Pojam skupaU matematici se pojam skup ne denie eksplicitno. s On
predstavlja osnovni pojam, poput pojma take ili prave u geometriji.
c Sutinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili
lanova. s c Osnovni odnos izmed elemenata i skupova je pripadanje.
u c c s Izraz a pripada A se simbolikim matematikim jezikom pie aA
Kae se i da je a element skupa A, ili da je a sadran u A. z z Izraz
a ne pripada skupu A, odnosno negacija formule a A, se simboliki
oznaava sa a A. c c Matematicka logika 2 Skupovi
Pojam skupaZa simboliko oznaavanje skupova najee koristimo slova
latinskog c c c sc alfabeta. Pri tome, skupove obino oznaavamo
velikim slovima a njihove elec c mente malim. Primeri skupova: skup
svih Beograd ana skup svih nacija skup celih brojeva skup svih rei
c sve osobe koje imaju odred enu osobinu zajedno ine skup c svi
tipovi u programskim jezicima (integer, real) ine skupove c3
Skupovi
Matematicka logika
Pojam skupa Napomena: Cesto sami skupovi jesu elementi drugih
skupova. Primeri: prava, kao skup taaka u ravni, pripada skupu svih
pravih te ravni c nacija, kao skup individua, pripadnika te nacije,
pripada skupu svih nacija
Matematicka logika
4
Skupovi
Zadavanje skupova Navod enjem svih njegovih elemenata, izmed
vitiastih zagrada u c { i }. {3, 6, 7}Konaan skup, sa elementima 3,
6 i 7. c Ovakav nain zadavanja skupova koristi se za konane c c
skupove sa ne tako velikim brojem elemenata, koje je tehniki mogue
sve navesti c c Konaan skup sa veim brojem elemenata koje tehniki
nije c c c mogue sve navesti, zbog ega stavljamo tri take . . . c c
c koje znae i tako dalje, po istom obrascu. c Odgovarajui obrazac
mora da bude oigledan. c c Skup svih parnih brojeva. Primetimo da
je ovaj skup, za razliku od prethodnog, beskonaan. c Skup svih
prirodnih brojeva.
{1, 2, . . . , n}
{2, 4, 6, 8, . . .} N = {1, 2, 3, . . .} Matematicka logika
5
Skupovi
Zadavanje skupova Zadavanjem svojstva koje svi njegovi elementi
moraju da imaju. Zajedniko svojstvo objedinjuje u skup sve objekte
sa tim svojstvom. c Takvi skupovi se zapisuju u sledeem obliku c A
= {x | x ima svojstvo P (x)} ili A = {x | P (x)},
gde je sa P (x) oznaeno svojstvo koje moe imati objekat x. c z z
Na ovaj nain je oznaen skup svih objekata x za koje vai P (x), c c
odnosno skup svih objekata x koji imaju svojstvo P (x). Na primer,
skup parnih brojeva moe se zadati sa z {x | postoji y N tako da je
x = 2y}. Matematicka logika 6 Skupovi
Zadavanje skupova Rekurzivna (induktivna) denicija skupa. Skup A
se moe denisati rekurzivno ili induktivno na sledei nain: z c c (i)
zadaju se polazni elementi ili bazni elementi skupa A; (ii) odred
uje se nain na koji se, pomou odred c c enih operacija, iz
prethodno denisanih elemenata mogu denisati drugi elementi skupa A;
(iii) kae se da skupu A mogu pripadati oni i samo oni objekti koji
se z mogu dobiti primenom pravila (i) i (ii) konaan broj puta. c Na
ovaj nain e kasnije biti denisane iskazne i predikatske formule. c
