 3 točke Št. r. … število računov f % … frekvenca v odstotkih DT … doseženo število točk min … minimalno število točk max … maksimalno število točk

Skupine 1t

Št. r.=26 f1%

min

št.

točk

max

št.

točk

2t

Št.r.=

17

f2%

min

št.

točk

max

št.

točk

3t

Št.r.=

19

f3%

min

št.

točk

max

št.

točk

N

DT

max

117

f%D

min

št.

točk

max

št.

točk

S1 Z 207 49,76 1 15 102 37,5 1 16 29 9,54 0 4

16 482 25,75 12 44

K 380 91,35 20 26 231 84,93 7 17 143 47,04 5 16 1277 68,22 58 104

S2 Z 156 42,86 4 16 70 29,41 0 8 30 11,28 0 4

14 386 23,57 7 41

K 286 78,57 11 26 150 63,03 2 17 78 29,32 0 11 814 49,69 15 86

S3 Z 3859 71,02 9 25 1798 50,61 3 16 861 21,68 0 12

209 10059 41,14 19 92

K 4997 91,96 14 26 3087 86,88 8 18 2445 61,57 3 19 18480 75,57 41 117


110

Iz tabele 27 je razvidno, da so učenci iz skupine 1 na začetnem testiranju skupaj dosegli 482

točk, kar pomeni 26-odstotni uspeh, po ponovnem testiranju pa 1277 točk in s tem 68-odstotni

uspeh. Učenci iz skupine 2 so na začetnem testiranju dosegli 386 točk in dosegli 24-odstotni

uspeh. Na končnem testiranju so dosegli 814 točk, kar pomeni 50-odstotni uspeh. Učenci iz

skupine 3 pa so na začetnem testiranju dosegli 10059 točk, kar pomeni 41-odstotni uspeh in na

končnem testiranju 18480 točk ter dosegli 76-odstotni uspeh.

Tabela 28: Prikaz aritmetičnih sredin dosežkov učencev skupin 1, 2 in 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju

Točke 1 2 3 D


Skupina 1 Z 12,31 2,18 6,38 3,69 1,81 1,47 30,12 8,97

K 23,75 1,73 14,44 2,78 8,94 2,74 79,81 12,50

Skupina 2 Z 11,14 3,68 5 2,08 2,14 1,03 27,57 9,27

K 20,43 3,67 10,71 4,41 5,57 2,59 58,14 18,01

Skupina 3 Z 18,46 3,14 8,60 2,46 4,12 1,53 48,13 11,45

K 23,91 2,52 14,77 10,97 11,70 4,64 88,42 19,77

Legenda: Z … začetno testiranje K … končno testiranje M …aritmetična sredina SD … standardna deviacija D… doseženo število točk

Iz tabele 28 je razvidno, da so učenci vseh treh skupin tako na začetnem kot na končnem

testiranju dosegli večje število točk pri računih, ki so bili ovrednoteni z 1 in 2 točkama, manj

točk pa so dosegli pri računih, ki so bili ovrednoten s 3 točkami. Učencem je ostalo premalo

časa za reševanje sestavljenih računov, ki so ovrednoteni s 3 točkami, saj so bili pri delu počasni

in jim je zmanjkalo časa za reševanje oziroma teh računov niso znali rešiti.

Iz tabele 28 lahko razberemo tudi, da je od možnih 117 točk skupina 1 dosegla povprečno 30

točk na začetnem testiranju in kar 80 točk po izvedeni pomoči. Skupina 2 je na začetnem

testiranju dosegla v povprečju 28 in na končnem testiranju 58 točk. Skupina 3 pa je od možnih

117 točk dosegla v povprečju 48 točk in po končanem testiranju 88 točk. Največji razkorak med

doseženimi točkami pred in po izvedbi programa se kaže pri učencih skupine 1. Po mnenju

Gearyja (1994) potrebujejo otroci s težavami pri matematiki več časa, da rešijo aritmetične


111

probleme kot njihovi vrstniki. Vse osnovne računske procese izvršujejo počasneje. M. Kavkler

(2002) se z njim strinja tudi v tem, da otroci s skromnejšim aritmetičnim znanjem pri reševanju

aritmetičnih nalog uporabljajo manj razvite aritmetične strategije (npr. preštevanje vsega), ki

poleg več časa terjajo tudi več napak. Pri primerjavi pri matematiki uspešnih otrok in otrok z

učnimi težavami pri aritmetiki smo ugotovili, da imajo slednji slabše avtomatizirana aritmetična

dejstva in postopke. Zato je potrebno nameniti več časa avtomatizaciji aritmetičnih dejstev in

postopkov, da bodo otroci na trdnih temeljih uspešneje napredovali v šoli in tako delovali tudi

v vsakdanjem življenju. Hkrati je potrebno učencem, ki aritmetičnih znanj nimajo

avtomatiziranih, pri izvajanju aritmetičnih nalog omogočiti več časa za reševanje. Pri

matematiki se znanje nadgrajuje, zato je nujno sprotno odpravljanje težav.

Učenci vseh treh skupin so najuspešneje reševali račune z vrednostjo 1 točke. Glede na začetno

testiranje ima skupina 1 pri računih, ovrednotenih z 1 točko 49,76-odstotni uspeh – povprečno

število pravilno rešenih računov je 12,31. Skupina 2 je dosegla 42,86-odstotni uspeh, kar znese

v povprečju 11,14 pravilno rešenih računov. Skupina 3 pa je dosegla 71-odstotni uspeh, kar

predstavlja v povprečju 18,46 pravilno rešenih računov. Na končnem testiranju pa je skupina 1

dosegla 91,35-odstotni uspeh pri računih za 1 točko – povprečno število pravilno rešenih

računov je bilo 23,75. Skupina 2 je dosegla 78,57-odstotni uspeh, kar znaša v povprečju 20,43

pravilno rešenih računov. Skupina 3 pa je dosegla skoraj 92-odstotni uspeh, kar predstavlja v

povprečju 23,91 pravilno rešenih računov. Ti računi so lažji, brez prehoda čez desetice in so

bili napisani v začetnem delu testa.

Uspešnost testiranih skupin se je nekoliko znižala pri reševanju računov v vrednosti 2 točk. Na

začetnem testiranju je skupina 1 dosegla 37,5-odstotni uspeh s povprečnim številom 6,38

pravilnih odgovorov, skupina 2 29,41-odstotni uspeh s povprečno petimi pravilnimi odgovori,

skupina 3 pa 50,61-odstotni uspeh s povprečno 8,6 pravilnih odgovorov. Glede na končno

testiranje je skupina 1 dosegla 84,93-odstotni uspeh s povprečnim številom 14,44 pravilnih

odgovorov, skupina 2 63,03-odstotni uspeh s povprečno 10,71 pravilnih odgovorov, skupina 3

pa 86,88-odstotni uspeh s povprečno 14,77 pravilnih odgovorov.

Vse tri skupine učencev so bile najmanj uspešne pri reševanju računov za 3 točke, hkrati pa je

tu prišlo tudi do največjih razlik v odstopanju pravilnega reševanja. Na začetnem testiranju so

učenci skupine 1 skupaj pravilno rešili 9,54 % računov, učenci skupine 2 so skupaj pravilno

rešili 11,28 % računov, učenci skupine 3 pa 21,68 % računov. V povprečju so posamezniki


112

skupine 1 od 19 računov pravilno rešili 1,81 računa, posamezniki iz skupine 2 so v povprečju

pravilno rešili 2,14 računa in iz skupine 3 v povprečju 4,12 računov. Na končnem testiranju je

skupina 1 pravilno rešila 47,04 % računov, skupina 2 je pravilno rešila 29,32 % računov,

skupina 3 pa je pravilno rešila 61,57 % računov. V povprečju so posamezniki skupine 1 od 19

računov pravilno rešili 8,94 računov, iz skupine 2 so pravilno rešili 5,57 računov, učenci iz

skupine 3 pa 11,7 računov.

Preverili smo statistično pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev

skupine 1 glede na število točk na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje

avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na začetno in končno testiranje.

Tabela 29: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju

Skupina 1

N=16

čas testiranje

začetno/končno M SD

t-test

t Sig. (2-tailed)

1 točka

Z 12,94 2,18 -16,236 ,000

K 23,75 1,73

2 točki Z

6,38 3,69 -6,825 ,000

K 14,44 2,78

3 točke Z

1,81 1,47 -10,172 ,000

K 8,94 2,74

doseženo št. točk Z

30,13 8,97 -15,434 ,000

K 79,81 12,50

Legenda: Z … začetno testiranje K … končno testiranje N … število učencev M …aritmetična sredina SD … standardna deviacija t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost

Glede na doseženo število točk na začetnem testiranju je skupina 1 dosegla povprečno 30,13

točk, na končnem pa 79,81 točk. Napredek skupine 1 v doseženem številu točk je očiten. Iz

tabele 12 lahko razberemo, da so razlike v dosežkih glede na začetno in končno testiranje pri


113

vseh računih, ovrednotenih s točkami ena, dve in tri ter skupno doseženimi točkami pri

desetminutnem testu statistično pomembne.

Preverili smo tudi statistično pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov

učencev z učnimi težavami pri aritmetiki, ki niso bili deležni pomoči po našem programu

(skupina 2) glede na začetno in končno testiranje.


Skupina 2

N=14

čas testiranje


t-test

t Sig. (2-tailed)

1 točka Z 11,14 3,68

-12,729 ,000 K 20,43 3,67

2 točka Z 5 2,08

-5,064 ,000 K 10,71 4,41

3 točka Z 2,14 1,03

-5,096 ,000 K 5,57 2,59

doseženo št. točk Z 27,57 9,27

-7,285 ,000 K

58,14 18,01

Legenda: Z … začetno testiranje K … končno testiranje N … število učencev M …aritmetična sredina SD … standardna deviacija t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost

Iz tabele 30 lahko razberemo, da so razlike med dosežki skupine 2 pri računih, ovrednotenih s

točkami ena, dve in tri ter skupno doseženimi točkami glede na začetno in končno testiranje z

Desetminutnim aritmetičnim testom za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in

postopkov, statistično pomembne. Učenci so pomembno napredovali v avtomatizaciji

aritmetičnih dejstev in postopkov ob formalnem učenju matematike, izvajanju dobre

poučevalne prakse učitelja, dopolnilnem pouku ter pomoči v okviru podaljšanega bivanja.

Preverili smo statistično pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev

brez učnih težav pri aritmetiki glede na začetno in končno testiranje.


114


Skupina 3

N=209

čas testiranje


t-test

t Sig. (2-tailed)

1 točka Z

18,46 3,14 -19,196 ,000 K

23,91 2,52

2 točki Z

8,60 2,46 -8,829 ,000 K

15,50 10,97

3 točke

Z 4,12 1,53 -21,794

,000 K 11,70 4,63

doseženo št. točk Z

48,13 11,45 -24,674 ,000 K 88,42 19,77

Legenda: Z … začetno testiranje K … končno testiranje M …aritmetična sredina SD … standardna deviacija N … število učencev Na začetnem testiranju so tudi učenci brez učnih težav pri aritmetiki pri vseh spremenljivkah

dosegli bistveno nižje rezultate kot na končnem testiranju. Povprečje doseženih točk na

začetnem testiranju je znašalo 48,13, na končnem pa 88,42 točk. Iz tabele 14 lahko vidimo, da

obstajajo med dosežki učencev na začetnem in končnem testiranju statistično pomembne

razlike pri vseh štirih spremenljivkah (računi, ovrednoteni z 1, 2 in 3 točkami in doseženo

število točk).

Učenci so v času od začetnega testiranja do končnega testiranja v tretjem razredu pri pouku

matematike usvajali naslednja znanja: seštevanje in odštevanje v množici naravnih števil do

100; pisno seštevanje in odštevanje naravnih števil do 1000; avtomatizacija zmnožkov v obsegu

10 x 10 (poštevanka); avtomatizacija količnikov, ki so vezani na poštevanko; uporaba računskih

zakonov pri seštevanju in množenju; ocenitev in izračun vrednosti številskega izraza z

upoštevanjem vrstnega reda računskih operacij ipd. Zato ugotavljamo, da so učenci ob

formalnem izobraževanju napredovali, kar lahko sklepamo iz dosežkov učencev skupine 3 na

končnem testiranju, pa tudi učencev skupine 1 in skupine 2.


115

Na osnovi dobljenih rezultatov na začetnem in končnem testiranju z Desetminutnim

aritmetičnim testom za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov pri

učencih skupine 1, skupine 2 in skupine 3 lahko povzamemo, da bi bili lahko dosežki učencev

pri računih tega testa, vrednotenih s tremi točkami, dober napovedovalec uspešnosti oziroma

učnih težav na področju aritmetičnega znanja. Učenci z učnimi težavami pri aritmetiki (učenci

skupine 1 in skupine 2) so imeli težave pri računih z več računskimi operacijami, zaradi

slabšega obvladovanja aritmetičnih znanj, saj so bili pri računanju počasnejši in manj fleksibilni

v primerjavi z njihovimi vrstniki brez učnih težav pri aritmetiki (skupina 3). Rezultati iz tabele

30 kažejo, da lahko z Desetminutnim aritmetičnim testom za ugotavljanje avtomatizacije

aritmetičnih dejstev in postopkov uspešno diagnosticiramo učence, ki imajo učne težave na

področju aritmetike in jim zagotovimo pravočasno in učinkovito pomoč. Ugotavljamo, da

učenci, ki so rešili manj računov, ovrednotenih z eno in dvema točkama, niso imeli dovolj

avtomatiziranih najosnovnejših aritmetičnih dejstev. Ugotavljamo tudi, da je potrebno

učencem, ki niso bili uspešno pri računih, ovrednotenih s tremi točkami, nuditi pomoč pri

avtomatizaciji aritmetičnih postopkov.


116

V nadaljevanju smo preverili, ali se dosežki učencev posameznih skupin glede na račune,

vrednotene z eno, dvema in s tremi točkami, značilno razlikujejo med učenci z učnimi težavami

pri aritmetiki (skupina 1 in skupina 2) in učenci brez učnih težav pri aritmetiki (skupina 3).

Tabela 32: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 in skupine 2 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na končnem testiranju

Legenda: K … končno testiranje N … število učencev M …aritmetična sredina SD … standardna deviacija D … doseženo število točk F … vrednost koeficienta Sig. … statistična pomembnost t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost Levenov test homogenosti variance v tabeli 16 kaže, da se varianci vzorcev glede na končno

testiranje statistično pomembno razlikujeta pri spremenljivki točka 2, zato smo uporabili obliko

t-testa za privzeti različni varianci. Pri ostalih treh spremenljivkah smo uporabili obliko t-testa

za privzeti enaki varianci.

Iz zgornje tabele 32 je razvidno, da se skupini statistično pomembno razlikujeta v dosežkih pri

vseh spremenljivkah (računi ovrednoteni s točko 1, točko 2, točko 3 in skupno doseženo število

točk).

Aritmetična sredina dosežkov učencev skupine 1 znaša 79,81 točk, skupina 2 pa je skupno

dosegla povprečno 58,14 točk. Razlika med aritmetičnima sredinama dosežkov skupin 1 in 2 je

statistično pomembna že pri tveganju, ki je manjše od 0,05 %. To pomeni, da so učenci skupine

K

točke

SKUPINA 1

SKUPINA 2 N M SD

Levenov test homogenosti

varianc t Sig. (2-tailed)

F Sig.

1 1 16

23,75 1,73 2,950 ,097 3,235 ,003 2 14

20,43 3,67

2 1 16

14,44 2,78 5,427 ,027 2,721 ,013 2 14

10,71 4,41

3 1 16

8,94 2,74 ,114 ,738 3,438 ,002 2 14

5,57 2,59

D 1 16

79,81 12,50 ,388 ,539 3,868 ,001 2

14 58,14 18,01


117

1 na testu za oceno avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov dosegli statistično

pomembno boljše rezultate od učencev skupine 2.

Učenci skupine 2 so imeli manj avtomatizirana aritmetična dejstva in postopke, zato so rešili

manj računov kot učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so bili deležni skupinske pomoči

(skupina 1). Torej so imeli učenci skupine 1 bolje avtomatizirana dejstva in postopke ter so bili

hitrejši v reševanju aritmetičnih problemov od učencev skupine 2.

Tabela 33: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 1 in skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na končnem testiranju

Legenda: K … končno testiranje N … število učencev M …aritmetična sredina SD … standardna deviacija D … doseženo število točk F … vrednost koeficienta Sig. … statistična pomembnost t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost Rezultati končnega testiranja ne razkrivajo več statistično pomembnih razlik med aritmetičnimi

sredinami dosežkov učencev skupine 1 in skupine 3 pri računih, vrednotenih z 1 in 2 točkama.

Iz tabele 33 lahko razberemo, da aritmetična sredina dosežkov učencev skupine 1 glede na

skupno doseženo število točk znaša 79,81, skupine 3 pa 88,42 točk. Razlika med aritmetičnima

sredinama skupin 1 in 3 je statistično pomembna že pri tveganju, ki je manjše od 0,05 % pri

spremenljivkah »točka 3« in »skupno doseženo število točk«. To pomeni, da so učenci iz

K

točke

SKUPINA 1

SKUPINA 3 N M SD


variance t Sig. (2-tailed)

F Sig.

1 1 16 23,75 1,73

1,068 ,302 -,248 ,804 3 209 23,91 2,52

2 1 16 14,44 2,78

,005 ,945 -,502 ,616 3 209 14,77 2,54

3 1 16 8,94 2,74

12,255 ,001 -3,646 ,001 3 209 11,7 4,64

D 1 16 79,81 12,50

5,401 ,021 -2,523 ,020 3

209 88,42 19,77


118

skupine 3 na končnem testiranju z Desetminutnim aritmetičnim testom za ugotavljanje

avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov dosegli statistično pomembno boljše rezultate

od učencev iz skupine 1 pri nalogah, ovrednotenih s 3 točkami in pri skupnem doseženem

številu točk.

Tabela 34: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov učencev skupine 2 in skupine 3 na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov glede na račune za 1, 2, 3 točke in doseženo število točk na končnem testiranju

Legenda: K … končno testiranje N … število učencev M …aritmetična sredina SD … standardna deviacija D … doseženo število točk F … vrednost koeficienta Sig. … statistična pomembnost t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost

Aritmetična sredina dosežkov učencev skupine 2 glede na skupno doseženo število točk znaša

58,14, skupine 3 pa 88,42 točk.

Levenov test homogenosti variance v tabeli 34 kaže, da se varianci vzorcev glede na končno

testiranje statistično pomembno razlikujeta pri spremenljivki točka 2 in točka 3, zato smo

uporabili obliko t-testa za privzeti različni varianci. Pri uporabi ostalih dveh spremenljivk smo

uporabili obliko t-testa za privzeti enaki varianci.

Razlika med aritmetičnima sredinama dosežkov učencev skupin 2 in 3 glede na končno

testiranje je statistično pomembna pri vseh spremenljivkah. Učenci iz skupine 3 so na

Točke

K

Skupine

SKUPINA 2

SKUPINA 3

N M SD

Levenov test


F Sig.

1 2 14 20,43 3,67

2,199 ,139 -4,851 ,000 3 209 23,91 2,52

2 2 14 10,71 4,41

15,381 ,000 -3,404 ,004 3 209 14,77 2,54

3 2 14 5,57 2,59

13,209 ,000 -4,888 ,000 3 209 11,7 4,63

D 2 14 58,14 18,01

1,873 ,173 -5,577 ,000 3 209 88,42 19,77


119

Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in

postopkov dosegli statistično pomembno boljše rezultate od učencev iz skupine 2 pri vseh

spremenljivkah.

Povzetek ugotovitev glede dosežkov učencev skupine 1, skupine 2 in skupine 3 na

Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in

postopkov

Pri primerjavi dosežkov učencev skupine 1, skupine 2 in skupine 3 na Desetminutnem

aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov na

začetnem in končnem testiranju povzemamo, da so bili učenci vseh treh skupin uspešnejši pri

reševanju računov za 1 in 2 točki, manjše število točk pa so dosegli pri računih, ovrednotenih s

3 točkami. Pri primerjavi začetnih dosežkov učencev posameznih skupin smo ugotovili, da

razlike v dosežkih med skupino 1 in skupino 2 (pri vseh spremenljivkah: računi, ovrednoteni z

1, 2, 3 točkami in skupno doseženo število točk) na začetnem testiranju niso bile statistično

pomembne. Razlike med dosežki učencev skupine 1 in skupine 3 (pri vseh spremenljivkah) na

začetnem testiranju pa so bile statistično pomembne, prav tako so bile statistično pomembne

razlike med dosežki učencev skupine 2 in skupine 3 (pri vseh spremenljivkah: računi,

ovrednoteni z 1, 2, 3 točkami in skupno doseženo število točk). Pri primerjavi začetnih in

končnih dosežkov posamezne skupine ugotavljamo statistično pomemben napredek v

avtomatizaciji aritmetičnih dejstev in postopkov pri učencih skupine 1, skupine 2 in skupine 3

pri vseh spremenljivkah (računi, ovrednoteni z 1, 2, 3 točkami in skupno doseženo število točk).

Pri primerjavi dosežkov skupine 1 in skupine 2 na končnem testiranju ugotavljamo, da se

skupini v dosežkih statistično pomembno razlikujeta pri vseh treh spremenljivkah (računi,

ovrednoteni z 1, 2, 3 točkami in skupno doseženo število točk). Iz tega povzemamo, da so

učenci skupine 1 bolje napredovali v avtomatizaciji aritmetičnih dejstev in postopkov in so pri

računanju hitrejši. Pri primerjavi dosežkov skupine 1 in 3 ugotavljamo, da se dosežki statistično

pomembno razlikujejo pri računih za 3 točke in pri skupnem doseženem številu točk, razlike

pri računih za 1 in 2 točki pa se na končnem testiranju niso pokazale kot statistično pomembne.

Iz tega povzemamo, da so učenci skupine 1 napredovali v avtomatizaciji osnovnih dejstev in

postopkov (računi brez prehoda desetice ter pri srednje zahtevnih računih), ne pa tudi pri

računih z dvema operacijama, računih z neznanim členom in računih s tromestnimi števili.


120

Pri primerjavi dosežkov skupine 2 in skupine 3 na končnem tesstiranju pa ugotavljamo, da se

dosežki skupine 2 in 3 tudi po enem letu še vedno statistično pomembno razlikujejo pri vseh

spremenljivkah (računi, ovrednoteni z 1, 2, 3 točkami in skupno doseženo število točk).

Na podlagi teh rezultatov povzemamo, da je skupina 1 na osnovi skupinske učne pomoči in

vrstniške pomoči napredovala v avtomatizaciji aritmetičnih dejstev in postopkov v enem letu

ter dosegla statistično pomembno boljše rezultate od učencev skupine 2 (učenci z učnimi

težavami pri aritmetiki, ki niso bili deležni pomoči po našem programu) po koncu programa

pomoči. Na podlagi izvajanja programa pomoči pa so se v enem letu zmanjšale tudi razlike v

dosežkih med skupino 1 in skupino 3.

Odkrivanje učnih težav pri matematiki III (Adler, 2000)

Tabela 35: Dosežki učencev skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na kočnem testiranju

Skupina N Min Max

(17) M SD ∑ ∑%

Levenov test

homogenosti

variance

t-test

F Sig. t Sig.(2-tailed)

S 1 16 10 17 14,03 2,11 224,5 82,90 12,691 ,001 2,736 0,014

S 2 14 2 15,5 10,5 4,41 147 61,77

Legenda: N … število učencev Min … najmanjše število doseženih točk Max … največje število doseženih točk M … aritmetična sredina SD … standardna deviacija ∑ … vsota točk ∑ % … vsota točk v odstotkih F … vrednost koeficienta Sig. … statistična pomembnost t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost

V tabeli 35 lahko vidimo razlike v dosežkih med skupino 1 in skupino 2. Povprečno število

točk je pri skupini 2 manjše, saj znaša 10,5, medtem ko je pri skupini 1 povprečen dosežek 14,3

točke. Skupina 1 je skupno dosegla 82,90 % (225,5) točk, skupina 2 pa 61,77 % (147) točk.

Najnižje število točk pri skupini 1 je bilo 10, pri skupini 2 pa 2 točki. Najvišje doseženo število

točk pri skupini 1 je bilo 17, pri skupini 2 pa 15,5.


121

Med dosežki skupine 1 in skupine 2 obstaja statistično pomembna razlika. Učenci, ki so bili

vključeni v program pomoči, so pri nalogah na testu dosegli boljše rezultate kot učenci, ki niso

bili deležni pomoči po našem programu.


