SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2012-2013ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Tính tổng: 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 11 1 11 2 2 3 2012 2013

S .

b) Cho các số nguyên x và y thỏa mãn 4 5 7. x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức 5 | | 3 | | . P x yCâu 2 (1,5 điểm).

Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn: 2 3 3 3 3 3 x y .

Câu 3 (1,5 điểm).

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 16abc . Chứng minh rằng:

2 3 1 1 13 2 32 3 2 3

a b c a b cb c a a b c

.

Câu 4 (3,0 điểm).Cho tam giác nhọn ABC ( AC AB ) có các đường cao ',AA ',BB 'CC và trực

tâm .H Gọi ( )O là đường tròn tâm O, đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM,AN tới đường tròn ( )O (M, N là các tiếp điểm). Gọi 'M là giao điểm thứ hai của

'A N và đường tròn ( )O , K là giao điểm của OH và ' 'B C . Chứng minh rằng:a) 'M đối xứng với M qua BC .b) Ba điểm , ,M H N thẳng hàng.

c)2' ' .

' '

KB HBKC HC

Câu 5 (1,0 điểm).Cho bảng ô vuông 3 3 (3 hàng và 3 cột). Người ta điền tất cả các số từ 1 đến 9

vào các ô của bảng (mỗi số điền vào một ô) sao cho tổng của bốn số trên mỗi bảngcon có kích thước 2 2 đều bằng nhau và bằng một số T nào đó. Tìm giá trị lớn nhấtcó thể được của T.

—Hết—Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh……………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2012-2013HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

I. LƯU Ý CHUNG:- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấmbài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tươngứng với phần đó.II. ĐÁP ÁN:

Câu Ý Nội dung trình bày Điểm1

(3đ)

1

Ta có:2 2 2 2

*2 2 2 2

1 1 ( 1) ( 1),1( 1) ( 1)

n n n nn

n n n n22 2

2 2

( 1) 1 11( 1) 1

n nn n n n

Suy ra 2 2

1 1 1 11 1( 1) 1

n n n n

(do *1 11 01

nn n

)

Áp dụng kết quả trên, ta có

2 2

2 2

2 2

1 1 1 11 11 2 1 21 1 1 11 12 3 2 3

.........................

1 1 1 11 12012 2013 2012 2013

Cộng vế với vế của 2012 đẳng thức trên, ta được12013 .

2013 S

2Nhận xét: Nếu có x, y thỏa mãn điều kiện đề bài thì 0xy . Do đó chỉcần xét hai trường hợp sauTH1: 0 . x y Khi đó 5 | | 3 | | 5 3 P x y x y và 5 7 4 y x

Suy ra 7 4 13 215 3·5 5

x xP x . Do đó, P nhỏ nhất khi x nhỏ nhất.

Do x nguyên dương, y nguyên âm nên 3,x 1. y Vậy, trong trườnghợp này, P nhỏ nhất bằng 12.TH2: 0 . x y Khi đó 5 | | 3 | | 5 3 P x y x y và 5 7 4 y x

Suy ra 7 4 13 215 3· .5 5

x xP x Do đó, P nhỏ nhất khi x lớn nhất.

Do x nguyên âm, y nguyên dương nên 2, 3 x y . Vậy, trong trườnghợp này, P nhỏ nhất bằng 1.So sánh kết quả hai trường hợp, giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 đạt đượckhi và chỉ khi 2, 3 x y .

2

(1,5đ)Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn: 2 3 3 3 3 3 x y (1)Điều kiện 0; 0 x y

(1) 2 3 3 3 3 3 6 (3 2) 3 6 3 x y xy x y xy (2)2(3 2) .3 36 36 9 x y xy xy

212 3 (3 2)12

xy x yxy (3)

x, y là các số hữu tỉ, nên từ (3) suy ra xy là số hữu tỉ.+ Nếu 3 2 0, x y thì ta có vế trái của (2) là một số vô tỉ, vế phải của(2) là một số hữu tỉ, điều này vô lí.+ Nếu 3 2 0, x y kết hợp với (2) ta có:

3 23 2 01

6 3 04

x yx y

xyxy

Giải hệ trên ta được: 12

x y và

1632

x

y.

