SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG - · PDF file1 Báo cáo đề dẫn 3 2 Dạy học các ... và Chương trình môn Toán lớp 12 ... Để trang bị cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG

Sóc Trăng, 11-2016

HỘI THẢO

DẠY VÀ HỌC TOÁN THEO ĐỊNH HƯỚNGTHI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Mục lục

1 Báo cáo đề dẫn 3

2 Dạy học các nội dung về hàm số trong chương trình toán 12 theo hướngthi trắc nghiệm khách quan - Trường THPT Đại Ngãi 6

3 Đổi mới hoạt động dạy học môn toán ở trường THPT - Trường THPTThuận Hòa 9

4 Dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian theo hướng thitrắc nghiệm khách quan - Trần Diệp Thúy - Trường THPT NguyễnKhuyến 12

5 Dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian theo hướng thitrắc nghiệm khách quan - Trường THPT Trần Văn Bảy 16

6 Dạy học chủ đề khối đa diện, mặt cầu, mặt trụ, mặt nón theo hướngthi trắc nghiệm khách quan - Trường THPT Lịch Hội Thượng 21

7 Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm từ bài toán tự luận - Trường THPT MỹXuyên 29

8 Dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian theo hướng thitrắc nghiệm khách quan - Trường THPT Lương Định Của 33

9 Dạy học chủ đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng theo hướng thi trắcnghiệm khách quan - Lâm Trường Khánh - Trường THPT Đoàn VănTố 39

10 Ứng dụng máy tính Casio fx-570vn plus trong kì thi THPT quốc gia2017 (khảo sát hàm số - hàm số mũ - hàm số logarit) - Phan Văn Thôn- Trường THPT Mai Thanh Thế 43

11 Sử dụng máy tính cầm tay để tìm đáp án câu hỏi trắc nghiệm chủ đềhàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit - Trần Văn Phúc - TrườngTHPT Kế Sách 49

12 Dạy học chủ đề khối đa diện, mặt cầu, mặt trụ, mặt nón theo hướngthi trắc nghiệm khách quan - Trường THPT Thiều Văn Chỏi 53

13 Đổi mới kiểm tra đánh giá môn toán - Trường THPT Hoàng Diệu 57

1

Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng

14 Một cách sử dụng máy tính bỏ túi vào việc chọn nguyên hàm của hàmsố theo hướng thi trắc nghiệm khách quan - Trường THPT Thành PhốSóc Trăng 63

15 Sử dụng máy tính trong giải toán trắc nghiệm lượng giác lớp 10 - LâmQuốc Toàn - THPT chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 65

16 Tìm hiểu đề minh họa môn toán 2017 và một vài lưu ý khi ôn luyện vàra đề trắc nghiệm môn toán - Huỳnh Quốc Huy - THPT chuyên NguyễnThị Minh Khai 73

17 Dạy học chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian theo hướng thitrắc nghiệm khách quan - Nguyễn Thị Thùy Phương - THPT chuyênNguyễn Thị Minh Khai 92

18 Vận dụng các tính chất đặc trưng để giải toán trắc nghiệm khách quan- Trần Quốc Dũng - THPT chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 97

19 Một số kinh nghiệm giải nhanh bài toán hình học không gian cổ điển -Liên Quốc Mỹ - THPT chuyên Nguyễn Thị Minh Khai 106

20 Dạy học dạy học chủ đề nguyên hàm, tích phân, ứng dụng theo hướngthi trắc nghiệm khách quan - Trường THPT Huỳnh Hữu Nghĩa 113

21 Ứng dụng công nghệ thông tin xây dựng thư viện câu hỏi trắc nghiệmmôn toán - Nguyễn Văn Quí - Trường THPT chuyên Bến Tre 116

Hội thảo Dạy và học Toán theo định hướng thi trắc nghiệm khách quan 2

BÁO CÁO ĐỀ DẪN

Kính thưa quý vị đại biểu!Trắc nghiệm khách quan trong môn toán là một hình thức kiểm tra, đánh giá mà chúngta vẫn thường sử dụng trong dạy học. Các câu hỏi trắc nghiệm khách quan đã xuất hiệntừ lâu trong sách giáo khoa môn toán bậc trung học ở cả phần bài học lẫn bài tập. Cácgiáo viên toán bậc trung học đều được tập huấn về trắc nghiệm khách quan từ việc lập matrận khung, biên soạn đề kiểm tra đến việc đánh giá hiệu quả của các câu hỏi.Chính vì thế, nên việc trong kì thi THPT Quốc gia năm 2017 môn toán được thi bằnghình thức trắc nghiệm khách quan không phải là một thách thức quá lớn đối với giáo viênvà học sinh, mà nó chỉ là một khó khăn tạm thời do việc phải thay đổi cách dạy và họccho phù hợp với hình thức kiểm tra đánh giá này.Được sự chỉ đạo của Ban Giám hiệu, với tinh thần trách nhiệm của người giáo viên dạytoán, tập thể tổ toán trường THPT chuyên Nguyễn Thị Minh Khai đã có những chuyểnbiến tích cực ban đầu nhằm tìm ra cách thức dạy và học hiệu quả, giúp học sinh đáp ứngtốt các yêu cầu của việc đổi mới công tác thi cử. Qua các buổi sinh hoạt chuyên môn,trao đổi kinh nghiệm giữa các giáo viên trong tổ, chúng tôi đã đúc kết được một số địnhhướng và biện pháp sau

1. Xác định nội dung dạy học và chuẩn bị cho kì thi

• Nội dung dạy học là phần chung của Chương trình môn Toán lớp 12 THPTvà Chương trình môn Toán lớp 12 BTTHPT hiện hành đã bỏ các nội dunggiảm tải.

• Xây dựng ma trận khung đề thi môn toán từ việc nghiên cứu, khai thác đềminh họa của Bộ GD&ĐT.

• Xây dựng các cấu trúc đề thi khác nhau dựa trên ma trận khung đã xác định,từ đó dự đoán biên độ của các câu hỏi ứng với từng nội dung trong ma trậnkhung nhằm phục vụ việc dạy và học.

• Từ ma trận khung, xây dựng các ma trận đề kiểm tra cho từng nội dung dạyhọc của từng chương, từng giai đoạn học tập.

• Dự kiến ma trận khung đề thi môn toán THPT Quốc gia năm 2018, 2019 đểcó kế hoạch dạy học, bồi dưỡng tốt cho các khối 10 và 11.

2. Về công tác dạy và học

• Trước hết, giáo viên cần phải hết sức bình tĩnh và giải thích cho học sinh, dùthi với hình thức nào thì bài thi vẫn luôn đánh giá đúng năng lực của học sinh.Giáo viên cũng cần nêu cho học sinh thấy được các ưu điểm của hình thức trắcnghiệm khách quan để học sinh an tâm và phấn khởi học tập.

• Nội dung dạy học căn cứ vào chuẩn kỹ năng kiến thức toán THPT, nên ưutiên sử dụng sách giáo khoa toán THPT chương trình cơ bản để thống nhấtcác khái niệm, thuật ngữ và ký hiệu.

• Dạy và học thật kỹ các khái niệm, học sinh cần hiểu và nhớ từng khái niệm,thuật ngữ toán học.

3


• Dạy và học thật kỹ các tính chất, định lý: học sinh cần hiểu và nhớ các địnhlý, tính chất toán và có khả năng liên hệ, vận dụng chúng vào các trường hợptương tự.

• Cho học sinh tiếp xúc với trắc nghiệm khách quan ngay trong bài học qua cácví dụ. Đặc biệt, cần cho học sinh làm quen với việc một câu hỏi được diễn đạtbằng các cách khác nhau để tránh việc hiểu nhầm và rèn luyện năng lực đọchiểu cho học sinh.

• Cần chú ý phân tích các sai lầm thường gặp để giúp học sinh loại bỏ nhanhchóng các phương án sai.

• Trong dạy học cần tăng cường việc đưa vào các ví dụ có liên hệ với thực tiễncuộc sống để rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng toán học.

3. Định hướng phát triển năng lực cho học sinhBên cạnh các năng lực toán thông thường, cần đặc biệt chú ý phát triển các loạinăng lực sau

• Năng lực sử dụng máy tính cầm tay: Là năng lực hết sức quan trọng, giúp giảiquyết nhanh chóng một số câu hỏi ở mức độ nhận biết và trợ giúp hiệu quảtrong việc giải quyết các câu hỏi có yêu cầu tính toán. Tuy nhiên, không nênquá cường điệu loại năng lực này, giáo viên cần chỉ cho học sinh thấy rõ rằngmột câu hỏi trắc nghiệm khách quan có thể giải nhanh bằng máy tính cầm taychỉ khi người ra đề mở ra khả năng đó.

• Năng lực đọc hiểu: Rèn luyện thật tốt kỹ năng đọc hiểu để học sinh có thểhiểu đúng và nhanh một câu trắc nghiệm khách quan. Đặc biệt, học sinh cũngcần biết rằng các phương án trả lời của câu trắc nghiệm khách quan cũng làmột phần giả thiết của tình huống đặt ra.

• Năng lực tư duy hình ảnh: Giúp giải quyết nhanh chóng một số câu hỏi ở mứcđộ thông hiểu mà phương pháp thông thường hoặc máy tính cầm tay khôngmang lại hiệu quả. Loại năng lực tư duy này rất ít được khai thác trong hìnhthức thi tự luận nhưng lại có tiềm năng rất lớn trong hình thức thi trắc nghiệmkhách quan.

• Năng lực giải quyết các bài toán thực tiễn.• Năng lực suy luận loại trừ.• Năng lực phán đoán, suy luận có lý.• Năng lực ra quyết định dựa vào cảm giác.

4. Công tác kiểm tra, đánh giáTrong công tác kiểm tra, đánh giá, các việc cần làm trước mắt là

• Tích cực đưa hình thức trắc nghiệm khách quan vào công tác kiểm tra đánhgiá học sinh.

• Xây dựng ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm khách quan môn toán trong phạmvi trường.

• Từng bước đưa trắc nghiệm khách quan vào kiểm tra, đánh giá ở khối 10 và11 với tỷ lệ khoảng 30% trắc nghiệm khách quan và 70% tự luận.

• Tăng cường sử dụng trắc nghiệm khách quan vào kiểm tra đánh giá ở khối 12với tỷ lệ khoảng 70% trắc nghiệm khách quan và 30% tự luận.



Kính thưa quý vị đại biểu!Những gì mà chúng tôi vừa nêu ở trên vẫn chưa được đưa vào áp dụng toàn bộ, nhiều mụctiêu trong đó vẫn chỉ mang tính định hướng. Và, chúng tôi cũng nhận thức được nhữngđiều mà chúng tôi biết, chúng tôi nghĩ tới vẫn chưa đầy đủ, hoàn chỉnh. Do đó, chúng tôimong muốn được học tập, được trao đổi kinh nghiệm với tất cả quý vị đại biểu trong Hộithảo hôm nay.Mong rằng quý vị đại biểu sẽ tham gia Hội thảo với tất cả nhiệt tình, cùng đóng góp, chiasẻ và trao đổi với nhau một cách chân thành, trách nhiệm để mỗi người đều có thể nhậnđược lợi ích từ Hội thảo.Xin chân thành cảm ơn!


DẠY HỌC CÁC NỘI DUNGVỀ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12

THEO HƯỚNG THI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUANTrường THPT Đại Ngãi

Sau khi Bộ GD&ĐT công bố phương án thi tốt nghiệp năm 2017, trong đó môn Toánthay đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm làm thầy cô và học sinh hết sức lolắng. Theo đề minh họa của Bộ GD&ĐT thì phần “Khảo sát hàm số, hàm số lũy thừa,hàm số mũ và hàm số lôgarit” chiếm khoảng 4 điểm. Làm thế nào để dạy cho học sinhlàm bài đạt kết quả cao theo theo hướng trắc nghiệm?Theo chúng tôi, trước tiên là học sinh phải thay đổi cách học, phải nắm thật kĩ kiến thứccơ bản và mối liên quan giữa các kiến thức với nhau. Giáo viên phải tóm kiến thức theotừng chủ đề và cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa các kiến thức với nhau, cụ thể

1 Khảo sát hàm sốPhần khảo sát hàm số học sinh cần nắm

• Nhận dạng đồ thị của ba hàm số trong các trường hợp

∗ Đối với hàm số: y = ax3 + bx2 + cx + d (a = 0) thì tính đạo hàm và dựa vàohệ số a ta thấy ngay dạng của đồ thị trong sáu trường hợp. Ví dụ như câu 1 ởđề minh họa.

∗ Đối với hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a = 0) nhìn vào hệ số a, b học sinh thấyđược dạng của đồ thị.

∗ Đối với hàm số: y =ax+ b

cx+ d(c = 0, ad− bc = 0) thì học sinh có thể thấy ngay

tiệm cận đứng là đường thẳng x = −d

c, tiệm cận ngang là đường thẳng y =

a

cvà nhìn ra ngay dạng đồ thị dựa vào hiệu ad− bc.

• Cực trị của hàm số

∗ Hàm số bậc ba thì số cực trị dựa vào số nghiệm của phương trình y′ = 0.∗ Hàm trùng phương thì nếu tích ab > 0 thì hàm số có ba cực trị, còn nếu ab < 0

thì hàm số có một cực trị.∗ Nếu gặp bài toán có chứa tham số m thì có thể dúng cách lấy giá trị m đề cho

và kiểm tra xem đáp án xem có thỏa yêu cầu không. Ví dụ như câu 8 của đềminh họa: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x4 + 2mx2 + 1có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

• Đường tiệm cận

∗ Đối với hàm hữu tỉ thì hướng dẫn học sinh nhìn ra ngay các đường tiệm cậndựa vào hệ số của bậc ở tử và mẫu.

6


∗ Đối với các hàm số khác học sinh có thể dùng máy tính bỏ túi để tính giới hạnrồi suy ra các đường tiệm cận.

∗ Học sinh phải hiểu và vận dụng tốt hơn khái niệm đường tiệm cận để giảiquyết những dạng bài tập như câu 9 của đề minh họa. Ngoài ra, ở phần nàygiáo viên phải lưu ý cho học sinh về tâm đối xứng và trục đối xứng của cáchàm số, kĩ năng đọc đồ thị hàm số để giải quyết bài toán biện luận theo m sốnghiệm của một phương trình cho trước, kĩ năng sử dụng máy tính để xét sựđồng biến, nghịch biến và tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

2 Hàm số lũy thừaHọc sinh phải nắm chắc các khái niệm, nhất là các điều kiện kèm theo, phải nhớ các điềukiện của từng công thức và các tính chất của hàm số này. Cần cho học sinh phân biệt rõgiữa hàm số lũy thừa và hàm số mũ.Đối với hàm số lũy thừa cần nắm các tính chất như là

1. Tập khảo sát: (0,+∞).

2. Sự biến thiên

• α > 0: Hàm số đồng biến.• α < 0: Hàm số nghịch biến.

3. Tiệm cận

• α > 0: Không có tiệm cận.• α < 0: Tiệm cận ngang là trục Ox, tiệm cận đứng là trục Oy.

3 Hàm số mũHọc sinh cần nắm các tính chất cơ bản như

1. Tập xác định: R.

2. Tập giá trị: (0,+∞).


• a > 1: Hàm số đồng biến.• 0 < a < 1: Hàm số nghịch biến.

4. Tiệm cận: có tiệm cận ngang là trục Ox.

5. Đồ thị

• Nằm phía trên trục hoành.• Đi qua điểm (0; 1), (1; a).



4 Hàm số lôgaritHọc sinh cần nắm các tính chất cơ bản như

1. Tập xác định: (0;+∞).

2. Tập giá trị: R.


• a > 1: Hàm số đồng biến.• 0 < a < 1: Hàm số nghịch biến.

4. Tiệm cận: có tiệm cận đứng là trục Oy.

5. Đồ thị

• Nằm bên phải trục tung.• Đi qua điểm (1; 0), (a; 1).

Ngoài việc nắm các kiến thức cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit thì học sinh phảibiết vận dụng tính đồng biến, nghịch biến của hai hàm số này để giải các bất phương trìnhmũ hay bất phương trình lôgarit, hoặc là kiểm tra tính đúng sai của một bất đẳng thức.Ví dụ như câu 20 của đề minh họa.Đặc biệt đối với hai hàm số mũ và lôgarit thì học sinh cần thấy sự khác nhau và giốngnhau giữa hai hàm này nếu không khi làm bài học sinh rất dễ nhầm lẫn. Vì vậy sau khidạy xong hai khái niệm này giáo viên nên cho học sinh làm bảng so sánh sự giống nhauvà khác nhau của hai hàm số.Để trang bị cho học sinh chuẩn bị cho kì thi sắp tới thì ngoài việc hệ thống kiến thức cơbản của chương ta còn phải tập cho học sinh các kĩ năng khác ví dụ như: cần lựa chọnnhanh và chính xác các đáp án vì các đáp án gần giống nhau có thể gây nhầm lẫn để làmđược việc này chúng ta cần luyện tập hàng ngày cho học sinh việc đọc và hiểu nhanh cáccâu hỏi và đáp án; phân tích cho học sinh thấy những sai lầm khi làm bài; phải luyện tậpthói quen làm bài trắc nghiệm và kĩ năng dùng máy tính cầm tay hàng ngày; biết khắcphục một số lỗi khi sử dụng máy tính nếu không thì học sinh sẽ lúng túng khi làm bài gâymất thời gian; biết dùng phương pháp loại suy các đáp án.Sau khi nắm chắc các khái niệm và mối liên quan giữa các khái niệm thì tiếp tục cho họcsinh thấy được ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lý của các khái niệm để giải quyết các bàitoán có tính liên môn và ứng dụng thực tế, ví dụ như: bài toán lãi kép, sự phân rã của cácchất phóng xạ hay là sự gia tăng dân số... như câu 21 của đề minh họa.Trong thời gian ngắn chúng tôi chỉ rút ra được những vấn đề trên và cũng đang tiếp tụcnghiên cứu sâu hơn để hoàn thiện các chủ đề nhằm giúp cho học sinh đạt kết quả caonhất trong kì thi.Chúng tôi nghĩ rằng mặc dù có chút khó khăn khi chuyển đổi từ hình thức thi tự luậnsang trắc nghiệm nhưng với sự tích cực tìm tòi và sáng tạo của mình thầy cô ở bộ mônToán sẽ có được phương pháp giảng dạy phù hợp, đáp ứng được yêu cầu đổi mới hiệnnay. Vì thời gian có hạn và kinh nghiệm còn hạn chế nên bài viết này chắc hẳn chưa đầyđủ và còn thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô.


ĐỔI MỚI HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC MÔN TOÁNỞ TRƯỜNG THPT

Trường THPT Thuận Hòa

1 Lý doĐối với nhân loại loài người, môn toán là một môn rất quan trọng, giúp ích rất nhiềucho cuộc sống. Học toán giúp ta có thể tính toán được các phép tính đơn giản cộng, trừ,nhân, chia, trong cuộc sống hằng ngày; thiết lập các tỉ lệ, tạo nhiều khối hình học từ đóthiết kế nhiều mô hình thú vị hấp dẫn... giúp chúng ta học tốt hơn nhiều môn khác.Toán là một môn học không thể thiếu và đóng vai trò chủ đạo trong các môn của bankhoa học tự nhiên, môn học khá trừu tượng nhưng lại rất thực tế. Để học tốt được toánkhông phải chỉ cần có trí tuệ là đủ, chúng ta cần phải siêng năng và chăm chỉ học, bêncạnh, cần phải nắm vững vàng những kiến thức đã học. Nếu để bị mất kiến thức căn bảnthì sẽ rất khó. Do vậy mỗi chúng ta phải kiểm tra lại lượng kiến thức mà mình bị hỏngvà kịp thời bổ sung ngay. Đặc biệt, bắt đầu từ năm học nay, môn toán được thi với hìnhthức trắc nghiệm, một thử nghiệm hoàn toàn mới đối với học sinh THPT mặc dù các emđã được làm quen hình thức này ở các môn Lý, Hóa, Sinh, nhưng cũng không tránh khỏibỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn trong việc tiếp nhận hình thức thi mới.Vấn đề cần quan tâm hiện nay là phương pháp học tập thế nào để giải quyết được cácbài toán, giúp các em đạt kết quả cao trong kì thi THPT quốc gia sắp tới. Và các chủđề mà học sinh hay mắc sai lầm trong việc tính toán đó là: khảo sát hàm số, hàm số lũythừa, hàm số mũ − logarit. Bài tham luận này một phần nào sẽ giúp các em vượt quacác trở ngại và những hoang mang trong việc học và làm tốt các bài thi trong các kì thi.

2 Nội dung

2.1 Chủ đề: Khảo sát hàm sốCâu 1. Khoảng nghịch biến của hàm số y = 1

3x3 − x2 − 3x+ 5

3là

A. (−∞;−1)�� B (−1; 3)

C. (3;+∞)

D. (−∞;−1) và (3;+∞)

Câu 2. Khoảng đồng biến của hàm số y =√2x− x2 là

A. (−∞; 1)�� B (0; 1) C. (1; 2) D. (1;+∞)

Câu 3. Hàm số y = x3 − 3x2 +mx+ 1 luôn đồng biến trên R khi

A. m > 3 B. m < 3 C. m ⩽ 3�� D m ⩾ 3

Câu 4. Giá trị lớn nhất của y =√5− 4x trên đoạn [−1; 1] bằng

9


�� A 9 B. 3 C. 1 D. 0

Câu 5. Hàm số y = 2x3 − 9x2 + 12x+ 5 có số điểm cực trị bằng

A. 1�� B 2 C. 3 D. 4

Câu 6. Hàm số y = x4 + x2 + 1 có số điểm cực trị bằng

A. 0�� B 1 C. 2 D. 3

Câu 7. Giá trị m để hàm số y = −x3 − 2x2 +mx đạt cực tiểu tại x = −1 là�� A m = −1 B. m = −1 C. m > −1 D. m < −1

Câu 8. Giá trị m để hàm số y = x3 +mx2 − 1 luôn có cực đại và cực tiểu là

A. m > 0 B. m < 0 C. m > 4�� D Kết quả khác

Câu 9. Giá trị m để hàm số y = mx4 + 2x2 − 10 có ba điểm cực trị là

A. m > 0 B. m = 0�� C m < 0 D. m ⩽ 0

Câu 10. Giá trị m để hàm số y = x4 − 2mx2 có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tamgiác vuông là

A. m > 0 B. m = 0�� C m = 1 D. m = 0 ∨m = 1

2.2 Chủ đề: Hàm số lũy thừa

Câu 1. Tập xác định của hàm số y = (1− x)13 là�� A (−∞; 1) B. (1;+∞) C. R\ {1} D. [1; +∞)

Câu 2. Tập xác định của hàm số y = (2x− 4)−3

A. D =(12; +∞

)B. D = [2;+∞)

�� C D = R\ {2} D. D = R

Câu 3. Đạo hàm của hàm số y = x√x (x > 0) là

A. 32x

52 B. 5

2x

52 C. 2x

√x

�� D Kết quả khác

Câu 4. Biểu thức√x

√x√

x√x (x > 0) được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

là

A. x 158 B. x 3

16

�� C x1516 D. x 7

8

Câu 5. Cho (a− 1)−23 < (a− 1)

−13 . Khi đó có thể kết luận về a là



�� A a > 2 B. a > 1 C. 1 < a < 2 D. 0 < a < 1

2.3 Chủ đề: Hàm số mũ và logaritCâu 1. Các phép tính sau có mấy phép tính đúng

log21

8= −3; log 0.001 = −3; ln 1 = 0; ln

√e = −1

2A. 2 B. 4 C. 1

�� D 3

Câu 2. Khẳng định nào sau đây là sai

A. log212− log25 < log27B. ln 5 + 2 ln 3 > ln 43

�� C log 133− log 1

35 < 0

D. log 2 + log 3 > log 5

Câu 3. Cho logab = 3; logac = −2. Có logaa2b3√c3 bằng

A. 9�� B 8 C. 14 D. 5

Câu 4. Cho α = log25 + 3log825. Tính giá trị của biểu thức P = 2α ta được�� A P = 125 B. P = 215 C. P = 512 D. P = 152

Câu 5. Tập xác định của hàm số y = log2 (2x2 − x− 3) là

A.(−∞;−3

2

)∪ (1;+∞)�� B (−∞;−1) ∪(32; +∞

) C.(−1;−3

2

)D.

(−3

2; 1)

Câu 6. Đạo hàm của hàm số y = x (lnx− 1) là

A. ln x− 1�� B ln x C. 1

x− 1 D. 1

Câu 7. Cho log315 = α; log310 = β. Ta có log√350 bằng

A. 2 (α + β + 1) B. 2α + 2β − 1�� C 2 (α + β − 1) D. 2 (α− β − 1)

Câu 8. Cho hàm số f (x) = 3x− 2. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây�� A f ′ (0) = ln 3 B. f ′ (0) = 3 ln 3 C. f ′ (1) = ln 3 D. f ′ (2) = 9

Câu 9. Đạo hàm của hàm số y = x.ex là

A. ex + 1�� B (x+ 1) ex C. (ex + 1)x D. ex

Câu 10. Cho hàm số f (x) = 3x+3−x

2· Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định là�� A 1 B. 2 C. 3 D. 4

3 Kết luận và kiến nghịQua quá trình nghiên cứu, tôi thấy tham luận giúp cho học sinh nắm được các kiến thứccơ bản và kỹ năng giải tốt các bài toán trắc nghiệm, có thể giúp cho học sinh tham giathi tốt các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT quốc gia sắp tới. Rất mong được sự đóng gópý của quý thầy cô.


DẠY HỌC CHỦ ĐỀPHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

THEO HƯỚNG THI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUANTrần Diệp Thúy - Trường THPT Nguyễn Khuyến

1 Lời nói đầuNăm học 2016 - 2017 Bộ GD&ĐT thay đổi phương án thi THPT Quốc gia trong đó cómôn Toán thi theo hình thức trắc nghiệm đã làm ảnh hưởng rất nhiều đến tâm lý củacác em học sinh. Vì trước giờ, việc thi tự luận Toán đã quá quen thuộc với cấu trúc đềthi, cách trình bày, triển khai bài toán được các thầy cô chăm chút từng li từng tí. Vậykhi chuyển qua trắc nghiệm, việc ứng dụng những phương pháp giải nhanh và chiến lượcvề thời gian, cách làm cũng sẽ có nhiều khác biệt. Vì thế để giúp học sinh làm bài tốttrong thi học kì cũng như thi Trung học phổ thông Quốc gia đòi hỏi người giáo viên phảithay đổi phương pháp dạy sao cho phù hợp với cấu trúc đề thi toán mà Bộ GD&ĐT đãban hành.Trong buổi hội thảo hôm nay tôi xin nêu ra một số phương pháp làm bài tập trắc nghiệmvới chủ đề “Phương pháp tọa độ trong không gian”.Để làm tốt bài trắc nghiệm khách quan thì học sinh phải nắm vững lý thuyết, các côngthức mà trước đây có thể ít nhắc đến và phải có một số phương pháp giải riêng khôngnhư giải tự luận.Nếu như trước đây làm bài tự luận thì học sinh phải trình bày lời giải một cách chặt chẽđể lấy điểm từng phần. Nhưng bây giờ làm theo hình thức Trắc nghiệm thì yêu cầu họcsinh phải hiểu nhanh vấn đề, giải quyết ngay lập tức câu hỏi bằng việc nháp tóm tắt, sửdụng máy tính bỏ túi hỗ trợ hay thậm chí sử dụng những mẹo loại trừ, thử đáp số... đểcó thể chọn đáp án nhanh nhất.

2 Một số phương pháp dạy trắc nghiệm

2.1 Sử dụng máy tính

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ −→a (−1; 2;−1), −→b (2;−1; 1), −→c (−3; 4; 5).Vectơ −→

d = 2−→a − 3−→b + 5−→c có tọa độ

A. −→d (23;−27; 20) B. −→d (23; 27;−20) C. −→d (−23;−27; 20)�� D −→

d (−23; 27; 20)

Phương pháp: Bấm máy tính trực tiếp theo công thức.

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho M(1; 2; 3) và mặt phẳng (P ) : x+2y− 2z− 14 = 0.Khoảng cách d từ M đến mặt phẳng (P ) là

12


A. d = 3 B. d = 4�� C d = 5 D. d = 6

Phương pháp: Bấm máy tính trực tiếp theo công thức.

Câu 3. Trong không gianOxyz, cho ba điểmA(4; 2;−1), B(3;−1; 2), C(1;−4;−3). Phươngtrình tổng quát của mặt phẳng (ABC) là

A. 24x+ 11y − 3z − 77 = 0�� B 24x− 11y − 3z − 77 = 0

C. 24x+ 11y − 3z + 77 = 0

D. 24x− 11y − 3z + 77 = 0

Phương pháp:• Tính −→

AB,−→AC.

• Dùng máy tính tìm: −→n = [−→AB,

−→AC].

• Loại trừ phương án sai.

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) :

x = 1 + 5t

y = 1− 4t

z = 1 + 3t

và mặt phẳng

(P ) : x+ y + z − 3 = 0. Giao điểm M của (d) và (P ) là�� A M(1; 1; 1) B. M(−1; 1; 1) C. M(−1;−1;−1) D. M(6;−3; 4)

Phương pháp: Dùng máy tính giải phương trình tìm t rồi suy ra giao điểm.