c Rekurzivno se deniu i formule u jeziku FORTRAN. s Matematicka
logika 7 Skupovi
Jednakost skupova. PodskupDva skupa A i B su jednaka, u oznaci A
= B, ako imaju iste elemente, tj. A = B (x)(x A x B). Negacija
gornje formule oznaava se sa A = B. c Skup A je podskup skupa B, u
oznaci A B, ako su svi elementi skupa A sadrani u B, tj. z A B
(x)(x A x B). Odnos zove se inkluzija. Ako je A B i A = B, onda se
kae da je A pravi podskup skupa B, z u oznaci A B. Matematicka
logika 8 Skupovidef def
Jednakost skupova. PodskupNapomena: U prethodnim denicijama
koristili smo sledee simbolike c c oznake: def
znai ako i samo ako ili ekvivalentno (ekvivalencija); c znai
ekvivalentno po deniciji; c znai ako. . . , onda. . . ili povlai
(implikacija). c c
Vie rei o ovome bie u kasnijim poglavljima. s c c Primetimo da
ekvivalentno i ekvivalentno po deniciji imaju drugaija znaenja: c c
P Q znai da je P tano ako i samo ako je tano Q, dok P Q c c c znai
da P i Q imaju isto znaenje, tj. Q je samo drugaiji zapis za P . c
c cdef
Matematicka logika
9
Skupovi
Jednakost skupova. PodskupPrimeri jednakih skupova: {x, x} = {x}
{x, y, z} = {x, z, y} {x, y} = {y, x} {x, y, z} = {z, x, x, y}
Ove jednakosti se dokazuju neposrednom primenom denicije
jednakosti skupova. Dokaz se ostavlja za vebu. z Odavde moemo izvui
dva pravila koja se tiu zadavanja skupova z c c navod enjem
njegovih elemenata: Nije bitan redosled po kome se elementi navode
(nabrajaju). Svaki element se navodi samo jednom. Matematicka
logika 10 Skupovi
Jednakost skupova. PodskupPrimeri inkluzije: NZ {a, b, c} {b, d,
a, c} skup prirodnih brojeva N je podskup skupa celih brojeva Z (i
to pravi podskup);
Matematicka logika
11
Skupovi
Jednakost skupova. PodskupZadatak 1. Da li su sledea tvrd c enja
tana: c (a) {a, {b, c}} = {{a, b}, c}; (b) {1, 2, 3} {{1, 2}, 3,
{1, 2, 3}}. Reenje: (a) Ovo nije tano, jer skupovi na levoj i
desnoj strani nemaju s c iste elemente. Naime, elementi skupa na
levoj strani su a i {b, c}, a elementi skupa na desnoj strani su
{a, b} i c. Prema tome, a je, na primer, element skupa na levoj
strani, ali nije element skupa na desnoj strani. (b) Ni ovo nije
tano, jer elementi skupa na levoj strani su 1, 2 i 3, a c elementi
skupa na desnoj strani su {1, 2}, 3 i {1, 2, 3}. Dakle, 1 i 2 nisu
elementi skupa na desnoj strani. Matematicka logika 12 Skupovi
Jednakost skupova. PodskupZadatak 2. Odrediti broj elemenata
sledeih skupova: c (a) {{, {}}} (b) {1, 2, 3, {1, 2, 3}} (c) {, {},
a, b, {a, b}, {a, b, {a, b}}} (d) {, {}, {, {}}} (e) {, {}, }
Reenje: s (a) Skup {{, {}}} ima samo jedan element, skup {,
{}}.
Matematicka logika
13
Skupovi
Jednakost skupova. Podskup(b) Skup {1, 2, 3, {1, 2, 3}} ima 4
elementa: (1) 1, (2) 2, (3) 3 i (4) {1, 2, 3}. (c) Skup {, {}, a,
b, {a, b}, {a, b, {a, b}}} ima 6 elemenata: (1) , (2) {}, (3) a,
(4) b, (5) {a, b}, i (6) {a, b, {a, b}}. (d) Skup {, {}, {, {}}}
ima 3 elementa: (1) , (2) {}, i (3) {, {}}. (e) Skup {, {}, } ima 2
elementa: (1) (dva puta zapisan), i (2) {}.