Thay vào (1) ta được 12

x y thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3

(1,5đ)

Đặt ,2 y za bx y

(với x, y, z > 0) 3 xcz

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:2 2 2

3 y z x y z x x y zzx xy yz x y z y z x3 3 3 2 2 2 2 2 23 x y z xyz y z xz x y x z xy yz( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 x x y x z y y z y x z z x z y (1)

Không mất tính tổng quát giả sử x y z .Ta có: (1) 2( ) ( ) ( )( ) 0 x y x y z z z x z y (2)Dễ thấy (2) đúng suy ra đpcm.

Dấu ‘‘=’’ xảy ra

11213

a

x y z b

c

4

(3đ)

a

O

H

B'

C'

M'

A'

A

BC

M

N

Từ giả thiết ta có: ' 90 oAMO ANO AA O nên các điểm A, A’, M, O,N thuộc đường tròn đường kính AO. ' AA N AMN (1)

Lại có: 1'2

AMN MM N sđMN (2)

Từ (1) và (2) ' ' MM N AA N MM’//AA’Mà BC AA’ BC MM’Mặt khác BC là đường kính của (O) nên BC vuông góc với MM’ tạitrung điểm của MM’, do đó M’ đối xứng với M qua BC

b

AMC’ và ABM có ' AMC ABM và chung góc MAB

' ~ AMC ABM 2' . ' AM AC AM AB ACAB AM

(3)

Dễ thấy ' ~ ' AC H AA B ' '. . ''

AC AH AA AH AB ACAA AB

(4)

Từ (3) và (4) 2'.'

AH AMAA AH AMAM AA

Mặt khác AHM và 'AMA có chung góc’A AM nên ~ ' ' AHM AMA AMH AA M (5)

Tứ giác AMA’N nội tiếp ' AA M ANM (6)Có AM, AN là tiếp tuyến của (O) AMN ANM (7)Từ (6) và (7) ' AMN AA M (8)Từ (5) và (8) ta có AMH AMN .Dễ thấy H, N nằm cùng một phía so với đường thẳng AM nên tia MHtrùng tia MN hay M, H, N thẳng hàng

c

F

K

E

D

H

B'

C'

B O C

Qua O kẻ đường thẳng d song song với B’C’ , d cắt BB’ và CC’ lần lượttại D, E

' ' ''

KB KH KC KB ODOD OH OE KC OE

(9)

Ta có: BDO ECO (vì cùng bằng ' 'BB C ) và BOD EOC2

22~ .

OD OB OD OCDBO CEO OD OE OCOC OE OE OE

(10)

Lấy F (F ≠ E) trên đường thẳng CC’ sao cho OE = OF ' ' OFC B C H (vì cùng bằng 'OEC ). Lại có ' ' HB C OCF

' '' ' ~' '

HB OC HB OCB C H CFOHC OF HC OE

(11)

Từ (9), (10), (11)2' '

' '

KB HBKC HC

5

(1đ)

1,0 điểmTổng của tất cả các số ghi trên bảng bằng1 2 3 9 45. Gọi x là số ghi ở ô (2; 2) (ô trung tâm củabảng); các ô còn lại ghi các số a, b, c, d, e, f,g, h (Hình 1):

Cộng tổng tất cả các số ghi trên 4 bảng con kích thước 2 2 ta được4 4 ( ) 2( ) 45 2 ( ) T x a c e g b d f h x x b d f hDo 9, 9 8 7 6 5 35 x x b d f h nên4 45 2·9 35 98 24 T T (do T )Trên Hình 2 chỉ ra một phương án điền số sao cho

24T .

a b c

h x d

g f e

Hình 1

4 8 1

3 9 6

5 7 2

Hình 2