Maksimum Minimum Fungsi

Nilai EkstrimMisalkan fungsi f didefinisikan pada selang I dan titik c unsur di I. Nilai f (c) disebut nilai maksimum jika f (c) f (x), c unsur di I. minimum jika f (c) f (x), c unsur di I. ekstrim fungsi f di I jika f (c) nilai maksimum atau nilai minimum.

Titik KritisMisalkan fungsi f didefinisikan pada selang I yang memuat c. Titik c disebut titik kritis dari fungsi f jika memenuhi salah satu berikut ini:

Titik ujung selang I. Titik stasioner dari fungsi f (yaitu f(c)=0). Titik singular dari fungsi f (f(c) tidak ada)

Teorema Nilai EkstrimMisalkan fungsi f didefinisikan pada selang I yang memuat c. Jika f (c) nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis.Jika fungsi f kontinu pada selang tutup [a,b] maka f mencapai nilai maksimum dan minimum pada suatu titik di selang tersebut.

Menentukan Nilai EkstrimMisalkan fungsi f terdefinisi pada selang tutup I = [a,b]Tentukan semua titik kritis dari fungsi f pada selang I.Hitung semua nilai f, di titik kritis.Nilai fungsi yang terbesar dari langkah 2 merupakan nilai maksimum. Nilai fungsi yang terkecil dari langkah 2 merupakan nilai minimum.

ContohSeorang peternak mempunyai kawat 80 meter. Peternak tersebut akan membuat tiga kandang identik yang dipagari oleh kawat (seperti pada gambar). Berapa lebar dan panjang pagar harus dibuat agar luas daerah yang dipagari maksimum ?

PenyelesaianMisalkan x dan y adalah panjang pagar sisi dalam

Berarti : x + y = 80

Luas kandang : L = = =

Jadi L(x) = , x [0,80]

Untuk mendapatkan luas maksimum, maka langkah penyelesaian sebagai berikut :

Langkah 1. Mencari titik kritisx = 0, 80L(x) = = 0 maka x =40Tidak ada nilai x yang membuat L(x) tidak adaLangkah 2. L(0) = 0 L(40) = 800danL(80) = 0Langkah 3. Lmaks = 800Jadi agar luas kandang maksimum, haruslah lebar : x = 40 meter dan panjang pagar : y = = 40 meter

2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x3-3x pada interval [-2,2]

Soal - SoalPeternak itik punya 100 meter kawat duri, untuk membuat kandang berdampingan. Berapa ukuran seluruh keliling agar luas maksimum?Kotak segiempat panjang 24 cm dan lebar 9 cm, memotong bujursangkar di keempat pojok dan melipat keatas sisinya. Berapa volume total dan ukuran kotak shg volumenya maksimum

Soal2. Misalkan pengurangan tekanan darah seseorang tergantung pada banyaknya obat yang diminum. Jika x mg obat yang digunakan maka terjadi pengurangan tekanan darah sebesar f(x)=1/2 x2(k-x) , x di [0,k], k konstanta positif, tentukan jumlah obat yang harus digunakan agar terjadi pengurangan tekanan darah terbesar.

Daftar Pustaka1. Baisuni, H,M.Hasyim, 1986, Kalkulus, Penerbit Univ. Indonesia, Jakarta.Dosen Jurusan Matematika ITS, 2001, Kalkulus 1 & 2, ITS, Surabaya.Dosen Departemen MIPA UBAYA, 2002, Diktat Kalkulus 1, Surabaya.Leithold, Louis, 1988, (alih bahasa oleh Drs. E. Hutahaean), Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik, Penerbit Erlangga, Jakarta.Moesono, Djoko,Drs, 1999, Kalkulus I, University Press IKIP Surabaya,Protter, H.Murray and Morrey, B.Charles, 1967, Calculus With Analytic Geometry, University of California: Eddison Wesley, London.Purcell, J.Edwin and Varberg Dale, 1999, (alih bahasa oleh Drs. I. Nyoman Susila, M.Sc.), Kalkulus, Erlangga, Jakarta.Soeharjo, 1995, Matematika I, Jurusan Matematika ITS, Surabaya.Spiegel, R.Murray, 1993, (alih bahasa oleh Kasir Iskandar), Matematika Dasar, Penerbit Erlangga, Jakarta.Stroud, K.A, 1986, [alih bahasa oleh Erwin Sucipto], Matematika Untuk Teknik, Penerbit: Erlangga ,Jakarta.