Sobre la caracterización de dos ecuaciones generadoras de tríos de términos

pertenecientes a la conjetura de Beal.

Rodolfo A. Nieves Rivas

fesol7luzley@gmail.com

Resumen.

En este breve artículo se presentan dos ecuaciones para la representación canónica de

los términos correspondientes a casos particulares y obtención de los tríos de la

ecuación de la conjetura de Beal. Luego se establece su caracterización y se concluye

con algunos ejemplos que nos permiten visualizar el comportamiento y sentar las bases

que nos garanticen la resolución definitiva de dicha conjetura.

Palabras clave: Representación canónica; Caracterización; Tríos de Beal.

Introducción:

Desde que se conoce el teorema de Pitágoras con su ecuación característica y los

diferentes métodos para la obtención de sus ternas o tríos pitagóricos primitivos y luego

con el surgimiento del estudio de las ecuaciones Diofanticas, así como el intento de

generalización de la ecuación de Pitágoras a exponentes mayores que Dos por parte de

Fermat y los resultados presentados por Matiyasevich en lo concerniente al décimo

problema de Hilbert. Y además con la solución presentada por Andrew Wiles con sus

curvas elípticas modulares al teorema de Fermat. Ahora surge otro problema al que hay

que enfrentar y este problema es conocido como: La conjetura de Beal. Dado que fue:

Andrew Beal quien la formuló.

En este breve artículo se presenta la caracterización y representación canónica de Dos

ecuaciones de aplicación general y resolución de esta conjetura. Sentando las bases que

nos garantizan el avance hacia la resolución definitiva.

Primera Caracterización:

Teorema:1 de Beal-Nieves.

Si: A = B

Cuando: C = A. 1n A

∆n≥3

Tal que: 1n A ϵ

Entonces la conjetura de Beal: Ax + B

y = C

z Es cierta

Si y solo si: x = n

Y además: y = (n+1)

Donde: z = n

Y por tanto: An

+ Bn+1

= Cn

Observación: Este teorema permite demostrar que efectivamente (A; B; C) tienen un

factor común igual a: A como lo establece la conjetura de Beal y el cual puede ser:

Primo o compuesto y si es compuesto entonces el factor común es un numero primo

perteneciente a la descomposición factorial de: A.

Ejemplos:

A = 31

n = 5

C = 62

B = 31

Ax + B

y = C

z = 31

5 + 31

6 = 62

5

A = 26

n = 3

C = 78

B = 26

Ax + B

y = C

z = 26

3 + 26

4 = 78

3

A = 127

n = 7

C = 254

B = 127

Ax + B

y = C

z = 127

7 + 127

8 = 254

7

A = 63

n = 3

C = 252

B = 63

Ax + B

y = C

z = 63

3 + 63

4 = 252

3

Primera ecuación canónica generadora de tríos de Beal:

Sea: ( an – 1 )

n + ( a

n – 1 )

n+1 = (( a

n – 1 ).a)

n

Para toda: a≥2

Y toda: n≥2

Segunda Caracterización:

Sea: Ax

+ By = C

z La ecuación de la conjetura de Beal.

Para: A = B ó A ≠ B

Cuando: C = c

Si: an + b

n = c

Y además: x = n

y = n

z = n+1

∆n≥3

Entonces: A = (a.c)

Cuando: B = (b.c)

Tal que: (a.c)n + (b.c)

n = c

n+1 → A

x + B

y = C

z

Generalización:

Sea: [a.( an + b

n)]

n + [b.( a

n + b

n)]

n = [a

n + b

n]

n+1

Cuando: a ≥ 2

Y además: b ≥ 2

Para toda: n ≥ 2

Segunda Ecuación canónica generadora de tríos de Beal:

Sea: (a.c)n + (b.c)

n = c

n+1

Solo cuando: an + b

n = c

Para toda: a≥1

Para toda: b≥1

Y toda: n≥2

Observación: para todo número primo de la forma: 4.m+1 = a2 + b

2 = c

Queda demostrado que: a=1 y además: A = C = c. Así como: b2 = 4.m

Esto está garantizado por la demostración de Fermat a la conjetura de: Girard.

Ejemplos:

a = 3

b = 5

n = 3

C = c = 152

A = 456

B = 760

4563

+ 7603 = 152

4 → A

x + B

y = C

z

a = 2

b = 3

n = 3

C = c = 35

A = 70

B = 105

703

+ 1053 = 35

4 → A

x + B

y = C

z

a = 1

b = 4

n = 2

C = c = 17

A = 17

B = 68

172

+ 682 = 17

3 → A

x + B

y = C

z

a = 3

b = 3

n = 4

C = c = 162

A = 486

B = 486

4864

+ 4864 = 162

5 → A

x + B

y = C

z

Criterio y Discriminante de Nieves sobre la conjetura de Beal.

Para que sea cierto que: Ax + B

y = C

z

Cuando: Ax + B

y = C

z Es la Ecuación de Beal.

