제5 장 보의 응력 (기본 주제)contents.kocw.net/KOCW/document/2015/hanyang/yueunjong/5.pdf · 2016-09-09 · Mechanic 5.1 소개 - 전단력 - 굽힘에 - 좌표축 - 보의

Mechanic

cs of Materials

s, 7th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-1

Mechanic

5.1 소개

- 전단력

- 굽힘에

- 좌표축

- 보의 단

y 축

- 모든 하

- 굽힘 처

xy

- 처짐은

cs of Materials

개

/굽힘모멘트

에 의해 처짐

축은 그림에 도

단면은 xy 평

축이 단면의

하중은 xy 평

처짐은 xy 평

y 평면: 굽힘평

은 y 방향으로

s, 7th ed., Jame

제

트를 받는 보에

발생 처짐

도시함

평면에 대칭

대칭축

평면내에서만

평면내에서만

평면 (plane o

로 측정된 보의

es M. Gere &

제 5 장 보

에서 발생하는

짐 곡선

작용

일어남

of bending)

의 변위

Barry J. Goo

의 응력

는 응력/변형

dno

(기본주제

형률

제 5

제)

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-2

Mechanic

5.2 순수

순수굽힘

불균일 굽

예-1) 두

예-2) 자

cs of Materials

수굽힘과 불

힘: 일정한 굽

/V dM 즉 전단력

굽힘: 전단력

x 축

개의 우력을

유단에 우력

고정단에 같

(단순지지보

s, 7th ed., Jame

불균일굽힘

힘모멘트 하

/ 0dx

력이 0 인 구간

이 존재하는

축을 따라 굽

을 가지는 단

이 작용하는

같은 크기의

보의 경우와

es M. Gere &

하에서의 굽힘

constaM 간에서 발생

는 상태의 굽힘

굽힘모멘트가

단순지지보

는 캔틸레버보

반력모멘트

같은 응력상

Barry J. Goo

ant

함

힘

변함

보

발생

상태)

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-3

Mechanic

예-3) 일

나

보의 응력

불균일

cs of Materials

부는 순수굽

나머지 일부는

력 / 변형률

일 굽힘에서도

s, 7th ed., Jame

힘상태

는 불균일 굽힘

순수굽힘

도 활용 가능

es M. Gere &

힘 상태

힘 상태에서 유

능함 (5.8 장)

Barry J. Goo

유도

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-4

Mechanic

5.3

- 곡률중

- 곡률반

1m O

- 곡률 (c

1

기하학적

처짐량이

cs of Materials

보의 곡률

중심 (center o

반지름 (radius

curvature)

적 조건: d

1 dds

이 작은 경우

1 ddx

s, 7th ed., Jame

of curvature)

s of curvatur

ds

ds dx 이므

es M. Gere &

: O

re)

(5-2)

므로

(5-3)

Barry J. Goo

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-5

Mechanic

- 곡률의

- 곡률의

- 처짐곡

- 부호 규

cs of Materials

부호 규약

부호 규약은

곡선의 방정식

규약은 일관성

s, 7th ed., Jame

그림 참조

은 좌표축의

식의 유도시에

성을 유지하면

es M. Gere &

조

선택과 관계

에 곡률의 부호

면 됨.

Barry J. Goo

계있음.

호가 중요함

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-6

Mechanic

5.4 보의

cs of Materials

의 길이방향

s, 7th ed., Jame

향 변형률

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-7

제 5 장 보의 응력 (기본 주제)

Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 05-8

단면 (mn, pq) 에 관한 가정

- 변형후에도 평면을 유지

- 길이방향 축 ( x 축)과 직각, 전단변형은 고려하지 않음, (Euler Beam)

변형 후의 형상 (그림-c)

- 윗부분 : 길이가 줄어듬 (압축)

- 아랫부분: 길이가 늘어남 (인장)

- 중간 단면 ss 는 길이가 변하지 않음 중립면 (neutral surface)

- 중립면과 단면 평면과의 교선 중립축 (neutral axis), e.g. z 축

변형률의 계산

선분 ef 의 처음 길이: dx

선분 ef 의 최종 길이: 1 ( ) ( ) dx yL y d y dx dx

변형률: 1

xL dx y y

dx

(5-4) ( 0, 0)y 이면 ( 0)x (압축)

