Solid 06 보의 응력 고급 주제

고체역학 및 연습 강의록 (중앙대학교 기계공학부) 제 6 장: 보의 응력 (고급 주제)

Mechanics of Materials, 6th ed., James M. Gere (Lecture Note by Prof. S.W.Cho) Page 06-1

제 6 장 보의 응력 (고급주제)

6.1 개요

- 보의 곡률/보의 수직응력/보의 전단응력에 대한 응용

o 합성보

o 경사 하중을 받는 보

o 비대칭 보

o 얇은 두께의 보의 전단응력

o 탄소성 굽힘

o 비선형 굽힘

6.2 합성보

- 한가지 이상의 재료로 제작된 보

o 2 종 합금보 (온도조절장치)

o 플라스틱 피복관

o 강철로 보강된 판을 가진 목재



♦ 재료를 절감하고 무게를 줄이기 위하여 개발됨.

샌드위치보: 경량의 무게와 고강도/고강성 재료

항해/우주산업 등 산업 분야에 응용

스키/문/벽/패널/책꽂이/판지상자 등 일상에 활용

Face: 상대적 고강도 재료의 얇은 바깥층: I-형 보의 플랜지 역할

Core: 경량이고 저강도의 두꺼운 중간층: I-형 보의 웨브 역할

중간층은 filler 로 사용되어 바깥층의 주름/좌굴에 대한 안전성 향상

플라스틱 (Foam)

벌집구조 (Honeycomb)

파형구조 (Corrugated)



♦ 변형률 및 응력

보의 기하학적 가정을 합성보에도 그대로 사용 단면은 평면을 유지함

x

yyε κ

ρ= − = −

( 2 1E E> 을 가정함)

1 1 1x E E yσ ε κ= − = − (6-2a)

2 2 2x E E yσ ε κ= − = − (6-2b)

♦ 중립축

단면에 작용하는 축력의 합은 0

1 21 20x xdA dAσ σ+ =∫ ∫

1 21 20E y dA E y dA+ =∫ ∫ (6-3)



2 축 대칭인 단면

중립축은 도심축과 일치함 식 (6-3)을 필요하지 않음.

♦ 모멘트 - 곡률 관계식

1 21 2

2 21 21 2

x x xAM y dA y dA y dA

E y dA E y dA

σ σ σ

κ κ

= = − −

= − −

∫ ∫ ∫∫ ∫

1 1 2 2( )M E I E Iκ= − + 1 2I I I= + (6-4)

1 1 2 2

1 M

E I E Iκ

ρ= =

+ (6-5) 여기서 1 1 2 2E I E I+ 는 합성보의 굽힘강도

♦ 수직응력 (굽힘공식)

식 (6-5)를 식 (6-2)에 대입하면,

1 21 2

1 1 2 2 1 1 2 2

x x

MyE MyE

E I E I E I E Iσ σ= − = −

+ + (6-6a,b)

Note: 2 1E E= 이면 x

My

Iσ = − 5 장의 식 (5-13) 이 됨.



♦ 샌드위치 보의 굽힘에 대한 근사이론

두 재료의 물성치 값의 차이가 클 때: 2 0E ≈ 을 가정함.

- 수직응력은 바깥층이 전부 지지함.

식 (6.6) 1 21

0x x

My

Iσ σ= − = (6-7)

여기서 ( )3 31 12 c

bI h h= − (6-8)

top bottom1 1

2 2

Mh Mh

I Iσ σ= − = (6-9a,b)

- 두께가 얇은 경우 전단은 중간층이 전부 지지함.

aver aver c c c

V V

bh bh Gτ γ= = (6-10a,b)

♦ 제한

선형 탄성에 한함. (콘크리트에는 적용 불가)



♦ 예제 6-1

문제

1 260 k-in, 1,500 ksi, 30,000 ksiM E E= = = ,

목재 (①)와 강철(②)에서의 최대/최소 인장/압축 응력은?

