__ ١

إذا كانت( )١ , ٦ , -٥- )حيث fHمنتصف =] )٣+ , ٢ , -١-l ; H ،( )٧ , -٢- , ٢k f فإن k l ;+ += .....

٥ د~ -٤ ج~ ٧ ب~ ٢ ا~----------------

إذا كان( )٣ ١-٤ ٢ , , ; H= ........ك = متجه وحدة فإن مث

٣ ا~٤٣ ب~ ±

٤ ±ü ~١ د~ ٣٤ ج ٥

-----------------

إذا كان( ) , ١ , ٤-; H= +٢، مث ٢u W S f+ مث= مث ٧٧= fHو كان طول مثمث ü هى .....ك فإن إحدى قيم ٩ د~ ٦ ج~ ٤ ب~ ٢ ا~

---------------- معادلة الكرة الىت مركزها( ٢٥و طول نصف قطرها ٢ , -٣ , ١( ü ........ هى

٢٠}@=١}@+ {ع + ٣-{س+ذ}@+{ص ب~ ٥}@=ذ [١ –}@+{ع ٣ذ}@+{ص+-{س ا~ ٥ }@=١ –}@+{ع ٣ذ}@+{ص+-{س د~ ٢٠}@=١ –{ع }@+٣ذ}@+{ص+-{س ج~

----------------

الصورة القياسية ملعادلة الكرة الىت مركزها( هى ....... WSو متس املستوى ٢ , -٣ , ٤( ٩}@=٤ –}@+{ع ٣ذ}@+{ص+-{س ب~ ٤}@=٤-}@+{ع ٣ذ}@+{ص+-{س ا~ ١٦}@=٤}@+{ع + ٣-{س+ذ}@+{ص د~ ١٦}@=٤ –ع }@+{٣ذ}@+{ص+-{س ج~

---------------- فإن مركزها يساوى ........ ٠= ٢٤ -ع ٣٠ص + ١٢ –س ١٨ع @ +٣ص@ + ٣س@ + ٣إذا كانت

}١٥-، ٦-، ٩-{ د~ }١٥، ٦-، ٩{ ج~ }٥-ذ ، ، ٣-{ ب~ }٥ذ ، -، ٣{ ا~----------------

معادلة كرة طول قطرها ٠ع + ذك = ٨-ص ٤ك س + ٤ -س@ + ص@+ ع @إذا كانتü +ي ح حيث ك ٤٥ ....ك =فإن

٢ د~ ٢ ٣ ج~ ٢ ١ ب~ ٢ ا~ ٣

----------------

م = فإن ٢٥}@ = ٣ –}@ +{ع ١ –{س +ذ}@ + {ص الكرة تقع على} م، ٤ذ ، -{إذا كانت النقطة...... ٩ د~ ٨ ج~ ٧ ب~ ٦ ا~

__ ٢

ا ، بوحدة طول ىف النقطتني ١٣و طول نصف قطرها }١٢، ٤-، ٣{ إذا قطع حمور السبنات الكرة الىت مركزها

......اب/ = فإن طول ٦ ~د ٨ ج~ ١٢ب~ ٣ ا~

----------------- فإن طول املتوسط املرسوم من الرأس} ٠، ١، ٢} ، ج { ٢، ١، ٠} ، ب { ٣، ٢، ١ا {مثلث فيه اب ج إذا كان

يساوى .......ا ١٠ د~ ٥ ج~ ٥[ ٢ ب~ ٥[ ا~

----------------- هى ..... ب فإن } ٢، ١-، ٨ا { حيث ٢٥}@ = ١ –}@ + {ص + ذ}@ + {ع ٥-{سقطر ىف الدائرة اب/ إذا كان

}٦، ٣، ١٠{ د~ }٠، ٣-ج~ { ذ ، }٥، ٤-، ١٠{ ب~ }١، ٣-{ذ ، ا~ -----------------

إذا كان( )١ , ٤ , ٢- H= +٢، مث ٢u W S f+ مث= مث .......= مثfىف إجتاه مثHفإن مركبة مثمث ٨ د~ ١٣ ج~ ٧٣ ب~ ٨٣ ا~

-----------------

إذا كان( )١ , -١ , ٢ H= )، مث )٠ , ٢ , -٣ f= )، مث )٢ , ١ , ٠- [= ||٣ن فإ مث [ f H ||+ - مثمث ....=مث٨٣ ا~ ü ~٧٢ د~ ١٢ ج~ ١١ ب ü

----------------- طول العمود املرسوم من النقطة( ....... على حمور السينات يساوى-٢ , -٣ , ١(

٥ د~ ١٠ü ج~ ü١٣ ب~ ٢ ا~-----------------

إذا كان( )٧ , ٣ , ١٠- H= )، مث )٤ , -١ , -٢- f= ...... =مثfHفإن متجه الوحدة ىف اجتاه مث) ا~ )١٢ ٤ ٣

١٣ ١٣ ) ب~ , , ١٣ )١٢- ٤- ٣١٣ ١٣ ) ج~ , , ١٣ )١٢ ٤ ٣-

١٣ ١٣ ) د~ , , ١٣ )١٢- ٤- ٣-١٣ ١٣ ١٣ , ,

-----------------

إذا كان( )١ , ٢ , -٤ H= )، مث )١ , ١ , ١; f- = ٧و كان مث || f H ||= + +ي ص وحدة طول حيث مثمث ..... ك =فإن ١٢ د~ ١١ ج~ ٨ ب~ ١٠ ا~

--------------- ٣إذا كان ٢u ; W S H+ + مث= مثمث ٤، مث ٤ ٦-u W S f+ - مث= مثمث fو كان مث H^ .......ك = فإن مثمث

١٠ د~ ٨ ج~ ٦ب~ ٤ ا~

__ ٣

إذا كان=e m f

٥( , , ٢)i s i Hمث ،=e2 m f

٣( , ٢٧ , )i i fو كان مث= i١١ f Hمثمث

....س = فإن ٥ د~ ٦٢٥ ج~ ١٢٥ ب~ ٢٥ ا~

----------------- إذا كان( ) =٤ , , ٦; H

)، مث ) , ٢ , ٢l f= f//و كان مث H ......ك + م = فإن مثمث

٧ د~ -١ ج~ ٢ ب~ ١ ا~-----------------

إذا كانتq هى قياس الزاوية احملصورة بني املتجهني( )٢ , -٦ , ١- H= )، مث )٢ , ٦ , -١ f= ... =qفإن مث °١٨٠ د~ °١٢٠ ج~ °٦٠ ب~ صفر ا~

---------------- ج ب مث = ·ب ا مث سم فإن ٨مثلث متساوى األضالع طول ضلعه اب ج إذا كان......

