APUNTESDELOGICADep. de Informatica. Univ. de Castilla-La
Mancha.Paseo de la Universidad, 4. 13071 Ciudad Real, Espa
na.Dirigirseapascual.julian@uclm.esparacomunicarcualquiersugerenciaoerrordetectado.Primeraversion:
Noviembre-1998Primerarevision: Enero-2002Segundarevision:
Noviembre-20061Captulo1INTRODUCCIONALALOGICA1.1.
Queeslalogica.Esteapartadotratadedar
unconceptointuitivodelasmateriasqueconciernenalalogica(ydentrodeelladelasquenosvanainteresaranosotros).Debemos
comenzar diciendo que no hay un acuerdo unanime sobre
cier-tostemas:Tratalalogicadecomopiensalagenteodecomodeberapesar?.Leinteresaprincipalmenteellenguaje?.
Los lenguajes formales empleados en logica son modelos del
lenguajenaturalopretendenreemplazarlo?.21.1.1.
Dequetratalalogica.En una primera aproximaci on al tema, podremos
dar la siguiente de-nicion:La logica investiga la relaccion de
consecuenciaque se da entreuna serie de premisas y la conclusion de
un argumento
correcto.Sedicequeunargumentoescorrecto(valido)sisuconclusionsesigue
oes consecuencia desus premisas;
deotromodoesincorrecto[6].Porunargumentoentendemosunsistemadeenunciados,
deunlen-guaje determinado. Uno de esos enunciados es designado como
la
con-clusionyelrestocomolaspremisas.Unenunciadosedenecomounaexpresionling
uisticaqueestableceunpensamientocompleto:Interrogativos,Imperativos,Declarativos:Enunciados
de accion: sujeto no determinado. Ejemplos: es
ve-rano;hacecalor.Enunciadosdeatribuciondepropiedadesasujetosdetermina-dos.Ejemplos:Luisesalto;Elveranoescaluroso.Enunciados
derelacionentresujetos. Ejemplos: Luis es her-manode
Juan(Relacionbinaria); Los Pirineos estanentreEspa
nayFrancia(RelacionTernaria).3Ejemplo1Una forma tradicional de
presentar los argumentos es como
semuestraacontinuacion,Todosloshombressonmortales;Todoslosgriegossonhombres;
Todoslosgriegossonmortales.Anadielaresultaradiclverquelaconclusiondelargumentoanteriorsesiguedesuspremisas.Enotroscasosserequieredeciertareexion,comoenHayexactamente136cajasdenaranjasenel
almacen;Cadacajacontieneal
menos140naranjas;Ningunacajacontienemasde166naranjas; Hayenel
almacenal menosseiscajasquecontienenel mismon
umerodenaranjas.Enotroscasoslacuestionpuedesermuydifcil.El n
umerodeestrellasesparymenorquecuatro; El n
umerodeestrellaseslasumadedosprimos.41.1.2.
Correccion,VerdadyAnaliticidad.Lanociondecorreciondeunargumentoseformulacomunmenteenterminosdeverdadydeposiblilidad:Unargumentoescorrectosi
ysolamentesi
noesposiblequesuspremisasseanverdaderasysuconclusionfalsa.Establecer
la correccion de un argumento por esta va, usando los con-ceptos de
verdadyposiblilidad, es unatareaarduae imposible
deautomatizar.Estaremosinteresadoseninvestigarmetodosquepermitaninferirlacorreccion
de un argumento basandonos en la forma de los
enunciadosquelacomponen.Intimamenteconectadoconelconceptodeargumentocorrectoestaeldeenunciadoanaltico:Un
enunciado es analtico si y solamente si en cualquier
circuns-tanciaconcebibleesverdadero.Enunciadoanaltico(verdadesderazon,
verdadesnecesarias,overdadeslogicas):Socratesmuri
oenel399a.C.oSocratesnomuri
oenel399a.C.,Enunciadosintetico(verdadesdehechooverdadescontingen-tes)Socratesmuri
oenel399a.C.,5Puedeconsiderarsequetodoenunciadoanalticoloesenvirtuddesuforma.-Socratesmuri
oenel 399a.C. oSocratesnomuri oenel
399a.C.,-Juanmurioenel399a.C.oJuannomurioenel399a.C.,-LanieveesblancaoLanievenoesblanca,Sontodos
analticos, comotambienloes cualquier enunciadodelaforma/ono
/conexionentreanaliticidadycorreccion:Dadounargumentoconunaserienitadepremisas/1,
/2, . . . , /n (escorrectosiysolamentesielenunciadoSi /1y /2y. . .y
/nentonces
(esanaltico.Observacion1.1.1Laintroduccionqueacabamosderealizarsobrequeeslalogicahaseguidounaorientacionprincipalmentesemantica,
esdecir, centradaenel
valordeverdaddelosenunciadoscuandoserelacionanconunodelosmundosposibles.61.2.