122

Tabela 36: Prikaz dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III (Adler, 2000) na končnem testiranju

spremenljivke

N M SD Min Max ∑ ∑% ∑ ∑% Možno št. točk Možno skupno

št. točk

S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2

Glasno branje števil 16 14 0,94 0,29 0,25 0,47 0 0 1 1 15 93,75 4 28,57 1 1 16 14

Pisanje števil 16 14 0,44 0,5 0,51 0,52 0 0 1 1 7 43,75 7 5 1 1 16 14

Urejanje številske vrste 16 14 0,81 0,42 0,40 0,51 0 0 1 1 13 81,25 6 42,86 1 1 16 14

Štetje od 100 nazaj po 8 16 14 0,69 0,5 0,48 0,52 0 0 1 1 11 68,75 7 50 1 1 16 14

Računske naloge I 16 14 1,88 1,29 0,5 0,99 0 0 2 2 30 93,75 18 64,29 2 2 32 28

Katero od dveh števil je večje

16 14 3,53 3,21 0,69 0,80 2 1 4 4 56,5 88,28 45 80,36 4 4 64 56

Vstavljanje manjkajočega števila

16 14 0,88 0,86 0,34 0,36 0 0 1 1 14 87,5 12 85,71 1 1 16 14

Računske naloge II 16 14 0,31 0,64 0,48 0,5 0 0 1 1 5 31,25 9 64,29 1 1 16 14

Določanje računske operacije

16 14 1 1 0 0 1 1 1 1 16 100 14 100 1 1 16 14

Številski trikotni test 16 14 3,63 1,79 0,81 1,67 1 0 4 4 58 90,63 25 44,64 4 4 64 56

∑ 225,5 82,90 147 61,77 17 17 272 238

Legenda: N … število učencev S1 … skupina 1 S2 … skupina 2 Min … najmanjše število doseženih točk Max … največje število doseženih točk M … aritmetična sredina ∑ … vsota točk ∑ % … vsota točk v odstotkih


123

Iz tabele 36 lahko razberemo, da so učenci skupine 1 dosegli boljše rezultate pri osmih nalogah.

Pri dveh nalogah »pisanje števil« in »računski problemi II« so bili nekoliko uspešnejši učenci

skupine 2. Skupina 1 je skupno dosegla 240,5 (88,42 %) od vseh možnih 272 točk. Skupina 2

pa je dosegla 147 (61,77 %) od 238 možnih točk. Natančnejša interpretacija posameznih

rezultatov vseh desetih spremenljivk je prikazana v nadaljevanju.

Tabela 37: Prikaz rezultatov spremenljivke »glasno branje števil« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju

Število

točk

Skupina 1 Skupina 2

Levenov test

homogenosti

variance

t-test

f f% f f% F Sig. t Sig (2-tailed)

0 1 6,2 10 71,4

14,246 0,01 4,655 0,00 1 15 93,8 4 28,6

∑ 16 100 14 100

Legenda: ∑ … vsota f … število odgovorov f % … število odgovorov v odstotkih F … vrednost koeficienta Sig. … statistična pomembnost t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost Iz tabele 37 je razvidno, da so učenci skupine 1 pri prvi spremenljivki povprečno dosegli 0,94

točke. 15 učencev (93,8 %) je pravilno glasno prebralo števila. Neuspešen pri nalogi je bil 1

učenec (6,2 %) skupine 1.

To nalogo pa so pravilno rešili le 4 učenci (28,6 %) skupine 2, ostalih 10 učencev (71,4 %) je

bilo neuspešnih. Povprečni rezultat skupine 2 je bil 0,29 točke.

Učenci skupine 1 so bili pri tej nalogi uspešnejši. V tabeli 37 je prikazano, da obstaja statistično

pomembna razlika med dosežki skupine 1 in skupine 2 pri spremenljivki »glasno branje števil«.


124

Tabela 38: Prikaz rezultatov spremenljivke »pisanje števil« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju

Število točk

Skupina 1 Skupina 2 Levenov test homogenosti

variance

t-test

f f% f f% F Sig. t Sig. (2-tailed) 0 9 56,2 7 50

,207 ,652 -,331 ,743 1 7 43,8 7 50

∑ 16 100 14 100

Legenda: ∑ … vsota f… število odgovorov f % … število odgovorov v odstotkih F … vrednost koeficienta Sig. … statistična pomembnost t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost

Pri spremenljivki »pisanje števil« lahko v tabeli 38 opazimo, da je nalogo pravilno opravilo 7

učencev iz skupine 1 (43,8 %) in 7 učencev skupine 2 (50 %). Povprečna vrednost doseženih

točk pri omenjeni spremenljivki, ki je prikazana v tabeli 36, je nekoliko višja pri skupini 2 in

znaša 0,5. Pri skupini 1 znaša 0,44 točke. Opazimo lahko, da je rezultat pri omenjeni

spremenljivki višji pri skupini 2 kot pri skupini 1. Tabela 38 prikazuje, da t-test ni potrdil

statistično pomembne razlike v dosežkih med skupin 1 in skupino 2.

Tabela 39: Prikaz rezultatov spremenljivke »urejanje številske vrste« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju

Število točk


variance

t-test

f f% f f% F Sig t Sig (2-tailed)

0 3 18,7 8 57,1

7,009 ,013 2,225 ,033 1 13 81,3 6 42,9

∑ 16 100 14 100



125

Tabela 39 prikazuje rezultate spremenljivke »urejanje številske vrste« obeh testiranih skupin.

Pri tej nalogi so se bolje odrezali učenci skupine 1, saj jih je kar 81,3 % le-to tudi pravilno

rešilo. Pri omenjeni nalogi je bilo uspešnih le 42,9 % učencev skupine 2. Razlika v dosežkih

med skupinama 1 in 2 se je izkazala za statistično pomembno.

Tabela 40: Prikaz rezultatov spremenljivke »štetje nazaj od 100 po 8« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju

Število točk

Skupina 1 Skupina 2 Leveneov test homogenosti

variance t-test

f f% f f% F Sig T Sig.(2-tailed) 0 1 6,25 5 35,7

24,948 ,000 2,006 ,060 2 15 93,75 9 64,3

∑ 16 100 14 100

Legenda: ∑ … vsota f… število odgovorov f % … število odgovorov v odstotkih F … vrednost koeficienta Sig. … statistična pomembnost t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost Iz tabele 40 je razvidno, da je 15 učencev (93,7 %) skupine 1 bilo uspešnih pri spremenljivki

»štetje nazaj od 100 po 8«. Neuspešen je bil le 1 učenec (6,25 %). Od možnih 32 točk pri izbrani

nalogi so učenci skupine 1 dosegli 30 (93,75 %) točk. 9 učencev (64,3 %) je pravilno rešilo

nalogo, 5 učencev (35,7) je bilo neuspešnih. Povprečna vrednost točk (tabela 36) skupine 1

znaša 1,88, skupine 2 pa 1,29, kar pomeni, da je bila skupina 1 uspešnejša. Iz tabele 36 je

razvidna razlika med dosežki učencev skupine 1 in skupine 2 glede na doseženo število točk, v

prid skupine 1, ki pa se ni pokazala za statistično pomembno.

Tabela 41: Prikaz rezultatov spremenljivke »računske naloge I« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju

Število točk


variance t-test

f f% F f% F Sig t Sig.(2-tailed) 0 6 31,25 7 50

2,138 ,155 1,029 ,312 1 10 68,75 7 50

∑ 16 100 14 100

Legenda: ∑ … vsota


126

f… število odgovorov f % … število odgovorov v odstotkih F … vrednost koeficienta Sig. … statistična pomembnost t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost

Iz tabele 41 je razvidno, da je nalogo »računske naloge I« pravilno rešilo 10 učencev (68,75 %)

skupine 1, 6 učencev (31,25 %) je bilo neuspešnih. Pri skupini 2 pa je bilo uspešnih 7 učencev

(50 %) in neuspešnih 7 učencev (50%). Povprečna vrednost doseženih točk (tabela 36) skupine

1 je nekoliko višja in znaša 0,69 točke, povprečna vrednost skupine 2 pa je 0,5 točke. Iz tabele

41 lahko razberemo, da med dosežki skupine 1 in skupine 2 ne obstaja statistično pomembna

razlika.

Tabela 42: Prikaz rezultatov spremenljivke »katero od dveh števil je večje« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju

Število točk


variance t-test

f f% f f% F Sig T Sig.(2-tailed) 1 0 0 1 7,1

,001 ,079 1,161 ,256

1,5 0 0 0 0

2 1 6,25 0 0

2,5 2 12,5 2 14,3

3 2 12,5 2 14,3

3,5 1 6,25 6 42,9

4 10 62,5 3 21,4

∑ 16 100 14 100


Iz tabele 42 je razvidno, da so bili učenci skupine 1 pri dani nalogi uspešnejši. 62,5 % učencev

(10) je doseglo vse možne točke. 6,25 % učencev (1) je doseglo 3,5 točke, 12,5 % (3) je doseglo

3 točke, 12,5 % učencev (2) je doseglo 2,5 točke in 6,25 % učencev (1) je doseglo 2 točki.

Skupina 1 je dosegla 56,5 točke (88,28 %). Skupina 2 je dosegla skupno 45 točk (80,36 %), kar

je razvidno iz tabele 22. 21,4 % učencev (3) je doseglo vse možne točke. 42,9 % učencev (6) je


127

doseglo 3,5 točke, 14,3 % (2) je doseglo 3 točke, 14,3 % učencev (2) je doseglo 2,5 točke in

7,1 % učencev (1) je doseglo 1 točko. Iz tabele 42 je razvidno, da med dosežki skupine 1 in

skupine 2 ni bilo statistično pomembne razlike.

Tabela 43: Prikaz rezultatov spremenljivke »vstavljanje manjkajočega števila« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju

Število točk


variance t-test

f f% f f% F Sig t Sig.(2-tailed)

0 2 12,5 2 14,3

,077 ,784 ,139 ,891 1 14 87,5 12 85,7

∑ 16 100 14 100

Legenda: ∑ … vsota f… število odgovorov f % … število odgovorov v odstotkih F … vrednost koeficienta Sig. … statistična pomembnost t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost Iz tabele 43 je razvidno, da so bili pri nalogi učenci skupine 1 nekoliko uspešnejši od skupine

2. Skupina 1 je dosegla 14 (87,5 %) točk. Skupina 2 pa je dosegla 12 (85,71 %) točk. Povprečna

vrednost točk skupine 1 je 0,88, skupine 2 pa 0,86. Tabela 43 prikazuje, da med dosežki skupine

1 in skupine 2 razlika ni bila statistično pomembna.

Tabela 44: Prikaz rezultatov spremenljivke »računske naloge II« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju

Število točk


variance t-test

f f% f f% F Sig T Sig.(2-tailed) 0 11 68,75 5 35,7

,244 ,625 -1,852 ,075 1 5 31,25 9 64,3

∑ 16 100 14 100



128

Tabela 44 kaže, da večina učencev (68,75 %) skupine 1 ni pravilno rešila naloge »računske

naloge II«. Uspešnih je bilo 5 učencev (31,25 %) skupine 1. Skupina 1 je dosegla le 5 točk

(31,25 %) na omenjeni nalogi.

Uspešnejši pri nalogi so bili učenci skupine 2, saj jih je kar 9 (64,3 %) pravilno rešilo dano

nalogo. Neuspešnih učencev skupine 2 je bilo 5 (35,7 %). Uspešni učenci skupine 2 so dosegli

9 točk (64,29 %). Tabela 44 prikazuje, da se razlika v dosežkih učencev med skupino 1 in

skupino 2 ni izkazala za statistično pomembno.

Tabela 45: Prikaz rezultatov spremenljivke »določanje računske operacije« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju

Število

točk

Skupina 1 Skupina 2

f f% f f%

0 0 0 0 0

1 16 100 14 100

∑ 16 100 14 100

Legenda: ∑ … vsota f… število odgovorov f % … število odgovorov v odstotkih Vsi učenci iz skupine 1 in skupine 2 so pravilno rešili nalogo, pri kateri so morali določiti

računske operacije.


129

Tabela 46: Prikaz rezultatov spremenljivke »številski trikotni test« skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri matematiki III na končnem testiranju

Število točk


variance t-test

f f% F f% F Sig T Sig.(2-tailed)

0 0 0 4 28,6

15,896 ,000 3,751 ,001

1 1 6,3 4 28,6

2 / / 1 7,1

3 3 18,8 1 7,1

4 12 75 4 28,6

∑ 16 100 14 100


Slika 13: Primer rešitve številskega trikotnega testa Tabela 46 prikazuje dosežke učencev skupine 1 in skupine 2 pri spremenljivki »številski trikotni

test«. 12 učencev (75 %) skupine 1 je pri izbrani nalogi doseglo vse štiri točke, 3 učenci (18,8

%) so dosegli tri točke in 1 učenec (6,3 %) je dosegel eno točko. 4 učenci (28,6 %) skupine 2

so dosegli štiri točke, 4 učenci (28,6 %) eno točko in 4 učenci (28,6 %) nič točk. 1 učenec (7,1

%) je dosegel dve točki in 1 (7,1 %) tri točke. Skupina 1 je skupaj dosegla 58 (90,63 % vseh

možnih točk) pri omenjeni nalogi. Skupina 2 je dosegla manj točk, t.j. 25 (44,64 %) točk. Iz

tabele 36 je razvidno, da je povprečna vrednost zbranih točk skupine 1 znašala 3,63, skupine 2


130

pa 1,79 točke. Učenci skupine 1 so bili pri reševanju naloge uspešnejši od učencev skupine 2.

Tabela 46 kaže, da se je razlika med dosežki učencev skupine 1 in skupine 2 izkazala za

statistično pomembno. Naloga se razlikuje od ostalih nalog iz testa, saj učenec lahko pri nalogi

doseže 4 točke. Postavljeni so štirje kriteriji, ki morajo biti izpolnjeni (razume princip in prične

z reševanjem, nadaljuje po prvi vrsti, izpušča desetice, pravilno računa), za vsak izpolnjen

kriterij pa učenec dobi eno točko.

Povzetek ugotovitev o dosežkih učencev skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih

težav pri matematiki III na končnem testiranju

Pri primerjavi dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2 na testu Odkrivanje učnih težav pri

matematiki III na končnem testiranju ugotavljamo boljše rezultate učencev skupine 1 glede na

skupno število doseženih točk. Če pogledamo posamezne naloge, pa so bili učenci skupine 1

boljši v dosežkih od skupine 2 pri sedmih nalogah: »glasno branje števil« (statistično

pomembna razlika v dosežkih med skupino 1 in skupino 2), »urejanje številske vrste«

(statistično pomembna razlika v dosežkih med skupino 1 in skupino 2), »štetje nazaj od 100 po

8«, »računske naloge I«, »katero od dveh števil je večje«, »vstavljanje manjkajočega števila«

in »številski trikotni test« (statistično pomembna razlika v dosežkih med skupino 1 in skupino

2). Pri nalogi »določanje računske operacije so bili uspešno vsi učenci obeh skupin. Le pri dveh

nalogah so učenci skupine 2 dosegli nekoliko boljše rezultate in sicer pri nalogi »pisanje števil«

ter »računske naloge II«, razlike v dosežkih pa se niso pokazale za statistično pomembne.

Dosežki učencev skupine 1 in skupine 2 na testu za Odkrivanje učnih težav pri matematiki III

kažejo na to, da so aritmetične učne težave zelo heterogene in da imajo ti učenci težave pri

konceptualnem, proceduralnem in deklarativnem matematičnem znanju, kot sta pri

adolescentih z aritmetičnimi učnimi težavami in disleksijo ugotavljala Macaruso in Sokol

(1998, v Dowker, 2005). Tudi S. Tancig, M. Kavkler in L. Magajna (2004) poudarjajo, da je

potrebno za uspešno obvladovanje aritmetike pri učencu razvijati matematično pojmovno in

proceduralno znanje.


131

Test poznavanja števil (Number KnowledgeTest – NKT) (Griffin, 2002)

Tabela 47: Prikaz rezultatov spremenljivke »orientacija v štev. vrsti do 10, do 100« skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju

N M SD ∑ ∑% ∑ ∑%

Spremenljivke

S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2

orie

ntac

ija

v št

ev. v

rsti

do

10,

do

100

5 števil za 49 16 14 ,938 ,643 ,25 ,497 15 93,75 9 64,28 4 števila pred 60 16 14 ,875 ,5 ,342 ,519 14 87,5 7 50 večje 69 ali 71 / večje 32 ali 28

16 14 1 ,929 0 ,267 16 100 13 92,85

manjše 27 ali 32 / 51 ali 39

16 14 1 ,857 0 ,363 16 100 12 85,71

bližje 21 (25 ali 18) 16 14 ,875 ,357 ,342 ,497 14 87,5 6 37,5 bližje 28 (31 ali 24) 16 14 ,75 ,571 ,447 ,514 12 75 8 57,14 koliko je števil med 2 in 6

16 14 ,938 ,857 ,25 ,363 15 93,75 12 85,17

koliko je števil med 7 in 9

16 14 ,938 1 ,25 0 15 93,75 14 100

M ,914 ,714 ,135 ,242 91,41 72,32 Skupna vsota 117 81

Legenda: N … število učencev S1 … učenci skupine 1 S2 … učenci skupine 2 M … aritmetična sredina SD … standardna deviacija ∑ … vsota točk ∑ … vsota točk v odstotkih Tabela 47 prikazuje, da so učenci skupine 1 v povprečju dosegli več točk pri vseh

spremenljivkah (5 števil za 49, 4 števila pred 60, večje 69 ali 71 / večje 32 ali 28, manjše 27 ali

32 / 51 ali 39, bližje 21 (25 ali 18), bližje 28 (31 ali 24), koliko je števil med 2 in 6, koliko je

števil med 7 in 9), ki oblikujejo spremenljivko« »orientacija v štev. vrsti do 10, do 100« kot

učenci skupine 2.


132

Tabela 48: Prikaz rezultata t-testa spremenljivke »orientacija v štev. vrsti do 10, do 100« skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju

orie

ntac

ija

v št

ev.

vrst

i do

10, d

o 10

0

skupini N M SD


variance

t-test

F Sig. t Sig. (2-taied)

S1 16 ,914 ,135 7,235 0,12 2,736 0,013

S2 14 ,714 ,242

Legenda: S1 … učenci skupine 1 S2 … učenci skupine 2 N … število učencev M … aritmetična sredina SD … standardna deviacija F … vrednost koeficienta Sig. … statistična pomembnost t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost

Iz tabele 48 lahko razberemo, da je pri spremenljivki »orientacija v številski vrsti do 10, do

100« skupina 1 dosegla v povprečju boljši rezultat, in sicer 0,914 točke. Skupina 2 je v

povprečju dosegla manjši delež točk, in sicer 0,714 točke.

Levenov test homogenosti variance v tabeli 34 kaže, da se varianci vzorca ne razlikujeta

pomembno pri spremenljivki »orientacija v številski vrsti do 10, do 100«, zato smo uporabili

obliko t-testa za privzeti enaki varianci. T-test je potrdil statistično pomembnost razlike med

dosežki skupine 1 in skupine 2 pri 0,05-odstotnem tveganju na nalogah orientacija v številski

vrsti do 10, do 100.

Tabela 49: Prikaz rezultatov spremenljivke »računanje do 100« skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju

N M SD ∑

(16) ∑%

∑ (14)

∑%

raču

nan

je d

o 10

0

Spremenljivke S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 koliko je 12 + 54

16 14 1 1 0 0 16 100 14 100

koliko je 47 – 21

16 14 1 ,5 0 ,519 16 100 7 50

M 1 ,75 0 ,259 100 75 Skupna vsota 32 21

Legenda: N … število učencev S1 … učenci skupine 1 S2 … učenci skupine 2 M … aritmetična sredina SD … standardna deviacija ∑ … vsota točk ∑ … vsota točk v odstotkih


133

Tabela 49 kaže, da so bili vsi učenci skupine 1 in skupine 2 uspešni pri nalogi »koliko je

12+54«. Pri spremenljivki »koliko je 47–21«, ki tudi oblikujejo spremenljivko« »računanje do

100«, so bili učenci skupine 1 uspešnejši kot učenci skupine 2. Pri primerjavi obeh računov iz

naloge vidimo, da je prvi račun račun seštevanja brez prehoda desetice in so ga rešili vse učenci

obeh skupin, drugi račun pa je račun odštevanja brez prehoda desetice, ki pa je polovici učencev

skupine 2 (50 % oziroma 7 učencev) povzročal težave in ga niso rešili.

Tabela 50: Prikaz rezultate t-testa spremenljivke »računanje do 100« skupine 1 in skupine 2 na na Testu poznavanja števil na končnem testiranju

raču

nanj

e do

100

skupini N M SD

Levenov test

homogenosti

variance

t-test


S1 16 1 0 0 0 3,61 ,003

S2 14 ,75 ,259


Iz tabele 50 je razvidno, da je pri spremenljivki »računanje do 100« skupina 1 dosegla v

povprečju boljše rezultate, in sicer 1 točko, kar pomeni, da so bili uspešni vsi učenci. Skupina

2 je dosegla v povprečju manj kot 1 točko, in sicer 0,75 točke na nalogo.

Tabela 50 prikazuje, da se varianci vzorca se pri spremenljivki »računanje do 100« pomembno

razlikujeta, zato smo uporabili obliko t-testa za privzeti različni varianci. T-test je potrdil

statistično pomembno razliko med dosežki skupine 1 in skupine 2 pri 0,05-odstotnem tveganju

pri spremenljivki »računanje do 100«.


134

Tabela 51: Prikaz rezultatov spremenljivke »orientacija v štev. vrsti do 1000 in preko« skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju

N M SD ∑ (16) ∑% ∑ (14) ∑%

orie

ntac

ija

v št

ev. v

rsti

do

1000

in

prek

o

Spremenljivke S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2

10 števil za 99 16 14 ,875 ,429 ,342 ,514 14 87,5 6 37,5 9 števil za 999 16 14 ,5 ,357 ,516 ,497 8 50 5 35,71 M ,688 ,393 ,359 ,488 68,75 39,29 Skupna vsota 22 11

Legenda: N … število učencev S1 … učenci skupine 1 S2 … učenci skupine 2 M … aritmetična sredina SD … standardna deviacija ∑ … vsota točk

∑ … vsota točk v odstotkih

V tabeli 51 je vidno, da so učenci skupine 1 v povprečju dosegli več točk pri obeh

spremenljivkah (10 števil za 99, 9 števil za 999), ki oblikujeta spremenljivko« »orientacija v

štev. vrsti do 1000 in preko«, kot učenci skupine 2.

Tabela 52: Prikaz rezultata t-testa spremenljivke »orientacija v štev. vrsti do 1000 in preko« skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju

orie

ntac

ija

v št

ev.

vrst

i do

1000

in

prek

o

skupini N M SD

Levenov test

homogenosti variance t-test


S1 16 ,688 ,359 6,065 ,020 1,862 ,075

S2 14 ,393 ,488


Iz tabele 52 lahko razberemo, da je pri spremenljivki »orientacija v štev. vrsti do 1000 in preko«

skupina 1 dosegla v povprečju boljši rezultat, in sicer 0,688 točke. Skupina 2 je dosegla v

povprečju 0,393 točke.


135

Levenov test homogenosti variance iz tabele 52 kaže, da se varianci vzorca pomembno

razlikujeta pri spremenljivki »orientacija v številski vrsti do 1000 in preko«, zato smo uporabili

obliko t-testa za privzeti različni varianci. T-test ni potrdil statistično pomembne razlike med

skupino 1 in skupino 2 pri 0,05% tveganju pri premenljivki orientacija v številski vrsti do 1000

in preko.

Tabela 53: Prikaz rezultatov spremenljivke »ugotavljanje razlike med števili « skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju

N M SD ∑ (16) ∑% ∑ (14) ∑%

ugot

avlj

anje

raz

like

med

št

evil

i

Spremenljivke S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 večja razlika: med 9 in 6 ali 8 in 3 / večja razlika: med 6 in 2 ali 8 in 5

16 14 ,688 ,429 ,479 ,514 11 68,75 6 37,5

manjša razlika: med 99 in 92 ali 25 in 11 / manjša razlika: med 48 in 36 ali 84 in 73

16 14 ,125 ,214 ,342 ,426 2 14,28 3 21,42

M ,375 ,321 ,289 ,317 40,63 32,14 Skupna vsota 13 9

Legenda: N … število učencev S1 … učenci skupine 1 S2 … učenci skupine 2 M … aritmetična sredina SD … standardna deviacija ∑ … vsota točk ∑ … vsota točk v odstotkih

Iz tabele 53 razberemo, da je pri spremenljivki »ugotavljanje razlike med števili« skupina 1

dosegla v povprečju malenkost boljši rezultat, in sicer 0,375 točke. Skupina 2 je dosegla v

povprečju 0,321 točke.

Iz tabele 53 je razvidno, da so učenci skupine 1 v povprečju dosegli več točk pri prvi

spremenljivki, t.j. večja razlika: med 9 in 6 ali 8 in 3 / večja razlika: med 6 in 2 ali 8 in 5 kot

učenci skupine 2. Pri drugi spremenljivki (manjša razlika: med 99 in 92 ali 25 in 11 / manjša

razlika: med 48 in 36 ali 84 in 73), ki označuje spremenljivko »ugotavljanje razlike med

števili«, pa je bila skupina 2 uspešnejša kot skupina 1.


136

Tabela 54: Prikaz rezultata t-testa spremenljivke »ugotavljanje razlike med števili« skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju

ugot

avlj

anje

ra

zlik

e m

ed

štev

ili

skupini N M SD

Levenov test



S1 16 0,375 0,289 0,578 0,453 0,485 0,632

S2 14 0,321 0,317


Levenov test homogenosti variance v tabeli 54 kaže, da se varianci vzorca ne razlikujeta

pomembno pri spremenljivki »ugotavljanje razlike med števili«, zato smo uporabili obliko t-

testa za privzeti enaki varianci. T-test ni potrdil statistično pomembe razlike v dosežkih med

skupino 1 in skupino 2 pri 0,05-odstotnem tveganju.