٣٢ د~ ٣[ ٣٢ ج~ ٣٢ - ب~ ٣[ ٣٢- ا~ -----------------

املقابل : إذا كان لشكلاىف د ج مكعب طولاب ج د اَ ب

i }f¤وحدة طول فإن ٢ضلعه fHمثمث = ......... -١ ب~ ١ ا~-١ د~ -٤ ج~

٢ ----------------

ىف الشكل ا�اور إذا كانfينصف الزاوية بني املتجهني مثHحيثمث]، مث ( )١ , ٢ , -١ H= )،مث )٦ , , ٠; f= )، مث )٤٢ , ٠ , ٢ [= üمث ........ك = فإن

٩ د~ ٤ ج~ ٦ ب~ ٣ ا~----------------

١إذا كان( , ٢ , ٣ +(٢ , ٣ , -٤ :=H ); ) v gيوازى مث- + -= = ٢٤ ٤ ٥ :٢ ٦

u w sg

f .....ا+ب = فإن

٥ د~ ٨ ج~ ٦ ب~ ٤ا~----------------

جيوب متام اإلجتاه للمتجه( ) =٢ , ١ , ٢- Hهى ...... مث ) ا~ ) ب~ -٢ , ١ , ٢( )٢ ١ ٢-

٣ ٣ ) ج~ , , ٣ )٥ ٥-٣ ) د~ , ٥ , ٣ )١ , ١ , ١-

Hمث

fمث]مث

__ ٤

٦٠و قياس كل منهم ع يساوى قياس الزاوية بني املستقيم و احملور ص إذا كان قياس الزاوية بني مستقيم ، احملور%

يساوى ....... س فإن قياس الزاوية بني املستقيم و احملور %٧٥ د~ %٦٠ ج~ %٤٥ ب~ %٣٠ ا~

----------------- ٧إذا كان ٣ ٣u W S fH+ + - مث= مثمث ٥u، مث W [f+ مث= مث ||فإن مث [H ........= مث||

١٤ د~ ١٣ ج~ ١٠ ب~ ٩ ا~----------------

ا كانإذ( )١ , -١ , ٢ H= )،مث )٣ , -٢ , ٠ f= )، مث )٠ , ٢ , ٤ [= ]فإن مث f H´ مثمث مث i= ...... ١٦ د~ ١٤ ج~ ١٢ ب~ ١٠ ا~

---------------- ٤=إذا كان || H ٣، مث|| || f ||= ١٢، مث || [ ||= ثالث متجهات متعامدة مثىن مثىن مث]، مثf، مثHحيثمث

||فإن [ f H ||+ + مثمث .......= مث ١٣ د~ ١٢ ج~ ١١ ب~ ١٠ ا~

---------------- متوازى أضالع و كان اب ج د إذا كان( ) =٢ , ٢ , -١ [H

)، مث ) =١ , ٢ , -٣- }fمساحة متوازى فإن مث األضالع تساوى ......

١٢١٠١ü د~ ١٠١ü ج~ [ذ ٧ ب~ ٦ ا~----------------

إذا كان املستقيم+ + += = ١٥ ٣ ٢ :٢ ٣ ١-

u w sg املستقيم عمودى على - -= = ٢

٦ ٥ :٢u w s

gl ;

.....م = ك + ذ٣ فإن

٣ د~ ٢ ج~ ١ ب~ -١ ا~----------------

قياس الزاوية بني املستقيمني- = = ١٣ ٢:u w s g ،= - = ٢٤- ٦:u w s g ...... يساوى ١٨٠° د~ ٩٠° ج~ ٠° ب~ °٤٥ ا~

---------------- ١ , ٢ , ٣معادلة املستوى املار �لنقطة( هى ......... ص س ، و يوازى كل من احملورين (

ص = ذ د~ ١س = ج~ ٣ع = ب~ ٣س + ص = ا~ -----------------

__ ٥

إذا كانت املتجهات( ) =١ , -٢ , ١ H

)، مث ) =٥ , ٣- , ; fمث ،( ) =٥ , -٩ , ٤ مستويه " تقع ىف مث] ......ك = مستوى واحد" فإن ٣-د~ ٣ ج~ ذ- ب~ ذ ا~

------------------ قياس الزاوية بني املستقيم+ - -= = ١

٣ ٢ ١ :٢- ١ ٢u w s

g ٠= + + ٤، املستوى w s ...... يساوى %٩٠ د~ %٣٠ ج~ %٤٥ ب~ %٠ ا~

------------------ ٣إذا كان املستوى ٢ ٣٠ u w s= + + ٥، املستوى - ٤٠ u w s;= - + .......ك = تعامدان فإن م-

-٣ د~ ٣ ج~ -٢ ب~ ٢ ا~----------------

٣إذا كان املستقيمuH w s= ٤يوازى املستوى = ٢ ٣٠ u w s= + + ...... =Hفإن + -١ د~ ١ ج~ ٢ ب~ ٣ ا~

-----------------

قياس الزاوية احملصورة بني املستويني= + -١٠ u s ،= - ٢- ٢٠ u w s........ يساوى ٦٠° د~ ٩٠° ج~ °٤٥ ب~ °٣٠ ا~

---------------- طول العمود املرسوم من النقطة( )٣ , ٠ , -٥ H= ٦على املستوى ٤ ٢٥٠ u w s= - + +ü......... يساوى

٧ د~ ٦ ج~ ٥ ب~ ٤ ا~----------------

على ب ، ج ا ، األجزاء س ، ص ، ع يقطع من حماور اإلحداثيات ٣٠ع = ٦ –ص ٥س + إذا كان املستوى .......ا + ب + ج = الرتتيب فإن ٤١ د~ ٣١ج~ ٣٠ ب~ صفر ا~

----------------- معادلة املستوى املار �لنقطة( )و عمودى على املتجه ١ , -٢ , ٥( هى ....... ٢ , ١ , ٣(

١٥ع = ٣ذس + ص + ب~ ١= ع٣ذس + ص + ا~ ٤س + ص + ع = د~ ١٥ع = ٥ذص + –س ج~

------------------

__ ٦

إذا كانf H^ ]،مثمث H^ )و كان مثمث )٢ , ٣ , ٢ f= )، مث )١ , ٢ , ١ [= ٤٢و كان مث || H ||= üمث