2.2 Phương pháp loại trừCâu 1. Trong không gian Oxyz, cho các phương trình sau phương trình nào là phươngtrình mặt cầu?�� A x2 + y2 + z2 − 2x+ 4y + 2z − 3 = 0

B. 2x2 + y2 + z2 − 2x+ 4y + 2z − 3 = 0

C. x2 − y2 + z2 − 2x+ 4y + 2z − 3 = 0

D. x2 + y2 + 2z2 − 2x+ 4y + 2z − 3 = 0

Câu 2. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P ) đi qua M(1;−2; 4) và cóvectơ pháp tuyến −→n = (2;−3; 1) là

A. 2x+ 3y + z − 12 = 0�� B 2x− 3y + z − 12 = 0

C. 2x+ 3y + z + 12 = 0

D. 2x− 3y + z + 12 = 0

Câu 3. Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng (d) đi qua A(2; 3;−1) và cóvectơ chỉ phương −→u = (2;−2; 3)

A.

x = 2 + 2t

y = 3− 2t

z = −1− 3t

B.

x = 2 + 2t

y = 3− 2t

z = 1 + 3t

�� Cx = 2 + 2t

y = 3− 2t

z = −1 + 3t

D.

x = 2 + 2t

y = 3− 2t

z = 1 + 3t

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

x = 1 + 2t

y = −3 + 4t

z = 4− 2t

vectơ nào sau đây

không phải là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)?



A. −→u (2; 4;−2) B. −→u (4; 8;−4) C. −→u (1; 2;−1)�� D −→u (2; 4; 2)

2.3 Nhìn đáp án chọn nhanhCâu 1. Trong không gian Oxyz, cho phương trình mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y + 2)2 +(z − 3)2 = 16. Tâm I và bán kính R của mặt cầu là

A. (−1; 2;−3) và R = 16�� B (1;−2; 3) và R = 4

C. (−1; 2;−3) và R = 4

D. (1;−2; 3) và R = 16

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho phương trình mặt cầu (S) : x2+ y2+ z2+2x− 2y−6z − 5 = 0. Tâm I và bán kính R của mặt cầu là�� A (−1; 1; 3) và R = 4

B. (1;−1;−3) và R = 4

C. (2;−2;−6) và R = 4

D. (1;−1;−3) và R = 16

Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 3x − y + 2z − 4 = 0, mặt phẳng(Q) qua A(2; 4;−1) và song song với (P ) là�� A 3x− y + 2z = 0

B. 3x− y − 2z − 4 = 0

C. 3x− 2y + 2z − 4 = 0

D. 3x+ y + 2z − 4 = 0

Câu 4. Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2; 3;−5) và

song song với đường thẳng ∆ :

x = −2 + 2t

y = 3− 4t

z = −5t

là

A.

x = 2 + 2t

y = 3− 4t

z = 5− 5t

�� Bx = 2 + 2t

y = 3− 4t

z = −5− 5t

C.

x = 2− 2t

y = 3− 4t

z = 5− 5t

D.

x = −2 + 2t

y = −3 + 4t

z = −5 + 5t

3 Một số bài tập áp dụngCác bài tập sau đều xét trong không gian Oxyz.Câu 1. Cho tam giác ABC có A(2; 1; 4), B(−2; 2;−6), C(6; 0;−1). Trọng tâm G của tamgiác ABC là điểm có tọa độ

A. G(2; 1; 1)�� B G(2; 1;−1) C. G(2;−1; 1) D. G(2;−1;−1)

Câu 2. Cho mặt cầu (S) có phương trình: (x+ 2)2+(y − 1)2+(z + 3)2 = 9. Tọa độ tâmI và bán kính R của (S) là

A. I(2; 1; 3) và R = 3

B. I(−2; 1; 3) và R = 9

�� C I(−2; 1;−3) và R = 3

D. I(−2; 1;−3) và R = 9

Câu 3. Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình mặt cầu?A. 2x2 + y2 + z2 − 3x+ y + z − 2 = 0�� B x2 + y2 + z2 − 10x+ 2y + 26z + 170 = 0



C. x2 − y2 + z2 − 10x+ 2y + 26z + 170 = 0

D. x2 + y2 + z2 − 10x+ 2y + 26z + 200 = 0

Câu 4. Trong các phương trình sau phương trình nào KHÔNG là phương trình mặt cầu?A. x2 + y2 + z2 − 8x− 2y + 1 = 0

B. 3x2 + 3y2 + 3z2 − 6x+ 8y + 15z − 3 = 0

C. x2 + y2 + z2 + 4x− 2y + 6z + 5 = 0�� D x2 + y2 + 2z2 + 4x− 2y + 6z + 5 = 0

Câu 5. Phương trình mặt phẳng (P ) đi quaM(1;−2; 4) và có vectơ pháp tuyến −→n (2; 3; 5)là

A. 2x− 3y + 5z − 16 = 0

B. 2x− 3y − 5z − 18 = 0

�� C 2x+ 3y + 5z − 16 = 0

D. 2x+ 3y + 5z − 18 = 0

Câu 6. Phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A(2;−1; 2) và song song với mặt phẳng(Q) : 2x− y + 3z + 4 = 0 là

A. 2x− y + 3z + 4 = 0

B. 2x+ y + 3z − 11 = 0

C. x− y + 3z + 4 = 0�� D 2x− y + 3z − 11 = 0

Câu 7. Cho mặt phẳng (P ) : 2x− y + 2z − 9 = 0 và điểm A(2; 4;−3). Khoảng cách d từA đến (P ) là�� A d = 5 B. d = 4 C. d = 3 D. d = 6

Câu 8. Cho ba vectơ −→a (−1; 2;−1), −→b (2;−1; 1), −→c (−3; 4; 5). Vectơ −→d = 12−→a −3

−→b +5−→c

có tọa độ�� A −→d(−43

2; 24; 43

2

)B. −→d

(432; 24; 43

2

)C. −→d

(−432;−24; 43

2

)D. −→d (43; 24; 43)

Câu 9. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua 3 điểm A(1;−1; 2), B(−3; 0; 4), C(1; 1; 0) là�� A 3x+ 4y + 4z − 7 = 0

B. 2x+ y + z = 0

C. 4x− y − z + 1 = 0

D. x− y + 3 = 0

Câu 10. Phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;−2; 4) và vuông góc với mặt phẳng(P ) : 2x− y − z + 3 = 0 là

�� Ax = 3 + 2t

y = −2− t

z = 4− t

B.

x = 3− 2t

y = −2− t

z = 4 + t

C.

x = 3 + 2t

y = 2− t

z = 4− t

D.

x = 3− 2t

y = −2− t

z = 4− t

4 Kết luậnTrên đây là một số phương pháp dạy học theo hình thức trắc nghiệm khách quan và đâylà năm đầu tiên áp dụng dạy theo phương pháp trắc nghiệm vì thế mặc dù cố gắng xongvẫn còn nhiều thiếu sót. Tôi rất mong sự đóng góp, sẻ chia của tất cả quý đại biểu vàquý đồng nghiệp để tôi đạt được kết quả tốt hơn trong công tác giảng dạy. Chân thànhcảm ơn!



THEO HƯỚNG THI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUANTrường THPT Trần Văn Bảy

1 Đặt vấn đềTheo phương án của Bộ GD&ĐT, kì thi THPT quốc gia 2017 sẽ tổ chức theo 5 bài thi.Thí sinh sẽ phải thi 4 bài thi bao gồm 3 bài bắt buộc Toán, Ngữ văn, Ngoại ngữ và mộtbài tự chọn Khoa học tự nhiên (Lí, Hóa, Sinh) hoặc Khoa học xã hội (Sử, Địa, GDCD).Về đề thi, môn Toán sẽ thi theo hình thức trắc nghiệm bao gồm 50 câu, thời gian làmbài 150 phút. Đây là lần đầu tiên môn Toán được Bộ GD&ĐT cho thi với hình thức trắcnghiệm, do đó, để giúp giáo viên và đặc biệt là học sinh lớp 12 định hướng hình thứccũng như cấu trúc đề thi thì đầu tháng 10 năm 2016 Bộ GD&ĐT đã ra đề thi minh họacác bài thi. Đề thi minh họa môn Toán được đánh giá phù hợp, có tính phân loại tốt vàkiến thức chủ yếu ở lớp 12.Trong đề thi minh họa, phần kiến thức Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 8 câu,từ câu 43 đến câu 50. Việc dạy kiến thức, phương pháp trả lời câu hỏi trắc nghiệm phầnnội dung này được giáo viên bộ môn các trường THPT trong và ngoài tỉnh Sóc Trăng hếtsức quan tâm và đầu tư. Thay mặt Ban giám hiệu trường THPT Trần Văn Bảy tôi xintrình bày tham luận về “Dạy học Phương pháp tọa độ trong không gian” theo hướng thitrắc nghiệm khách quan.

2 Nội dungTrong hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh phải lĩnh hội kiến thức vừa sâu vừarộng vì câu hỏi trắc nghiệm có thể cho ở bất cứ nội dung nào trong chương trình học.Theo qui định của Bộ GD&ĐT, kiến thức trong các bài thi trong kì thi THPT quốc giahoàn toàn nằm trong chương trình cơ bản. Tuy nhiên, học sinh có thể sử dụng kiến thứctrong chương trình năng cao để giải toán. Do đó, yêu cầu người giáo viên phải đảm bảophần kiến thức cơ bản cho các em và có thể bổ sung một số kiến thức nâng cao. Việc bổsung kiến thức nâng cao hết sức cần thiết trong việc trả lời các câu hỏi trắc nghiệm, cóthể giúp các em trả lời câu hỏi nhanh hơn so với sử dụng kiến thức cơ bản, thêm vào đóhọc sinh cần kết hợp với việc sử dụng máy tính cầm tay để hỗ trợ các em hoàn thành câuhỏi chính xác và nhanh chóng.Trong tham luận này, các bài tập trắc nghiệm sau đây đều xét trong không gian Oxyz.

2.1 Hệ tọa độ trong không gian2.1.1 Kiến thức cơ bản

Yêu cầu học sinh nắm vững toàn bộ các kiến thức về Hệ tọa độ trong không giantrong sách giáo khoa (chương trình Cơ bản)

16


Một số câu hỏi trắc nghiệm minh họa

Câu 1. Cho ba vectơ −→a = −−→i +

−→j ,

−→b =

−→i +

−→j và −→c =

−→i +

−→j +

−→k . Khẳng định nào

sau đây là khẳng định sai?

A. |−→a | =√2 B. |−→c | =

√3 C. −→a ⊥

−→b

�� D −→b ⊥−→c

Câu 2. Cho ba vectơ −→a = −−→i +

−→j ,

−→b =

−→i +

−→j và −→c =

−→i +

−→j +

−→k . Khẳng định nào

sau đây là khẳng định đúng?

A. −→a .−→c = 1.

B. −→a ,−→b cùng phương.

�� C cos(−→b ,−→c ) = 2√6.

D. −→a +−→b +−→c =

−→0 .

2.1.2 Kiến thức nâng cao

• Công thức tính diện tích của tam giác ABC: S∆ABC = 12

∣∣∣[−→AB,−→AC

]∣∣∣• −→u ,−→v cùng phương ⇔ [−→u ,−→v ] =

−→0 .


Câu 1. Cho tam giác ABC, biết A(1;−1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 1; 1). Tính diện tích S củatam giác ABC.

A. S =√562

�� B S =√652

C. S =√972

D. S =√792

Câu 2. Cho hai điểm A(1;−1; 3), B(3; 0; 1). Tìm tọa độ điểm C để diện tích của tam giácABC bằng 3

√2

2, biết C nằm trên trục Ox và có hoành độ dương.

A. C(1; 1; 0) B. C(2; 0; 2) C. C(0; 0; 2)�� D C(2; 0; 0)

3 Phương trình mặt phẳng

3.1 Kiến thức cơ bảnYêu cầu học sinh nắm vững toàn bộ các kiến thức về Phương trình mặt phẳng trong sáchgiáo khoa (chương trình Cơ bản)


Câu 1. Cho mặt phẳng (α) : y − 2z = 0. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. (α) ∥ Ox. B. (α) ∥ Oy�� C (α) ⊃ Ox D. (α) ∥ (Oyz)

Câu 2. Cho ba điểm A(1;−1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 5). Phương trình mặt phẳng (ABC) là�� A 12x− 2y + 11x− 47 = 0

B. 12x+ 2y + 11x− 43 = 0

C. 12x− 2y + 11x+ 63 = 0

D. 12x+ 2y + 11x− 63 = 0




• Cho bốn điểm A,B,C,D phân biệt. Khi đó: A,B,C,D không đồng phẳng khi vàchỉ khi

[−→AB,

−→AC

].−−→AD = 0

• Công thức tính thể tích khối hộp ABCD.A′B′C ′D′ là

VABCD.A′B′C′D′ =∣∣∣[−→AB,

−−→AD

].−−→AA′

∣∣∣• Công thức tính thể tích tứ diện ABCD là VABCD = 1

6

∣∣∣[−→AB,−→AC

].−−→AD

∣∣∣Một số câu hỏi trắc nghiệm minh họa

Câu 1. Cho bốn điểm A(0; 2;−2), B(−3; 1;−1), C(4; 3; 0) và D(1; 2;m). Tìm m để bốnđiểm A,B,C,D đồng phẳng.

A. m = −5 B. m = 5�� C m = 1 D. m = −1

Câu 2. Cho tứ diện ABCD biết A(1; 2;−3), B(0; 2;−4), C(5; 3; 2) và D(42; 0; 0). Tínhđộ dài đường cao h của tứ diện ABCD kẻ từ D.

A. h = 36�� B h = 12

√3 C. h = 3

√3 D. h = 9

3.2 Phương trình đường thẳng trong không gian3.2.1 Kiến thức cơ bản

Yêu cầu học sinh nắm vững toàn bộ các kiến thức về Phương trình đường thẳng trongkhông gian trong sách giáo khoa (chương trình Cơ bản)


Câu 1. Cho đường thẳng ∆ :

x = −2 + 3t

y = 4

z = 3− t

. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ

phương của ∆?

A. −→u1 = (−2; 4; 3) B. −→u2 = (3; 4;−1)�� C −→u4 = (3; 0;−1) D. −→u3 = (−2; 0;−1)

Câu 2. Cho hai đường thẳng d :

x = 1 +mt

y = t

z = −1 + 2t

và d′ :

x = 1− t′

y = 2 + 2t′

z = 3− t′. Tìm m để d và

d′ cắt nhau.�� A m = 0 B. m = 1 C. m = 2 D. m = 4




• Góc

∗ Cho hai đường thẳng d và d′ lần lượt có vectơ chỉ phương −→u = (a; b; c) và−→u′ = (a′; b′; c′). Góc α giữa hai đường thẳng đó được tính theo công thức

cosα =|−→u .−→v ||−→u | . |−→v |

=|aa′ + bb′ + cc′|

√a2 + b2 + c2.

√a′2 + b′2 + c′2

(0◦ ⩽ α ⩽ 90◦)

∗ Cho hai đường thẳng d có vectơ chỉ phương −→u = (a; b; c) và (P ) có vectơ pháptuyến −→n = (A;B;C). Góc α giữa đường d và (P ) thì α được tính theo côngthức

cosα =|−→u .−→n ||−→u | . |−→n |

=|aA+ bB + cC|√

a2 + b2 + c2.√A2 +B2 + C2

(0◦ ⩽ α ⩽ 90◦)

• Khoảng cách

∗ Khoảng cách từ điểm M1 tới đường thẳng ∆ (đi qua M0 và có vectơ chỉ phương−→u ) là

d(M1,∆) =

∣∣∣[−−−−→M1M0,−→u]∣∣∣

|−→u |

∗ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ (đi qua M0 và có vectơ chỉphương −→u ) và ∆′ (đi qua M

′0 và có vectơ chỉ phương

−→u′ ) là

d(∆,∆′) =

∣∣∣[−→u ,−→u′].−−−−→M0M

′0

∣∣∣∣∣∣[−→u ,−→u′]∣∣∣


Câu 1. Cho đường thẳng d : x−21

= y−12

= z1và điểm A(−1; 2; 3). Viết phương trình mặt

cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với d.�� A (S) : (x+ 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 553

B. (S) : (x+ 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 559

C. (S) : (x+ 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 173

D. (S) : (x+ 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 559

Câu 2. Cho đường thẳng d :

x = 1− t

y = 2

z = t

và mặt phẳng (P ) : y − z = 0. Tính số đo

của góc α tạo bởi d và (P ).�� A α = 300 B. α = 600 C. α = 450 D. α = 900



4 Kết luậnDạy học chủ đề Phương pháp tọa độ trong không gian theo hướng trắc nghiệm kháchquan yêu cầu học sinh không những nắm vững phần kiến thức cơ bản mà còn bổ sungmột số kiến thức ở phần nâng cao nhằm đạt kết quả cao trong việc trả lời các câu hỏitrong đề thi. Theo cách thi mới, mọi nội dung kiến thức đều quan trọng như nhau, do đóhọc sinh không được “học lướt” bất cứ phần nào, mới có thể đạt kết quả cao nhất. Chủđề này là phần nối tiếp của chủ đề hình học không gian cổ điển trong chương trình lớp11, vì thế để học tốt học sinh cần nắm vững kiến thức về hình học không gian cổ điển.Trên đây là báo cáo tham luận về “Dạy học chủ đề Phương pháp tọa độ trong không giantheo hướng thi trắc nghiệm khách quan” của trường THPT Trần Văn Bảy, vì bài thamluận thực hiện trong thời gian ngắn nên khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong sự đóng gópcủa quí thầy, cô để nhà trường có hướng khắc phục hạn chế, phát huy ưu điểm, phấn đấuđạt kết quả tốt nhất ở bộ môn Toán trong kì thi THPT Quốc gia 2017.


DẠY HỌC CHỦ ĐỀKHỐI ĐA DIỆN, MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

THEO HƯỚNG THI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUANTrường THPT Lịch Hội Thượng

1 Những kĩ năng cần thiết để giải bài toán thể tíchvà khoảng cách của khối đa diện, khối tròn xoay

1.1 Kĩ năng dựng hìnhBài toán trắc nghiệm thường hình vẽ không phức tạp, học sinh cần dựng hình nhanh vàchuẩn theo các yêu cầu sau:

• Dựng đa giác đáy, chân đường cao tùy theo từng loại (Mục 8 trong phụ lục).

• Dựng đường cao theo hướng thẳng đứng từ đỉnh xuống mặt đáy.

• Dựng các cạnh bên, các góc giữa cạnh với mặt, mặt với mặt

• Lưu ý chú thích tất cả các yếu tố bài toán đã cho, ví dụ như: đánh dấu các cạnhbằng nhau,các góc bằng nhau, các góc vuông... ghi số đo các cạnh và góc đã chohoặc suy ra được từ tính chất các đa giác đặc biệt đã nêu trong mục 6, 7).

• Đặc biệt rèn luyện học sinh kỉ năng dựng góc một cách thành thạo (Đa phần đềudựa vào đường cao để suy ra hình chiếu các cạnh, từ đó suy ra góc, mục 9)

1.2 Kĩ năng tính diện tích đáy và đường cao• Ngoài các hình mà công thức đã nêu trong mục 2.6, cần chú ý một số trường hợp

đáy bị chia nhỏ thành nhiều tam giác, hoặc bị cắt ra từ một đa giác khác dẫn đếnviệc tính diện tích trực tiếp trở nên khó khăn hơn, ta có thể dùng tổng hoặc hiệucác đa giác khác để tính gián tiếp, hoặc dựa vào tỉ số đường cao, tỉ số cạnh đáy đểtính diện tích.

• Đường cao bao giờ cũng kết hợp với một cạnh ở mặt đáy (Đi qua chân đường cao)tạo thành một tam giác vuông, ta chọn một tam giác vuông thích hợp (có ít nhất2 cạnh, hoặc 1 cạnh 1 góc đã xác định) để tính đường cao ( mục 1, 2)

• Có khi đường cao còn được tính gián tiếp bởi công thức: h = 3VB

(Đối với khối chóp)

1.3 Kĩ năng xác định và tính khoảng cách (Mục 10)• Khoảng cách từ chân đường vuông góc đến 1 mặt phẳng

Đây là kĩ năng cơ bản nhất trong bài toán khoảng cách, đa phần các bài toán khácnhư: khoảng cách từ 1 điểm bất kì đến 1 mặt phẳng, khoảng cách giữa 2 đườngthẳng chéo nhau đều có thể liên kết về chân đường vuông góc để tìm khoảng cách.

21


Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoitâm O, cạnh a, góc BAD = 60◦, có SO vuông góc mặt phẳng(ABCD) và SO = a.a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).b) Tính khoảng cách từ đường thẳng A đến mặt phẳng(SBC).c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và SB.

Lời giải.a) Hạ OK⊥BC ⇒ BC⊥ (SOK)

Trong (SOK) kẻ OH⊥SK ⇒ OH⊥ (SBC) ⇒ d (O, (SBC)) = OH

Ta có ∆ABD đều ⇒ BD = a ⇒ BO = a2; AC = a

√3

Trong tam giác vuông OBC có: 1OK2 = 1

OB2 +1

OC2 = 133a2

⇔ OK = a√39

13

Trong tam giác vuông SOK có: 1OH2 = 1

OS2 +1

OK2 = 163a2

⇔ OH = a√3

4

Vậy d (O, (SBC)) = OH = a√3

4

b) Ta chứng minh được: ACOC

= EKOK

= EFOH

= 2

Nên trong bài toán trắc nghiệm, ngay từ đầu học sinh chỉ cần căn cứ vào AC = 2OC đểsuy ra: d (A, (SBC)) = 2d (O, (SBC)) = a

√3

2(Không cần chứng minh gì cả).

c) Do AD song song BC nên AD song song với (SBC). Do đó:d (AD,SB) = d (AD, (SBC)) = d (A, (SBC)) = 2d (O, (SBC)) = a

√3

2

• Khoảng cách từ 1 điểm bất kì thuộc mặt đáy đến 1 mặt phẳngKẻ đoạn thẳng từ điểm ấy qua chân đường vuông góc đến cắt mặt phẳng đang xéttại một điểm, tính tỉ số độ dài các đoạn thẳng từ đó suy ra tỉ số khoảng cách (câu(b) của ví dụ)

• Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhauTừ đường thẳng này tìm hoặc kẻ đường thẳng song song với đường thẳng kia đưavề dạng khoảng cách giữa 1 đường thẳng song song với 1 mặt phẳng, đó cũng làkhoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng đến mặt phẳng (xem mục 10và ví dụ câu (c)).

2 Phụ lục các kiến thức cơ bản1. Tỉ số góc nhọn trong tam giác vuông

sinα =AB

BC; cosα =

AC

BC

tanα =AB

AC; cotα =

AC

AB

2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

• BC2 = AB2 + AC2 (định lý Pitago)• AB2 = BH.BC



• AC2 = CH.BC

• AH2 = BH.CH

• AB.AC = BC.AH

3. Định lí côsin

• a2 = b2 + c2 = 2bc cosA• b2 = a2 + c2 = 2ac cosB• c2 = a2 + b2 = 2ab cosC

4. Định lí Sina

sinA =b

sinB =c

sinC = 2R

5. Định lí Talet

Trong tam giác ABC biết MN ∥ BC

a) AM

AB=

AN

AC=

MN

BC

b) AM

MB=

AN

NC

6. Diện tích trong hình phẳng

(a) Tam giác thường:S = 1

2AH.BC = 1

2ab sinC =√

p(p− a)(p− b)(p− c) = abc4R

= prplà nửa chu vi, R bán kính đường tròn ngoạitiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp.

(b) Tam giác đều cạnh a

i. Đường cao: h = a√3

2;

ii. Diện tích S = a2√3

4

iii. Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực.(c) Tam giác vuông

i. S = 12ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

ii. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền.(d) Tam giác vuông cân (nửa hình vuông)

i. S = 12a2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau)

ii. Cạnh huyền bằng a√2.

(e) Nửa tam giác đều:i. Là tam giác vuông có một góc bằng 30◦

hoặc 60◦.ii. BC = 2AB

iii. AC = a√3

2

iv. S = a2√3

8



(f) Tam giác cân:i. S = 1

2ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

ii. Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đườngtrung trực.

(g) Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)(h) Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)(i) Hình vuông:

i. S = a2

ii. Đường chéo bằng a√2

(j) Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)S = AB.AD. sin(BAD) (Với hình bình hành ABCD)

(k) Hình thang: S = 12h.(đáy lớn+ đáy bé)

(l) Đường tròn:i. C = 2πR (R: bán kính đường tròn)ii. S = πR2 (R: bán kính đường tròn)

7. Công thức thể tích

(a) Thể tích khối chóp:V = 1

3B.h

B: Diện tích đa giác đáy.h: Độ dài đường cao.• Khối tứ diện đều (cạnh a): V = a3

12

• Khối chóp tứ giác đều (cạnh a): V = a3√2

6

• Khối bát diện đều (cạnh a): V = a3√2

3

(b) Thể tích khối lăng trụ:V = B.hB: Diện tích đa giác đáy.h: Độ dài đường cao.• Hình lập phương (cạnh a): V = a3,

đường chéo bằng a√3.

• Hình hộp chữ nhật (có ba kích thước làa, b, c):V = abc, đường chéo bằng√a2 + b2 + c2.

(c) Thể tích khối trụ:V = πR2h (R: bán kính đường tròn đáy, h: độ dài đường cao)Diện tích xung quanh: S = 2πRl (l: đường sinh)

(d) Thể tích khối nón:V = 1

3πR2h (R: bán kính đường tròn đáy, h: độ dài đường cao)

Diện tích xung quanh: S = πRl (l: đường sinh)



(e) Tỷ số thể tích:

• Cho khối chóp S.ABC, A′ ∈ SA,B′ ∈ SB, C ′ ∈ SCVS.ABC

VS.A′B′C′=

SA.SB.SC

SA′.SB′.SC ′

• M ∈ SC, ta cóVS.ABM

VS.ABC

=SA.SB.SM

SA.SB.SC=

SM

SC

8. Đường cao trong hình chóp, lăng trụ, và hình tròn xoay

(a) Đường cao hình chópi. Chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, đường cao chính là cạnh bên ấy.ii. Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy, đường cao là giao tuyến của hai mặt

bên vuông góc đáy.iii. Chóp có mặt bên (hoặc mặt phẳng có chứa đỉnh) vuông góc đáy, đường

cao nằm trong mặt bên (hoặc mặt phẳng có chứa đỉnh) vuông góc với đáytại giao tuyến.

iv. Chóp đều, đường cao từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.v. Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnh lên xuống mặt đáy thuộc một

cạnh của mặt đáy, đường cao là từ đỉnh tới hình chiếu.(b) Đường cao của lăng trụ.

i. Lăng trụ đứng, đường cao là cạnh bên.ii. Lăng trụ xiên, đường cao từ một đỉnh tới hình chiếu của nó thuộc một

cạnh nằm trong mặt đáy.(c) Đường cao của hình nón: từ đỉnh đến tâm đường tròn đáy.(d) Đường cao của hình trụ: đường nối tâm của 2 đường tròn đáy (hoặc đường

sinh).

9. Góc

(a) Góc giữa hai đường thẳng đưa về góc hai đường thẳng cắt nhau(b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu

của nó lên mặt phẳng.

Góc φ giữa d và (α): d cắt (α) tại O vàA ∈ d

Nếu{AH⊥(α)

H ∈ (α)thì góc giữa d và (α) là φ

hay ∠AOH = φ

(c) Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuônggóc với giao tuyến cùa hai mặt phẳng đó tại một điểm



Góc giữa 2 (α) và (β):

Nếu

(α) ∩ (β) = AB

FM⊥AB,EM⊥AB

EM ⊂ (α), FM ⊂ (β)

10. Khoảng cách

(a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳngd (M,a) = MH; d (M, (P )) = MH

trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P ).(b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng

song songd(a, (P )) = d(M, (P )) trong đó M là điểm bất kì nằm trên a.d((P ), (Q)) = d(M, (Q)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P ).

(c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau• Đường thẳng ∆ cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường

vuông góc chung của a, b.• Nếu ∆ cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.• Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b.• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một

trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và songsong với nó.

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa haimặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

3 Một số bài tập trắc nghiệm minh họaCâu 1. Cho khối chóp S.ABCcó SA⊥ (ABC) tam giác ABC vuông tại B, AB = a,AC =a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết rằng SB = a

√5.�� A a3

√2

3B. a3

√6

4C. a3

√6

6D. a3

√15

6

Câu 2. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên (SAB)và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết SC = a

√3.

A. 2a3√6

9

�� B a3√6

12C. a3

√3

4D. a3

√3

2

Câu 3. Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a. Hai mặt (ABC) và (ASC)cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp.�� A a3

√3

12B. a3

√3

4C. a3

√3

6D. a3

√2

12

Câu 4. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biếtSA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60◦. Tính thể tích hình chóp.



�� A a3√6

24B. a3

√3

24C. a3

√6

8D. a3

√6

48

Câu 5. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông gócvới đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60◦. Tính thể tích hình chóp.�� A a3

√3

8B. a3

√3

12C. a3

4D. a3

√3

4

Câu 6. Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′ có đáy là tam giác vuông tại A, AC = a,ACB = 60◦. Đường chéo BC ′ của mặt bên (BCC ′B′) tạo với mặt phẳng (AA′C ′C) mộtgóc 30◦. Tính thể tích của khối lăng trụ theo a.�� A a3

√6 B. a3

√6

3C. 2a3

√6

3D. 4a3

√6

3

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trongmặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AC = 2a, BD = 3a. Tính khoảng cách giữa hai đườngthẳng AD và SC.

A. 13

√208217

a B. 12

√208217

a C.√

208217

a�� D 3

2

√208217

a

Câu 8. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên của hình chóp tạovới đáy góc 60◦. Mặt phẳng (P ) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắtSC, SD lần lượt tại M,N . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMN .

