Sokszínű matematika 7. évfolyam

A KITŰZÖTT FELADATOK MEGOLDÁSAI

munkaanyag

A * az egész dokumentumban a szorzás jelét helyettesíti!

1. Természetes számok, racionális számok

13.o. /1.

a) 25,04:141

==

b) 4,05:252

==

c) 3125,016:516

5−=−=

−

d) 128574,27:177

17732 ===

e) 5,28:20820

=−=−

f) 125,58:41841

815 −=−=

−=−

g) 2,020:4204

==

h) 625,08:585

−=−=−

13.o./2.

a) 51

1022,0 ==

b) 81

1000125125,0 ==

c) 1,15=2023

100115

=

d) 35

3216,016,1 =+=+=

e) 25

10255,2 −=−=−

f) 254

1001616,0 −=−=−

g) 31291921,0929,029,2 =+=∗+=∗+=+=

h) 831

10003875875,3 −=−=−

13.o./3.

a) 92

b) 1,2

c) 126

−

d) 1,6

13.o./4.

Igazak: a,b,dHamisak: c,e,f,g

13.o./5.

a) 0,17>61

b) 0,92<1312

c) –20,5<-11225

13.o./6.

a) 5,123

211 == ; 5,2

615

= ; 1,25 ; 2,5

növekvő sorrend:1,25<1,5<2,5

eredeti számokkal: 1,25<121 <2,5=

615

számegyenes

b) 4,052= ; 3,0

31= ; 0,2 ;0, 6

növekvő sorrend: 0,2< 3,0 <0,4<0, 6

eredeti számokkal: 0,2<31 <

52 <0, 6

számegyenes

c) 4,052

−=− ; - 3,031

−= ; -0,2 ;-0, 6

növekvő sorrend: -0, 6 < -0,4<- 3,0 <-0,2

eredeti számokkal: -0, 6 < -52 <-

31 <-0,2

számegyenes

d) - 5,123

211 −=−= ; -

615 =-2,5 ; - 2,5; -1,25

növekvő sorrend:-2,5<-1,5<-1,25

eredeti számokkal: -2,5=-6

15 <-121 <-1,25

számegyenes

e) 4,052= ; - 3,0

31

−= ; -0,2 ;-0, 6

növekvő sorrend: -0, 6 < - 3,0 <-0,2<0,4

eredeti számokkal: -0, 6 <- 31 <-0,2<

52

számegyenes

f) - 5,123

211 −=−= ;

615 =2,5 ; - 2,5; 1,25

növekvő sorrend:-2,5<-1,5<1,25<2,5

eredeti számokkal: -2,5<-121 <1,25<

615

számegyenes

14.o./7.

857214785214785241,071=

3. 9. 15.2-es számjegy a tizedes vessző után a harmadik, kilencedik, tizenötödik….helyen áll.

14.o./8.a) 4-es számjegyb) 4-es számjegyc) 8-as számjegy

14.o./9.a) 3-asb) 7-esc) 8-asd) 4-es

14.o./10.

Anna: 141 óra=1,25 óra; Bori:

65 óra=0,83 óra; Kati: 85 perc = 641,1 óra; Eszter:

68 óra = 3,1 óra

A célbaérés sorrendje: Bori-Anna-Eszter-Kati

14.o./11.a) Számegyenesb) Számegyenesc) számegyenes

14.o./12.

G ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

87;0 H ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− 0;

98 I ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

109;0 J ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 0;

1110

14.o./13.A tört értéke akkor lesz a legnagyobb, ha a számkártyákból a számlálóba a lehető legnagyobb,a nevezőbe a lehető legkisebb számot rakják. A tört értéke akkor lesz a legkisebb, ha aszámlálóba kerül a lehető legkisebb, a nevezőbe a lehető legnagyobb kétjegyű szám kerül.

14.o./Rejtvény

Legnagyobb: 1:(2:3:4:5:6:7:8:9) = 90720Legkisebb: (1:2:3:4:5:6:7:8) : 9 = 0,000002755

18.o./1.

a) ( ) 6712

1412721

281214

2121 −=−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−∗+=

−∗+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∗+

b) ( ) 19)15(4)5(3432134 =−−=−∗−=∗−∗−

c) ( ) 25,15,32135,3

219345,3 =−=∗−=∗−∗−

d) 25

615

621

66

6211

6731

65

6231

65

3131 −=−=−=−=∗−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∗−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∗−

e) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∗+

412,010

21 0,5+10*(0,2-0,25)=0,5+10*(-0,05)=0,5+(-0,5)=0

f) 91

273

279

2712

31

271

2733

31

271

913 −=−=+−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∗−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

19.o./2.

a) 3023

301215

3020

52

21

32

=−

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

b) 3017

301215

3020

52

21

32

=−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

c) 307

301215

3020

52

21

32

−=+

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

d) 6,101001,04,02

200101,052

−=∗−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∗−

e) 811

81

810

81

45

81

41

42)5(

81

82

21)5( −=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∗−=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∗−

f) ( ) ( ) 03,03,01,01,04,04,05,01014,04,0

21

=∗=−∗−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

19.o./3.