Introduccionhistorica.Lalogicamatematicasurge comoel resultadode
laconvergenciadecuatrolneasdepensamiento:1.Lalogicaantigua(Aristoteles,megarico-estoica).2.Laideadeunlenguajecompletoyautomaticoparaelrazonamiento.3.Los
nuevos progresos en algebra y geometra acaecidos despues de
1825.4.Laideadequehaypartesdelamatematicaquesonsistemasdeduc-tivos,estoes,cadenasderazonamientosqueseconformanalasreglasdelalogica.71.3.
Formadepresentaciondelossistemaslogicos.Losdiferentessistemaslogicoselementalestienenencom
un,ensupre-sentacion, una etapa previa de simbolizacion que suele
hacerse a dos niveles:Logicaproposicional : Frases declarativas
simples, enunciados y propo-siciones.Logicadepredicados: Se toma
como base los componentes de una
pro-posicion,terminos,cuanticadores...Dentro de cada uno de estos
niveles de representaci ondel
lenguaje,sepuedenconsiderardosformasdepresentarlasestructurasdeductivascorrectas:Sintactica:Denicionaxiomaticadeunaseriedeestructurasdeducti-vascorrectasydereglasparaobtenernuevasestructurasdeductivascorrectasapartirdeaquellas:TeoradelademostracionyDeduccionnatural.Semantica:
Deniciondesignicados(Verdadero, falso...), denicionde las
estructuras deductivas correctasa partir dela relacionde
signi-cadosdeloselementosdeladeduccion:Teorademodelos.81.4.
Lenguajeformaldelalogicadeenunciados.Siempresehadadopordescontadoquealg
ungradodeformalizacion,enelestudiodelogica,esinevitable.Ejemplo2SiSocratesesunhombreentoncesSocratesesmortal;Socratesesunhombre;
Socratesesmortal.Socratesesunhombre; Socratesesmortal.La
introduccion de letras may usculas, /, B, (, . . . para representar
enun-ciadosfacilitael analisisdelacorrecciondelosargumentos:Si
/entonces B;/;B./;BCuandosimbolizamosunenunciadocompuesto,
delamaneraquelohemos hechoenel ejemplo2, loquequedaes
unarmazonlogicoomatrizquedenominamosformaenunciativa.
Estudiaremosformasenunciativasmasbienqueenunciadosparticulares.9variablesdeenunciado(letrasenunciativas,otambienletrasproposi-cionales):p,
q, r, . .
.quedesignanenunciadossimplesarbitrariosnoespecicados.Conectivas:
Para simbolizar enunciados compuestos introducimos
smbo-losparalasconectivas.1.Negacion (). La forma enunciativa p
permite simbolizar un
enun-ciadodeltipo:nop;noesciertoquep;esfalsoquep.2.Conjuncion().Laformaenunciativap
q,simbolizaenunciadosdelaforma:pyq;pperoq;pnoobstanteq;psinembargoq.3.Disyuncion().