Matematicka logika
14
Skupovi
Svojstva jednakosti i inkluzije skupovaTvrd enje 1. Za
proizvoljne skupove A, B, C vai: z (i) A = A A=BB=A A=BB =C A=C
(ii) A A ABB AA=B ABB C AC Dokaz: Ostavlja se za vebu. z
Matematicka logika 15 Skupovi
(reeksivnost) (simetrinost) c (tranzitivnost) (reeksivnost)
(antisimetrinost) c (tranzitivnost)
Svojstva jednakosti i inkluzije skupovaZbog reeksivnosti
inkluzije, svaki skup je i svoj sopstveni podskup. Antisimetrinost
inkluzije je svojstvo koje se veoma mnogo koristi kada c se
dokazuje jednakost skupova. Naime, skupovnu jednakost A = B najee
dokazujemo tako to doc sc s kazujemo da je A B i B A.
Matematicka logika
16
Skupovi
Venovi dijagramiSkupove graki najee predstavljamo pomou Venovih
dijagrama. c c sc c Kod Venovih dijagrama skupovi su predstavljeni
skupovima taaka izvesc nih geometrijskih gura u ravni, kao to su
krugovi ili elipse, i oblasti s u ravni koje nastaju presecanjem
tih geometrijskih gura. Dva primera Venovih dijagrama data su na
donjoj slici:
Matematicka logika
17
Skupovi
Razlika skupovaRazlika skupova A i B je skup A \ B koji se denie
sa s A \ B = {x | x A x B}. tj. skup svih elemenata iz A koji ne
pripadaju skupu Bdef
Matematicka logika
18
Skupovi
Razlika skupovaTvrd enje 2. Neka su X i Y proizvoljni skupovi.
Tada je X \ X = Y \ Y. Dokaz: Imamo da je xX\X xXxX xY \Y xY xY
odakle sledi da je x X \ X x Y \ Y . Prema ovom tvrd enju, razlika
X \ X ne zavisi od skupa X. s Zato prazan skup, u oznaci , deniemo
kao skup X \ X, gde je X proizvoljan skup. Matematicka logika 19
Skupovi
Razlika skupovaPrema ovakvoj deniciji x x X x X. Kako je desna
strana ove ekvivalencije kontradikcija, to imamo da ni za jedno x
ne vai x . z Tako dolazimo do ekvivalentne denicije praznog skupa:
prazan skup je skup koji nema elemenata. Tvrd enje 3. Za svaki skup
X vai X. z Dokaz: Implikacija xxX vai za svaki x jer je leva strana
te implikacije uvek netana. z c Matematicka logika 20 Skupovi
Presek skupovaPresek skupova A i B, u oznaci A B, je skup koji
sadri tano one z c elemente koji se nalaze istovremeno u oba skupa:
A B = {x | x A x B}. Za skupove A i B iji je presek prazan skup se
kae da su disjunktni. c zdef
presek skupova
disjunktni skupovi
Matematicka logika
21
Skupovi
Unija skupovaUnija skupova A i B, u oznaci A B, je skup koji
sadri sve elemente z koji se nalaze bar u jednom od njih: A B = {x
| x A x B}.def
Matematicka logika
22
Skupovi
Komplement skupaAko je B A, onda se razlika A \ B zove
komplement skupa B u odnosu na A i oznaava sa CA(B): c CA(B) = A \
B = {x | x A x B}.def
Matematicka logika
23
Skupovi
Komplement skupa Cesto se posmatraju iskljuivo podskupovi nekog
unapred datog skupa c U , koji se zove univerzalni skup. Tada za B
U , CU (B) se oznaava sa c B i zove se samo komplement skupa B: B =
{x | x B}def
Matematicka logika
24
Skupovi
Primeri skupovnih operacijaa) Ako je A = {x N | (k)(x = 2k)}, B
= {x N | (m)(x = 3m)}, onda je A B = {x N | (p)(x = 6p)}; A B = {x
N | (q)(x = 2q x = 3q)}; A = {x N | (r)(x = 2r 1)}. b) Skupovi
taaka koje pripadaju dvema mimoilaznim pravama su c disjunktni.