a) 329

31)30(

31)10(

31)18(

95

−=+−

=+−=+−∗

b) 91

21

92

21

96

94

21

32

94

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∗=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−∗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−∗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

c) 2499

29

1211

29

129

1220

92

43

35

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−∗⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−÷⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−−

19.o./4.

a) A negyedik napon: 1211

1283

32

41

=+

=+ csupor lesz.

b) A nyolcadik napon: 1210

128911

32

43

1211

=+−

=+− csupor lesz.

c) Látjuk, hogy négynaponta 1/12 résznyi méz fogy el.Folytatva a gondolatmenetet: Morgónak a 12. napon 9/12-ed, azaz ¾ csupor méze lesz, eza 15. napon elfogy. Mivel a 16. napon 6/9=2/3 csupor mézet szerez, ebből kétszer (vagyisa 17. és 18. napon) tud ¼ csupornyit enni, de a 19. napra már nem jut egy rendes adagnyi.

19.o./5.Egy nap alatt megépítik a vár 2/90 részét (az éjszakai lebomlást is beleszámítva), így a 45 napszükséges a felépítéshez.

19.o./6.

Például: 2*(1-1/3)=2*2/3=4/3

19.o./7.

a) A<Bb) A<Bc) A<Bd) A>B

20.o./8.

a) ( ) ( ) 111

)5,0()5,0(1

25,0175,015,0

125,031125,0

31

==−÷−

=−−÷−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

b) ( ) ( ) 111

)75,0()75,0(1

25,015,0125,0

8,125,0318,125,0

31

==−÷−

=−−÷−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

c) ( ) ( ) 2)5,0()5,0(

225,0175,015,0

125,03125,0

32

=−÷−

=−−÷−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

d) ( ) ( ) 21

)5,0()1(1

25,0175,021

125,031125,0

31

=−÷−

=−−÷−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

20.o./9.

a) 21 +

31 =

65

b) 3,06

1253

=÷

c) 51

217,0 =−

d) 211

1039

7013

=÷

20.o./10.

a) 3015

615

623

531

21

=÷=÷−

=−

b) 134

34

232

322

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−÷=

−

−

c) 1924

1951

51911

543

11 =+=÷+=+

+

d) 652

35

2321

22311

2211

11

=÷=+

=÷+

=+

+

20.o./11.

2/3 rész 2/3 km

1/3 rész…………2/3 km3/3 rész az egész út3*2/3 km =6/3 km = 2 km

20.o./12.

cél

1/2 rész 1/3 rész

1/3 rész+1/2 rész =5/6 rész Karcsi az összes versenyző 1/6 része=> Tehát összesen 6összes versenyző: 6/6 fő indult. Karcsi harmadikként ért célba.

20.o./13.

a) 213

vagy 123

b) 231

vagy 321

20.o./Rejtvény

a) pl.:21

21

21

21

21

21

=∗∗⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

b) pl.: 121

21

21

21

21

=++∗⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

c) pl.: 021

21

21

21

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∗∗∗

25.o./1.a) 1 cm a térképen a valóságban 1 500 000 cm=15 000 m=15 km

5-ször akkora távolság 5*15km=75 kmb) 1 cm a térképen a valóságban 15 km

225 km :15km=15A térképen 15 cm lesz a távolság.

25.o./2.

Térképen: 5 cmValóságban: 20 km = 20 000 m= 2 000 000 cm5: 2 000 000 = 1: 400 000

25.o./3.a) Egyenes arányb) Egyenes arányc) Egyiksemd) Egyik seme) Egyenes arányf) Fordított arány

25.o./4.5h…………….600 km:5 egyenes arány1h…………….600:5=120 km*8,5 egyenes arány8,5h………….120km*85=1020 km

1020 km-t tesz meg 8,5h alatt.

26.o./5.70 adaghoz…………….10,5 kg:7 egyenes arány10 adaghoz…………….10,5kg:7=1,5 kg*10 egyenes arány100 adaghoz………….1,5 kg*10=15 kg

100 adaghoz 15 kg hús szükséges.

26.o./6.30 kg-hoz…………….20 db*5 egyenes arány150 kg-hoz………… 20db*5=1000 db

150 kg szőlőt 100 db dobozba csomagolunk.

26.o./7.

25 db 7 dl-es üvegbe összesen 25*7=175 dl gyümölcslét töltöttek. Ha 1 üveg 12,5 dl-es, akkor175/12=14 db 125 dl-es üvegre van szükség.

26.o./8.

I. sebessége: 1000 km/hII. sebessége: 1000 km/h * 3/5=200km/h * 3 = 600km/h

1000 km/h…………….3 h:10 fordított arány100 km/h…………….. 3 h*10=30 h*6 fordított arány600 km/h……………..30h:6=5 h

5h alatt teszi meg 600km/h sebességgel ugyanazt az utat.

26.o./9.1 perc alatt…………….10 l*20 egyenes arány20 perc alatt………… 10l*20=200 l

1 perc alatt 25 l200 l 200/25=8 perc

8 perc alatt telik meg másik csapból.