Laformaenunciativap qsimbolizaenunciadosdelaforma:poq;al
menospoq.101.Condicional (). La forma enunciativa p q simboliza
enunciadosdelaforma:si pentoncesq;si p,q;pimplicaq;psolosi
q;psucienteparaq;qsi
p;qnecesarioparap;qcuandoquieraquep;qsiemprequep;nopamenosqueq.2.Bicondicional().p
qdenotaenunciadosdelaforma:psiysolosi
q;pnecesarioysucienteparaqDenicion1.4.1(formasenunciativas)Una
forma enunciativa es unaexpresion,
enlaqueintervienenvariablesdeenunciadoyconectivas,
quepudeformarseutilizandolassiguientesreglas:1.Todaletraenunciativap,
q, r, . . .esunaformaenunciativacorrecta.2.Si / y Bson formas
enunciativas correctas, tambien son formas
enun-ciativascorrectas:(/), (B), (/ B), (/ B), (/ B)y(/
B).3.Solosonformasenunciativascorrectaslasquecumplenlasreglas1y2.11Ejemplo3((pq)
((qr))) es una forma enunciativa, ya que
cumplelasreglasdeconstrucciondeladenicion1.4.1.Por(1),p, q,
rsonformasenunciativas.Por(2),((p q)y(q
r)sonformasenunciativas.Por(2),((q
r))esunaformaenunciativa.Por(2),((p q) ((q
r)))esunaformaenunciativa.Observaciones1.4.2
1.Normasparalaescrituradeformasenunciati-vas:a)Unaconectivaafectaalasletrasproposicionalesinmediatasoalosconjuntosinmediatosaellaqueestanentreparentesis.b)Reglasdeprecedencia:nivel
1: nivel 2: , nivel 3: ,
Lajerarquadelatablaindicaquelasconectivasdenivel i
liganmasquelasdenivel i + 1.Porejemplo,siguiendoestasnormas,(p)
(q)puedeescribirsecomo p q[(pq) s] [(p) q] puede escribirse como
(pq) s
pq.121.Notadquelasnormasestablecidasenlaanteriorobservacion(1)noformanpartedelas
reglas deconstrucciondel lenguajeformal
delalogicadeenunciados,quesedenenen1.4.1.2.La denicion 1.4.1 es un
ejemplo de denicion inductiva(o recursiva).Notadque:a)Las
deniciones inductivas son una herramienta muy poderosa
paraprecisaslosconceptosconlossetrabajan.b)Lasdenicionesinductivaspermitencaracterizarconjuntosinni-tos(numerables)comoel
queconstituyenlasformasenunciativas.c)Ladenicion1.4.1estableceunpatronquevolveraaaparecerdenuevocuandodescribamosendetallelossistemasformales.13Ejemplo4Traduccion
a forma smbolica de algunos enunciados compues-tosdel
lenguajenatural:Si
llueveseterminaranlosproblemasdesequaynoharafaltamasdinerollueve
pseterminaranlosproblemasdesequa qharafaltamasdinero rp q rSolosi
distingues bienlos diferentes acentos ote dice sulugar
deprocedenciasabrassiesgallegooportuguesdistinguesbienlosdiferentesacentos
ptedicesulugardeprocedencia qsabrassiesgallegooportugues rr p
qUnpartidodef utbol noseganaamenos
quesecorramuchoysetengacalidadUnpartidodef utbol segana
psecorramucho qsetengacalidad rp q rPara que llueva o nieve es
necesario que se den las condiciones climati-casadecuadasllueve
pnieva qdarselascondicionesclimaticasadecuadas rp q r141.5.