풀이

중립축의 위치를 를 먼저 구한다. 식 (6-3) 이용

21 1 1 11

( 3 in)(4 in 6 in) ( 3 in)(24 in )y dA y A h h= = − × = −∫

22 2 1 12

(6.25 in )(4 in 0.5 in) ( 6.25 in)(2 in )y dA y A h h= = − − × = −∫

따라서 1 21 20E y dA E y dA+ =∫ ∫ 에서

2 21 1(1500 ksi)( 3 in)(24 in ) (30,000 ksi)( 6.25 in)(2 in ) 0h h− + − =

1 5.031 inh = , 2 16.5 in 1.469 inh h= − =



3 2 41 1

1(4 in)(6 in) (4 in)(6 in)( 3 in) 171.0 in

12I h= + − =

3 2 42 2

1(4 in)(0.5 in) (4 in)(0.5 in)( 0.25 in) 3.01 in

12I h= + − =

Check: 3 3 41 2 1 2

1 1(4 in) (4 in) 169.8 4.2 174.0 in

3 3I h h I I= + = + = = +

1 11 4 4

1 1 2 2

(60 k-in)(5.031 in)(1500 ksi)1310 psi

(1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )A

Mh E

E I E Iσ = − = − = −

+ +

2 11 4 4

1 1 2 2

( 0.5 in) (60 k-in)( 0.969 in)(1500 ksi)251 psi

(1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )C

M h E

E I E Iσ − + −

= − = − =+ +

2 22 4 4

1 1 2 2

( ) (60 k-in)( 1.469 in)(30,000 ksi)7620 psi

(1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )B

M h E

E I E Iσ − −

= − = − =+ +

2 22 4 4

1 1 2 2

( 0.5 in) (60 k-in)( 0.969 in)(30,000 ksi)5030 psi

(1500 ksi)(171.0 in ) (30,000 ksi)(3.01 in )C

M h E

E I E Iσ − + −

= − = − =+ +

Note: 2 1C Cε ε= , 그러나 2 1 2 1/ / 20C C E Eσ σ = =



♦ 예제 6-2

문제

1 23.0 kN m, 72 GPa, 800 MPaM E E= ⋅ = =

바깥층/중간층의 최대 인장/압축응력을 다음의

(a) 일반이론

(b) 샌드위치보의 근사이론

으로 각각 구하기

풀이

(a) 일반이론

3 3 3 3 6 41

200 mm( ) (160 mm) (150 mm) 12.017 10 mm

12 12c

bI h h ⎡ ⎤= − = − = ×⎣ ⎦

3 3 6 42

200 mm(150 mm) 56.250 10 mm

12 12c

bI h= = = ×

6 4 6 4 21 1 2 2 (72 GPa)(12.017 10 mm ) (800 MPa)(56.250 10 mm ) 910.200 N mE I E I+ = × + × = ⋅



바깥층: 1

1 max 21 1 2 2

( / 2)( ) (3.0 kN m)(80 mm)(72 GPa)( ) 19.0 MPa

910.200 N m

M h E

E I E Iσ ⋅

= ± = = ±+ ⋅

중간층: 2

2 max 21 1 2 2

( / 2)( ) (3.0 kN m)(75 mm)(800 MPa)( ) 0.198 MPa

910.200 N mcM h E

E I E Iσ ⋅

= ± = = ±+ ⋅

Note: 1 max 2 max( ) /( ) 96σ σ = , since 1 2/ 90E E =

(b) 샌드위치 보에 대한 근사이론

1 max 6 41

(3.0 kN m)(80 mm)( ) 20.0 MPa

2 12.027 10 mm

Mh

Iσ ⋅

= ± = ± = ±×

Note: 근사해는 일반해의 값보다 큰 응력을 준다.



6.3 환산단면 방법

- 계산 노력을 줄여주지는 않음

- 계산과정을 구체화하고 체계화하는데 편리한 수단

- 한가지 재료로 구성된 등가단면으로 환산하여 계산

- 이 등가단면을 환산단면 이라 부름.

- 계산은 보통의 보에 대한 관례적 방법을 따름

- 환산보의 응력을 원래 보의 응력으로 변환함.

♦ 중립축과 환산단면

- 중립축이 같은 위치에 있어야 하며,

- 모멘트-저항 능력이 같아야 함.

중립축은 식 (6-3)으로 구해짐

1 21 20E y dA E y dA+ =∫ ∫ (6-11)

여기에 계수비 2 1/n E E= 을 대입하면



1 20y dA yn dA+ =∫ ∫ (6-13)

②재료를 ①재료로 바꾸는 대신 그 폭을 n 배로 늘려서 구성한 환산단면을 의미함

♦ 모멘트-곡률 관계식

환산단면은 재료 ①로만 구성되어 있으므로

1x E yσ κ= −

1 2

2 21 1 1 1 1 21 2

( )

x x xAM y dA y dA y dA

E y dA E y dA E I E nI

σ σ σ

κ κ κ

= − = − −

= − − = +

∫ ∫ ∫∫ ∫

여기에서 1 2E n E= 이므로 위 식은 1 1 2 2( )M E I E Iκ= + 이 되어 식 (6-4)와 같아진다.

♦ 수직응력

1xT

My

Iσ = − (6-15)

여기서 TI 는 환산단면의 중립축에 대한 관성모멘트임.



즉 2

1 2 1 21

T

EI I nI I I

E= + = + (6-16)

(6-16) (6-15)

11

1 1 2 2x

MyE

E I E Iσ = −

+ (a)

원래보의 재료 ①에서의 응력은 환산보 내에 대응되는 부분의 응력과 동일

원래보의 재료 ②에서의 응력은 환산보 내에 대응되는 부분의 응력에 계수비 n 을 곱해야 함.

1 2

1 1 2 2 1 1 22

2x

T

MynE MyE

E I E I E

Myn

II E Iσ = −

+ +− = = − (b)

♦ 일반적 유의사항

- 재료 ①을 재료 ②로 환산하는 것도 가능

- 재료 ①, ②모두를 다른 재료로 환산하는 것도 가능 (계산이 더 복잡해짐)

- 3 개 이상의 재료로 구성된 경우도 적용 가능.



♦ 예제 6-3

문제

1 260 k-in, 1,500 ksi, 30,000 ksiM E E= = = ,

환산 단면의 방법을 이용하여

목재 (①)와 강철(②)에서의 최대/최소 인장/압축 응력을 구하기.



풀이

강철 (②)을 목재 (①)로 환산하기로 함. 계수비 2

1

30,000 ksi20

1,500 ksi

En

E= = =

강철부분의 폭을 20 배 하여 환산단면을 구성함.