26.o./10.

1 kacsához…………….10 kg*20 egyenes arány20 kacsához………… 10kg*20=200 kg

1 kacsához…………….10 kg*15 egyenes arány15 kacsához………… 10kg*15=150 kg

20 kacsa felhízlalásához 50 kg-mal több kukorica szükséges.

26.o./11.

5 gyerek………2 óra………..80 db:5 egyenes arány1 gyerek……… 2 óra……….80/5db=16db*12 egyenes arány12 gyerek……..2 óra………..16db*12=192db

:2 egyenes arány12 gyerek……. 1 óra………..192 db/2=96 db

*3 egyenes arány12 gyerek……. 3 óra………..96 db*3=288 db

12 gyerek 3 óra alatt 288 db szendvicset tud elkészíteni.

26.o./12.

3 egér…………5 sajt………..4 nap:3 fordított arány1 egér…………5 sajt ……….4*3=12 nap*5 fordított arány5 egér…………5 sajt……….12/5=2,4 nap

*2 egyenes arány5 egér…..…….10 sajt……….2,4*2=4,8 nap

5 egérnek 10 sajt 4,8 napra elegendő.

26.o./13.

A B Cs2db 3db 0db

osztoztak:

132 db 1

32 db 1

32 db

Csabának adott:

31 db-ot 1

31 db-ot 150 Ft …………1

32 db

31 db……………30 Ft

András kapott 30 Ft-ot.Balázs kapott 4*30Ft=120 Ft-ot.

26.o./14.

14030

=+xx

x = 14,177

120≈ perc

26.o./15.1t = 100a + 1ö1ö = 20a + 0,5m1m = 10a + 0,25k1k = 8a

Visszafelé helyettesítésekkel:1m = 10a + 0,25*8a = 12a1ö = 20a + 0,5*12a = 26a1t = 100a + 26a = 126a

1 táltos 126 aranyat ér.

26.o./ Rejtvény

Nem lehet tudni, mivel a hét napjai és a között, hogy fúj-e a szél, nincs matematikaiösszefüggés.

30.o./1.

a) 5

4985

250052100 =

−=−

b) 604010022010052100100 =−=∗−=∗−

c) 4022052100 =∗=∗

30.o./2.

a) 1000*1,2=1200 1,2-szereséreb) 0,8-szeresérec) 2-szereséred) 1,2-szereséree) 2-szereséref) 0,005-szereére

30.o./3.

a) 500*1,5=750b) 500+50=550c) 500*0,5=250d) 500/50=10

30.o./4.

a) 200%-ab) 50%-ac) 150%-ad) 500%-ae) 20%-af) 125%-a

30.o./5.

a) 1,25-szorosab) 0,92-szerese

30.o./6.

a) 40%-kal nőttb) 25%-kal nőtt

30.o./7.Medve: 50:40=1,25 →25%-kal nőtt a tömege Elefánt: 140:120= 61,1 →16,6%-kal nőtt a tömegeA medvebocs nőtt jobban.

30.o./8.

Összesen: 45 000 fő

Nő Férfi20% 80%

45 000*0,8=36 000 fő

Kördiagram!

Átlagosan 36 000 fő a férfi.

31.o./9.

Döntőben szereplő csoportok: 75 000/0,3= 22 500db-22 500dbSzervezők: 75 000*0,01=750dbBajnokság csapatai: 75 000*0,15=11 250dbNemzetközi Labdarúgó Szövetség: 75 000*0,2= 15 000dbIsmert személyiségek: 3 000db

31.o./10.

1200*0,15=180180 fő hoz szendvicset az iskolába.

31.o./11.

a) Első változás: 1000*1,08=1080 FtMásodik változás: 1080*0,92=993,6FtÖsszesen: 993,6/1000= 0,9936 99,36% 0,64%-kal csökkent az ár.

b) Első változás: 1000*0,93=930 FtMásodik változás: 930*,07=995,1FtÖsszesen: 995,1/1000= 0,9951 99,51% 0,49%-kal csökkent az ár.

31.o./12.

Fenyő Tölgy20% 80%

Tölgynek a negyede, azaz 25%-a a fenyők száma.

31.o./13.

100kg + 100kg*4 = 500kg 5-szörösére nő

31.o./14.

Eredeti Új10 cm +10% 10cm*1,1=11 cm

a) K = 4*10cm = 40 cm K’=4*11cm = 44cm44/40 = 1,1 10%-kal nőtt a kerülete

b) T = 10cm*10cm = 100 cm2 T’=11cm*11cm = 121cm2

121/100 = 1,21 21%-kal nőtt a területe

31.o./15.

Eredeti ÚjEgyik oldal: 10 cm 10cm*0,85=8,5 cmMásik oldal: 20 cm 20cm*1,15=23 cm

a) K = 2*(20cm+10cm) = 60 cm K’=2*(23cm+8,5cm) = 63cm 63/60 = 1,05 5%-kal nőtt a kerülete

b) T = 10cm*20cm = 200 cm2 T’=23cm*8,5cm = 195,5cm2

195,5/200 = 0,9775 2,25%-kal csökkent a területe

31.o./16.

a) 19dbb) 10,52%c) 52,63%

32.o./17.

a)b)Eredmény Jeles Jó Közepes Elégséges Elégtelen Nem

vizsgázottFő 4 7 10 6 1 2% 13 23 33 20 3 7

c) Oszlop- és kördiagram!