Matematicka logika 25 Skupovi
Venovi dijagrami (nastavak)Neka je dat univerzalni skup U i
njegovi podskupovi A1 , A2 ,. . . , An. Predstavljanje tih skupova
Venovim dijagramom je takvo grako predc stavljanje gde je
univerzalni skup U predstavljen pravougaonikom, a skupovi A1 , A2
,. . . , An krugovima ili elipsama. Pri tome mora biti ispunjen
uslov da krugovi, odnosno elipse, dele pravougaonik na 2n delova,
od kojih je svaka povezana oblast. Venov dijagram mora da obezbedi
dovoljan broj oblasti za predstavljanje svih moguih preseka skupova
A1 ,. . . , An i njihovih komplemenata. c Svi ti preseci mogu biti
neprazni, i tada ih ima 2n, to znai da je s c neophodno u Venovom
dijagramu obezbediti 2n povezanih oblasti. Matematicka logika 26
Skupovi
Venov dijagram V2Venov dijagram za dva skupa, u oznaci V2 ,
prikazan je na sledeoj slici: c U AAB AB AB
B
AB
Jednostavnosti radi, ovde smo izostavljali znak za presek
skupova. Na primer, A B krai zapis za A B. c Komplement se gleda u
odnosu na univerzalni skup U . Matematicka logika 27 Skupovi
Primer: nije Venov dijagramPrimer predstavljanja koje nije Venov
dijagram, jer ne ispunjava napred postavljeni uslov, dat je na
sledeoj slici. c U A B
Ovo nije Venov dijagram jer skup A B nije predstavljen povezanom
oblau. sc Matematicka logika 28 Skupovi
Venov dijagram V3Venov dijagram za tri skupa, u oznaci V3 , je
CABC ABC
U
ABC ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
A
B
Matematicka logika
29
Skupovi
Venov dijagram V4Venov dijagram za etiri skupa, u oznaci V4 , je
prikazan na sledeoj slici: c c 1 : ABC DB A5 1 11 15 913 14
U
9 : ABC D 10 : A B C D 11 : A B C D 12 : A B C D 13 : A B C D 14
: A B C D 15 : A B C D 16 : A B C D
2 6
3 7
C D4
2 : ABC D 3 : ABC D 4 : ABC D 5 : ABC D
12
10 8 16
6 : ABC D 7 : ABC D 8 : ABC D
Matematicka logika
30
Skupovi
Venovi dijagrami za n skupovaVe u sluaju etiri skupa nije mogue
nacrtati Venov dijagram sa c c c c krugovima, ak i razliitih
poluprenika, ve se to mora uraditi elipsama. c c c c Iako su Venovi
dijagrami uvedeni jo 1881. godine, tek je 1975. godine s dokazano
da se za svaki prirodan broj n moe nacrtati Venov dijagram z sa n
elipsi koji obezbed uje svih 2n oblasti. Med utim, crtanje Venovih
dijagrama za pet i vie skupova je toliko s komplikovano da to neemo
raditi. c
Matematicka logika
31
Skupovi
Venovi dijagrami zadatakZadatak 3. Dokazati da donja slika ne
predstavlja Venov dijagram. U D4 1412
C711
3
89
1310
6
1
5
2
A
B
Oznaene oblasti izraziti kao preseke skupova A, B, C i D,
odnosno c njihovih komplemenata, na nain kako je to urad c eno za
V4 . Matematicka logika 32 Skupovi
Venovi dijagrami zadatakReenje: Ve na prvi pogled se vidi da
nedostaju oblasti koje odgos c varaju skupovima A C B D i B D A C,
tj., A B C D i A B C D. U D4 1412
C711
3
Drugim reima, u ovom sluaju je c c A B C D = i A B C D = .
89
1310
6
1
5
2
A
B
Matematicka logika
33
Skupovi
Venovi dijagrami zadatakSve ostale oblasti iz Venovog dijagrama
V4 su prisutne na ovom dijagramu i odgovaraju sledeim oblastima sa
ovog dijagrama c 1 : ABC D D4 1412
U
8 : ABC D 9 : ABC D 10 : A B C D 11 : A B C D 12 : A B C D 13 :
A B C D 14 : A B C D.