Tabela 55: Prikaz rezultatov spremenljivke »računanje do 100, do 1000« skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju

N M SD ∑ (16) ∑% ∑ (14) ∑%

raču

nan

je

do 1

00, d

o 10

00

Spremenljivke S1 S2 S1 S2 S1 S2 S1 S2 koliko je 13 + 39 16 14 ,875 ,571 ,342 ,514 14 87,5 8 57,14 koliko je 36 - 18 16 14 ,75 ,5 ,447 ,519 12 75 7 50 od 301 odvzemi 7 16 14 ,625 ,357 ,50 ,497 10 62,5 5 35,71 M ,75 ,476 ,228 ,408 75 47,62

Skupna vsota 36 20 Legenda: N … število učencev S1 … učenci skupine 1 S2 … učenci skupine 2 M … aritmetična sredina SD … standardna deviacija ∑ … vsota točk ∑ … vsota točk v odstotkih

Tabela 55 kaže, da so učenci skupine 1 v povprečju dosegli več točk pri vseh treh

spremenljivkah (koliko je 13 + 39, koliko je 36 – 18, od 301 odvzemi 7), ki označujejo

spremenljivko »računanje do 100, do 1000« kot učenci skupine 2.


137

Tabela 56: Prikaz rezultata t-testa spremenljivke »računanje do 100, do 1000« skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju

raču

nanj

e do

10

0, d

o 10

00

Skupini N M SD

Levenov test



S1 16 ,75 ,228 11,298 ,002 2,228 ,038

S2 14 ,476 ,408


Iz tabele 56 je razvidno, da je pri spremenljivki »računanje do 100, do 1000« skupina 1 dosegla

v povprečju boljši rezultat, in sicer 0,75 točke. Skupina 2 je v povprečju dosegla slabši rezultat,

to je 0,476 točke.

Levenov test homogenosti variance v tabeli 56 kaže, da se varianci vzorca pomembno

razlikujeta pri spremenljivki »računanje do 100, do 1000«, zato smo uporabili obliko t-testa za

privzeti različni varianci. T-test je potrdil statistično pomembnost razlike med dosežki skupine

1 in skupine 2 pri 0,05-odstotnem tveganju pri spremenljivki »računanje do 100, do 1000«.

Povzetek ugotovitev o dosežkih učencev skupine 1 in skupine 2 na Testu poznavanja števil

(Number Knowledge Test) na končnem testiranju

Test poznavanja števil smo razdelili na 5 spremenljivk: »orientacija v številski vrsti do 10, do

100«, »računanje do 100«, »orientacija v številski vrsti do 1000 in preko«, »ugotavljanje razlike

med števili« ter »računanje do 100, do 1000«. Pri primerjavi dosežkov skupine 1 in skupine 2

na tem testu ugotavljamo, da so učenci skupine 1 dosegli statistično pomembno boljše rezultate

od skupine 2 pri spremenljivkah: »orientacija v številski vrsti do 10, do 100«, »računanje do

100« in »računanje do 100, do 1000«. Pri spremenljivkah »orientacija v številski vrsti do 1000

in preko« in »ugotavljanje razlike med števili« razlike med dosežki skupine 1 in skupine 2 niso


138

bile statistično pomembne, so pa učenci skupine 1 v povprečju skupno dosegli večje število

točk kot učenci skupine 2.

Razvoj aritmetičnih strategij pri učencih brez učnih težav pri matematiki poteka od nezrelih in

neučinkovitih strategij, preko verbalnega štetja do priklica aritmetičnih dejstev. Ostad (2006)

je v svoji študiji ugotavljal, da se je pri učencih brez učnih težav pri matematiki z

napredovanjem v višje razrede povečevala raba strategije priklica aritmetičnih dejstev, medtem

ko je bilo pri učencih z učnimi težavami pri matematiki priklica mnogo manj. Te ugotovitve

lahko primerjamo tudi z našimi ugotovitvami na osnovi dosežkov učencev skupine 1 in skupine

2 na Testu poznavanja števil (Number KnowledgeTest) na končnem testiranju. Pri učencih

skupine 1 se je ob dobri poučevalni praksi učitelja, skupinski pomoči ter vrstniški pomoči

povečala raba strategije priklica aritmetičnih dejstev v večji meri kot pri učencih skupine 2.


139

Tabela 57: Prikaz nivoja matematičnega znanja, ki ga dosega posamezni učenec skupine 1 na Testu poznavanja števil na končnem testiranju

Učenci skupine 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

D Doseženo število točk ∑ točk v Predšolskem obdobju

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

∑ točk na Stopnji 0

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

∑ točk na Stopnji 1

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Stopnja 2

5 števil za 49 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4 števila pred 60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1

večje 69 ali 71 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

večje 32 ali 28

manjše 27 ali 32 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

51 ali 39

bližje 21 (25 ali 18) 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1

bližje 28 (31 ali 24) 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1

koliko je 12 + 54 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

koliko je 47 – 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

∑ točk na stopnji 2 10 10 10 9 9 10 9 8 10 10 10 9 10 9 10 6 10

Stopnja 3

10 števil za 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0

9 števil za 999 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0

večja razlika: med 9 in 6 ali 8 in 3

1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 večja razlika: med 6 in 2 ali 8 in 5 manjša razlika: med 99 in 92 ali 25 in 11

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 manjša razlika: med 48 in 36 ali 84 in 73

koliko je 13 + 39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1

koliko je 36 – 18 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

od 301 odvzemi 7 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1

∑ točk na stopnji 3 7 5 5 4 5 3 5 5 5 4 2 5 7 3 3 5 5

∑ točk učenca 32 30 30 28 29 28 29 28 30 30 27 29 32 27 28 21 30

Razvitost za … let 9-10 9-10 8-9 9-10 8-9 9-10 8-9 9-10 9-10 8-9 9-10 9-10 8-9 8-9 7-8 9-10

Legenda: D… možno število točk; 1 – 16… posamezni učenci skupine 1; ∑ … vsota


140

Tabela 58: Prikaz nivoja matematičnega znanja, ki ga dosega posamezni učenec skupine 2 na Testu poznavanje števil na končnem testiranju

Učenci skupina 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

D Doseženo število točk ∑ točk v Predšolskem obdobju

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

∑ točk na Stopnji 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

∑ točk na Stopnji 1 9 8 9 9 9 9 6 9 6 9 7 8 9 9 9

Stopnja 2

5 števil za 49 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

4 števila pred 60 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1

večje 69 ali 71 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

večje 32 ali 28

manjše 27 ali 32 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1

51 ali 39

bližje 21 (25 ali 18) 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

bližje 28 (31 ali 24) 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1

koliko je števil med 2 in 6 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

koliko je števil med 7 in 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

koliko je 12 + 54 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

koliko je 47 - 21 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0

∑ točk na stopnji 2 10 7 6 6 10 3 4 9 5 9 9 8 9 7 9

Stopnja 3

10 števil za 99 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1

9 števil za 999 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1

večja razlika: med 9 in 6 ali 8 in 3

1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 večja razlika: med 6 in 2 ali 8 in 5 manjša razlika: med 99 in 92 ali 25 in 11

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 manjša razlika: med 48 in 36 ali 84 in 73

koliko je 13 + 39 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1

koliko je 36 - 18 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0

od 301 odvzemi 7 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1

∑ točk na stopnji 3 7 0 0 7 5 0 0 4 1 3 4 2 4 5 5

∑ točk učenca 32 21 21 28 30 18 16 28 18 27 26 24 28 27 30

Razvitost za … let 7-8 7-8 8-9 9-10 6-7 6-7 8-9 6-7 8-9 8-9 7-8 8-9 8-9 9-10

Legenda: D… možno število točk 1 – 16… posamezni učenci skupine 1 ∑ … vsota


141

Tabeli 57 in 58 prikazujeta nivo matematičnega znanja za starostno skupino, ki ji posamezni

učenec skupine 1 (tabela 57) in skupine 2 (tabela 58) pripada po kriterijih Testa poznavanja

števil.

V skupini 1 je največ učencev doseglo nivo za starost od 9 do 10 let (najvišji možen nivo). Teh

učencev je bilo 9 (56,25 %) učencev. Tem sledi 6 (37,50 %) učencev, ki so dosegli nivo

poznavanja števil za starost od 8 do 9 let. En učenec skupine 1 (6,25 %) pa je dosegel nivo

matematičnega znanja za starostno obdobje od 7 do 8 let.

V skupini 2 sta le 2 (14,29 %) učenca dosegla nivo matematičnega znanja za starost 9 do 10 let.

Največ učencev (6 ali 42,85 %) v tej skupini je doseglo nivo znanja za starost od 8 do 9 let.

Trije učenci (21,43 %) so dosegli nivo znanja za 7 do 8 let in trije (21,43 %) nivo znanja za 6

do 7 let.

Pri primerjavi nivoja matematičnega znanja glede poznavanja števil učencev skupine 1 in 2

opazimo, da je kar 93,75 % učencev skupine 1 doseglo najmanj nivo za starost 8 do 9 let,

medtem ko je ta nivo v drugi skupini doseglo le 57,14 % učencev. Tudi pri primerjavi

doseženega najvišjega nivoja lahko vidimo očitno razliko: 56,25 % učencev skupine 1 in le

14,29 % učencev skupine 2 so dosegli najvišji nivo.

Na osnovi rezultatov učencev skupine 1 in skupine lahko povzamemo, da ima obravnava

učencev z učnimi težavami pri aritmetiki v manjših skupinah pozitiven učinek na matematično

konceptualno, deklarativno in proceduralno znanje, kar je potrdila tudi študija, v kateri so

Bryant, Bryant, Gersten, Scammacca, Funk idr. (2008b) oblikovali matematično obravnavo

učencev prvega razreda, ki je zajemala razvoj matematičnih konceptov in postopkov, kot so

količine, seštevanje, vrstni red števil, aritmetična dejstva in mestne vrednosti.


142


Tabela 59: Dosežki učencev skupine 1 in skupine 2 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije

poštevanke na začetnem in končnem testiranju

Legenda: S1 … skupina 1 S2 … skupina 2 Z … začetno testiranje K … končno testiranje 1t … ena točka 2t … dve točki 3t … tri točke Dt … dosežene točke min … najnižji dosežek max ... najvišji dosežek N … število učencev f1%, f2%, fD% … število doseženih točk v %

Iz tabele 59 je razvidno, da so učenci skupine 1 dosegli na končnem testiranju za ocenjevanje

avtomatizacije poštevanke občutno višje rezultate v primerjavi z začetnim. Učenci skupine 1 so

na začetnem testiranju rešili 162 računov, ovrednotenih z 1 točko, kar znaša 42,19-odsotni

uspeh. Na končnem testiranju pa so dosegli 365 točk in s tem 95,05-odsotni uspeh. Učenci

skupine 2 so na začetnem testiranju pravilno rešili le 4 račune točkovane z 2 točkama, kar znaša

komaj 3,125 %. Na končnem testiranju pa so pri računih z dvema točkama pravilno rešili 104

račune (81,25 %). Razkorak pri nalogah z dvema točkama glede na začetno in končno testiranje

je precejšen. Glede na dosežene točke so učenci skupine 1 na začetnem testiranju dosegli 170

točk (26,56 %), na končnem testiranju pa 573 točk (89,53 %).

Tudi učenci skupine 2 so na Testu za ocenjevanje avtomatizacije poštevanke dosegli

pričakovano višje rezultate na končnem testiranju v primerjavi z začetnim, kar nam kaže tabela

45. Učenci so na začetnem testiranju rešili 132 računov, ovrednotenih z 1 točko, kar znaša

skupine 1t

max=24 f1% min max

2t


Dt

max

=40

f%D min max

S1 Z 162 42,19 2 22 8 3,125 0 2

16 170 26,56 2 24

K 365 95,05 19 24 208 81,25 4 16 573 89,53 27 40

S2 Z 132 39,29 5 16 4 1,79 0 2

14 136 24,29 5 16

K 301 89,58 18 24 130 58,04 2 16 431 76,96 20 40


143

39,29-odsotni uspeh, na končnem testiranju pa 301 točko in s tem 89,58-odsotni uspeh. Na

začetnem testiranju so v povprečju pravilno rešili le 2 računa, točkovana z dvema točkama, kar

znaša 1,79 %. Na končnem testiranju pa so pravilno rešili 65 računov (58,04 %), vrednotenih z

2 točkama. Tabela 59 pokaže napredek v dosežkih obeh skupin pri nalogah, vrednotenih z

dvema točkama glede na začetno in končno testiranje. Glede na dosežene točke so učenci

skupine 2 na začetnem testiranju dosegli 136 točk (24,29 %), na končnem testiranju pa 431 točk

(76,96 %), kar pomeni velik napredek v avtomatizaciji aritmetičnih dejstev poštevanke.

Tabela 60: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke glede na račune, vrednotene z 1, 2 točkama in doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju

Skupina 1

N=16

čas testiranje


t-test

t Sig. (2-tailed)

1 točka Z

10,13 5,64 -9,859 ,000 K

22,81 1,56

2 točki Z

0,50 0,89 -12,605 ,000 K

13,00 3,72 doseženo št.

točk

Z 10,63 6,00 -17,072 ,000

K 35,81 4,59

Legenda: N … število učencev Z … začetno testiranje K … končno testiranje M … aritmetična sredina SD … standardna deviacija t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost

Preverili smo statistično pomembnost razlik med aritmetičnima sredinama dosežkov skupine 1

glede na začetno in končno testiranje na Testu za ocenjevanje avtomatizacije poštevanke in

prikazali v tabeli 60. Ugotovili smo, da pri učencih skupine 1 obstajajo statistično pomembne

razlike v dosežkih glede na začetno in končno testiranje pri vseh spremenljivkah.

Aritmetična sredina dosežkov učencev skupine 1 na začetnem testiranju znaša 10,63 točke, na

končnem testiranju pa 35,81 točk. Pri računih, ovrednotenih z 1 točko, so učenci na začetnem

testiranju dosegli povprečno 10,13 točk, na končnem pa 22,81 točk. Osem računov, ki so bili

ovrednoteni z dvema točkama, se je izkazalo za zelo zahtevne. Na začetnem testiranju so učenci

skupno v povprečju dosegli komaj 0,5 točke, na končnem testiranju pa 13 točk.


144

Tabela 61: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 2 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke glede na račune, vrednotene z 1, 2 točkama in doseženo število točk na začetnem in končnem testiranju

Skupina 2

N=14

čas testiranje


t-test

t Sig. (2-tailed)

1 točka Z 9,44 3,63

-10,240 ,000 K 21,50 1,68

2 točki Z 0,28 0,73

-6,987 ,000 K 9,29 4,61

doseženo št.

točk

Z 9,71 3,55 -9,826 ,000

K 30,79 6,08

Legenda: N … število učencev Z … začetno testiranje K … končno testiranje M … aritmetična sredina SD … standardna deviacija t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost

Iz tabele 61 lahko razberemo, da obstajajo statistično pomembne razlike med aritmetičnima

sredinama dosežkov skupine 2 na začetnem in končnem testiranju na Testu za ocenjevanje

avtomatizacije poštevanke pri vseh spremenljivkah.

Aritmetična sredina dosežkov učencev skupine 2 glede na začetno doseženo število točk

povprečno znaša 9,71 točke, na končnem testiranju pa 30,79 točk. Pri računih, ovrednotenih z

1 točko, so učenci na začetnem testiranju dosegli povprečno 9,44 točk, na končnem pa 21,50

točk. Računi, ovrednoteni z dvema točkama, so se izkazali za zelo zahtevne. Na začetnem

testiranju so učenci skupine 2 dosegli v povprečju le 0,28 točke, na končnem testiranju pa 9,29

točke.


145

Tabela 62: Statistična pomembnost razlik med aritmetičnimi sredinami dosežkov skupine 1 in skupine 2 na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke glede na račune, vrednotene z 1, 2 točkama in doseženo število točk na končnem testiranju

Legenda: N … število učencev K … končno testiranje M … aritmetična sredina SD … standardna deviacija F … vrednost koeficienta t … vrednost koeficienta Sig. (2-tailed) … statistična pomembnost

Iz tabele 62 je razvidno, da se variance vzorcev (Levenov test homogenosti variance) glede na

končno testiranje ne razlikujejo statistično pomembno pri vseh treh spremenljivkah, zato smo

uporabili obliko t-testa za privzeti enaki varianci. Testirani skupini se statistično pomembno

razlikujeta v dosežkih med seboj pri vseh treh spremenljivkah. Aritmetična sredina dosežkov

učencev skupine 1 znaša 35,81, skupine 2 pa 30,79 točk. Razlika med aritmetičnima sredinama

dosežkov skupine 1 in skupine 2 je statistično pomembna pri tveganju, ki je manjše od 0,05 %.

Povzetek ugotovitev o dosežkih učencev skupine 1 in skupine 2 na Testu za ugotavljanje

avtomatizacije poštevanke

Pri primerjavi dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2 na testu za ugotavljanje avtomatizacije

poštevanke ugotavljamo, da so učenci skupine 1 in skupine 2 statistično pomembno napredovali

v avtomatizaciji aritmetičnih dejstev poštevanke v času od začetnega do končnega testiranja.

Na začetnem testiranju med dosežki učencev skupine 1 in skupine 2 ni bilo statistično

pomembnih razlik pri vseh spremenljivkah (računi, ovrednoteni z 1 točko, z 2 točkama in

doseženo število točk). Na končnem testiranju pa so se med dosežki skupine 1 in skupine 2

pokazale statistično pomembne razlike pri vseh spremenljivkah (računi, ovrednoteni z 1 točko,

K

točke

Skupini

SKUPINA 1

SKUPINA 2

N M SD

Levenov test

homogenosti variance t Sig.

F Sig.

1 1 16 22,81 1,56

0,315 ,579 2,207 ,036 2 14 21,50 1,70

2 1 16 13,00 3,72

1,159 ,291 2,439 ,021 2 14 9,29 4,62

D 1 16 35,81 ,58

1,200 ,283 2,578 ,015 2

14 30,79 6,08


146

z 2 točkama in doseženo število točk), kar kaže na to, da so učenci skupine 1 v obdobju enega

leta ob skupinski in vrstniški pomoči napredovali v večji meri, kot učenci skupine 2, ki te

pomoči niso bili deležni.

Jordan, Hanich in Kaplan (2003) so spremljali priklic aritmetičnih dejstev seštevanja in

poštevanke pri ameriških drugošolcih in ugotovili, da so učenci s slabšim priklicem dejstev

pokazali majhno izboljšanje na časovno omejenem testu priklica dejstev v tretjem razredu.


147

6.5 PREGLED URESNIČEVANJA CILJEV PROGRAMA PO MATEMATIČNIH PODROČJIH

Pri učencih skupine 1, ki so bili vključeni v program pomoči na tretjem koraku petstopenjskega

modela pomoči ob vrstniški pomoči, smo mesečno spremljali njihov napredek v aritmetičnih

znanjih in sposobnostih.

6.5.1 Matematično deklarativno znanje Tabela 63: Prikaz doseganja ciljev s področja matematičnega deklarativnega znanja učencev skupine 1 po mesecih

Zaporedni mesec obravnave

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Poč

itni

ce

7. 8. 9. 10. ni usvojil cilja

DEKLARATIVNO ZNANJE Cilji

Število učencev, ki so v posameznem mesecu dosegli cilj


Učenec: Šteje v zaporedju do 20: po 1 naprej 16 po 1 nazaj 16 po 2 naprej 16 po 2 nazaj 16 po 3 naprej 9 2 3 2 po 3 nazaj 3 2 4 4 2 1 po 5 naprej 16 po 5 nazaj 16 Šteje v zaporedju do 100: po 1 naprej 2 5 3 2 4 po 1 nazaj 2 5 5 4 po 2 naprej 2 2 4 8 po 2 nazaj 2 2 4 1 2 5 po 3 naprej 2 4 6 2 1 1 po 3 nazaj 2 3 5 1 2 2 1 po 5 naprej 2 6 6 2 po 5 nazaj 2 4 6 2 1 1 po 10 naprej 10 6 po 10 nazaj 9 7 Pozna imena matematičnih simbolov pri računanju (plus, minus, krat, deljeno, je enako) in jih v učnih okoliščinah pravilno uporablja. 16 Usvoji osnovna artimetična dejstva do avtomatizma: podvajanje do 10 (5 + 5 = 10) 3 5 6 2 podvajanje do 20 (10 + 10 = 20) 2 2 3 6 3

prištevanje in odštevanje števila 1 16


148

Legenda: D … desetice E … enice Tabela 63 prikazuje število učencev, ki so v posameznem mesecu obravnave dosegli posamezni

cilj s področja matematičnega deklarativnega znanja.

prištevanje in odštevanje števila 2 15 1

Poč

itni

ce

prištevanje in odštevanje števila 5 4 3 5 2 2 Pozna aritmetična dejstva razdeljevanja števil v obsegu do 10 (npr.1=1+0… 10=9+1; 10=10+0).

10 2 3 1

Znanje usvojenih osnovnih aritmetičnih dejstev uporabi v znanih okoliščinah.

5 4 2 4 1

Pri neavtomatiziranih osnovnih aritmetičnih dejstvih seštevanja uporablja naslednje strategije:

prešteva vse na prste učenci strategije niso uporabljali učenci strategije niso uporabljali

začne s prvim številom ne glede na velikost in prišteje drugega

4

začne z večjim številom in prišteje drugega

12 2 2

prikliče uporabno pravilo (podvajanje 5 + …) in prilagodi

1 2 5 6 1 1

uporablja poznavanje mestnih vrednosti do 20 (10 + …)

8 6 2

uporablja poznavanje mestnih vrednosti do 100 (D + E; DE + E)

4 4 3 3 2

Pri neavtomatiziranih osnovnih aritmetičnih dejstvih odštevanja uporablja naslednje strategije:

prešteje večje število, odšteje manjšega in prešteje ostanek

16

šteje nazaj po ena od večjega števila 14 1 1

šteje naprej po ena od manjšega števila 4 3 3 4 2

razdruži odštevanec, odšteje do desetice in nato od desetice

4 5 2 3 2

pozna desetiške enote v obsegu naravnih števil do 20 (npr. 14 = 1D 4 E)

5 11

pozna desetiške enote v obsegu naravnih števil do 100 (npr. 67 = 6D 7 E)

3 5 6 2

Prikliče aritmetična dejstva poštevanke števil 1, 2, 3, 4, 5, 10.

2 3 5 2 2 2

Prikliče aritmetična dejstva poštevanke števil 6, 7, 8, 9.

2 4 4 2 3 1


149

Iz tabele 63 je razvidno, da so pri matematičnem deklarativnem znanju skoraj vsi učenci najprej

dosegli cilje pri štetju v zaporedju do 20, poznavanju oziroma uporabi matematičnih simbolov

pri računanju in pri prištevanju števil 1 in 2. Dobro jim je šlo tudi pri strategiji seštevanja »začne

z večjim številom in prišteje drugega« ter pri strategiji odštevanja »prešteje večje število,

odšteje manjšega in prešteje ostanek«.

Slabši rezultat je dosegel 1 učenec, ki je komaj novembra usvojil »štetje v zaporedju do 100 po

3 naprej«, en učenec je komaj decembra dosegel cilj pri »štetje v zaporedju do 100 po 3 nazaj«,

2 učenca sta šele decembra dosegla cilj »štetje naprej po ena od manjšega števila. 2 učenca sta

v decembru usvojila »priklic aritmetičnega dejstva poštevanke števil 1, 2, 3, 4, 5, 10«; 1 učenec

pa ni usvojil cilja »priklic aritmetičnega dejstva poštevanke števil 6, 7, 8, 9«.

Učenci so v času izvajanja programa pomoči obiskovali 3. razred, zato so že obvladovali

določena matematična deklarativna znanja oziroma so jih z vajo hitro pridobili, kot npr. štetje

v zaporedju do 20, štetje v zaporedju do 100 po 10 naprej in nazaj, poznali in uporabljali so

matematične simbole za računske operacije, obvladovali prištevanje in odštevanje števil 1 in 2

ter odštevanje s pomočjo strategije preštevanja večjega števila, odštevanja manjšega in

preštevanja ostanka. V dveh oziroma treh mesecih so pridobili tudi znanja: strategiji seštevanja

(začne z večjim številom in prišteje manjšega; uporablja poznavanje mestnih vrednosti do 20

(10+…) ter strategije odštevanja (štetje nazaj po ena od večjega števila; pozna desetiške enote

v obsegu naravnih števil do 20 (npr. 14 = 1D 4E). Pri strategijah odštevanja (pozna desetiške

enote v obsegu naravnih števil do 100) so vsi učenci dosegli cilj v štirih mesecih. Za usvojitev

ostalih ciljev s področja deklarativnega znanja pa so učenci potrebovali več časa.


150

6.5.2 Matematično konceptualno znanje

Tabela 64: Prikaz doseganja ciljev s področja matematičnega konceptualnega znanja učencev skupine 1 po mesecih

Zaporedni mesec obravnave 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Poč

itni

ce


KONCEPTUALNO ZNANJE Cilji



Učenec:

V obsegu naravnih števil do 20 pozna odnose med števili v številski vrsti:

ve, katero je večje/manjše, 16 ve, katero je za nekaj števil večje/manjše,

10 4 2

ve, katero je bližje nekemu številu,

14 2

pozna predhodnik in naslednik števila.

14 2

Razume povezanost matematičnih konceptov seštevanja in odštevanja naravnih števil do 20.

14 2

Uredi po velikosti množico naravnih števil do 100.

2 6 6 2

V obsegu naravnih števil do 100 pozna odnose med števili v številski vrsti:

ve, katero število je za nekaj števil za/pred drugim številom,

6 7 2 1

ve, katero število je večje/manjše,

16

ve, katero število izmed izbranih je bliže določenemu številu.