32.o./18.

a) Jeles:10%Jó:27%Közepes:33%Elégséges:20%Elégtelen:3%Nem írt:7%

Oszlopdiagram!

b) Átlag: ≈3,2

32.o./19.

42=2*(x+0,75x)42=3,5xx=12 cmEgyik oldal:12 cmMásik oldal: 9 cmT= 12 cm*9 cm = 108 cm2

32.o./20.

a) 10 km-en ………….7 l100 km-en …………7 l*10 = 70 l

b) 10 km-en ………….7 l40 km-en …………7 l*4 = 28 l

20%Összes üzemanyag 100% 28 l*5=140 l

32.o./21.

1,08*X←10%-kal leszállított ár, azaz az eredeti ár 90%-a, 0,9-szerese

1,08/0,9 = 1,2 → 20% volt a leszállításelőtt a haszon

32.o./22.

2*1,25 = 2,5 = 25

1025

=

25 reciproka

52

21 -nek hány %-a a

52 ?

−→→==∗=÷21%808,0

542

52

21

52 et 20%-kal kell csökkenteni

32.o./Rejtvény

A gyorshajtók 51 -része nem 5%-a az összes autósnak.

%3,330,0301

51

61

===∗

35.o./1.

a) 10000*1,07=10700 Ftb) ( )[ ] 43,1225007,1*07,1*07,1*10000 = Ftc) 12250,43:10000=1,225043≈1,23

23%-kal növekedett az összeg.

35.o./2.

a) 10*1,05 = 10,5kgb) 4. nap végén

36.o./3.

1 év múlva 10 000*0,97 = 9700 Ft2 év múlva 9700*0,97 = 9409 Ft3 év múlva 9409*0,97 = ≈ 9127 Ft4 év múlva 9127*0,97 = ≈ 8853 Ft5 év múlva 8853*0,97 = ≈ 8597 Ft

35.o./4.

X*1,05 = 20000X = ≈ 19048 Ft

35.o./5.

( )[ ] 2000005,105,105,1 =∗∗∗X17277=≈X Ft

35.o./6.

a) ( )[ ]{ } 1215505,105,105,105,110000 =∗∗∗∗ Ftb) 4 év múlva: 12 155 Ft

5 év múlva: 12 763 Ft6 év múlva: 13 401 Ft7 év múlva: 14 071 Ft8 év múlva: 14 774 Ft9 év múlva: 15 513 Ft10 év múlva: 16 289 Ft11 év múlva: 17 103 Ft12 év múlva: 17 958 Ft13 év múlva: 18 856 Ft14 év múlva: 19 799 Ft15 év múlva: 20 789 Ft

35.o./7.

I. lehetőség1 év múlva 20000*1,05 = 21 000 Ft2 év múlva 21000*1,05 = 22 050 Ft3 év múlva 22050*1,05 = 23 153 Ft

II. lehetőség1 év múlva 20000*1,06 = 21 200 Ft2 év múlva 21200*1,05 = 22 260 Ft3 év múlva 22260*1,04 = 23 150 Ft

Az első lehetőség, az évi 5%-os kamat éri meg jobban.

35.o./8.

20000*1,25 = 25 000 Ft-ot kell visszafizetni.

35.o./9.

30000+20000*1,1 = 52 000 Ft-ba fog ténylegesen kerülni a gép.

35.o./10.

a) 1 év múlva: 20 000*1,05 = 21000 Ft2 év múlva: (20 000+21 000)*1,05 = 43050 Ft3 év múlva: (20 000+43 050)*1,05 = 66 203 Ft4 év múlva: (20 000+66 203)*1,05 = 90 153 Ft-ja lesz négy év múlva.

b) 5 év múlva: (20 000+90 513)*1,05 = 116 039 Ft6év múlva: (20 000+116 039)*1,05 = 142 841 Ft7 év múlva: (20 000+142 841)*1,05 = 170 983 Ft8 év múlva: (20 000+170 983)*1,05 = 200 532 Ft

35.o./Rejtvény

60%-ában csak a vezető ült az autóban. Ennek 60%-nak a 75%-ában vezette férfi.Vagyis: 0,6*0,75 = 0,45→ 45%Az összes személyautó 45%-ában csak a vezető ült az autóban, aki férfi volt.

39.o./1.

a) 32 = 3*3 = 9b) 53 = 5*5*5 = 125c) 73 = 7*7*7 = 343d) 104 = 10*10*10*10 = 10 000e) 26 = 2*2*2*2*2*2 = 64f) 63 = 6*6*6 = 216g) 84 = 8*8*8*8 = 4096h) 10001 = 1000

39.o./2. <

a) 26 kettő a hatodikonb) 35 három az ötödikenc) 0,13 nulla egész egytized a harmadikond) (-4)3 mínusz négy a köböne) 56 öt a hatodikonf) 74 hét a negyediken

39.o./3.