3

1 2

(3 in)(4 in)(6 in) (6.25 in)(80 in)(0.5 in) 322.0 in5.031 in

(4 in)(6 in) (80 in)(0.5 in) 64.0 ini i

i

y Ah

A

+= = = =

+∑∑

2 16.5 in 1.469 inh h= − =

3 21

3 22

4 4 4

1(4 in)(6 in) (4 in)(6 in)( 3 in)

121

(80 in)(0.5 in) (80 in)(0.5 in)( 0.25 in)12

171.0 in 3.01 in 231.3 in

TI h

h

= + −

+ + −

= + =



목재의 수직응력:

1 4

(60 k-in)(5.031 in)1310 psi

231.3 inAT

My

Iσ = − = − = −

1 4

(60 k-in)( 0.969 in)251 psi

231.3 inCT

My

Iσ −

= − = − =

강철에서의 수직응력은 환산보의 응력에 계수비 n 을 곱하여 구한다.

2 4

(60 k-in)( 1.469 in)(20) 7620 psi

231.3 inBT

Myn

Iσ −

= − = − =

2 4

(60 k-in)( 0.969 in)(20) 5030 psi

231.3 inCT

Myn

Iσ −

= − = − =



6.4 경사하중을 받는 2축 대칭 보

- 경사하중을 받는 2 축 대칭보의 해석

- 비틀림이 생기지 않도록 하중은 도심 통과

- 경사하중은 대칭평면에 작용하는 분력으로 분해

- 각각의 분력에 의한 해석을 중첩함.

♦ 굽힘모멘트에 대한 부호 규약

그림과 같은 오른나사의 법칙을 따름.



♦ 수직응력 (굽힘응력)

A 점에서의 응력은 , y zM M 각각에 의한 응력의 합,

y zx

y z

M z M y

I Iσ = − (6-18)

♦ 중립축

중립축의 방정식은 수직응력 xσ 를 0 으로 하면,

0y z

y z

M z M y

I I− = (6-19)

중립축 nn 은 도심 C 를 지나는 직선

중립축과 z 축 사이의 각 β 는

tan y z

z y

M Iy

z M Iβ = =



♦ 중립축과 하중의 경사각 사이의 관계

cos sin P Pθ θ= −P j k

( sin )( ) ( cos )( )y zM P L x M P L xθ θ= − = −

tany

z

M

Mθ=

중립축과 z 축 사이의 각 β 는

tan tany z z

z y y

M I Iy

z M I Iβ θ= = =

일반적으로는 β θ≠

예외-1: 하중이 x y− 평면상일 경우, 즉 0 , 180o oθ =

예외-2: 하중이 x z− 평면상일 경우, 즉 90oθ = ±

예외-3: y zI I= ; 원, 정사각형 등…



♦ 예제 6-4

문제

100 mm, 150 mm, 1.6 mb h L= = =

최대 인장/최대 압축응력을 구하고 중립축의 위치 구하기



풀이

하중을 분해하면, cos siny zq q q qα α= =

최대 굽힘 모멘트는 보의 중앙에서 발생하며 그 크기는 2 / 8M qL= 이므로

22 2 2sin cos

8 8 8 8yz

y z

q Lq L qL qLM M

α α= = = =



단면 특성,

3 3

12 12y z

hb bhI I= =

2 2 2

3 3 2 2

sin cos 3 sin cos

8 /12 8 /12 2y z

xy z

M z M y qL qL qLz y

I I hb bh bh b h

α α α ασ ⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

그림에서 관찰하면,

최대 압축은 ( / 2, / 2)D y h z b= = − 점에서 발생,

최대 인장은 ( / 2, / 2)E y h z b= − = 점에서 발생

23 sin cos

4E D

qL

bh b h

α ασ σ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

o3.0 kN/m, 100 mm, 150 mm, 1.6 m, =26.57q b h L α= = = = 을 대입하면

4.01 MPaE Dσ σ= − =



중립축은

2

2 2

3 sin cos0

2x

qLz y

bh b h

α ασ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 2

sin cos0z y

b h

α α− =

2

2tan tan

y h

z bβ α= =

수치를 대입하면

2

2

(150 mm)tan (tan 26.57 ) 1.125

(100 mm)oβ = =

48.4oβ =



♦ 예제 6-5

문제

(a) 하중 P 가 수직축 y 축의 방향일 경우 최대 굽힘응력을 구하라

(b) 하중 P 가 수직축 y 축과 1oα = 의 방향일 경우 최대 굽힘응력을 구하라

부록 E-2에서 4 4S24 80; 7 in, 24 in, 2100 in , 42.2 inz yb h I I× = = = =



풀이

(a) 하중이 y 축에 정렬되었을 때,

max 4

( / 2) (10 k)(12 ft)(12 in/ft)(12.00 in)8230 psi

2100 inz z

My PL h

I Iσ = = = =

(b) 하중이 1oα = 경사진 경우

( sin ) (10 k)(sin1 )(12 ft)(12 in/ft) 25.13 k-inoyM P Lα= − = − = −

( cos ) (10 k)(cos1 )(12 ft)(12 in/ft) 1440 k-inozM P Lα= − = − = −

4

4

( 15.13 k-in)(2100 in )tan 0.8684

( 1440 k-in)(42.2 in )y z

z y

M Iy

z M Iβ −= = = =

− 41oβ =

Note: 1oα = 이지만 41oβ = ; 4 4/ 2100 in /42.2 in 50z yI I = = 매우 큰 수.