Solo es necesario y suficiente que:

[A-x

/ C-z

] - [A-x

/ B-y

]= 1

[Cz / A

x] - [B

y / A

x]= 1

[Cz / B

y] - [A

x / B

y]= 1

[Ax / C

z] + [B

y / C

z]= 1

Ejemplos:

[1-1

/ 3-2

] - [1-1

/ 2-3

]= 1

[32 / 1

1] - [2

3 / 1

1]= 1

[32 / 2

3] - [1

1 / 2

3]= 1

[11 / 3

2] + [2

3 / 3

2]= 1

Observación: el ejemplo anterior está relacionado con la conjetura de catalán

presentada por Eugene charles Catalán en 1884 y demostrada por Preda Mihailescu

en el 2002.

[2-5

/ 3-4

] - [2-5

/ 7-2

]= 1

[34 / 2

5] - [7

2 / 2

5]= 1

[34 / 7

2] - [2

5 / 7

2]= 1

[25 / 3

4] + [7

2 / 3

4]= 1

Observación: El ejemplo anterior permite visualizar una de las condiciones cuando los

tres términos no tienen un factor común entonces al menos uno de las exponentes es

igual a: 2 y además cabe destacar que el termino: Cz = 3

4 puede cambiarse por: C

Z = 9

2

Comprobación de los valores correspondientes a los tríos de Beal; en la siguiente

tabla a través del discriminante o identidad en el criterio de Nieves.

Transformaciones

de: Cz

→ Cz = AX + By → Transformaciones

de: Bz

z x y

82= 26=43=641 → 82 = 391 + 52 → 52= 251 2;6;3;1 1 2;1

Discriminante o Identidad de Nieves.

[A-x

/ C-z

] - [A-x

/ B-y

]= 1

[Cz / A

x] - [B

y / A

x]= 1

[Cz / B

y] - [A

x / B

y]= 1

[Ax / C

z] + [B

y / C

z]= 1

Comprobación:

[39-1

/ 8-2

] - [39-1

/ 5-2

]= 1

[82 / 39

1] - [5

2 / 39

1]= 1

[82 / 5

2] - [39

1 / 5

2]= 1

[391 / 8

2] + [5

2 / 8

2]= 1

Transformación:

[39-1

/ 4-3

] - [39-1

/ 5-2

]= 1

[26 / 39

1] - [5

2 / 39

1]= 1

[43 / 25

1] - [39

1 / 5

2]= 1

[391 / 64

1] + [5

2 / 4

3]= 1

Teorema Principal:

“Todo número impar se puede expresar con la diferencia de dos cuadrados”

12-02 = 1

22-12 = 3

32-22 = 5

42-32 = 7

32-02 = 52-42 = 9

62-52 = 11

72-62 = 13

42-12 = 82-72 = 15

92-82 = 17

102-92 = 19

52-22 = 112-102 = 21

122-112 = 23

52-02 = 132-122 = 25

62-32 = 142-132 = 27

152-142 = 29

162-152 = 31

72-42 = 172-162 = 33

62-12 = 182-172 = 35

192-182 = 37

82-52 = 202-192 = 39

Teorema 1:

“Todo número impar se puede expresar con la diferencia de

dos cuadrados consecutivos”

12-02 = 1

22-12 = 3

32-22 = 5

42-32 = 7

52-42 = 9

62-52 = 11

72-62 = 13

82-72 = 15

92-82 = 17

102-92 = 19

112-102 = 21

122-112 = 23

132-122 = 25

142-132 = 27

152-142 = 29

162-152 = 31

172-162 = 33

182-172 = 35

192-182 = 37

202-192 = 39

Teorema 2:

“Dos números consecutivos siempre son coprimos”

Teorema 3:

“Si dos números no dividen la suma de ambos.

Entonces ambos son coprimos a la misma”

Teorema 4:

“Toda enésima potencia cuya base sea un número impar primo o compuesto

siempre es impar”

Teorema 5:

“Si las bases de los tres términos de la ecuación de Beal son coprimos.

Y además una de dichas bases es un número impar.

Entonces al menos uno de los exponentes es igual a dos”

Cz = Ax + By

12 = 1 + 02

22 = 3 + 12

32 = 5 + 22

42 = 7 + 32

52 = 9 + 42 → 32 = 9

62 = 11 + 52

72 = 13 + 62

82 = 15 + 72

92 = 17 + 82

102 = 19 + 92

112 = 21 + 102

122 = 23 + 112

132 = 25 + 122 → 52 = 25

142 = 27 + 132 → 33 = 27

152 = 29 + 142

162 = 31 + 152

172 = 33 + 162

182 = 35 + 172

192 = 37 + 182

202 = 39 + 192

CZ = Ax + BY

300429072 = 962223 + 438

210629382 = 762713 + 177

1222 = 114 + 35

712 = 173 + 27

712 = 34 + 25

132 = 52 + 122

Aplicación de los teoremas anteriores:

Cz = Ax + By

42 = 71 + 32

252 = 72 + 242

1722 = 73 + 1712

12012 = 74 + 12002

Demostración:

Ax = Cz - By

71 = 42 - 32

72 = 252 - 242

73 = 1722 - 1712

74 = 12012 - 12002

Observación: Dado que: Cz siempre es impar si: C es impar para toda: z

Entonces por el teorema principal la Conjetura de Beal es Cierta por el teorema: 5

Y además: Ax siempre es impar para toda: x Si y solo si: A es un número Primo impar

así como además: x es también impar. Y las transformaciones son posibles cuando: Ax

es una potencia de un número primo o un libre de cuadrado.