29 = 512

39.o./4.

a) 64b) 625c) 108d) 64e) 10 000f) 16 807

39.o./5.

a) 24 = 16 ; 42 = 16 ; 34 = 81 ; 43 = 6424 = 42 < 43 < 34

b) 23 = 8 ; 32 = 9 ; (-2)3 = -8 ; (-3)2= 9(-2)3< 23 < 32 = (-3)2

c) 2*33 = 54 ; 2*(33) = 54 ; (2*3)3 = 216 ; 23*3 = 2423*3 < 2*33 = 2*(33) < (2*3)3

d) 221∗ 5 = 16 ; 12

21 5

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∗ = 1 ;

1612

21 5

=∗⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ; ( ) 162

21 5 =∗

221 5

∗⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ <

5

221

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∗ < 2

21∗ 5 = ( )52

21∗

39.o./6.

a) 101100 > 10099

b) 100101 < 101101

c) 101100 < 101101

39.o./7.

A = <=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

94

32 2

B = 34

32 2

=

39.o./8.

34 = 81 , (-2)6 = 64 ; -54 = -625 ; (-4)3 = -64-54 < (-4)3 < (-2)6 < 34

40.o./9.

a) Legkisebb: 11; 12; 13; 14

Legnagyobb: 44

b) 16 félec) 11= 12 = 13 = 14 < 21 < 31 < 41 = 22 < 23 < 32 < 24 = 42 < 33 < 43 < 34 < 44

40.o./10.

a) Legkisebb: 11= 12 = 13 = 14 = 15 = 16

Legnagyobb: 66

b) 56 > 65

c) 36-féled) 28-féle

40.o./11.

2003-ban: 50002004-ben: 5000*0,88 = 4400 faj2005-ben: 4400*0,88 = 3872 faj2006-ban: 3872*0,88 = 3407 faj2007-ben: 3407*0,88 = 2998 faj2008-ban: 2998*0,88 = 2639 faj2009-ben: 2639*0,88 = 2322 faj2010-ben: 2322*0,88 = 2043 faj

40.o./12.

10 perc elteltével: 210 = 10241h = 60 perc elteltével: 260 = 115292, 1505*1018

Nem lehetséges, hogy egy baktériumból osztódással 1 óra elteltével 260db legyen, mivelközben el is pusztul valamennyi.

40.o./13.

a) 7%-os az éves kamatb) ≈ 14 026 Ft-otc) 10 000*1,086 = ≈ 15 869 Ft-ot

40.o./14.

a) 20 = 121 = 222 = 423 = 824 = 1625 = 3226 = 6427 = 12828 = 25629 = 512

A 3. hatvány 8-ra, a 10. hatvány 4-re, a 20. hatvány 6-ra, 2007-dik hatvány 8-ra végződik.A szabályt a 4-es maradék adja, a kitevő 4-gyel osztva mennyi maradékot ad. Azonosmaradékok esetén a hatvány értéke ugyanarra a számjegyre végződik.

b) 31 = 332 = 933 = 2734 = 8135 = 24336 = 72937 = 218738 = 656139 = 19 683

A 3. hatvány 7-re, a 10. hatvány 9-re, a 20. hatvány 1-re, a 2007-dik hatvány 7-re végződik.A szabályt a kitevők 4-es maradéka adja. Azonos maradékok esetén a hatvány értékeugyanarra a számjegyre végződik.

c) 41 = 442 = 1643 = 6444 = 25645 = 102446 = 409647 = 16 38448 = 65 53649 = 262 144

A 3. hatvány 4-re, a 10. hatvány 6-ra, a 20. hatvány 1-re, a 2007-dik hatvány 4-re végződik.A szabályt a kitevők 2-es maradéka adja. Azonos maradékok esetén a hatvány értékeugyanarra a számjegyre végződik.

d) 61 = 662 = 3663 = 21664 = 129665 = 7776

Bármely kitevő esetén az eredmény 6-ra végződik.

40.o./Rejtvény

( ) 622232 22222 =∗∗=

( ) 63323 2222 =∗=

( ) ( )2332 22 =

44.o./1.

a) 26

b) 24

c) 23

d) 29

e) 28

f) 26

44.o./2.

a) 22*(-2)3 = -32b) –32c) 32d) 8e) –128f) 64

44.o./3.

a) 27b) 25c) 49d) 216e) 9f) 0,0001

44.o./4.

A = 5 ; B = -5 ; C = 5 ; D = -5B = D < A = C

44.o./5.

a) 24*23 < 33*32

b) 52*54 > 57:52

c) 73*72 > (-7)3*72

d) 65:6 = 63*6

44.o./6.

a) 212 = 4096b) 66 = 46 656c) 515

d) 0,110

e) 350

f) 2010

44.o./7.

a) 24

b) 35

c) 212

d) -73

e) 0,111

f) 102

44.o./8.