A. 5a3√3

3B. 2a3

√3

3

�� C a3√3

2D. 4a3

√3

3

Câu 9. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếuvuông góc của A′ xuống (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (ACC ′A′) tạo với đáygóc 45◦. Tính thể tích khối lăng trụ này.�� A 3a3

16B. a3

√3

3C. 2a3

√3

3D. a3

16

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a, AD = 2a,BAD = 60◦, SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và đáy bằng 60◦. Thể tích khối chópS.ABCD bằng:

A. 2a3√3 B. a3

√3

�� C a3√7 D. 2a3

√7

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = a√172

hình chiếuvuông góc H của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểmcủa AD. Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a.

A. 3a5

B. a√3

7C. a

√215

�� D √3a5

Câu 12. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. Tính khoảngcách từ M đến (ABC).

A. a�� B a

√6

6C. a

√6

4D. a

√6

3

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trongmặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AC = 2a, BD = 3a. Tính khoảng cách giữa hai đườngthẳng AD và SC.



A. 13

√208217

a B. 12

√208217

a C.√

208217

a�� D 3

2

√208217

a

Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = avà vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi I là trung điểm của SC, khoảng cách từ I đến mặtphẳng (SBD) bằng�� A a

√3

6B. a

√3

2C. a

√10

10D. a

2

Câu 15. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4,AB = 3, BC = 5. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng

A. 617

�� B 12√34

C. 2√3

17 D.√

617

Câu 16. Cho một khối trụ có khoảng cách giữa hai đáy bằng 10, biết diện tích xungquanh của khối trụ bằng 80π. Thể tích của khối trụ là:

A. 160π B. 164π C. 64π D. 144π

Câu 17. Cho một khối trụ có độ dìa đường sinh bằng 10, biết thể tích của khối trụ bằng90π. Diện tích xung quanh của khối trụ là:

A. 81π B. 64π C. 78π D. 36π

Câu 18. Cho khối nón có đỉnh S, cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua đỉnh tạo thànhthiết diện là tam giác SAB. Biết khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến thiết diệnbằng 2, AB = 12, bán kính đường tròn đáy bằng 10. Chiều cao h của khối nón là:

A. 8√15

15B. 2

√15

15C. 4

√15

15D.

√15

Câu 19. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc vớinhau đôi một và SA = a, SB = b, SC = c.

A. a+b+c2

B. a2+b2+c2

2C. a2+b2+c2

4D. a2 + b2 + c2

Câu 20. Một lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng 4, diện tích của mặt cầu ngoại tiếplà 64π. Chiều cao của lăng trụ là:

A. 6 B. 4 C. 4 D. 3


XÂY DỰNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆMTỪ BÀI TOÁN TỰ LUẬN

Trường THPT Mỹ Xuyên

1 Đặt vấn đềVào ngày 28 tháng 9 năm 2016, Bộ GD&ĐT đã có công văn số 4818/BGDĐT-KĐCLGDqui định về phương án tổ chức thi THPT Quốc gia 2017. Theo đó, môn toán sẽ thi theohình thức trắc nghiệm khách quan với nội dung thi trong chương trình lớp 12 THPT. Đểđáp ứng tốt với những thay đổi này thì việc giảng dạy của giáo viên và học tập học sinhcần được điều chỉnh một cách kịp thời và thích hợp nhất. Ở mỗi tiết dạy, song song vớiviệc tổ chức học tập như trước đây thì việc rèn luyện các dạng bài tập trắc nghiệm ứngvới từng đơn vị kiến thức của từng bài, từng chương, từng chủ đề cần được quan tâmtối đa. Trước nhiệm vụ mới này, chúng tôi mong muốn tự xây dựng ra được một ngânhàng câu hỏi trắc nghiệm đủ lớn, có chất lượng theo từng chủ đề để phục vụ cho việc dạygiảng, và công tác ra đề kiểm tra, đánh giá năng lực học sinh ở đơn vị mình công tác,đồng thời giúp các em học sinh tiếp cận một cách tốt nhất với hình thức thi mới trong kìthi THPT Quốc gia năm 2017 và các năm tiếp theo.Với mục tiêu đó, tổ Toán - Tin học trường THPT Mỹ Xuyên xin gửi đến hội thảo thamluận “Xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ bài toán tự luận” khi dạy học chươngI và chương II của Hình học lớp 12.

2 Nội dung vấn đề

2.1 Thực trạngTrong Sách giáo khoa môn toán 12 hiện hành đa số các bài toán được cho theo hình thứctự luận, chỉ có một số ít câu hỏi cho dưới dạng trắc nghiệm ở phần ôn tập chương, giáoviên đứng lớp sẽ gặp khó khăn khi sử dụng sách giáo khoa để làm tài liệu hướng dẫn họcsinh ôn thi theo hình thức trắc nghiệm.

2.2 Giải phápÝ tưởng của chúng tôi rất đơn giản: với các bài toán trong sách giáo khoa, trước đâychúng ta dạy học sinh giải theo hình thức tự luận thì bây giờ chúng ta chuyển các bàitoán đó thành dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan với 4 lựa chọn. Tuy nhiên, nếu chỉchuyển một bài toán tự luận (tạm gọi là “bài toán gốc”) thành một câu hỏi trắc nghiệmthì quá đơn điệu và bỏ qua rất nhiều kiến thức có liên quan có thể khai thác được nhiềukiến thức từ bài toán nhờ vào quá trình phân tích trong khi tìm lời giải và quá trình nhìnlại bài toán khi đã giải đúng đáp số để tìm tòi, sáng tạo, phát triển, ứng dụng bài toánđể giải các bài toán khác khi có thể,… Cách làm của chúng tôi ở đây là khai thác tối đacác kiến thức có “chứa” trong “bài toán gốc” để tạo ra các câu hỏi dạng trắc nghiệm theocác mức độ từ dễ đến khó, và theo các cấp độ tư duy (nhận biết, thông hiểu, vận dụngthấp, vận dụng cao).

29


Một số lưu ý khi chúng tôi xây dựng câu hỏi trắc nghiệm từ bài toán tự luận

1. Tuân thủ quy trình biên soạn câu hỏi sau

• Bước 1: xác định được chủ đề dạy học để xây dựng câu hỏi trắc nghiệm nhằmkiểm tra, đánh giá năng lực của học sinh.

• Bước 2: xác định chuẩn kiến thức, kỹ năng của mỗi chủ đề trong chương trìnhsách giáo khoa hiện hành.

• Bước 3: xác định và mô tả các mức yêu cầu cần đạt của các câu hỏi khi xâydựng nhằm đánh giá được các cấp độ tư duy (nhận biết, thông hiểu, vận dụngthấp, vận dụng cao) của học sinh.

• Bước 4: Bắt đầu biên soạn bộ câu hỏi trắc nghiệm theo mỗi chủ đề đã xác địnhtheo các loại và các cấp độ tư duy.

2. Vận dụng tốt bảng mô tả cụ thể về phân loại các cấp độ tư duy (theo GS. BoleslawNiemierko)

Cấp độ tư duy Mô tả

Nhận biết Học sinh nhớ các khái niệm cơ bản, có thể nêu lênhoặc nhận ra chúng khi được yêu cầu.

Thông hiểu

Học sinh hiểu các khái niệm cơ bản và có thể vận dụngchúng khi chúng được thể hiện theo các cách tương tựnhư cách giáo viên đã giảng hoặc như các ví dụ tiêubiểu về chúng trên lớp học.

Vận dụng thấp

Học sinh có thể hiểu được khái niệm ở cấp độ cao hơn“thông hiểu”, tạo ra được sự liên kết lôgic giữa cáckhái niệm cơ bản và có thể vận dụng chúng để tổ chứclại các thông tin đã được trình bày giống với bài giảngcủa giáo viên hoặc trong sách giáo khoa.

Vận dụng cao

Học sinh có thể sử dụng các khái niệm về môn học -chủ đề để giải quyết các vấn đề mới, không giống vớicác điều đã được học hoặc trình bày trong sách giáokhoa nhưng phù hợp khi được giải quyết với kĩ năng vàkiến thức được giảng dạy ở mức độ nhận thức này. Đâylà những vấn đề giống với các tình huống học sinh sẽgặp phải ngoài xã hội.

2.3 Một số ví dụ minh họa'

&

$

%

Bài 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tamgiác vuông tại B, AB = 3a và BC = 4a. Cạnh bên SAvuông góc với (ABC) và góc giữa SB với (ABC) bằng60◦. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.



Một cách tự nhiên, chúng ta có câu hỏi trắc nghiệm sauCâu 1. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

A. 12a3√3 B. 6a3

√3 C. 2a3

√3 D. 18a3

√3

Nếu dừng lại phân tích thêm bài toán gốc này, ta có thể xây dựng được nhiều câu hỏi trắcnghiệm khác tùy theo yêu cầu về mức độ tư duy cần có của giáo viên dành cho học sinh,xin giới thiệu vài câu hỏi như sauCâu 2. Số đo của góc tạo bởi (SBC) và (ABC) bằng

A. 60◦ B. 90◦ C. 45◦ D. 30◦

Câu 3. Khoảng cách từ A đến (SBC) là bao nhiêu?

A. 3a√3 B. a

√13 C. 3a

√3

2D. 5a

Câu 4. Khoảng cách từ B đến (SAC) là bao nhiêu?

A. 3a B. 24√13

13a C. 12a D. 12

5a'

&

$

%

Bài 2. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C ′ có cạnhđáy bằng a. Gọi H là trung điểm BC, biết A′H = 2a.Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a?

Từ bài toán gốc này, bằng cách phân tích và khai thác các giả thiết theo nhiều đơn vị kiếnthức khác nhau ta có thể xây dựng được nhiều câu hỏi trắc nghiệm mà chưa đặt câu hỏitheo yêu cầu của bài toán, xin giới thiệu như sauCâu 1. Chiều cao của lăng trụ là bao nhiêu?

A. a√134

B. a√13 C. 2a D. 4a

Câu 2. Tính diện tích của tam giác A′BC theo a?

A. a2

2B. a2 C. 2a2 D. a2

√3

4

Câu 3. Thể tích khối tứ diện AA′B′C ′ bằng

A. a3

48B. 1

3a3 C. a3

√39 D. a3

√39

48

Câu 4. Tỉ số thể tích khối đa diện AB′C ′CB và lăng trụ ABC.A′B′C ′ là

A. 13

B. 12

C. 23

D. 32



#

"

!

Bài 3 (Bài 7 - Trang 50, chương II Sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản). Cho hìnhtrụ có bán kính đáy là r, trục OO′ = 2r, mặt cầu (S) có đường kính OO′.a) So sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ đó.b) So sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu tương ứng.

Xuất phát từ bài toán này chúng ta có thể xây dựng được một số câu hỏi trắc nghiệm,chẳng hạnCâu 1. Hãy so sánh diện tích mặt cầu (S) và diện tích xung quanh của hình trụ (Sxq)?

A. S < Sxq

B. S > Sxq

C. S = Sxq

D. Không so sánh được

Câu 2. Chiều cao của khối trụ là

A. r B. 2r C. 3r D. r2

Câu 3. Gọi VT là thể tích của khối trụ và VC là thể tích của khối cầu tương ứng. Khi đóVT

VClà?

A. 6 B. 16

C. 8 D. 18

Câu 4. Cho khối trụ và khối cầu. Biết diện tích xung quanh của hình trụ và diện tíchcủa mặt cầu đã cho bằng nhau. Gọi VT là thể tích của khối trụ và VC là thể tích của khốicầu tương ứng. Khi đó:

A. VT < VC

B. VT = VC

C. VT = VC

D. Không so sánh được

Câu 5. Nhà bạn An có một bể chứa nước mưa hình trụ. Một hôm, bạn Bình đến nhà Anchơi, Bình đi đến bên bể nước quan sát thì thấy nước không đầy bể. Bình dùng thước dâyđo thì thu được kết quả như sau: mực nước trong bể cách mặt đáy trên 0, 5m, chiều caocủa bể nước là 1, 8m. Do không xác định được tâm của mặt đáy trên nên Bình không xácđịnh được bán kính mặt đáy của bể nhưng Bình đo được chu vi của đáy trên là 5, 652m.Lấy π = 3, 14. An hỏi Bình bể này còn khoảng bao nhiêu m3 nước. Bình tính không được.Theo bạn nếu tính một cách gần đúng thì bể trên còn khoảng bao nhiêu m3 nước?

A. 1, 5m3 B. 2, 5m3 C. 3, 5m3 D. 4, 5m3

3 Kết luậnTrong thời đại bùng nổ thông tin như hiện nay, chúng ta không khó để tìm được nhữngbộ câu hỏi trắc nghiệm được soạn sẵn cho từng chủ đề. Tuy nhiên, việc áp dụng các tàiliệu này vào giảng dạy sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh là điều không dễdàng. Thiết nghĩ việc mỗi giáo viên có thể tự mình thiết kế những bộ câu hỏi trắc nghiệmphù hợp với học sinh của chính mình thì sẽ luôn là điều tốt nhất.Trên cơ sở các định hướng suy nghĩ khi xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm từ bài toán tựluận vừa trình bày, chúng ta có thể áp dụng cho nhiều bài toán khác của chương trìnhmôn toán THPT chứ không chỉ riêng hai chương I, II của phân môn Hình học 12.



THEO HƯỚNG THI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUANTrường THPT Lương Định Của

1 Lý thuyết

1.1 Hệ trục tọa độ Oxyz

1. Hệ trục tọa độ Oxyz

2. Tọa độ của điểmKí hiệu: M(x; y; z)

3. Tọa độ của vectơ−→u = x

−→i + y

−→j + z

−→k ⇒ −→u = (x; y; z)

4. Độ dài của vectơ−→u = (x; y; z) ⇒ |−→u | =

√x2 + y2 + z2

5. Độ dài của đoạn thẳng

AB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)

2 + (zB − zA)2

6. Tích vô hướng của hai vectơ−→a = (a1; a2; a3),

−→b = (b1; b2; b3)

−→a .−→b = |−→a |.|

−→b |. cos(−→a ;

−→b ) ⇒ −→a .

−→b = a1b1 + a2b2 + a3b3

7. Góc giữa hai vectơ−→a .

−→b = |−→a |.|

−→b |. cos(−→a ;

−→b ) ⇒ cos(−→a ;

−→b ) =

−→a .−→b

|−→a |.|−→b |

33


1.2 Mặt phẳng1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

−→n⊥(P ) ⇒ −→n là vectơ pháp tuyến−→n là vectơ pháp tuyến ⇒ k−→n (k = 0) là vectơ pháp tuyến

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳngM(x0; y0; z0) ∈ (P ); −→n = (A;B;C): vectơ pháp tuyến⇒ (P ) : A(x− x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳngCho hai mặt phẳng:(P ) : A1x+B1y + C1z +D1 = 0;(Q) : A2x+B2y + C2z +D2 = 0.

• (P ) ∥ (Q)

• (P ) ≡ (Q)

• (P ) ∩ (Q)

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngM(x0; y0; z0); (P ) : Ax+By + Cz +D = 0

⇒ d[M ; (P )] =|Ax0 +By0 + Cz0 +D|√

A2 +B2 + C2

5. Góc giữa hai mặt phẳng

1.3 Đường thẳng1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng −→u có giá song song hoặc trùng với đường thẳng

là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó (Giá của đường thẳng là đường thẳng chứavectơ đó).

2. Phương trình tham số của đường thẳngM(x0; y0; z0); −→u = (u1;u2;u3)

3. Phương trình chính tắc của đường thẳngM(x0; y0; z0); −→u = (u1;u2;u3)

4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: có 4 vị trí tương đối

• Song song• Trùng nhau• Chéo nhau• Cắt nhau

5. Góc giữa hai đường thẳng

6. Giao của đường thẳng và mặt phẳng

7. Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ta giải hệ phương trình.



1.4 Mặt cầu1. Phương trình mặt cầu: Tâm I(a; b; c) và bán kính R

• Dạng 1: (x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2

• Dạng 2: x2 + y2 + z2 − 2ax− 2by − 2cz + d = 0; R =√a2 + b2 + c2 − d

2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầuCho mặt cầu tâm I bán kính R và mặt phẳng (α)

d[I, (α)]: khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (α)

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầuTương tự như vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.

2 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho ba vectơ −→a = (5;−7; 2),−→b = (0; 3; 4),−→c = (−1; 1; 3). Tìm tọa độ vectơ

−→n = 3−→a + 4−→b + 2−→c .

A. −→n = (13;−7; 28) B. −→n = (13; 1; 3) C. −→n = (−1;−7; 2) D. −→n = (−1; 28; 3)

Câu 2. Cho ba điểm A(1; 1; 3), B(−1; 3; 2), C(−1; 2; 3). Tính tọa độ trung điểm I củađoạn AC.

A. I(0; 0; 6) B. I(0; 32; 3) C. I(−1

3; 2; 8

3) D. I(0; 3

2; 2)

Câu 3. Cho ba điểm A(1; 1; 3), B(−1; 3; 2), C(−1; 2; 3). Tính tọa độ trọng tâm G của tamgiác ABC.

A. G(0; 0; 6) B. G(0; 32; 3) C. G(−1

3; 2; 8

3) D. G(0; 3

2; 2)

Câu 4. Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A(1; 2; 0) và có tâm là gốc tọa độ O.

A. 2x2 + y2 + z2 = 5

B. x2 + 2y2 + 3z2 = 5

C. x2 + y2 + 2z2 = 5

D. x2 + y2 + z2 = 5

Câu 5. Cho mặt phẳng (P ) : x − 2y − 3z + 14 = 0 và điểm M(1;−1; 1). Phương trìnhtham số của đường thẳng d qua M và vuông góc với (P ) là



A.

x = 1 + 3t

y = −1− 2t

z = 1− t

B.

x = 1 + t

y = −1− 2t

z = 1− 3t

C.

x = 1− t

y = −1 + 2t

z = 1 + 3t

D.

x = −1 + t

y = 1− 2t

z = −1− 3t

Câu 6. Cho mặt phẳng (P ) : x− 2y − 3z + 14 = 0 và d :

x = 1 + t

y = −1− 2t

z = 1− 3t

. Tọa độ giao

điểm H của d và (P ).

A. H(0; 1; 1) B. H(0; 1; 2) C. H(0; 1; 4) D. H(0; 1; 3)

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho A (1;−5; 2); B(0;−2; 1). Viết phương trình mặtphẳng trung trực của AB.

A. x+ y + z − 72= 0

B. x+ y + z + 72= 0

C. 2x+ y + 3z − 72= 0

D. x+ 2y + z + 72= 0

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho B(0;−2; 1), C(1;−1; 4), D(3; 5; 2). Viết phương trìnhmặt phẳng của (BCD).

A. 2x− y − 1 = 0 B. 2x− y − 3 = 0 C. x− y − 3 = 0 D. x− y + 3 = 0

Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho A(1;−5; 2), B(0;−2; 1), , C(1;−1; 4), D(3; 5; 2). Viếtphương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).

A. (x− 1)2 + y2 = 13

B. x2 + y2 + (z − 1)2 = 13

C. (x− 1)2 + y2 + (z − 1)2 = 13

D. x2 + z2 = 13

Câu 10. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm: A(1; 0; 1), B(−1;−1; 2), C(0; 0; 2).

A. x− y + z − 2 = 0

B. x+ 2y − 3z + 16 = 0

C. x− y + 2z = 0

D. 2x− y + 3z − 1 = 0

Câu 11. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3).

A. x− y + z − 2 = 0

B. 6x+ 3y + 2z − 6 = 0

C. x+ 2y − 3z + 16 = 0

D. x− y + 2z = 0

Câu 12. Viết phương trình (α) đi qua điểm M(1;−1; 2) và song song với (β) : 2x− y +3z − 1 = 0.

A. 6x+ 3y + 2z − 6 = 0

B. x+ y + 2z − 9 = 0

C. 2x− y + 3z − 9 = 0

D. 3x+ 3y − z − 9 = 0

Câu 13. Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua điểm A(0; 2; 1) và vuông góc với đườngthẳng d :

x− 1

1=

y + 1

−1=

z

2·



A. x− y + z − 2 = 0

B. 6x+ 3y + 2z − 6 = 0

C. x+ 2y − 3z + 16 = 0

D. x− y + 2z = 0

Câu 14. Cho M(4;−1; 6), (d) :

x = 3− t

y = 1− 2t

z = 2 + 3t

. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua

M và vuông góc với đường thẳng (d).

A. x+ 2y − 3z + 16 = 0

B. x+ y + 2z − 9 = 0

C. 2x− y + 3z − 9 = 0

D. 3x+ 3y − z − 9 = 0

Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a = (−2; 1; 0); b = (1; 3;−2); c = (2; 4; 3).Tọa độ của −→u = −2−→a + 3

−→b −−→c là

A. (−3; 7; 9) B. (5; 3;−9) C. (−3;−7;−9) D. (3; 7; 9)

Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;−1; 1), B(5; 5; 4) và C(3; 2;−1). Tọađộ tâm G của tam giác ABC là

A.(103; 43; 2)

B.(13; 2; 4

3

)C.

(13; 43; 10

3

)D.

(103; 2; 4

3

)Câu 17. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD với A(0; 0; 1); B(0; 1; 0); C(1; 0; 0)và D(−2; 3;−1). Thể tích của ABCD là

A. V = 12

B. V = 13

C. V = 16

D. V = 14

Câu 18. Phương trình mặt cầu tâm I(2; 1;−2) bán kính R = 2 là

A. x2 + y2 + z2 + 2x− 4y − 6z + 10 = 0

B. (x+ 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 22C. (x− 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 32

D. x2 + y2 + z2 − 2x− 4y + 6z + 10 = 0

Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) vàC(0; 0; 3). Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.

A.

x = 0

y = 2− 2t

z = 3t

B.

x = t

y = −2− 3t

z = 1 + t

C.

x = 1 + t

y = −1− 2t

z = 1− 3t

D.

x = −1 + 3t

y = 1 + 2t

z = t

Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) vàC(0; 0; 3). Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A.

A. x+ 2y − 3z + 16 = 0

B. x− 2y − 1 = 0

C. 2x− y + 3z − 9 = 0

D. 3x+ 3y − z − 9 = 0

Câu 21. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu x2 + y2 + z2 − x− 2y − 3z = 0 là

A. Tâm I(12; 1; 3

2); bán kính R =

√132

B. Tâm I(1; 1; 3); bán kính R =√142

C. Tâm I(1; 2; 3); bán kính R =√14

D. Tâm I(12; 1; 3

2); bán kính R =

√142

Câu 22. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 3; 0). Mặt phẳng (P ) : x + y +2z + 1 = 0. Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P ).



A. N(1; 2;−2) B. N(1; 2; 3) C. N(1; 2; 2) D. N(1 : −2;−2)

Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x+ y+ 2z + 1 = 0 và mặtcầu (S) : x2+ y2+ z2− 2x+4y− 6z+8 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song songvới (P ) và tiếp xúc với mặt cầu (S).

A. 2x+ y + 2z − 11 = 0

B. x+ y + 2z − 11 = 0

C. x+ y + z − 11 = 0

D. x+ y + 2z − 1 = 0

Trên đây là một số dạng toán cơ bản của Hình học giải tích 12. Mặc dù có rất nhiều cốgắng nhưng chỉ gói gọn trong mấy trang A4 nên chắc chắn sẽ không hoàn thiện và cònnhiều thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của các đơn vị trường bạn.


DẠY HỌC CHỦ ĐỀNGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

THEO HƯỚNG THI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUANLâm Trường Khánh - Trường THPT Đoàn Văn Tố

1 Đặt vấn đềNăm học 2016 - 2017, Bộ GD&ĐT thay đổi phương án thi THPT quốc gia. Theo đó, mônToán chuyển từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm khách quan. Đây là hình thức thihoàn toàn mới mẽ đối với giáo viên cũng như học sinh của nhà trường. Trước những thayđổi trên tổ Toán trường THPT Đoàn Văn Tố đã có sự điều chỉnh phương pháp dạy vàhọc phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm không chỉ với học sinh lớp 12. Tất cả khôngngoài mục đích chuẩn bị kiến thức tốt nhất cho học sinh tham gia kì thi hai trong mộtđạt kết quả cao nhất có thể.Ngay khi Bộ GD&ĐT công bố đề thi minh họa, tổ Toán nhận thấy chương nguyên hàm,tích phân và ứng dụng có 7 câu. Trong đó có một số câu có thể giải bằng máy tính Casio,trong phần tham luận tổ Toán xin chia sẻ chương pháp giải Toán bằng máy tính cầm tay.Thông qua chủ đề, nguyên hàm, tích phân và ứng dụng theo định hướng thi trắc nghiệmkhách quan.

2 Giải quyết vấn đề

Dạng 1. Cho hàm số f(x) và các hàm số Fi(x), hãy xác định một trong các hàm sốFi(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).

• Cú pháp trên máy tính Casio: f(A)− ddx(Fi(x)) |x=A

Trong đó:

∗ f là hàm số cần xác định nguyên hàm.∗ Fi(x) là các phương án đã cho.

Biến A được nhập từ bàn phím để kiểm tra, A là hằng số thỏa mãn tập xác địnhvà có giá trị nhỏ. Nếu kết quả cho ít nhất một giá trị khác 0 thì loại phương án đó.Nếu kết quả luôn cho giá trị bằng 0 với một dãy giá trị của A thì chọn phương ánđó.

• Chú ý: để dễ đọc kết quả ta nên chọn máy tính ở chế độ fix− 9 (shift-mode-6-9).

Ví dụ 1 (Đề minh họa câu 23). Tìm nguyên hàm của hàm số

f(x) =√2x− 1

A.∫f(x)dx = 2

3(2x− 1)

√2x− 1 + C

39


B.∫f(x)dx = 1

3(2x− 1)

√2x− 1 + C

C.∫f(x)dx = −1

3

√2x− 1 + C

D.∫f(x)dx = 1

2

√2x− 1 + C

Nhập biểu thức vào máy tính Casio:√2A− 1− d

dx(1

3(2x− 1)

√2x− 1) |x=A

Dạng 2. Cho hàm số f(x) và các hàm số Fi(x), hãy xác định một trong các hàm sốFi(x) là một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x), sao cho f(x0) = C.

Cú pháp trên máy tính Casio: Fi(A)− C −A∫x0

f(x)dx

Trong đó x0 và C là những hằng số cho trước.

Ví dụ 2. Nguyên hàm F (x) =5

sinx+ 3 cos x+ 3dx thỏa mãn F (π

2) = 3 ln 2

A. F (x) = 3 ln∣∣5 tan x

2− 3

∣∣B. F (x) = ln

∣∣5 tan x2+ 3

∣∣ C. F (x) = ln∣∣5 tan x

2− 3

∣∣D. F (x) = 3 ln

∣∣5 tan x2+ 3

∣∣• Bước 1: Hướng dẫn học sinh chuyển đơn vị Deg sang Rad

• Bước 2: Nhập biểu thức:

ln∣∣∣∣5 tan(A

2

)+ 3

∣∣∣∣− 3 ln 2−A∫

π2

5

5 sin(x) + 3 cos(x) + 3dx

Dạng 3. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].Hãy xác định tích phân của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b].

Cú pháp trên máy tính Casio:b∫

a

f(x)dx

Ví dụ 3 (Đề minh họa câu 25). Tính tích phân I =π∫0

cos3x. sinxdx

A. I = −14π4 B. I = −π4 C. I = 0 D. I = −1

4

• Bước 1: Hướng dẫn học sinh chuyển đơn vị Deg sang Rad

• Bước 2: Nhập biểu thứcπ∫

0

(cos(x))3 sin(x)dx

Ví dụ 4 (Đề minh họa câu 26). Tính tích phân I =e∫1

x lnxdx



A. I =1

2

B. I =e2 − 2

2

C. I =e2 + 1

4

D. I =e2 − 1

4

• Cách 1: tương tự ví dụ trên nhưng kết quả rất lẻ nên khi tính xong tích phân, cácem phải tính từng kết quả của từng đáp án xem nó trùng với đáp án nào.

• Cách 2: Nhập biểu thứce∫

1

x ln(x)dx− A (với A là những đáp án đề bài cho).

Ví dụ 5. Trong các tích phân sau tích phân nào có giá trị bằng 116

A.2∫

0

x3

(1 + x2)3dx B.

2∫1

x3

(1 + x2)3dx C.

3∫1

x3

(1 + x2)3dx D.

1∫0

x3

(1 + x2)3dx

• Cách 1: Nhập trực tiếp các phương án vào máy tính.

• Cách 2: Nhập biểu thứcB∫

A

x3

(1 + x2)3dx sẽ có đáp án nhanh hơn.

Ví dụ 6. Trong các tích phân sau tích phân nào có giá trị bằng 2√2− 1

3·

A.1∫0

x2√x2 + 1dx B.

1∫0

x√x+ 1dx C.

1∫0

x2√x+ 1dx D.

1∫0

x√x2 + 1dx

Hướng dẫn học sinh nhập biểu thức:1∫0

xA√xB + 1dx.

Dạng 4. Ứng dụng của tích phân trong hình học

1. Cho (H) là hình phẳng được giới hạn bởiy = f(x); y = 0; x = a; x = b

Khi đó: SH =b∫a

|f(x)|dx; VOx = πb∫a

(f(x))2dx

2. Cho (H) là hình phẳng được giới hạn bởi y = f(x); y = g(x).

(a) Bước 1: giải phương trình f (x)− g (x) = 0 ⇔[x = ax = b

(b) Bước 2: khi đó SH =b∫a

|f(x)− g(x)|dx

VOx = πb∫a

∣∣(f(x))2 − (g(x))2∣∣ dx



Ví dụ 7 (Đề minh họa câu 27). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm sốy = x3 − x và đồ thị hàm số y = x− x2.