Hفإن ...... =مث

) ا~ ) ب~ ٢ , ٣ , ١( ) ج~ -٤ , ٠ , ٤( ) د~ ٤ , ٤ , ٠( )٠ , -٤ , ٤ -----------------

حجم متوازى السطوح الذى فيه ثالثة رؤوس ليست ىف وجه واحد هى( )٢ , ١ , ٣ H ،( )١ , ٣ , ٢- f ، ( )١ , ١ , -٢ يساوى ........ ]

٥٦ د~ ١٤ ج~ ٢٨ ب~ ٣٠ ا~----------------

:ىف الشكل املقابل طول سم و ١٢πحميط قاعدة املخروط الدائرى القائم ه إذا كان ......= مث و ج ·ب ج مث فإن م ا/ هى منتصفج سم و كانت نقطة ١٠رامسه ٣٦ ب~ ٩ ا~ ٥٤ د~ ٤٣- ج~

----------------- ٦ىف الشكل املقابل إذا كان || [f ||= ٢، üمث || [H ||= üمث

،( )١ , ٠ , ١- Hf= f] فإن مث Hfمثمث i =...... ٢ ب~ ١ ا~ ٤ د~ ٣ ج~

---------------- هى .... } ١-ذ ، ، ١} + ك {٣، ١-ر مث = {ذ ، النقطة الىت تنتمى للمستقيم

}٠، ٣-، ٤{ د~ ذ} ، ١، ٣{ ج~ ذ}-ذ ، ، ٠{ ب~ }١، ١، ١{ ا~ -----------------

النقطة الىت تنتمى للمستوى( ) ( ) ( )١, ٠, -١ ٠, ٠, ١ ١, ٠, ٢-l ; v+ + = هى ...... مث) ا~ ) ب~ ٠ , ١ , ٢( ) ج~ ٢ , ١ , ٣( ) د~ ٣ , ١ , ٢( )١ , ٠ , ١

---------------- ھىىف الفراغ س معادلة احملور ........

٠ ا~ s= ،٠ w= ~٠ ب s= ،٠ u= ~٠ ج s= ~٠ د u= ،٠ w= ----------------

جسم١٠

ا

م

وب

ا

ج ب

٢ ü

٦ ü

__ ٧

: إذا كانت( )٤ , ٨ , ١٢ H ، ( )٢ , ٤ , ٦ f ،( )٣ , ٥ , ٤ [ ،( )٥ , ٨ , ٥ فإثبت أن {

تقع ىف مستوى واحد.ا ، ب ، ج ، د النقاط -----------------

الىت جتعل املتجهات ك إوجد قيمةu W S H+ - مث= مث ٢، مثمث + ٣u W S f+ مث= مثمث ، مث٣u W; S [- + مث= مثمث ىف مستوى واحد. مث

-----------------

إوجد الصور املختلفة ملعادلة املستقيم الذى مير �لنقطة( )٢ , -١ , ٣ H و املوازى للمتجه( )٣ , ٤ , ١- i= مث عني مث .سصنقطة تقاطعه مع املستوى اإلحداثى

----------------- أوجد املعادالت البارامرتية للمستقيم املار �لنقطتني( )٢ , ٢ , -٣ H ،( )١ , -١ , ٠ f مث أذكر هل النقطة

( )١ , ٣ , ٢ أم ال. هلذا املستقيم �]-----------------

إوجد معادلة املستقيم املار �لنقطة( و يصنع مع اإلجتاهات املوجبة حملاور اإلحدثيات زوا� متساوية. ٣ , ٢ , ٥(----------------

أوجد معادلة املستقيم املار بنقطة األصل و يقطع املستقيم( ) ( )٣٬١٬٢ ٤٬١٬٣; v+ = لتعامد.على ا مث----------------

١ليكن: g ٢

٢+٢٤-

; s

; w

; u

+ = üï= ýï- = þ

،٢: g٥ ١٢- ٤ ٢u w s+ -= أثبت أن املستقيمان مستو�ن. =

---------------- أثبت أن املستقيمان( ) ( )١ ٠,-١٥٬٥ ٣,-٥٬٣; v+ = )، مث ) ( )٢ ٥,-١,-٢١ ١٬٣٬٢-; v+ = متعامدان و متقاطعان مث

و أوجد نقطة تقاطعهما. -------------

أثبت أن املستقيمان( ) ( )١ ١٣٬١٬٤ ٣,-٢٬١; v+ = )، مث ) ( )٢ ١,-٢٢٬١ ٤٬٠,-١; v+ = متخالفان. مث-------------

أوجد طول العمود املرسوم من النقطة( )على املستقيم ٢ , ١ , -٤( ) ( )٣٬٢,-٢ ١,-٢٬١; v+ = . مث-------------

__ ٨

إوجد الصور املختلفة ملعادلة املستوى املار �لنقطة( )١ , -٢ , ٤ H حيث ج ب يت و العمودى على املستقيم

( )٣ , ٠ , -٣ f ،( )١ , -٣ , ٢- [. -------------

ة املستوى املار �لنقطة إوجد الصور املختلفة ملعادل( )٢ , ٣ , ٤- H و الذى يوازى كل من املتجهني

( ) ١ , -٢ , ١١ i= )، مث ) ٣ , ٢ , ٢٤ i= .مث-------------

إوجد الصور املختلفة ملعادلة املستوى املار �لنقطة( )١ , -١ , ١ H عل كل من و الذى يكون عمود ً� ١ S :املستويني + - ٠ u w s= - ، : W١ + + ٢٠ u w s= +.

------------- إوجد الصور املختلفة ملعادلة املستوى املار �لنقاط( )٣ , ١ , ٠ H ،( )٠ , ٧ , ٢ f ،( )٤ , ١ , ٥ [.

------------- ١٢ إذا قطع املستوى ٤ ٢ ٣u w s= + على الرتتيب ]، H ،fىف النقط س ، ص ، ع حماور اإلحداثيات +

.ج م اب فإوجد مساحة -------------

١ إوجد معادلة املستوى الذى حيوى املستقيم: g ٤ ١٣- ٢u s

w- += و مير بنقطة األصل. =

------------- ١٤ إثبت أن املستقيمني ٣ ٢ : u w s g= = ،٢٥ ٢ ٣ : u w s g= ستوى الذى متقاطعان مث إوجد معادلة امل =

حيتويهما.-------------

١إثبت أن املستقيمان

٤-٢٣ : ١+٣

; s

; w g

; u

= üï+ = ýï= þ

،٢

٥+٢١ :

٣ ١

; s

; w g

; u

= üï- = ýï- = þ

متواز�ن و إوجد معادلة املستوى الذى حيويهما.