22 27 26

29 25 21

24 23 28

44.o./Rejtvény

X*2 = Y2 = Z3

X*2 = 82

X = 32X*2 = 43

A százlábúnak 68 lába nem fáj.

48.o./1.

a) 153 = 3375b) 104 = 10 000c) 212 = 441d) 125 = 248 832

48.o./2.

a) 278

b) 2561

c) 425

d) 32768

161051

49.o./3.

a) 827

64216

46

423

33

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∗

b) 4096

1500625587 4

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∗

c) 16441

4217

43 22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∗−

d) 3125

32768584

52 55

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∗

49.o./4.

a) ( ) ( ) 91125125729535353 3633232 =∗=∗=∗=∗

b) ( ) ( ) 390625000024414062516525252 12443443 =∗=∗=∗=∗

c) 729

11764937

377

37

6

62

3

32

3

2

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∗

d) ( ) ( ) 35575

3

105

3

525

3

55

3

32 22

22

22

24

244 ==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∗

49.o./5.

a) (23*3)2 < (22*3)3

b) (23*24)2 < (24*22)3

c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

53

22*2 < (22*22)3

d) ( )( )23 3*2 − > ( )( )32 3*2−

49.o./6.

A = 212*512

B = (-2)12*59

C = -512*(-2)12

D = 213*513

C < B < A < D

49.o/7.

a) ∇=3b) Δ = 2c) = 5d) Ο= 3

49.o./8.

a) ◊ = 3b) ◊ = 8c) ◊ = 6d) ◊ = 3

49.o./9.

A = 28*312

B = 216*312

C = 222

C < A < B

49.o./10.

20022007 + 20022008

↓ ↓8-ra végződő 6-ra végződőszám szám(A 2002 egymás utáni hatványainak eredményében észrevehető szabályosságból állapíthatómeg, a kitevők 4-es maradékából)

8-ra és 6-ra végződő szám összege 4-re fog végződni

49.o./11.

a) 23+33 = 35 ; (2+3)3 = 125 ; (-2)3+(-3)3 = -35(-2)3+(-3)3 < 23+33 < (2+3)3

b) 24+34 = 97 ; (2+3)4 = 625 ; (-2)4+(-3)4 = 9724+34 = (-2)4+(-3)4 < (2+3)4

c) 23+32 = 17 ; (2+3)3 = 125 ; (-2)3+ (-3)2 = 1(-2)3+ (-3)2 < 23+32 < (2+3)3

49.o./12.

a) Legkisebb: (52*53)2 = 510 ♥ = 2 ♠ = 3Legnagyobb: (53*52)3 = 515 ♥ = 3 ♠ = 2

b) Legkisebb: 2

52

2

3

377

37

=∗ ♥ = 3 ♠ = 2

Legnagyobb: 3

53

3

2

277

27

=∗ ♥ = 2 ♠ = 3

c) Legkisebb: 82 443

= ♥ = 2 ♠ = 3Legnagyobb: 93 44

2

= ♥ = 3 ♠ = 2d) ( ) 632 44 =

egyenlők( ) 623 44 =

49.o./Rejtvény

A legnagyobb szám: 555.

53.o./1.

A 2007 összetett szám és páratlan. Páratlan számot egy páros és egy páratlan összegekéntkaphatunk. Ha egy szám páros, akkor osztható kettővel, azaz nem prím, kivéve a kettőt. Ha azegyik prímszám a 2 lenne, akkor a másik szám a 2005, ez pedig nem prím szám. Tehát nemírható fel a 2007 két prímszám összegeként.

53.o./2.

a) 10-nél kisebb prímek: 2; 3; 5; 7Lehetséges szorzatok 1-et hozzáadva:2*3+1 = 72*5+1 = 112*7+1 = 153*5+1 = 163*7+1 = 225*7+1 = 36

b) Az eredmények közül prímek: 7; 11.

53.o./3.

a) 252 = 22*32*7b) 720 = 24*32*5c) 300 = 22*3*52

d) 2475 = 32*52*11

53.o./4.

a) (12;26) = 2b) (8;40) = 8c) (12;66) = 2*3 = 6d) (35;60) = 5

53.o./5.

a) [6;8] = 23*3=24b) [8;20] = 23*5=40c) [12;15] = 22:3*5 = 60d) [26;4] = 22*13=52

54.o./6.

a) (23*3 ; 2*3*5) = 2*3 = 6[23*3 ; 2*3*5] = 23*3*5 = 120

b) (7*112 ; 2*3*73) = 7[7*112 ; 2*3*73] = 73*2*3*112 = 249 018

c) (53*72*11 ; 5*72*113) = 5*72*11 = 2695[53*72*11 ; 5*72*113] = 53*72*11 = 8 152 375

d) (2*32*52*7 ; 5*73*112) = 5*7 = 35[2*32*52*7 ; 5*73*112] = 2*32*52*73*112 = 18 676 350

54.o./7.

a) 52

53232

6024

2

3

=∗∗

∗=

b) 74

722

5632

3

5

=∗

=

c) 2011

521152

200110

23 =∗∗∗

=

d) 201

75275

70035

22 =∗∗

∗=

54.o./8.

a) 2423

65

81

=+

b) 41

123

305

121

==+−

c) 1217

67

41

=+

d) 6029

125

151

=+

54.o./9.