C711
2 : ABC D 3 : ABC D 4 : ABC D 5 : ABC D 6 : ABC D 7 : ABC D
3
89
1310
6
1
5
2
A
B
Matematicka logika
34
Skupovi
Svojstva skupovnih operacijaTvrd enje 4. Neka je A skup i X, Y,
Z A. Tada vai: z (a) Komutativnost X Y = Y X, X Y = Y X; X (Y Z) =
(X Y ) Z, X (Y Z) = (X Y ) Z; X (Y Z) = (X Y ) (X Z), X (Y Z) = (X
Y ) (X Z); X (X Y ) = X, X (X Y ) = X; 35 Skupovi
(b) Asocijativnost
(c) Distributivnost
(d) Apsorptivnost
Matematicka logika
Svojstva skupovnih operacijaX X = X, X X = X; (X Y ) = X Y , (X
Y ) = X Y ; X A = X, X A = A; (i) X = , X = X.
(e) Idempotentnost
(f) De Morganovi zakoni X X = , X X = A;
(g)
(h)
Dokaz: Ostavlja se za vebu. z
Matematicka logika
36
Skupovi
Svojstva inkluzijeSledee tvrd c enje daje nam vezu izmed
inkluzije i operacija preseka i u unije skupova. Tvrd enje 5. Neka
su X i Y skupovi. Tada vai: z X Y X Y = X, X Y X Y = Y. Dokaz:
Ostavlja se za vebu. z
Matematicka logika
37
Skupovi
Partitivni skupKolekcija svih podskupova proizvoljnog skupa A je
skup koji nazivamo partitivni skup skupa A i oznaavamo ga sa P(A):
c P(A) = {X | X A}. Tvrd enje 6. (a) Prazan skup je element svakog
partitivnog skupa. (b) Skup A je element svog partitivnog skupa
P(A). Za razliku od samog praznog skupa, koji nema elemenata,
njegov partitivni skup je jednolan (jednoelementan): c P() = {}
Matematicka logika 38 Skupovidef
Partitivni skupPrimer partitivnog skupa: Za A = {a, b, c} je
P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Tvrd
enje: Neka skup A ima n elemenata. Tada (a) A iman k
podskupova sa k elemenata (0
k
n);
(b) P(A) ima 2n elemenata. Zbog ovoga se esto umesto oznake P(A)
koristi oznaka 2A. c
Matematicka logika
39
Skupovi
Partitivni skupSetimo se da jen k
binomni koecijent, tj. = n(n 1)(n 2)(n k + 1) k(k 1) 2 1 .
n k
Posebne vrednosti binomnih koecijenata su: n 0def
= 1,
n 1
= n,
n n
= 1.
Matematicka logika
40
Skupovi
Partitivni skupZadatak: Odrediti sve podskupove skupa A = {, 2,
5, w}. Reenje: Svi podskupovi skupa A su sbroj elemenata 0 1 2 3 4
podskup {}, {2}, {5}, {w} {, 2}, {, 5}, {, w}, {2, 5}, {2, w}, {5,
w} {, 2, 5}, {, 2, w}, {, 5, w}, {2, 5, w} A ukupno: broj
podskupova 1 4 6 4 1 16
Matematicka logika
41
Skupovi
Uredeni par Kao to znamo, {x, y} oznaava skup koji sadri
elemente x i y, pri s c z emu je {x, y} isto to i {y, x}, tj., nije
nije bitan redosled po kome c s navodimo elemente x i y. Zato se
skup {x, y} ponekad naziva i neured eni par elemenata x i y. Med
utim, esto se namee potreba da istaknemo koji je element prvi c c a
koji drugi u paru. Da bi smo to istakli, uvodimo oznaku (x, y) i
kaemo da je (x, y) z ured eni par elemenata x i y. Za x kaemo da je
prva komponenta ili prva koordinata, a za y da je z druga
komponenta ili druga koordinata ured enog para (x, y). Matematicka
logika 42 Skupovi
Primer uredenog para Svaka taka u ravni moe se predstaviti ured
c z enim parom (a, b) realnih brojeva, pri emu za a kaemo da je