A. 3712

B. 94

C. 8112

D. 13

• Bước 1: Giải phương trình:

(x3 − x)− (x− x2) = 0 ⇔ x3 + x2 − 2x = 0 ⇔

x = 1x = 0x = −2

• Bước 2: Nhập biểu thức0∫

−2

|x3 + x2 − 2x|dx+1∫0

|x3 + x2 − 2x|dx

Ví dụ 8 (Đề minh họa câu 28). Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm sốy = 2(x− 1)ex trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khiquay hình (H) xung quanh trục Ox.

A. V = 4− 2e B. V = (4− 2e)π C. V = e2 − 5 D. V = (e2 − 5)π

• Bước 1: Giải phương trình: 2(x− 1)ex = 0 ⇔ x = 1

• Bước 2: Nhập biểu thức: π1∫0

(2(x− 1)ex)

2

dx− A

3 Kết luậnTrên đây là một số công việc của tổ đã thực hiện trong thời gian qua.Tuy nhiên, việcgiảng dạy cũng gặp một số khó khăn (chưa có ngân hàng đề, chưa chuyển đổi được từ cácyêu cầu bài toán sang nhập liệu vào máy tính, một số em chưa có máy tính,...). Từ vấnđề nêu trên, tổ Toán thấy cần thiết phải đưa ra đề xuất là Sở GD&ĐT cần có nhiều cuộctrao đổi kinh nghiệm về phương pháp dạy và học theo định hướng trắc nghiệm kháchquan. Tạo ngân hàng đề từ các trường THPT rồi gửi tập hợp đề ấy về các đơn vị để thamkhảo, học hỏi và xem đó là nguồn tư liệu để ôn tập cho học sinh. Tổ chức thi thử cho họcsinh lớp 12 vào học kì I, học kì II.


ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO fx-570VN PLUSTRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA 2017

(Khảo sát hàm số - Hàm số mũ - Hàm số logarit)Phan Văn Thôn - Trường THPT Mai Thanh Thế

1 Đặt vấn đềCăn cứ vào kế hoạch 190/KH-NTMK ngày 18/10/2016 của trường chuyên Nguyễn ThịMinh Khai về việc Tổ chức Hội thảo thi trắc nghiệm khách quan môn Toán.Tổ Toán Trường THPT Mai Thế được Sở Giáo dục và Đào tạo phân công viết tham luậntheo chủ đề Khảo sát hàm số, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit nên tổ đãbàn, trao đổi đưa ra hướng giải quyết bài toán bằng máy tính cầm tay.Ngày 28 tháng 09 năm 2016 bộ đã chốt phương án thi trong đó môn toán thi trắc nghiệm50 câu và thời gian làm bài 90 phút. Ngày 05 tháng 10 năm 2016 bô công bố đề thi mẫu.Ta thấy đề thi mẫu không có câu khó như câu 8, 9, 10 của đề thi THPT Quốc gia 2016.Nhưng vấn đề thách thức của đề mẫu ở đây là thời gian, với số lượng câu là 50 nhưngthời gian ở đây chỉ có 90 phút do đó một câu chỉ có vỏn vẹn 1 phút 48 giây như vậy họcsinh phải làm như thế nào để trong thời gian đó hoàn thành. Do đó học sinh phải rènluyện tư duy suy luận nhanh và sử dụng công cụ hổ trợ đó là máy tính cầm tay để làmđược mỗi câu trong thời gian ít nhất. Sau đây tôi xin trình bày một số kĩ yếu của máytính cầm tay để giải quyết một số dạng toán trong chương khảo sát hàm số và chươnghàm số mũ - logarit.

2 Thực trạngTrong những năm gần đây giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học đã hình thànhthói quen dạy và học theo hình thức tự luận nên chú trọng về phương pháp giải, thuậttoán và làm bài như thế nào đừng cho mất điểm từng phần chớ chúng ta chưa rèn luyệnkĩ năng giải quyết một bài toán trong thời gian ngắn nhất. Do đó để giải quyết được vấnđề về thời gian làm bài thì thầy và trò phải thay đổi phương pháp dạy và học, kĩ năngsuy luận và sử dụng máy tính cầm tay hổ trợ.

3 Giải pháp

3.1 Ứng dụng máy tính vào tìm vi phânVí dụ. Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) : y = x2

√3x2+1

tại điểm có hoành độ x0 = 1

bằng

A. 23

B. 34

C. 1 D. 58

Hướng dẫn máy tính:Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là f ′ (x0) = f ′ (1).

43


Vậy ta tìm vi phân của hàm số tại x0 = 1 ta có ddx

(x2

√3x2+1

)∣∣∣x=1

= 58·

Vậy ta chọn câu D.Nhận xét: Nếu chúng ta giải theo cách thông thường ta tính đạo hàm rồi thế x0 = 1vào thì rất mất thời gian và đối với học sinh yếu thì chưa chắc tính đạo hàm được, cònta dùng máy tính chỉ cần dạy thao tác tìm vi phân cho các em thì các em làm bài được.

3.2 Ứng dụng máy tính vào tìm đạo hàmVí dụ 1. Hàm số y = (x2 − 2x+ 2) ex có đạo hàm là

A . y′ = 2x.ex B. y′ = −2x.ex C. y′ = (2x− 2) .ex D. y′ = x2.ex

Hướng dẫn máy tính:Ta có d

dx((x2 − 2x+ 2) ex) = f ′ (x)∀x ⇒ d

dx((x2 − 2x+ 2) ex)x=1 = f ′ (1)

Ta có ddx

((x2 − 2x+ 2) ex)∣∣x=1

= 2, 71828...

Như vậy ta loại câu A, B, C vì tại f ′ (1) của các hàm số đó lần lượt bằng 2e,−2e, 0 khôngthỏa. Vậy ta chọn câu D.Nhận xét: Ta thấy chỉ một thao tác máy tính thì ta giải quyết được bài toán do đó ítmất thời gian hơn.Chú ý:

• Chọn giá trị x mà giá trị của các câu trả lời dễ tính.

• Chọn giá trị x mà giá trị của các câu trả lời không giống nhau.

• Nó mang tính chất loại trừ nếu giống kết quả của đáp án thì ta chưa chọn câu trảlời đó.

Ví dụ 2. Đạo hàm của hàm số y = 2x2−3x+4x2+1

là

A. y′ = −3x2 + 4x+ 3

(x2 + 1)2

B. y′ = 3x2 − 8x− 3

(x2 + 1)2

C. y′ = 3x2 − 4x− 3

(x2 + 1)2

D. y′ = 3x2 − 4x+ 3

(x2 + 1)2

Hướng dẫn:

Ta có d

dx

(2x2 − 3x+ 4

x2 + 1

)∣∣∣∣x=0

= −3

như vậy ta loại câu A và D vì giá trị của nó bằng 3.

Ta thay đổi x = 0 thành x = 1 ta có d

dx

(2x2 − 3x+ 4

x2 + 1

)∣∣∣∣x=1

= −1 ta loại câu B vì giá

trị của nó bằng −2.Vậy ta chọn câu C.

3.3 Ứng dụng máy tính vào tính đơn điệu của hàm sốVí dụ 1. Hàm số y = x2

1−x đồng biến trên các khoảng



A. (−∞; 1) và (1; 2)

B. (−∞; 1) và (2;+∞)

C. (0; 1) và (1; 2)

D. (−∞; 1) và (1;+∞)

Hướng dẫn máy tính:Ta lập bảng tínhw7 f (x) = x2

1−x= g (x) = Start −8 = End 1 Step 0, 5 =

Ta thấy bảng giá trị không tăng vậy hàm số không đồng biến trên (−∞; 1). Vậy ta loạiA, B, D, Vậy ta chọn C.Nhận xét: Ta thấy giải quyết bài toán trên theo cách thông thường ta phải đạo hàm vàxét dấu đạo hàm rất phức tạp ta chỉ cần dạy học sinh bám sát định nghĩa tính đơn điệucủa hàm số và cách lập bảng tính trên máy tính cầm tay là ta giải quyết được.Chú ý:

• Bảng tính chỉ tính được 10 giá trị nên ta chọn giá trị đầu, cuối và bước nhảy chophù hợp.

• Chỉ mang tính chất loại trừ.

Ví dụ 2. Hàm số y = x ln(x+

√1 + x2

)−√1 + x2.

Mệnh đề nào sau đây sai?A. Hàm số có đạo hàm y′ = ln

(x+

√1 + x2

)B. Hàm số tăng trên khoảng (0;+∞)

C. Tập xác định của hàm số là RD. Hàm số giảm trên khoảng (0;+∞)

Hướng dẫn: Ta thấy câu B và D có 1 câu sai.w7 f (x) = x ln

(x+

√1 + x2

)−

√1 + x2 = g (x) = Start 0 = End 9 Step 1

=Ta thấy bảng giá trị tăng. Vậy ta chọn câu C.

3.4 Ứng dụng máy tính vào cực trịVí dụ 1. Với giá trị nào của m thì hàm số y = sin 3x + m sinx đạt cực đại tại điểmx = π

3?

A. 5 B. −6 C. 6 D. −5

Hướng dẫn máy tính: Hàm số đạt cực trị tại x = π3thì f ′ (π

3

)= 0 hoặc không có nghĩa

vậy ta tính ddx(sin 3x+m sinx)|x=π

3

Với m lần lượt 5,−6, 6,−5 ta thấy ddx(sin 3x+ 6 sinx)|x=π

3= 0

Vậy ta nhận câu C.Nhận xét: Ta thấy nếu giải bài toán theo cách thông thương thì phải tính đạo hàm vàphải giải phương trình f ′ (π

3

)= 0 do đó phải tổ hợp nhiều kiến thức và mất nhiều thời

gian.Ví dụ 2. Với giá trị m là bao nhiêu thì hàm số y = x2+mx+1

x+mđạt cực trị tại x = 2 .



A.m = −1∨m = −3 B. m = −1 C. m < 2 D. m = −3

Hướng dẫn:Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì f ′ (2) = 0 hoặc không có nghĩa.Vậy ta tính d

dx

(x2+mx+1

x+m

)∣∣∣x=2

tại m = −1 ∨m = −3 ta có

ddx

(x2−x+1x−1

)∣∣∣x=2

= 0,

ddx

(x2−3x+1

x−3

)∣∣∣x=2

= 0.Vậy ta chọn câu A.

3.5 Ứng dụng máy tính vào giải phương trìnhVí dụ 1. Nghiệm của phương trình 4log22x − xlog26 = 2.3log24x2

A. x = 0, x = 14

B. x = 14

C. x = −23

D. Vô nghiệm

Hướng dẫn: Ta thấy câu trả lời có nghiệm cụ thể nên ta dùngr để đỡ mất thời gianchờ4log22x − xlog26 − 2.3log24x2

r X? 0: không thỏa.Tượng tự thay 0 thành 1

4, −3

2ta thấy x = 1

4thỏa, ta chọn B.

Nhận xét: Ta thấy việc giải phương trình trên khó và mất nhiều thời gian đối với họcsinh trung bình thì giải quyết không được. Nếu ta dùng máy tính thì rất dễ dàng và khôngmất nhiều thời gian, đối với học sinh yếu làm vẫn được.Ví dụ 2. Phương trình 32x+1 − 4.3x +1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 trong đó, x1 < x2, chọnphát biểu đúng?

A. 2x1 + x2 = 0 B. x1 + 2x2 = −1 C. x1 + x2 = −2 D. x1.x2 = −1

Hướng dẫn: Ta thấy phương trình có 2 nghiệm chưa có giá trị để gán vậy ta dùngqr (Solve) để tìm 2 nghiệm x = 0, x = −1 ⇒ x1 = −1, x2 = 0. Vậy ta chọn câu B.

3.6 Ứng dụng máy tính vào Giải bất phương trìnhVí dụ 1. Tập nghiệm của bất phương trình log2√2 (2x)− 2log2 (4x2)− 8 ⩽ 0:

A. [2; +∞) B.[14; 2]

C. [−2; 1] D.(−∞; 1

4

]Hướng dẫn: Ta thấy việc giải bất phương trình khó khăn nhưng học sinh nắm được tínhchất “f (x) < 0 có tập nghiệm S thì f (x) < 0 ∀x ∈ S” và dùng bảng tính ta có thể loạicác phương án và giải quyết được bài toán.w7 f (x) = log2√2 (2x) − 2log2 (4x2) − 8 = g (x) = Start 2 = End 10 Step 1=Ta thấy bảng giá trị xuất hiện giá trị dương nên không thỏa điều kiện nên loại A, còn C,D loại vì điều kiện của logarit. Vậy chọn B.Ví dụ 2. Nghiệm của bất phương trình: log4 (3x − 1) .log 1

4

3x−116

⩽ 34là



A. x ∈ (−∞; 1) ∪ (2;+∞)

B. x ∈ (1; 2)

C. x ∈ [1; 2]

D. x ∈ (0; 1] ∪ [2; +∞)

Hướng dẫn: w7 f (x) = log4 (3x − 1) .log 14

3x−116

− 34= g (x) = Start 1 = End

2 Step 0,2 =Ta thấy xuất hiện giá trị dương nên ta loại câu B, C; câu A loại vì x < 0 ⇒ 3x − 1 < 0không thỏa điều kiện logarit. Vậy ta chọn câu D.

3.7 Ứng dụng máy tính cầm tay vào rút gọn, chứng minh biểuthức

Ví dụ 1. Giá trị của biểu thức P = 23.2−1+5−3.54

10−3:10−2−(0,1)0là

A. −9 B. 9 C. −10 D. 10

Hướng dẫn: Nhập đúng biểu thức ta được kết quả bằng −10 vậy ta chọn câu C.Chú ý: Nếu biểu thức dài máy tính không đủ kí tự thì ta chia nhỏ biểu thức ra.Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức a

√7+1.a2−

√7

(a√2−2)

√2+2

được kết quả là

A. a4 B. a C. a5 D. a3

Hướng dẫn: Ta có a√

7+1.a2−√

7

(a√

2−2)√

2+2= f (a) ∀a > 0.

Vậy ta thế a = 2 vào biểu thức 2√

7+1.22−√

7

(2√

2−2)√

2+2= 32.

Vậy A, B, D không thỏa. Vậy chọn C.Ví dụ 3. Nếu a = log23, b = log25 thì

A. log26√360 = 1

3+ 1

4a+ 1

6b

B. log26√360 = 1

2+ 1

6a+ 1

3b

C. log26√360 = 1

2+ 1

3a+ 1

6b

D. log26√360 = 1

6+ 1

2a+ 1

3b

Hướng dẫn: Ta thế a = log23, b = log25 vào từng câu câu nào thỏa ta nhận.log23 qJ (STO) A log25 qJ (STO) Blog2

6√360− 1

3− 1

4A− 1

6B = 0,

log26√360− 1

2− 1

6A− 1

3B = 0,

log26√360− 1

2− 1

3A− 1

6B = 0.

Vậy ta chọn C.

4 Kết quả đạt đượcSau khi thực hiện giảng dạy tôi thấy một số kết quả đạt được như sau:

• Thời gian làm bài của học sinh ngắn hơn.

• Kỹ năng suy luận của học sinh nhanh hơn.

• Học sinh có thể giải quyết bài toán nhanh lẹ mà không cần phải giải.



5 Phương hướng thời gian tới1. Bồi dưỡng cho giáo viên:

• Tổ báo cáo lại chuyên đề tập huấn máy tính cầm tay cho giáo viên trong tổ.• Trao đổi bàn bạc nội dung của từng chương, trong chương đó có những dạng

toán nào mà sử dụng được máy tính, kĩ thuật sử dụng ra sao?

2. Dạy kĩ năng sử dụng máy tính cho học sinh để giải quyết bài toán.

6 Kết luậnĐể đáp ứng kì thi THPT Quốc gia thi trắc nghiệm môn toán với số câu là 50 mà thờigian chỉ 90 phút thì việc dạy kĩ năng làm bài và dùng máy tính cầm tay hổ trợ thì khôngthể thiếu.Do đó để đạt kết quả tốt nhất trong kì thi THPT Quốc gia thì tổ phải triển khai kĩ năngsử dụng máy tính cầm tay cho tổ viên từ đó tổ viên triển khai tới học sinh.Tổ phải bàn và trao đổi từng chương những phần nào, nội dung nào, có kĩ năng dùngmáy tính để giải quyết bài toán nhanh lẹ để triển khai xuống cho học sinh.


SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAYĐỂ TÌM ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LŨY THỪA - MŨ - LOGARITTrần Văn Phúc - Trường THPT Kế Sách

Trong những năm gần đây máy tính cầm tay đã được ứng dụng một cách rộng rãi trongviệc giải các bài toán vì những ưu điếm hết sức nổi bật của nó như định hướng tìm cáchgiải một bài toán, giải nhanh một bài toán, tính toán nhanh các kết quả.Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2017, môn Toán thi dưới hình thức trắc nghiệm, thờigian để giải quyết một bài toán rất ít (khoảng 1,8 phút), việc giải nhanh một bày toáncàng cần thiết hơn bao giờ hết.Bên cạnh tìm cách giải nhanh, học sinh cần tìm hiểu thêm thêm các thủ thuật bấm máynhằm tìm được đáp án chính xác cho mỗi câu hỏi trắc nghiệm khách quan.Trong giới hạn của bài tham luận, tôi xin trình bày một số ứng dụng của máy tính cầmtay để giải các câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong đề thi minh họa THPT Quốc giamôn Toán năm 2017 chủ đề Hàm số lũy thừa - hàm số mũ - hàm số logarit.Ví dụ 1 (Câu 12 - đề minh họa). Giải phương trình:

log4(x− 1) = 3

A. x = 63�� B x = 65 C. x = 80 D. x = 82

Hiển nhiên, với câu này học sinh có thể giải theo kiểu thông thường (dùngđịnh nghĩa logarit) hoặcqr. Tuy nhiên, khi có sẵn các đáp án học sinhcó thể dùng phím r để tìm được đáp án chính xác như sau:i4$Q)p1

r63=

r65=

r80=

r82=

Trong các kết quả tìm được nếu kết quả nào bằng 3 thì ta chọn giá trị x tươngứng.Đáp án là B.

Ví dụ 2 (Câu 13 - đề minh họa). Tính đạo hàm của hàm số y = 13x

A. y′ = x.13x�� B. y′ = 13x. ln 13C. y′ = 13x

D. y′ = 13x

ln 13

Thông thường, nếu học sinh thuộc công thức tìm đạo hàm thì bài tập đượcgiải quyết một cách dễ dàng. Tuy nhiên, giáo viên có thể hướng dẫn cách sửdụng máy tính cầm tay đề phòng trường hợp học sinh quên công thức. Cáchlàm như sau: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm x bất kì mà hàm số xác

49


định. Sau đó, thay x vào các đáp án xem giá trị nào trùng khớp. Cụ thể chọnx = 2 cho bài tập trên. Ta thực hiện thao tác như sau:qY13^Q[$$2=

Máy tính trả về kết quả là 433.4764414Tiếp tục thử lại các phương án trả lời như sau:Q[O13^Q[

r2=

Màn hình hiện: 338 (loại).Tương tự ta ấn:13^Q[$h13)

r2=

Máy tính trả về kết quả là 433.4764414. Vậy ta chọn đáp án B.

Ví dụ 3 (Câu 14 - đề minh họa). Giải bất phương trình log2(3x− 1) > 3�� A x > 3 B. 13< x < 3 C. x < 3 D. x > 10

3

Đây là một câu khá đơn giản, nếu có kiến thức cơ bản thì các em đã giải đượcmột cách dễ dàng. Đối với học sinh yếu các em có thể bấm máy để tìm raphương án đúng với cùng khoảng thời gian.Từ các đáp án trên, chúng ta có thể phân hoạch tập số thực như sau:

(−∞; 1

3

),(13; 3),(3; 10

3

),(103; +∞

).

Sau đó, chúng ta chỉ còn chọn trong mỗi tập trên một đại diện để xét. Chẳnghạn, x = 0, 1, 3.2, 4. Ta chỉ cần tính giá trị log2 (3x− 1) tại các điểm đó và sosánh với số 3 để kết luận. Cụ thể: Với f(x) = log2(3x− 1) thì f(0) không xácđịnh nên bỏ phương án C, f(1) = 1 < 3 nên bỏ phương án B, C, f(3.2) ≈ 3.1nên bỏ phương án D, chọn phương án A.

Ví dụ 4 (Câu 15 - đề minh họa). Tập xác định của hàm số y = log2 (x2 − 2x− 3)

A. (−∞;−1] ∪ [3; +∞)�� B (−∞;−1) ∪ (3;+∞)

C. [−1; 3]

D. (−1; 3)

Với các đáp án trên ta có thể phân hoạch tập số thực như sau: (−∞,−1) , {−1} , (−1, 3) , {3} , (3,+∞).Chúng ta chọn ra các giá trị đại diện là: −2,−1, 0, 3, 4. Tương tự Ví dụ 3, tasẽ chọn được đáp án là B.Vấn đề đặt ra là dựa vào đâu để ta phân hoạch tập số thực và khi nào cầnxét 2 đầu mút. Tất cả chỉ là nhận xét các phương án đề bài đưa ra để chúngta lựa chọn.

Ví dụ 5 (Câu 16 - đề minh họa). Cho hàm số f (x) = 2x.7x2 . Khẳng định nào sau đây là

khẳng định sai?

A. f (x) < 1 ⇔ x+ x2log27 < 0

B. f (x) < 1 ⇔ x ln 2 + x2 ln 7 < 0

C. f (x) < 1 ⇔ xlog72 + x2 < 0�� D f (x) < 1 ⇔ 1 + xlog27 < 0



Cho f(x) = 0.5, dùng chức năngqr để tìm nghiệm và lần lượt thay vàocác đáp án.Tuy nhiên, cách làm này không cho kết quả như mong muốn vì máy tínhkhông dò được nghiệm.Vậy ta nghĩ đến phương pháp lập bảng. Cho x bắt đầu −1 và kết thúc là 1,bước nhảy bằng 0.2 và chọn giá trị x thỏa mãn f(x) < 1. Thay giá trị x lầnlượt vào các đáp án. Chọn đáp án D. Cách thực hiện như sau:w72^Q[$O7^Q[d

==p1=1=0.2=

Chọn được giá trị x = −0.2 vì f(x) = 0.941 < 1.Bấm tiếp:p0.2qJ)

Q[+Q[di2$7=

Q[h2)+Q[dh7)=

Q[i7$2$+Q[d=

1+Q[i2$7=

Chỉ có đáp án D cho kết quả lớn hơn 0. Chọn D. Độc giả tự tìm hiểu xem tạisao chọn x bắt đầu là −1 và kết thúc là 1 nhé!

Ví dụ 6 (Câu 17 - đề minh họa). Cho các số thực dương a, b với a = 1. Khẳng định nàosau đây là khẳng định đúng?

A. loga2 (ab) = 12logab

B. loga2 (ab) = 2 + 2logabC. loga2 (ab) = 1

4logab�� D loga2 (ab) = 12+ 1

2logab

Gán A, B bằng giá trị bất kì (hiển nhiên khi đó các biểu thức phải xác định),chẳng hạn: A = B = 2 và kiểm tra các đáp án. Cách thực hiện như sau:2qJz

2qJx

iQzd$QzQx$pa1R2$iQz$Qx=

Kết quả khác 0 nên loại đáp án A.Trừ 1

2để kiểm tra đáp án D. Đây là đáp án đúng.

Ví dụ 7 (Câu 18 - đề minh họa). Tính đạo hàm của hàm số y = x+14x

A. y′ = 1− 2 (x+ 1) ln 222x

B. y′ = 1 + 2 (x+ 1) ln 222x

C. y′ = 1− 2 (x+ 1) ln 22x2

D. y′ = 1 + 2 (x+ 1) ln 22x2

Cách giải tương tự Ví dụ 2.

Ví dụ 8 (Câu 19 - đề minh họa). Đặt a = log23, b = log53. Hãy biểu diễn log645 theo avà b.



A. log645 =a+ 2ab

ab

B. log645 =2a2 − 2ab

ab

�� C log645 =a+ 2ab

ab+ b

D. log645 =2a2 − 2ab

ab+ b

Gán log23, log53 vào biến A và B.Sau đó bấm kiểm tra các giá trị của các đáp án xem đáp án nào trùng khớp.Ấn i6$45=Màn hình hiển thị 2.124538787Kiểm tra vế phải của các đáp án.aQz+2QzQxRQzQx=

Máy tính hiển thị: 3.464973521Ta được đáp án là C.

Ví dụ 9 (Câu 20 - đề minh họa). Cho hai số thực a và b, với 1 < a < b. Khẳng định nàodưới đây là khẳng định đúng?

A. logab < 1 < logbaB. 1 < logab < logba

C. logba < logab < 1�� D logba < 1 < logab

Gán A = 2, B = 3 và kiểm tra xem đáp án nào đúng.Cách thực hiện như sau:2qJz

3qJx

iQz$Qx=. Máy tính hiển thị 1,584962501iQx$Qz=. Máy tính hiển thị 0.6309297536Vậy ta chọn đáp án D.

So với đề thi tự luận, đề thi trắc nghiệm có số lượng câu hỏi nhiều hơn nhưng thời gianlàm bài ngắn hơn. Do vậy, việc sử dụng máy tính cầm tay để hỗ trợ cho giải trắc nghiệmlà rất cần thiết. Tuy nhiên, chúng ta không nên quá lạm dụng máy tính cầm tay mà vẫnphải xác định rõ vấn đề: kiến thức là trọng tâm, máy tính cầm tay chỉ là công cụ hỗ trợ.


DẠY HỌC CHỦ ĐỀKHỐI ĐA DIỆN, MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

THEO HƯỚNG THI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUANTrường THPT Thiều Văn Chỏi

1 Đặt vấn đềKì thi THPT quốc gia năm 2017, môn Toán được tổ chức thi theo hình thức trắc nghiệmkhách quan. Đây là điều bất ngờ không chỉ với học sinh mà cả giáo viên. Việc chuyển từthi tự luận sang trắc nghiệm đồng nghĩa với việc thay đổi cách học, cách làm bài quenthuộc của các em. Và giáo viên cũng gặp không ít khó khăn trong việc giảng dạy.Sự ưu việt của phương pháp trắc nghiệm đã và đang được chứng minh từ những nướccó nền giáo dục tiên tiến trên thế giới bởi những ưu điểm như tính khách quan, tính baoquát và kinh tế. Đây là một hình thức thi mới, trong khi sách giáo khoa lớp 12 năm naychưa thay đổi để đáp ứng với hình thức thi trắc nghiệm, giáo viên đã quen với nội dungvà khuôn mẫu đề thi tự luận truyền thống, học sinh từ trước đến nay cũng vẫn thi vàkiểm tra môn toán theo hình thức tự luận. Do đó cả giáo viên và học sinh đều chưa cókinh nghiệm về hình thức thi trắc nghiệm. Đặt biệt là phần khối đa diện, mặt cầu, mặttrụ và mặt nón.Nội dung khối đa diện, mặt cầu, mặt trụ, mặt nón nằm trong chương I và chương II củasách giáo khoa Hình học 12. Đây là một trong những nội dung mà theo đa số học sinhkhi học song đều có nhận định là tương đối khó. Cụ thể là trong các đề thi THPT Quốcgia các năm vừa qua thì câu hỏi liên quan đến nội dung này là câu có tính chất dùng đểphân loại học sinh, nên khi gặp những bài tập dạng này thì học sinh có tâm lý e ngại.

2 Thực trạng của vấn đềViệc chuyển từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm đã làm cho việc dạy và học củagiáo viên và học sinh có một số thuận lợi nhưng cũng gặp rất nhiều khó khăn.

2.1 Về thuận lợi• Việc Bộ GD&ĐT công bố đề thi minh họa, kiến thức chỉ giới hạn trong chương

trình lớp 12 nên việc ôn luyện của giáo viên và học sinh có nhiều thuận lợi.

• Học sinh đã được làm quen hình thức thi trắc nghiệm khách quan ở các bộ mônkhác như: Vật lý, Hóa học, Sinh học,...

• Tuy sách giáo khoa hiện hành là viết cho việc dạy học theo hình thức tự luận, nhưngcuối mỗi chương cũng có đưa vào một số câu hỏi trắc nghiệm cho giáo viên và họcsinh tham khảo.

53


2.2 Về khó khăn• Ở các lớp dưới học sinh và giáo viên chưa được làm quen với việc môn Toán kiểm

tra và thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan.

• Phần hình học không gian ở lớp 11 thì học sinh học theo hình thức tự luận, nhưnglên lớp 12 thì lại chuyển sang học theo hình thức trắc nghiệm khách quan.

• Câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong sách giáo khoa đưa ra chưa nhiều và chưaphong phú để giáo viên và học sinh tham khảo.

• Việc kiểm tra và thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan dẫn đến việc học sinhcó tâm lý ỷ lại, không chịu học.

• Nguồn tài liệu tham khảo dùng cho giáo viên và học sinh về thi trắc nghiệm kháchquan rất ít.