Cz = Ax + By

52 = 91 + 42

412 = 92 + 402

3652 = 93 + 3642

32812 = 94 + 32802

Demostración:

Ax = Cz - By

32=91 = 52 - 42

34=92 = 412 - 402

36=93 = 3652 - 3642

38=94 = 32812 - 32802

Transformaciones de términos:

CZ = Ax + BY z x y

12 = 11 + 02 2 1 2

22 = 31 + 12 2 1 2

32 = 51 + 22 2 1 2

42 = 71 + 32 2 1 2

32 = = 32 + 02 2 2 2

62 = 111 + 52 2 1 2

72 = 131 + 62 2 1 2

42 = = 151 + 12 2 1 2

92 = 171 + 82 2 1 2

102 = 191 + 92 2 1 2

52 = = 211 + 22 2 1 2

122 = 231 + 112 2 1 2

132 = 52 + 122 2 2 2

62 = = 33 + 32 2 3 2

152 = 291 + 142 2 1 2

162 = 311 + 152 2 1 2

72 = = 331 + 42 2 1 2

182 = 351 + 172 2 1 2

192 = 371 + 182 2 1 2

82 = = 391 + 52 2 1 2

Análisis de las transformaciones posibles en general:

Transformaciones de: CZ CZ = Ax + BY z x y

12 = 11 + 02 2 1 2

22 = 31 + 12 2 1 2

32 = 51 + 22 2 1 2

42 = 24 = 161 → 42 = 71 + 32 2 1 2

32 = = 32 + 02 2 2 2

62 = 111 + 52 2 1 2

72 = 131 + 62 2 1 2

42 = 24 → 42 = = 151 + 12 2 1 2

92 = 34 = 811 → 92 = 171 + 82 2 1 2

102 = 191 + 92 2 1 2

52 = = 211 + 22 2 1 2

122 = 231 + 112 2 1 2

132 = 52 + 122 2 2 2

62 = = 33 + 32 2 3 2

152 = 291 + 142 2 1 2

162 = 44 = 28 → 162 = 311 + 152 2 1 2

72 = = 331 + 42 2 1 2

182 = 351 + 172 2 1 2

192 = 371 + 182 2 1 2

82= 26=43=641 → 82 = = 391 + 52 2 1 2

Transformación con ejemplos triviales:

CZ CZ CZ = Ax + BY

12 = 11 + 02

22 = 31 + 12

32 = 51 + 22

42 = 71 + 32

32 = 91 + 02

62 = 111 + 52

72 = 131 + 62

42 = 151 + 12

92 = 171 + 82

102 = 191 + 92

52 = 211 + 22

122 = 231 + 112

52 = = 251 + 02

62 = 271 + 32

152 = 291 + 142

162 = 311 + 152

72 = 331 + 42

62 = 351 + 12

192 = 371 + 182

82 = 391 + 52

Cz = Ax + By

12 = 1 + 02

22 = 3 + 12

32 = 5 + 22

42 = 7 + 32

52 = 9 + 42

62 = 11 + 52

72 = 13 + 62

82 = 15 + 72

92 = 17 + 82

102 = 19 + 92

112 = 21 + 102

122 = 23 + 112

132 = 25 + 122

142 = 27 + 132

152 = 29 + 142

162 = 31 + 152

172 = 33 + 162

Resultados:

En la ecuación perteneciente a la conjetura de Beal necesariamente al menos uno de los

tres términos es un número impar primo o compuesto.Y dado que si la suma es par

necesariamente los otros dos términos o son ambos impares o ambos pares y si son

ambos pares el factor común es dos y si son ambos impares o al menos uno es impar la

suma es par o impar respectivamente y si es impar. Entonces la conjetura de Beal es

cierta por todo lo anterior.

Conclusión:

Y como los cuatro criterios anteriores son identidades esto permite la generalización de

los resultados conduciéndonos hacia la demostración definitiva de la conjetura de Beal

y asegurar que la misma es cierta.

Referencias:

[1] K. Raja Rama Gandhi; Reuven tint. Proof of Beal´s conjeture; Bulletin of

mathematical sciences & applications, vol. 2 ;Nº 3. Estados Unidos 2013.pp.61-64.

[2] Nieves R. Rodolfo “Demostración de una conjetura presentada en el quinto congreso

internacional de matemáticas en 1.912”. Memorias XIX Jornadas Técnicas de

Investigación y III de Postgrado. Ed, Horizontes.Venezuela,20011.pp.123-128.

Nota: Tercera entrega.