njena x-koordinata, a za b da je c z njena y-koordinata. Kao to
vidimo na slici, ured s eni par (1, 3) nije isto to i ured s eni
par y (3, 1). (1,3)
b
(a, b)
(3,1)
a Matematicka logika 43
xSkupovi
Formalna denicija uredenog para Prethodna pria o ured c enim
parovima je bila potpuno neformalna. Njena uloga je bila da objasni
svrhu uvod enja pojma ured enog para i kako treba shvatiti taj
pojam. U nastavfkmu dajemo formalnu matematiku deniciju ured c enog
para. Ured eni par (x, y) elemenata x i y se formalno denie kao
skup s (x, y) = {{x}, {x, y}}. Ovakva denicija moe izgledati vrlo
neobino i prilino apstraktno. z c c Med utim, ona omoguava da se iz
nje izvedu fundamentalna svojstva c ured enih parova. Jedno od
takvih svojstava je i jednakost ured enih parova, koja je tema naih
daljih razmatranja. s Matematicka logika 44 Skupovidef
Formalna denicija uredenog para Tvrd enje 7. Dokazati da su dva
ured ena para (a, b) i (c, d) jednaka ako i samo ako je a = c i b =
d. Dokaz: Ako je a = c i b = d, tada je jasno da je {a} = {c} i {a,
b} = {c, d}, pa je (a, b) = (c, d). Obratno, neka je (a, b) = (c,
d), tj. {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Sluaj a = b: U ovom sluaju
je (a, b) = {{a}, {a, b}} = {{a}}, pa c c {{a}} = {{c}, {c, d}}, to
znai da je s c {{a}} = {{c}} = {{c, d}}, odakle se lako dobija da
je a = b = c = d. Matematicka logika 45 Skupovi
Formalna denicija uredenog para Sluaj a = b: U ovom sluaju je
{a} = {a, b}, zbog ega mora biti i c c c {c} = {c, d}, odnosno c =
d. Iz {c} {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, b}} dobija se {c} = {a}, tj. c
= a, dok se iz {c, d} {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, b}} i {c, d} = {a}
dobija {c, d} = {a, b}, pa iz d = c = a i d {c, d} = {a, b}
zakljuujemo da mora biti d = b. Dakle, a = c i b = d. c Prema tome,
dva ured ena para su jednaka ako su im jednake odgovarajue
koordinate. c Iz jednakosti ured enih parova moemo zakljuiti i da
vai z c z (x, y) = (y, x) x = y. Matematicka logika 46 Skupovi
Uredena n-torka Uoptenjem pojma ured s enog para sa n = 2 na
bilo koji prirodan broj n, dolazimo do pojma ured ene n-torke. Ured
ena n-torka (x1 , x2 , . . . , xn) elemenata x1 , x2 , . . . , xn
denie se s induktivno, na sledei nain: c c (x1 ) = x1 (x1 , . . . ,
xn) = ((x1 , . . . , xn1 ), xn). Na primer, ured ena trojka (a, b,
c) je zapravo ured eni par ((a, b), c). Za bilo koji k {1, . . . ,
n}, element xk se naziva k-ta koordinata ured ene n-torke (x1 , . .
. , xn). Matematicka logika 47 Skupovidef def
Jednakost uredenih n-torki Kao i kod ured enih parova, za ured
ene n-torke vai z Tvrd enje 8. Dve ured ene n-torke (x1 , . . . ,
xn) i (y1 , . . . , yn) su jednake ako i samo ako su im jednake
odgovarajue koordinate, tj. c x1 = y1 x2 = y2 . . . xn = yn. Dokaz:
Ovo tvrd enje dokazuje se indukcijom po n. Za n = 1 tvrd enje je
trivijalno, a u sluaju n = 2 dokazano je u c prethodnom tvrd enju.