3 Giải phápĐể việc dạy học chủ đề khối đa diện, mặt cầu, mặt trụ, mặt nón theo định hướng thi trắcnghiệm khách quan đạt hiệu quả cao phục vụ cho kì thi THPT Quốc gia năm 2017, tôixin nêu ra một số giải pháp sau

3.1 Đổi mới phương pháp giảng dạy3.1.1 Dạy rộng, không dạy sâu

Sẽ là sai lầm nếu nói rằng cách thi không ảnh hưởng gì đến cách học. Chắc chắn là vớiđề thi trắc nghiệm, khi số câu hỏi là rất nhiều và không còn những câu hỏi hóc búa thìnội dung học sẽ phải khác. Không cần phải đi vào những vấn đề chuyên sâu nhưng đồngthời phải học đều hơn toàn bộ chương trình. Trước đây khi dạy thi tự luận chủ đề này tachỉ quan tâm nhiều đến phần thể tích khối đa diện mà xem nhẹ phần mặt cầu, mặt trụ,mặt nón. Nhưng giờ đây với việc dạy theo hình thức trắc nghiệm thì ta phải xem các nộidung này là như nhau. Đề thi trắc nghiệm khách quan tốt luôn bao quát kiến thức, kiểmtra học sinh theo chiều rộng. Vì vậy cần dạy thật đầy đủ các nội dung trong sách giáokhoa, không được xem nhẹ phần nào.

3.1.2 Chuyển đổi bài tập tự luận sang trắc nghiệm

• Trong phần bài tập của sách giáo khoa ta xem có những bài nào không còn phùhợp với phương pháp thi trắc nghiệm, những bài tập nào nên dạy, những bài tậpnào nên sửa đổi lại cho phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm. Chẳng hạn nhữngbài tập dạng chứng minh hay những bài tập tìm quỹ tích thì ta không nên dạy sâu.

• Chia bài tập tự luận ra nhiều bài tập trắc nghiệm.

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.Câu 1. Diện tích tam giác BCD là:



A. a2√2

4B. a2

√3

4C. a2

√3

2D. a

√3

2

Câu 2. Chiều cao của tứ diện là:

A. a√6

3B. a

√6

2C. a

√2

3D. a

√3

2

Câu 3. Thể tích của tứ diện là:

A. a2√2

12B. a3

√3

12C. a3

√2

12D. a3

√3

4

3.1.3 Củng cố kiến thức qua các bài tập trắc nghiệm

Thông thường khi dạy xong một bài hay một nội dung nào đó ta thường củng cố bằngcách cho học sinh nhắc lại kiến thức vừa học, thay vì làm việc đó ta nên cho học sinh làmmột vài câu trắc nghiệm ở mức độ nhận biết nhằm khắc sâu kiến cũng như làm quen vớibài tập trắc nghiệm.Ví dụ 2.Câu 1. Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất:

A. Hai mặt. B. Ba mặt. C. Bốn mặt. D. Năm mặt.

Câu 2. Khối đa diện đều nào sau đây có mặt không phải là tam giác đều?

A. Thập nhị diện đềuB. Nhị thập diện đều

C. Bát diện đềuD. Tứ diện đều

Câu 3. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:

A. V = 13Bh B. V = Bh C. V = 1

2Bh D. V = 3Bh

3.2 Đổi mới phương pháp kiểm tra đánh giá• Khi kiểm tra nên cho học sinh làm những câu trắc nghiệm bằng phương pháp tự

luận, như vậy giáo viên sẽ biết được trình độ của học sinh, những sai sót của họcsinh để có phương pháp giảng dạy cho phù hợp.

• Kiểm tra 15 phút và kiểm tra một tiết nên cho bằng phương pháp trắc nghiệm. Saumỗi bài kiểm tra trắc nghiệm giáo viên nên hướng dẫn học sinh cách làm bài trắcnghiệm để được hiệu quả cao nhất. Khi sửa bài trắc nghiệm, giáo viên nên yêu cầuhọc sinh giải thích phương án mà học sinh đã lựa chọn.

• Đối với đề thi trắc nghiệm câu hỏi có nhiều phương án lựa chọn (a, b, c, d), mỗicâu đều đưa ra lời dẫn và các phương án lựa chọn. Trước hết giáo viên căn dặn họcsinh nên đọc kỹ lời dẫn, yêu cầu của từng câu trong đề thi.

• Bên cạnh việc giúp học sinh giải tìm ra câu trả lời đúng, giáo viên nên hướng dẫnhọc sinh biết loại trừ các phương án sai để tìm ra đáp án đúng.



3.3 Xây dựng bộ đề trắc nghiệmViệc xây dựng các đề thi trắc nghiệm là không đơn giản. Nếu chúng ta làm đề khôngđúng cách, sa đà vào những định hướng xây dựng mang tính chủ quan, sẽ làm rối họcsinh và dẫn chúng đi không đúng hướng. Theo tôi, có 2 giải pháp cho việc xây dựng đềôn luyện cho học sinh: một là tham khảo ở các nguồn đáng tin cậy, hai là tổ chức xâydựng tập thể, có phản biện cẩn thận.Khi xây dựng đề thi, cố gắng tuân thủ một cách tương đối ma trận đề với bốn mức độ đólà: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp và vận dụng cao. Qua tham khảo đề thi minhhọa của Bộ GD&ĐT ta thấy phần chủ đề khối đa diện, mặt cầu, mặt trụ, mặt nón có 8câu được chia theo các mức độ sau: Nhận biết có 3 câu, thông hiểu có 2 câu, vận dụngthấp có 2 câu, vận dụng cao có 1 câu.Để bộ đề được phong phú ta cần chú ý một số yếu tố sau

• Đưa vào một tỷ lệ tương đối các câu hỏi lý thuyết, các câu hỏi định tính khi màcâu trả lời không phải là số hay công thức.

• Sử dụng các hình thức truyền tải thông tin khác nhau: dùng công thức, dùng lờivăn, dùng hình vẽ...

• Mỗi chủ đề cố gắng xây dựng một câu hỏi ở mức độ vận dụng cao, các ví dụ ứngdụng thực tiễn.

• Khi xây dựng các phương án nhiễu, cần dự đoán xem học sinh có thể có những sailầm, nhầm lẫn nào, tránh ra những phương án nhiễu quá hiển nhiên sai.

4 Kết luậnViệc dạy học chủ đề khối đa diện, mặt cầu, mặt trụ, mặt nón theo định hướng thi trắcnghiệm khách quan là hết sức cần thiết và cấp bách, nhằm giúp học sinh định hướngcũng như làm quen với trắc nghiệm khách quan phục vụ tốt cho kì thi THPT Quốc giasắp tới đạt kết quả cao. Trên đây là một số ý kiến của cá nhân. Dạy học theo hình thứcthi trắc nghiệm khách quan là một công việc mới, chưa có nhiều kinh nghiệm. Tài liệuphục vụ cho việc giảng dạy trắc nghiệm cũng còn hạn chế, vì vậy rất mong được sự đónggóp nhiều ý kiến của quí thầy, cô và đồng nghiệp.


ĐỔI MỚI KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ MÔN TOÁNTrường THPT Hoàng Diệu

1 Mục đích yêu cầuCăn cứ vào tình hình thực tế, kể từ kì thi THPT Quốc gia năm học 2016 - 2017 trở về sau,bộ GD&ĐT quy định bộ môn Toán phải thực hiện bài thi dưới hình thức trắc nghiệmkhách quan.Hiện nay chúng ta đang thực hiện chương trình thi môn Toán dưới hình thức tự luận,tuy nhiên năm đầu tiên phải thay đổi hoàn toàn theo hình thức thi mới, nên vấn đề cấpthiết chúng ta cần thay đổi nhanh chóng cho phù hợp với yêu cầu của bài thi và bảo đảmđược yêu cầu suy luận, tư duy của bộ môn Toán và để học sinh có thể giải nhanh, làmtốt bài thi trong kì thi THPT Quốc gia nói chung và các kì kiểm tra học kì nói riêng.

2 Dạy học và đổi mới kiểm tra, đánh giá môn Toánở đơn vị

2.1 Kế hoạchNgay từ đầu năm học tổ chuyên môn thống nhất hình thức và nội dung kiểm tra đánhgiá thường xuyên và định kỳ. Cụ thể

1. Kiểm tra thường xuyên

• Kiểm tra miệng: hình thức tự luận hoặc trắc nghiệm.• Kiểm tra 15 phút: tự luận hoặc trắc nghiệm.• Kiểm tra định kỳ: 1 tiết và học kỳ: hình thức trắc nghiệm khách quan.

∗ Một tiết: 20 câu hỏi trắc nghiệm (45 phút bao gồm cả phát đề và nghiêncứu đề).

∗ Học kỳ: 50 câu hỏi trắc nghiệm. (90 phút làm bài).

2. Tổ chuyên môn thống nhất nội dung kiến thức chương và cấu trúc đề kiểm tra địnhkỳ. Nội dung kiểm tra tương tự như các kiến thức tự luận đã thống nhất, nay thayđổi bằng chuyển sang hình thức trắc nghiệm khách quan.

• Kiểm tra thường xuyên: Kiểm tra tự luận củng cố các kiến thức cơ bản trongmột hay nhiều bài trong nhóm bài học của chương.

• Kiểm tra định kỳ: kiến thức của một chương hoặc học kỳ: kiểm tra trắc nghiệmkhách quan, số câu hỏi theo phân bố tỉ lệ: Nhận biết (3) - Thông hiểu (3) -Vận dụng (3) - Vận dụng cao (1).

57


2.2 Cách thức dạy và học• Đối với hình thức thi trắc nghiệm khách quan khối lượng kiến thức đưa vào đề thi

khá lớn, có thể đủ để dàn trải hầu hết các nội dung của chương trình học. Vì vậykhi làm bài dưới hình thức trắc nghiệm khách quan học sinh phải học đầy đủ, toàndiện và không được bỏ qua bất cứ kiến thức cơ bản nào có trong chương trình. Đểlàm tốt bài thi trắc nghiệm khách quan học sinh phải chuẩn bị kiến thức lý thuyếtđầy đủ, kỷ năng giải toán tự luận phải được nhuần nhuyễn, kết hợp sử dụng máytính Casio phải thành thạo.

• Khi dạy thì cuối mỗi phần trong bài có thể bổ sung một số câu hỏi trắc nghiệm cơbản để củng cố kiến thức và học sinh làm quen với câu hỏi trắc nghiệm đó.

• Cuối mỗi chương, trước khi kiểm tra định kỳ cần ôn tập theo hướng trắc nghiệmkhách quan. Giáo viên cần

∗ Soạn bài ôn tập chương, ôn tập học kỳ bằng các câu hỏi trắc nghiệm dưới cácyêu cầu của đề kiểm tra.

∗ Soạn một số đề kiểm tra mẫu để học sinh tiếp cận…

Sau đây là phần kiến thức cơ bản của chương 1 và chương 2 và bài tập minh họa.

Chương I: Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

(a) Tập xác định, tập giá trị của hàm số.(b) Tính đơn điệu và cực trị.(c) Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.(d) Tiệm cận.(e) Đồ thị hàm số (nhận dạng đồ thị).

2. Các vấn đề liên quan đến đồ thị

(a) Vị trí tương đối của hai đường.(b) Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị.(c) Tiếp tuyến của đường cong.(d) Các vấn đề khác: khoảng cách, định lý Vi-ét và hệ thức giữa các nghiệm của

phương trình.

3. Đề ôn tập

Câu 1. Tập xác định của hàm số y =√x+ 3 + 2

x2+2x−8là�� A D = [−3;+∞)\ {2}

B. D = [−3;+∞)\ {2;−4}C. D = [−3;+∞)

D. D = [−3; 2)

Câu 2. Tập giá trị của hàm số y = x√2− x2 là



A. T = (−1; 1) B. T =[−√2;√2] �� C T = [−1; 1] D. T = [0; 2]

Câu 3. Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số y = x4 − 2x2 + 1.

A.�� B C. D.

Câu 4. Đồ thị nào sau đây là đồ thị của hàm số y = x−1x+1

?

A.�� B C. D.

Câu 5. Hàm số y = x4 − 2x2 + 3 đồng biến trên phương án nào sau đây?

A. (1;+∞) B. (−1; 0) C. (−∞;−1), (0; 1)�� D (−1; 0), (1;+∞)

Câu 6. Các giá trị của m để hàm số y = x3 − 3x2 + (m − 1)x + 2m − 3 đồng biến trênkhoảng (0;+∞) là

A. m > 4�� B m ⩾ 4 C. m < −4 D. m ⩽ −3

Câu 7. Số điểm cực trị hàm số y = x3 − 3x2 +m− 5 là bao nhiêu?

A. 0 B. 1�� C 2 D. 3

Câu 8. Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + 2 là

A. (−1; 0) B. (1; 0) C. (−1; 1), (1; 1)�� D (0; 2)

Câu 9. Giá trị của m để hàm số y = −x4+mx2+3m− 5 đạt cực đại tại điểm x = −1 là�� A m = 2 B. m = −2 C. m = 1 D. m = −1

Câu 10. Giá trị của m để hàm số y = mx+1x−m

có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 3] bằng −1là

A. m = 2�� B m = −2 C. m = 3 D. m = 1

Câu 11. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2−2x+2x−1

trên khoảng (1;+∞) là

A. min(1,+∞)

y = −2 B. min(1,+∞)

y = −5�� C min

(1,+∞)y = 2 D. min

(1,+∞)y = −3

Câu 12. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x−1x+2

trên đoạn [1, 5] là



A. max[1,5]

y = −1 B. max[1,5]

y =157

C. max[1,5]

y = 0�� D max

[1,5]y =4

7

Câu 13. Số đường tiệm cận (gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) của đồ thị hàm sốy = 3x−1

3−xlà

A. 3�� B 2 C. 1 D. 0

Câu 14. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x2−3x+1x+4

là

A. 3 B. 2�� C 1 D. 0

Câu 15. Giá trị của m để phương trình: x3 − 3x2 −m+1 = 0 có ba nghiệm phân biệt là

A. −1 < m < 3�� B −3 < m < 1 C. m = −2 D. −2 < m < 2

Câu 16. Giá trị của m để phương trình: x4 − 2x2 + 3−m = 0 có đúng hai nghiệm là�� A m = 2 ∨m > 3 B. m > 3 C. m = 3 ∨m < 2 D. 2 < m < 3

Câu 17. Giá trị của m để phương trình: −x3 + 3x2 = −m3 + 3m2 có ba nghiệm phânbiệt là

A. −3 < m < 1

B.{−3 < m < 1

m = 0 ∧m = −2

C. −4 < m < 0�� D{−1 < m < 3

m = 0 ∧m = 2

Câu 18. Số giao điểm của hai đường y = x4 − 2x2 − 1 và y = 2 là

A. 4 B. 3�� C 2 D. 1

Câu 19. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) : y = x−1x+2

tại điểm có hoành độ bằng−1 là�� A y = 3x+ 1 B. y = 3x− 1 C. y = −1

3x+ 1 D. y = 1

3x− 5

3

Câu 20. Tọa độ điểm M trên đồ thị (C) : y = −x3 + 3x2 − 1 sao cho tiếp tuyến tại Msong song với đường thẳng y = −9x− 6 là

A. M(−1; 3)�� B M(3;−1)

C. M(−1; 3) hoặc M(3;−1)

D. M(0;−1)

Chương II: Hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit1. Khảo sát hàm số

(a) Tính giá trị của biểu thức lũy thừa, mũ, lôgarit.(b) Tính đơn điệu của hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit.(c) Nhận dạng đồ thị hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit.(d) Giới hạn, đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit.



2. Phương trình, bất phương trình hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit.

3. Ứng dụng đồ thị hàm số, giá trị nhỏ nhất, lớn nhất định điều kiện của của phươngtrình, bất phương trình.

4. Đề ôn tập

Câu 1. Tập xác định của hàm số: y = log x−21−x

là

A. (−∞; 1)∪(2;+∞)�� B (1; 2) C. R\ {1} D. R\ {1; 2}

Câu 2. Các giá trị của m để hàm số: y = ln(x2 − 2x+m− 3) có tập xác định R là�� A m > 4 B. m < 4 C. m < 2 D. m > −2

Câu 3. Giá trị của biểu thức: A = log236− log2144 bằng

A. −4 B. 4�� C −2 D. 2

Câu 4. Giá trị của biểu thức: B = log93√

3√3 3√9 bằng

A. 87

B. 125

C. 58

�� D 1336

Câu 5. Biết log6√a = 2 thì log6 a bằng

A. 36 B. 108 C. 6�� D 4

Câu 6. Biết log6√a = 2 thì a bằng�� A 1296 B. 36 C. 216 D. 1

Câu 7. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau

A. ln x > 0 ⇔ x > 1

B. log2x < 0 ⇔ 0 < x < 1

�� C log 13a > log 1

3b ⇔ a > b > 0

D. log 12a = log 1

2b ⇔ a = b > 0

Câu 8. Cho hàm số: f(x) = ln (4x− x2). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng địnhsau

A. f ′(2) = 1�� B f ′(2) = 0 C. f ′(5) = 1, 2 D. f ′(−1) = −1, 2

Câu 9. Nghiệm của bất phương trình: log 12(x2 − 5x+ 7) > 0 là

A. x > 3 B. x < 2 hoặc x > 3�� C 2 < x < 3 D. x < 2

Câu 10. Tập hợp các số x thỏa mãn: log0,1(x− 4) + 1 ≥ 0 là

A. (−∞; 14) B. (−∞; 14] C. [4; 14)�� D (4; 14]

Câu 11. Tập hợp các số x thỏa mãn:(23

)4x ≤(32

)2−x là



A.(−∞; 2

3

] �� B [−2

3; +∞

)C.

(−∞; 2

5

]D.

[25; +∞

)Câu 12. Nghiệm của phương trình: 22x2−7x+5 = 1 là

A. x = 1

B. x = 52

C. x = −1 hoặc x = −52�� D x = 1 hoặc x = 5

2

Câu 13. Nghiệm của phương trình: 4x − 3.2x + 2 = 0 là�� A x = 1 hoặc x = 0

B. x = 1 hoặc x = 2

C. x = 1

D. x = 2

Câu 14. Phương trình 10log 9 = 8x+ 5 có nghiệm là

A. x = 0�� B x = 1

2C. 5

8D. x = 7

4

Câu 15. Cho hàm số: f(x) = ecos 2x, khẳng định nào sau đây đúng?

A. f ′ (π6

)= e

√3

2 B. f ′ (π6

)= −e

√3

2 C. f ′ (π6

)=

√3e�� D f ′ (π

6

)= −

√3e

Câu 16. Cho hàm số: y = ln 1x+1

, khẳng định nào sau đây đúng?

A. xy′ + 1 = −ey B. xy′ − 1 = ey�� C xy′ + 1 = ey D. xy′ − 1 = −ey

Câu 17. Số nghiệm của phương trình: log2(4x)− logx22 = 3 là

A. 1�� B 2 C. 3 D. 0

Câu 18. Các giá trị của m để phương trình: 9x − 2.3x +m− 1 = 0 có nghiệm là

A. m = −2 B. m = −1 C. m ⩽ −1�� D m ⩽ 2

Câu 19. Các giá trị của m để bất phương trình: log2 (x2 + 2x+ 3−m) > 1 thỏa với mọisố thực x là

A. m ⩽ 0�� B m < 0 C. m > 0 D. m ⩾ 0

Câu 20. Cho đồ thị như hình bên, khẳng định nào sau đâyđúng đối với a, b, c.

A. c < a < b�� B a < b < cC. c < a < bD. b < c < a


MỘT CÁCH SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚIVÀO VIỆC CHỌN NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ

THEO HƯỚNG THI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUANTrường THPT Thành Phố Sóc Trăng

Với phương án thi THPT Quốc gia 2017, trắc nghiệm Toán là điều bất ngờ không chỉvới học sinh mà cả giáo viên. Là người trực tiếp giảng dạy, tôi biết nhiều học sinh hoangmang trước thay đổi này. Việc chuyển từ thi tự luận sang trắc nghiệm đồng nghĩa việcthay đổi cách học quen thuộc của các em, chuyển từ việc trình bày theo hướng lôgic sangviệc nhanh chóng đưa ra kết quả bằng mọi hình thức có thể. Vì vậy việc sử dụng máy tínhtrong việc giải toán trắc nghiệm là rất cần thiết đặc biệt trong nội dung Nguyên hàm.kì thi THPT Quốc gia 2017, kiến thức chỉ giới hạn trong chương trình lớp 12 nên việcôn luyện của các em có nhiều thuận lợi. Tuy nhiên, học sinh không nên chủ quan, bởinhững câu hỏi mang tính chất phân loại thường có sự liên kết giữa kiến thức của các nămTHPT.Bộ GD&ĐT đã công bố đề thi minh họa theo đó, bài thi Toán có 50 câu trắc nghiệm,thời gian thi 90 phút; với cấu trúc của đề thi minh họa kì thi THPT Quốc gia là 60% cơbản và 40% nâng cao. Khó khăn nhất khi làm bài thi trắc nghiệm là phân bố thời gianhợp lý. Nếu dành quá nhiều thời gian cho một câu hoặc giải theo trình tự theo phươngpháp tự luận thì học sinh không thể làm tốt những câu khác.

Dựa vào định nghĩa của nguyên hàm:��

��

Cho hàm số f (x) xác định trên K. Nếu F ′ (x) = f (x) thì F (x) được gọilà nguyên hàm của hàm số f (x) trên K.

Từ đó ta suy ra một cách sử dụng máy tính bỏ túi để chọn nguyên hàm củahàm số f (x) như sau: chọn x0 tính F ′ (x0), so sánh với f (x0) rồi kết luận.

Ví dụ minh họaCâu 1. Nguyên hàm của hàm số: y = ex

(2 + e−x

cos2x

)là:

A. 2ex − tanx+ C

B. 2ex − 1cosx + C

C. 2ex + 1cosx + C�� D 2ex + tanx+ C

Hướng dẫn

Tính giá trị biểu thức ex(2 + e−x

cos2x

)tại x = 0 ta được kết quả bằng 3.

Tính đạo hàm của 2ex − tanx; 2ex − 1cosx ; 2e

x + 1cosx ; 2e

x + tanx tại x = 0.Ta chọn đáp án D.

Câu 2. Một nguyên hàm của hàm số: y = sin 5x.cos3x là

63


�� A −12

( cos 8x8

+ cos 2x2

)B. 1

2

( cos 8x8

+ cos 2x2

) C. 12

( cos 8x8

− cos 2x2

)D. 1

2

( sin 8x8

+ sin 2x2

)Hướng dẫnTính giá trị biểu thức sin 5x. cos 3x tại x = π

4ta được kết quả bằng 1

2.

Tính đạo hàm của−12

( cos 8x8

+ cos 2x2

); 12

( cos 8x8

+ cos 2x2

); 12

( cos 8x8

− cos 2x2

); 12

( sin 8x8

+ sin 2x2

)tại x = π

4.

Ta chọn đáp án A.

Câu 3.∫ (x2−1)

2

x3 dx =?

A. x2

2− 2 ln |x|+ 1

2x2 + C

B. x2

2− 2 ln |x| − 1

x2 + C

�� C x2

2− 2 ln |x| − 1

2x2 + C

D. x2

2− 2 ln |x| − 1

3x2 + C

Hướng dẫn

Tính giá trị biểu thức (x2−1)2

x3 tại x = 2, kết quả bằng 98·

Tính đạo hàm của x2

2− 2 ln |x| + 1

2x2 ; x2

2− 2 ln |x| − 1

x2 ; x2

2− 2 ln |x| − 1

2x2 ;x2

2− 2 ln |x| − 1

3x2 tại x = 2.Ta chọn đáp án C.

Câu 4. Một nguyên hàm của hàm số: f(x) = x√1 + x2 là

A. F (x) = 12

(x2√1 + x2

)�� B F (x) = 1

3

(√1 + x2

)3 C. F (x) = x2

3

(√1 + x2

)3D. F (x) = 1

3x2(√

1 + x2)3

Hướng dẫnTính giá trị biểu thức x

√1 + x2 tại x = 2 ta được kết quả bằng 2

√5.

Tính đạo hàm của 12

(x2√1 + x2

); 13

(√1 + x2

)3; x2

3

(√1 + x2

)3; 13x2(√

1 + x2)3

tại x = 2.Ta chọn đáp án B.

Câu 5.∫(x√x+ e2017x) dx =?

A. 52x2√x+ e2017x

2017+ C

B. 25x3√x+ e2017x

2017+ C

C. 35x2√x+ e2017x

2017+ C�� D 2

5x2√x+ e2017x

2017+ C

Hướng dẫnTính giá trị biểu thức x

√x tại x = 4 ta được kết quả bằng 8.

Tính đạo hàm của 52x2√x; 2

5x3√x; 3

5x2√x; 2

5x2√x tại x = 4.

Ta chọn đáp án D.

Qua những ví dụ trên tôi nhận thấy việc sử dụng máy tính bỏ túi thì việc lựa chọn đápán đúng sẽ nhanh hơn và dễ dàng hơn đối với nội dung “Nguyên hàm”, rút ngắn đượcthời gian làm bài, dành được nhiều thời gian cho những câu hỏi mức độ vận dụng cao.Mong được sự đóng góp ý kiến của quý đồng nghiệp!


SỬ DỤNG MÁY TÍNH TRONG GIẢI TOÁNTRẮC NGHIỆM LƯỢNG GIÁC LỚP 10

Lâm Quốc Toàn - THPT chuyên Nguyễn Thị Minh Khai

Trong giải toán trắc nghiệm ngoài việc nắm vững kiến thức, biết suy luận lôgic, biết cáckỹ thuật làm bài trắc nghiệm khách quan để giải được bài toán trắc nghiệm còn phảiquan tâm đến thời gian giải toán. Máy tính cầm tay là công cụ hữu hiệu cho các em họcsinh trong giải nhanh toán trắc nghiệm. Bài viết trình bày phương pháp giải một số dạngtoán trắc nghiệm trong chương trình lượng giác lớp 10 bằng sử dụng máy tính cầm tay,hy vọng giúp bạn đọc tự tin hơn trong việc giải các bài toán trắc nghiệm.

1 Một số dạng toán lượng giác

1.1 Dạng tính giá trị của biểu thức�

�Bài toán: Cho biểu thức A. Hãy tính giá trị của biểu thức A.

Phương pháp giải trên máy tính

• Chuyển sang đơn vị đo góc phù hợp với đề bài bằng cú pháp:

∗ Đơn vị đo góc là rađian: Ấn các phím qw4;∗ Đơn vị đo góc là độ: Ấn các phím qw3.

• Nhập cụ thể biểu thức cần tính.

Ví dụ 1 (sách giáo khoa, bài 63 trang 219). cos π12. cos 7π

12bằng

A.√32

B.√34

C. 12

�� D −14

Giải trên máy tính CASIO fx-570VN PLUS

• Chuyển sang đơn vị đo góc là rađian: Ấn các phím qw4.

• Tính cos π12. cos 7π

12. Ấn các phím

kAqKR12)kA7qKR12)=

• Dựa trên màn hình máy tính ta được kết quả là −14. Đáp án: D.

Ví dụ 2 (sách giáo khoa, bài 65 trang 219). cos 80◦−cos 20◦sin 40◦. cos 10◦+sin 10◦. cos 40◦ bằng

A. 1 B.√32

�� C −1 D. −√32


• Chuyển sang đơn vị đo góc là độ: Ấn các phím qw3.

65


• Tính cos 80◦−cos 20◦sin 40◦. cos 10◦+sin 10◦. cos 40◦

ak80)pk20)R

j40)k10)+j10)k40)=

• Dựa trên màn hình máy tính ta được kết quả là −1. Đáp án: C.

Ví dụ 3. Giá trị của biểu thức A = cos π9+ cos 2π

9+ ...+ cos π bằng

A. 1 B. 8, 99�� C −1 D. 0


• Chuyển sang đơn vị đo góc là rađian: Ấn các phím qw4.

• Tính A = cos π9+ cos 2π

9+ ...+ cosπ =

9∑X=1

(cos

(Xπ

9

)).

qikaQ)qKR9)$

1E9= (nhập các cận dưới và trên)

• Dựa trên màn hình máy tính ta được kết quả là −1. Đáp án: C.

Ví dụ 4. Giá trị của biểu thức A = tan 1◦. tan 2◦. tan 3◦... tan 89◦ bằng�� A 1 B. 0 C. −1 D. 265, 02



• Tính A = tan 1◦. tan 2◦. tan 3◦... tan 89◦ =89∏

X=1

(tan (X))

QilQ)$

1E89= (nhập các cận dưới và trên)

• Dựa trên màn hình máy tính ta được kết quả là 1. Đáp án: A.

1.2 Dạng tính giá trị biểu thức khi biết trước một giá trị lượnggiác (một biểu thức lượng giác)�

�Bài toán: Cho một giá trị lượng giác (biểu thức). Hãy tính giá trị của biểu thức A.


• Sử dụng máy tính tìm ra giá trị lượng giác cụ thể bằng cú phápqj,qk,ql hoặc qr.

• Nhập giá trị lượng giác vừa tìm được vào biểu thức cần tính.

Ví dụ 5. Tính P = (1− 3 cos 2α) (2 + 3 cos 2α) biết sinα = 23



A. 2 B. 109

�� C 149

D. 209

Giải trên máy tính VINACAL 570ES PLSUS II


• Tìm giá trị α thỏa sinα = 23.

• Tính giá trị của biểu thức P .

• Dựa trên màn hình máy tính ta được kết quả là 149. Đáp án: C.

Ví dụ 6. Nếu sinα + cosα = 12thì sin 2α bằng

A. 38

�� B −34

C.√22

D. 34



• Tìm giá trị α thỏa sinα + cosα = 12.

Giải nghiệm phương trình trên bằng qr=

• Tính giá trị của biểu thức P .

• Dựa trên màn hình máy tính ta được kết quả là −34. Đáp án: B.

Ví dụ 7. Cho π2< α < π và cotα = −3

4. Tính giá trị của biểu thức A = 2 sinα+tanα

tanα+1

A. 445

�� B −45

C. −395

D. 3935





• Tìm giá trị α thỏa cotα = −34và π

2< α < π.