Relatív prímek: (4;7) ; (7;30) ; (7;50) ; (21;50)

54.o./10.

[15;20] = 22*3*5 = 60Indulástól számítva 60 perc, azaz 1 óra múlva, reggel 6 órakor indulnak ismét el egyszerre abuszok.

54.o./11.[4;6] = 12A két hajó az indulástól számítva 12 hónap múlva indul el ismét együtt a kikötőből.

54.o./12.

[3;8] = 24[6;8] = 24[12;8] = 24[24;8] = 24

54.o./13.

(X;2*52) = 2*5X = 22*5 = 20

[X;2*52] = 22*52

54.o./14.

a) (23*32*5y ; 2x*3*53) = 2*3z*52

X = 1Y = 2Z = 1

b) [23*32*5x ; 2y*33*5] = 24*3z*5X = 1Y = 4Z = 3

54.o./15.

(23*3 ; X) = 2*3Legkisebb kétjegyű szám: 18Legnagyobb kétjegyű szám: 54

54.o./Rejtvény

Legidősebb: 17 évesKözépső: 13 évesLegfiatalabb: 3 éves

58.o./1.

a) 2db százasb) 2,23*103 = 2230 = 2E+2Sz+3t+0ec) 8,765*104 = 88765 = 8TE+8E+7sz+6t+5ed) 3,44454*105 = 344454 = 3SZE+4TE+4E+4sz+5t+4e

58.o./2.

a) 245 = 2,45*102

b) 3400 = 3,4*103

c) 213,45 = 2,1345*102

d) 2342,332 = 2,342332*103

58.o./3.

a) 20*102 = 2*103

b) 22,12*10 = 2,212*102

c) 211,1*105 = 2,111*107

d) 10*102 = 1*103

e) 25 millió = 2,5*107

58.o./4.

a) 27797 = 2,7797*104

b) Város Ország Elővárosokkal Elővárosok nélk.

1. Tokió Japán 3,5197*107 8,12431*106

2. Mexikóváros Mexikó 1,9411*107 8,538639*106

3. New York USA 1,8718*107 8,158957*106

c) Egy személy rekordja: 3,03621*105

Csapatrekord: 4,079381*106

d) 5,7*104 db

59.o./5.

a) 14*105 = 1,4*106

b) 36*109 = 3,6*1010

c) 15*107 = 1,5*108

d) 22*1010 = 2,2*1011

59.o./6.

a) 3*102

b) 4*102

c) 0,3*103 = 3*102

d) 1,2*102

59.o./7.

a) 8*105*4*103 = 32*108 = 3,2*109

b) (8*105)(4*103) = 2*102

c) 8*105+4*103 = 804000 = 8,04*105

d) 8*105-4*103 = 796000 = 7,96*105

e) 23

5

10*210*410*8

=

59.o./8.

a) 8*105*4*103 = 32*108 = 3,2*109

b) 1,2*105*5*102 = 6*107

c) 23

5

10*310*510*15

=

d) 24

5

10*8,110*1810*310*54

==

59.o./9.

a) 23000 = 2,3*104

b) 65800 = 6,58*104

c) 42700 = 4,27*104

d) 844000 = 8,44*105

59.o./10.

a) (2*102*1,5*103)3 = 33*1015 = 2,7*1016

b) (8*104)4 = 4096*1016 = 4,096*1019

c) ( ) 74444

10*096,410*409610*880400

32000====⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

d) 633

10*8200120

24000==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

59.o./11.

a) 60*300000 km = 18*106 km = 1,8*107 kmb) 3600*300000 km = 108*107 km = 1,08*109

c) 24*1,08*109 km = 25,92*109 = 2,592*1010 kmd) 365*2,592*1010 = 946,08*1010 km = 9,4608*1012 km

59.o./12.

1 mm600 km2 = 6*1014 mm2

V = 1mm*6*1014 mm2 =6*1014 mm3 = 6*108 dm3 = 6*108 l

59.o./Rejtvény

a) Fény 1 s alatt 300000 km-t tesz meg,1 év alatt 9,4608*1012 km-t,4,2 év alatt 4,2*9,4608*1012 km = 39,73536*1012 km = 3,973536*1013-re vanez a csillag a Földtől.

b) v = 515 km/hs = 3,973536*1013 km

t = hhhkm

kmvs 1013

13

10*7156,710*0077156,0/51510*973536,3

===

Az út 7,7156*1010 h-ig tartana.

59.o./Rejtvény1 ember karfesztávolsága kb.1,5 mFöld egyenlítői kerülete kb. 40054,719 km = 4,0054719*104 km = 4,0054719*107 m4,0054719*107 m/1,5 m = 2,67*107 = 26 700 000 főMegközelítőleg 26,7 millió ember tudná körülölelni a Földet.

60.o./1.