3 5 9 2

Pozna in razume matematične pojme:

predhodnik, 10 6 naslednik, 10 6 večje število, 16 manjše število. 16 Uporablja matematične pojme: predhodnik, 10 2 4 naslednik, 10 2 4 večje kot, 16 manjše kot. 16


151

Iz tabele 64 je razvidno, da so učenci cilje na področju matematičnega konceptualnega znanja

hitro dosegli. Najhitreje so dosegli cilje: »ve, katero število je večje/manjše«, »poznavanje

odnosov med števili: večje/manjše število« ter »uporaba pojmov: večje kot, manjše kot«. Vse

zastavljene cilje s področja matematičnega konceptualnega znanja so učenci dosegli že v prvih

6 mesecih. Cilji, ki smo jih zastavili na področju konceptualnega matematičnega znanja, so

zajeti v učnem načrtu 1., 2. in 3. razreda. Usvojitev teh znanj učencem ni povzročala posebnih

težav, razen dvema učencema.

6.5.3 Matematično proceduralno znanje

Tabela 65: Prikaz doseganja ciljev s področja matematičnega proceduralnega znanja učencev skupine 1 po mesecih

Zaporedni mesec obravnave 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Poč

itni

ce


PROCEDURALNO ZNANJE Cilji



Učenec:

Pravilno izvaja postopke seštevanja in odštevanja do 20.

8 4 2 4 2

Sešteva v množici naravnih števil do 100:

D + D, 6 4 3 3 D + E, 8 2 2 4 DE + E brez prehoda desetice, 4 4 3 3 2 DE + E s prehodom desetice, 6 1 1 3 3 1 1 DE + D, 6 3 2 2 3 DE + DE brez prehoda desetice, 6 3 3 2 2 DE + DE s prehodom desetice. 3 4 3 1 1 2 1 1 Odšteva v množici števil do 100:

D - D, 3 5 2 4 2 DE - E brez prehoda desetice, 7 3 2 1 2 1 DE - D, 5 2 4 2 1 2 DE - DE brez prehoda desetice, 3 2 4 1 2 3 1 DE - DE s prehodom desetice. 2 1 2 2 1 4 1 2 1

Legenda: D … desetice E … enice Iz tabele 65 je razvidno, da so učenci cilje s področja matematičnega proceduralnega znanja

usvajali skozi celo leto. Po koncu izvajanja programa pomoči 1 učenec skupine 1 ni usvojil


152

seštevanja dvomestnih števil s prehodom desetice, prav tako kot ne odštevanja dvomestnih

števil s prehodom desetice. En učenec je komaj v desetem mesecu izvajanja programa pomoči

dosegel cilj seštevanja dvomestnega števila in enic s prehodom desetice in seštevanja

dvomestnih števil s prehodom desetice. Prav tako je 1 učenec v desetem mesecu izvajanja

programa pomoči usvojil odštevanje dvomestnih števil in enic brez prehoda desetice in

odštevanje dvomestnih števil brez prehoda desetice. Dva učenca sta v desetem mesecu izvajanja

programa pomoči usvojila odštevanje dvomestnih števil s prehodom desetice.

Iz rezultatov v tabeli 65 lahko razberemo, da so učencem skupine 1 največ težav povzročali

računi seštevanja in odštevanja dvometnih števil in enic s prehodom desetice ter seštevanje in

odštevanje dvomestnih števil brez prehoda desetice in s prehodom desetice. En učenec

računanja z dvomestnimi števili s prehodom desetice ni usvojil.

M. Kavkler (1996) navaja, da na razvoj matematičnega proceduralnega znanja pri mlajših

otrocih vpliva obvladovanje štetja in delovni spomin. Od tega, kako hitro učenec šteje, in od

delovnega spomina pa je odvisno deklarativno matematično znanje ali znanje aritmetičnih

dejstev.


153

6.6 DISKRIMINANTNA ANALIZA

Za ugotavljanje razlik med spremenljivkami (Odkrivanje učnih težav pri matematiki III; Test

poznavanja števil; Desetminutni aritmetični test) pri učencih z učnimi težavami pri aritmetiki,

vključenih v program pomoči (skupina 1) in učencih z učnimi težavami pri aritmetiki, ki niso

bili deležni pomoči po našem programu (skupina 2), smo uporabili diskriminantno analizo.

Diskriminantna analiza je ena od vrste multivariantne analize, ki nam omogoča ugotavljanje

strukture in diskriminantne vrednosti posameznih manifestnih spremenljivk. Na podlagi

diskriminantne analize spoznamo manifestne spremenljivke, ki najbolj diskriminirajo med

seboj obe skupini. Z oblikovanjem prediktorskega modela manifestnih spremenljivk smo

določili pripadnost vzorcu učencev skupine 1 in skupine 2.

Tabela 66: Parametri opisne statistike za manifestne spremenljivke in izračun Wilksonovega testa

spremenljivke skupine M SD

Wilks' Lambda

F df1 df2 sig.

Odkrivanje učnih težav pri

matematiki III

S1 14,03 2,11 ,805 6,773 1 28 ,015

S2 10,71 4,58

Test poznavanja števil

S1 28,50 2,39 ,754 9,134 1 28 ,005

S2 24,43 4,76

Desetminutni aritmetični test

S1 79,81 12,50 ,654 14,806 1 28 ,001

S2 58,21 18,07

Legenda: M … aritmetična sredina SD … standardna deviacija F … vrednost koeficienta df1 … stopnje prostosti df2 … stopnje prostosti sig. … statistična pomembnost

Testiranje univariatne enakosti aritmetičnih sredin (prikazano v tabeli 66) med skupino 1 in

skupino 2 je pokazalo statistično pomembnost razlike med aritmetičnimi sredinami pri vseh

treh spremenljivkah (testih). Glede na velikost F-testa je ta razlika največja pri spremenljivki

»Desetminutni aritmetični test«. Najmanjša pa je razlika pri spremenljivki »Odkrivanje učnih

težav pri matematiki III«.


154

Tabela 67: Diksriminativna funkcija

funkcija Wilks'

Lambda χ2 df sig.

Lastna vrednost

Koeficient kanonične korelacije

1 ,635 12,055 3 ,007 ,576 ,605 Legenda: χ² … porazdelitev hi-kvadrat df … stopnje prostosti sig. … statistična pomembnost

Tabela 67 prikazuje diskriminativno funkcijo. Analizirali smo dve skupini, zato je možna le ena

diskriminantna funkcija. Njeni koeficienti sestavljajo njeno strukturo. Wilksova lambda (0,635)

kaže, da je diskriminantna funkcija učinkovito razločuje skupini med seboj. Pomembnost

Wilksove lambde smo preverjali s χ² testom.

S χ² testom smo ugotovili statistično pomembnost diskriminantne funkcije, kar pomeni, da je

sposobna učinkovito razlikovati med skupinama.

Tabela 68: Strukturna matrika

Strukturna matrika Diskriminativna funkcija

1

Desetminutni aritmetični test ,958

Test poznavanja števil ,753

Odkrivanje učnih težav pri matematiki III ,648

Tabela 68 prikazuje pomembne projekcije na diskriminantni funkciji. Metodo enter smo

uporabili kot metodo analize neodvisnih spremenljivk, ta pa vključi v analizo vse neodvisne

spremenljivke hkrati. Spremenljivke so glede na velikost njihove povezanosti z diskriminantno

funkcijo urejene v zaporedju po padajoči moči korelacijske zveze.

Ob analizi trditev, ki so rezultirale kot razlikujoče, ugotavljamo, da so si opisane projekcije

blizu glede na doprinos. Rezultati v tabeli 68 kažejo, da diskriminirata skupini učencev

(pojasnilo-ali da se skupini razlikujeta) od vseh spremenljivk najbolj pri spremenljivki

«Desetminutnem aritmetičnem testu«. Sledi spremenljivka »Test poznavanja števil«. Najmanj

od vseh treh spremenljivk pa diskriminirata obe skupini pri spremenljivki »Odkrivanje učnih

težav pri matematiki III«.


155

Tabela 69: Centroida skupin

Skupina ½ Funkcija 1

Skupina 1 ,686

Skupina 2 -,784

Za razlago rezultatov diskriminativnih spremenljivk moramo poznati smer spremenljivk glede

na analizirano skupino. Centroidi skupin predstavljajo povprečje diskriminantnih vrednosti v

skupini (Bastič, 2006, Kalan, 2015).

V tabeli 69 lahko vidimo, da centroida skupin kažeta oddaljenost obeh skupin: skupine 1

(učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so bili deležni programa pomoči) in skupine 2

(učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki niso bili deležni pomoči po našem programu).

Skupini sta se znašli na nasprotnih polih, kar pomeni, da diskriminantna funkcija dobro ločuje

med skupinama. Smer diskriminantne funkcije je naslednja: pozitivna vrednost predstavlja

skupino 1 (učenci z učno pomočjo vključeni v program pomoči), negativno vrednost pa ima

skupina učencev z učnimi težavami, ki niso vključeni v naš program pomoči, t.j. skupina 2.

Tabela 70: Rezultati klasificiranja

Rezultati klasificiranja

Napovedana

pripadnost skupini Vsota

Skupina 1/2 Skupina 1 Skupina 2

Dejanska Skupina 1 N 13 3 16

razvrstitev Skupina 2 N 3 11 14

% pravilno Skupina 1 f 81,3 18,8 100,0

razvrščenih Skupina 2 f 21,4 78,6 100,0

80,0% originalno grupiranih primerov pravilno klasificiranih. Legenda: N … število učencev f … delež učencev v %

Klasifikacijska tabela (tabela 70) prikazuje odstotek z diskriminantno funkcijo pravilno

razvrščenih učencev v skupini. S pomočjo izbranih spremenljivk je bilo pravilno uvrščenih 81,3

% skupine 1 (učenci z učnimi težavami, ki so bili vključeni v program pomoči) in 78,6 %


156

skupine učencev skupine 2 (učenci z učnimi težavami brez pomoči po našem programu).

Pravilno je razvrščenih 80 % vseh učencev vzorca, kar potrjuje, da se skupini dobro razlikujeta

po opazovanih spremenljivkah (t.j. Desetminutni aritmetični test, Odkrivanje učnih težav pri

matematiki III, Test poznavanja števil).

Tudi rezultati diskriminantne analize potrjujejo statistično pomembnost razlik med dosežki

učencev skupine 1 in skupine 2 na končnem testiranju z Desetminutnim aritmetičnim testom za

ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov, s testom Odkrivanje učnih težav

pri matematiki III in Testom poznavanja števil. Ta ugotovitev potrjuje napredek učencev

skupine 1 v aritmetičnih znanjih, kar je rezultat formalnega poučevanja in učenja, pomoči v

skupini in vrsniške pomoči.

6.7 PRIKAZ MNENJ UČENCEV Z UČNIMI TEŽAVAMI PRI ARITMETIKI IN VRSTNIKOV POMOČNIKOV O DELU V SKUPINI IN/ALI V PARU

Želeli smo pridobiti informacijo o tem, kako so se učenci z učnimi težavami pri aritmetiki

počutili pri delu v skupini in v paru, katera oblika pomoči jim je bila najbolj všeč, njihovo

mnenje o učinkovitosti dela v paru ter o njihovi želji po večkratnem učenju v paru in v skupini.

Informacije o tem smo pridobili z anketnim vprašalnikom.

Anketni vprašalnik za učence z učnimi težavami pri aritmetiki o delu v paru in skupini

1. Vprašanje: Ali ti je bilo všeč učiti se v paru in skupini? Obkroži ustrezen odgovor.

Graf 2: Mnenje učencev z učnimi težavami o priljubljenosti učenja v paru in skupini

94%

6%0%

Zelo mi je bilovšeč

Še kar mi je bilovšeč

Ni mi bilo všeč


157

Iz grafa 2 je razvidno, da je bilo 15 učencem zelo všeč učiti se v paru in skupini, enemu učencu

je bilo še kar všeč, noben učenec pa se ni opredelil, da mu tak način učenja ne bi bil všeč.

2. Vprašanje: Ali si želiš, da bi se večkrat učil v paru in skupini pri matematiki?

Obkroži ustrezen odgovor.

Graf 3: Mnenje učencev z učnimi težavami o želji po večkratnem učenju v paru in skupini pri matematiki

Iz grafa 3 je razvidno, da bi se 14 učencev večkrat učilo v paru in v skupini pri matematiki, 2

učenca sta pa izrazila, da se na ta način ne bi več želela učiti.

Podvprašanje je bilo odprtega tipa in se je glasilo »Napiši, zakaj si se tako odločil/a?«

Učenci so odgovarjali: »Ker bi se rad še več naučil. Ker mi to pomaga pri učenju. Da bi kaj

razumel. Ker se bolje naučim. Ker mi lahko vrstnik pomaga, ko kaj ne vem. Ker lahko drug

drugemu pomagava. Ker se je lepo družiti s prijatelji/cami pri učenju. Ker se rada družim s

prijatelji. Ker smo se zabavali in veliko naučili. Ker je zabavno.«

Učenec, ki je na vprašanje Ali si želiš, da bi se večkrat učili v paru in skupini pri matematiki?

odgovoril z ne, je zapisal naslednjo razlago: »Ker sem raje v razredu.«.

87%

13%

Da

Ne


158

3. Vprašanje: Katera oblika dela ti je bila najbolj všeč? Obkroži ustrezen odgovor.

Graf 4: Mnenje učencev z učnimi težavami o tem, katera oblika dela jim je bila bolj všeč

Iz grafa 4 je razvidno, da je bilo 13 učencem najbolj všeč delati v paru, trem je bilo najbolj všeč

delo v skupini.

Pri vprašanju smo postavili še podvprašanje »Napiši, zakaj si se tako odločil/a?«. Učenci so

odgovarjali na način:

»Ker sem se lahko pogovorila s sošolko. Ker se več naučim v paru. Ker si pomagamo. Ker smo

si pomagali med seboj. Delo v skupini mi je bilo všeč. Ker smo se imeli lepo v skupini in v

paru. Lažje dojemam snov. Lažje je delati v paru kot sam. Ker mi je v skupini lepše in je bolj

zabavno. Ker je boljše delati v paru. Prijatelj ti lahko svetuje. Ker več ljudi več zna.«

4. Vprašanje: Kakšno je bilo tvoje sodelovanje z vrstnikom v paru?

Graf 5: Mnenje učencev z učnimi težavami o sodelovanju z vrstnikom v paru

0%

81%

19%Sam/a

V paru

V skupini

87%

13%

0%

Zelo dobro

Srednje dobro

Slabo


159

Iz grafa 5 lahko razberemo, da je 14 učencev ocenilo, da je bilo njihovo sodelovanje z vrstnikom

v paru zelo dobro, 2 učenca sta ocenila, da je bilo sodelovanje srednje dobro. Noben učenec ni

ocenil sodelovanja kot slabega.

5. Vprašanje: Kaj meniš, da je pri delu v paru boljše/slabše kot takrat, ko delaš sam/a?

Vprašanje je bilo odprtega tipa. Učenci so odgovarjali, da je delati v paru boljše kot samostojno

iz naslednjih vzrokov: »Da si lahko pomagamo. Da lahko vprašam prijatelja. Se lahko hitreje

naučim. Bolje mi gre, ko imam pomoč v paru. Prijatelj mi dobro razloži. Ko delam v paru je

bolje, kot ko sem sam. Ko delam sam, je slabše, ker nimam pomoči. Bolje se počutim, ko nisem

sama. Ko delam sama, je slabše. Ko delam sama, moram prositi učiteljico za pomoč.«

Učenci so navajali, da je delo v paru slabše kot delo samostojno v primeru: »Vsak ima svojo

idejo in vsak hoče uveljaviti svojo.«

6. Vprašanje: Kaj meniš, ali si pri reševanju matematičnih nalog uspešnejši, ko delaš sam/a

ali ko delaš v paru? Obkroži ustrezni odgovor.

Graf 6: Mnenje učencev z učnimi težavami o uspešnosti pri reševanju matematičnih nalog

Iz grafa 6 lahko razberemo, da se je 15 učencev opredelilo, da so pri reševanju matematičnih

nalog uspešnejši, če delajo v paru, 1 učenec pa je odgovoril, da je uspešnejši, če naloge rešuje

sam.

6%

94%

Sam/a

V paru


160

7. Vprašanje: Ali ti je vrstnik v paru ali skupini pomagal, če česa nisi znal/a? Obkroži.

Graf 7: Mnenje učencev z učnimi težavami o pomoči vrstnikov, če česa niso znali

Iz grafa 7 je razvidno, da so vsi učenci izrazili, da so jim vrstniki pomagali, če česa niso znali.

Pri tem vprašanju smo želeli izvedeti še, kako so jih vrstniki tutorji pomagali. Odgovori so se

glasili tako: »Razložil mi je, kar nisem razumela, znala izračunati. Pomagal mi je, če nisem znal

izračunati. Razložil mi je. Povedal mi je, če sem prav izračunal. Se je česa spomnil, kar sem jaz

pozabil. Z usmerjanjem v razmišljanje. Pogovorila sva se o računanju. Pomagala mi je pri

množenju in deljenju in pri računih, ki jih nisem znala rešiti. Vodil me je do rezultata.«

8. Vprašanje: Kaj ti je bilo všeč in kaj ti ni bilo všeč pri delu v paru in v skupini?

Vprašanje je bilo odprtega tipa, učenci so pa odgovorili z: »Vse mi je bilo všeč. Da smo se

lahko pogovarjali. Da smo se družili. Da smo sodelovali. Da nisem delal sam. Da smo se učili

in hkrati zabavali. Bilo je zabavno in mi je pomagalo pri učenju.« Na vprašanje, kaj ti ni bilo

všeč pri delu v paru in v skupini pa so učenci odgovarjali: »Vse mi je bilo všeč. Nič ni bilo

slabo. Zgodilo se je, da sem bila edina deklica med fanti. Zgodilo se je, da smo vsi hoteli

govoriti naenkrat.«.

100%

0%

Da

Ne


161

Anketni vprašalnik za vrstnike pomočnike o delu v paru

Želeli smo dobiti informacijo tudi o tem, kako so se vrstniki pomočniki počutili ob nudenju

pomoči v paru, o uspešnosti vrstnika ob njihovi pomoči, o njihovi pripravljenosti za nudenje

pomoči ter o pripravljenosti za nudenje pomoči tudi v prihodnje.

Informacije o tem smo pridobili z anketnim vprašalnikom.

1. Vprašanje: Ali ti je bilo všeč nuditi pomoč učencu v paru pri matematiki?

Graf 8: Mnenje vrstnikov pomočnikov o priljubljenosti nudenja pomoči učencu v paru pri matematiki

Iz grafa 8 lahko razberemo, da je bilo 12 vrstnikom pomočnikom zelo všeč nuditi pomoč

vrstniku v paru pri matematiki, 2 vrstnikoma pomočnikoma je bilo še kar všeč nuditi pomoč

vrstniku v paru, noben vrstnik pomočnik pa ni izbral odgovora, da mu nudenje pomoči ni bilo

všeč.

2. Vprašanje: Ali bi želel/a še kdaj nuditi pomoč učencu v paru pri matematiki?

Graf 9: Mnenje vrstnikov pomočnikov o želji po ponovnem nudenju pomoči učencem pri matematiki

86%

14%

0%

Zelo mi je bilovšeč

Še kar mi jebilo všeč

Ni mi bilo všeč

93%

7%

Da

Ne


162

Iz grafa 9 je razvidno, da bi 13 vrstnikov pomočnikov tudi v prihodnje nudilo pomoč učencu v

paru pri matematiki, 1 pomočnik pa se za to ne bi odločil.

Pri drugem vprašanju smo postavili še podvprašanje odprtega tipa, ki se je glasilo: »Napiši,

zakaj si se tako odločil/a?«.

Odgovori, ki smo jih prejeli so bili takšni: »Ker sem se tudi sam veliko naučil. Ker rad pomagam

drugim. Prijetno mi je bilo. Postali smo prijatelji. Dobro sem se počutil, ko sem znal razložiti.

Tako delo mi je bilo všeč.«

3. Vprašanje: Kakšno je bilo tvoje sodelovanje z učencem v paru?

Graf 10: Mnenje vrstnikov pomočnikov o sodelovanju z učencem v paru

Iz grafa 10 je razvidno, da je 12 vrstnikov pomočnikov ocenilo, da so zelo dobro sodelovali z

vrstnikom v paru, 2 vrstnika pomočnika pa sta ocenila, da sta srednje dobro sodelovala z

vrstnikom v paru. Noben ni ocenil, da bi slabo sodeloval z vrstnikom.

Tudi tukaj nas je zanimalo podrobnejša razlaga in smo postavili podvprašanje »Zakaj si se tako

odločil/a?«.

Odgovori so se glasili: »Z njim sva se pogovarjala. Povedala sva svoje rešitve in kako sva prišla

do njih. Pomagal sem mu in je bil bolj uspešen. Dejavnosti in igre so bile zanimive.«

86%

14%

0%

Zelo dobro

Srednje dobro

Slabo


163

4. Vprašanje: Ali meniš, da je bil učenec, ki si mu nudil/a pomoč, uspešnejši pri reševanju

matematičnih nalog pri delu sam ali v paru s teboj?

Graf 11: Mnenje vrstnikov pomočnikov o uspešnosti učencev pri reševanju matematičnih nalog

Iz grafa 11 je razvidno, da so vsi vrstniki pomočniki ocenili, da so bili učenci bolj uspešni pri

reševanju matematičnih nalog v paru z njimi, kot če bi naloge reševali sami.

5. Vprašanje: Napiši, kako si pomagal/a učencu v paru?

Vrstniki pomočniki so odgovarjali: »Razložil sem mu postopek, kako naj računa. Spraševal sem

ga račune. Pokazala sem ji, kako računam jaz. Povedal sem mu, on pa je ponovil za mano. Vodil

sem ga pri reševanju naloge. Ena drugi sva preverili, če sva pravilno izračunali. Eden drugega

sva spraševala račune.

6. Vprašanje: Kaj ti je bilo všeč pri delu v paru?

Odgovori so se glasili: »Da sem se družil s sošolcem. Da sem se tudi sama učila. Naučil sem se

razložiti postopek računanja. Postala sva prijatelja in se rada druživa. Da sem znal pomagati.

Da sva izbirala različne igre, s katerimi sva se učila.«

7. Vprašanje: Kaj ti ni bilo všeč pri delu v paru?

Edini odgovor na to vprašanjem se je glasil: »Včasih kateri učenec ni bil tiho in je motil druge.«

0%

100%

Sam/a

V paru


164

8. Vprašanje: Ali si bil/a za nudenje pomoči učencu dobro pripravljen/a?

Graf 12: Mnenje vrstnikov pomočnikov o svoji pripravljenosti za nudenje pomoči učencem

Iz grafa 12 je razvidno, da so vsi vrstniki pomočniki ocenili, da so bili dobro pripravljeni na

nudenje pomoči učencem. K temu so doprinesla tudi moja srečanju z učenci pomočniki, na

katerih so se učenci pripravili za nudenje pomoči vrstnikom z učnimi težavami pri aritmetiki.

Povzetek odgovorov učencev z učnimi težavami pri aritmetiki na Anketni vprašalnik o delu v

paru in skupini ter vrstnikov pomočnikov na Anketni vprašalnik o delu v paru

Razultati, ki smo jih dobili z Anketnim vprašalnikom o delu v paru in skupini za učence z

učnimi težavami pri aritmetiki in Anketnim vprašalnikom o delu v paru za vrstnike tutorje, so

pokazali, da imajo učenci z učnimi težavami pri aritmetiki in vrstniki pomočniki, visok delež

pozitivnih mnenj o delu v paru in skupini. Rezultati so pokazali, da je delo v paru in skupini

delovalo motivacijsko na učence z učnimi težavami pri aritmetiki in vrstnike pomočnike.

Obema skupinama učencev je bilo všeč delo v paru oziroma v skupini. Velika večina učencev

obeh skupin je odgovorila, da bi še želeli delati v paru in skupini oziroma bi bili pripravljeni še

kdaj nuditi pomoč v paru. Obe skupini učencev sta zelo pozitivno ocenili sodelovanje v paru

ter poudarili večjo uspešnost učencev z učnimi težavami pri aritmetiki pri delu v paru ter da so

bili učenci z učnimi težavami pri aritmetiki najbolj uspešni pri delu v paru.

100%

0%0%

Zelo dobro

Srednje dobro

Slabo


165

7 ODGOVORI NA RAZISKOVALNA VPRAŠANJA IN POTRDITEV

HIPOTEZ

7.1 ODGOVORI NA RAZISKOVALNA VPRAŠANJA

R1. Ali se bo pri učencih skupine 1 s treningom aritmetičnih znanj in spretnosti v skupini ob

vrstniškem sodelovanju in treningom aritmetičnih postopkov in dejstev na računalniku

povečalo število transformacijskih strategij in priklica dejstev?

Učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so bili vključeni v skupinsko obravnavo ob

vrstniškem sodelovanju, so napredovali v aritmetičnih strategijah in priklicu dejstev, kar smo

ugotovili s pomočjo Testa za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev.

Učenci skupine 1 so na začetnem testiranju seštevanja v številskem obsegu do 20 uporabili

strategije štetja pri 46,88 % računov, na končnem pa le še pri 4,17 % računov. Strategije

transformacije pa so na začetnem testiranju izbrali pri 46,88 % primerih, na končnem testiranju

pa kar pri 95,83 %. Od tega je bil priklic aritmetičnega dejstva iz spomina na začetnem testiranju

uporabljen pri 47,92 % računov, na končnem testiranju pa kar 95,83 % oziroma so učenci pri

vseh primerih, računanih s transformacijskimi strategijami, uporabili priklic aritmetičnega

dejstva.