Giải nghiệm phương trình trên bằngqr150= (nhằm tìm nghiệm trênkhoảng (90◦; 180◦)).

• Tính giá trị của biểu thức A.

• Dựa trên màn hình máy tính ta được kết quả là −0, 8. Đáp án: B.

Ví dụ 8. Cho x, y là 2 số thực thỏa mãn điều kiện 0 < x < π4và x− y = 3π

4. Tìm giá trị

của biểu thức A = (1− tanx) (1 + tan y).

A. −3√2

2B.

√22

C. 1�� D 2



• Thay x = 1◦, y = −134◦ (có thể thay x, y là các giá trị khác, nhưng phải thỏa điềukiện 0 < x < 45◦ và x− y = 135◦).

Ta được kết quả

• Dựa trên màn hình máy tính ta được kết quả là 2. Đáp án: D.

Ví dụ 9. Cho sinα = 23, cos β = −3

4và các điểm trên đường tròn xác định bởi số α và β

nằm ở góc phần tư II. Giá trị của biểu thức sin (α + β) bằng�� A −6+√35

12B. −6+

√35

12C. −6−

√35

12D. 6+

√35

12





• Tìm giá trị α thỏa sinα = 23và 90◦ < α < 180◦.


Lưu kết quả lại lại: Ấn các phím qJx.

• Tìm giá trị β thỏa cos β = −34và 90◦ < α < 180◦.


Lưu kết quả lại lại: Ấn các phím qJz.

• Tính giá trị của biểu thức sin (α + β).

• Thử từng đáp án A, B, C, D và màn hình máy tính ta được kết quả là −6+√35

12. Đáp

án: A.

1.3 Dạng rút gọn biểu thức�

�Bài toán: Cho biểu thức A. Rút gọn biểu thức A.


• Tính giá trị biểu thức A bằng một giá trị cụ thể nào đó.

• Tính từng giá trị của biểu thức ở các đáp án với giá trị cụ thể ở trên.

• So sánh các kết quả chọn ra đáp án đúng.

Ví dụ 10. Rút gọn biểu thức A = sin6x+ cos6x+ 3cos2xcot2x+1

(khi các biểu thức có nghĩa) tađược?



A. A = 0 B. A = −1�� C A = 1 D. A = cos x



• Thay x = 1◦ vào biểu thức A


• Dựa trên màn hình máy tính ta được kết quả là 1. Đáp án: C.

Ví dụ 11. Rút gọn biểu thức A = 1+sin 2α−cos 2α1+sin 2α+cos 2α (khi các biểu thức có nghĩa) ta được?

A. A = sinα B. A = cosα�� C A = tanα D. A = cotα



• Thay x = 1◦ vào biểu thức A.


• Thay x = 1◦ vào các đáp án A, B, C, D. Ta được



• Dựa trên màn hình máy tính ta được là A = tanα. Đáp án: C.

Ví dụ 12. Với mọi tam giác ABC ta luôn có: P = sinA+ sinB + sinC bằng�� A 4 cos A2cos B

2cos C

2

B. 4 sin A2sin B

2sin C

2

C. 1 + 4 cos A2cos B

2cos C

2

D. 1 + 4 sin A2sin B

2sin C

2



• Thay A = 1◦, B = 1◦, C = 178◦ (có thể thay bằng các giá trị khác thỏa A+B+C =180◦) vào biểu thức P .


• Thay A = 1◦, B = 1◦, C = 178◦ vào các đáp án A, B, C, D. Ta được

• Dựa trên màn hình máy tính ta được kết quả là 4 cos A2cos B

2cos C

2. Đáp án: A.

2 Bài tập tự luyện có đáp ánBài 1 (sách giáo khoa, bài 64 trang 219). sin 90◦

4. cos 270◦

4bằng�� A 1

2

(1−

√22

)B. 1

2

(√22− 1

)C. 1

2

(1 +

√22

)D.

√2− 1

Bài 2 (sách giáo khoa, bài 62 trang 219). sin π15

. cos π10

+sin π10

. cos π15

cos 2π15

. cos π5−sin 2π

15. sin π

5

bằng

A.√3

�� B 1 C. −1 D. 12

Bài 3. Giá trị của biểu thức: cos 10◦ + cos 20◦ + cos 30◦ + ...+ cos 180◦ bằng



A. 17, 68 B. −0, 68�� C −1 D. 0

Bài 4. Cho góc α thỏa mãn tanα = 2. Giá trị của biểu thức A = sinα+2cos3αcosα+2sin3α

bằng�� A 47

B. −47

C. 74

D. −37

Bài 5. Cho góc α thỏa mãn: π2< α < π và sinα = 3

5. Khi đó giá trị của biểu thức

A = tanα1+tan2α

bằng

A. 1225

B. 1325

�� C −1225

D. −1325

Bài 6. Cho góc α thỏa mãn: π < α < 3π2

và sinα − 2 cosα = 1. Khi đó giá trị của biểuthức A = 2 tanα− cotα bằng

A. −16

�� B 16

C. 56

D. −56

Bài 7. Rút gọn biểu thức P = sina+sin 4a+sin 6a1+cos 2a+cos 4a (khi các biểu thức có nghĩa) ta được?

A. P = 4 sin 2a B. P = sin 2a�� C P = 2 sin 2a D. P = sin 3a

Bài 8. Với mọi tam giác ABC ta luôn có: cosA+ cosB + cosC =?�� A 1 + 4 sin A2sin B

2sin C

2

B. 4 sin A2sin B

2sin C

2

C. 1 + 4 cos A2cos B

2cos C

2

D. 4 cos A2cos B

2cos C

2

3 Kết luậnBài viết trình bày một số dạng toán trắc nghiệm giải được bằng sử dụng máy tính cầmtay trong chương trình lượng giác lớp 10, để minh họa cho các dạng toán đang xét, tácgiả cố gắng lấy các ví dụ cụ thể để minh họa cho từng dạng toán. Các ví dụ cho thấy tínhhữu hiệu của máy tính cầm tay trong việc giải nhanh các bài toán trắc nghiệm.Máy tính cầm tay là công cụ hữu hiệu cho các em học sinh trong giải nhanh toán trắcnghiệm. Ngoài ra sử dụng thành thạo máy tính cầm tay, học sinh còn tự rèn luyện khảnăng tư duy thuật toán, qua đó giúp các em củng cố khắc sâu kiến thức hơn, nâng caokhả năng tư duy lôgic, giúp các em học tốt hơn.


TÌM HIỂU ĐỀ MINH HỌA MÔN TOÁN 2017VÀ MỘT VÀI LƯU Ý KHI ÔN LUYỆN

VÀ RA ĐỀ TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁNHuỳnh Quốc Huy - THPT chuyên Nguyễn Thị Minh Khai

Kì thi THPT Quốc gia năm 2017, thí sinh sẽ làm bài thi môn Toán dưới hình thức trắcnghiệm. Nhằm tạo điều kiện thuận lợi để giáo viên và học sinh nắm được mức độ yêu cầuvề chuẩn kiến thức và kỹ năng cần đánh giá của đề thi, Bộ GD&ĐT đã công bố Đề minhhọa các môn vào đầu tháng 10 năm 2016.Khi đã có Đề minh họa môn Toán, điều cần làm đối với những giáo viên dạy Toán 12,là truy ngược lại Ma trận khung đã sinh ra Đề đó. Do Đề thi (thật) môn Toán và Đềminh họa được sinh ra từ một Ma trận khung, nên nếu ma trận khung mà giáo viên thuđược từ Đề minh họa càng giống với Ma trận khung mà Bộ GD&ĐT đã ấn định, thì từma trận khung đó, giáo viên có thể thiết kế được những đề thi theo tinh thần của Kì thiTHPT Quốc gia 2017, đã được Bộ GD&ĐT truyền tải thông qua Đề minh họa.Trong bài viết này, chúng tôi đưa ra ma trận khung thu được từ Đề minh họa theo nhậnđịnh chủ quan của mình. Đồng thời, cũng nêu ra một số lưu ý khi ra đề trắc nghiệm dànhcho học sinh ôn luyện.

1 Ma trận khung được phát họa từ Đề minh họa mônToán

1.1 Ma trận chi tiết(nội dung được tính theo đơn vị kiến thức là một bài học, Bảng 1)

1.2 Ma trận thu gọn(nội dung được tính theo đơn vị kiến thức là một chủ đề, Bảng 2)

Nhận xét. Từ một ma trận thu gọn theo chủ đề (Bảng 2), có thể sinh ranhiều ma trận chi tiết khác nhau (có dạng như ở Bảng 1). Từ một ma trậnchi tiết có thể sinh ra các cấu trúc đề thi khác nhau.

73

SởG

iáodục

vàĐ

àotạo

SócTrăng

Nội dung Cấp độ Nhận biết Hiểu Vận dụng (thấp) Vận dụng cao

Chủ đề 1. Ứngdụng đạo hàmđể khảo sát vàvẽ đồ thị(11 câu)

§1. Sự đồng biến,nghịch biến của hàmsố

Biết cách xét sự đồngbiến, nghịch biến củamột hàm số trên mộtkhoảng dựa vào dấuđạo hàm cấp một củanó.

Tìm được giá trị củatham số m để hàm sốđồng biến (nghịchbiến) trên một khoảngK cho trước. (hàm sốdạng y = f(u(x))trong đó u(x) đơn điệutrên K, f là hàm sốđược khảo sát quenthuộc trong chươngtrình)

(2 câu) (c3) (c11)§2. Cực trị của hàm số - Biết các khái niệm

điểm cực đại, điểm cựctiểu, điểm cực trị củahàm số.- Biết các điều kiện đủđể có điểm cực trị củahàm số.

Biết cách tìm điểmcực trị của hàm số

Tìm được giá trị củatham số m để hàm sốđa thức bậc 3, 4 cóđiểm cực trị thỏa mãnmột điều kiện nào đó

(3 câu) (c4) (c5) (c8)§3. Giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất củahàm số

Biết các khái niệm giátrị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất của hàm sốtrên một tập hợp số.

Biết cách tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏnhất của hàm số trênmột đoạn, một khoảng

Giải được một số bàitoán tối ưu đơn giảntrong thực tế (đưađược về bài toán tìmGTLN, GTNN củahàm một biến và giảinó)

(2 câu) (c6) (c10)

Hộithảo

Dạy

vàhọc

Toántheo

địnhhướng

thitrắcnghiệm

kháchquan

74

SởG

iáodục

vàĐ

àotạo

SócTrăng


§4. Đường tiệm cận. Biết khái niệm đườngtiệm cận đứng, đườngtiệm cận ngang của đồthị.

Biết cách tìm đườngtiệm đứng, tiệm cậnngang của đồ thị hàmsố. Biết tìm m để đồthị hàm số đã cho cótiệm cận đứng (ngang)thỏa mãn điều kiệncho trước

(2 câu) (c2) (c9)§5. Khảo sát sự biếnthiên và vẽ đồ thị củahàm số

Biết nhận ra đồ thịhàm số được vẽ sẵn làđồ thị của hàm số đãcho trước nào (giớihạn trong các hàm số:hàm số đa thức bậc 3,bậc 4 (trùng phương),hữu tỉ (tử và mẫu làbậc nhất)

(1 câu) (c1)Sự tương giao của haiđồ thị

Tìm được tọa độ giaođiểm của hai đồ thịhàm số cho trước (mộtđường thẳng và mộtđường cong được giớihạn trong chươngtrình)

(1 câu) (c7)

Hộithảo

Dạy

vàhọc

Toántheo

địnhhướng

thitrắcnghiệm

kháchquan

75

SởG

iáodục

vàĐ

àotạo

SócTrăng


Chủ đề 2. Hàmsố mũ, hàm sốlôgarit(10 câu)

§1 Lũy thừa Đưa được từ một môhình thực tế về môhình toán học, có liênquan đến lũy thừa vớisố mũ nguyên

(1 câu) (c21)§2 Hàm số lũy thừa§3 Lôgarit Biết khái niệm lôgarit

cơ số a với a > 0, a = 0của một số dương

Biết vận dụng các tínhchất của lôgarit vàocác bài tập biến đổi,tính toán các biểuthức chứa lôgarit.

(2 câu) (c15) (c17,c19)§4 Hàm số mũ. Hàmsố lôgarit

Biết công thức tínhđạo hàm của các hàmsố luỹ thừa, hàm sốmũ, hàm số lôgarit.

Tính được đạo hàmcác hàm số có đối số ởsố mũc ủa lũy thừa, vàdưới dấu lôgarit (ví dụy = 3x + ln 3x

x

Biết vận dụng tínhchất của các hàm sốmũ, hàm số lôgarit vàoviệc so sánh hai số, haibiểu thức chứa mũ vàlôgarit

(3 câu) (c13) (c18) (c20)§5 Phương trình mũ vàphương trình lôgarit

Biết giải phương trìnhmũ và phương trìnhlôgarit cơ bản

(1 câu) (c12)

Hộithảo

Dạy

vàhọc

Toántheo

địnhhướng

thitrắcnghiệm

kháchquan

76

SởG

iáodục

vàĐ

àotạo

SócTrăng


§6 Bất phương trìnhmũ và bất phươngtrình lôgrit

Giải được phươngtrình và bất phươngtrình mũ, lôgarit cơbản.

Giải được các phươngtrình, bất phươngtrình mũ và lôgaritđơn giản: phươngpháp đưa về lôgaritcùng cơ số, phươngpháp mũ hoá, phươngpháp dùng ẩn số phụ.

(2 câu) (c14) (c16)

Chủ đề 3.Nguyên hàm,tích phân vàứng dụng(7 câu)

§1 Nguyên hàm - Hiểu khái niệmnguyên hàm của mộthàm số.- Biết các tính chất cơbản của nguyên hàm

Vận dụng khái niệmnguyên hàm giải bàitoán thực tế (đưađược từ mô hình thựctế về mô hình toánhọc, có liên quan đếnnguyên hàm)

(2 câu) (c23) (c24)§2 Tích phân Tính được tích phân

của một số hàm sốtương đối đơn giảnbằng định nghĩa hoặcphương pháp tính tíchphân từng phần, vàphương pháp đổi biến

(2 câu) (c25,c26)§3 Ứng dụng tíchphân trong hình học

Biết các công thứctính diện tích, thể tíchnhờ tích phân.

Tính được diện tíchmột số hình phẳng,thể tích một số khốinhờ tích phân

(3 câu) (c22) (c27,c28)

Hộithảo

Dạy

vàhọc

Toántheo

địnhhướng

thitrắcnghiệm

kháchquan

77

SởG

iáodục

vàĐ

àotạo

SócTrăng


Chủ đề 4. Sốphức(6 câu)

§1 Số phức Biết khái niệm sốphức, số phức liênhợp; phần thực, phầnảo và mô đun của sốphức. Biểu diễn hìnhhọc của số phức.

Vận dụng công thứccác phép toán cộng,trừ, nhân, chia hai sốphức, mô đun của sốphức để tìm tập hợpđiểm biểu diễn số phức

(2 câu) (c29) (c34)§2 Cộng, trừ và nhânsố phức

Thực hiện được cácphép tính cộng, trừ,nhân hai số phức.

(1 câu) (c30)§3 Phép chia số phức Chia số phức(1 câu) (c31)§4 Phương trình bậchai với hệ số thực

Biết căn bậc hai củasố thực âm

Biết tìm nghiệm phứccủa phương trình bậchai với hệ số thực (nếu∆ < 0)

(1 câu) (c33)

Hộithảo

Dạy

vàhọc

Toántheo

địnhhướng

thitrắcnghiệm

kháchquan

78

SởG

iáodục

vàĐ

àotạo

SócTrăng

Nội dung Cấp độ Nhận biết Hiểu Vận dụng (thấp) Vận dụng caoChủ đề 5. Khốiđa diên và thểtích khối đadiện(4 câu)

§1. Khái niệm về khốiđa diện.§2. Khối đa diện lồi vàkhối đa diện đều.3. Thể tích của khốichóp và khối lăng trụ

Tính được thể tíchkhối lăng trụ và khốichóp.

Biết tính thể tích củakhối chóp.

Vận dụng công thứctính thể tích khối chóptam giác để tínhkhoảng cách từ mộtđiểm đến một phẳng

(4 câu) (c35,c36) (c37) (c38)

Chủ đề 6. Khốiđa diên và thểtích khối đadiện(4 câu)

§1 Mặt cầu Tính được diện tíchmặt cầu, thể tích khốicầu ngoại tiếp hìnhchóp, hình lăng trụ(đối với hình chóp, giớihạn ở loại hình chópthỏa điều kiện: tồn tạimặt phẳng chứa trụcđường tròn ngoại tiếpđáy và một cạnh bên).

(1 câu) (c42)§2 Khái niệm về mặttròn xoay§3 Mặt trụ Biết khái niệm hình

trụ và công thức tínhdiện tích xung quanhcủa hình trụ, thể tíchkhối trụ.

Tính được diện tíchxung quanh, diện tíchtoàn phần của hìnhtrụ.

Tính được thể tíchkhối trụ

(2 câu) (c41) (c40)

Hộithảo

Dạy

vàhọc

Toántheo

địnhhướng

thitrắcnghiệm

kháchquan

79

SởG

iáodục

vàĐ

àotạo

SócTrăng


§4 Mặt nón Biết khái niệm mặtnón. Tính được diệntích xung quanh củahình nón.

(1 câu) (c39)

Chủ đề 7.Phương pháptọa độ trongkhông gian(8 câu)

§1 Hệ tọa độ trongkhông gianI. Tọa độ điểm vàvectơ, biểu thức tọađộ các phép toán

Tính được toạ độ củatổng, hiệu hai vectơtích vectơ với một số;tính được tích vôhướng của hai vectơ;khoảng cách giữa haiđiểm có tọa độ chotrước.

II. Phương trình mặtcầu

Xác định được toạ độtâm và bán kính củamặt cầu có phươngtrình cho trước.

Viết được phươngtrình mặt cầu

(2 câu) (c44) (c48)§2 Phương trình mặtphẳngI. Vectơ pháp tuyếncủa mặt phẳng,phương trình tổngquát của mặt phẳng

Xác định được véctơpháp tuyến của mặtphẳng; Hiểu được kháiniệm véctơ pháp tuyếncủa mặt phẳng; Điềukiện vuông góc hoặcsong song của hai mặtphẳng.

Biết cách viết phươngtrình mặt phẳng (khiđã biết tọa độ mộtđiểm của mặt phẳngvà một điều kiện đểtìm tọa độ vectơ pháptuyến của mặt phẳngđó)

Vận dụng kiến thức vềphương trình mặtphẳng để kiểm tra sựkhông đồng phẳng củabộ 4 điểm,...

(3 câu) (c43) (c47) (c50)

Hộithảo

Dạy

vàhọc

Toántheo

địnhhướng

thitrắcnghiệm

kháchquan

80

SởG

iáodục

vàĐ

àotạo

SócTrăng


II. Điều kiện để haimặt phẳng song song,vuông gócIII. Khoảng cách từmột điểm đến mặtphẳng

Tính được khoảngcách từ một điểm đếnmột mặt phẳng (khiđã biết tọa độ củađiểm và phương trìnhcủa mặt phẳng)

(1 câu) (c45)§3 Phương trìnhđường thẳngI. Phương trình thamsố của đường thẳng

Biết tìm tọa độ mộtđiểm và tọa độ mộtvectơ chỉ phương củađường thẳng cho bởiphương trình.

II. Điều kiện để haiđường thẳng songsong, cắt nhau, chéonhau

Biết cách viết phươngtrình tham số củađường thẳng; Tìmđược tọa độ của điểmthuộc đường thẳng(cho bởi phương trình)và thỏa mãn tính chấtnào đó.

(1 câu) (c49)

Hộithảo

Dạy

vàhọc

Toántheo

địnhhướng

thitrắcnghiệm

kháchquan

81

SởG

iáodục

vàĐ

àotạo

SócTrăng


III. Điều kiện đểđường thẳng songsong, vuông góc, cắtmặt phẳng

Xét được vị trí tươngđối của đường thẳngvà mặt phẳng, điềukiện để đt vuông gócmặt phẳng.

(1 câu) (c46)

Bảng 1: Ma trận khung chi tiết

Hộithảo

Dạy

vàhọc

Toántheo

địnhhướng

thitrắcnghiệm

kháchquan

82

SởG

iáodục

vàĐ

àotạo

SócTrăng

Cấp độNội dung

Nhận biết Hiểu Vận dụng (thấp) Vận dụng cao Cộng

Chủ đề 1.Ứng dụngđạo hàm đểkhảo sát vàvẽ đồ thị(11 câu)

- Biết cách xét sự đồng biến,nghịch biến của một hàm sốtrên một khoảng dựa vào dấuđạo hàm cấp một của nó.- Biết các khái niệm điểm cựcđại, điểm cực tiểu, điểm cực trịcủa hàm số.- Biết các điều kiện đủ để cóđiểm cực trị của hàm số.- Biết các khái niệm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất của hàmsố trên một tập hợp số.- Biết khái niệm đường tiệmcận đứng, đường tiệm cậnngang của đồ thị.- Biết nhận ra đồ thị hàm sốđược vẽ sẵn là đồ thị của hàmsố đã cho trước nào (giới hạntrong các hàm số: hàm số đathức bậc 3, bậc 4 (trùngphương), hữu tỉ (tử và mẫu làbậc nhất).

- Biết cách tìm điểm cực trịcủa hàm số.- Biết cách tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất củahàm số trên một đoạn, mộtkhoảng.- Tìm được tọa độ giao điểmcủa hai đồ thị hàm số chotrước (một đường thẳng vàmột đường cong được giớihạn trong chương trình).

- Tìm được giá trị của thamsố m để hàm số đa thức bậc3, 4 có điểm cực trị thỏamãn một điều kiện nào đó.- Biết cách tìm đường tiệmđứng, tiệm cận ngang của đồthị hàm số. Biết tìm m đểđồ thị hàm số đã cho có tiệmcận đứng (ngang) thỏa mãnđiều kiện cho trước.

- Tìm được giá trị của thamsố m để hàm số đồng biến(nghịch biến) trên mộtkhoảng K cho trước. (hàmsố dạng y = f(u(x)) trongđó u(x) đơn điệu trên K, flà hàm số được khảo sátquen thuộc trong chươngtrình).- Giải được một số bài toántối ưu đơn giản trong thựctế (đưa được về bài toán tìmGTLN, GTNN của hàm mộtbiến và giải nó).

Số câu 3 4 2 2 11câuSố điểm 0,6 0,8 0,4 0,4 2,2đTỉ lệ 22%

Hộithảo

Dạy

vàhọc

Toántheo

địnhhướng

thitrắcnghiệm

kháchquan

83

SởG

iáodục

vàĐ

àotạo

SócTrăng



Chủ đề 2.Hàm số mũ,hàm sốlôgarit(10 câu)

- Biết khái niệm lôgarit cơ số avới a > 0, a = 0 của một sốdương.- Biết công thức tính đạo hàmcủa các hàm số luỹ thừa, hàmsố mũ, hàm số lôgarit.- Biết giải phương trình mũ vàphương trình lôgarit cơ bản.

- Tính được đạo hàm cáchàm số có đối số ở số mũcủa lũy thừa, và dưới dấulôgarit (ví dụ y = 3x + ln 3x

x- Giải được phương trình vàbất phương trình mũ, lôgaritcơ bản.

- Biết vận dụng các tínhchất của lôgarit vào các bàitập biến đổi, tính toán cácbiểu thức chứa lôgarit.- Biết vận dụng tính chấtcủa các hàm số mũ, hàm sốlôgarit vào việc so sánh haisố, hai biểu thức chứa mũ vàlôgarit.- Giải được các phươngtrình, bất phương trình mũvà lôgarit đơn giản: phươngpháp đưa về lôgarit cùng cơsố, phương pháp mũ hoá,phương pháp dùng ẩn sốphụ.

Đưa được từ một mô hìnhthực tế về mô hình toán học,có liên quan đến lũy thừavới số mũ nguyên


Hộithảo

Dạy

vàhọc

Toántheo

địnhhướng

thitrắcnghiệm

kháchquan

84

SởG

iáodục

vàĐ

àotạo

SócTrăng



Chủ đề 3.Nguyênhàm, tíchphân vàứng dụng(7 câu)

- Hiểu khái niệm nguyên hàmcủa một hàm số.- Biết các tính chất cơ bản củanguyên hàm.- Biết các công thức tính diệntích, thể tích nhờ tích phân.

- Tính được tích phân củamột số hàm số tương đốiđơn giản bằng định nghĩahoặc phương pháp tính tíchphân từng phần, và phươngpháp đổi biến số.- Tính được diện tích hìnhphẳng, thể tích một số khốinhờ tích phân.

Vận dụng khái niệm nguyênhàm giải bài toán thực tế(đưa được từ mô hình thựctế về mô hình toán học, cóliên quan đến nguyên hàm).

Số câu 2 4 0 1 7câuSố điểm 0,4 0,8 0,0 0,2 1,4đTỉ lệ 14%Chủ đề 4.Số phức (6câu)

- Biết khái niệm số phức, sốphức liên hợp; phần thực, phầnảo và mô đun của số phức. Biểudiễn hình học của số phức.- Biết căn bậc hai của số thựcâm.

Thực hiện được các phéptính cộng, trừ, nhân hai sốphức và chia số phức.

Biết tìm nghiệm phức củaphương trình bậc hai với hệsố thực (nếu ∆ < 0).

Vận dụng công thức cácphép toán cộng, trừ, nhân,chia hai số phức, mô đuncủa số phức để tìm tập hợpđiểm biểu diễn số phức.


Hộithảo

Dạy

vàhọc

Toántheo

địnhhướng

thitrắcnghiệm

kháchquan

85

SởG

iáodục

vàĐ

àotạo

SócTrăng



Chủ đề 5.Khối đadiên và thểtích khối đadiện(4 câu)

Tính được thể tích khối lăngtrụ và khối chóp.

Biết tính thể tích của khốichóp.

Vận dụng công thức tính thểtích khối chóp tam giác đểtính khoảng cách từ mộtđiểm đến một phẳng.

Số câu 0 2 1 1 4câuSố điểm 0,0 0,4 0,2 0,2 0,8đTỉ lệ 8%Chủ đề 6.Khối đadiên và thểtích khối đadiện(4 câu)

Biết khái niệm hình trụ và côngthức tính diện tích xung quanhcủa hình trụ, thể tích khối trụ.

- Tính được diện tích xungquanh, diện tích toàn phầncủa hình trụ.- Biết khái niệm mặt nón.Tính được diện tích xungquanh của hình nón.

Tính được diện tích mặtcầu, thể tích khối cầu ngoạitiếp hình chóp, hình lăng trụ(đối với hình chóp, giới hạnở loại hình chóp thỏa điềukiện: tồn tại mặt phẳng chứatrục đường tròn ngoại tiếpđáy và một cạnh bên).- Tính được thể tích khốitrụ, khối cầu, khối nón trongmột số tình huống thực tế.


Hộithảo

Dạy

vàhọc

Toántheo

địnhhướng

thitrắcnghiệm

kháchquan

86

SởG

iáodục

vàĐ

àotạo

SócTrăng



Chủ đề 7.Phươngpháp tọa độtrong khônggian(8 câu)

- Tính được toạ độ của tổng,hiệu hai vectơ tích vectơ vớimột số; tính được tích vô hướngcủa hai vectơ; khoảng cách giữahai điểm có tọa độ cho trước.- Xác định được toạ độ tâm vàbán kính của mặt cầu cóphương trình cho trước.- Xác định được véctơ pháptuyến của mặt phẳng; Hiểuđược khái niệm véctơ pháptuyến của mặt phẳng; Điềukiện vuông góc hoặc song songcủa hai mặt phẳng.

- Biết cách viết phương trìnhmặt phẳng (khi đã biết tọađộ một điểm của mặt phẳngvà một điều kiện để tìm tọađộ vectơ pháp tuyến củamặt phẳng đó).- Tính được khoảng cách từmột điểm đến một mặtphẳng (khi đã biết tọa độcủa điểm và phương trìnhcủa mặt phẳng).- Biết tìm tọa độ một điểmvà tọa độ một vectơ chỉphương của đường thẳng chobởi phương trình.

- Viết được phương trìnhmặt cầu.- Xét được vị trí tương đốicủa đường thẳng và mặtphẳng, điều kiện để đtvuông góc mặt phẳng.

- Vận dụng kiến thức vềphương trình mặt phẳng đểkiểm tra sự không đồngphẳng của bộ 4 điểm,...- Biết cách viết phương trìnhtham số của đường thẳng;Tìm được tọa độ của điểmthuộc đường thẳng (cho bởiphương trình) và thỏa mãntính chất nào đó.