------------- ٠: ٢ - + ٧إذا كان املستوى w s S= ،٠: - ٥ + ٣ u w s W= تقيم ، املس

٣ ١ :٥ ١- ٢u w s

g+ -= = فإوجد

g.، املستقيم Sقياس الزاوية بني املستوى ذ~ S ،Wقياس الزاوية بني املستويني ~١ -------------

٤ملستويني إثبت أن ا ٣ + ٦ + ٦ :u w s S= ،١ ٢ + ٢ + :u w s W= .متواز�ن و أوجد البعد بينهما -------------

أوجد مسقط النقطة( )٠ , ٩ , ٦ H على املستقيم املار �لنقطتني( )١ , ٢ , ٣ F ،( )٧ , -٢ , ٥ [.

__ ٩

٣تقاطع املستقيم إوجد نقطة ٢; s+ = ،٤; w- = ،٥; u+ ١٨مع املستوى = ٢ ٥ ٤u w s= - مث إوجد +

قياس الزاوية بينهما. -------------

إوجد معادلة املستوى الذى حيتوى املستقيم( ) ( )١ ٤, ١, ١١١ ١, ٢, ٤; v+ = ، عمودى على املستقيممث ( ) ( )٢ ٢, ٣, -٢١ ٤, ١٥, ٨; v+ = .مث

--------------- .إلستعانة �لشكل ا�اور إوجد معادلة املستوى املائل�

و كذلك معادلة خط أكرب ميل الذى مير بنقطة األصل.

--------------- ١إوجد الصور املختلفة ملعادلة خط تقاطع املستويني u w s= + + ،٠ u s= +

---------------

إثبت أن املستقيمان= ü

ï+ = ýï= þ

; s

; w g

; u

١

٤-٢٣ : ١+٣

،= ü

ï- = ýï- = þ

; s

; w g

; u

٢

٥+٢١ :

٣ ١متواز�ن و إوجد معادلة املستوى الذى حيويهما.

--------------- ٧٧ع = ٥ ص + –س ٣مودى على املستوى و ع} ١، ٤{ ذ ، إوجد معادلة املستقيم املار �لنقطة

----------------- أقل ما ميكن.} ١-، ٠، ١ب { حبيث يكون بعدها عن النقطة ١ذع = –ذس + ص تقع على املستوى ا إوجد نقطة

------------------ ساً هلا.مما ٣ذس + ذص + ع = و املستقيم } ١-، ١ذ ، -{ إوجد معادلة الكرة الىت مركزها النقطة

------------------ إوجد الصور املختلفة ملعادلة املستوى املار �لنقطة( ) Hو الذى يكون عمود�ً عل كل من ١ , -١ , ١

= :Sاملستويني -٠ u w s١ + - ، W: = +٠ u w s١ + + ٢.

__ ١٠

مب H f fH- = مثمث )مث ) =٢ , -٤ , -٦- ،H [ [H- = مثمث )مث ) =١ , -٣ , -٨-

H مب } }H- = مثمث )مث ) =١ , ٠ , -٧

= مب - = = ´ i}H [H fH

٦- ٤- ٢-٠ ١٨ ٤٢+٦٠- ٨- ٣- ١-

٧- ٠ ١مث مثمث

تقع ىف مستوى واحدا ، ب ، ج ، د النقط إ ------------------------

٠ ْئ تقع ىف مستوى واحدا مث ، ب مث ، ج مث املتجهات مب [ f H= ´ iمثمث مث

إ ١ ١- ١٢ ١ ٣٣- ١

٠;

) ْئ = ) ( ) ( )١- ٣ ١ ٩-٢- ١+ ٣-٢- ١٠ ; ;= ´ + ´ ´

-١ إ ٣ ١١- ٠-٣-٢ ; ;= ١٥ ْئ + ;= -----------------------

: الصورة املتجهه ملعادلة املستقيم

i مب ; H v+ مثمث= ) Ü مث ) ( )٣ , ٤ , ١- ٢ , -١ , ٣; v+ = مث املعادالت البارامرتية :

مب ١

١

١

H; s s

f; w w

[; u u

+ = üï+ = ýï+ = þ

Ü ٢-٣٤ ١-٣

; s

; w

; u

= üï+ = ýï+ = þ

ب ب د ج ج ب ب ب د ا ج ا د ج ب ج ب ب د د ب ج ا د ب ب ج د د د ج ج ب ا ب ب د ب ا ج ب ب ب ج ج ج د د

__ ١١

الصورة اإلحداثية : ١ مب ١ ١u u w w s s

[ f H

- - -= = Ü ٣ ١ ٢ ١ ٤ ٣-u w s- + -= =

٠ع = نضع سص إلجياد نقطة التقاطع مع املستوى ٣ إ ١ ٢

١ ٤ ٣-٠ w s- + -= = Ü ١ ٢

٤ ٣-٣ w s+ -- = =

إ ٩ ٢١٢ ١

s

w

= - üý- = + þ

Ü ١١١٣

s

w

= üý- = þ

)النقطة هى إ )١١ , -١٣ , ٠ ----------------------

مب ( )٢ , ٢ , -٣ H ،( )١ , -١ , ٠ f � للمستقيم

fHمتجه اإلجتاه إ i=مث Ü H مث f i- مث= مثمث) إ ) ( )٢ , ٢ , -٣ ١ , -١ , ٠ i- = ) Ü مث )١ , -٣ , ٣- i= مث

:الصورة املتجهه ملعادلة املستقيم i مب ; H v+ مثمث= ) Ü مث ) ( )١ , -٣ , ٣- ١ , -١ , ٠; v+ = مث املعادالت البارامرتية :

مب ١

١

١

H; s s

f; w w

[; u u

+ = üï+ = ýï+ = þ

Ü -١

٣ ١-٣

; s

; w

; u

= üï- = ýï= þ

)النقطة )١ , ٣ , ٢ حتقق املعادالت البارامرتية ;و فقط إذا وجدت قيمة وحيدة لـــــــ للمستقيم إذا �]

حبيث ;أى نبحث عن قيمة وحيدة لــــــ -١ ١

٣ ١- ٣٣ ٢

;

;

;

= üï- = ýï= þ

Ü ٤-٣٢٣

٠ ;