Pri odštevanju v številskem obsegu do 20 se je prav tako povečalo število transformacijskih

strategij: na začetnem testiranju so učenci s pomočjo transformacijskih strategij rešili 56,25 %

računov, od tega je bilo 53,13 % priklica aritmetičnih dejstev, na končnem testiranju pa so

uporabili transformacijske strategije oziroma priklic aritmetičnih dejstev pri 96,88 % računov.

Strategije štetja so bile na začetnem testiranju uporabljene pri 42,71 % računov, na končnem

testiranju pa le še pri 3,13 % računov.

Pri računih seštevanja v številskem obsegu do 100 so učenci na začetnem testiranju uporabili

pri 26,25 % računov strategije štetja, pri končnem testiranju pa strategij štetja niso uporabili.

Na začetnem testiranju je bilo s transformacijskimi strategijami rešenih 40,00 % računov, na

končnem testiranju pa kar 97,50 %.

Pri računih odštevanja v številskem obsegu do 100 so učenci na začetnem testiranju pri 25,00

% računov uporabili strategije štetja, na končnem testiranju pa pri 6,25 % računov. Strategije


166

transformacije pa so na začetnem testiranju uporabili pri 32,50 % računov, na končnem

testiranju pa kar pri 86,25 % računov.

Učenci skupine 1 so na končnem testiranju v primerjavi z začetnim testiranjem pri seštevanju

in odštevanja do 20 uporabili več strategij transformacije ter priklica dejstev kot strategij štetja.

Delež transformacijskih strategij se je povečal tudi pri seštevanju in odštevanje do 100.

S Testom poznavanja števil smo ugotavljali nivo matematičnega znanja, ki so ga dosegli

posamezni učenci iz skupine 1 in skupine 2. Ugotovili smo, da je kar 56 % učencev skupine 1

doseglo matematično znanje na nivoju, ki ustreza znanju povprečne populacije učencev s

starostjo 9–10 let, medtem ko je matematično znanje na tem istem nivoju doseglo le 14 %

učencev skupine 2. Matematično znanje na nivoju, ki ustreza znanju povprečne populacije

učencev s starostjo 8–9 let, je doseglo 37,50 % učencev skupine 1 in 42,86 % učencev skupine

2. Le 6,25 % učencev (1 učenec) skupine 1 je doseglo matematično znanje na nivoju, ki ustreza

znanju povprečne populacije učencev s starostjo 7–8 let, medtem ko je isti nivo matematičnega

znanja doseglo 21,43 % učencev skupine 2. Nivo matematičnega znanja, ki ustreza znanju

povprečne populacije učencev s starostjo 6–7 let, je doseglo 21,43 % učencev skupine 2,

medtem ko nobeden učenec skupine 1 ni izkazal matematičnega znanja na tem nivoju.

Pri učencih skupine 1 smo spremljali tudi razvoj matematičnega deklarativnega znanja, pri

čemer smo ugotovili, da je bilo njihovo deklarativno znanje ob začetku programa šibko. Od 40

ciljev so na začetku vsi učenci skupine dosegali le 10 ciljev, do konca izvajanja programa pa je

15 učencev usvojilo vse cilje, en učenec pa še vedno ni usvojil cilja »prikliče aritmetična dejstva

poštevanke števil 6, 7, 8, 9«. Vsi učenci so izboljšali svoje strategije štetja v zaporedju v

številskem obsegu do 20 in do 100, usvojili so osnovna aritmetična dejstva podvajanja števil

do 10 in do 20 do avtomatizma. V sedmih mesecih obravnave so vsi učenci usvojili tudi

avtomatizacijo prištevanja in odštevanja števil 1, 2 in 5, aritmetična dejstva razdeljevanja števil

v obsegu do 10 in ta znanja uporabljali v znanih okoliščinah. V osmih mesecih obravnave so

vsi učenci skupine 1 usvojili tudi različne strategije seštevanja in odštevanja v številskem

obsegu do 100. Največ vaj pa je bilo potrebnih za avtomatizacijo aritmetičnih dejstev

poštevanke pri štirih učencih: trije učenci so avtomatizirali aritmetična dejstva poštevanke števil

6, 7, 8 in 9 do konca izvajanja programa pomoči, en učenec pa tega cilja ni usvojil.

Pri učencih skupine 1 smo spremljali tudi razvoj matematičnega konceptualnega znanja. Izmed

17 ciljev so vsi učenci v štirih mesecih obravnave razvili predstave o odnosih med števili v


167

številski vrsti v obsegu do 20, po šestih mesecih obravnave so vsi učenci razvili tudi predstave

o odnosih med števili v številski vrsti v obsegu do 100 ter uspešno urejali množice naravnih

števil po velikosti do 100. Uvideli so povezanost med operacijama seštevanja in odštevanja ter

to uporabili pri reševanju aritmetičnih nalog. V treh mesecih so usvojili tudi predvidene

matematične pojme in jih pravilno uporabljali pri reševanju matematičnih nalog.

Pri učencih skupine 1 smo spremljali tudi razvoj matematičnega proceduralnega znanja. Cilj

»pravilno izvajanje postopkov seštevanja in odštevanja v številskem obsegu do 20« je 14

učencev doseglo najpozneje v šestih mesecih izvajanja programa pomoči, 2 učenca pa sta cilj

dosegla po osmih mesecih izvajanja programa pomoči. Pri ciljih »seštevanje v množici naravnih

števil do 100« in »odštevanje v množici naravnih števil do 100« pa je bilo potrebno 10 mesecev

izvajanja programa pomoči, da je 15 učencev doseglo oba cilja. En učenec pa tudi po koncu

izvajanja programa pomoči ni usvojil seštevanja in odštevanja dvomestnih števil s prehodom

desetice.

Na podlagi spremljanja razvoja matematičnega deklarativnega, konceptualnega in

proceduralnega znanja učencev skupine 1 ugotavljamo, da so vsi učenci napredovali na

omenjenih področjih matematičnih znanj, le en učenec pa je slabše napredoval, saj od skupno

70 ciljev treh ciljev ni usvojil.

A. Dowker (2005) kot eno izmed najbolj pogostih težav pri učencih z aritmetičnimi težavami

navaja zapomnitev aritmetičnih dejstev. Študije otrok z učnimi težavami pri matematiki so

pokazale, da so ti učenci šibki pri priklicu aritmetičnih dejstev iz dolgotrajnega spomina.

Ostad (1997) je na podlagi proučevanja norveških prvošolcev, tretješolcev in petošolcev z

učnimi težavami pri matematiki ugotavljal ob kontinuiranem spremljanju napredka učencev na

dve leti, da so učenci z učnimi težavami pri matematiki uporabili skoraj izključno števne

strategije, medtem ko so učenci brez učnih težav pri matematiki večinoma uporabili priklic

aritmetičnih dejstev ali strategije izpeljave dejstev. Učenci, ki niso imeli učnih težav pri

matematiki, pa so povečali število priklica ter zmanjšali uporabo števnih strategij pri ponovnem

testiranju, strategije učencev z učnimi težavami pri matematiki pa se z leti niso premenile. Ti

učenci so v vseh starostnih obdobjih (1., 3., 5. razred) uporabljali dosti širšo paleto strategij kot

učenci z učnimi težavami pri matematiki, razlike pa so se z leti povečevale. Do podobnih

dognanj so prišli tudi Jordan in Hanich (2000), Jordan, Hanich in Kaplan (2003) ter Jordan in

Montani (1997), ki so ugotovili, da so otroci z učnimi težavami pri matematiki dokaj konstantno


168

manj uspešni pri priklicu aritmetičnih dejstev iz dolgotrajnega spomina. Pogosto se zanašajo na

števne strategije pri aritmetiki pri starosti, ko njihovi vrstniki v večji meri uporabljajo priklic

dejstev (Cumming in Elkins, 1999; Miles, Haslum in Wheeler, 2001; Ostad, 1997, 1998;

Russell in Ginsburg, 1984; Yeo, 2003, Siegler, 1988; Geary in Brown, 1991; Fei, 2000, v

Dowker, 2004).

Učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so bili vključeni v naš program pomoči, so na

začetnem testiranju pri reševanju aritmetičnih nalog v veliki meri uporabljali števne strategije,

delež le-teh pa se je znatno zmanjšal v prid transformacijskih strategij oziroma priklica dejstev,

kar pripisujemo vplivu skupinske pomoči na tretjem koraku petstopenjskega modela pomoči,

vrstniške pomoči in dobre poučevalne prakse učiteljev v razredu.

Na podlagi navedenih rezultatov lahko potrdimo, da se je pri skupini 1 povečalo število

transformacijskih strategij in priklica dejstev.

R2. Ali se bo pri učencih skupine 1 s treningom aritmetičnih znanj in spretnosti v skupini ob

vrstniškem sodelovanju in treningom aritmetičnih postopkov in dejstev na računalniku

povečala točnost izvedbe postopkov in priklica dejstev?

Na začetnem testiranju je skupina 1 pri računih seštevanja na Testu za ugotavljanje in

spremljanje računskih strategij učencev v številskem obsegu do 20 pravilno rešila 86,46 % vseh

računov, na končnem pa 96,88 % računov. Od tega je bilo s priklicem aritmetičnih dejstev

pravilno rešenih na začetnem testiranju 80,43 % računov in na končnem testiranju 96,74 %

računov.

Pri računih odštevanja v številskem obsegu do 20 so učenci skupine 1 na začetnem testiranju

pravilno rešili 74,74 % računov, na končnem testiranju pa 97,92 % računov. Od tega je bila na

začetnem testiranju s priklicem aritmetičnih dejstev pravilno rešenih 88,24 % računov, na

končne pa 98,92 % računov.

Pri računih seštevanja v številskem obsegu do 100 so učenci skupine 1 na začetnem testiranju

pravilno rešili 43,39 % računov, nerešenih pa je bilo 27 računov. Na končnem testiranju je bila

pravilnost izračunov 89,74-odstotna, nerešena pa sta ostala 2 računa.


169

Pri odštevanju v številskem obsegu do 100 so učenci skupine 1 na začetnem testiranju pravilno

rešili 45,65 % računov, nerešenih je bilo 34 računov, na končnem testiranju pa so pravilno rešili

79,73 % računov, nerešenih pa je bilo 6 računov.

Rezultate naše raziskave lahko primejamo z ugotovitvami avtorjev (Barrouillet, Fayol,

Lathuliere, 1997; Fayol, Barrouillet in Marinthe, 1998; Geary, 1990; Geary in Brown, 1991;

Räsänen in Ahonen, 1995), ki navajajo, da učenci z učnimi težavami pri aritmetiki naredijo pri

priklicu aritmetičnega dejstva iz dolgotrajnega spomina napake, ki so pogoste. Tudi M. Kavkler

(1996) navaja, da učenci z učnimi težavami pri matematiki uporabljajo razvojno manj zrele

stategije štetja, ki zahtevajo veliko časa, zasedejo veliko delovnega spomina in jih pogosto

izvedejo z več napakami.

Pri primerjavi dosežkov učencev skupine 1 na začetnem in končnem testiranju s Testom za

ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev smo ugotovili, da se je delež priklica

aritmetičnih dejstev seštevanja in odštevanja povečal, delež napak pa se je v veliki meri

zmanjšal. Napake so bile še vedno prisotne pri računih seštevanja in odštevanja v številskem

obsegu do 100, in sicer pri transformacijskih strategijah, ni jih pa bilo pri števnih strategijah.

Če pa pogledamo dosežke skupine 2, ugotovimo, da je ta v manjši meri napredovala s števnih

k transformacijskim strategijam, napake pa so bile še vedno pogoste tako pri števnih kot

transformacijkih strategijah.

Na podlagi dobljenih rezultatov pri skupini 1 na začetnem in končnem testiranju na Testu za

ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev ugotavljamo, da so učenci povečali

delež pravilnosti izvedbe postopkov ter delež priklica dejstev.

R3. Na katere kritične probleme je potrebno opozoriti pri izvajanju skupinske učne pomoči

pri učencih z učnimi težavami pri aritmetiki na tretjem koraku petstopenjskega modela

pomoči?

Pri izvajanju skupinske pomoči učencem z učnimi težavami pri aritmetiki na tretjem koraku

petstopenjskega modela pomoči moramo upoštevati naslednje komponente: dobra diagnostična

ocena, ustrezni merski instrumenti za diagnostiko in spremljanje napredka učencev, dobro

načrtovanje dejavnosti za odpravo učnih težav pri aritmetiki in izvedba ter vključitev vseh virov

pomoči, ki so na razpolago.


170

1. Učinkovitost obravnave učencev z učnimi težavami pri aritmetiki je v veliki meri

odvisna od učinkovitega odkrivanja in diagnostičnega ocenjevanja značilnosti učencev.

Pomembno je, da pred izvajanjem pomoči identificiramo močna in šibka področja ter

izobraževalne potrebe posameznika in skupine. Učitelj na prvi stopnji večstopenjskega

modela pomoči zgodaj odkrije učence z učnimi težavami pri aritmetiki. Pri pripravi

preizkusov znanja in strategij lahko učitelju pomaga svetovalni delavec ali specialni

pedagog. Izvajalec individualne in skupinske pomoči pa z učinkovitimi preizkusi naredi

poglobljeno diagnostično oceno šibkih in močnih področij učenca na področju

aritmetike. Ocena je osnova za določitev posebnih potreb učenca, ki jih nato upošteva

pri izvajanju individualne in skupinske pomoči.

2. Izvajalec individualne učne pomoči se poslužuje časovno manj kompleksnih

preiskusov, da oceni znanja in veščine, ki so direktno povezane z uspešnostjo učenja

matematike pri učencu (Kavkler, 2011c). Naloge in kriterije za oceno uspešnosti

izvajalec dodatne strokovne pomoči pripravi skupaj z učiteljem, pri tem pa uspoštevata

kurikularne zahteve in celoten kontinuum možnih prilagoditev, da bi pri učencu

ugotovila, na kateri stopnji v kontinuumu ima težave (prav tam). Pri učencu izvajalec

pomoči oceni njegovo matematično konceptualno znanje (poznavanje, razumevanje in

uporabo matematičnih pojmov, poznavanje odnosov med števili), njegovo deklarativno

znanje (štetje, poznavanje aritmetičnih dejstev) ter proceduralno znanje (obvladovanje

aritmetičnih postopkov) (prav tam).

3. Avtorji (Keogh, Major, Omari, Gandara in Reid, 1980, v Dowker, 2004) poudarjajo, da

se mora obravnava učencev z učnimi težavami pri aritmetiki osredotočiti na

komponente znanja, pri katerih ima učenec težave, saj aritmetične učne težave učencev

niso enake.

Na podlagi dobro opravljene diagnostike pri učencih načrtujemo program pomoči, pri

katerem moramo opredeliti:

• cilje pomoči za vsakega učenca glede na ugotovitve diagnostičnega postopka,

• preiskuse, s katerimi bomo preverjali napredek učencev,

• pogostost preverjanja napredka učencev,

• izvajalca skupinske pomoči,


171

• velikost skupine,

• časovno opredelimo izvajanje učne pomoči,

• pomoč, ki jo potrebujemo pri izvajanju pomoči v skupini,

• materiale, ki jih potrebujemo za izvajanje pomoči v skupini,

• morebitno vključitev vrstnikov tutorjev v izvajanje pomoči.

4. Vključimo vse vire pomoči na šoli, ki so na razpolago. Ti viri so lahko: učitelj, ki učenca

poučuje, izvajalec skupinske pomoči (specialni in rehabilitacijski pedagog, svetovalni

delavec) in vrstniki.

• Učitelj načrtuje in izvaja dobro poučevalno prakso pri pouku v razredu in prilagaja učne

dejavnosti učencem v razredu, podpira interakcijo med vrstniki ter organizira

medvrstniško pomoč tudi v razredu.

• Izvajalec skupinske pomoči usklajuje dejavnosti v zvezi z učenci z učnimi težavami pri

aritmetiki, posreduje učiteljem učencev potrebne informacije o delu in napredku

učencev, o strategijah dela in učnih pripomočkih.

• Vrstniška pomoč učencem z učnimi težavami pri aritmetiki ima pozitivne učinke na

dosežke učencev z učnimi težavami in tutorjev, na njihovo motivacijo za učenje, na

samopodobo ter socialne izkušnje, zato je pomembno, da v pomoč učencem z učnimi

težavami pri aritmetiki vključujemo tudi vrstnike.

7.2 POTRDITEV HIPOTEZ

H1: Pri učencih z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so vključeni v skupinsko pomoč (skupina

1), obstajajo statistično pomembne razlike v spretnostih štetja do 100, v avtomatizaciji

aritmetičnih dejstev in postopkov seštevanja in odštevanja do 100 in do 1000, avtomatizaciji

poštevanke ter razvoju aritmetičnih strategij pred in po izvajanju programa.

Na podlagi primerjave začetnih in končnih rezultatov pri uporabljenih instrumentih ter analize

ciljev treninga ugotavljamo, da smo s programom razvoja aritmetičnih znanj in sposobnosti pri

učencih z učnimi težavami pri aritmetiki (skupina 1) izboljšali njihove strategije štetja,

aritmetične strategije, povečal se je delež priklica aritmetičnih dejstev seštevanja in odštevanja

do 100 in do 1000. Pomembno se je povečal tudi delež priklica aritmetičnih dejstev poštevanke.


172

S pomočjo Nalog za ugotavljanje štetja smo na začetnem testiranju pri učencih skupine 1 (16

učencev) ugotavljali, da so le-ti uporabljali razvojno manj zrele strategije štetja: dotikanja

predmetov ob preštevanju (10 učencev), konkretna opora ob štetju nazaj (10 učencev), pomoč

z oporami pri štetju v zaporedju (6 učencev) in pomoč s štetjem z oporami pri fleksibilnem

štetju (11 učencev). Pri uporabi teh strategij so se pojavljale napake. Večina učencev si je torej

pri preštevanju pomagala s konkretnimi materiali, vsak izmed njih pa je imel razvito neko

strategijo štetja. Učenci so se teh strategij štetja v veliki meri posluževali tudi pri reševanju

računskih nalog na začetnem testiranju pred izvajanjem programa pomoči.

Test za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev je pokazal znaten napredek

učencev s števnih in transformacijksih strategij na izključno priklic dejstev pri seštevanju in

odštevanju v številskem obsegu do 20 glede na začetno in končno testiranje. Učenci so na

začetnem testiranju uporabili priklic aritmetičnih dejstev seštevanja pri 53,13 odstotkih

računov, na končnem testiranju pa pri kar 95,83 odstotkih računov. Pri odštevanju pa so na

začetnem testiranju priklic aritmetičnih dejstev uporabili pri 53,13 odstotkih računov, na

končnem testiranju pa pri 96,88 odstotkih računov.

Učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so bili deležni skupinske pomoči (skupina 1), so

napredovali v strategijah računanja in priklicu aritmetičnih dejstev, kar je razvidno iz rezultatov

na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in

postopkov. Pomembno so napredovali pri računih deklarativnih seštevalnih in odštevalnih

dejstev do 10 ter računih večjega obsega od 10 brez prehoda čez desetico in s prehodom čez

desetico, pri računih poštevanke in računih deljenja v okviru poštevanke ter pri kompleksnih

računih do 1000 s prehodom (združujejo več operacij). Rezultati t-testa [število doseženih točk

= P(2-tailed)=,000] kažejo statistično pomembnost razlik v dosežkih učencev skupine 1 na

začetnem in končnem testiranju. Razlike v dosežkih so statistično pomembne pri računih,

ovrednotenih z eno, dvema in tremi točkami ter pri doseženem številu točk.

S pomočjo Testa za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke smo ugotovili, da so učenci skupine

1 pomembno napredovali v priklicu aritmetičnih dejstev poštevanke v času izvajanja programa

pomoči. Rezultati t-testa [število doseženih točk = P(2-tailed)=,000] kažejo statistično

pomembnost razlik med dosežki učencev skupine 1 na začetnem in končnem testiranju pri vseh

treh spremenljivkah: pri računih, ovrednotenih z eno točko (enostavni računi) in dvema

točkama (računi z večjima faktorjema) ter pri skupnem doseženem številu točk.


173

Ostad (2006) je na podlagi šestletnega spremljanja strategij učencev v razponu dveh let

ugotovil, da je dve tretjini učencev z učnimi težavami pri matematiki reševalo naloge seštevanja

tako, da je uporabilo natančno enake različice strategij kot pred dvema letoma. Podobno so

navajali tudi Jordan, Hanich in Kaplan (2003), ki so ugotavljali majhno izboljšanje priklica

aritmetičnih dejstev na časovno omejenem testu priklica dejstev v obdobju enega leta.

Na osnovi zgoraj navedenih ugotovitev zaključujemo, da so učenci z učnimi težavami pri

aritmetiki, ki so bili vključeni v skupinsko obravnavo, napredovali v spretnostih štetja do 100,

v avtomatizaciji aritmetičnih postopkov in dejstev seštevanja in odštevanja do 100 in do 1000,

avtomatizaciji poštevanke ter razvoju aritmetičnih strategij pred in po izvajanju programa, kar

se je pokazala na testiranju po koncu izvajanja pomoči.

Zato lahko sprejmemo hipotezo 1.


1), in učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki niso deležni skupinske pomoči (skupina 2),

po koncu izvajanja programa obstajajo statistično pomembne razlike v avtomatizaciji

aritmetičnih dejstev in postopkov seštevanja in odštevanja do 100 in do 1000, avtomatizaciji

poštevanke ter razvoju aritmetičnih strategij.

Pri primerjavi dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2 na začetnem testiranju z


postopkov smo ugotovili, da med dosežki obeh skupin ni bilo statistično pomembnih razlik pri

nobeni izmed treh spremenljivk (računi, ovrednoteni z 1, 2 in 3 točkami ter doseženo število

točk).

Rezultati t-testa [število doseženih točk = P(2-tailed)=,392 pri računih za eno točko, število

doseženih točk = P(2-tailed)=,228 pri računih za dve točki, število doseženih točk = P(2-

tailed)=,488 pri računih za tri točke, število doseženih točk = P(2-tailed)=,450 pri skupno

doseženo število točk] niso pokazali statistično pomembnih razlik med dosežki učencev

skupine 1 in skupine 2 na začetnem testiranju.

Na končnem testiranju z Desetminutnim aritmetičnim testom za ugotavljanje avtomatizacije

aritmetičnih dejstev in postopkov pa so učenci skupine 1 v primerjavi z učenci skupine 2 dosegli


174

statistično pomembno boljše rezultate pri računih, ovrednotenih z 1, 2 in 3 točkami ter pri

doseženem številu točk.



tailed)=,002 pri računih za tri točke, število doseženih točk = P(2-tailed)=,001 pri skupno

doseženo število točk] kažejo statistično pomembne razlike med dosežki učencev skupine 1 in

skupine 2 glede na kočno testiranje z Desetminutnim aritmetičnim testom za ugotavljanje

avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov v prid skupine 1.

Učenci skupine 1 so na Testu za ugotavljanje avtomatizacije poštevanke na končnem testiranju

dosegli statistično pomembno boljše rezultate kot učenci skupine 2. Rezultati t-testa [število

doseženih točk = P(2-tailed)=,036 pri računih za eno točko, število doseženih točk = P(2-

tailed)=,021 pri računih za dve točki, število doseženih točk = P(2-tailed)=,015 pri doseženo

število točk] kažejo statistično pomembnost razlik med dosežki učencev skupine 1 in skupine

2. Razlike v dosežkih so statistično pomembne pri računih, ovrednotenih z eno točko in dvema

točkama ter pri doseženem številu točk.

S pomočjo Testa poznavanja števil smo pri učencih skupine 1 in skupine 2 ugotavljali njihove

sposobnosti orientacije v številski vrsti, sposobnosti ugotavljanja odnosov med števili ter

spretnosti seštevanja in odštevanja. Dobljeni rezultati kažejo, da so učenci skupine 1 dosegli

statistično pomembno boljše rezultate od skupine 2 pri spremenljivkah: »orientacija v številski

vrsti do 10, do 100«, »računanje do 100« in »računanje do 100, do 1000«. Pri spremenljivkah

»orientacija v številski vrsti do 1000 in preko« in »ugotavljanje razlike med števili« razlike med

dosežki skupine 1 in skupine 2 niso bile statistično pomembne, so pa učenci skupine 1 v

povprečju skupno dosegli večje število točk kot učenci skupine 2.

S testom za Odkrivanje učnih težav pri matematiki III smo ugotavljali spretnosti učencev

skupine 1 in skupine 2 na področjih: priklic simbolov, številski obseg in shema, aritmetične

sposobnosti in strukturiranje dela. Pri primerjavi dosežkov učencev skupine 1 in skupine 2 na

testu na končnem testiranju smo ugotavili, da so učenci skupine 1 v primerjavi s skupino 2


175

dosegli boljše rezultate glede na skupno število doseženih točk. Skupina 1 je skupno dosegla

225,50 točk (82,90 %), skupina 2 pa 147 točk (61,77 %). Učenci skupine 1 so dosegli statistično

pomembno boljše rezultate od učencev skupine 2 pri treh nalogah: »glasno branje števil«,

»urejanje številske vrste« in »številski trikotni test«. Učenci skupine 1 so dosegli boljše dosežke

od učencev skupine 2 še pri štirih nalogah: »štetje nazaj od 100 po 8«, »računske naloge I«,

»katero od dveh števil je večje« in »vstavljanje manjkajočega števila«, razlike med dosežki pa

se niso pokazale kot statistično pomembne.