Conectores,funcionesdeverdadytablasdeverdad.Unodelosobjetivosdelalogicaesdeterminarel
valordeverdaddelosenunciados(yatravesde
estosdelosargumentos).Principiodebivalencia:todoenunciadooesverdaderooesfal-so,
peronoambascosasalavez. As
unavariabledeenunciadopodratomarunodeentrelosdosvaloresdeverdad:V
(verdadero)oF(falso).Estamosinteresadosenelmodoenel
quelaverdadofalsedaddeunenunciado compuesto (o forma enunciativa
compuesta) depende de losvalores de verdad de los enunciados
simples (o variables de
enunciado)queloconstituyenydelasconectivasquelosunen.Cadaconectivaquedadenidaportabladeverdad
ylecorrespondeunafunciondeverdad:Negacionp pV FF VLaconectiva
deneunafunciondeverdadf
: V, F V, Ftalque:f
(V ) = Ff
(F) = V15Conjuncionp q p qV V VV F FF V FF F
FLacorrespondientefunciondeverdadf: (V, F)2 V, Fes:f(V, V ) = Vf(V,
F) = Ff(F, V ) = Ff(F, F) =
Festaesunafunciondedosargumentos.DisyuncionSentidoinclusivo.p q p
qV V VV F VF V VF F Fylacorrespondientefunciondeverdadf: (V, F)2 V,
Fes:f(V, V ) = Vf(V, F) = Vf(F, V ) = Vf(F, F) =
F16Sentidoexclusivo.p q p qV V FV F VF V VF F FPodemos expresar la
disyuncion exclusiva enterminos de la
ne-gacion,laconjuncionyladisyunciondelaformasiguiente:(p q) (p
q)(poq,peronoambos)Condicionalp q p qV V VV F FF V VF F
VLadenicionqueseacabadedardel condicional
chocaconelusoordinariodesi...entonces...(relacioncausa-efectoentreelcontenidodelantecedenteyelconsecuente):SillueveentoncescojoelparaguasPor
eso se nos antoja extravagante la combinaci on de
enunciadosquenadatienenqueverentres:Silosburrosvuelanentonces2 + 2
= 4queesunenunciadoverdadero.17Criterio se le llama extensional :
la logica de conectivas se atieneestrictamente al valor de verdad
de los enunciados y no tiene encuentaelcontenidode
estasnilasposiblesrelacionesdeconte-nidoentreellas.(Condicional
extensional, implicacion material, implicacion
Filoni-ca).Laconstruccionif-then, utilizadaenmuchos lenguajes
deprogramacion, tambien diere del condicional empleado en
logi-ca.Termiologa:-Elcondicionalq psedenominaelconversodep
q.-Elcondicional q psedenominalacontraposiciondep
q.BicondicionalAqu, la situacion es clara: / Bes verdadero cuando /
y Bten-ganelmismovalordeverdad(ambosverdaderosoambosfalsos).p q p
qV V VV F FF V FF F
V18Observaciones1.5.11.Existenotrasconectivasbinarias,apartedelasanteriores,aunquesusignicado
intuitivo es menos claro. En total distinguimos 16
funcionesveritativas,donde:f1EsunaTautologa(vermasadelante).f2Esladisyunciondepyq(p
q).f3Implicacionconversadepyq(p q).f5Implicacionmaterial
ocondicional (p q).f7Coimplicacionoequivalenciamaterial (p
q).f8Eslaconjuncionpyq(p q).f9EslafunciondeSheer
oBarradeSheer(p[q),pesincompatibleconq.funcionNand(Noconjuncion),equivalea((p
q)).f10Disyuncionexclusiva(noequivalencia)(p