;

;

= üï= ýï= þ

) Ü ليست وحيدة ;قيمة مب )١ , ٣ , ٢ للمستقيم �] )النقطة )١ , ٣ , ٢ i//للمستقيم إذا و فقط إذا كان �] [Hمثمث

) مب ) ( )٢ , ٢ , -٣ ١ , ٣ , ٢ [H- = ) Ü مث )١ , ١ , ٥- [H= مث) مب )١ , ١ , ٥- [H= )،مث )١ , -٣ , ٣- i= ١ Ü مث ١-

٣- ١-¹ مثi// إ [Hمث Ü ( )١ , ٣ , ٢ للمستقيم �]

-------------------- نفرض أنu w sq q q q= = =

__ ١٢

٢ مب ٢ ٢١ u w sq q q= + +f f f Ü ٢ ٢ ٢١ q q q= + +f f f ٢١ إ q= f3 Ü ١ q± = f3ü

١متجه إجتاه للمستقيم هو إ ١ ١, , iæ ö ± =ç ÷è ø3 3 3ü ü ü )أو مث ), , i± =3 3 3ü ü ü مث

) إ ) ( ), , ٣ , ٢ , ٥; v+ =3 3 3ü ü ü ) ْئ مث ) ( ), , ٣ , ٢ , ٥; v+ = 1 1 1مث--------------------

١نفرض أن املستقيم املطلوب هوg ،( ) ٠ , ٠ , ١٠ H )حيث ٢g، املستقيم املعطى ) ( ) ٢٣٬١٬٢ ٤٬١٬٣; v+ = مث

)أى أن ) ٢٤٬١٬٣ H ،( ) ٢٣٬١٬٢ i= مث٢ لتكن ١g g ٢gأى أن ∩=] [�

) إ ) ( )٣٬١٬٢ ٤٬١٬٣; [+ = مث) إ )٣ ٢ , ١ , ٤ ٣; ; ; [+ + + = مث١هو ١gمتجه إجتاه إ ١H[ i=مث ١ Ü مث ١ [ H i- مثمث= مث) إ ) ( ) ١ ١٣ ٢ , ١ , ٤ ٣ ٠ , ٠ , ٠; ; ; H i+ + + - = مث) إ ) ١٣ ٤ , ١ , ٢ ٣; ; ; i- - - - - - = مث٢ مب ١g g^ Ü ٢ ١i i^ مثمث٢ إ ٠ ١ i i= i مثمث) إ ) ( )٣٬١٬٢ ٣ ٤ , ١ , ٢ ٣٠ ; ; ;= - - - - - -i

٩ إ ١٢ ١ ٤ ٦٠ ; ; ;= - - - - - - Ü ١٩١٤ ;

- =

) إ )١٩ ١٩ ١٩١١٤ ١٤ ١٤٣ ٤ , ١ , ٢ ٣ i´ + - + - ´ + - = مث

) إ )١ ٥ ٢-١١٤ ١٤ ٧ , , i= )ميكن إعتبار متجه اإلجتاه Ü مث ) ٤ , ٥ , ١١- ١٤i= مث

) إ ) ( ) ٤ , ٥ , ١١- ٠٬٠٬٠; v+ = ) Ü مث ) ٤ , ٥ , ١١- ; v= مث-------------------

١ مب: g ٢

٢+٢٤-

; s

; w

; u

+ = üï= ýï- = þ

Ü ( ) ١ , ٢ , -١١ i= مث

:٢ مب g٥ ١٢- ٤ ٢u w s+ -= = Ü ( ) ٢ , ٤ , -٢٢ i= مث

مث١ ه

ل١

ج

ل٢ا ٢

ا ١

__ ١٣

-١ مب ٢ ١

٢- ٤ ٢= = Ü ١i٢ ] مثiمث Ü ١g [٢g أى أن املستقيمان مستو�ن -------------------

مب ( ) ٠ , -٥ , ١٥ i= )، مث ) ٥ , -١ , -٢١ i= مث

) إ ) ( ) ٢ ٥ , -١ , -١١ ٠ , -٥ , ٥ i i× = × مثمث٢ إ ١٠ ٠ - ٥ + ٥ i i= = × املستقيمان متعامدان. Ü مثمث

٢إلجياد نقطة التقاطع نبحث عن ١,p ; ٢حيث �; ١v v=مث مث) إ ) ( ) ( ) ( )٢ ٥,-١,-١١ ١٬٣٬٢- ٠,-٥٬٥ ٣,-٥٬٣; ;+ = + ) إ ) ( )٢ ٢ ٢ ١ ٥ , ٣ , ١١ ٢- ٣ , -٣-٥ , ٥+٥; ; ; ; ;- - + =

إ ٢

١ ٢

١ ٢

٣ ٥ ٢-٣-٥- ٣٥+٥ ١

;

; ;

; ;

= + üï= - ýï= - þ

Ü ٢

٢ ١

٢ ١

١٦- ٥٤- ٥

;

; ;

; ;

= üï= - ýï= + þ

.........

( )

( )

( )

١٢٣

} ، {ذ}١{حبل

٢١ إ -١١} ١{، من =; } ٣{و هذه القيم حتقق املعادلة =;-١١جياد نقطة التقاطع نعوض عن املستقيمان متقاطعان و إل إ ىف معادلة املستقيم األول =;

)نقطة التقاطع هى إ ) ( ) ( ) ٣ , ٢ , ١٠ ٠ , -٥ , ٥ ٣ , -٣ , ٥ v= - = مث-------------------------------

مب ( ) ٤ , ١ , ١٣ i= )، مث ) ١ , -١ , ٢٢ i= مث) إ ) ( ) ٢ ١ , -١ , ١٢ ٤ , ١ , ٣ i i× = × مثمث٢ إ ١٩ ٤ - ١ + ٦ ٠ i i¹ = = × املستقيمان متقاطعان أو متخالفان. Ü مثمث

٢نبحث عن ١,p ; ٢حيث �; ١v v=مث مث) إ ) ( ) ( ) ( )٢ ١ , -١ , ١٢ ٠ , ٤ , -١ ٤ , ١ , ٣ ٣ , -١ , ٢; ;+ = + ) إ ) ( )٢ ٢ ٢ ١ ١ ١٢ ٣+٤ , -١+ , ٢+٣ , ٤ , -١; ; ; ; ; ;+ - =

إ ٢ ١

٢ ١

٢ ١

٣+٤٤ +١-

٢ ١- ٢+٣

; ;

; ;

; ;

= üï- = ýï+ = þ

Ü ٢ ١

٢ ١

٢ ١

٣- ٤٥ +

٣- ٢- ٣

; ;

; ;

; ;

= - üï= ýï= þ

.........