4 4

( 25.13 k-in)( 3.5 in) ( 1440 k-in)(12 in)10,310 psi

(42.2 in ) (2100 in )y A z A

A By z

M z M y

I Iσ σ − − −

= − = − = − =

Note: 이 값은 (a)의 경우 8, 230 psi 에 비하여 25% 증가.



6.5 비대칭 보의 굽힘

- 비대칭 단면에 대한 굽힘해석

- 가정된 중립축으로부터 시작하여 해석함.

♦ 중립축

z −축이 중립축이라고 가정함.

x yE yσ κ= − (6-31)

x −축 방향의 힘의 평형조건은,

0x yA AdA E y dAσ κ= − =∫ ∫ (6-32)

0A

y dA =∫ z −축이 단면의 도심 C 를 통과함

y −축이 중립축이라고 가정함.

x zE zσ κ= − (6-33)



x −축 방향의 힘의 평형조건은,

0x zA AdA E z dAσ κ= − =∫ ∫ (6-34)

0A

z dA =∫ y −축이 단면의 도심 C 를 통과함

응력 계산

z −축이 중립축이라고 가정함.

2z x y y zA A

M y dA E y dA EIσ κ κ= − = =∫ ∫ (6-35a)

y x y y yzA AM z dA E yz dA EIσ κ κ= = − = −∫ ∫ (6-35b)

yzI ; 관성모멘트 적 (Product of inertia)

(Note-1) 모멘트가 (6-35a,b)의 비율이면 z −축이 중립축이 됨.

(Note-2) z −축이 주축인 경우에는 0yzI = 이 되기 때문에

굽힘은 xy -평면에서 발생 ( zM 만 작용함.), 거동은 대칭단면과 동일.



y −축이 중립축이라고 가정함.

2y x z z yA A

M y dA E z dA EIσ κ κ= = − = −∫ ∫ (6-36a)

z x z z yzA AM y dA E yz dA EIσ κ κ= − = =∫ ∫ (6-36b)

yzI ; 관성모멘트 적 (Product of inertia)

(Note-1) 모멘트가 (6-36a,b)의 비율이면 y −축이 중립축이 됨.

(Note-2) y −축이 주축인 경우에는 0yzI = 이 되기 때문에

굽힘은 xz -평면에서 발생 ( yM 만 작용함.), 거동은 대칭단면과 동일.

결론

- 굽힘모멘트가 작용하는 평면은 , y z 축이 주도심축인 경우에만 중립면에 수직

- 이 경우 굽힘모멘트는 두 개의 주면 중의 한 면에 작용.

- 굽힘모멘트가 작용하는 주면은 굽힘평면이 됨 통상적인 굽힘이론이 적용됨.



♦ 비대칭보를 해석하는 과정

1) 단면의 도심 C 를 결정함

2) C 가 중심인 주축 y z− 축을 설정함

3) 하중을 y z− 축 방향 으로 분력을 구함.

sin cosy zM M M Mθ θ= =

( sin ) ( cos )y zx

y z y z

M z M y M z M y

I I I I

θ θσ = − = −

중립축은 축응력 0xσ = 인 경우이므로

( sin ) ( cos )0

y z

M z M y

I I

θ θ− =

tan tanz

y

Iy

z Iβ θ= =



♦ 예제 6-6

문제

채널단면 C10 15× 을 고려함

10oθ = 의 각도로 하중모멘트 15 k-inM = 가 작용함.

점 , A B 에서의 굽힘응력 , A Bσ σ 과 중립축의 위치 구하기

풀이

단면의 성질은 부록 E-3 으로부터 다음과 같이 구한다.

도심 C 는 채널의 뒷면에서 0.634 inc =

4 42.28 in 67.4 iny yI I= =

점 , A B 의 좌표는

5.00 in 2.600 in 0.634 in 1.966 in

5.00 in 0.634 inA A

B B

y z

y z

= = − + = −= − =



굽힘모멘트의 분력은,

sin (15 k-in)(sin10 ) 2.605 k-inoyM M θ= = =

cos (15 k-in)(cos10 ) 14.77 k-inozM M θ= = =

굽힘응력은,

4 4

(2.605 k-in)( 1.966 in) (14.77 k-in)(5.00 in)

2.28 in 67.4 in 2246 psi 1096 psi 3340 psi

y A z AA

y z

M z M y

I Iσ = −

−= −

= − − = −

4 4

(2.605 k-in)(0.634 in) (14.77 k-in)( 5.00 in)

2.28 in 67.4 in 724 psi 1096 psi 1820 psi

y B z BB

y z

M z M y

I Iσ = −

−= −

= + =

중립축의 위치는

4

4

67.4 intan tan tan10 5.212

2.28 inoz

y

I

Iβ θ= = = 79.1oβ =



일반이론

- y z− 축이 주축이 아닌 임의의 축인 경우의 일반해석

x y zEy Ezσ κ κ= − − (*)

힘의 평형조건

0x x y zF dx E y dA E z dAσ κ κ= = − − =∑ ∫ ∫ ∫

(단면의 도심을 좌표축의 원점으로 하는 경우 자동만족)

모멘트 평형조건

2

y x y z

y yz z y

M z dx E yz dA E z dA

EI EI

σ κ κ

κ κ

= = − −

= − −∫ ∫ ∫

(**)

2

z x y z

y z z yz

M y dx E y dA E yz dA

EI EI

σ κ κ

κ κ

= − = +

= +∫ ∫ ∫

(***)

(**)과 (***)을 연립하여 곡률에 대하여 풀면,



2 2

( ) ( )z y y yz y z z yz

y zy z yz y z yz

M I M I M I M I

E I I I E I I Iκ κ

+ += = −

− −

이 식을 (*)에 대입하면 응력을 구할 수 있다.