Mechanic

예제

문제

8.0 L

바닥면에

문제: ,

풀이

x

y

1

(1

cs of Materials

5-1

ft, 6.0 ih

에서 0.0x

, , 구하기

3 in0.0012x

y

10.0050 ft

cos ) 이며

(1 cos )

s, 7th ed., Jame

in

00125 , 바닥

기.

n 2400 in25

1

며 sin L

(2400 in)

es M. Gere &

면-중립면간

n 200 ft

/ 2L 0

)(1 0.9998)

Barry J. Goo

거리; 3 in

0.0200 rad

) 0.480 in

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-9

Mechanic

5.5 보의

선형탄성

x E

정역학적

(1) x 방향

중

(2) 응력에

모

중립축

xAd

z 축

(1) y 축

(2) 좌표의

cs of Materials

의 수직응력

성재료의 경우

xEy

적 평형 조건을

향 합력은 0

중립축의 위치

에 의한 모멘

모멘트-곡률

축의 위치

AdA E 축에 대한 단

에 대해 대칭

의 원점은 단

s, 7th ed., Jame

력 (선형 탄

우;

E y (5-7

을 사용함.

이다 (축력이

치 결정

멘트의 합은

관계식

0y dA

단면의 면적의

칭인 단면만을

단면적의 도심

es M. Gere &

성 재료)

7)

이 없음)

단면에 가해

Ay dA

의 1 차모멘트

을 고려함.

심

Barry J. Goo

진 모멘트와

0 (5-

트가 0 z 축

dno

와 같다.

8)

축은 단면의

제 5

도심 통과

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-10

Mechanic

모멘트

면적 dA

dM

M 즉

여

(5-10)을

EI

- 굽힘모

참고: 사

cs of Materials

트-곡률 관계

A 인 요소에

x ydA

xAydA

즉 M EI

기서 AI

다시 정리하

1 MEI

I : 굽힘강도

모멘트와 곡률

각형부재

s, 7th ed., Jame

식

작용하는 힘

2

AEy dA

(5-10)

2y dA (5-11)

하면

(5-12)

률의 부호 규약

3112

I bh

es M. Gere &

은 xdA

2

AE y dA

) 모멘트-

) 관성모멘

) 모멘트-

약 그림에

, 원형 부재

Barry J. Goo

EI

곡률 관계식

멘트 (Momen

곡률 관계식

에 정의됨.

64dI

dno

nt of Inertia)

4 4

4 4r

제 5

)

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-11

Mechanic

굽힘공

(5-12)를

x E

xM

단면에

단면에 작

cs of Materials

공식

(5-7)에 대입

xEy

MyI

에서의 최대응

작용하는 최대

s, 7th ed., Jame

입하면 굽힘응

E y ,

응력

대인장/압축

es M. Gere &

응력 (bendin

1 MEI

(5-13)

굽힘응력

Barry J. Goo

ng stress)을

굽힘공식 (f

중립축에서

dno

계산할 수

flexure form

서 가장 먼 곳

제 5

있음.

mula)

곳에 위치한

5 장 보의 응력

Pa

점에서 발생

(기본 주제)

age 05-12

Mechanic

중립축으

1M

여기서 S

이중

단면이 y

1 2c c

1

직사각형

원형단면

부록 D,

cs of Materials

으로부터 양/음

1

1

Mc MI S

1 21

IS Sc

대칭 형상

, y z 축에 각

c 이고 최대

2McI

형 단면: I

면:

4

64dI

E, F 참조

s, 7th ed., Jame

음 y 방향으로

22 Mc

I

2

Ic

단

각각 대칭이면

대인장/압축이

or MS

3

12bh

S

3

32dS

es M. Gere &

로 맨 끝에

2

MS

면계수 (sect

면 (2 축대칭)

이 수치적으로

max MS

2

6I bhc

Barry J. Goo

있는 요소까

tion modulu

로 동일

MS , 여기서 S

dno

지의 거리를

(5-14a,b

s) (5-15a,b

ISc

제 5

각각 1 2, c c

b)

b)

5 장 보의 응력

Pa

2 로 하면

(기본 주제)

age 05-13



제한

- 단선형 탄성 재료

- 규일 단면 보의 순수 굽힘

- 전단 변형으로 인한 뒤틀림 (Warping)은 고려하지 않음

- 응력분포 / 하중의 불연속에 의한 응력 집중현상은 무시함

Mechanic

예제

문제

굽힘으로

cs of Materials

5-3

로 인한 보 내

s, 7th ed., Jame

내의 최대인장

es M. Gere &

장 및 압축응

Barry J. Goo

력 구하기

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-15



풀이

반력: 0, 0A BM M 에서

23.59 k 21.41 kA BR R

집중하중 좌/우측 각각의 구간의 단면에 대한 자유물체도의 평형 조건에서

SFD/BMD 를 플롯하면 그림 (c), (d)와 같다.