( )

( )

( )

١٢٣

} ، {ذ}١{حبل

٢٣ إ ٢٥ ٢} ١{، من =;

١٥ } ٣{و هذه القيم ال حتقق املعادلة =; ان.املستقيمان متخالف إ

-------------------------------

__ ١٤

لتكن( )٢ , ١ , -٤ f ،( )١ , -١ , ٢ H� ، للمستقيم( )٢ , ٣ , -٢ i= مث

) إ ) ( )١ , -١ , ٢ ٢ , ١ , -٤ fH- = ) Ü مث )١ , ٢ , -٦ fH= مث

-٦ إ ٢ ١ ٢- ٣ ٢

u W S

i fH= ´

مث مث مث

١٠ Ü مثمث ١٤ u W S i fH- - = مث´ مثمث مثمث

٢٩٧ إ ١٩٦+١٠٠+١ i fH= = ´ü ü P Pمثمث ) مب )٢ , ٣ , -٢ i= ١٧ Ü مث ٤+٩+٤ i= =ü ü P Pمث

i البعد مب fH

i

´=

P P

P P

مثمث

مث Ü ٢٩٧٤٬٢ البعد

١٧= =ü

ü

-------------------

ج ب يت ع املستقيم املطلوب مب Ü [f k=مث مثf إ [ k- مث= مث ) Ü مث ) ( )٣ , ٠ , -٣ ١ , -٣ , ٢- k- = مث) إ )٤ , -٣ , ٥- k= H مب ، ،مث k v k=i iمث مث مثمث) إ ) ( ) ( )١ , -٢ , ٤ ٤ , -٣ , ٥- ٤ , -٣ , ٥-v=i iمث ) إ )٤ + ٦ + ٢٠- ٤ , -٣ , ٥-v= iمث

) إ )٢٢ ٤ , -٣ , ٥-v= iالصورة املتجهه. مث ) مب ) ( ) ( )١ ١ ١+ +٠ u u [ w w f s s H= - - - ) إ ) ( ) ( )٤ ٥+ ٢ ٣- ١ ٤٠ u w s= - + - الصورة القياسية. -٢٠ : ع احلدود املتشا�هو بفك األقواس و جتمي ٤ -٣ - ٦ + ٥ ٠-٤ u w s= - + ٤٠ +٣ - ٥ ٢٢ إ u w s= الصورة العامة. +

----------------------- ١] املستوى مبi٢، مثiمث Ü ٢ ١ i i k´ مث= مثمث

١ إ ٢- ١٤ ٢ ٣

u W S

k=

مث مث مث

) Ü مث )١٠ , -١ , ٨- k= مث

H مب k v k=i iمث مث ) ْئ مثمث ) ( ) ( )٢ , ٣ , ٤- ١٠ , -١ , ٨- ١٠ , -١ , ٨-v=i iمث

__ ١٥

) إ )٢٠ - ٣ + ٣٢ ١٠ , -١ , ٨-v= iمث

) إ )٤٩ ١٠ , -١ , ٨-v= iالصورة املتجهه. مث ) مب ) ( ) ( )١ ١ ١+ +٠ u u [ w w f s s H= - - - ) إ ) ( ) ( )٤ ٨+ ٣ - ٢ ١٠٠ u w s= - - + الصورة القياسية. -٣٢ : و بفك األقواس و جتميع احلدود املتشا�ه ٢٠ - + ٣ + ٨ ٠-١٠ u w s= - - ١٠٠ + - ٨ ٤٩ إ u w s= الصورة العامة. +

-------------------

مب : S ١ + - ٠ u w s= - Ü ( )١ , -١ , ١ s k= مث١ W : مب + + ٢٠ u w s= + Ü ( )٢ , ١ , ١ wk= مثS ،W Ü wع املستوى املطلوب مب sk k k´ = مثمثمث

١ إ ١- ١١ ١ ٢

u W S

k=

مث مث مث

) Ü مث )٢ , ١ , ٣- k= مث

) إ ) ( ) ( )١ , -١ , ١ ٢ , ١ , ٣- ٢ , ١ , ٣-v=i iمث

) إ )٠ ٢ , ١ , ٣-v= iالصورة املتجهه. مث ) إ ) ( ) ( )١ ٣+ ١ + ١ ٢٠ u w s= - + - لصورة القياسية.ا -٢٠ - - ٣ إ u w s= الصورة العامة

----------------- مب H f fH- مث= ) Ü مثمث ) ( )٣ , ١ , ٠ ٠ , ٧ , ٢ fH- = مث) إ )٣ , ٦ , ٢ fH- = مثH مب [ [H- مث= ) Ü مثمث ) ( )٣ , ١ , ٠ ٤ , ١ , ٥ [H- = مث) إ )١ , ٠ , ٥ [H= مثÜ [H للمستوى �] ، H ،f مب fH k´ مث= مثمث

٢ إ ٦ ٣-٥ ٠ ١

u W S

k=

مث مث مث

) Ü مث )٣٠ , ١٧ , -٦ k= مث

__ ١٦

) إ ) ( ) ( )٣ , ١ , ٠ ٣٠ , ١٧ , -٦ ٣٠ , ١٧ , -٦v=i iمث

) إ )١٠٧ ٣٠ , ١٧ , -٦v= iالصورة املتجهه. مث ) إ ) ( )٦- ١ ١٧+ ٣ ٣٠٠ u w s= - الصورة القياسية. -١٠٧ إ ٣٠٠ + ١٧ - ٦ u w s= الصورة العامة. -

-------------------- ١٢ مب ٤ ٢ ٣u w s= + ١٢÷ �لقسمة +١ إ ٣ ٦ ٤

u w s= + + Ü ٣، ٦، ٤األجزاء هى ) إ )٤ , ٠ , ٠ H ،( )٠ , ٦ , ٠ f ،( )٠ , ٠ , ٣ [ ) إ ) ( )٤ , ٠ , ٠ ٠ , ٦ , ٠ fH- = ) Ü مث )٤ , ٦ , ٠- fH= مث ، ( ) ( )٤ , ٠ , ٠ ٠ , ٠ , ٣ [H- = ) Ü مث )٤ , ٠ , ٣- [H= مث