q).f12Negaciondelaimplicaciondepyq((p
q)).f14Negaciondelaimplicacionconversadepyq((p
q)).f15EslafunciondePeirceoBarradePeirce(p q),nipniq.funcionNor
(Nodisyuncion),equivalea((p
q)).f16Esunacontradiccion(vermasadelante).el
restodelasfuncionesnosonfacilmentereconocibles.192.Las computadoras
representaninternamentelainformacionmedian-teel usodebits. Unbit
tienedosposiblesvalores,
llamadosceroyuno,quepuedenemplearse(entreotrascosas,comocodicarn
ume-rosenbasebinaria)pararepresentarlosvaloresdeverdadFyV
,respectivamente.As,lasoperacioneslogicaspuedenimplementarseenuncomputador.El
algebradeBooleestudialasoperacionesquesepuedenrealizarconel
conjunto 0, 1.Operaciones booleanas: complementacion, suma+,
ypro-ducto (se corresponden, respectivamente, con las conectivas
logi-cas,,y).Seutilizaneneldise
nodecircuitoselectronicosyenlarealizaciondeoperacionesconbits.Las
operaciones + y suelen denominarse, habitualmente,
ope-racionesORyAND.Lasoperacionesconbitspuedenextenderseacadenasdebits(ope-racionesbitwise).Otras
operaciones conbits muy empleadas sonlas denominadasXOR, NOR,
yNAND(secorresponden,
respectivamente,conlasconectivaslogicas,,y[).20Loquehemosestadohaciendohasidounavaloraciondelasvariablesenunciativasylasformasenunciativasbinarias.Usandolas
tablas deverdaddelas conectivas podemos construir
lavaloraciondecualquier formaenunciativa, determinandoel valor
deverdaddelamismaapartirdel
valordeverdaddesuscomponentesatomicos.Al conjunto de todas las
valoraciones de una forma enunciativa
lecorrespondeunafunciondeverdad:
lasformasenunciativassonfun-cionesdeverdadofuncionesveritativas.Una
valoraci onqueda jada una vez establecida la
corresponcienteatribucionveritativadelasvariablesenunciativas.Denicion1.5.2(Atribuci
onveritativa)Dada una forma
enunciativa/.Llamamosatribucionveritativaaunaasignacion,,devaloresdever-dadal
conjunto, p1, p2, . . . , pndevariablesenunciativasde
/.Esdecir,unaatribucionveritativaesunaaplicacion : p1, p2, . . . ,
pn V, F.21Ejemplo5Sealaformaenunciativa / p q r.
Laasignaciondevaloresdeverdadp q rV F
Vseraunadelasochoposiblesatribucionesveritativasde
/.Denicion1.5.3(Valoracion)Dadaunaatribucionveritativa, ,
unavaloraciones unafuncioncuyodominioes el conjuntodelas
formasenunciativasycuyorangoeselconjunto V,
F,talqueparacualesquieraformasenunciativas /y B.1.(/) = (/)si
/esunavariableenunciativa;2.(/) = V si(/) = F;3.(/ B) = V si(/) = V
y(B) = V ;4.(/ B) = V si(/) = V o(B) = V ;5.(/ B) = V sinoesel
casoque(/) = V y(B) = F;6.(/ B) = V si(/) = v(B);Observacion1.5.4La
denicion1.5.3 es otro caso de denicioninductiva. Mas
concreta-mente, setratadeunadenicionporinduccionsemiotica,
basadaenlaestructuradelasformasenunciativas.22Paraobtener
sistematicamente todas las valoraciones de unaformaenunciativa,
bastaconconstruirsutabladeverdad.