그림 (d)에서 최대굽힘모멘트: max 151.5 k-ftM

단면계수:

22 31 (8.75 in)(27 in) 1063 in

6 6bhS

최대응력: max

2 3

(151.6 k-ft)(12 in/ft) 1710 psi1063 int

MS

max

1 1710 psicM

S

Mechanic

예제

문제

보 내의

풀이

반력:

SFD/BMD

그림에서

전단력의

pos 2M

cs of Materials

5-4

최대인장 및

0, AM 3.6AR

D 작도 그

서 굽힘모멘트

의 부호가 바뀌

2.025 kN m

s, 7th ed., Jame

및 압축응력 구

0BM 에

6 kN BR

그림 (b),(c)에

트의 최대값은

뀌는 지점에서

negm M

es M. Gere &

구하기.

에서

10.8 kN

에 도시함.

은

서 발생함.

3.6 kN m

Barry J. Goo

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-17

Mechanic

면적-1:

cs of Materials

1 / 2 6y t

s, 7th ed., Jame

16 mm, (A

es M. Gere &

( 2 )( )b t t Barry J. Goo

(276 mm)( dno

(12 mm) 3

제 5

23312 mm

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-18



면적-2: 2

2 2/ 2 40 mm, (80 mm)(12 mm) 960 mmy h A ht

면적-3: 3 2 3 2, y y A A

무게중심:

2 21 1 2 2

1 2 21 2

2 (6 mm)(3312 mm ) (40 mm)(960 mm ) 18.48 mm2 3312 mm 2(960 mm )

i i

i

y A y A y AcA A A

2 1 80 mm 18.48 mm 61.52 mmc h c

관성모멘트: 2 3 2 4

1 1 1 1 1 11( ) ( ) ( 2 )( ) ( / 2) 555,600 mm

12z cI I A d b t t A c t

2 3 2 42 3 2 2 2 2 2 1

1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 956,600 mm12z z cI I I A d t h A y c

6 4

1 2 3( ) ( ) ( ) 2.469 10 mmz z z zI I I I

단면계수: 3 3

1 21 2

133,600 mm , 40,100 mmz zI IS Sc c

최대응력:

양의 최대굽힘모멘트 단면에서 (밑면: 인장, 윗면: 압축);

pos2 3

2

2.025 kN m 50.5 MPa40,100 mmt

MS



pos1 3

1

2.205 kN m 15.2 MPa133,600 mmc

MS

음의 최대굽힘모멘트 단면에서 (밑면: 압축, 윗면: 인장);

neg1 3

1

3.61 kN m 26.9 MPa133,600 mmt

MS

neg2 3

2

3.61 kN m 89.8 MPa40,100 mmc

MS

max( ) 50.5 MPat

max( ) 89.8 MPac



5.6 굽힘응력에 대한 보의 설계

보의 설계:

1. 보의 형태와 크기 결정 (단면계수의 선택, max

allow

MS

)

2. 구조해석을 통해 하중작용시 발생하는 실제응력산정 (최대응력산정)

3. 실제응력 < 허용응력 인지 검토

구조용 강: 부록 E

Mechanic

여러

보의 효율

(a) 직사각

S

(b) 정사

원과

정사

원:

S

(c) 이상적

면적

cs of Materials

가지 보 형상

율: 재료가 중

각형: 높이가

2

6 6bh Ah

각형과 원형

과 같은 단면적

사각형: squareS

3

circle 32dS

square

circle

1.18SS

적인 보

적의 절반씩을

s, 7th ed., Jame

상의 상대효율

중립축에 멀리

가 클수록 유리

0.167Ah

비교

적의 정사각형

3

e 6 4h

3

0.0982d

8

을 / 2h 에 위

es M. Gere &

율

리 분포하면

리함

형: ( /h d3

0.1148

d

3d

위치시킴

Barry J. Goo

유리함

2)

360d

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-22



2 2

2 , 0.52 2 4 / 2A h Ah II S Ah

h

(d) WF 형 보

- 이상적인 보에 가깝게 설계된 단면

- 0.35S Ah (직사각형 보에 비하여 큰 값)

- 보통 폭이 넓기 때문에 직사각형 보에 비하여 측면 좌굴에 강함

- 웨브가 너무 얇으면 국부좌굴의 가능성 및 과단 전단응력을 받음.