= إ ´٠ ٦ ٤- ٣ ٠ ٤-

u W S

[H fH

مث مث مث

) Ü مثمث )١٨ , ١٢ , ٢٤ [H fH= ´ مثمث

) إ ) ( ) ( )٢ ٢ ٢٦ ٢٩ ٢٤ ١٢ ١٨ [H fH= = ´+ +ü ü P Pمثمث ١ م اب ج = مساحة مب

٢ [H fH´P P٣٢٩= مثمث ü .وحدة طول مربعة ------------------

١ مب: g ٤ ١٣- ٢u s

w- += =

) إ ) ٢ , ١ , -١٣ i= )، النقطة مث )١ ١ , ٠ , ٤-g H� )، النقطة ١gاملستوى املطلوب حيتوى مب )١ ٠ , ٠ , ٠g ,� ١ إ i H, k´ مث= مث مث

٤ إ ٠ ١-٣- ١ ٢

u W S

k=

مث مث مث

) Üمث )٤ , ٥ , -١- k= مث

, مب k v k=i iمث مث مثمث) إ ) ( ) ( )٠ , ٠ , ٠ ٤ , ٥ , -١- ٤ , ٥ , -١-v=i iمث ) إ )٠ ٤ , ٥ , -١-v= iمث

__ ١٧

) إ )٠ ٤ , ٥ , -١-v= iالصورة املتجهه. مث - إ ٥+ ٠-٤ u w s= .الصورة القياسية ، الصورة العامة

------------------- ١٤ مب ٣ ٢ : u w s g= ٣ : ١ Ü ١٢÷ �لقسمة = ٤ ٦

u w sg= =

) إ ) ١ ١ ٦ , ٤ , ١٣ : ; v g= )أى أن مث ) ٦ , ٤ , ١٣ i= مث٢٥ مب ٢ ٣ : u w s g= ٦ : ٢ Ü ٣٠÷ �لقسمة = ١٥ ١٠

u w sg= =

) إ ) ٢ ٢ ١٠ , ١٥ , ٢٦ : ; v g= )أى أن مث ) ١٠ , ١٥ , ٢٦ i= مث٢نوجد نقطة تقاطع املستقيمني : ١v v= ) Ü مثمث ) ( )٢ ١٠ , ١٥ , ١٦ ٦ , ٤ , ٣; ;=

إ ٢ ١

٢ ١

٢ ١

١٠ ٦١٥ ٤٦ ٣

; ;

; ;

; ;

= üï= ýï= þ

Ü ٢ ١

٢ ١

٢ ١

٥ ٣١٥ ٤٢

; ;

; ;

; ;

= üï= ýï= þ

.........

١٢٣

( )

( )

( )

١٠) ٣) ، (١حبل ( ;= ،٢٠ )٢و هذه القيم حتقق املعادلة ( =; املستقيمان متقاطعان ىف نقطة األصل " و " إ

٢ ٢g Ü، ١gاملستوى حيوى املستقيمني مب ١ i i k´ مث= )مثمث ) =٢١ , -٦ , ٥٠- ) إ ) ( ) ( )٠ , ٠ , ٠ ٢١ , -٦ , ٥٠- ٢١ , -٦ , ٥٠-v=i iمث ) إ )٠+٠+٠ ٢١ , -٦ , ٥٠-v= iمث

) إ )٠ ٢١ , -٦ , ٥٠-v= iالصورة املتجهه. مث +٥٠ إ ٦- ٠-٢١ u w s= امة.الصورة القياسية ، الصورة الع

------------------- مب ( ) ٢ , ١ , ١٣- i= )، مث )١ ٤ , ٣ , ١١g H� ، ( ) ٢ , -١ , -٢٣ i= )، مث )٢ ٥ , ١ , ٢١g H�

٣ مب ١ ٢-٣- ١- ٢= = Ü ١i٢] مثi١أى أن مثg[٢g

١ مب ٢ ٢ ١ H H H H- مث= ) Ü مثمث ) ( ) ٢ ٤ , ٣ , ١١ ٥ , ١ , ١ H H- = مث) إ ) ٢ ١ , -٢ , ١٠ H H= مث٢ إ ١ ١ H H i k´ مث= ) Ü مثمث )٦ , ٣ , ٣ k= )و ميكن إعتبار مث )٢ , ١ , ١ k= مث

) إ ) ( ) ( )٤ , ٣ , ١ ٢ , ١ , ١ ٢ , ١ , ١v=i iمث

) إ )٨+٣+١ ٢ , ١ , ١v= iْئ مث ( )١٢ ٢ , ١ , ١v= iالصورة املتجهه. مث

__ ١٨

) إ ) ( ) ( )١ + ٣ + ٤ ٢٠ u w s= - - الصورة القياسية -١٢ إ + + ٢٠ u w s= الصورة العامة. -

----------------- ٠: ٢ - + ٧مب ~١ w s S= Ü ( )٢ , -١ , ٠ sk= مث٠: - ٥ + ٣ مب u w s W= Ü ( )١ , -٥ , ٣ wk= مث

w مب s

w s

k k

k kq

½ ½= fi

P PP P

مثمث

مثمث Ü ٧

٥ q=ü f Ü ٥٨٬٠٥ q° =

ذ~ ٠: ٢ - + ٧ مب w s S= Ü ( )٢ , -١ , ٠ s k= مث٣ مب ١ :٥ ١- ٢

u w sg

+ -= = Ü ( )٢ , -١ , ٥ i= مث

) مب ) ٩٠s

s

i k

i kq

½ ½= - fi

P PP P

مثمث

مثمث Ü ١

٦q= eü Ü ٢٤٬٠٩ q° =

------------------------ ٤=٠ مب ٣ + ٦ + ٦ :u w s S- Ü ( ) ٣ , ٦ , ١٦ k= مث-١=٠ مب ٢ + ٢ + :u w s W Ü ( ) ١ , ٢ , ٢٢ k= مث

٦ مب ٦ ٣٢ ٢ ١= = Ü S [W

إلجياد البعد بني املستويني نوجد نقطة ىف آحد املستويني مث نوجد بعدها عن املستوى اآلخر كما يلى سوحنسب قيمة ع قيمة لــــ ص ، مثًال و ذلك �ختيار قيمة لـــ Wنوجد نقطة على املستوى ١ W Üىف معادلة املستوى ٠ص = ع = بوضع s= Ü النقطة( )١ , ٠ , ٠ )نوجد بعد النقطة إ Sعن املستوى ١ , ٠ , ٠(