Tudi Pedroty Bryant, Bryant, Roberts, Vaughn, Hughes Pfannensstiel in Gersten (2011) so pri

učencih (1. razred) z učnimi težavami pri matematiki ugotavljali napredek v matematičnem

konceptualnem in proceduralnem znanju ob zgodnji matematični obravnavi na drugem koraku

tristopenjskega modela pomoči. Pri učencih se je pokazala učinkovitost obravnave, saj po koncu

obravnave pri 45 % obravnavanih učencev ni bilo več tveganja za težave pri matematiki, pri

kontrolni skupini učencev z učnimi težavami pri matematiki, ki niso bili deležni programa

pomoči, pa je bil odstotek učencev, pri katerih več ni bilo tveganja za učne težave pri

matematiki, 22 %. Tudi Fuchs, Compton, Fuchs, Paulsen, Bryant in Hamlet (2005) so

ugotavljali učinke izvajanja pomoči v majhnih skupinah, da so rizični učenci za učne težave pri

matematiki po obravnavi dosegali statistično boljše dosežke kot rizični učenci, ki obravnave v

majhnih skupinah niso bili deležni.

Tudi z diskriminantno analizo smo potrdili, da so učenci skupine 1 v primerjavi s skupino 2

pomembno napredovali v aritmetičnih znanjih in spretnostih, saj so se na končnem testiranju

pokazale statistično pomembne razlike med učenci skupine 1 in skupine 2 na vseh treh

spremenljivkah oziroma testih: Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje

avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov, testu Odkrivanja učnih težav pri matematiki

III in Testu poznavanja števil. Največje razlike med dosežki učencev skupine 1 in skupine 2 v

prid skupine 1 so se pokazale pri Desetminutnem aritmetičnem testu, sledi Test poznavanja

števil. Najmanj pa se skupini glede na dosežke na končnem testiranju razlikujeta pri testu

Odkrivanje učnih težav pri matematiki III.

Na osnovi navedenih ugotovitev lahko sprejmemo hipotezo 2, saj so se med dosežki učencev

eksperimentalne (skupina 1) in učencev kontrolne skupine (skupina 2) po koncu izvajanja

programa pokazale statistično pomembne razlike v avtomatizaciji aritmetičnih postopkov in


176

dejstev seštevanja in odštevanja do 100 in do 1000, avtomatizaciji poštevanke ter razvoju

aritmetičnih strategij.


1), in učenci brez učnih težav pri aritmetiki (skupina 3), po koncu izvajanja programa ne



Učenci skupine 3 (brez učnih težav pri matematiki) so na Desetminutnem aritmetičnem testu za

ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov na začetnem testiranju v

primerjavi z dosežki skupine 1 dosegli statistično pomembno boljše rezultate kot učenci skupine

1 pri vseh spremenljivkah (računi, ovrednotenih z 1, 2 in 3 točkami ter doseženo število točk).



tailed)=,000 pri računih za tri točke, število doseženih točk = P(2-tailed)=,000 pri doseženo

število točk] kažejo statistično pomembne razlike med dosežki učencev skupine 1 in skupine 3

v prid skupine 3.


aritmetičnih dejstev in postopkov pa razlike med dosežki učencev skupine 1 in skupine 3 niso

bile več statistično pomembne pri dveh spremenljivkah: pri računih, ovrednotenih z eno točko

in pri računih, ovrednotenih z dvema točkama. Statistična pomembnost razlik pa se je še vedno

kazala pri računih, vrednotenih s tremi točkami in pri doseženem številu točk v prid skupine 3.


doseženih točk = P(2-tailed)=,616 pri računih za dve točki kažejo, da razlike med dosežki

učencev skupine 1 in skupine 3 niso statistično pomembne. Rezultati t-testa [število doseženih

točk = P(2-tailed)=,001 pri računih za tri točke, število doseženih točk = P(2-tailed)=,020 pri

doseženo število točk] pa še vedno kažejo statistično pomembne razlike med dosežki učencev

skupine 1 in skupine 3 v prid skupine 3.

Pri primerjavi dosežkov učencev skupine 3 glede na začetno in končno testiranje z


postopkov ugotavljamo, da so učenci skupine 3 statistično pomembno napredovali v dosežkih


177

pri vseh štirih spremenljivkah testa (računi, ovrednoteni z 1, 2 in 3 točkami ter doseženo število

točk.




število točk] kažejo statistično pomembnost razlik med dosežki učencev skupine 3 glede na

začetno in končno testiranje.

Rezultati kažejo, da so učenci skupine 1 ob skupinski pomoči in vrstniškem sodelovanju na

tretjem koraku petstopenjskega modela napredovali v avtomatizaciji aritmetičnih dejstev in

postopkov seštevanja in odštevanja do 100 in do 1000, vendar pa med skupino 1 in skupino 3

še vedno obstajajo razlike v dosežkih pri dveh spremenljivkah.

Na osnovi navedenih ugotovitev lahko sprejmemo hipotezo 3 le delno.

H4: Med učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki niso deležni obravnave po našem

programu (skupina 2), in učenci brez učnih težav pri aritmetiki (skupina 3), po koncu

izvajanja programa obstajajo statistično pomembne razlike v avtomatizaciji izvajanja

aritmetičnih postopkov in dejstev seštevanja in odštevanja do 100 in do 1000.

Učenci skupine 3 so na Desetminutnem aritmetičnem testu za ugotavljanje avtomatizacije

aritmetičnih dejstev in postopkov na začetnem testiranju v primerjavi z dosežki skupine 2

dosegli statistično pomembno boljše rezultate kot učenci skupine 2 pri vseh spremenljivkah

(računi, ovrednotenih z 1, 2 in 3 točkami ter doseženo število točk). Rezultati t-testa [število

doseženih točk = P(2-tailed)=,000 pri računih za eno točko, število doseženih točk = P(2-

tailed)=,000 pri računih za dve točki, število doseženih točk = P(2-tailed)=,000 pri računih za

tri točke, število doseženih točk = P(2-tailed)=,000 pri doseženo število točk] kažejo statistično

pomembnost razlik med dosežki učencev skupine 2 in skupine 3 v prid skupine 3.


aritmetičnih dejstev in postopkov pa so bile razlike med dosežki učencev skupine 2 in skupine

3 še vedno statistično pomembne pri vseh spremenljivkah (računi, ovrednoteni z 1, 2 in 3

točkami ter doseženo število točk) v prid skupine 3.


178




število točk] še vedno kažejo statistično pomembne razlike med dosežki učencev skupine 2 in

skupine 3 v prid skupine 3.

Na osnovi navedenih ugotovitev lahko sprejmemo hipotezo 4.


179

8 SKLEPNE UGOTOVITVE

Učne težave na področju matematike imajo pomemben vpliv na posameznikove možnosti

nadaljnjega izobraževanja, na njegovo zaposljivost in funkcioniranje v vsakdanjem življenju,

saj so mnogi vidiki vsakodnevnega življenja in dela osnovani na matematičnih znanjih in

spretnostih. Iz razultatov mednarodne raziskave TIMMS 2011 (Japelj Pavešić, 2012) je

razvidno, da je delež učencev, ki ne dosegajo mejnika nizke ravni matematičnega znanja, od

leta 1995 dalje 10 % in se ne spreminja. Prav tako slovenski rezultati mednarodne raziskave

PISA 2012 (2013) kažejo visok delež petnajstletnikov v nižjem poklicnem ter srednjem

poklicnem izobraževanju, ki ne dosegajo temeljne ravni matematične pismenosti ter

matematičnih kompetenc, ki bi jim omogočale aktivno udeležbo v življenjskih situacijah,

povezanih z matematiko. Poleg tega nam rezultati Nacionalnega preverjanja znanja zadnjih let

(2011–2015) (http://www.ric.si/preverjanje_znanja/splosne_informacije/) kažejo, da učenci

Pomurske regije dosegajo najnižje rezultate v Sloveniji. Zato je pomembno, da učence z učnimi

težavami pri matematiki čim bolj zgodaj odkrijemo ter jim nudimo specifične programe

pomoči, s katerimi se lahko izognemo njihovemu izrazitemu šolskemu neuspehu oziroma

odpravimo ali omilimo učne težave pri matematiki (Kavkler, Kalan in Hodnik Čadež, 2015;

Clements in Sarama, 2007; Fuchs, Fuchs in Karns, 2001; Fuchs, Fuchs, Yazdian in Powell,

2002; Griffin in Case, 1997; Sophian, 2004).

Številni avtorji v empiričnih raziskavah in longitudialnih študijah ugotavljajo, da imajo učenci

z učnimi težavami pri matematiki, zlasti učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, primanjkljaje

na področju aritmetičnih postopkov in dejstev (Geary, 2004; Barrouillet idr., 1997; Garnett in

Fleischner, 1983; Hanich, Jordan, Kaplan in Dick, 2001; Jordan, Hanich in Kaplan, 2003;

Jordan in Montani, 1997; Ostad, 1997, 2000; Tancig, Kavkler in Magajna, 2004). Ti učenci

imajo shranjenih manj aritmetičnih postopkov in dejstev v dologotrajnem spominu kot njihovi

vrstniki, hitreje pa jih tudi pozabljajo. Težave imajo tudi pri priklicu aritmetičnih dejstev iz

dolgotrajnega spomina. Imajo slabše razvite postopke reševanja enostavnih aritmetičnih nalog

in dalj časa uporabljajo strategije štetja, ki so običajno tudi manj razvite (Kavkler, Tancig in

Magajna, 2004). Pri štetju pri reševanju enostavnih aritmetičnih nalog naredijo veliko napak

(Geary, 2004; Shin in Pedrotty Bryant, 2015). Za organizacijo ustrezne pomoči tem učencem

moramo poznati povezavo med njihovimi strategijami štetja in zgodnjimi aritmetičnimi znanji


180

in strategijami (Geary, 1994). Od obvladovanja osnovnih veščin štetja so odvisni aritmetični

dosežki učenca (Fuson, Richards in Brians, 1982; Seron in Deloche, 1987, v Garnett, 1998).

Nekateri učencev nikoli ne razvijejo učinkovitih strategij pomnjenja aritmetičnih dejstev in

postopkov, ki omogočajo miselno računanje in si zato pomagajo z manj razvitimi strategijami

reševanja aritmetičnih problemov (Tancig idr., 2004). Zgodnje odkrivanje in obravnavo

učencev z učnimi težavami pri aritmetiki nam omogoča petstopenjski model nudenja pomoči

(Magajna idr., 2008b).

V magistrskem delu z naslovom Skupinska pomoč učencem tretjega razreda z učnimi težavami

pri aritmetiki smo na podlagi ocene funkcioniranja učencev z učnimi težavami pri aritmetiki

oblikovali program razvoja aritmetičnih znanj in spretnosti pri učencih z učnimi težavami pri

aritmetiki v 3. razredu osnovne šole ter model obravnave učencev v okviru skupinske pomoči

ob vrstniški pomoči na tretjem koraku petstopenjskega modela pomoči (Magajna idr., 2008b).

Program je zajemal trening aritmetičnih znanj in spretnosti ter trening aritmetičnih dejstev in

postopkov na računalniku z namenom zmanjšanja ali odprave učnih težav pri aritmetiki pri

učencih v 3. razreda ter preprečitve nizkih izobraževalnih rezultatov pri aritmetiki v višjih

razredih osnovne šole. Z učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so bili vključni v program

pomoči (skupina 1), smo v desetih mesecih izvedli 50 srečanj urjenja aritmetičnih znanj in

spretnosti v manjši skupini in 30 srečanj urjenja aritmetičnih dejstev in postopkov s pomočjo

računalnika. Urjenje smo izvajali dvakrat tedensko po 45 minut pred poukom. Vrstniki

pomočniki, ki so izvajali vrstniško pomoč, pa so se udeleževali srečanj enkrat tedensko. Urjenje

na računalniku je potekalo enkrat tedensko 15 minut v času pred poukom. V program pomoči

je bilo vključenih 16 učencev z učnimi težavami pri aritmetiki, 14 vrstnikov pomočnikov, tri

razredničarke in defektologinja (izvajalka programa pomoči). Učenci skupine 1 so bili deležni

dobre poučevalne prakse pri pouku in skupinske pomoči ob vrstniški pomoči na tretjem koraku

petstopenjskega modela pomoči.

Pri izvajanju programa smo upoštevali izsledke številnih raziskav o vplivu matematičnih

dosežkov na izobraževalno uspešnost posameznika (Parson in Bynner, 2005; Magajna, Kavkler

in Ortar-Križaj, 2003), raziskav o učinkih zgodnje matematične obravnave v manjših skupinah

(Pedrotty Bryant, Bryant, Roberts, Vaughn, Hughes Pfannenstiel, Porterfield in Gesten, 2011;

Fuchs idr., 2005; Swanson in Sachese-Lee, 2000, v Melard, McKnight, Jordan, 2010; Kavkler,

2011a) in raziskav pomena izvajanja tutorstva učitelja v majhnih skupinah pri učencih, ki kažejo


181

rizičnost za učne težave pri matematiki (Fuchs idr., 2005) ter vključevanja vrstniškega tutorstva

v obravnavo učencev z učnimi težavami (Baker, Gersten in Lee, 2002).

V vzorec smo vključili 239 učencev tretješolcev dveh šol in dveh generacij v Pomurski regiji.

Izenačili smo jih po dogovorjenih merilih in tako dobili skupino 16 učencev z učnimi težavami

pri aritmetiki, ki smo jih vključili v program pomoči (eksperimentalna skupina), skupino 14

učencev z učnimi težavami pri aritmetiki, ki niso bili deležni pomoči po našem programu

(kontrolna skupina) in skupino 209 učencev vrstnikov, ki niso imeli učnih težav pri aritmetiki.

Iz skupine vrstnikov smo izbrali 14 učencev, ki so izvajali vrstniško pomoč učencem

eksperimentalne skupine.

Ob pregledu zastavljenih ciljev in analize dobljenih rezultatov pri skupini učencev, ki je bila

vključena v raziskavo, smo ugotovili napredek učencev z učnimi težavami pri aritmetiki na

vseh področjih obravnave.

Opažanja, ki so nastala med izvajanjem programa pomoči in po izvajanju programa:

1. Učenci z učnimi težavami pri aritmetiki, ki so bili vključeni v skupino 1, so dosegali

slabše rezultate na začetnem testiranju pri naslednjih vsebinah: številske predstave,

strategije štetja, avtomatizacija aritmetičnih dejstev in postopkov, razvitost

matematičnega deklarativnega, konceptualnega in proceduralnega znanja.

2. Srečanja smo zasnovali tako, da smo ob upoštevanju učnih stilov učencev ter

organizacijskih sposobnosti razvijali njihova znanja in spretnosti ob omogočanju

uporabe strategij, ki so bile skladne z njihovim trenutnim razvojem. Učenci so

uporabljali materialne in slikovne reptezentacije, ki so jim omogočale prehod na

verbalne in miselne strategije ter tako razvijali svoje matematično deklarativno znanje.

Za razvoj matematičnega konceptualnega znanja so prav tako uporabljali materialne in

slikovne prezentacije. Matematično proceduralno znanje so izboljšali z učenjem

strategij ob uporabi matematičnega deklarativnega in konceptualnega znanja. Učenci,

ki postopkov in aritmetičnih dejstev niso avtomatizirali oziroma so jih avtomatizirali po

večmesečnem izvajanju programa, so postopke izvajali dalj časa, pri tem pa so

uporabljali manj zrele strategije in naredili več napak. Podobne ugotovitve so navajali

tudi nekateri avtorji (Kavkler, 1996; Geary, 2004; Tancig, Kavkler in Magajna, 2004;

Shin in Pedrotty Bryant, 2015).


182

3. Učenci skupine 1 so najhitreje napredovali na področju matematičnega konceptualnega

znanja, saj jim zastavljeni cilji niso povzročali težav pri usvajanju. Na področju

matematičnega deklarativnega znanja je imelo nekaj učencev težave pri štetju v

zaporedju, pri podvajanju števil v številskem obsegu do 20 ter pri priklicu aritmetičnih

dejstev poštevanke. Največ časa pa so učenci potrebovali za usvojitev ciljev na področju

matematičnega proceduralnega znanja, saj so potrebovali veliko vaje za usvojitev

aritmetičnih dejstev in postopkov, en učenec pa dveh ciljev s področja proceduralnega

znanja ni usvojil. Do podobnih ugotovitev so prišli tudi nekateri avtorji. Geary (2004)

navaja, da se pri učencih z učnimi težavami pri matematiki proceduralne veščine, ki so

povezane z enostavno aritmetiko, izboljšajo v času osnovnošolskega izobraževanja in

tako zgodnji primanjkljaji ne postanejo stalni. Dodaja, da pa pri mnogih učencih, ki

imajo težave pri priklicu aritmetičnih dejstev iz dolgotrajnega spomina, pogosto ne

pride do izboljšanja. Kavklerjeva (1996) navaja, da se pri učencih, ki uporabljajo manj

zrele strategije (npr. preštevanje vsega), asociacija med računom in ustreznim

rezultatom počasneje vzpostavi, kar učence ovira pri prehodu na priklic aritmetičnih

dejstev. Nekateri učenci nikoli ne razvijejo učinkovitih strategij pomnjenja aritmetičnih

dejstev in postopkov, ki bi jim omogočili miselno računanje, zato si pomagajo z manj

razvitimi strategijami reševanja aritmetičnih nalog (Tancig idr., 2004).

4. Vrstniška pomoč je učinkovita oblika pomoči učencem z učnimi težavami pri aritmetiki,

katere pozitivne učinke navajajo nekateri avtorji. Garnett (1998) in Dowker (2004)

navajata, da moramo učencem z učnimi težavami pri matematiki omogočiti delo v

skupinah z vrstniki, saj ti zanje pomenijo model, jim pomagajo pri kontroliranju

pravilnosti izračunov, omogočajo izmenjavo mnenj, strategij in idej. Rohrbeck,

Ginsburg-Block, Fantuzzo in Miller (2003) so ugotavljali statistično pomembno

izboljšanje znanja pri učencih osnovne šole, ki so prejemali vrstniško pomoč. Navajali

so, da je taka obravnava najbolj učinkovita pri mlajših učencih, v urbanih naseljih, pri

učencih iz družin z nizkim dohodkom ter pri učencih iz etničnih manjšin. Kroesberg in

Van Luit (2003) poudarjata koristnost vrstniške pomoči učencem z učnimi težavami pri

aritmetiki, opozarjata pa, da vrstniška pomoč ne sme v celoti nadomestiti pomoči

odraslega.


183

Poleg programa razvoja aritmetičnih znanj in spretnosti pri učencih skupine 1 v skupini ob

vrstniški pomoči smo izvajali tudi urjenje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov

na računalniku. Učenci so redno prihajali na srečanja in izvajali vaje na računalniku. Vaje

so jim bile zanimive, zato so jih radi reševali in tako urili priklic aritmetičnih dejstev in

postopkov ter spominske sposobnosti. Fuchs, Fuchs, Hamlett, Powell, Capizzi idr. (2006c)

so ugotavljali učinkovitost dela na računalniku na tekočnost seštevanja in odštevanja in

ugotovili pomemben učinek na spretnost seštevanja, ne pa tudi učinka na odštevanje. Zato

so poudarili poučevanje s slikovnimi predstavitvami ter utrjevanje številskih kombinacij s

svinčnikom in papirjem ter matematičnimi karticami z računi in rezultati. Shin in Pedrotty

Bryant (2015) navajata učinkovitost obravnave s pomočjo iPad-a na priklic aritmetičnih

dejstev poštevanke pri učencih petega razreda. Pravita, da je taka obravnava lahko

učinkovita metoda podpore učencem z učnimi težavami, da izboljšajo in vzdržujejo znanje

poštevanke.

Na osnovi naših ugotovitev lahko povzamemo, da lahko z izvajanjem programa pomoči

učencem z učnimi težavami pri aritmetiki na tretjem koraku petstopenjskega modela

pomoči ob vrstniški pomoči znatno pripomoremo k izboljšanju aritmetičnih znanj in

postopkov pri teh učencih ter s tem k zmanjšanju števila učencev, ki potrebujejo

intenzivnejše oblike pomoči. Ob formalnem poučevanju ter sistematičnem delu v okviru

skupinske pomoče in vrstniške pomoči na tretjem koraku petstopenjskega modela so učenci

skupine 1 izboljšali svoja aritmetična znanja in spretnosti. Na končnem testiranju so se pri

učencih skupine 1 še vedno kazale težavev aritmetičnih znanjih in spretnostih, vendar pa so

se učenci skupine 1 v dosežkih približali učencem brez učnih težav pri matematiki (skupina

3).

Učinkovitost programa pomoči bomo dosegli s skrbnim načrtovanjem, izvajanjem in

evalvacijo ter vključitvijo virov pomoči, ki že obstajajo v sistemu.

Naš program pomoči lahko služi kot model razvoja aritmetičnih znanj in spretnosti pri

učencih z učnimi težavami pri aritmetiki v 3. razredu osnovne šole ter kot model obravnave

učencev v okviru skupinske pomoči ob vrstniški pomoči na tretjem koraku petstopenjskega

modela pomoči učencem z učnimi težavami.

Oblikovan model lahko služi tudi kot model za vpeljevanje sprememb v specialno-

pedagoško prakso dela z učenci z učnimi težavami pri aritmetiki na tretjem koraku


184

petstopenjskega modela pomoči ter prakso dela z učenci z učnimi težavami v osnovni šoli

nasploh.


185

9 LITERATURA

1. Adler, B. (2000). Mathematics Screening III. Kognitiv Centrum Sweden.

2. Ainscow, M., Booth, T., Dyson, A. (2006). Improving schools, developing inclusion. New York. Routleage.

3. Aubrey, C. (1995). Narava in struktura otrokovega neformalnega znanja matematike in vloga v prvih letih učenja. Pedagoška obzorja, letnik--, št. ½, str. 48–58.

4. Aubrey, C., Tancig, S., Magajna, L. in Kavkler, M. (1998). Development of numeracy in England and Slovenia. Ljubljana: European Conference on Educational Research (ECER).

5. Baker, S., Gersten, R. in Lee, D. (2002). A sinthesis of empirical research on teaching mathematics in low-achieving students. The Elementary School Journal, 103, 51–73.

6. Bandura, A. (1988). Organizational applications of social cognitive teory. Australian Journal od Management, 13, 275–302.

7. Barrouillet, P., Fayol, M. in Lathuliere, E. (1997). Selecting between competitors in multiplication tasks: an explanation of the errors produced by adolescents with learning disabilities. International Journal of Bahavioral Development, 21, 253–275.

8. Bastič, M. (2006). Metode raziskovanja. Pridobljeno 20.03.2016 iz http://shrani.si/f/2J/WJ/1HkYy8qF/file.pdf.

9. Bennet, M. (1995). Managing Learning Through Group Work. V: Desforges, C. An Introduction to Teaching: Psychological Perspectives. Oxford:Blackwell Publishers.

10. Berger, A., Tzur, G. in Posner, M. I. (2006). Infant brains detect arithmetic errors. Proceedings of the National Academy of Sciences, 103, 12649–12653.

11. Berry, B., Barnett, J., Kamm, C., Vilson, J. (2010) Teaching 2030: What We Must Do for Our Students and Our Public Schools. Pridobljeno 10. 10. 2012 iz http://www.teaching2030.org.

12. Bobis, J. (2008). Early Spatial Thinking and The Development of Number Sense, Sidney: Australian Primary Mathematics Classroom.

13. Bootge, B. A. (2001). Reconceptualizing Mathematics Problem Solving for Low-Acheaving Students. Remedial and special education, 22(2), 102-112.


186

14. Bryant, B. R. in Pedrotty, B. D. (2008a). Introduction to the Special Series: Mathematics and Learning Disabilities. Learning Disabilities Quarterly, 31, 47–63.

15. Bryant, D. P, Bryant, B. R., Gersten, R. Scammacca, N., Funk, C., Winter, A., Shin, M. in Pool, C. (2008b). The effects of Tear 2 intervention on first-grade mathematics performance of first-grade students who are at risk for mathematics difficulties. Learning Disability Quiarterly, 31, 47–63.

16. Clements, D. H. (1999). Subitizing: What is it? Why Teach it? Pridobljeno 14. 03. 2013 iz http://teacherweb.com/WA/nachesvalleyprimaryschool/msclark/Subs.PDF.

17. Clements, D. in Sarama, J. (2007). Early Childhood Mathematics Learning: Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Pridobljeno 18. 2. 2014 iz http://www.infoagepub.com/products/Second-Handbook-Research-Mathematics-Teaching-Learning.

18. Clemson, D. in Clemson, W. (1997). Mathematics in the early years. London, New York: Routledge.

19. Cole, J. E. in Wasburn-Moses, L. H. (2010). Going beyond the Math Wars. A special educatorʼs guide to understanding and assisting with inquiry-based teaching in mathematics: Teaching exceptional children, 42(4).

20. Cotič, M. in Žakelj, A. (2004). Gagnejeva taksonomija pri preverjanju in ocenjevanju matematičnega znanja. Sodobna pedagogika, letnik 55, št. 1, str. 182–193.

21. Cumming, J. J. in Elkins, J. (1999). Lacko f automaticity in the basic addition facts as a

characteristic of arithmetic člearning problems and instructional needs. Mathematical

Cognition, 5, 149–180.

22. Čačinovič Vogrinčič, G. (2011). Soustvarjanje v delovnem odnosu: izvirni delovni

projekt pomoči. V Šugman Bohinc L., Učenci z učnimi težavami. Izvirni delovni projekt

pomoči. Ljubljana. Fakulteta za socialno delo.