2

( ) ( )y z z yz z y y yzx

y z yz

M I M I z M I M I y

I I Iσ

+ − +=

−

Note: 이 식은 도심을 통과하는 임의의 축에 대한 일반 휨 공식임. (주축이 아니어도 무방함)

중립축은 0xσ = 으로부터,

( ) ( ) 0y z z yz z y y yzM I M I z M I M I y+ − + =

즉 tan y z z yz

z y y yz

M I M Iy

z M I M Iβ

+= =

+

Note: 중립축을 알면; 최대응력의 발생점 파악에 유리

처짐의 방향을 결정할 수 있음 (중립축에 수직)



특수한 경우-1: 0yM = 인 경우

2

( )z yz yx

y z yz

M I z I y

I I Iσ

−=

− tan yz

y

I

Iβ =

특수한 경우-2: 0zM = 인 경우

2

( )y z yzx

y z yz

M I z I y

I I Iσ

−=

− tan z

yz

I

Iβ =

특수한 경우-3: y z− 축이 주축인 경우 즉 0yzI = 인 경우

y zx

y z

M z M y

I Iσ = − tan tany z z

z y y

M I I

M I Iβ θ= =



6.6 전단중심의 개념

♦ 다양한 특별한 조건 하에서 보의 굽힘 응력

- 경사하중을 받는 대칭 보 (6.6절)

- 비 대칭 보 (6.5절)

♦ 횡하중 굽힙 모멘트 + 전단력

- 전단력의 고려: 전단응력의 단면내 분포 (5 장)

♦ 횡하중이 대칭 평면이 아닌 평면 내에 작용하는 경우

- 비틀림이 없이 보가 굽어지기 위한 조건 특정한 점에 하중이 작용하여야 함

- 특정한 점: 전단 중심 (Shear Center)



♦ 1축 대칭 단면을 가지는 캔틸레버 보 (자유단에 하중 P 작용)

- 좌표축의 원점: 도심

- z -축이 대칭축: x y z− − 축은 주 도심축

- 중립면인 xz 평면내에서 굽어짐 xy 평면이 굽힘평면

- 두개의 하중이 작용함: 0M , 및 P (그림 (b) 참조)

- 0M : 수직응력에 의한 z 축에 대한 모멘트의 총합

- P : 평형만을 고려하여 수직응력으로부터 구함 (5.8 절)

- P 는 S 를 통과하여야 비틀림이 발생하지 않음

- S : 전단중심 (Shear Center)

혹은 굽힘 중심 (Center of Flexure)



♦ 하중이 S 가 아닌 A 점에 작용하는 경우

비틀림 모멘트 T 가 추가로 작용함

♦ 2축 대칭보 (그림 (a))

- 전단중심 S 와 도심 C 는 일치함

- 도심에 작용하는 하중 P 는 비틀림 없이 굽힘을 일으킴

♦ 1축 대칭 보 (그림 (b))

- 전단중심 S 와 도심 C 는 모두 y 축 (대칭축) 상의 서로 다른 점에

위치함

- 하중 P 를 y 축 성분과 z 축 성분으로 분해하여 해석함



♦ 비대칭 단면

- 도심 C 를 찾고,

- 주축 y z− 축을 찾고,

- 하중을 y 축 성분과 z 축 성분으로 분해하여 해석함

(일반축에 대하여 일반이론을 사용하는 것도 가능함)

♦ 전단 중심의 계산방법

- 2 축 대칭인 경우 도심과 일치

- 1 축 대칭인 경우 대칭축 상에서 위치를 경정하여야 함

- 일반단면 2 축의 위치를 모두 계산 하여야 함

- 일부 공학편람에 전단중심 계산 공식 제공

- 열린 단면: WF보, 채널, 앵글, T형 보, Z형 보 상용 구조용 강재 (비틀림에 취약)



6.7 얇은 두께의 열린 단면 보의 전단응력

전단응력 구하는 공식 (직사각형 보, 원형 보, 플랜지를 갖는 웨브), (식 5.83 에서 유도)

VQ

Ibτ = (6-41)

여기서 Q 는 전단응력을 구해야 하는 바깥쪽 단면의 1 차 모멘트이다.

♦ 얇은 두께의 열린 단면 (thin-walled open cross section)에 대한 고찰

- 벽 두께가 단면의 높이와 폭에 비하여 작고,

- 속이 빈 상자형 보의 경우와 같이 닫힌 단면이 아닌 열린 형태의 단면 (I 형 보/채널)

구조용 단면 (Structural section) 또는

프로파일 단면 (prifile section)



- 임의 단면의 중앙선

mm

- y 와 z 축은 주도심축

- 하중 P 는 전단중심 C

지나서 y 축에 평행

z 축이 중립축이 되고,

굽힘은 xy 평면에서

발생함.