Mechanic

예제

문제

allow

부록 F 의

풀이

보의 크기

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

cs of Materials

5-5

1,800 psi , 비

의 표에서 적

기 미정 보

주어진 등분

보에 대한 임

등분포 하중

선택된 보가

만족하지 않

s, 7th ed., Jame

비중량 3

절한 크기 선

보의 무게 미

분포하중에 근

임시크기를 선

중에 보의 무게

가 새로운 단

않는 경우 단계

es M. Gere &

335 lb / ft

선택하기.

미정 시행착

근거한 요구되

선택함 (표 F

게를 더하여

면계수를 만족

계 (2)로 돌아

Barry J. Goo

착오

되는 단면계수

F 참조)

새로운 단면

족하는가 확

아감.

dno

수 계산

면계수 계산

인

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-24



(1) 보의 최대 굽힘 모멘트

2

max(420 lb/ft)(12 ft)(12 in/ft) 90,720 lb-in

8 8qLM

요구되는 단면계수

3max

allow

90,720 lb-in 50.4 in1800 psi

MS

(2) 부록 F 의 표로부터 350.4 in 이상의 단면계수를 갖는 가장 가벼운 보인 3 12 in 보 선택

이 보의 단면계수는 352.73 in , 무게는

335 lb / ft 6.8 lb / ft

(3) 보의 균일 하중은 이제 426.8 lb / ft 이며 이에 대응되는 요구되는 단면계수는

3 3426.8 lb / ft(50.4 in ) 51.22 in

420 lb / ftS

(4) 앞서 선택한 3 12 in 의 단면계수352.73 in 는 요구되는 단면계수

351.22 in 보다 크다.

(5) 이 경우는 여기서 풀이가 종료되지만, 만일 (4)항에서 만족이 안되면 (2)항으로 돌아간다.

Mechanic

cs of Materials

s, 7th ed., Jame

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-26

Mechanic

예제

문제

allow

WF 형 보

풀이

(1) 등분포

(2) 최대

(3) 부록

(4) 하중에

(5) 선택된

(6) 만족되

cs of Materials

5-7

18,000 psi ,

보 형상의 구

포 하중에 의

굽힘모멘트

E-1 에 임시

에 무게를 추

된 보가 여전

되지 않으면

s, 7th ed., Jame

자중을 고려

조용 강철보

의한 최대 굽

로부터 단면

시의 WF 보 선

추가하여 (1),(

전히 만족하는

(2)항으로 돌

es M. Gere &

려하여

선정하기.

힘모멘트 계

계수 추정

선정 및 무게

(2) 과정 반복

는지 판별

돌아가 반복함

Barry J. Goo

산

추산

복

함.

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-27




18,860 lb 17,140 lbA BR R

좌측 지지점으로부터 0V 이 되는 단면까지의 거리 1x 은

1 0 (0 12 ft)AV R qx x 118,860 lb 9.430 ft

2,000 lb / ftARx

q

최대굽힘모멘트는 0V 인 단면에서 발생함.

21

max 1 88,920 lb-ft2A

qxM R x

요구되는 단면계수는

3max

allow

(88,920 lb-ft)(12 in / ft) 59.3 in18,000 psi

MS

임시보의 선택

부록 표 E-1 에서 359.3 inS 보다 큰 단면계수의 WF 형 보중 가장 가벼운 보는 W 12 50

W 12 50 의 특성: 364.7 inS , 무게는 50 lb / ft

주어진 하중과 자중을 고려한 굽힘 모멘트를 다시 계산함.


19,380 lb 17,670 lbA BR R



좌측 지지점으로부터 0V 이 되는 단면까지의 거리 1x 은

1 0 (0 12 ft)AV R qx x 119,380 lb 9.454 ft

2,050 lb / ftARx

q

최대굽힘모멘트는 0V 인 단면에서 발생함.