Số câu 2 2 2 2 8câuSố điểm 0,4 0,4 0,4 0,4 1,6đTỉ lệ 16%Tổng số câu 11 19 11 9 50câuTổng sốđiểm

2,2 3,8 2,2 1,8 10đ

Tỉ lệ 22% 38% 22% 18% 100%

Bảng 2: Ma trận khung thu gọn

Hộithảo

Dạy

vàhọc

Toántheo

địnhhướng

thitrắcnghiệm

kháchquan

87


2 Vài lưu ý khi ôn luyệnTheo chúng tôi, thì khi giảng dạy môn Toán theo định hướng đáp ứng sự thay đổi hìnhthức thi trắc nghiệm ở Kì thi THPT Quốc gia, giáo viên phải bám sát chuẩn kiến thứckỹ năng của chương trình, chú ý không bỏ sót kiến thức; phải khai thác thật tốt nhữngthông tin thu được từ Đề minh họa. Bên cạnh việc lưu ý khi dạy học kiến thức trên lớp,thì việc khi ôn luyện đề (theo tinh thần của kì thi THPT Quốc gia năm 2017) cũng cónhững thay đổi, đó là cách tiếp cận bài toán. Xin nêu ra dưới đây một số ví dụ từ Đềminh họa.Ví dụ 1 (Câu 8 - Đề minh họa).Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 + 2mx2 + 1có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

A. m = − 13√9

B. m = −1 C. m = 13√9

D. m = 1

Cách 1. Không quan tâm đến các phương án A, B, C và D, giải bài toán đặt ra, rồi đốichiếu với giá trị m tìm được với giá trị m ở mỗi phương án đó và khoanh vào phương ánđúng.Cách 2. Kiểm tra trực tiếp với từng giá trị m ở mỗi phương án và chọn phương án đúng.Cách 3. Kết hợp cả Cách 1 và Cách 2. Để thấy rõ sự khác nhau trong cách tiếp cận bàitoán, chúng tôi xin trình bày lời giải theo Cách 1 và Cách 3 ở Bảng sau

Cách 1 Cách 2+ Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm sốcó 3 điểm cực trị là ab < 0 hay m < 0(*).

+ Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm sốcó 3 điểm cực trị là ab < 0 hay m < 0.

+) Khi đó, hoành độ các điểm cực trịlà nghiệm của phương trình:y′ = 0 ⇔ 4x3 + 4mx = 0⇔ x = 0 hoặc x = ±

√−m.

+ Các điểm cực trị của đồ thị: A(0; 1),B(−

√−m;−m2 + 1) và

C(√−m;−m2 + 1).

Từ đó, ta loại các phương án C và D.



Cách 1 Cách 2

+ Vì tam giác ABC cân tại A, nên nóvuông khi và chỉ khi −→AB.

−→AC = 0.

Ta có: −→AB = (−√−m;−m2),

−→AC = (

√−m;−m2);

−→AB.

−→AC = 0

⇔ m+m4 = 0⇔ m = −1 do (*)Chọn B.

Chỉ cần kiểm tra một trong hai phươngán A và B. Độ hấp dẫn ở phương án Bcao hơn.Xét hàm số khi m = −1,y = x4 − 2x2 + 1.y′ = 4x3 − 4x,y′ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.A(0; 1), B(−1; 0) và C(1; 0).Dễ kiểm tra (có thể bằng cách vẽ hình),tam giác ABC vuông cân tại A.Vậy m = −1 là một giá trị của tham sốm thỏa yêu cầu bài toán.Do đề bài yêu cầu tìm tất cả giá trị củatham số m, nhưng ở phương án Akhông có giá trị m = −1, nên phươngán A sai. Đã loại 3 phương án A, C, D.Do phải có 1 phương án đúng nên chọnB.

Nhận xét.Nếu giải theo Cách 2, thì phải giải tối đa 3 bài toán kiểm tra trực tiếp với từng giá trịcủa m;Nếu giải theo Cách 3, thì giải 2 bài toán thành phần;Nếu giải theo Cách 1, thì dễ bị nhầm lẫn khi tìm tọa độ các điểm A, B, C và mất nhiềucông sức lẫn thời gian.Ví dụ 2 (Câu 28 - Đề minh họa). Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm sốy = 2(x − 1)ex, trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu đượckhi quay hình (H) xung quanh trục Ox.

A. V = 4− 2e

B. V = (4− 2e) π

C. V = e2 − 5

D. V = (e2 − 5) π

Cách 1. Không quan tâm đến các phương án A, B, C và D, giải bài toán đặt ra (có thểsử dụng máy tính cầm tay để nhanh chóng cho ra kết quả), rồi đối chiếu với V tìm đượcvới giá trị V ở mỗi phương án đó và khoanh vào phương án đúng là D.Cách 2. Loại trừ các phương án sai, từ đó suy ra phương án đúng. Cụ thể, như sau:Vì thể tích V là số dương nên ta loại các phương án A và B. Vì công thức tính V có dạng

V = πb∫a

[f(x)]2dx nên trong kết quả phải có thừa số π, ta loại phương án C. Cả 3 phương

án A, B và C bị loại. Do phải có 1 phương án đúng, nên ta chọn D.Ở cả hai ví dụ trên, sự khác biệt giữa Cách 1 và Cách 2 nằm ở quan niệm về tình huốngđặt ra. Với Cách 1, ta coi các phương án A, B, C, D chỉ là các dữ liệu đưa ra để đối chứng;với Cách 2, ta coi các phương án đó là một phần giả thiết của tình huống đặt ra. ThầyNguyễn Khắc Minh (người tham gia ra Đề minh họa) gọi quan niệm dẫn đến Cách 1 làcách tiếp cận tự luận và quan niệm dẫn tới Cách 2 là cách tiếp cận trắc nghiệm.



3 Vài lưu ý khi ra đề trắc nghiệmChú ý 1. Với cách tiếp cận trắc nghiệm như đã nêu trên, thì các câu hỏi trắc nghiệm cócùng câu dẫn giống nhau, nhưng có phương án A, B, C, D khác nhau sẽ có cấp độ nhậnthức khác nhau. Chúng tôi xin nêu 2 ví dụ để thấy rõ hơn điều này.Ví dụ 3. Xét Câu hỏi“Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 +2mx2 +1có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

A. m = 2 B. m = −1 C. m = 13√9

D. m = 1”

Rõ ràng cấp độ nhận thức bài toán này đặt ra là nhận biết (Nhận biết được điều kiệnđể hàm số y = ax4 + bx2 + c có 3 điểm cực trị là ab < 0, [1] trang 33), còn ở Câu 8 - Đềminh họa là ở cấp độ thông hiểu.Ví dụ 4. Xét Câu hỏi“Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2(x− 1)ex, trục tung và trụchoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trụcOx.

A. V = 2e− 4 B. V = (2e− 4) π C. V = e2 − 5 D. V = (e2 − 5) π”

Cấp độ nhận thức bài toán này đặt ra là thông hiểu, trong khi cấp độ nhận thức ở Câu28 - Đề minh họa chỉ là nhận biết.Chú ý 2. Các yêu cầu đối với câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn (theo [4])

1. Câu hỏi phải đánh giá những nội dung quan trọng của chương trình;

2. Câu hỏi phải phù hợp với các tiêu chí ra đề kiểm tra về mặt trình bày và số điểmtương ứng;

3. Câu dẫn phải đặt ra câu hỏi trực tiếp hoặc một vấn đề cụ thể;

4. Không nên trích dẫn nguyên văn những câu có sẵn trong sách giáo khoa;

5. Từ ngữ, cấu trúc của câu hỏi phải rõ ràng và dễ hiểu đối với mọi học sinh;

6. Mỗi phương án nhiễu phải hợp lý đối với những học sinh không nắm vững kiếnthức;

7. Mỗi phương án sai nên xây dựng dựa trên các lỗi hay nhận thức sai lệch của họcsinh;

8. Đáp án đúng của câu hỏi này phải độc lập với đáp án đúng của các câu hỏi kháctrong bài kiểm tra;

9. Phần lựa chọn phải thống nhất và phù hợp với nội dung của câu dẫn;

10. Mỗi câu hỏi chỉ có một đáp án đúng, chính xác nhất;

11. Không đưa ra phương án “Tất cả các đáp án trên đều đúng” hoặc “không có phươngán nào đúng”.



4 Lời kếtViệc phác họa Ma trận khung của Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2017 thông quaĐề minh họa chỉ ở góc nhìn chủ quan của tác giả, và chắc chắn là không như Ma trậnkhung của Bộ GD&ĐT đã ấn định. Bởi lẽ, chỉ xét ở Câu 28 - Đề minh họa, thì Đề minhhọa định cho câu này ở cấp độ vận dụng, còn qua phân tích của chúng tôi, nó ở mức độnhận biết. Mong rằng, qua buổi Hội thảo, sẽ được quý đồng nghiệp tham gia điều chỉnhlại, để được một Ma trận khung “sát sườn” với Ma trận khung của Bộ GD&ĐT, vốn đãkhông được công bố.

Tài liệu tham khảo[1] Nguyễn Thế Thạch (chủ biên), Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kĩ năng môntoán lớp 12, NXB Giáo dục Việt Nam, 2009.[2] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Giải tích 12, NXB Giáo dục Việt Nam, 2009.[3] Nguyễn Khắc Minh, Nên làm gì với Đề minh họa môn Toán, (nguồn internet).[4] Hướng dẫn biên soạn đề kiểm tra (Kèm theo công văn số 8773/BGDĐT-GDTrH ngày30/12/ 2010 của Bộ GD&ĐT)



THEO HƯỚNG THI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUANNguyễn Thị Thùy Phương - THPT chuyên Nguyễn Thị Minh Khai

1 Lời mở đầuNăm học 2016 - 2017, Bộ GD&ĐT đã thay đổi phương án thi THPT Quốc gia. Đặc biệt,môn toán từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Sự thay đổi này là mộtđiều hết sức bất ngờ không chỉ đối với học sinh mà cả giáo viên. Điều này, đồng nghĩavới việc giáo viên và học sinh cần phải thay đổi cách dạy và học sao cho phù hợp.Theo đề minh họa của BGD&ĐT gồm 50 câu làm trong thời gian 90 phút, mỗi câu làmkhoảng 1,8 phút, trong đó có 8 câu thuộc “phần tọa độ trong không gian” mức độ từ dễđến khó. Với một thời gian ít ỏi đó thì làm thế nào cho học sinh đạt được kết quả caonhất làm trọn vẹn các câu tọa độ trong không gian cũng như cả bài là một điều mongmỏi không chỉ riêng tôi mà là của tất cả các giáo viên dạy toán trong cả nước.Theo tôi để làm tốt một bài trắc nghiệm khách quan, học sinh không chỉ nắm vững lýthuyết, công thức, phương pháp giải ngắn gọn mà cần phải rèn luyện kỹ năng tính toán,sử dụng máy tính, vẽ hình, phương pháp loại trừ đáp số... để có thể chọn được phươngán nhanh nhất.Trong buổi thảo luận hôm nay, tôi xin nêu một số ví dụ trắc nghiệm với chủ đề “Tọa độtrong không gian” nhằm giúp học sinh rèn luyện kỹ năng sử dụng máy tính đi đến chọnkết quả đúng nhất, nhanh nhất.

2 Nội dung

2.1 Cơ sở lý thuyết2.1.1 Vị trí tương đối

1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

(a) Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M và có vectơ chỉ phương u; và đường thẳngd′ đi qua N có vectơ chỉ phương v

• d ≡ d′ ⇔ u, v,−−→MN cùng phương ⇔ [u, v] =

[u,−−→MN

]= 0.

• d ∥ d′ ⇔ u, v cùng phương và u,−−→MN không cùng phương

⇔

{[u, v] = 0[u,−−→MN

]= 0

• d ∩ d′ ⇔ u, v,−−→MN đồng phẳng và u, v không cùng phương

⇔

{[u, v] .

−−→MN = 0

[u, v] = 0

92


• d và d′ chéo nhau ⇔ u, v,−−→MN không đồng phẳng

⇔ [u, v] .−−→MN = 0

(b) Cách 2:

Xét hệ

x0 + a1t = x′

0 + a′1t′

y0 + a2t = y′0 + a′2t′ (I)

z0 + a3t = z′0 + a′3t′

Hệ (I) Quan hệ giữa ad, ad′ Vị trí giữa d, d′

Vô số nghiệm Cùng phương d ≡ d′

Vô nghiệm d ∥ d′

Có 1 nghiệm Không cùng phương d cắt d′

Vô nghiệm d, d′ chéo nhau

2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho

x = x0 + at

y = y0 + bt

z = z0 + ct

và (P ) : Ax+By + Cz +D = 0

(a) Cách 1: Cho (α) : Ax+By + Cz +D = 0 có vectơ pháp tuyến n (A;B;C);

(d) :x− x0

a=

y − y0b

=z − z0

ccó vectơ chỉ phương u(a; b; c) và đi qua

M (x0; y0; z0).

i. d ⊂ (α) ⇔

{u⊥n

M ∈ (α)

ii. d ∥ (α) ⇔

{u⊥n

M /∈ (α)

iii. d ∩ (α) ⇔ u.v = 0

(b) Cách 2: Xét hệ phương trình

x = x0 + at

y = y0 + bt

z = z0 + ct

Ax+By + Cz +D = 0

Thay x, y, z của phương trình tham số vào phương trình của mp ta được:mt+ n = 0 (1)• Nếu (1) vô nghiệm thì d song song (P )

• Nếu (1) có một nghiệm thì d cắt (P )

• Nếu (1) có vô số nghiệm thì d nằm trong (P )

• Nếu (A;B;C) = k(a, b, c) thì d vuông góc với (P )

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng (α) và (β):

• (α) cắt (β) ⇔ A1 : B1 : C1 = A2 : B2 : C2

• (α) ∥ (β) ⇔ A1

A2= B1

B2= C1

C2= D1

D2

• (α) ≡ (β) ⇔ A1

A2= B1

B2= C1

C2= D1

D2

• (α)⊥(β) ⇔ A1A2 +B1B2 + C1C2 = 0



2.1.2 Khoảng cách

1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳngCho đường thẳng d đi qua M , có vectơ chỉ phương và một điểm N

Khoảng cách từ N đến d được tính theo công thức

d (N, d) =

∣∣∣[−−→NM, u]∣∣∣

|u|

2. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳngCho M(x0; y0; z0) và mặt phẳng (α) : Ax+By + Cz +D = 0

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) được xác định bằng công thức

d (M, (α)) =|Ax0 +By0 + Cz0 +D|√

A2 +B2 + C2

3. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhauCho 2 đường thẳng chéo nhau: d đi qua M có vectơ chỉ phương u và d′ đi qua N cóvectơ chỉ phương v

d (d, d′) =

∣∣∣[u, v] .−−→MN∣∣∣

|[u, v]|

Chú ý:

(a) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song songCho 2 đường thẳng song song: d đi qua M và d′ đi qua N , khi đó: d(d, d′) =d(M,d′) = d(N, d).

(b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳngCho đường thẳng d đi qua M và d song song với mặt phẳng (α): d(d, (α)) =d(M, (α)).

(c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song songCho (P ) và (Q) song song, (P ) đi quaA, và (Q) đi quaB. Khi đó: d ((P ) , (Q)) =d (A, (Q)) = d (B, (P )).

2.2 Một số ví dụVí dụ 1. (Câu 45 - Đề minh họa) Cho (P ) : 3x + 4y + 2z + 4 = 0, A (1;−2; 3). Tínhkhoảng cách từ A đến (P )

A. 59

B. 529

�� C 5√29

D.√53

Ví dụ 2. Cho M(2;−1; 3) và d :

x = 1 + 2t

y = 2− t

z = 3t

. Khoảng cách từ M đến d là



�� A √5 B. 5 C. −3 D.

√7

Ví dụ 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau: d : x−12

= y−71

= z−34

và d′ : x+11

= y−22

= z−2−1

·Tìm khoảng cách giữa d và d′.

A. 3√14

B. 2√14

C. 1√14

D. 5√14

Ví dụ 4. Khoảng cách giữa (P ) : 2x− y + 3z + 5 = 0; (Q) : 2x− y + 3z + 1 = 0 bằng

A. 6√14

B. 6 C. 4�� D 4√

14

Ví dụ 5. Cho d1 :

x = 1 + t

y = 2− t

z = −2− 2t

; d2 :

x = 2 + t′

y = 1− t′

z = 1

. Vị trí tương đối giữa hai đường

là

A. Song song B. Chéo nhau�� C Cắt nhau D. Trùng nhau

Ví dụ 6. Cho d :

x = 1 + 2t

y = 2 + 4t

z = 3 + t

và (P ) : 2x− 2y + 4z − 10 = 0. Vị trí tương đối của d

và (P ).�� A d cắt (P )

B. d song song (P )

C. d vuông góc (P )

D. d nằm trong (P )

Ví dụ 7. Cho d : x−12

= y+13

= z−51

và ∆ : x−13

= y+22

= z+12. Vị trí tương đối của d và ∆

là�� A Chéo nhau B. Cắt nhau C. Song song D. Trùng nhau

Ví dụ 8. Cho d : x−12

= y+13

= z−51

và ∆ : x−46

= y−19

= z−33. Vị trí tương đối của d và ∆

là

A. Chéo nhau B. Cắt nhau�� C Song song D. Trùng nhau

Ví dụ 9. Cho d : x+32

= y+11

= z−31

và (P ) : x + 2y − z + 5 = 0. Tọa độ giao điểm của dvà (P ) là

A. (−1; 0;−4) B. (4;−1; 0) C. (−1; 4; 0)�� D (−1; 0; 4)

Ví dụ 10. Cho d :

x = 1 + t

y = 2− t

z = 1 + 2t

và (P ) : x + 3y + z + 1 = 0. Trong các mệnh đề sau,

tìm mệnh đề đúng:�� A d ∥ (P ) B. d ∩ (P ) C. d ⊂ (P ) D. d⊥(P )


x = −3 + 2t

y = −2 + 3t

z = 6 + 4t

và d′ :

x = 5 + t′

y = −1− 4t′

z = 20 + t′Giao điểm của d và d′ là



A. (−3;−2; 6) B. (5;−1; 20)�� C (3; 7; 18) D. (3;−2; 1)

Ví dụ 12. Tìm m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau

d :

x = 1 +mt

y = t

z = −1 + 2t

và d′ :

x = 1− t′

y = 2 + 2t′

z = 3− t′�� A m = 0 B. m = 1 C. m = −1 D. m = 2


x = 1

y = 1 + t

z = −1 + t

, (P ) : x − y + z + 1 = 0, (Q) : 2x + y − z − 4 = 0.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. d ∥ (P ) B. d ∥ (Q)�� C d = (P ) ∩ (Q) D. d⊥ (P )

Ví dụ 14. Cho ba mặt phẳng (P ) : 2x + y + z + 3 = 0, (Q) : x − y − z − 1 = 0,(R) : y − z + 2 = 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?�� A Không có điểm nào thuộc ba mặt phẳng trên.B. (P )⊥ (Q)

C. (P )⊥ (R)

D. (Q)⊥ (R)

3 Kết luậnĐể đáp ứng kì thi THPT Quốc gia thi trắc nghiệm môn toán với số câu 50 mà thời gian90 phút thì việc dạy kỹ năng làm bài và sử dụng máy tính là điều không thể thiếu. Mộtsố ví dụ trên nhằm mục đích cho học sinh giải quyết bài toán xét vị trí tương đối, tínhkhoảng cách thuần túy bằng việc sử dụng máy tính. Sau khi thực hiện, tôi thấy có mộtsố kết quả đạt được như thời gian làm bài nhanh hơn, kỹ năng suy luận và làm bài củahọc sinh gọn hơn nhiều so với cách trình bày tự luận trước đây mà tôi đã dạy. Do thờigian có hạn, trong quá trình viết tham luận không tránh sai sót mong quý thầy cô góp ý.Tôi xin chân thành cám ơn!


VẬN DỤNG CÁC TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNGĐỂ GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Trần Quốc Dũng - THPT chuyên Nguyễn Thị Minh Khai

Từ việc kiểm tra đánh giá bằng hình thức tự luận sang việc kiểm tra đánh giá bằng trắcnghiệm khách quan của môn toán đã làm cho học sinh lung túng trong việc học lí thuyết,cũng như cách tư duy để làm bài tập.Làm bài trắc nghiệm, một trong những yếu tố quan trọng là ta đánh giá nhanh được vấnđề và nhanh chóng loại bỏ những phương án “nhiễu”. Để qua đó ta chỉ cần kiểm tra, đốichiếu bài giải với đáp án còn lại. Để đạt được mục tiêu này, trong quá trình giảng dạychương ứng dụng đạo hàm, ngoài việc truyền đạt chính xác, khoa học các nội dung củakiến thức sách giáo khoa.Qua đó, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm chia sẻ cùng đồng nghiệp, nhằm giúp họcsinh trả lời nhanh một số câu hỏi ở các vấn đề liên quan đến hàm số. Đó là cần chú ýcác kết quả đặc biệt, dấu hiệu đặc trưng của từng nội trong chương trình. Trên cơ sở líthuyết tôi đã rúy ra được một số kết quả và cá dấu hiệu nhận biết. Các dấu hiệu đó đượctôi đề cặp ở các hình thức: chỉ ra các dấu hiệu đặc trưng ở dạng đại số (biểu thức điềukiện), dấu hiệu trực quan (đồ thị, bảng biến thiên, bảng xét dấu).

1 Một số hàm số thường gặp

1.1 Hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d (a = 0)

• Tập xác định D = R

• Chiều biến thiên: y′ = 3ax2 + 2bx+ c, ∆′ = b2 − 3ac

∗ Nếu ∆′ ⩽ 0: Hàm số luôn đồng biến khi a > 0; Hàm số luôn nghịch biến khia < 0. Hàm số không có cực trị.

∗ Nếu ∆′ > 0: Gọi x1 < x2 là hai nghiệm của y′ = 0

▷ Khi a > 0: hàm số luôn đồng biến trên các khoảng (−∞; x1), (x2; +∞) vànghịch biến trên khoảng (x1;x2).

▷ Khi a < 0: hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng (−∞; x1), (x2; +∞)và đồng biến trên khoảng (x1; x2).

• Điểm uốn: tọa độ điểm uốn U(x0; y0) thỏa mãn:{y′′(x0) = 0

y0 = f(x0)

• Đồ thị: Nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

97


∆′ ⩽ 0a > 0 a < 0

Hình-1 Hình-2.

∆′ > 0a > 0 a < 0

Hình-3 Hình-4

• Các dấu hiệu và các trường hợp đặc biệt cần ghi nhớ

1. Nếu a và c trái dấu: a.c < 0 thì hàm số đồng thời có các khoảng đồng biến vànghịch biến. Hàm số có hai cực trị.

2. Nếu c = 0 thì hàm số đồng thời có các khoảng đồng biến và nghịch biến. Hàmsố có hai cực trị.

3. Nếu b = 0 thì điểm uốn U(0; d).4. Dấu của biểu thức: ∆′ = b2 − 3ac để trả lời tính đơn điệu và số cực trị.5. “Dáng điệu” của đồ thị: Hình-1, 2, 3, 4.6. Điểm uốn là trung điểm của điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị.

Ví dụ minh họaCâu 1. Cho hàm số y = x3 − 2x. Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại (yCD), giá trị cựctiểu (yCT ) là

A. 2yCD = yCT B. 32yCD = yCT C. yCD = yCT

�� D yCD = −yCT

Phân tích: b = 0 nên điểm uốn U(0; d) = (0; 0) là tâm đối xứng của đồ thị. Suy ra haiđiểm cực trị đối xứng qua gốc tọa độ.Đáp án chọn: D.Câu 2 (Giải tích 12). Hàm số y = 1

3x3 − 1

2x2 − 6x+ 3

2

A. Hàm số đồng biến trên (−2; 2)�� B Hàm số nghịch biến trên (−2; 3)

C. Hàm số nghịch biến trên (−∞;−2)

D. Hàm số đồng biến trên (−2;+∞)

Phân tích: hệ số a và c trái dấu và a > 0 nên loại đáp án A, C, D.Đáp án chọn: B.Câu 3 (Giải tích 12). Xét phương trình x3 + 3x2 = m



A. Khi m = 5 phương trình có 3 nghiệm�� B Khi m = −1 phương trình có 2 nghiệmC. Khi m = 4 phương trình có 3 nghiệmD. Khi m = 2 phương trình có 3 nghiệmPhân tích: + Số nghiệm phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị của hai hàm sốy = x3 + 3x2 và y = m

+ Hàm số y = x3 + 3x2, khuyết c và a > 0, dạng đồ thị hình-3 nên loại đáp án: A, C, D.Đáp án chọn: B.Câu 4. Xét phương trình x3 − 3x+ 2 = m. Phương trình có 3 nghiệm khi

A. m > 0

B. m < 4

C. m > 4 ∨m < 0�� D 0 < m < 4

Phân tích: + Số nghiệm phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị của hai hàm sốy = x3 − 3x+ 2 và y = m

+ Hàm số y = x3 − 3x+ 2 có a và c trái dấu, dạng đồ thị hình -3, nên loại: A, B, C.Đáp án chọn: D.Câu 5. Hàm số y = x3 − 3x+ 1 nghịch biến trên các khoảng

A. (0; 2)B. (−2; 1)

C. (−∞;−1); (1;+∞)�� D Tất cả A, B, C đều sai.

Phân tích: + Hàm số y = x3 − 3x+ 1 có a và c trái dấu và a > 0 nên đáp án C sai.+ Tính đạo hàm và tìm nghiệm là x = 1; x = −1 nên A, B sai.Đáp án chọn: D.Câu 6 (Giải tích 12). Cho hàm số y = x3 − 3x2 − 9x+ 11

A. Nhận x = −1 là điểm cực tiểuB. Nhận x = 3 là điểm cực đại

C. Nhận x = 1 là điểm cực đại�� D Nhận x = 3 là điểm cực tiểu

Phân tích: + Hàm số có a và c trái dấu, a > 0, dạng đồ thị hình-3+ Tính đạo hàm và tìm nghiệm x = −1 < x = 3, nên loại: C.+ Dựa vào hình dạng đồ thị hình-2: chọn đáp án D.Đáp án chọn: D.

1.2 Hàm số trùng phương y = f(x) = ax4 + bx2 + c (a = 0)

• Tập xác định D = R

• Chiều biến thiên: y′ = 4ax3 + 2bx

Nếu a và b trái dấu thì y′ có 3 nghiệm phân biệt; hàm số có 3 cực trị.Nếu a và b cùng dấu thì y′ có 1 nghiệm x = 0, hàm số có 1 cực trị.

• Đồ thị: nhận trục tung làm trục đối xứng.



Số nghiệm y′ = 0 a > 0 a < 0

3 nghiệm Hình-5 Hình-6

1 nghiệm Hình-7 Hình-8

• Các dấu hiệu và các trường hợp đặc biệt cần ghi nhớ:

∗ Hàm số trùng phương có 1 cực trị hoặc 3 cực trị.▷ Nếu a và b trái dấu có 3 cực trị: một tại x = 0 và tại hai điểm đối nhau.▷ Nếu a và b cùng dấu dấu có 1 cực trị tại x = 0.

∗ Luôn có cực trị tại x = 0.∗ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

Ví dụ minh họaCâu 1 (Giải tích 12). Hàm số y = x4 − 4x2 − 5

A. Nhận điểm x = 3 làm điểm cực tiểu�� B Nhận điểm x = 0 làm điểm cực đạiC. Nhận điểm x = 3 làm điểm cực đạiD. Nhận điểm x = 0 làm điểm cực tiểuPhân tích: a và b trái dấu, a > 0, dạng đồ thị hình-5.Đáp án chọn: B.Câu 2. Cho hàm số y = x4 + (m− 2)x2 +m. Hàm số có 3 cực trị khi m:

A. 0�� B m < 2 C. 2 D. m > 2

Phân tích: có 3 cực trị khi a và b trái dấu: m− 2 < 0.Đáp án chọn: B.Câu 3. Phương trình x4 + 2x2 − 3 = m

A. Khi m = −3 có 2 nghiệmB. Khi m = 0 có 4 nghiệm

C. Khi m > −3 có 3 nghiệm�� D Khi m > −3 có 2 nghiệm

Chọn đáp án đúng?Phân tích: a và b cùng dấu, a > 0, hình dạng đồ thị hình-7. Do đó loại đáp án: B, Cx = 0 ⇒ y = −3

Đáp án chọn: D.Câu 4 (Giải tích 12). Hàm số y = −x4 + 3x2 − 5 có bao nhiêu cực trị?



A. 1 B. 0 C. 2�� D 3

Phân tích: + Với tính chất của hàm trùng phương có 1 cực trị hoặc 3 cực trị: loại đáp ánB, C.+ a và b trái dấu, nên có 3 cực trị.Đáp án chọn: D.Câu 5. Phương trình x4 − 2x2 −m = 0 có 4 nghiệm khi

A. 0 < m < 1

B. m > 1

C. m < 0�� D −1 < m < 0

Phân tích: + Hàm số y = x4− 2x2 có a và c trái dấu, hình dạng đồ thị hình-5. Do đó loạiđáp án B, C.+ Với x = 0 ⇒ y = 0.Đáp án chọn: D.

1.3 Hàm nhất biến y = f(x) = ax+bcx+d (ad− bc = 0)

• Tập xác định D = R\{−d

c

}• Tiệm cận đứng: x = −d

c; tiệm cận ngang: y = a

c

• Đạo hàm: y′ = ad−bc(cx+d)2

Khi ad− bc > 0: hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.Khi ad− bc < 0: hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

• Hàm số không có cực trị.

• Đồ thị:

Hình-9 Hình-10

• Dấu hiệu và tính chất đặc trưng cần ghi nhớ

(a) Hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định (−∞;−dc)

và (−dc; +∞).

∗ Khi a.d− b.c > 0: đồng biến trên từng các khoảng (−∞;−dc), (−d

c; +∞).

∗ Khi a.d− b.c < 0: nghịch biến trên từng các khoảng (−∞;−dc), (−d

c; +∞).

(b) Hàm số không có cực tri. Đồ thị không có điểm uốn.(c) Đồ thị có hai tiệm cận:



∗ Tiệm cận đứng x = −dclà nghiệm của mẫu.

∗ Tiệm cận ngang y = aclà tỉ số của hệ số của x ở tử và mẫu.

∗ Đồ thị nhận giao điểm I(−dc; ac) của hai tiêm cận là tâm đối xứng.