보의 임의의 점에서의 수직응력은 z

xz

M y

Iσ = − (6-42)

1

1 0 0

s sz

xz

MF dA y dA

Iσ= = −∫ ∫ : ad 면에 작용하는 합력

2

2 0 0

s sz

xz

MF dA y dA

Iσ= = −∫ ∫ : bc 면에 작용하는 합력



ad 단면의 모멘트가 더 크기 때문에 1 2F F> 이며 평형을 위하여 전단응력 τ 가 cd 면에 필요함

따라서 2 1 0t dx F Fτ + − = 또는 1 2 t dx F Fτ = −

2 1

0

1 sz z

z

M My dA

dx I tτ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ∫

여기서 2 1( ) /z zM M dx− 는 굽힘 모멘트의 변화율 /dM dx이며 단면에 작용하는 전단력과 같음,

2 1z z

y

M MdMV

dx dx

−⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

여기서 yV 는 y 축에 평행하며 y 축의 음의 방향을 양으로 함 (4장의 부호 규약)

따라서 전단응력은 0

sy y z

z z

V V Qy dA

I t I tτ = =∫ , 여기서

0

s

zQ y dA= ∫

- 전단응력은 단면의 중앙선을 따라 단면의 가장자리에 평행하게 작용함.

- 이 응력은 벽의 두께 t 에 걸쳐 일정한 세기를 잦는 다고 가정함.

- 두께가 얇은 경우에 유효하며, 벽의 두께는 일정할 필요가 없고 s 의 함수로 변화 가능.



♦ 전단흐름 (Shear Flow)

- 그 점에서 전단응력과 두께의 곱. y z

z

V Qf t

Iτ= =

- 여기서 전단흐름 f 는 yV 와 zI 가 일정하기 때문에 zQ 에 정비례 함.

- 단면의 위와 아래의 가장자리에서 0zQ = 0f tτ= =

- z 축에 평행한 하중에 의한 굽힙의 경우 (전단중심 통과하는 경우) xz 평면이 굽힘평면

동일한 해석방법에 의해 z y

y

V Q

I tτ = ,

z y

y

V Qf t

Iτ= = ( y 축이 중립축)

여기서 zV 는 z 축에 평행한 전단력, yQ 는 y 축에 대한 1 차 모멤트임.

♦ 전단력이 전단중심을 지나 작용하고, 주도심축의 하나에 평행한 경우 적용가능함

- 전단력이 경사지게 작용하면, 주축에 평행한 성분으로 분해하여 각각 해석하여 중첩함.



6.8 WF보의 전단응력

♦ 상부 플랜지의 전단응력

- 단면 bb 에서의 전단응력 고려

- 거리 s 는 a 를 원점으로 측정

- 점 a 와 단면 bb 사이 면적은 1st

- 이 면적의 도심으로부터

중립축 까지의 거리는 / 2h

- 점 a 와 단면 bb 사이 면적은 1st

- 따라서 / 2z fQ st h=

- 단면 bb 에서의 플랜지의 전단응력은

( / 2)

2y z f

fz z f z

V Q P st h shP

I t I t Iτ = = =

- 응력의 방향은 그림 (c)를 고려함.

- 방향은 그림 (d)에 도시함.



- 응력은 점 a ( 0)s = 에서 0 으로부터 / 2s b= 에서 최대값 1τ 까지 변화함.

- 1 4 z

bhP

Iτ = , 이에 대응하는 전단흐름은 1 1 4

ff

z

bht Pf t

Iτ= =

- 상부 플랜지의 좌측 부분상의 점 c 로부터 우측으로 s 를 측정하여 플랜지 좌측 계산.

♦ 웨브의 전단응력

- 웹의 상단을 수평으로 잘라낸 부분 (플랜지와 웨브의 접합부)을 고려하면, / 2z fQ bt h=

- 이에 대응하는 전단응력은 2 2f

z w

bht P

I tτ = , 전단흐름은 2 2 2

fw

z

bht Pf t

Iτ= = (6-51, 52)

- 주목!! 2 12f f= 플랜지 좌/우의 전단흐름이 합해져서 웹으로 전단됨.

- 단면 dd 에서는

22/ 2

( )2 2 2 2 2 4f f w

z w

bt h bt h th h r hQ r t r

⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

- 따라서 중립축으로부터 거리 r 떨어진 웹의 전단응력은

22

4 2f

ww z

bt h h Pr

t Iτ

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(6-53)



- / 2r h= 일때 이 식은 (6-51, 52)로 축소됨.

- 0r = 일때 최대 전단응력 이 구해짐. max 4 2f

w z

bt h Ph

t Iτ

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

- 모든 계산은 단면의 중앙선 치수를 근거로 계산 근사계산값임 (cf. 5.10절 결과)

- 웨브의 전단응력은 포물선 분포, 그리고 max

2

14

w

f

ht

bt

ττ

= +

- 2h b= 이고 2f wt t= 인 값을 취하면 max 2/ 1.25τ τ =

- 하부 플랜지도 같은 방법으로 해석 가능한.

- 상/하부 플랜지의 전단력 합계는 서로 상쇄됨.

- 웨브에서의 전단응력은 합력 R 을 가지며, 전단응력을 웨브의 높이에 걸쳐 적분하여 구함.