Proponemosdosmetodosquefacilitanlaconstrucciondetablasdeverdad.Ejemplo6Sealaformaenunciativa/
(p q r) (p q
r).Conelprimerodelosmetodosobtenemoslasiguientetabladeverdad:p q r
q p q p q r q r p q r /V V V F V V V V VV V F F V F F F VV F V V F
V V V VV F F V F V V V VF V V F F V V V VF V F F F V F V VF F V V F
V V V VF F F V F V V V Vyconel segundodelosmetodos:(p q r) (p q r)V
V V V V V V V F V V VV V V F F V V F F V F FV F F V V V V V V F V
VV F F V F V V V V F V FF F V V V V F V F V V VF F V V F V F V F V
F FF F F V V V F V V F V VF F F V F V F V V F V
F23Aunaformaenunciativacualquiera, /,
lecorrespondeunafuncionveritativaf/: (V, F)n V,
Fdenidaporsutabladeverdad.Denicion1.5.5(Logicamenteequivalente)Dadasdosformasenun-ciativas,
/y B, confuncionesveritativasf/yfBasociadas. Sediceque/y
Bsonlogicamenteequivalentes, denotado / B, si
f/yfBsonlamismafunciondeverdad.Ejemplo7Algunasequivalenciasnotables:(1)
(p q) (p q) Denicion(2) (p q) (p q) Denicion(3) (p q) (q p)
Equivalencia(4) (p q) (p q) LeyesdeDEMORGAN(5) (p q) (p q)
LeyesdeDEMORGAN(6) (p q) (q p) Conmutativa(7) (p (q r)) ((p q) r)
Asociativa(8) (p (q r) ((p q) (p r)) Distributiva(9) (p (p q)) p
Absorcion(10) p p p Idempotencia(11) p F F Dominancia(12) (p q) (q
p) Conmutativa(13) (p (q r)) ((p q) r) Asociativa(14) (p (q r)) ((p
q) (p r)) Distributiva(15) (p (p q)) p Absorcion(16) p p p
Idempotencia(17) p V V Dominancia(18) (p) p DoblenegacionAquV
denotaunatautologayFunacontradiccion.24Observacion1.5.6Lasequivalencias(4)a(18)secorrespondenconlasllamadasLeyesdeidentidaddel
algebradeBoole.Estasleyessonparticularmente utilesenel dise
noysimplicaciondecircuitoselectronicos.25Denicion1.5.71.UnaformaenunciativaesunatautologasitomaelvalordeverdadVbajotodavaloracion.2.Una
forma enunciativa es una contradiccionsi toma el valor de
verdadFbajotodavaloracion.3.UnaformaenunciativaesunacontingenciasitomaelvalordeverdadV
paraunasvaloracionesyFparaotras.El
conceptodetautologaproporcionaunanociondeverdadlogica,identicando
aquellas formas enunciativas que sonverdaderas
bajocualquiercircunstancia.Saber en que categora, de estas tres,
cae cada enunciado o forma
enun-ciativaesdecidible.Bastacalcularlatabladeverdaddelenunciadooformaenunciativaencuestion.Ejemplo81.p
pesunatautologa.2.p pesunacontradiccion.3.p
qesunacontingencia.26Proposicion1.5.8 /eslogicamenteequivalentea
Bsiysolosi / Besunatautologa.Debidoal
resultadodelaproposicion1.5.8,
enlugardeequivalencialogicasehablaenocasionesdeequivalenciatautologica.Ejemplo9Deacuerdoconlaproposicion1.5.8,
lasformasenunciativasresultantesdesustituirel
operadordeequivalenciasemantica()porelbicondicional (),enel
ejemplo7,sontautologas.Proposicion1.5.9Si /y / Bsontautologas,
entonces Bes unatautologa.Observacion1.5.10Enlapruebade
estaproposicionse hautilizadoel
conocidometododedemostracionporcontradiccionoreduccional
absurdo.27Laproposicion1.5.9reejaquelallamadareglamodusponenstrans-mitelatautologicidad,yaquesi
/y / Bsontautologas,sucon-secuencia,
B,tambienlosera.Otraspropiedadessignicativasson:1.Lastautologasconstituyenunconjuntodeenunciadosqueesde-cidible.2.Lastautologastienenlapropiedaddelasustitutividad.3.Enlasequivalenciastautologicassecumplelaleydeintercambio.1.6.