Bài tập áp dụngCâu 1 (Giải tích 12). Đồ thị của hàm số y = x−2

2x+1�� A Nhận điểm (−12; 12) làm tâm đối xứng;

B. Nhận điểm (−12; 2) làm tâm đối xứng;

C. Không có tâm đối xứng;D. Nhận điểm (1

2; 12) làm tâm đối xứng.

Phân tích: dựa vào dấu hiệu (c) và đối chiếu đáp án.Đáp án chọn: A.Câu 2 (Giải tích 12). Cho hàm số y = x−2

x+3.�� A Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định;

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞);C. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định;D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞).Phân tích: Dựa vào dấu hiệu (a), loại đáp án B, D.Tính ad− bc = 5 > 0

Đáp án chọn: A.Câu 3. Cho hàm số y = 2x−1

2x+2. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Đồ thi của hàm số không có tiệm cận;B. Đồ thi của hàm số không có tâm đối xứng;�� C Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định;D. Đồ thi của hàm số có 1 điểm uốn.Phân tích: dựa vào dấu hiệu (b), (c) loại: A, B, D.Đáp án chọn: C.Câu 4. Cho hàm số y = 2x+1

x+1. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên (−∞;−1) và (−1;+∞);B. Hàm số nghịch biến trên R\ {−1}�� C Hàm số đồng biến trên (−∞;−1) và (−1;+∞)

D. Hàm số luôn đồng biến trên R\ {−1}Phân tích: Dựa vào dấu hiệu (a) loại: B, D.Tính ad− bc = 1 > 0

Đáp án chọn: C.Câu 5. Đồ thị sau đây là của hàm số nào?



�� A y = 2x+1x+1

B. y = x−1x+1

C. y = x+2x+1

D. y = x+31−x

Phân tích: Dựa vào dấu hiệu (c) về:Tiệm cận đứng: loại D.Tiệm cận ngang: loại B, C.Đáp án chọn: A.

2 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sốCho hàm số y = f(x), có tập xác định D.Phương pháp chung để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng cách sử dụng đạo hàm:

• Lập bảng biến thiên của hàm số trên D.

• Dựa vào bảng biến thiên: kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

• Các dấu hiệu và các trường hợp đặc biệt cần ghi nhớ:

(a) Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a; b].Phương pháp:∗ Tính đạo hàm f ′(x)

∗ Tìm nghiệm (nếu có) của f ′(x) = 0 trên khoảng (a; b). Giả sử x1;x2...

∗ Tính giá tri của: f(a), f(b), f(x1), f(x2)...

∗ So sánh các giá trị trên: số nào lớn nhất là giá trị lớn nhất; số nào nhỏnhất là giá trị nhỏ nhất của hàm số.

(b) Nếu f(x) liên tục và luôn đồng biến trên đoạn [a; b].Thì min[a,b] y = f (a) và max[a,b] y = f (b)



(c) Nếu f(x) liên tục và luôn nghịch biến trên đoạn [a; b].Thì min[a,b] y = f (b) và max[a,b] y = f (a)

(d) Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất trên đoạn đó.

Ví dụ minh họaCâu 1. Cho hàm số y = −4

3x3 − 2x2 − x− 3. Trên đoạn [−1; 1] hàm số:

A. Có giá trị nhỏ nhất tại −1 và giá giá trị lớn nhất tại 1;�� B Có giá trị nhỏ nhất tại 1 và giá giá trị lớn nhất tại −1;C. Không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất tại 1;D. Có giá trị nhỏ nhất tại −1 và không có giá trị lớn nhất.Phân tích: Dựa vào dấu hiệu (d) loại: C, D.Tính đạo hàm y′ = −4x2 − 4x2 − 1, ∆′ = 0, do đó hàm số nghịch biến trên [−1; 1].Dựa vào dấu hiệu (c), chọn B.Đáp án chọn: B.Câu 2. Các giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x−m2−m

x+1trên đoạn [0; 1]

bằng −2 là:

A. m = 1 ∨m = 2

B. m = 1 ∨m = −2

C. m = −1 ∨m = −2�� D m = −1 ∨m = 2

Phân tích: y′ = m2−m+1(x+1)2

, có m2 −m+ 1 > 0,∀m ∈ R. Hàm số xác định trên đoạn [0; 1].Do đó: Hàm số luôn đồng biên trên đoạn [0; 1].min[0,1] y = f(0) = −m2 +m

Theo đề bài: −m2 +m = −2 ⇔ m2 −m− 2 = 0 ⇔ m = −1 ∨m = 2.Đáp án chọn: D.Câu 3. Hàm số y = f(x) = x4 − 2x2 + 3 xác định trên đoạn [0; 2]. Gọi M và N lần lượtlà giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thì M +N bằng bao nhiêu?

A. 14 B. 15 C. 5�� D 13

Phân tích: y′ = 4x3 − 4x và y′ = 0 ⇔ 4x3 − 4x = 0 ⇔

x = 0x = 1x = −1

, Có x = 1 ∈ (0; 2)

f(0) = 3; f(1) = 2; f(2) = 11 ⇒ M = 11, N = 2 ⇒ M +N = 13

Đáp án chọn: D.Câu 4. Trên [−1; 1], hàm số y = f(x) = −x3 − 3x2 + a có giá trị lớn nhất bằng 0 thì abằng:



A. a = 2 B. a = 6�� C a = 0 D. a = 4

Phân tích: y′ = −3x2 − 6x

y′ = 0 ⇔ −3x2 − 6x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = −2, có x = 0 ∈ [−1; 1].Bảng biến thiên:

max[−1,1] y = f (0) = a, ycđb ⇔ a = 0.Đáp án chọn: C.Tài liệu tham khảo[1] Đoàn Quỳnh (2009). Giải tích 12. NXB Giáo dục.[2] Hà Văn Chương (2007). Câu hỏi trắc nghiệm toán. NXB ĐHQG TP. Hồ Chí Minh.[3] http://www.mathvn.com


http://www.mathvn.com

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI NHANHBÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN

Liên Quốc Mỹ - THPT chuyên Nguyễn Thị Minh Khai

Năm học 2016 - 2017, Bộ giáo dục và đào tạo quyết định thi THPT quốc gia môn Toánbằng hình thức trắc nghiệm. Thầy và trò chúng tôi đã cố gắng chuẩn bị thật tốt để cókết quả cao nhất, trong quá trình đó các bài toán về hình học không gian cổ điển là mộttrở ngai mà Thầy và trò cần phải vượt qua nhất là vấn đề thời gian. Để giải nhanh mộtbài toán hình không gian phải vẽ hình chính xác, phải xác định phương pháp, phải thuộccác công thức và tính toán thật đúng thì không phải học sinh nào cũng giải được trongchưa đến 2 phút. Do đó hình thành các phương pháp giải nhanh các câu hỏi hình học cổđiển là một vấn đề hết sức cấp bách trong giai đoạn hiện nay.Qua quá trình dạy và học, Thầy trò chúng tôi cũng đã rút ra được một số kinh nghiệmxin được phép trình bày.I. Học thuộc công thức tính diện tích của các đa giác thường gặpĐể tính được thể tích của khối chóp và khối lăng trụ thì phải tính được diện tích mặt đáyvà độ dài đường cao của nó. Do đó học sinh phải thuộc lòng các công thức tính độ dài vàdiện tích đã học ở các lớp trung học cơ sở và chúng ta phải trình bày lại cho các em đểhiểu và học thuộc.

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

2. Hệ thức lượng trong tam giác thường

3. Các công thức tính diện tích tam giác

4. Diện tích các hình đặc biệt

(a) Tam giác đều cạnh a: AH =a√3

2; SABC =

a2√3

4

(b) Tam giác vuông cân: AH =a√2

2; SABC =

a2

2

(c) Nửa tam giác đều: AH =a√3

4; BH =

a

4; SABC =

a2√3

8

106


(d) Hình thoi có một góc 60◦ hay 120◦: AC = a√3;BD = a;SABCD =

a2√3

2

(e) Nửa lục giác đều: AC = BD = a√3;BD⊥AB,AC⊥CD;SABCD =

3a2√3

4

II. Nắm vững các khái niệm về góc, về khoảng cách nhất là khoảng cách từmột điểm đến một mặt phẳng để xác định chính xác đường cao của khối chópvà khối lăng trụÔn tập hệ thống lại các khái niệm và phương pháp giải toán từ đầu năm học bao gồm:

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, khoảng cách giữahai mặt phẳng song song.

5. Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.

6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

7. Góc giữa hai mặt phẳng.

III. Đưa bài toán đã cho về một bài toán quen thuộcCho học sinh giải và ghi nhớ một số yếu tố và thể tích của các khối đa diện thường gặp:

1. Khối chóp có một cạnh vuông góc với mặt đáy, hoặc có hai mặt bên cùng vuônggóc với mặt đáy.

(a) Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = b.• VS.ABCD = 1

3a2b

• Góc giữa SC, SB, SD với đáy (ABCD) lần lượt là: SCA, SBA, SDA.• Góc giữa các mặt (SBC), (SCD), (SBD) với đáy (ABCD) lần lượt là:

SBA, SDA, SOA

• Khoảng cách từ điểm A đến các mặt phẳng (SBC), (SCD) và SC lần lượtlà: AH, AK, AL.



(b) Đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = b.• VS.ABCD = 1

3a2

√3

4b

• Góc giữa SC, SB với đáy (ABC) lần lượt là: SCA, SBA.• Góc giữa mặt (SBC) với đáy (ABCD) là: SMA.• Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là: AH.

2. Khối chóp có một mặt bên vuông góc với một mặt đáy.

(a) SAB là tam giác đều, (SAB)⊥(ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh a.• VS.ABCD = 1

3a3

√3

2

• Góc giữa SA, SB, SC, SD với đáy (ABCD) lần lượt là: SAH = 60◦,SBH = 60◦, SCH = arctan

√155, SDH = arctan

√155·

• Góc giữa các mặt (SBC), (SCD), (SAD) với đáy (ABCD) lần lượt là:SBH = 60◦, SMH = arctan

√32, SAH = 60◦.

• Khoảng cách từ điểm A, điểm B và đường thẳng AB đến mặt phẳng(SCD) là: HK.

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng HK với HK = a√217

·• Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng khoảng cách từ điểm

B đến mặt phẳng (SAD) và bằng a√3

2·

(b) SAB là tam giác đều cạnh a, (SAB)⊥(ABC), đáy ABC là tam giác vuôngtại C cạnh huyền.• VS.ABC = a3

√3

24

• Góc giữa SA, SB, SC với đáy (ABC) lần lượt là: SAH = 60◦, SBH = 60◦,SCH = 60◦.

• Góc giữa các mặt (SBC), (SAC) với đáy (ABC) lần lượt là: SNH =

SMH = arctan√6



• Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng khoảng cách từ B đến mặtphẳng (SAC) bằng a

√217

·

3. Khối chóp đều

(a) Tứ diện đều cạnh a

• Độ dài đường cao: AH = a√6

3·

• Thể tích: VABCD = a3√2

12·

• Góc giữa cạnh bên và đáy: ABH = arctan√2

• Góc giữa mặt bên và đáy: AMH = arctan 2√2.

• Khoảng cách giữa hai cạnh đối diện: MN = a√2

2·

• Tâm mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp là trọng tâm G của tứ diện.• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R = 3

4AH = a

√6

4·

• Diện tích toàn phần: Stp = a2√3.

(b) Khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 60◦:• Độ dài đường cao: SO = a

√3

2·

• Độ dài cạnh bên: SA = a√5

2·

• Thể tích: VS.ABCD = a3√3

6·

• Góc giữa cạnh bên và đáy: SBO = arctan√62·

• Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R = 5a√3

12·

• Diện tích xung quanh SXQ = 2a2.• Diện tích toàn phần Stp = 3a2

• Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằngd (A, (SCD)) = 2d (O, (SCD)) = OH.

4. Khối lăng trụ tam giác đều cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b:

• Thể tích: VABC.A′B′C′ = a2b√34·

• VA′ABC = VA′BCB′ = VCA′B′C′ = 13VABC.A′B′C′

• VA.BB′C′C = 23VABC.A′B′C′

• Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BB′C ′C) bằng khoảng cách từ A′ đến(BB′C ′C) bằng khoảng cách giữa AA′ và B′C và bằng a

√3

2·



5. Khối lập phương cạnh a:

• Thể tích Khối lập phương: V = a3.• Độ dài các đường chéo: AC ′ = A′C = BD′ = B′D = a

√3.

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt đối diện luôn bằnga.Ví dụ: d (A′B,C ′D) = a.

• Hai đường chéo không đồng phẳng lần lượt thuộc hai mặt đối diện thì vuônggóc với nhau và tứ diện lập được từ 4 đỉnh đó có thể tích bằng một phần bathể tích khối lập phương.Ví dụ: A′B⊥C ′D; VA′BC′D = 1

3a3.

• Ba đỉnh cùng thuộc một mặt cùng với một đỉnh thuộc mặt đối diện lập thànhmột tứ diện có thề tích bằng một phần sáu thể tích khối lập phương.Ví dụ: VA′BCD = 1

6a3.

• Đường chéo của hình lập phương vuông góc với đường chéo của các mặt (khôngđồng phẳng với nó).Ví dụ: B′D⊥A′C; AC ′⊥BD.

• Góc giữa hai đường chéo không đồng phẳng của hai mặt liên tiếp bằng 60◦.Ví dụ: (BA′, B′C) = 60◦.

IV. Phương pháp so sánh thể tíchĐôi khi bài toán tính thể tích của một khối đa diện trở nên dể dàng hơn khi ta so sánhthể tích cần tính với thể tích của một khối đa diện đặc biệt.Chú ý:

1. Tỷ số diện tích và tỷ số thể tích:SAB′C′

SABC

=AB′.AC ′

AB.AC;

VS.A′B′C′

SS.ABC

=SA′.SB′.SC ′

SA.SB.SC



Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD có đáylà hình bình hành. Gọi I là trung điểmcủa SC, biết thể tích khối chóp S.ABIlà V . Khi đó thể tích khối chóp S.ABCDlà

A. 4VB. 8V

C. 6VD. 2V

Giải: VS.ABCD = 2VS.ABC = 4V .Đáp án: A.

2. Thể tích của các khối chóp và khối lăng trụ có cùng chiều cao:

Ví dụ. Cho khối lăng trụABCD.A′B′C ′D′ có thể tích 36cm2. GọiM là điểm tùy ý trên mặt phẳng ABCD.Thể tích của khối chóp M.ABCD là

A. 24cm2

B. 12cm2

C. 36cm2

D. 6cm2

VM.A′B′C′D′ = 13VABCD.A′B′C′D′ = 12cm2.

Đáp án B.

3. Thể tích của các khối chóp và khối lăng trụ khi biết tỷ số diện tích mặt đáy củachúngVí dụ. Đáy của hình chóp S.ABCD là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuônggóc với đáy và có độ dài bằng a. Khi đó thể tích khối tứ diện SBCD bằng

A. a3

4B. a3

8C. a3

3

�� D a3

6



Hướng dẫn:

+ VS.ABCD = 13a3

+ VSBCD = 12VS.ABCD = 1

6a3

V. Giải bài toán bằng nhiều cách cho học sinh chọn cách giải phù hợp với bảnthân mình

Ví dụ. Cho lăng trụ ABC.A′B′C ′ có thểtích V = 27cm3. Gọi M là trung điểm củacủa BB′, N là điểm bất kỳ trên CC ′. Khiđó thể tích khối tứ diện AA′MN bằng

A. 18cm3

B. 6cm3

�� C 9cm3

D. 8cm3

+ Cách 1:VAA′MN = VNA′AM = 1

2VN.AA′B′B = 1

3V = 9

+ Cách 2:VAA′MN = V − (VA′.B′CNM + VA.BCNM)

= V − VA′.B′C′CB = V − 23V = 9

VI. Sử dụng máy tính cầm tay (nếu được)

Ví dụ. Cho một hình chóp tam giác đều cócạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặtphẳng đáy một góc α. Thể tích của hìnhchóp đó là

A. a3 cotα12

B. a3 tanα12

C. a2 tanα12

D. a3 tanα4

Cách 1: + Tính thể tích khối chóp khiα = 60◦.+ Thay α = 60◦ vào các lựa chọn A, B, C,

D. Chọn đáp án đúng là B.

Cách 2: Giải như tự luận+ AG = BG. tanα = a

√3

3tanα

+ VABCD = 13AG.SBCD = 1

3a√3

3tanα.a2

√3

4= a3 tanα

12·

Trên đây là một số kinh nghiệm rút ra được từ thực tế giảng dạy trên lớp, chắc chắn sẽcòn nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các đồng nghiệp, xin chân thànhcảm ơn.


DẠY HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀNGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG

THEO HƯỚNG THI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUANTrường THPT Huỳnh Hữu Nghĩa

1 Đặt vấn đềTừ trước đến nay thi tự luận, đề thi chương nguyên hàm, tích phân và ứng dụng đòi hỏihọc sinh phải thuộc các công thức, nắm được các phương pháp tính và vận dụng linhhoạt chúng. Năm nay thi trắc nghiệm, học sinh phải được trang bị những gì để đi thi?Việc dạy học có thay đổi so với trước kia không, thay đổi thế nào?Chắc chắn là với đề thi trắc nghiệm, khi số câu hỏi rất nhiều và không còn những câu hỏihóc búa, nội dung học sẽ phải khác. Không cần phải đi vào những vấn đề chuyên sâu, họcsinh phải học đều hơn toàn bộ chương trình. Các em cần chú ý đến cả những chủ đề vốnkhông được đề cập trong đề tự luận. Vì vậy chúng ta phải có phương pháp dạy học theođịnh hướng thi trắc nghiệm khách quan. Hôm nay đến với hội thảo, giáo viên tổ toántrường THPT Huỳnh Hữu Nghĩa xin nêu ra một số ý kiến về “dạy học chương nguyênhàm, tích phân và ứng dụng theo định hướng thi trắc nghiệm khách quan”.

2 Giải quyết vấn đềChúng tôi xin nêu 2 nội dung chính là về dạy học và ra đề kiểm tra.

2.1 Dạy học theo định hướng thi trắc nghiệm khách quan• Nếu đề tự luận chủ yếu tập trung giải toán, đề trắc nghiệm còn chú ý đến kiến thức

lý thuyết, các công thức. Học sinh cần nắm chắc lý thuyết để giải nhanh các câuhỏi này. Thông thường, trong câu hỏi lý thuyết, các phương án trả lời sẽ từa tựanhau và đều dường như là có lý. Vì vậy khi dạy lý thuyết cần dạy cho học sinh hiểukỹ định nghĩa nguyên hàm, định nghĩa tích phân, ứng dụng của tích phân, các côngthức tính. Cho học sinh nắm kỹ các tính chất, các chú ý nhỏ trong sách giáo khoa,những phần này trong thi tự luận ít đề cập tới.

• Trong quá trình dạy giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính một cách hiệuquả. Tuy nhiên không nên lạm dụng vì có những câu chỉ cần tỉnh táo nhận ra đápán nhanh hơn mà không cần bấm máy. Ngoài ra khi học sinh lạm dụng máy tính,học sinh sẽ không có kỹ năng làm những câu có tham số hoặc những câu khôngbấm máy được.

• Sau mỗi phần giáo viên cho thêm câu hỏi vấn đáp hoặc cho câu hỏi trắc ngiệm nhằmđể biết được thông tin phản hồi rằng học sinh hiểu vấn đề chưa.

• Việc giải bài tập, giáo viên cũng nên giải theo tự luận để học sinh biết được cáchgiải, nhất là trong bài nguyên hàm. Trong quá trình dạy tự luận giáo viên nhấnmạnh những vấn đề cần lưu ý, những điều dễ nhầm lẫn cho học sinh.

113


• Việc dạy học sinh tự học là vấn đề vô cùng quan trọng. Chúng ta đều biết đối vớibài nguyên hàm, muốn trả lời một câu hỏi trắc nghiệm có khi học sinh phải gầngiải như một bài tự luận, cũng có những câu hỏi về lý thuyết… Muốn làm được nhưvậy là học sinh phải học rất nhiều, nhớ lý thuyết, nhớ cách làm bài rồi mới trả lờitrắc nghiệm được. Mặt khác thời lượng dành cho mỗi bài không nhiều nên nếu chỉhọc trên lớp thì không đủ. Ngoài ra, việc tự học còn giúp học sinh khắc sâu kiếnthức và nhớ bài lâu và khoa học.Để giúp học sinh tự học có hiệu quả, sau phần lý thuyết nguyên hàm giáo viên phátcho học sinh bài tập về công thức hoặc liên quan tới công thức cho học sinh về nhàlàm, từ đó học sinh nhớ luôn công thức mà không cần học thuộc lòng. Sau khi dạyxong bài tập nguyên hàm theo kiểu tự luận giáo viên phát bài tập về cho học sinhgiải theo kiểu trắc nghiệm. Lúc đầu các em sẽ giải như một câu tự luận, mất nhiềuthời gian nhưng các em sẽ tự rút kinh nghiệm cho bản thân làm sao cho ra kết quảnhanh nhất. Tiết sau, giáo viên sửa bài và dạy cho học sinh cách trả lời trắc nghiệm.

• Trên cơ sở các em đã học xong lý thuyết, biết cách giải bài tập và đã làm thử ở nhà,học sinh đã có 1 ít kinh nghiệm tự rút ra, giáo viên hướng dẫn thêm là học sinh sẽcó kỹ năng làm bài trắc nghiệm tốt. Đối với tích phân thì hướng dẫn học sinh bấmmáy tính, đối với nguyên hàm và ứng dụng tích phân, học sinh sẽ đọc nhanh 4 đápán, sử dụng loại suy, nếu loại suy không hoàn toàn thì sẽ kết hợp tính. Có nhữngbài không loại suy được thì học sinh sử dụng vốn kiến thức tự luận đã học để giải,chỉ các những bước nào cần ghi nháp, bước nào cần lướt nhanh. Quan trọng là phảirèn luyện tính cẩn thận cho học sinh.

2.2 Soạn đề kiểm tra chương nguyên hàm, tích phân vàứng dụng

Trước khi soạn một đề kiểm tra hay một đề bài tập trắc nghiệm giáo viên nên tham khảothêm những nguồn tài liệu uy tín, không nên soạn chủ quan theo ý của mình.

• Đối với kiểm tra định kỳ và thường xuyên bài nguyên hàm giáo viên có thể cho cảtrắc nghiệm và tự luận, tự luận để giáo viên biết thông tin phản hồi học sinh nắmbài tới đâu, có biết cách làm hay không.

• Đề bài tập đầy đủ theo chuẩn kiến thức kỹ năng, từ công thức, chú ý nhỏ đến cácbài tập.

• Đề phải có đủ các cấp độ như nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng caovà có 3 kiểu đáp án là loại suy hoàn toàn, loại suy 50% và tính để ra kết quả.

∗ Đề có các câu nhận biết không cần bấm máy tính. Đáp án cho theo kiểu loạisuy hoàn toàn.

∗ Dạng câu hỏi thứ hai là sử dụng hình ảnh hoặc công thức. Đáp án theo kiểuloại suy hoàn toàn hoặc loại suy 50%.

∗ Các câu đỏi hỏi phải tính toán, vận dụng kiến thức. Đáp án theo kiểu loại suy50% hoặc chỉ tính, không loại suy.

∗ Trong đề phải có câu vận dụng cao. Đáp án theo kiểu tính hoặc loại suy 50%.

• Về đáp án, phương án nhiễu phải tốt, tránh những phương án nhiễu hiển nhiên.



3 Kết luậnHiện nay, việc dạy học phải đổi mới để phù hợp phương án thi là một điều mà bất cứgiáo viên dạy Toán lớp 12 nào cũng phải làm. Đổi mới từ cách dạy lý thuyết, dạy bài tậpđến đổi mới cách ra đề kiểm tra. Muốn giúp cho học sinh làm bài đạt hiểu quả cao giáoviên phải giúp học sinh nắm được lý thuyết, nắm được cách giải bài tập và quan trọng làdạy các em kỹ năng làm bài trắc nghiệm. Do mới bước đầu thực hiện nên chúng tôi rấtcần trao đổi học hỏi thêm từ đồng nghiệp, tham khảo thêm tài liệu trên mạng, hợp táctạo ra ngân hàng đề đa dạng. Đến với hội thảo hôm nay, chúng tôi xin được quý đồngnghiệp góp ý thêm cho cách làm của chúng tôi và chúng tôi cũng rất mong được học hỏinhiều hơn từ quý đồng nghiệp.


ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN XÂY DỰNGTHƯ VIỆN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN

Nguyễn Văn Quí - Trường THPT chuyên Bến Tre

Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2016 - 2017 môn toán sẽ được thi bằng hình thứctrắc nghiệm khách quan, vấn đề nầy làm cho giáo viên và học sinh không ít lo lắng. Vềphía giáo viên phải suy nghĩ dạy như thế nào để các em làm chủ được kiến thức, kĩ năngđáp ứng tốt với hình thức thi trắc nghiệm khách quan. Một vấn đề mà bất kỳ thầy, côgiáo nào dạy môn toán cũng nghĩ đến là phải xây dựng cho mình một thư viện câu hỏitrắc nghiệm môn toán, để làm được điều nầy nhiều giáo viên đã sưu tầm các câu hỏi từnhiều nguồn như các sách tham khảo, các tài liệu trên mạng cũng có rất nhiều nhưngđộ tin cậy không cao, chưa nói đến việc các câu hỏi ấy có chuẩn hay chưa mà việc tínhsai kết quả là rất lớn. Bởi vì đa số những người soạn đều tính toán thủ công nên việc saisót là khó tránh khỏi. Mặt khác làm sao tạo ra được một số lượng khá lớn các câu hỏicùng dạng để bỏ vào thư viện một cách nhanh nhất với độ chính xác gần như tuyệt đối.Để giải quyết vấn đề nầy tôi đã ứng dụng các phần mềm toán như: Maple, Mathematica,GeoGebra, mỗi phần mềm nầy đều có các thế mạnh khác nhau: Maple và Mathematicamạnh về Đại số và Giải tích còn GeoGebra mạnh về hình học. Để sáng tác ra hàng loạtcác câu hỏi cùng dạng ta chỉ cần thể hiện ý tưởng qua một đoạn lập trình ngắn vài hàngvà sau đó mỗi lần sửa số liệu và nhấn Enter sẽ được một câu với đáp số chính xác. Sauđây sẽ minh họa một số ví dụ cho ý tưởng nầy.1) Trước hết ta xét 1 ví dụ như sau

Trước hết ta giải theo cách tự luận như sau:

116




Vậy là ta đã dạy cho học sinh giải câu hỏi trên bằng cách tự luận và cách dùng máy tínhCasio để chọn nhanh đáp án của câu hỏi trắc nghiệm. Vấn đề đặt ra tiếp theo là làmsao sáng tác ra các câu hỏi có dạng như trên một cách nhanh nhất? Tôi dùng phần mềmMaple với đoạn lập trình ngắn như sau:

Ta nhấn Enter thì được kết quả như thế nầy:

Kết quả mà Maple tạo ra chỉ có 3 hàng:- Hàng thứ nhất là hàm số f(x) mà ta nhập vào.- Hàng thứ hai là: f ′ (x1) f

′ (x2) = −1

- Hàng thứ ba là giá trị m cần tìm (m = −3)Bây giờ ta chỉ việc thay đổi hàm số f(x) sẽ có 1 câu trắc nghiệm mới. Bằng cách làm nầyta tạo ra 30 câu trắc nghiệm cùng loại cho 3 dạng hàm số một cách nhanh chóng mà kết



quả tuyệt đối chính xác như sau:



2) Sáng tác các câu hỏi về xác định tham số m để hàm số đơn điệu trên mộtkhoảngTôi dùng phần mềm Mathematica với đoạn lập trình như sau:



Đoạn lập trình nầy giải quyết cho ta bài toán sau:

Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y =x2 − 2mx+ 3m

x− 1nghịch biến trên khoảng

(2; 5).Khi nhấn Shift-Enter thì được kết quả sau:

Vậy kết quả bài toán là m ⩾ 15.Dùng đoạn chương trình nầy ta sáng tác ra 30 câu hỏi sau:Sáng tác các câu trắc nghiệm về xác định tham số để hàm số đơn điệu trên 1 miền





3) Có thể dùng phần mềm Maple để soạn hệ thống câu hỏi về số phức nhanhchóng như sau:





4) Có thể dùng GeoGebra để tạo ra các bài toán mẫu trong kg Oxyz khi tathay đổi số liệu thì được bài toán mới.



Với đoạn chương trình nầy ta được các KQ sau:





Qua kinh nghiệm của bản thân khi lập thư viện câu hỏi trắc nghiệm môn toán tôi thấyrằng nếu các thầy, cô giáo biết sử dụng các phần mềm toán như trên thì công việc sángtạo các câu hỏi trắc nghiệm để rèn luyện kỹ năng cho học sinh là việc làm lý thú và sángtạo. Nhiệm vụ của giáo viên là phải dạy cho học sinh biết giải bài toán bằng tự luận, biếtchọn nhanh kết quả của câu hỏi trắc nghiệm (thành thạo sử dụng máy tính bỏ túi) vảcuối cùng phải biết sáng tạo hệ thống câu hỏi trắc nghiệm nhanh và chính xác. Do khôngthể trình bày bài viết quá dài tôi xin dừng lại ở đây. Các thầy, cô muốn trao đổi với tôicó thể liên hệ qua mail: [email protected].


Documents

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SÓC TRĂNG - · PDF file1 Báo cáo đề dẫn 3 2 Dạy học các ... và Chương trình môn Toán lớp 12 ... Để trang bị cho học sinh