١ مب ١ ١٢٢ ٢

] u[ wf sHg

[ f H

½ + + + ½=

+ + ü Ü

٢٢ ٢٤ ٦ ٠ ٦ ١ ٣

٦ ٦ ٣٠

g½ - ´ + ´ + ´ ½=

+ + ü

٤ مب ٣٣٦ ٣٦ ٩

g½ - ½ =+ + ü Ü ١

٩ g=

حل آخر :٤ مب

٣٠= ٢ + ٢ + :u w s S- ،١=٠- ٢ + ٢ + :u w s W

) إ ) ٤١-٣١

٩ ٤ ٤ ١g

½ - -½= =

+ + ü

--------------------

__ ١٩

نوجد املعادلة البارامرتية املستقيم[f

sur :

F [ i- = ) Ü مثمثمث )٦ , -٤ , ٢ i= Ü مث١+٦٢-٤٣+٢

; s

; w

; u

= üï= ýï= þ

f]على ا نفرض أن مسقط النقطة sur

) هو النقطة )١+٦ , ٢-٤ , ٣+٢; ; ; }

) إ )١+٦ , -٧-٤ , -٣+٢; ; ; }H= مثf] مب }H^ ٠ Ü مثمث [f }H= مثمث i ) إ ) ( )٦ , -٤ , ٢ ١٠+٦ , -٧-٤ , -٣+٢ ; ; ;= i Ü ١-

٢ ;= Ü ( )٢ , ٤ , ٢- } -----------------------------

مب ٢+٣٤٥

= üï- = ýï+ = þ

; s

; w

; u

{ذ} ىف} ١{ �لتعويض من{ذ} ... ١٨ذع = –ص ٥س + ٤، }١{...

ذ -= ك ْئ ١٨ك} = + ٥ذ{ –ك} ٤-{٥س} + ٣ {ذ +٤ إ }٣، ٨، ٤-{النقطة هى ْئ ٣ع = ، ٨ص = ، ٤ -س = ْئ }١{�لتعويض ىف

٤ , ٥ , -٢ ْئ ذ}-، ٥، ٤} ، ن مث = {١، ٤-، ٣ه مث = { مب ٣ , -٤ , ١

٤٥ ٢٦= q

´

| ( ) ( ) | eü ü

γ

١٣٠ إ ٣٩

= qü e ١٧ ْئ° q; ---------------------

املستقيم مب( ) ( )١ ٤, ١, ١١١ ١, ٢, ٤; v+ = حمتوى ىف املستوى املطلوب مث)النقطة إ للمستوى املطلوب.ي ١, ٢, ٤() مب ) ( )٢ ٢, ٣, -٢١ ٤, ١٥, ٨; v+ = املستوى املطلوب ع مث)ن مث = املتجه العمودى للمستوى املطلوب هو إ )٢, ٣, -١ )معادلة املستوى هى : إ ) ( ) ( )=i iv١, ٢, ٤ ٢, ٣, -١ ٤ع = –ص ٣ذس+ ْئ مث٢, ٣, -١

--------------- ٣، ٢، ٥} ، ب { ٣، ٠، ٥} ، ا {٠، ٠، ٠{ من الشكل : و{

}١٠، ٠، ٦-ن مث = { ْئ ب مث و× ا مث ون مث = ) ْئ معادلة املستوى املائل: ) ( ) ( )=i iv٠, ٠, ٠ ٦, ٠, ١٠- مث-٦, ٠, ١٠ صفرع = ٥ –س ٣ ْئ صفرع = ١٠س + ٦- ْئ

----------------

__ ٢٠

u مب s٠= + Ü - =u s ...}١{ = مب u w s١ = Ü }١{ �لتعويض من + + w١ {ذ}... )= جمموعة حل املعادلتني إ ){ }-p u u u� ع = ك بوضع , ١ , : " املعادلة البارامرتية خلط تقطع املستويني" ع = ك ، ١ك ، ص = -س = إ

------------------ النقطة ْئ ١ل املستوى حيتوي املستقيم مب ( ) H٠ , ٣ , -٥Jستوىامل

) مب ) = i٦ , -٢ , -١١ )، مث ) = i١ , -٣ , ٢٣ - ئْ مث - = ´ =u W S i i k٢ مثمث-١ مثمث ١٦مثمث ١٩ ٩ ) إ ) ( ) ( )× = ×v٠ , ٣ , -٥ ٩, -١٩ , -١٦ - مث-٩ , -١٩ , -١٦

٠= ٢٣ع + ١٦ص + ١٩س + ٩ إ ---------------

٧٧ع = ٥ + ص –س ٣و عمودى على املستوى } ١، ٤{ ذ ، إوجد معادلة املستقيم املار �لنقطة }٥، ١١-، ٣ه مث = ن مث = { ْئ املستوى ع املستقيم مب -معادلة املستقيم : إ - -= =u w s١ ٤ ٢

٥ ١- ٣ -----------------

على املستوى ب هى مسقط النقطة ب أقرب نقطة على املستوى من النقطة ذ}-، ١ه مث = {ذ ، عمودى على املستوى أى أن ب ، قطة نوجد املعادلة البارمرتية للمستقيم املار �لن ١+٢=; s ،=; w ،١-٢- =; u لتعويض ىف معادلة املستوى� -١ك = ْئ ١ذك} = – ١-ذ{–ذك} + ك + ١ذ{

)ا النقطة ْئ ٣ )١- ١- ١٣ ٣ ٣ , ,

------------------

= ْئ بعد املركز عن املستوىق ´ + ´=

( ) |

ü|١+(-١)-٣ ٢ ٢- ٢٢

٤+٤+١=®

٠ذص +ذع + ذ = –س ٤س@ + ص@ + ع @ + ْئ ٤}@ = ١}@ + {ع + ١ –{س + ذ}@ + {ص ------------------

مب ( ) = s k١ , -١ , ١ )، مث ) = wk٢ , ١ , ١ مث´ S ،W Üع املستوى املطلوب مب =w sk k k مثمثمث Ü ( ) = k٢ , ١ , ٣- مث

) إ ) ( ) ( )=i iv١ , -١ , ١ ٢ , ١ , ٣- ) ْئ مث-٢ , ١ , ٣ )= iv٠ مث-٢ , ١ , ٣ ) إ ) ( ) ( )= - + - -٠ u w s١ ٣+ ١ + ١ الصورة القياسية. ٢٠= إ u w sالصورة العامة. ٢ - - ٣