Conjuntos adecuados de conectivas:
InterdenibilidaddelosconectoresDenicion1.6.1Unconjuntoadecuadodeconectivasesunconjuntotalquetodafuncionenunciativapuederepresentarsepormediodeunaformaenunciativaenlaquesolointervienenconectivasdeeseconjunto.,
, , , , , , , , [y sonconjuntosadecuadosdeconectivas.28As pues,
tomando como base el negador y cualquiera de las otras
tresconectivas, o la barra de Sheer o la barra de Peirce, es
posible denirlasrestantesconectivas:Leyesdeinterdenici
ontomandocomobase y :/ B (/ B) Deniciondeldisyuntor/ B (/ B)
Deniciondelimplicador/ B (/ B) (B /)
DeniciondelcoimplicadorLeyesdeinterdenici ontomandocomobase y :/ B
(/ B) Deniciondelconjuntor/ B / B Deniciondelimplicador/ B ((/ B)
(B /)) DeniciondelcoimplicadorLeyesdeinterdenici ontomandocomobase
y :/ B (/ B) Deniciondelconjuntor/ B / B Deniciondeldisyuntor/ B B
/ Deniciondeldisyuntor/ B (/ B) B Deniciondeldisyuntor/ B (B /) /
Deniciondeldisyuntor/ B ((/ B) (B /))
Deniciondelcoimplicador29LabarradeSheer: /[B (/ B)/ /[// B (/[B)
(/[B)[(/[B)/ B /[B (/[/)[(B[B)/ B /[B /[(B[B)LaBarradePeirce: / B
(/ B)/ / // B / B (/ /) (B B)/ B (/ B) (/ B) (/ B)/ B (/ B) [(/ /)
B] [(/ /) B]Observacion1.6.2Las ultimasequivalenciasmuestranel
precioquehayquepagar,entermi-nosdelongitudycomplicaciondelasformasenunciativas,sisesimplicaenexcesoelconjuntodeconectivasempleadaspararepresentarlasfuncio-nesveritativas.301.7.
ArgumentacionyvalidezVolvemosatratareltemadelacorreccionovalidezdeunargumentodesdeunaperspectivarigurosa.Denicion1.7.1(Formaargumentativa)Una
forma
argumentativaesunasucesionnitadeformasenunciativas,delascualesla
ultimasecon-sideralaconclusionyel
restolaspremisas.Denicion1.7.2(Formaargumentativavalida)Laformaargumen-tativa/1,
/2, . . . , /n/es invalidasi existe una atribucion veritativa tal
que /1, /2, . . . , /ntomanel valorV yAtomael valorF.
Enotrocasolaformaargumentativaesvalida.La siguiente proposicion
pone de maniesto la relacion existente
entreargumentacioncorrectayel condicional, yamencionadaal
principiodeestecaptulo.Proposicion1.7.3Laformaargumentativa/1, /2,
. . . , /n/esvalidasiysolosilaformaenunciativa(/1 /2 . . . /n)
/esunatautologa.31Captulo2CALCULOPROPOSICIONAL:T.DELADEMOSTRACION.Conrmar
la correccion de un argumento mediante el
metododelastablasdeverdadplanteadicultades.Porestarazonestamosinteresadosenlaformalizaciondelalogica:1.Denicionprecisadeunlenguajeformal.2.Reglas
de deduccion que permita la manipulacion de
smbo-los.Laideaesencontarunprocedimientoquenospermitacons-truirunaargumentacionpasoapaso,sabiendoquecadapasoesvalido.32La
palabra formal se usa para referirnos a esa situacion en
laqueseempleansmboloscuyocomportamientoypropiedadesestancompletamentedeterminadosporunconjuntodadodereglas.Enunsistemaformal
lossmboloscarecendesignicado, yalmanejarlos hemos detener
cuidadodenopresuponer
nadasobresuspropiedades,salvoloqueseespeciqueenelsiste-ma.Denicion2.0.4(Sistemaformal,S)
Un vocabulario: Un
con-junto(innitonumerable)desmbolosautilizarenS.ReglasqueestablezcanquecadenasdesignossonformulasbienformadosenS.Unconjuntodelasdenicionesutilizadas.Un
conjunto de formulas bien formados de S que van
autilizarsecomoaxiomas.Unconjunto nito de reglas de inferencia y de
reglas
deconstrucciondeunadeduccionenS.LascondicionesnecesariasysucientesquedebereunirunadeduccionparadarcomoresultadounteoremadeS.AxiomasadicionalesdeS.33Observaciones2.0.51.Alfabeto,
cadenadesignos , formulasbienformadas.2.Formalismo:
conjuntodesignosycadenasdesignosquesonpartedeunsistemaformal.3.Lateoradelademostracionestudialosformalismosconinde-pendenciadetodainterpretacion.4.Laexpresionformulabienformadalaabreviaremosme-diantelanotacionfbf.