7+36:4*2= 25

60.o./2.

a) 8003992,0501401

=

b) 80003999,050014001

=

c) 8,054=

d) 8039215,05141

=

5141

501401

50014001

54

⟨⟨⟨

60.o./3.

a) 154

51

151

23*

152

151

32

54

32

151

=+=+=÷⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

b) 12049

207*

67

20512*

67

25*1,0

53*

67

==−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

c) 98

96

914

32

614*

32

32

146

32

32

72

1410

32

=−=−=−÷=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −÷

d) 2008

12008

22008

11004

12008

12008

72008

5=+−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

60.o./4.

a) ○6

11−=

b) 721120

=∇

c) ∆ 4,0−=d) = 0,2

60.o./5.

(8,51+3,3l):32 l = 17,7 db

17 db csupor lesz tele, a tizennyolcadikba ll157

107*

32

= méz kerül. Az utolsó csupor 107

részéig telik meg.

60.o./6.

a)

211

2

212

1

−−≺

6,0 4

b)

211

31

212

32

−−≺

94

96

c)

211

11

1

211

1

+++

1510

32=

159

53=

d)

5,0111

2,0

212

4,0

+−−

≺

154

159

53=

60.o./7.

a) 85

=Δ

86

=∇

87

=Ο

b) 83

−=Δ

82

−=∇

81

−=Ο

c) 2413

=Δ

2414

=∇

2415

=Ο

d) 2411

−=Δ

2410

−=∇

249

−=Ο

60.o./8.

05,520

1012*10

101*1010*2

10*101010101010

21

20

21

22020

2121

2220

===+

=++

Az 5-ös számhoz áll a legközelebb.

60.o./9.

¼ nap=6 óra alatt ¾-ét szétosztotta. Hátra van még az ¼-e, amihez 2 óra szükséges. Az egészzsákot 8 óra alatt osztotta szét.

61.o./10.

a) 1793,4+2620,8 kJ = 4414,2 kJb) 1612,8+763+134,4 kJ = 2510,2 kJo./11.c) 604,8+1908 kJ = 2512,8 kJ

61.o./11.

Arányos téglalapok

YXXY5252 =→=

52

352*3

33

==Y

Y

YX része

61.o./12.

1 dl szörphöz 8 dl víz4 l = 40 dl vízhez 5*1 dl = 5 dl szörp volt az üvegben

61.o./13.

8 fő…………5 nap………..8 óra/nap*5/8 :5/8 fordított arány 5 fő …………5 nap ……….12,8óra/nap

*4/5 :4/5 fordított arány5 fő………… 4 nap……….16 óra/nap

16 órát kell naponta dolgozniuk, hogy elkészüljenek.

61.o./14.

3 tyúk………3 nap…………30 dkg mag1 tyúk………3 nap…………10 dkg mag1 tyúk………1 nap…………10/2 dkg = 3 1/3 dkg magot eszik meg.

4 gyöngytyúk…..4 nap……..40 dkg mag1 gyöngytyúk…..4 nap……..10 dkg mag1 gyöngytyúk…..1 nap……..10/4 dkg = 2 ½ dkg magot eszik.

61.o./15.

Felnőtt: 4000-nek 85%-a: 4000*0,85 = 3400 főFérfi: 3400-nak 40%-a: 3400*0,4 = 1360 fő1360 fő férfi volt az előadáson.

61.o./16.

20 db……..1200 Ft

1 db ……..1200:20 = 60 FtÁrleszállítás után: 1 db……60*0,8 Ft = 48 Ft1200:48 = 2525 db-ot vehetnénk az árleszállítás után.

61.o./17.

10%-os kamat évente 3000 Ft vissza10000*1,1*1,1*1,1*1,1 = 4*3000 Ft = 12000 Ft= 14 641 Ft

Akkor járunk jobban, ha 10%-os kamatra bankba tesszük a pénzt, így 4 év után 14641 Ft-unklesz, míg ha évente 3000 Ft-ot kapunk vissza, csak 12000 Ft-unk lesz.

61.o./18.

a) 12b) 16c) 13d) nincs a kártyák között ilyene) 17

62.o./19.

Nem igaz, például: 64, 36, …..

62.o./20.

Legkisebb: -102

62.o./21.

a) 3=Δb) 3=∇c) 3=d) ♥ = 2

62.o./22.

1 = B = D = F

62.o./23.

a) 41

41

41

41 3

3

3

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= BA ≺

b) 3

3

6

3

21

21

21

41

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= DC ≺

c) 2

2

3

3

41

41

41

41

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= FE ≺

d) 6

6

8

4

21

21

21

41

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= HG ≺

62.o./24.

a) Egy sorban, oszlopban, átlóban a hatványkitevők összege 16 vagy nagyobb legyen.Több megoldás lehetséges.

b) Lásd a)c) A kitevők összege 10 vagy nagyobb legyen

62.o./25.

[8;12] = 2424 s múlva ugatnak egyszerre.

62.o./26.

[20;28] = 140

140 s múlva hallhatjuk újra, hogy a két csepp egyszerre csapódik be.

62.o./27.

a) 7,343*1019 t = 7,343*1022 kgb) 81*7,343*1022 kg = 594,783*1022 kg = 5,94783*1024 kg