22/ 2 / 2 2

0 0 2 2

4 2 6 2

h h f f ww w

w z w z

bt h bt h t Ph P hR dA t dr t r dr

t I t Iτ τ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = = + − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (6-56)

- I-Beam 의 관성 모멘트는

23

12 2fw

z

bt ht hI = + , 윗식에 대입하면, R P=



6.9 얇은 두께의 열린 단면의 전단중심

♦ 채널 단면

- 플랜지의 최대 전단 응력을 구하기 위해 (I-형 보와 동일); / 2z fQ bt h=

- 따라서 플랜지의 최대 전단응력은 1 2y z y

z f z

V Q bhV

I t Iτ = =

- 웨브의 상부에서의 응력은 2 2y z f y

z w w z

V Q bt hV

I t t Iτ = =



- 중립축에서 면적의 1차 모멘트는 2 2 4 4 2f w w

z f

bt h ht hth hQ bt

⎛ ⎞⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

- 따라서 최대 전단응력은 max 4 2y z f y

z w w z

V Q bt hVh

I t t Iτ

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

- 각 플랜지에 걸리는 수평 전단력

2

11 ( )

2 4f y

fz

hb t VbF t

I

τ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ (그림 (b)의 삼각형 면적)

- 웹의 수직력은 사각형 면적 + 포물선의 면적

- 즉

23

2 2 max 2

2( )

3 12 2f yw

w wz

bh t Vt hF ht ht

Iτ τ τ

⎛ ⎞= + − = +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

- 여기에

23

12 2fw

z

bt ht hI = + 를 대입하면 2 yF V= (예상된 결과)

- 두개의 1F 과 2 ( )yF V= 은 전단중심에 대해 비틀림을 유발하지 않아야 함.

- 즉 1 2 0F h F e− = , 이식을 풀면, 전단중심의 위치는

2 2 23

4 6f f

z w f

b h t b te

I ht bt= =

+



♦ 앵글 단면

- bb 단면의 / 2

2z

b sQ st

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ; (면적×중립축에서 면적의 도심거리)

- 단면 끝에서 s 떨어진 점의 전단응력은 22y z y

z z

V Q V s sb

I t Iτ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

- 여기서

3 3

2 26 3z BB

tb tbI I

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (부록 D의 경우 24 의 45oβ = 인 경우)



- 그러므로 3

3

22yV s s

bb t

τ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

- 최대 전단응력은 s b= 에서 발생함 max

3

2 2yV

btτ =

- 각 변의 전단력은 max

2( )( )

3 2yV

F b tτ= =

- 힘 F 의 수평 성분은 서로 상쇄

- 수직 성분은 / 2 / 2yF V= , 즉 수직합력은 전단력 yV 와 같다.

- 합력은 두개의 힘 F 의 작용선의 교차점을 통과 전단 중심 S 는 앵글 두 변의 교차점

- 각 단면의 합력을 고려하면 쉽게 C 를 구할 수 있음.



♦ 예제 6-7

문제

전단중심의 위치 구하기

풀이

- 전단중심은 z 축상에 위치함.

- 점 a 로부터 s 의 거리에 위치한 점의

단면 bb 를 고려하자.

- 점 a 와 단면 bb 사이의 단면적의

1 차 모멘트는 면적요소 dA 를

적분하여 구할 수 있다.

- 2

0( cos )( ) sinzQ y dA r tr d r t

θφ φ θ= = =∫ ∫

- 단면 bb 에서의 전단응력은

2 siny z y

z z

V Q V r

I t I

θτ = =



- 여기서 3 / 2zI r tπ= (부록 D의 경우 22, 23)을 대입하여

2 sinyV

rt

θτ

π=

- 확인: 0θ = 또는 θ π= 일 때 0τ =

- / 2θ π= 일때 최대 전단응력 발생

- 전단응력의 합력은 수직 전단력 yV

- 중심 O 에 대한 전단응력의 모멘트 0M 는 전단력 yV (전단중심 S 통과)의 모멘트와 동일.

- 즉 0 yM V e= (g)

- dA 요소에 의한 모멘트는 0

2 sin 2 sin( ) y yV dA rV d

dM r dAt

φ φ φτ

π π= = =

- 전단응력에 의한 모멘트는 0 0 0

2 sin 4y yrV d rVM dM

π φ φπ π

= = =∫ ∫

- (g)에 대입하여 0 4

1.27y

M re r

V π= = ≈



*6.10 탄소성 굽힘

- 선형 영역을 넘어서는 하중에 대한 해석

- 그림과 같은 탄소성 재료를 가정함

- 구조용 강재에 적합함

- 변형경화를 무시하는 해석.

- 변형경화는 강도의 증가를 일으키므로 안전한 해석

♦ 항복 모멘트

중립축에서 가장 멀리 떨어진 점 c 가

항복응력에 도달할 때의 모멘트 항복모멘트

YY Y

IM S

c

σ σ= =



♦ 소성모멘트와 중립축

(c): 최대 변형률이 항복 변형률 Yε 에 도달함: 모멘트의 크기는 항복모멘트 YM 가 됨

(d)(e): 최대 변형률은 계속 증가함

- 응력은 재료의 물성으로 인하여 Yσ 값보가 커질 수 없음.