23. Dens, G. (2004). Special education across Europe – 2004. Inspire – Dublin Course. Dublin.

24. Dowker, A. (2004). What Works for Children With Mathematical Difficulties? Research Report No. 554. University of Oxford.

25. Dowker, A. (2005). Early Identification and Intervention for Students With Mathematical Difficulties. Journal of Learning Disabilities, letnik 38, št. 4, str. 324–332.


187

26. Do you have good organization skills? (School/work version). (2009). Pridobljeno 14. 11. 2011 iz http://www.queendom.com/tests/access_page/index.htm?idRegTest=2284.

27. DuBois, D. L. in Karcher, M. J. (2005). Handbook of youth mentoring. California: Sage Piblications.

28. Dyson, L. (2007). The unexpected effects of inclusion on the families of students with learning disabilities: A focus-group study. Learning Disabilities. 14(3). str. 185–194.

29. Eliot, N., Doxey, E., Stephenson, V. (2006). Inclusion pocketbook. Teachers pocketbook. Hampshire: Management Pocketbooks Ltd.

30. European Agency for Development in Special Needs Education. (2003)Inclusive Education and Classroom practice. Sumary Report.

31. Evans, L. (2007). Inclusion. London: Routledge.

32. Farrell, M. (2006). The effective teatcher´s guide to behavioural, emotional and social difficulties: practical strategies. London and New York: Routledge.

33. FAWCO (Zveza ameriških ženskih društev v tujini) (2007). Podpora učiteljem pri delu z učenci s specifičnimi učnimi težavami širom po svetu. Pridobljeno 17.08.2013 s https://www.fawco.org/.

34. Fayol, M., Barrouillet, P. in Marinthe, C. (1998). Predicting arithmetical achievement from neuro-psychological performance: a longitudial study. Cognition, 68, B63–B70.

35. Ferbar, J. (1990). Štetje. Novo mesto: Pedagoška obzorja.

36. Fleischner, J. E., Garnett, K. in Shepherd, M. J. (1982). Proficiency in aritthmetic basic facts computation of learning disabled and nondisabled children. Focus on Learning Problems in Mathematics, 4, 47–56.

37. Flowers, J. M. in Rubenstein, R. N. (2011). Multiplication fact fluency – Using doubles. Mathematics Teaching in the middle school, 16(5), 296–301.

38. Fuchs, L. S., Fuchs, D. in Karns, K. (2001). Enhancing kindergardnerʼs mathematical development: Effects of peer-assisted learning strategies. Elementary School Journal, 100, 495–510.

39. Fuchs, L. S., Fuchs, D., Yazdian, L. in Powell, S. R. (2002). Enhancing first-grade childrenʼs mathematical development with peer-assisted learning strategies. Scool Psychology Rewiew, 31, 569–583.


188

40. Fuchs, L.S., Compton, D.L., Fuchs, D., Paulsen, K, Bryant, J. D. in Hamlett, C. L. (2005). The prevention, identification, and cognitive determinants of Math difficulty. Journal of Educational psychology, 97(3), 493–513.

41. Fuchs, L. S., Fuchs, D. (2006a). A framework for builiding capacity for Response to Intervention. School Psychology Review.

42. Fuchs, L. S., Fuchs, D.,Compton, D. L., Powell, S.R., Seethaler, P. M., Capizzi, A. M., Schatschneider, C., Fletcher, J.M. (2006b). The congitive correlatess of third-grade skill in arithmetic, algorithmic computation, and arithmetic word problems. Journal of Educational Psychology, letnik 98, št. 1, str. 29–43.

43. Fuchs, L. S., Fuchs, D., Hamlett, C. L., Powell, S. R., Capizzi, A. M. in Seethaler, P. M. (2006c). The effects of computer-assisted instruction on number combination skill in at-risk first grades. Journal of Learning Disabilities, 39, 467–475.

44. Fuchs, L.S., Powell, S., Seethaler, P. M., Fuchs, D., Hamlett, C., Cirino, P. in Fletcher, J. (2008). Effects of preventative tutoring on the mathematical problem solving of third-grade students with math and reading difficulties. Pridobljeno 10. 05. 2012 iz http://findarticles.com/p/articles/mi_hb3130/is_2_74/ai_n29401282/?tag=rbxcra.2.a.55.

45. Fuchs, L. S., Powell, S. R., Seethaler, P. M., Cirino, P. T., Fletcher, J. M., Fuchs, D., Hamlett, C. L. O. in Zumeta, R. (2009). Remediatinh NUmber Combination and Word Problem Deficits among Students with Mathematics Difficulties: A Randomized Control Trial. Journal of Educational Psychology, 101(3), 561–576.

46. Fuchs, L.S., Powell, S., Seethaler, P., Fuchs, D., Hamlet, C., Cirino, P., Fletcher, J. (2010). A Framework for Remediating Number Combination Deficits. Council for Exceptional Children, letnik 76, št. 2, str. 135–156.

47. Fuson, K. C., Richards, J. in Brians, D. (1982). The acquisition and elaboration of the number word sequence. In C. J. Brainerd (ed.), Childrenʼs Logical and Mathematical Cognition. Springer-Verlag.

48. Fuson, K. C. in Kwon, Y. (1992). Korean childrenʼs understanding of multidigit addition and substraction. Child Development, 63. 491–505.

49. Garnett, K. (1998). Math learning disabilities. The Learning Disabilities Journal of CEC. November 1998, str. 1–8.

50. Garnet, K. in Fleischner, J. E. (1983). Automatization and basic fact performance of

normal and learning disabled children. Learning Disabilities Quarterly, 16, 223-230.

51. Geary, D. C. (1990). A Componential Analysis of an Early Learning Deficit in Mathematics. Journal of Experimetal Child Psychology, 49, 386–404.


189

52. Geary, D. C. (1994). Childrens Mathematical Development: Research and Practical Applications. Washington, London: American Psychological Associaton.

53. Geary, D. C. (2003). Math Disabilities. V: Swanson, H. L., Harris, K. R. in Graham, S. (ur.). Handbook of Learning Disabilities. (pp. 199–212). New York: Guilford.

54. Geary, D. C. (2004). Mathematics and Learning disabilities. Journal of learning disabilities, letnik 37, št. 1, str. 4–15 in 50–61.

55. Geary, D. C. (2010). Mathematical Disabilities: reflectionon cognitive, neuropsychological an genetic components. Learning and Individual Differences. 20, str. 130–133.

56. Geary, D. C. (2011). Cognitive Predictors of Achievement Growth in Mathematics: A Five Year Longitudional Study. Pridobljeno 22.09.2013 iz https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3210883/

57. Geary, D. C. in Brown, S. C. (1991). Strategy choices and speed-of-processing differences in gifted, normal and mathematicaly disabled children. Development Psychology, 27, 787–797.

58. Geary, D. C., Brown, S. C. in Samaranayake, V. A. (1991). Cognitive addition: A short longitudinal study of strategy choice and speed-of-processing differences in normal and mathematically disabled children. Development Psychology, 27, 787-797.

59. Geary, D. C., Bow-Thomas, C. C. in Yao, Y. (1992). Counting knowledge ans skill in cognitive addition. A comparison of normal and mathematically disabled children. Journal of Experimental Child Psychology, 54, 372-391.

60. Geary, D. C., Hamson, C., Hoard, M. (2000). Numerical amd ArithmeticalCognition: A Longitudinal Study of Process and Concept Deficits in Children with Learning Disability. Journal of Experimental Child Psychology 77, str. 236–263.

61. Geary, D. C. in Hoard, M. K. (2002). Learning disabilities in Basic Mathematics: Deficits in Memory and Cognition. V: J. M. Royer (ur.), Mathematical cognition (93–115). Greenwich, CT: Information Age Publishing.

62. Geary, D. C., Hoard, M. K., Byrd-Craven, J., DeSoto, C. M. (2004) Strategy choices in simple and complex addition: contributions of working memory and counting knowledge for children with mathematical disability, Journal of Experimental Child Psychology (Impact Factor: 3.12). 88(2):121–151.

63. Geary, D., Hoard, M., Byrd-Craven, J., Nugent, L., Numtee, C., (2007). Cognitive Mechanisms Undrelying Achievement Deficits in Children With Mathematical Learning Disability. Child Development, letnik 78, št. 4, str. 1343–1359.


190

64. Gelman, R. in Gallistel, C. R. (1978) The Childs Understending of Number. Cambridge, MA, Harvard University Press.

65. Ginsburg, H. P. in Baroody, A. J. (1983). Test of Early Mathematics Ability. Third Edition. Examinerʼs Manual. Austin: Pro-ed.

66. Goldfus, C., Korn, E. (2004). The turnabout programme : a step-by-step guidebook for parents; help your child to overcome dyslexia and ADHD and make a turnabout to achievement and success. Victoria, B.C.: Trafford, cop. 2004.

67. Goldman, S. R. in Pellegrino, J. W. (1987). Information processing and educational microcomputer technology: where do we go from there? Hournal of Learning Disabilities, 20(3), 111–154.

68. Grah. J. (2013). Soustvarjanje spodbudnega učnega okolja za učence z učnimi težavami. Doktorska disertacija. Ljubljana. Pedagoška fakulteta.

69. Griffin, S. (2002). Number Worlds. The Number Knowledge test. Pridobljeno 05.07.2013 iz http://www.clarku.edu/numberworlds/nw_TestInfo.htm.

70. Griffin, S. in Case, R. (1997). Rethinking the primary school math curriculum: An approach based on cognitive science. Issues in Education, 3, 1–49.

71. Grossman, D. (2003). Citizenship education and inclusion: A multidimensional approach. Hong Kong: International conference on inclusive education, 16.–19. 12. 2003.

72. Hanich, L. B., Jordan, N. C., Kaplan, D. in Dick, J. (2001). Performance across different areas of mathematical cognition in children with learning difficulties. JOurnal of Educational psychology, 93, 615-626.

73. Hodnik Čadež, T. (2000). Vloga različnih reprezentacij računskih algoritmov na razredni stopnji: doktorska disertacija. Ljubljana: Filozofska fakulteta, Oddelek za pedagogiko in andragogiko.

74. http://www.advocacyinstitute.org/resources/TEC_Rtlblueprint.pdf.

75. http://www.dyscalculia.org.

76. http://www.ric.si/preverjanje_znanja/splosne_informacije/.

77. Jamšek, S. (2011). Strategije reševanja nalog pisnega deljenja v 5. razredu osnovne šole: diplomsko delo. Ljubljana: Pedagoška fakulteta.

78. Japelj Pavešić, B. (2012). Znanje matematike in naravoslovja med osnovnošolci v Sloveniji in po svetu : izsledki raziskave TIMSS / Barbara Japelj Pavešić, Karmen


191

Svetlik, Ana Kozina. - Ljubljana : Pedagoški inštitut, 2012. - (Zbirka Izsledki raziskave TIMSS 2011 ; zv. 5).

79. Jereb, A. (2011). Strategije vrstniške pomoči za učence z učnimi težavami. V: Pulec Lah, S. (ur.), Velikonja M. (ur.). Učenci z učnimi težavami. Izbrane teme (str. 94–109). Ljubljana: Pedagoška fakulteta.

80. Jordan, N. C. in Montani T. O. (1997). Cognitive aritmetic and problem solving: A comparison of children with specific and general mathematical difficulties. Journal of Learning Disabilities, 28, 624–634.

81. Jordan, N. C. in Hanich, L. B. (2000). Mathematical thinking in second grade children with different forms of LD. Journal of Learning Disabilities, 33, 567–578.

82. Jordan, N. C., Hanich, L. B. in Kaplan, D. (2003). Aritmetic fact mastery in young children: A longitudinal investigation. Journal of Experimental Child Psychology, 85, 103–119.

83. Kalan, M. (2005). Razvijanje računskih strategij pri učencih s specifičnimi učnimi težavami: magistrsko delo. Ljubljana: Pedagoška fakulteta.

84. Kalan, M. (2015). Strategije reševanja aritmetičnih besednih problemov pri učencih z učnimi težavami pri matematiki: doktorska disertacija. Ljubljana: Pedagoška fakulteta.

85. Kavkler, M. (1991). Naloge z besedili. V: Kavkler, M. idr. (ur.) Brati, Pisati, računati, str. 95–102. Murska Sobota: Pomurska založba.

86. Kavkler, M. (1996). Strategija reševanja temeljnih aritmetičnih problemov. Matematika v šoli, 4, str. 129–140.

87. Kavkler, M. (1997). Latentna struktura specifičnih učnih težav pri matematiki: doktorska disertacija. Ljubljana: Pedagoška fakulteta.

88. Kavkler, M. (2002). Kako otroci rešujejo osnovne aritmetične probleme. V: Kočnik

Goršič, N. (ur.) in Kavkler, M. (ur.). Specifične učne težave otrok in mladostnikov:

prepoznavanje, razumevanje, svetovanje, pomoč. Ljubljana. Svetovalni center za

otroke, mladostnike in starše.

89. Kavkler, M. (2005). Model sistemskega pristopa inkluzivnega šolanja. Uredila Mitja Sardoč in Marija Kavkler. Ljubljana: Pedagoški inštitut, str. 29–34.

90. Kavkler, M. (2007). Specifične učne težave pri matematiki. V: Kavkler, M. in Košak Babuder, M. (ur.). Učenci s specifičnimi težavami: skriti primanjkljaji – skriti zakladi, str. 77–112.


192

91. Kavkler, M. (2008). Opredelitev inkluzivne vzgoje in izobraževanja. V: A. Nagode (ur.), Razvoj inkluzivne vzgoje in izobraževanja – izbrana poglavja v pomoč šolskim timom. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo, str. 9–20.

92. Kavkler, M. (2009). Modeli in strategije za obravnavo učencev z učnimi težavami – vpliv na spremembe v poučevalni praksi. Prispevek je nastal v okviru projekta strokovne podlage za nadaljni razvoj in uresničevanje koncepta dela Učne težave v osnovni šoli, ki ga financirata Evropski socialni sklad in ministrstvo RS za šolstvo in šport.

93. Kavkler, M. (2011a). Konceptualne osnove obravnave učencev z učnimi težavami. V: Košak Babuder, M. in Velikonja, M. (ur.). Učenci z učnimi težavami: pomoč in podpora (str. 8–42). Ljubljana: Pedagoška fakulteta.

94. Kavkler, M. (2011b). Obravnava učencev z učnimi težavami pri matematiki. V: Košak Babuder, M. in Velikonja, M. (ur.). Učenci z učnimi težavami: pomoč in podpora (str. 124–156). Ljubljana: Pedagoška fakulteta.

95. Kavkler, M. (2011c). Učenci z učnimi težavami pri matematiki – učinkovitejše odkrivanje in diagnostično ocenjevanje. V: Magajna, L. in Velikonja, M. (ur.). Učenci z učnimi težavami. Prepoznavanje in diagnostično ocenjevanje (str. 130–146). Ljubljana: Pedagoška fakulteta.

96. Kavkler, M. (2015). Učne težave pri matematiki: uresničevanje Koncepta dela učne težave v osnovni šoli. Matematika v šoli, Letnik 21, št. 3–4, str. 4–15.

97. Kavkler, M., Tancig, S., Magajna, L., Rugelj, M. Lipec-Stopar, M. (1996). Preverjanje strategij reševanja aritmetičnih problemov. Zaključno poročilo »Preverjanje znanja za kvalitetno šolo«. Ljubljana: MŠŠ.

98. Kavkler, M. Magajna, L., Aubrey, C., Lipec – Stopar, M. (1997). Primerjava angleških in skivenskih 6-, 7- in 8-letnikov v reševanju matematičnih problemov. V. Destovnik, K. in Matovič, I. (ur). Izobraževanje učiteljev ob vstopu v tretje tisočletje, str. 166–182.

99. Kavkler, M., Tancig, S., Magajna, L. (2004). Razvoj štetja pri prvošolcih devetletne osnovne šole. Matematika v šoli, letnik 11, št. 3–4, str. 130–141.

100. Kavkler, M., Magajna, L. (2008). Učne težave kot posebne vzgojno-izobraževalne potrebe – opredelitev, razsežnosti in podskupine učnih težav. V: Učne težave v osnovni šoli – problemi, perspektive, priporočila. Ljubljana. Zavod RS za šolstvo.

101. Kavkler, M., Kalan, M. in Hodnik Čadež, T. (2015). Spodbujanje matematičnih dosežkov pri učencih s primanjkljaji na področju učenja matematike. V: Vpliv družbenih sprememb na vzgojo in izobraževanje / urednica Tatjana Devjak. Ljubljana : Pedagoška fakulteta. Pridobljeno 14. 02. 2016 iz http://www.pef.uni-


193

lj.si/fileadmin/Datoteke/Posvet/Vpliv-druzbenih-sprememb_Posvet-PeF-2015_znanstvena-monografija.pdf

102. Kmetič, S. (1996). Naravna števila. Educa, št. 5, str. 273–279.

103. Kroesbergen, E. H. in Van Luitt, J. E. H. (2003). Mathematics intervention for children with special aducation needs: A meta-analysis. Remedial and Special Education, 24, 97-114.

104. Kunsch, C. A., Jitendra, A. K. in Sood, S. (2007). The effects of peer-mediated instruction in mathematics for students with learning problems: A research and Practice, 22(1), 1–2.

105. Lemaire, P. in Siegler, R. S. (1995). Four Aspects of Strategic Change: Contribution to Childrenʼs Learning of Multiplication. Journal of Experimental Psychology: General, Vol. 124, No. 1, 83–97.

106. Lesar, I. (2007). Osnovna šola kot inkluzivno naravna institucija: doktorsko delo. Ljubljana: Filozofska fakulteta.

107. Magajna, L., Kavkler, M. in Ortar-Križaj, M. (2003). Adults with self-reported learning disabilities in Slovenia: Findings from the international adult literacy survey on the incedence and correlates of learning disabilities in Slovenia. Special issue: Part 2. Guest editor Suzana A. Vogel. Dyslexia 9, str. 229–251.

108. Magajna, L., Čačinovič Vogrinčič, G., Pečjak, S., Peklaj, C., Golobič Bregar, K., Kavkler, M., Tancig, S. (2008a). Učne težave v osnovni šoli: problemi, perspektive, priporočila. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo.

109. Magajna, L., Kavkler, M., Čačinovič Vogrinčič, G., Pečjak, S., Bregar Golobič, K. (2008b). Učne težave v osnovni šoli: koncept dela. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.

110. Magajna, L., Kavkler, M., Košir, J. (2011). Osnovni pojmi. V: Pulec Lah, S. in Velikonja, M. (ur.). Učenci z učnimi težavami: Izbrane teme. Ljubljana: Pedagoška fakulteta, str. 8–22.

111. Manfreda Kolar, V. (2006). Razvoj pojma števila pri predšolskem otroku. Ljubljana: Pedagoška fakulteta Univerze v Ljubljani.

112. Markovac, J. (1990). Metodika početne nastave matematike. Zagreb: Školska knjiga.

113. McMaster, K. L., Fuchs, D. in Fuchs, L. S. (2002). Using peer tutoring to prevent early reading failure. Baltimore, MD: Paul h Brookes Publishing.


194

114. Meijer, C., Soriano, V., Watkins, A. (2003). Special Needs Education in Europe. Thematic Publication. European Agency for Development in Special Needs Education.

115. Mellard, D., McKnight, M., Jordan, J. (2010). RTI tier structures and instructional intensity. Learning Disabilities Research and Practice. 25(4). str. 217–225.

116. Memletics Learning Styles Questionnaire. (2009). Pridobljeno 14. 11. 2011 iz http://www.learning-styles-online.com/inventary/questions.asp.

117. Miles, T. R., Haslum, M. N. in Wheeler, T. J. (2001). The mathematical abilities of dyslexic 10-years-olds. Annals of Dyslexia, 51, 299–321.

118. Miller, S. P. in Miller, P. F. (1995). Cross-age peer turoring. A strategy for promoting self-determination in students with severe emotional disabilities/behavior disorders. Preventink School Failure, 39(4), 32–38.

119. Miller, S. P. in Hudson, P. J. (2007). Using Evidence-Based Practices to Build Mathematics Competence Related to Conceptual, Procedural, and Declarative Knowledge. Learning Disabilities Research & Practice, Volume 22, Issue 1, pages 47–57.

120. Mitchell, D. (2005). Contentextualizing inclusive education: evaluating old and new international perspectives. London: Routledge.

121. Mitchell, D. (2008). What really works in special and inclusive education: using evidence-based teaching strategies. London: Routledge.

122. Montague, M. (1996). Students perception, mathematical problem solving, and learning disabilities. Remidial and special education, 18(1), 46–53.

123. OECD PISA 2012 - Program mednarodne primerjave dosežkov učencev: Matematična pismenost, Bralna pismenost, Naravoslovna pismenost (2013). Uredile: Štraus, M., Šterman Ivančič, K., Štigl, S. Ljubljana, Pedagoški inštitut. Pridobljeno 20. 1. 2014 iz http://www.pei.si/UserFilesUpload/file/raziskovalna_dejavnost/PISA/PISA2012/PISA%202012%20Povzetek%20rezultatov%20SLO.pdf.

124. Ofsted – Office for Standards in education. (2000). Pridobljeno 15. 09. 2013 iz http://www.ofsted.gov.uk.

125. Ostad, S. A. (1997). Developmental differences in addition strategies: A comparison of mathematically disabled and mathematically normal children. British Journal of Educational Psychology, 67, 345–357.


195

126. Ostad, S. A. (1998). Development differences in solving simple arithmetic problems and simple number fact problems: A comparison of mathematically normal and mathematicallydisabled children. Mathematical Cognition, 4, 1–19.

127. Ostad, S. A. (2000). Cognitive substraction in developmental perspective: Accuracy, speed-of-processing and strategy-use differences in normal and mathematically disabled children. Focus on Learning Problems in Mathematics, 22(2), 18–31.

128. Ostad, S. A. (2006). Uporaba strategij skozi razvojno perspektivo: primerjave otrok z in brez težav pri matematiki. Zbornik prispevkov druge mednarodne konference o specifičnih učnih težavah v Sloveniji. Otroci in mladostniki s specifičnimi učnimi težavami-spodbujanje, podpiranje in učinkovita pomoč. Društvo Bravo. Ljubljana, 29. in 30. 9. 2006, str. 50–62

129. Parson, S. in Bynner, J. (2005). Does numeracy matter more? London: National Research and Development Centre for adult literacy and numeracy.

130. Pedrotty Bryant, D., Bryant, B. R., Roberts, G., Vaughn, S., Hughes Pfannenstiel, K., Porterfield, J., Gersten, R. (2011). Early Numeracy Intervention Program for First-Grade Students With Mathematics Difficulties. Exceptional Children, Vol. 78, No.1, p7–23.

131. Peklaj, C. (1998). Spodbujanje sodelovanja – različni pristopi k razvoju sodelovalnih veščin v razredu. Sodobna pedagogika, št. 3, str. 287–300.

132. Peklaj, C. (2001). Sodelovalno učenje ali kdaj več glav več ve. Ljubljana: DZS.

133. Pieters, S., Roeyers, H., Rosseel, Y., Van Waelvelde, H. in Desoete, A. (2015). Identifying subtypes among children with developmental coordination disorder and mathematical learning disabilities, using model-based clustering. Journal of Learning Disabilities. 48(1): 83–95.

134. Räsänen, P. in Ahonen, T. (1995). Arithmetic disabilities with and without reading difficulties: A comparison of arithmetic errors. Developmental Neuropsychology, 11, 275–295.

135. Reid, G. (2007). Disleksija: Napotki za učitelje in starše. V: Učenci s specifičnimi učnimi težavami: skriti primanjkljaji – skriti zakladi. Ljubljana: Društvo Bravo.

136. Russell, R. in Ginsburg, H. P. (1984). Cognitive analysis of childrenʼs mathematical difficulties. Cognition and Instruction, 1, 217–244.

137. Resman, M. (2002). Vzvodi šolskega razvoja. Sodobna pedagogika, 53(1). str. 8–28.


196

138. Rohrbech, S. A., Ginsburg-Block, M. D., Fantuzzo, J. W. in Miller, T. R. (2003). Peer-assisted learninh interventions with elementary school students: A meta-analytic review. Yournal of Educational Psychology, 95, str. 240–257.

139. Rohrbech, S. A., Ginsburg-Block, M. D., Fantuzzo, J. W. in Miller, T. R. (2003). Peer-assisted learninh interventions with elementary school students: A meta-analytic review. Yournal of Educational Psychology, 95, str. 240–257.

140. Shin, M. in Pedrotty Bryant, D. (2015). A Synthesis of Mathematical and Cognitive Performances of Students With Mathematics Learning Disabilities. Journal of Learning Disabilities, Vol. 58(1), str. 96–112.

141. Siegler, R. S. (1988). Strategy choice procedures and the development of multiplication skill. Journal of Experimental Psychology: General, 117, 258–275.

142. Siegler, R. S. in Jenkins, E. A. (1989). How children discover new strategies. Hillsdale, NJ: Erlbaum.

143. Sileo, J. M. in Van Garderen, D. (2010). Creating optimal opportunities to learn mathematics. Blending Co-teaching structures with research-based practices. Teaching exceptional children, 42(3), Januar/Februar, 14–21.

144. Skalar, V. (2002). Integracija, inkluzija v vrtcu, osnovni in srednji šoli Prispevki za strokovni posvet. Nova Gorica: Zveza pedagoških delavcev Slovenije, str. 56–72.