Lasfbfslasdeniremosinducti-vamente.5.Enunsistemaformal los axiomas
puedenestar ausentes.Unsistemaformal esunconceptomasgeneral queel
con-ceptodesistemaaxiomatico.6.Cuandoseempleenaxiomasadicionaleshablaremosdeex-tensiondel
sistemaformal.7.Aunsistemaformal,
tambiensueledenominarselecalculo.342.1.
ElsistemaformalL.Churchen1956(axiomasinspiradosenLukasiewicz).Denicion2.1.1Elsistema
formal L del calculo de
enunciadosestaca-racterizadopor:1.Vocabulario: el
conjuntodesmbolosinnito(numerable), , (, ), p1, p2, p3, . .
.2.Conjuntodefbfs:a)p1, p2, p3, . . . sonfbfs.b)Si /y Bsonfbfs,
entonces(/)y(/
B)sonfbfs.c)Elconjuntodetodaslasfbfseselgeneradoporlasreglasayb.3.Deniciones:(/
B) esabreviaturade: ((/ (B)))(/ B) esabreviaturade: ((/) B)(/ B)
esabreviaturade: (((/ B) ((B /))))4.Axiomas: Cualesquieraque
seanlas fbfs /, By (, las si-guientesfbfssonaxiomasdeL(L1) (/ (B
/))(L2) ((/ (B ()) ((/ B) (/ ()))(L3) (((/) (B)) (B
/))5.Reglasdeinferencia:Reglamodusponens (MP): de /y(/ B)
sepuedeinferircomoconsecuenciainmediata
B.35Notadqueelvocabularioyelconjuntodefbf
ssehanelegidoparaqueseanunarepresentaciondelasformasenunciativas.Elalumnodebeserconscientedequelasnocionesdeformaenunciativayequivalencialogicasonpropiasdelcontextosemantico
del captulo 1 y no tienenlugar enel contextop
uramentesintacticodelsistemaformalL.Se ha limitado el n umero de
conectivas con el n de mantenersimpleelsistemaformalL.La
unicaregladeinferenciadeL, lareglamodusponens,
tam-bienesdenominadaregladeseparacion,yaeraconocidaporloslosofos
estoicoyse corresponde conunaformade proce-derhabitual
enlosrazonamientosrealizadosconel
lenguajeordinario.Losaxiomassonlapartemasoscuradelsistema(Comprobarquetomadoscomoformasenunciativassontautologas).36Observaciones2.1.21.Los
puntos (1) y (2) caracterizan nuestro lenguaje. Los smbo-los , y
nosonpartedeL.2.Lenguajeobjeto(el lenguajeL)ymetalenguaje
(lacombinaciondel
lenguajecastellanoconciertossmbolosespeciales).3.Metateoremas:resultadosqueestablezcamossobreL,utilizan-doel
metalenguaje.4.Hay innitos axiomas de L, por loque hemos
tenidoqueespecicarlosmedianteesquemasdeaxiomas.5.Eshabitual
visualizarlasreglasdeinferenciadeformasi-milaracomohaciamosconlasargumentaciones:/
B/B372.2. ElconceptodededuccionformalDenicion2.2.1(deduccion)Sea un
conjunto de fbfs de L.Unasucesionnita /1, /2, . . . , /ndefbfsdeL,
esunadeducionapartirde si paratodoi 1, 2, . . . ,
nsecumplealgunadelassiguientescondiciones:1. /iesunaxiomadeL,2. /i
3. /iseinereinmediatamentededosmiembrosanterioresdelasucesion,
digamos /jy /k(conj