- 보의 중앙핵심부 (탄성핵심부): 탄성을 유지함

보의 가깥 영역: 완전 소성이 됨, 응력은 Yσ 을 유지함

- z 축이 대칭축이 아니면, 중립축은 도심으로부터 멀어짐 (그 크기는 작음)



(f) 완전 소성역이 점점 커져서 보 전체가 완전소성역이 된 경우

- 최대 모멘트 저항 능력에 도달함

- 최대변형률은 항복 변형률 Yε 의 10 ~ 15배가 되며, 탄성 핵심부는 없어짐.

- 이때의 모멘트가 소성모멘트 PM 가 됨.

- 모든 단면의 응력값이 Yσ 이 됨.

중립축은 축방향 힘의 평형으로부터,

T C= 1 2Y YA Aσ σ=

1 2 / 2A A A= =

중립축은 단면을

두개의 같은 면적으로 나눔.



소성모멘트은 모멘트 평형조건으로부터,

1 2

1 21 1 2 2

( )

( ) ( ) ( )

2

P Y YA A A

YY Y

M y dA y dA y dA

A y yy A y A

σ σ σ

σσ σ

= − = − − −

+= − − =

∫ ∫ ∫

혹은

1 21 2

( )

2Y

P

A y yM Cy Ty

σ += + =

♦ 소성계수 및 형상계수

위의 식에서 1 2( )

2

A y yZ

+≡ 를 단면에 대한 소성계수로 정의하면,

P YM Zσ=

소성모멘트/항복모멘트 비율 형상계수 (shape factor) f 라고 부름 (단면 형태만의 함수)

P

Y

M Zf

M S= =



- 항복이 처음 시작된 후의 보의 예비강도의 척도

- 재료가 중립축 가까이 있으면 그 값이 커짐 (e.g. 중실 원형단면)

- 재료가 중립축 멀리 있으면 그 값이 작아짐 (e.g. WF단면)

♦ 직사각형 단면 보

단면계수는

2

6

bhS =

따라서 항복모멘트

2

6Y

Y

bhM

σ=

1 2 4

hy y= = 이므로 소성계수는

21 2( )

2 2 4 4 4

A y y bh h h bhZ

+ ⎛ ⎞= = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

소성모멘트

2

4Y

P

bhM

σ=

형상계수는 3

2P

Y

M Z

M S= =



Y PM M M≤ ≤ 인 경우의 고찰

1 1 2Y

hC T b eσ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2 2Y e

C T bσ

= =



1 2

2 2 2

2 2

4 4

2 3 2 2 2 3

3 2 3 2

6 2 2

YY

YY

beh e h h eM C e C b e e

bh e eM

h h

σσ

σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Check: / 2e h= 일 때 YM M=

Check: 0e = 일 때 3 / 2Y PM M M= =

위 식을 e 에 대해 풀어쓰면,

1 3

2 2 Y

Me h

M

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Check: YM M= 이면 / 2e h=

Check: 3 / 2P YM M M= = 이면 0e =



♦ WF 보

2 2

1( )

2 2 2 2 2

1 ( ) ( )( 2 )

2 2 4

ff w f f

ff f w w f

th h hZ bt t t t

thbt h t t bh b t h t

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= − + − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞⎡ ⎤= − + − = − − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦

⎝ ⎠

( )2

3 31 12 2

12 12 2 2

2

fw f f f

tht h t bt bt

Sh

⎡ ⎤⎛ ⎞− + + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦=

Zf

S=

WF 보에 대한 Z 값은 AISC매뉴얼에 있음

보통 WF 보의 1.1 ~ 1.2f =



♦ 예제 6-8

문제

원형 단면에 대한 항복모멘트/소성계수/소성모멘트/형상계수 구하기

풀이

4 3( / 64)

/ 2 32Y Y

Y Y

I d dM

c d

σ σ π πσ⎛ ⎞

= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1 2

2

4 3

d dA y y

ππ

= = = (부록 D의 경우-9/10)

31 2( )

2 6

A y y dZ

+= =

3

6Y

P Y

dM Z

σσ= =

161.70

3P

Y

Mf

M π= = ≈



♦ 예제 6-9

문제

탄소성 재료 ( 33 ksi)Yσ = 의 박스형 보

플랜지는 항복상태, 웨브는 선형탄성거동일 때 M 구하기

1 15.0 in, 4.0 in, 9.0 in, 7.5 inb b h h= = = =



풀이

모멘트를 2 부분으로 나누어서 생각함

(1) 탄성핵심부 웨브의 모멘트 1M

(2) 플랜지에서의 항복응력 Yσ 에 의한 모멘트 2M



21 1

1

( )

6

b b hS

−=

21 1

1 1

( )

6Y

Y

b b hM S

σσ −= =

플랜지 부분의 응력에 대한 모멘트를 구하기 위한 플랜지에서의 합력 F 는

1

2Y

h hF bσ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 21 1

2

( )

2 4Yh h b h h

M Fσ+ −⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 21 2 1 13 ( 2 )

12YM M M bh b b h

σ ⎡ ⎤= + = − +⎣ ⎦

수치를 대입하면, 1330 k-inM =

주: 이 예제에서 1196 k-inYM = , 1485 k-inPM = (문제 6.10-13)에서 구해짐

이 예제의 M 은 YM 와 PM 사이의 값이다.

Documents

Solid 06 보의 응력 고급 주제