Pretpostavimo sada da tvrd enje vai za neki prirodan broj n 1 i z
dokaimo da vai i za n. z z
Matematicka logika
48
Skupovi
Jednakost uredenih n-torki Zaista, (x1 , x2 , . . . , xn) = (y1
, y2 , . . . , yn) ((x1 , . . . , xn1 ), xn) = ((y1 , . . . , yn1
), yn)(denicija ured ene n-torke)
(x1 , . . . , xn1 ) = (y1 , . . . , yn1 ) xn = yn(jednakost ured
enih parova)
x1 = y1 . . . xn1 = yn1 xn = yn(indukcijska hipoteza).
Ovim je tvrd enje dokazano za svaki prirodan broj n.
Matematicka logika
49
Skupovi
Dekartov proizvod dva skupaAko su A i B skupovi, onda se skup
svih ured enih parova sa prvom koordinatom iz A, a drugom iz B
naziva Dekartov, Kartezijev ili direktan proizvod skupova A i B, i
oznaava se sa A B: c A B = {(a, b) | a A b B}.def
Matematicka logika
50
Skupovi
Dekartov proizvod dva skupaSam naziv Dekartov proizvod potie od
pojma Dekartov koordinatni c sistem predstavljanja taaka u ravni
ured c enim parom realnih brojeva. Ako je bilo koji od skupova A i
B prazan, tada je po deniciji i njihov Dekartov proizvod A B
prazan. Dekartov proizvod A A skupa A sa samim sobom oznaava se sa
A2 c i naziva Dekartov kvadrat skupa A. Primer: Ako je A = {0, 1} i
B = {x, y, z}, onda je A B = {(0, x), (0, y), (0, z), (1, x), (1,
y), (1, z)}; A2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Dekartov
proizvod skupova sa m i n elemenata ima mn elemenata. Matematicka
logika 51 Skupovi
Dekartov proizvod n skupovaDekartov proizvod n skupova A1 , . .
. , An, u oznacin
A1 An
ilii=1
Ai ,
je skup svih ured enih n-torki sa koordinatama iz odgovarajuih
skupova: c A1 An = {(a1 , . . . , an) | a1 A1 , . . . , an An}. Ako
je bilo koji od skupova A1 , . . . , An prazan, onda je po deniciji
prazan i skup A1 An.def
Matematicka logika
52
Skupovi
Dekartov n-ti stepenc Ako je A1 = = An = A, onda se odgovarajui
Dekartov proizvod oznaava sa An i zove Dekartov n-ti stepen skupa
A. c Jasno, A1 = A. Ako je A = , onda je Dekartov stepen zgodno
proiriti (dodenisati) s i za n = 0, na sledei nain: c c A0 = {} U
ovoj deniciji je najbitnije da je A0 jednoelementan skup. Jedini
element ovog skupa mogli smo oznaiti i nekako drugaije, ali je c c
uzeta oznaka za prazan skup zbog svoje univerzalnosti.def
Matematicka logika
53
Skupovi
Familija skupovaNeka je dat neprazan skup I, koji emo nazivati
indeksni skup, i neka c je svakom elementu i I pridruen neki skup
Ai. z Tada moemo formirati novi skup z {Ai | i I} tako to svaki
element i u skupu I zas menimo odgovarajuim skupom Ai. c Dakle,
elementi tog novog skupa su skupovi Ai. Ovako denisan skup nazivamo
familija skupova Ai, i I, indeksirana skupom I, koju takod
oznaavamo i sa {Ai}iI . e c Matematicka logika 54 Skupovi
Unija familije skupovas c c Unija familije skupova {Ai | i I}
denie se na sledei nain: Ai =iI
{Ai | i I} = {x | (i I) x Ai}.
def
Kao to se vidi sa slike, uniju familije s skupova moemo shvatiti
tako kao da z smo uklonili opne koje razdvajaju elemente iz
razliitih skupova Ai i time c sve te elemente objedinili u jedan
skup.
Matematicka logika
55
Skupovi
Presek familije skupovas Presek familije skupova {Ai | i I}
denie se sa: Ai =iI
{Ai | i I} = {x | (i I) x Ai}.
def
Na slici desno prikazan je presek familije {Ai}iI , gde je I =
{1, 2, 3, 4, 5}.
Matematicka logika
56
Skupovi