21

max 1 91,610 lb-ft2A

qxM R x

요구되는 단면계수는

3max

allow

(91,610 lb-ft)(12 in / ft) 61.1 in18,000 psi

MS

W 12 50 의 단면계수 364.7 inS 이므로 선택된 보는 아직도 만족됨.

Mechanic

예제

문제

0.8 ms

cs of Materials

5-8

m, 2.0 mh

s, 7th ed., Jame

allowm, 8

es M. Gere &

.0 MPa 일

Barry J. Goo

때 기둥의 요

dno

요구되는 치수

제 5

수 b 구하기.

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-30



풀이

기둥에 작용하는 분포하중은 삼각형 분포임 (그림 (c)참조), 최대 세기는

0q hs

최대굽힘모멘트는 밑판에서 발생

30

max 2 3 6q h h h sM

요구되는 단면계수는:

3max

allow allow6M h sS

정사각형 보의 단면 계수는:

3

6bS

3 3 33 3 6 3

allow

(9.81 kN / m )(2.0 m) (0.8 m) 0.007848 m 7.848 10 mm8.0 MPa

h sb

199 mmb

Mechanic

5.7 불균

- 단면이

- 무게를

- 단면치

기존

- 단면계

최대

완전응

- 모든 단

- 설계시

실제

- 완전응

- 자동차

cs of Materials

균일단면 보

길이에 대해

를 줄이고, 겉모

수가 점차적

존의 굽힘공식

수가 변화하

대응력점과 최

응력보 (fully

단면에서 최대

가정된 것과

제로 얻기는

응력보의 성질

차 겹판 스프링

s, 7th ed., Jame

보

해 균일하지

모양 개선을

적으로 변하면

식 사용 가능

하므로

최대굽힘모멘

stressed be

대허용 굽힘응

과 다른 하중

힘듬

질 이해 최

링, 테이퍼 거

es M. Gere &

않음

위해 사용됨

면

능.

멘트점 불일치

eam)

응력을 가짐.

중의 가능성

최소 무게의 구

거더, 등등

Barry J. Goo

됨.

치함

.

구조물 설계에

dno

에 도움이 됨

제 5

됨.

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-32

Mechanic

예제

문제

고정단에

( /B Ad d

풀이

단면계수

xd

S

굽힘응력

1

고정단에

B

cs of Materials

5-9

에서의 응력

2 )

수:

(A Bd d d

3

32 3x

xdS

력: 굽힘모멘트

x

x A

MS d

에서의 최대응

3

4

A

PLd

s, 7th ed., Jame

B 와 최대굽

)AxdL

(32 A Bd d 트가 Px 이므

32(A B A

Pxd d

응력; 식 (5-32

es M. Gere &

굽힘응력 m

3

)B AxdL

므로

3)( / )x L

2)에 , x L

Barry J. Goo

max 구하기.

(5-

2B Ad d 를

dno

32)

를 대입하여 구

제 5

구함.

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-33



보의 최대응력:

식 (5-32)는 2B Ad d 인 경우; 1 3 3

4(1 / )A

Pxd x L

(b)

식 (b)의 최대값은 1 / 0d dx 으로부터 1 이 최대가 되는 x 값을 구할 수 있다.

2Lx , 이 값을 (b)에 대입하면,

max 3 3

128 4.74127 A A

PL PLd d

Note: max 4.741 1.19

4B

Mechanic

예제

문제

모든 단면

풀이

굽힘모멘

M Px

굽힘공식

높이에 대

이 식에

(g)을 이용

cs of Materials

5-10

면의 최대 응

멘트와 단면계2 xx S bh

식: allowMS

대해 풀면, h

x L 을 대

용하며 (f)를

s, 7th ed., Jame

응력이 allow

계수

/ 6

2 / 6x

M PxS bh

allow

6x

Pxhb

대입하면, Bh

간단히 하면

es M. Gere &

가 되도록 xh

2

6

x

Pxbh

w

allow

6PLb

면, x Bh h

Barry J. Goo

x 구하기

(f)

(g)

xL

dno

제 5

5 장 보의 응력

Pa

(기본 주제)

age 05-35

Documents

제5 장 보의 응력 (기본 주제)contents.kocw.net/KOCW/document/2015/hanyang/yueunjong/5.pdf · 2016-09-09 · Mechanic 5.1 소개 - 전단력 - 굽힘에 - 좌표축 - 보의