145. Slavin, R. E. (1991). Synthesis of research on cooperative learning. Educational leadership, 2, str. 71–82.

146. Sopfian, C. (2004). Mathematics fort he future. Developing a Head Start Curriculum to support mathematics learning. Early Childhood research quarterly, 19, 59–81.

147. Sousa, D.A. (2008a). How the brain learns mathematics. California: Thousand Oaks:Corwin Press.

148. Sousa, D. A. (2008b). Recognizing and adressing mathematics. London: Corwin Press Ltd. A SAGE Publications Company.

149. Special Needs Education in Europe. Thematic publication. (2003). Edited by Cor Meijer, Victoria Soriano, Amanda Watkins. Brussels: European Agency for Development in Special Needs in Education.

150. Starkey, P. in Cooper, R. G., Jr. (1980). Perception of number by human infants. Science, 210, 1033–1035.


197

151. Stock, P., Desoete, A. in Roeyers, H. (2010). Detecting Children With Arithmetic Disabilities From Kindergarten: Evidence From a 3-Year Longitudinal Study on the Role of Preparatory Arithmetic Abilities. Journal of Learning Disabilities 43(3) 250–268.

152. Strauss, M. S. in Curtis, L. E. (1981). Infant Perception of numerosity. Child Development, 52, 1146–1152.

153. Sugarman, I. (1995). A Whole school approach to developing calculating competence. Key stage two. Schropshire: Shropshire Mathematics Centre.

154. Tancig, S., Kavkler, M., Magajna, L. (2004). Razvoj aritmetičnih znanj in strategij pri prvošolcih devetletne osnovne šole. PIO preverjanje in ocenjevanje. Educa. Letnik 1, št. 4, str. 31–38.

155. Tancig, S., Kavkler, M., Magajna, L. (2005). Razvoj aritmetičnih znanj in strategij pri prvošolcih devetletne osnovne šole. Del 2. Preverjanje in ocenjevanje. Letnik 2, št. 1, str. 27–30.

156. Viola, S. G. (2006). Inclusive education: A system level and classroom level approach. Publisher: Ministry of Education Russian Federation. Pridobljeno 15. 08. 2013 iz http://www.umsl.edu/viola/publications.html.

157. Vipavc, J. in Kavkler, M. (2015). Konceptualne osnove obravnave učencev z učnimi težavami pri matematiki. V: Težave pri učenju matematike: strategije za izboljšanje razumevanja in učnih dosežkov učencev/Kavkler, M. (ur.) in Košak Babuder, M. (ur.). Ljubljana: Bravo: društvo za pomoč otrokom in mladostnikom s specifičnimi učnimi težavami, str. 9–23.

158. Vouitsina, C. (2012). Procedural and conceptual changes in young childrens problem solving. Educational Studies in Mathematics, letnik 79, št. 2, str. 193–214.

159. Vovk-Ornik, N. (Ur.). (2015). Kriteriji za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oz. motenj otrok s posebnimi potrebami [Elektronski vir]. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno 15. 03. 2016 iz http://www.zrss.si/pdf/Kriteriji-motenj-otrok-s-posebnimi-potrebami.pdf.

160. Witzel, B. S. (2005). Using CRA to teach algebra to students with math difficulties in inclusive settings. Learning Disabilities: A Contemporary Journal, 3(2), 49–60.

161. World Health Organization. Multiaxial classification of child and adolescent psychiatric disorders. The ICD-10 classification of mental and behavioural disorders in children and adolescents (1996) Cambridge: University Press.

162. Yeo, D. (2003). Dyslexia, Dyspraxia an Mathematics. London: Whurr Publishers.


198

163. Zakon o organizaciji in financiranju vzgoje in izobraževanja. Ur. l. RS, št. 16/07, 36/08, 58/09, 64/09, 65/09 in 20/11, 34/2011 40/2012, 57/2012, 47/15).

164. Zakon o osnovni šoli. Ur. l. RS, št. 81/06,102/07, 107/2010, 87/2011, 40/2012. Pridobljeno 17. 10. 2013 iz http://www.uradni-list.si/1/objava.jsp?urlid=200681&stevilka=3535.

165. Zakon o usmerjanju otrok s posebnimi potrebami. Uradni list RS, št. 58/2011. Pridobljeno 17. 10. 2013 iz http://www.uradni-list.si/1/objava.jsp?urlid=201158&stevilka=2714.

166. Žakelj, A. (2003). Kako poučevati matematiko. Teoretična zasnova modela in njegova didaktična izpeljava. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.

167. Žakelj, A., Prinčič Rohler, A., Perat, Z., Lipovec, A., Vršič, V., Repovž, B., Senekovič, J. (2011). Učni načrt. Program osnovna šola. Matematika. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport: Zavod Republike Slovenije za šolstvo.


199

PRILOGE

V prilogah od 1 do 8 (Test za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev (Sugarman, 1995) so uporabljene naslednje kratice:

Priloga 1, 3, 5, 6:

Z1 - začetni test, skupina 1 K1 - končni test, skupina 1 Z2 - začetni test, skupina 2 K2 - končni test, skupina 2 P - pravilen rezultat N - nepravilen rezultat Za račune seštevanja do 20: Š1 - prešteva vse na prste Š2 - začne s prvim številom in prišteje drugega Š3 - začne z večjim številom in prišteje drugega Ta - prikliče pravilo (5 + …) in prilagodi Tb - uporabi mestne vrednosti (10 + …) Tc - prikliče aritmetično dejstvo iz dolgotrajnega spomina Za račune odštevanja do 20: Ša - prešteje večje število (na prste), odšteje manjšega in prešteje ostanek Šb - šteje v enicah nazaj od večjega števila Šc - šteje po ena naprej od manjšega števila Ta - prikliče aritmetična dejstva iz dolgotrajnega spomina Tb - spreminja (prilagaja) števila, npr. 15 – 7 = 15 – 5 – 2 Tc - šteje naprej z uporabo desetiških števil kot intervalov in prilagaja enice (14,20,30,32, +6+10+2)

Priloga 2, 4, 7, 8:

Z1 - začetni test, skupina 1 K1 - končni test, skupina 1 Z2 - začetni test, skupina 2 K2 - končni test, skupina 2 P - pravilen rezultat N - napačen rezultat Za račune seštevanja do 100: Š - prišteva enemu od števil Ta - razdeli obe števili na desetice in enice Tb - eno število razdeli na desetice in enice in prišteje drugemu številu vsak del posebej Tc - poenostavi ves račun (35+19=34+20=(34+20)-1) Za račune odštevanja do 100: Ša - šteje po ena Šb - primerja števke, ponavadi nepravilno Ta - razdeli obe števili v D in E ter računa posebej (30-10-4+2) Tb - razdeli manjše število na D in E (32-10-4) Tc - šteje naprej z uporabo desetiških števil kot intervalov in prilagaja enice (14,20,30,32, +6+10+2) Td - šteje naprej po deset in prilagaja enice (14,24,34,32, +10+10-2) Te - kot prej, le da uporablja večkratnike št. 10 (14,34,32, +20-2) Tf - preoblikuje obe števili v lažjo obliko (32-14 v 34-14-2)


200

Priloga 5 - 8: PR - računanje s prsti LK - računanje z link kockami RA - računanje z računalom TR - računaje s številskim trakom


201

Priloga 1: Izbor strategij učencev skupine 1 na začetnem in končnem testiranju na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij (Sugarman,1995)

Skupina 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O

5 + 7 Z Š1 * Tc * Tc * Tc * Tc * Š1 * Š1 * Š2 * Tc * Tc *

K Tc * Tc * Tc * Tc * Tc * Tc * Tc * Tc * Tc * Tc *

7 + 8 Z Š1 * Š2 * Š1 * Tc * Tc * Š1 * Š1 * Tc * Tc * Tc *

K Š2 * Tc * Tc * Tc * Tc * Tc * Tc * Tc * Tc * Tc *

6 + 9 Z Š1 * Š2 * Š1 * Tc * Ta * Š1 * Š1 * Š2 * Tc * Tc *


10 + 8 Z Tc * Š2 * Š1 * Tc * Tc * Tc * Š1 * Š2 * Tc * Tc *


8 + 13 Z Š1 * Ta * Š1 * Tc * Tb * Š1 * Š1 * Š2 * Tc * Tc *


15 + 6 Z Š1 * Tb * Š1 * Tc * Tb * Š1 * Š1 * Š2 * Tc * Tc *


7 - 6 Z Ta * Ta * Ta * Ta * Ta * Ša * Šb * Ta * Ta * Ta *

K Ta * Ta * Ta * Ta * Ta * Ta * Ta * Ta * Ta * Ta *

9 - 7 Z Ša * Šb * Ša * Ta * Ta * Ša * Šb * Ta * Ta * Ta *


10 - 4 Z Ta * Ta * Ta * Ta * Ta * Ta * Ta * Ta * Ta * Ta *


13 - 6 Z Ša * Šb * Ša * Ta * Ta * Ša * Šb * Šb * Ta * Šb *


15 - 11 Z Ša * Tb * Ša * Ta * Tb * Ša * Šb * Šb * Ta * Šb *


17 - 9 Z Ša * Tb * Ša * Ta * 0 Ša * Šb * Šb * Ta * Šb *



202


Skupina 1

11 12 13 14 15 16

S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O

5 + 7 Z Tc * Tc * Š1 * Tc * Š1 * Š2 *

K Tc * Tc * Tc * Tc * Š2 * Tc *

7 + 8 Z Tc * Tc * Š1 * Tc * Š1 * Š2 *

K Tc * Tc * Tc * Tc * Š2 * Tc *

6 + 9 Z Tc * Tc * Š1 * Tc * Š1 * Š2 *

K Tc * Tc * Tc * Tc * Š2 * Tc *

10 + 8 Z Tc * Tc * Š1 * Tc * Tc * Tc *

K Tc * Tc * Tc * Tc * Tc * Tc *

8 + 13 Z Tc * Tc * Š1 * Tc * Š1 * Š2 *


15 + 6 Z Tc * Tc * Š1 * Tc * Š1 * Š2 *


7 - 6 Z Ta * Ta * Ša * Ta * Ta * Ta *

K Ta * Ta * Ta * Ta * Ta * Ta *

9 - 7 Z Ta * Ta * Ša * Ta * Ta * Ta *


10 - 4 Z Ta * Ta * Ša * Ta * Ta * Ta *


13 - 6 Z Ta * Šb * Ša * Ta * Šb * Šb *

K Ta * Ta * Ta * Ta * Šb * Ta *

15 - 11 Z Ta * Šb * Ša * Ta * Šb * Šb *


17 - 9 Z Ta * Šb * Ša * Ta * Šb * Šb *



203


Skupina 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


25+36 Z Š * Ta * Š * Ta * Ta * Š * Š * Ta * Ta * Š *

K Ta * Ta * Ta * Tb * Ta * Ta * Tb * Ta * Tb * Ta *

35+19 Z Š * Ta * Š * Ta * Tb * Š * Š * Ta * Ta * Š *

K Ta * Ta * Ta * Tb * Ta * Ta * Tb * Tb * Tb * Ta *

62+28 Z 0 Ta * Š * Ta * Tb * Š * Š * 0 Ta * Š *

K Ta * Ta * Ta * Tb * Ta * Ta * Ta * Tb * Tb * Ta *

57+35 Z 0 Ta * 0 Ta * Tb * Š * 0 0 Ta * 0

K Ta * Ta * Ta * Tb * Ta * Ta * Ta * Tb * Tb * Ta *

129+41 Z 0 Ta * 0 Ta * Tb * 0 0 0 0 0

K Ta * Ta * Ta * Tb * Ta * 0 Tb * Tb * Tb * Ta *

32-14 Z 0 Ta * Ša * Ta * Tb * Ša * Ša * Ša * Ta * 0

K Tb * Ta * Ša * Tb * Tb * Tb * Ta * Tb * Tb * Tb *

64-59 Z 0 Ta * Ša * Ta * Tb * Ša * Ša * 0 Ta * 0

K Tb * Ta * Ta * Tb * Tb * Tb * 0 Tb * Tb * Tb *

75-37 Z 0 Ta * Ša * Ta * Tb * Ša * Ša * 0 Ta * 0

K Tb * Ta * Ta * Tb * Tb * Tb * Tb * Tb * Tb * Tb *

87-29 Z 0 Ta * Ša * Ta * Tb * Ša * 0 0 Ta * 0

K Ta * Ta * Ta * Tb * Tb * Tb * Tb * Tb * Tb * Tb *

112-66 Z 0 Ta * 0 Ta * Tb * 0 0 0 0 0

K Ta * Ta * Ta * Tb * Tb * Tb * Tb * Tb * Tb * 0


204


Skupina 1

11 12 13 14 15 16

S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O

25+36 Z Tb * Tb * 0 Ta * Š *

K Ta * Ta * Ta * Tb * Ta * Ta *

35+19 Z Tb * Tb * 0 Ta * Š *

K Ta * Ta * Ta * Tb * Ta * Ta *

62+28 Z Š * Tb * 0 Tb * Š *


57+35 Z Š * Tb * 0 Tb * Š *

K Tb * Ta * Ta * Ta * Ta * Ta *

129+41 Z 0 0 0 Tb * 0

K Tb * Ta * 0 Tb * Ta * Ta *

32-14 Z Ša * Ta * 0 Ta * Ša *

K Ta * Ta * Tb * Tb * Tb * Šb *

64-59 Z Ša * Ta * 0 Ta * Ša *

K Ta * Ta * Tb * Tb * Ša * Šb *

75-37 Z Ša * Ta * 0 Ta * Ša *

K Ta * Ta * Tb * Tb * Ša * 0

87-29 Z Ša * 0 0 Ta * Ša *

K Ta * Ta * Tb * Tb * Ta * 0

112-66 Z 0 0 0 0 0

K Ta * Ta * Ta * Tb * 0


205


Skupina 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


5 + 7 Z Tc * Š1 * Š1 * Tc * Š1 * Tc * Tc * Š1 * Tc * Tc *

K Tc * Tc * Tc * Tc * Š1 * Tc * Tc * Š2 * Tc * Tc *

7 + 8 Z Š2 * Š1 * Š2 * Tc * Tc * Š2 * Tc * Š1 * Š1 * Tc *

K Š1 * Š1 * Š1 * Tc * Š1 * Tc * Tc * Š2 * Tc * Tc *

6 + 9 Z Š2 * Š1 * Š2 * Tc * Tc * Š2 * Tc * Š1 * Š1 * Tc *

K Š1 * Š1 * Š1 * Tc * Tc * Tc * Tc * Š2 * Tc * Tc *

10 + 8 Z Tc * Š1 * Tc * Tc * Š1 * Š2 * Tc * Š1 * Tc * Tc *

K Tc * Tc * Tc * Tc * Tc * Tc * Tc * Š2 * Tc * Tc *

8 + 13 Z Š2 * Š1 * Š2 * Tc * Š1 * Š2 * Tc * Š1 * Š1 * Tc *

K Š1 * Š1 * Š1 * Tc * Š1 * Tc * Tc * Š2 * Š1 * Tc *

15 + 6 Z Tc * Š1 * Š2 * Tc * Š1 * Š2 * Tc * Š1 * Š1 * Tc *

K Tc * Š1 * Tc * Tc * Š2 * Tc * Tc * Š2 * Tc * Tc *

7 - 6 Z Ta * Ša * Šb * Ta * Šb * Šb * Ta * Ša * Ša * Ta *

K Ta * Ša * Ta * Ta * Ta * Šb * Ta * Šb * Ta * Ta *

9 - 7 Z Ta * Ša * Šb * Ta * Šb * Šb * Ta * Ša * Ša * Ta *

K Ta * Ša * Ta * Ta * Ta * Šb * Ta * Šb * Ta * Ta *

10 - 4 Z Ta * Ša * Šb * Ta * Šb * Šb * Ta * Ša * Ta * Ta *

K Ta * Ta * Ta * Ta * Ša * Ta * Ta * Šb * Ta * Ta *

13 - 6 Z Ta * Ša * Šb * Tb * Šb * Šb * Ta * Ša * Ša * Ta *

K Ša * Ša * Ša * Ta * Ša * Šb * Ta * Šb * Ta * Ta *

15-11 Z Ta * Ša * Tb * Ta * Šb * Šb * Ta * Ša * Ša * Ta *

K Ta * Ša * Ša * Ta * Ša * Ša * Ta * Šb * Ta * Ta *

17 - 9 Z Šb * Ša * Šb * Ta * Šb * Šb * Ta * Ša * Ša * Ta *

K Ša * Ša * Ša * Ta * Ša * Ša * Ta * Šb * Ša * Ta *


206


Skupina 2

11 12 13 14

S P N O S P N O S P N O S P N O

5 + 7 Z Š2 * Tc * Š1 * Tc *

K Tc * Tc * Š1 * Tc *

7 + 8 Z Š2 * Š1 * Š1 * Tc *

K Tc * Tc * Tc * Tc *

6 + 9 Z Tc * Š1 * Tc * Tc *


10 + 8 Z Tc * Tc * Tc * Tc *


8 + 13 Z Š2 * Š1 * Š1 * Tc *

K Tc * Tc * Š1 * Tc *

15 + 6 Z Tc * Š1 * Š1 * Tc *

K Tc * Tc * Ta * Tc *

7 - 6 Z Ta * Ta * Ša * Ta *

K Ta * Ta * Ta * Ta *

9 - 7 Z Ta * Ša * Ša * Ta *


10 - 4 Z Šb * Ša * Ša * Ta *


13 - 6 Z Ta * Ša * Ša * Ta *

K Ta * Ta * Šb * Ta *

15-11 Z Šb * Ša * Ša * Ta *

K Ta * Ta * Šb * Ta *

17 - 9 Z Šb * Ša * Ša * Ta *

K Ta * Tb * Ta * Šb *


207


Skupina 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O S P N O

25+36 Z Š * Š * Š * Tb * Š * Š * Tb * 0 Š * 0 Ta * Š * Š * Ta *

K Š * Š * Ta * Ta * Š * Š * Ta * Š * Ta * Ta * Ta * Ta * Š * Ta *

35+19 Z Š * Ta * Ta * Tb * Š * Š * Tb * 0 Š * 0 0 Š * Š * Ta *

K Š * Š * Ta * Tb * Š * Š * Ta * Š * Ta * Ta * Ta * Ta * Š * Ta *

62+28 Z Š * Ta * Ta * Tb * Š * Š * Tb * 0 Š * 0 0 Š * Ta * Ta *

K Š * Š * Ta * Ta * Š * Š * Ta * 0 Ta * Ta * Ta * Ta * Š * Ta *

57+35 Z Š * Ta * Tb * Tb * Š * Š * Tb * 0 0 0 0 Š * Ta * Ta *

K Š * Š * Ta * Tb * Š * 0 Ta * 0 Ta * Ta * 0 Ta * 0 Ta *

129+41 Z 0 0 0 0 Š * 0 Tb * 0 0 0 0 0 0 0

K 0 Š * Ta * Ta * 0 0 Ta * 0 Ta * Ta * 0 Ta * 0 Ta *

32-14 Z Ša * Ša * Tb * Tb * Ša * Ša * Tb * 0 Ta * 0 0 Ša * Ta * Tb *

K Ša * Ša * Ta * Tb * Ša * Ša * Tb * Ša * Ta * Ta * Ta * Ta * Ta * Ša *

64-59 Z Ša * Ša * Tb * Tb * Ša * Ša * Tb * 0 Ta * 0 0 Ša * Ta * Ta *

K Ša * Ša * Ša * Tb * Ša * 0 Tb * Ša * Ša * Ta * Ta * Ta * Ta * Ša *

75-37 Z Ša * Ša * Tb * Tb * Ša * Ša * Tb * 0 Ta * 0 0 Ša * Ta * Ta *

K Ša * Ša * Ša * Ta * 0 Ša * Ta * 0 Ša * Ta * Ša * Ta * Ta * Ša *

87-29 Z Ša * 0 Tb * Tb * 0 0 Tb * 0 Ta * 0 0 Ša * Ta * Ta *

K 0 0 Ša * Tb * 0 Ša * Tb * 0 Ša * Ta * Ša * Ta * 0 Ša *

112-66 Z 0 0 0 Tb * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

K 0 0 Ša * Ta * 0 Ša * Ta * 0 Ša * 0 0 Tb * 0 Ša *


208

Priloga 5: Izbor strategij skupine 1 in skupine 2 na Testu za ugotavljanje in spremljanje

računskih strategij učencev na začetnem in končnem testiranju pri računih seštevanja v

številskem obsegu do 20

Test Š1 Š2 Š3 Ta Tb Tc

Ni r

ešev

al

Pripomoček

P N P N P N P N P N P N PR LK RA TR

5 + 7

Z1 4 1 2 9 3 1

Z2 3 2 1 8 4 1

K1 1 14 1

K2 1 1 1 10 1 1

7 + 8

Z1 6 2 4 4 3 1

Z2 4 1 4 4 1 6 1

K1 2 13 1 2

K2 3 1 1 9 2

6 + 9

Z1 5 1 2 1 1 6 3

Z2 3 1 2 1 7 6 1

K1 1 14 1

K2 3 1 10 1

10 + 8

Z1 3 2 11 4

Z2 2 1 1 10 1 1

K1 16

K2 1 13

8 + 13

Z1 6 2 1 1 2 4 3 2

Z2 2 4 2 2 2 2 6

K1 16

K2 6 1 6 1 6

15 + 6

Z1 6 2 2 5 1 4 1

Z2 5 1 2 5 1 5 1

K1 16

K2 1 2 1 9 1 1


209

Priloga 6: Izbor strategij skupine 1 in skupine 2 Test za ugotavljanje in spremljanje računskih

strategij učencev na začetnem in končnem testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu

do 20

Test Ša Šb Šc Ta Tb Ni r

ešev

al

Pripomoček

P N P N P N P N P N PR LK RA TR

7 - 6

Z1 2 1 12 1 1

Z2 1 3 2 1 6 1 6

K1 14 2

K2 1 2 10 1

9 - 7

Z1 4 1 1 9 1 1 1

Z2 3 2 3 5 1 5

K1 16

K2 1 2 10 1 1

10 - 4

Z1 1 14 1

Z2 3 1 4 6 4

K1 16

K2 1 1 12

13 - 6

Z1 1 3 5 2 3 2 2 1 1

Z2 3 2 2 1 5 1 4 1

K1 1 15 1

K2 4 3 6 1 5 1

15 - 11

Z1 2 2 2 4 4 2 2 1

Z2 3 2 2 1 3 2 1 4 1

K1 1 15 1

K2 2 2 1 1 8 4 1

17 - 9

Z1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 3

Z2 3 2 4 1 1 3 4 1

K1 1 15 1

K2 4 2 2 5 1 4 1 1


210

Priloga 7: Izbor strategij skupine 1 in skupine 2 na Testu za ugotavljanje in spremljanje

računskih strategij učencev na začetnem in končnem testiranju pri računih seštevanja v številske

obsegu do 100

Test Š Ta Tb Tc

Nima

strategije Ni r

ešev

al

Pripomoček

P N P N P N P N P N PR LK RA TR

25 + 36

Z1 3 3 3 3 1 1 2 2 4 1

Z2 4 4 2 2 2 4 1 1 1

K1 11 1 4 3

K2 1 5 7 1 1 3 1

35 + 19

Z1 3 3 1 4 2 1 1 1 2 3 1

Z2 1 5 2 1 2 1 2 3 2 1 1

K1 10 1 5 1 2

K2 3 3 5 2 1 5 1

62 + 28

Z1 2 4 2 1 1 2 1 3 2 1 1

Z2 2 3 2 2 2 1 2 1 5 2 1

K1 13 3 2

K2 2 3 5 3 1 3 1

57 + 35

Z1 1 2 1 2 2 1 1 6 2 1 1

Z2 4 1 2 3 1 3 6 1

K1 8 4 5 4

K2 3 4 2 1 4 3 1

129+41

Z1 1 1 2 12

Z2 1 1 12

K1 6 2 6 2 4

K2 1 5 2 6 4


211

Priloga 8: Izbor strategij skupine 1 in skupine 2 na Testu za ugotavljanje in spremljanje računskih strategij učencev na začetnem in končnem

testiranju pri računih odštevanja v številskem obsegu do 100

Test Ša Šb Ta Tb Tc Td Te Tf Nima strategije Ni reševal Pripomoček

P N P N P N P N P N P N P N P N P N PR LK RA TR

32 – 14

Z1 4 2 3 2 1 4 2 1 2

Z2 2 3 2 1 3 3 1 5 2

K1 1 1 4 10 6

K2 3 3 2 4 2 1 3 1 1

64 – 59

Z1 4 1 3 2 1 1 4 2 2 2

Z2 1 4 2 1 3 3 1 5 2

K1 1 1 2 2 7 2 1 3

K2 1 6 1 3 2 1 5 1

75 – 37

Z1 2 3 1 4 1 1 4 2 2 2

Z2 5 3 2 1 3 1 5 2

K1 1 2 2 9 1 1 1

K2 2 5 3 2 2 6

87 – 29

Z1 3 1 1 3 1 7 1 2

Z2 2 3 2 1 6 1 3 2

K1 5 1 6 3 1 3

K2 3 2 2 2 1 1 3 4

112-66

Z1 2 1 13

Z2 1 13

K1 4 2 6 1 3 5

K2 3 1 1 1 1 7 5

Documents

SKUPINSKA POMO Č U ČENCEM TRETJEGA RAZREDA Z U ČNIMI ...pefprints.pef.uni-lj.si/3701/1/MIHAELA_MATAIC... · V skupino 3 pa je bilo vklju čenih 209 vrstnikov oziroma sošolcev